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Sinais e SistemasUnidade 5 –

Representação em domínio da

frequência para sinais contínuos:Transformada de Laplace

Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]

Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]

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2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

•

Introdução•

Definição da Transformada de Laplace

•

Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo

•

Função de Transferência•

Conceito de pólos e zeros

•

Estabilidade de sistemas

•

Sistemas com atraso de transporte•

Análise da resposta transitória

•

Análise da resposta em regime permanente

•

Resposta em frequência e Diagrama de Bode

Conteúdo da unidade

Aulas

01 e 02

Aula 03

Aula 04

Aulas

05 e 06

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Aula 05

•

Resposta em frequência e Diagrama de Bode–

Introdução

–

Definição de módulo de fase–

Representação na forma de Bode

–

Digramas de Bode•

Ganho K

•

Fatores integral e derivativo (s)

±1

•

Fatores de primeira ordem (s

+ 1)

±1

•

Fatores quadráticos (s²

+ 2ζs/ωn

+ 1)

±1

–

Procedimento geral para construção

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Introdução

•

Hendrik

Wade

Bode–

Americano (1905‐1982)

–

Engenheiro, pesquisador e inventor

–

Pioneiro em•

Teoria de controle (aplicada à

aviação)

•

Telecomunicações

–

Em 1929 entra para o Bell Labs

–

Em 1938 desenvolve o método gráficoconhecido como Diagrama de Bode•

Análise gráfica de ganho e fase de sistemas

–

Ganhou diversos prêmios por suas contribuições científicas

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Introdução

•

Resposta em frequência–

Resposta em regime estacionário

de um sistema submetido a um sinal

de entrada senoidal–

Varia‐se a frequência

do sinal de entrada ao longo de uma faixa de

interesse e estuda‐se a resposta resultante–

A resposta em frequência pode ser obtida experimentalmente

empregando geradores de sinal senoidal e equipamentos de medida de precisão

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Resposta em regime para sinal senoidal

•

Seja um sistema LTI definido por

–

Onde o sinal de entrada x(t) é senoidal e dado por

–

Se o sistema for estável, o sinal de saída y(t), em regime estacionário, será

dado por

–

Onde

e

Y sG s

X s

x t X sen ωt

y t Y sen ωt φ

Y X G jω

Im G jωφ G jω arctg

Re G jω

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•

Observações–

Um sistema LTI submetido a uma excitação senoidal, terá

como

resposta, em regime estacionário, um sinal também senoidal

de mesma frequência

–

A amplitude e o ângulo (fase)

do sinal de saída são, em geral, diferentes do sinal de entrada

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•

Função de transferência senoidal–

A função de transferência senoidal de qualquer sistema é obtida

substituindo‐se s

por jω

–

É uma grandeza complexa e pode ser representada por magnitude

e fase, tendo como parâmetro a frequência

–

Fase negativa Atraso de fase–

Fase positiva Avanço de fase

Y jωG jω

X jω

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Diagrama de Bode

•

Função de transferência na forma de Bode

•

Representação de uma função de transferência senoidal–

Gráfico do módulo (magnitude) x frequência

–

Gráfico da fase x frequência

•

Representação padrão do módulo–

Logaritmo Multiplicação dos módulos é convertida em adição

–

Unidade Decibel [dB]

1020 logdb

G jω G jω

12

1 1122 2

1

1

1

2 21 1

n

n n

n n

z ss z zp

G ss p s s s s

sp

ωξω ω ξ

ω ω

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Fatores Básicos

•

O ganho é uma curva horizontal•

O ângulo de fase do ganho K

é

nulo

•

Possui o efeito de deslocar

a curva do logaritmo da função de transferência para cima e para baixo

Ganho K

20 logdb

G jω K

0 0G jω arctgK

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Fatores Básicos

•

Fator 1/s

•

Fator s

120 20log logdb

G jω ωjω

Fator integral e derivativo(s) ±1

20 20log logdb

G jω jω ω

1 900

o/ωG jω arctg

900

oωG jω arctg

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Fatores Básicos

•

Diagrama de Bode–

Uma oitava Intervalo de frequência entre

ω1

e 2ω1

–

Uma década Intervalo de frequência entre

ω1

e 10ω1

–

Para ω

= 1, tem‐se

–

Para ω

qualquer, tem‐se

120 01

logdb

G jωj

1 900

oG jω arctg

20 1 0logdb

G jω j 1 900

oG jω arctg

120 20log logdb

G jω ωjω

20 20log logdb

G jω jω ω

1 900

o/ωG jω arctg

900

oωG jω arctg

1/5


Fatores Básicos

1/5


Fatores Básicos

•

Fator 1/(s+1)

–

Para ω

<<

1/T

(baixas frequências)

2120 20 11

log logdb

G jω ωTjωT

Fator de primeira ordem(s + 1)

±1

20 1 0logdb

G jω Aproximação assintótica

0 01

oG jω arctg

1 1ωT ωTG jω arctg arctg

1/5


Fatores Básicos

–

Para ω

>>

1/T

(altas frequências)

–

Para ω

= 1/T

(frequência de canto)

20 logdb

G jω ωT Aproximação assintótica

901

oG jω arctg

20 1 1 3log dbdb

G jω

1 451

oG jω arctg

1/5


Fatores Básicos

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Fatores Básicos

•

Fator (s+1)–

No diagrama de Bode, para fatores recíprocos, as curvas de módulo em

dB e fase apenas trocam de sinal. Logo:

220 1 20 1log logdb

G jω jωT ωT

1ωT

G jω arctg

1/5


Fatores Básicos

1/5


Fatores Básicos

•

Fator 1/(s²/ωn2

+ 2ζs/ωn

+ 1)

21

202 1

logdb

n n

G jω jω jωξ

ω ω

Fator de segunda ordem(s²

+ 2ζs/ωn

+ 1)

±1

2 22

220 1 2logdb

nn

ω ωG jω ξ

ωω

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Fatores Básicos

–

Para ω

<< ωn

(baixas frequências)

2

2

1

n

n

ωξω

G jω arctgωω

20 1 0logdb

G jω Aproximação assintótica

0 01

oG jω arctg

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Fatores Básicos

–

Para ω

>>

ωn

(altas frequências)

–

Para ω

=

ωn

(frequência de canto)

2

220 40log logdb

nn

ω ωG jω

ωω

Aproximação assintótica

2 0 180oξG jω arctg arctg

1202

logdb

G jωξ

2 900

oξG jω arctg

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Fatores Básicos

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Procedimento de construção

1)

Reescrever a função de transferência na forma de Bode2)

Verificar se os termos de ordem superior (quadráticos) podem

ser reescritos como termos de 1º

ordem com raízes reais3) Fazer s

= jω

4)

Separar cada um dos termos5)

Identificar as frequência de canto

associadas a cada termo

6)

Desenhar as curvas assintóticas–

Módulo em db

–

Fase em graus

7)

Somar graficamente as curvas assintóticas8)

Realizar correções para o traçado da curva real

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[1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª

ed. Rio de Janeiro: Prentice‐ Hall, 2000.

[2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 2011.

Bibliografia

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