Sries de FourierNotas de aulas compiladas no dia 6 de Maio de 2003Computao, Engenharia Eltrica e Engenharia CivilProf. Ulysses Sodriiemail: email: Material compilado no dia 6 de Maio de 2003.Este material pode ser usado por docentes e alunos desde que citada a fonte, mas no pode servendido e nem mesmo utilizado por qualquer pessoa ou entidade para auferir lucros.Para conhecer centenas de aplicaes da Matemtica, visite a Home Page:http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/E apliquei o meu corao a esquadrinhar, e a informar-me com sabedo-ria de tudo quanto sucede debaixo do cu; esta enfadonha ocupao deuDeus aos lhos dos homens, para nela os exercitar. Atentei para todas asobras que se fazemdebaixo do sol, e eis que tudo era vaidade e aio deesprito. Aquilo que torto no se pode endireitar; aquilo que falta nose pode calcular. Falei eu como meu corao, dizendo: Eis que eu me en-grandeci, e sobrepujei em sabedoria a todos os que houve antes de mimemJerusalm; e o meu corao contemplou abundantemente a sabedoriae o conhecimento. E apliquei o meu corao a conhecer a sabedoria e aconhecer os desvarios e as loucuras, e vim a saber que tambm isto eraaio de esprito.Porque na muita sabedoria h muito enfado; e o queaumenta em conhecimento, aumenta em dor.(ECLESIASTES 1:13-18, Bblia Sagrada.)CONTEDO iiiContedo1 A importncia das sries de Fourier 11.1 Problema de aproximao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Problema do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Problema da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Jean B. Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Funes Peridicas 22.1 Conceitos gerais sobre funes peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Ncleo de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Polinmio trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Srie trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Frmulas e integrais trigonomtricas 53.1 Algumas frmulas trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Integrais trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Funes absolutamente integrveis 64.1 Funo integrvel sobre um intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Funo integrvel sobre a reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.3 Funo absolutamente integrvel sobre um intervalo . . . . . . . . . 74.4 Funo absolutamente integrvel sobre a reta real . . . . . . . . . . . 75 Sries de Fourier e Coecientes de Fourier 75.1 Aplicao de srie de Fourier soma de uma srie numrica . . . . . 126 Tipos importantes de simetrias 136.1 Propriedades de funes com simetrias par e mpar . . . . . . . . . . 147 Integrais de funes com simetrias 157.1 Propriedades das integrais com simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . 15CONTEDO iv7.2 Propriedades das simetrias para os coecientes de Fourier . . . . . . 168 Descontinuidade de funes reais 178.1 Salto de funo descontnua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2 Valor mdio de uma funo em um ponto. . . . . . . . . . . . . . . . 178.3 Descontinuidade de primeira espcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.4 Descontinuidade de segunda espcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Funes Seccionalmente diferenciveis 199.1 Funo seccionalmente contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199.2 Lema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209.3 Funo seccionalmente diferencivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010Teorema de Fourier 2111Aproximao de funo pela srie de Fourier 2112O fenmeno de Gibbs e a srie de Fourier 2313Sries de Fourier de Senos e Cossenos (Extenses) 2413.1 O papel das extenses de funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413.2 Extenses de funes 2-peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2613.3 Extenses de funes 2L-peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814Outras formas de apresentar uma Srie de Fourier 2914.1 Forma simplicada da Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.2 Forma complexa da Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.3 Relao entre coecientes reais e complexos. . . . . . . . . . . . . . . 3115Conexo entre a srie de Fourier e a sua derivada 3315.1 A derivada da srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3315.2 Resoluo de EDOL com sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 33LISTA DE FIGURAS v15.3 EDOL de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3415.4 EDOL de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Lista de Figuras1 Uma funo peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Funo sinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Funo sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Funo modular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Funo sinal transladada para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Funo sinal multiplicada por /2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Mdia aritmtica entre t e |t| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Funo parablica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Funes com simetrias par e mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410 Funo com simetria de meia-onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411 Funo sinal em um intervalo no simtrico . . . . . . . . . . . . . . . 1812 Funo hiperblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913 Funo modular com a 1a. e 2a. aproximaes . . . . . . . . . . . . . 2214 Funo modular com a 3a. e 4a. aproximaes . . . . . . . . . . . . . 2215 Fenmeno de Gibbs com a 1a. e 2a. aproximaes . . . . . . . . . . . 2416 Fenmeno de Gibbs com a 3a. e 4a. aproximaes . . . . . . . . . . . 241 A importncia das sries de FourierExiste uma enorme diferena entre estudar sries de Fourier e sriesde potncias, pois uma srie de Fourier funciona como um processoglobal enquanto que uma srie de potncias local. Apresentaremosalguns problemas mostrando que nem sempre vivel trabalhar comsries de potncias, mas pelo contrrio, temos a necessidade de traba-lhar com Sries de Fourier em sistema prticos.1.1 Problema de aproximaoComasriedeTaylordeumafunof, obtemosopolinmiodeTaylor que d uma boa aproximao para a funofnas vizinhan-as de um ponto, mas uma h uma exigncia: que esta funo fsejasucientemente suave, ou seja, que fpossua derivadas contnuas atuma certa ordem dada,tanto no ponto como nas vizinhanas desteponto. Para obter um processo de aproximao global, este mtodofalha pois a aproximao de Taylor local e no global.1.2 Problema do limitePara obter o limite de fnum ponto x0, a aproximao polinomial deTaylor funciona bemmas empontos distantes de x0, o processo ruim.Isto acontece tambmpara funes descontnuas e ocorremfalhas poiseste processo de aproximao local.1.3 Problema da integralPara obter valores aproximados para uma integral sobre umintervalo,a aproximao de Taylor no funciona. Este problema pode ser resol-vido com o uso de Sries de Fourier uma vez que trabalhamos comfunes peridicas.1.4 Jean B. Fourier 21.4 Jean B. FourierJean B. Fourier (1768-1830) foi pioneiro na investigao destes proble-mas. No livro Thorie Analytique de la Chaleur, escrito em1822, ele in-troduziu o conceito conhecido atualmente como Srie de Fourier, que muito utilizado nas cincias em geral, principalmente nas reas en-volvidas com: Matemtica, Engenharia, Computao, Msica, Ondu-latria, Sinais Digitais, Processamento de Imagens, etc.2 Funes Peridicas2.1 Conceitos gerais sobre funes peridicasUma funo f: R R peridica, se existe um nmero p R tal quepara todo x R:f(x + p) = f(x)Onmero p umdos perodos de f. s vezes existemvrios nmeroscom esta propriedade, mas o menor nmero real positivo com estacaracterstica chamado perodo fundamental de f, que simplesmentedenominado perodo.Se uma funo ftem perodo p, diz-se que f p-peridica e denota-mos este fato por f(x) = f(x + p).Muitas vezes, vantajoso tomar o perodo p = 2L e a funo denidano intervalo real simtrico[L, L], com o objetivo de simplicar asoperaes.Exemplos: As funesf(x) =sin(x), g(x) =cos(x), h(x) =sin(nx),k(x) = cos(mx) e p(x) = Acos(mx) + B sin(nx) so peridicas.Exerccio: Sejam f e g funes reais.1. Obter o perodo (fundamental) de:f(x) = 3sin(2x) + 4cos(3x)2.2 Ncleo de Dirichlet 3Figura 1: Uma funo peridica2. Se a R e f= f(x) 2L-peridica, mostrar queZa+LaLf(x)dx =ZLLf(x)dx3. Se g(x) =Rx0f(u)du, f= f(x) 2L-peridica e alm dissoZLLf(u)du = 0demonstrar que g 2L-peridica.4. Se g(x) =Rx0f(u)du e g 2L-peridica, mostrar queZLLf(u)du = 02.2 Ncleo de DirichletO Ncleo de Dirichlet denido para todo x R, por:Dn(x) =12 + cos(x) + cos(2x) + + cos(nx) possvel mostrar que se sin(x2) 6= 0, ento:Dn(x) =sin[(n +12)x]2 sin(x2)2.3 Polinmio trigonomtrico 4Como 2 cos(p) sin(q) = sin(p+q)sin(pq), tomando p = kx e q= x/2teremos para todo k = 1, , n:2 cos(kx) sin(x2) = sin[(k + 12)x] sin[(k 12)x]Assim:2 cos(1x) sin(x2) = sin(3x2) sin(1x2)2 cos(2x) sin(x2) = sin(5x2) sin(3x2)2 cos(3x) sin(x2) = sin(7x2) sin(5x2) 2 cos(nx) sin(x2) = sin[(n + 12)x] sin[(n 12)x]Somando membro a membro as igualdades acima e dividindo a somapor 2sin(x2), teremos o resultado.No ponto x = 0, denimosDn(0) =limx0Dn(x) =limx0sin[(n +12)x]2 sin(x2)= n + 12Este valor garantido pelo limite fundamentallimx0sin(x)x= 1Exerccio: Escrever a funo f(x) = B cos(nx) + C sin(nx) na forma:f(x) = Acos(nx )2.3 Polinmio trigonomtricoUm polinmio trigonomtricopn=pn(x) de ordemn uma funo2-peridica da forma:pn(x) =a02+nXk=1[ak cos(kx) + bk sin(kx)]2.4 Srie trigonomtrica 52.4 Srie trigonomtricaUma srie trigonomtrica uma representao f=f(x) em srie defunes trigonomtricas da forma:f(x) =a02+Xk=1[ak cos(kx) + bk sin(kx)]3 Frmulas e integrais trigonomtricas3.1 Algumas frmulas trigonomtricasSe m, n N = {1, 2, 3, }, ento1. cos(m + n)x = cos(mx) cos(nx) sin(mx) sin(nx)2. sin(m + n)x = sin(mx) cos(nx) + sin(nx) cos(mx)3. 2 sin(mx) cos(nx) = sin[(m + n)x] + sin[(mn)x]4. 2 cos(mx) cos(nx) = cos[(m + n)x] + cos[(mn)x]5. 2 sin(mx) sin(nx) = cos[(mn)x] cos[(m + n)x]3.2 Integrais trigonomtricasSe m, n N = {1, 2, 3, }, ento1.Zcos(nx)dx =Zsin(nx)dx =Zsin(mx) cos(nx)dx = 02.Zcos(mx) cos(nx)dx =Zsin(mx) sin(nx)dx = se m = n0 se m 6= n4Funes absolutamente integrveis 64 Funes absolutamente integrveis4.1 Funo integrvel sobre um intervaloUma funo real f: R R integrvel sobre um intervalo real [a, b]seZbaf(u) du < Exemplo: As funes f(x) = cos(mx) e g(x) = sin(nx) so integrveis.4.2 Funo integrvel sobre a reta realUma funo real f: R R integrvel sobre a reta R seZf(u) du < Exemplo: A funo (sinc) f: R R denida por:f(x) =sin(x)xse x 6= 01 se x = 0Figura 2: Funo sincEsta funo integrvel sobre a reta real, poisZsin(x)xdx = 4.3 Funo absolutamente integrvel sobre um intervalo 74.3 Funo absolutamente integrvel sobre um intervaloUmafunoreal f : R Rabsolutamenteintegrvelsobreumintervalo [a, b] se:Zba|f(u)| du < Exemplo: As funesf(x)=cos(mx) eg(x)=sin(nx) so absoluta-mente integrveis sobre intervalos da forma [a, b].4.4 Funo absolutamente integrvel sobre a reta realUma funo real f: R R absolutamente integrvel a reta R seZ|f(u)| du < Exemplo: A funo (sinc) f: R R denida por:f(x) =sin(x)xse x 6= 01 se x = 0no absolutamente integrvel, poisZ|sin(x)x|dx = +5 Sries de Fourier e Coecientes de FourierSeja f(x)=f(x + 2) uma funo integrvel sobre sobre o intervalo[, ] e n N. A srie de Fourier de f a srie trigonomtrica:f(x) a02+Xn=1[an cos(nx) + bn sin(nx)]5 Sries de Fourier e Coecientes de Fourier 8onde a0, an e bn so os coecientes de Fourier de f denidos por:a0=1Zf(x) dxan=1Zf(x) cos(nx) dxbn=1Zf(x) sin(nx) dxO smbolo foi usado aqui, pois nem sempre esta srie de funesconvergeparaf, massef for2-peridicaeseccionalmentedife-rencivel, obteremos a convergncia da srie trigonomtrica, e dessaforma poderemos substituir o sinal pelo sinal de igualdade.Exerccios:1. Seja a funo (sinal) 2-peridica, denida por:f(x) =1 se < x < 00 se x = 01 se 0 < x < Figura 3: Funo sinalMostrar que a srie de Fourier da funo sinal representada porf(x) 4Xk=1sin[(2k 1)x]2k 12. Seja a funo 2-peridica, denida por:5 Sries de Fourier e Coecientes de Fourier 9f(x) = |x|, ( x )Figura 4: Funo modularMostrar que a srie de Fourier desta funo representada porf(x) 2 4Xk=1cos[(2k 1)x](2k 1)2Exemplos:1. Para obter a srie de Fourier da funof(x) =0 se x < 0 se 0 x < Figura 5: Funo sinal transladada para cimadevemos calcular primeiramente os seus coecientes de Fourier:5 Sries de Fourier e Coecientes de Fourier 10a0 =1 {Z00 dx +Z0dx} = e para n N, temosan =1Z0 cos(nx)dx = 0Comobn =1Z0 sin(nx)dx =1 cos(n)nPara n par, obtemos bn = 0 e para n mpar:b2k1 =22k 1(k N)assim a srie de Fourier ser dada porf(x) 2+ 2Xk=1sin[(2k 1)x]2k 1ou sejaf(x) 2+ 2sin(x) + sin(3x)3+ sin(5x)5+ . . .2. Para obter a srie de Fourier da funog(x) = /2 se x < 0/2 se 0 x < basta usar o fato queg(x) =2sinal(x) = 1 se x < 01 se 0 x < e utilizar a srie de Fourier da funo sinal, para obter:5 Sries de Fourier e Coecientes de Fourier 11Figura 6: Funo sinal multiplicada por /2g(x) 2sin(x) + sin(3x)3+ sin(5x)5+ . . .Observao: A partir da srie de Fourier para funes2-peridicaspodemos obter a srie de Fourier para funes peridicas comperodo2L. Basta tomar a mudana de varivel x=t/L para obter a novafuno, agora dependente da varivel t, que ser 2L-peridica e inte-grvel no intervalo simtrico [L, L].Denio: Sef =f(t)umafuno2L-peridicaeintegrvelnointervalo [L, L], a sua srie de Fourier dada por:f(t) a02+Xn=1[an cos(ntL) + bn sin(ntL)]onde os coecientes podem ser dados pelas expresses:an =1LZLLf(t) cos(ntL)dtbn =1LZLLf(t) sin(ntL)dtpara n 1. a0 pode ser obtido se tomarmos n = 0 no coeciente an.Exemplo: A srie de Fourier da funo 4-peridica5.1 Aplicao de srie de Fourier soma de uma srie numrica 12f(t) =t + |t|2=0 se 2 t < 0t se 0 t 2Figura 7: Mdia aritmtica entre t e |t|pode ser obtida com L = 2 (metade do perodo=4). Assim:a0 =12Z20t dt = 1an =12Z20t cos(nt2)dt =2n22((1)n1)bn =12Z20t sin(nt2 )dt = 2(1)nnLogof(t) 12 +Xn=1[(1)n1n22cos(nt2) 2(1)nnsin(nt2)]5.1 Aplicao de srie de Fourier soma de uma srie numricaAtravs da sries de Fourier podemos obter somas de sries num-ricas reais onde difcil (ou at impossvel) estabelecer a regra paradenir a n-sima soma parcial.Exerccio:1. Obter a srie de Fourier da funo2-peridicaf(x)=x2de-nida sobre [, ].6Tipos importantes de simetrias 13Figura 8: Funo parablicaTomar x = na srie de Fourier para obter:S2 =Xn=11n2=262. Obter as sries de Fourier das funes 2-peridicas f(x)=x3eg(x) =x4denidas sobre[, ] e calcular as somas das sriesnumricas:S3 =Xn=11n3e S4 =Xn=11n46 Tipos importantes de simetriasUma funo real T-peridica f= f(t), tem1. simetria par, se para todo t R, f(t)=f(t). As funes paresso simtricas em relao ao eixo vertical t = 0.2. simetria mpar, se para todot R,f(t)= f(t). As funesmpares so simtricas em relao origem (0, 0).3. simetria de meia-onda, se para todo t R, f(t +T2) = f(t).Do ponto de vista geomtrico, o grco da segunda metade dafuno f=f(t) no perodo T a reexo do grco da primeirametade de f=f(t) em relao ao eixo horizontal, deslocada deT2para a direita. Tal situao pode ser vista no grco.6.1 Propriedades de funes com simetrias par e mpar 14Figura 9: Funes com simetrias par e mparFigura 10: Funo com simetria de meia-onda4. simetria de quarto de onda, se para todot R a funoftemsimetria de meia-onda e alm disso, vale uma das alternativasabaixo:(a) f mpar.(b)TransladandofdeT4para a direita (esquerda), a funo setorna par, isto f(t T4) = f(t)6.1 Propriedades de funes com simetrias par e mparSo vlidas as seguintes propriedades:1. A soma de funes pares uma funo par.2. A soma de funes mpares uma funo mpar.7Integrais de funes com simetrias 153. O produto de duas funes pares uma funo par.4. O produto de duas funes mpares uma funo par.5. Oprodutodeumafuno parporumafuno mparumafuno mpar.6. Toda funo real f= f(t) pode ser decomposta na somaf(t) = fp(t) + fi(t)onde fp = fp(t) uma funo par e fi = fi(t) uma funo mpar,denidas respectivamente porfp(t) =f(t) + f(t)2fi(t) =f(t) f(t)2Exemplo: So pares as funes reais:f(x) = cos(nx), f(x) = x2, f(x) = x76So mpares as funes reais:f(x) = sin(nx), f(x) = x, f(x) = x77A funo real identicamente nula , ao mesmo tempo, par e mpar.7 Integrais de funes com simetrias7.1 Propriedades das integrais com simetriasSeja f: R Ruma funo integrvel no intervalo simtrico [L, L].1. Se f= f(t) uma funo par, ento:ZLLf(t) dt = 2ZL0f(t) dt7.2 Propriedades das simetrias para os coecientes de Fourier 162. Se f= f(t) uma funo mpar, ento:ZLLf(t) dt = 07.2 Propriedades das simetrias para os coecientes de FourierSeja f: R R uma funo 2-peridica, integrvel e absolutamenteintegrvel no intervalo simtrico [, ].1. Se f uma funo par, ento bn = 0 e n = 0, 1, 2, 3, :an =2Z0f(x) cos(nx)dx2. Se f uma funo mpar, ento an = 0 e n = 1, 2, 3, :bn =2Z0f(x) sin(nx)dxExemplo: Usando o benefcio da paridade, obteremos a srie de Fourierda funo 2-peridica, denida sobre [, ] por:f(x) = x, ( x )Como f mpar, ento an= 0 e para n 0, basta obter os coecientesbn. Para qualquer n 1, temos:bn =2Z0x sin(nx)dx = 2(1)n+1nlogof(x) 2Xn=1(1)n+1nsin(nx) = 2sin(x) sin(2x)2+ sin(3x)3+ 8Descontinuidade de funes reais 178 Descontinuidade de funes reais8.1 Salto de funo descontnuaSeumafunoreal f =f(x)possuiumadescontinuidadeemumponto p, denimos o salto de f em p comosalto(f)(p) = f(p+) f(p)onde f(p) e f(p+) so, respectivamente, os limites laterais de f es-querda e direita em x = p, isto :f(p) = limxp, xpf(x)8.2 Valor mdio de uma funo em um pontoQuando a funo no est denida no pontox=p mas existem oslimites laterais esquerda e direita emx=p, podemos denir afuno neste ponto como sendo o valor mdio (mdia aritmtica) doslimites laterais esquerda e direita em x = p, isto :f(p) =f(p+) + f(p)2Se f= f(x) uma funo contnua no ponto x, entof(x+) = f(x) = f(x) = f(x)8.3 Descontinuidade de primeira espcieUma funo realf =f(x) tem descontinuidade de primeira espcie(ou de salto nito) em x = p, se satisfaz s trs condies:1. Sobre cada intervalo limitado I da reta real, f contnua, excetono ponto p I;8.4 Descontinuidade de segunda espcie 182. f contnua direita de x = p e contnua esquerda de x = p;3. salto(f)(p) = f(p+) f(p) nito.Exemplo: A funo sinal f: [2, 4] R denida porf(x) = sinal(x) =+1 se x > 00 se x = 01 se x < 0Figura 11: Funo sinal em um intervalo no simtricotem descontinuidade de salto nito em x = 0, pois f contnua sobre[2, 4] exceto em x=0, f contnua direita de x=0, f continua esquerda de x = 0 e alm disso:f(0+) =limx0+f(x) = 1, f(0) =limx0f(x) = 1salto(f)(0) = 2 f(0) = 08.4 Descontinuidade de segunda espcieUma funo realf =f(x) tem descontinuidade de segunda espcie(ou de salto innito) em p, se satisfaz s trs condies:1. Sobre cada intervalo nito I, f contnua, exceto no ponto p I;2. f contnua direita de x = p e esquerda de x = p;3. salto(f)(p) = f(p+) f(p) innito.Exemplo: A funo f : R {0} R {0} denida por f(x)=1/xpossui uma descontinuidade de segunda espcie.9Funes Seccionalmente diferenciveis 19Figura 12: Funo hiperblica9 Funes Seccionalmente diferenciveis9.1 Funo seccionalmente contnuaUma funo real f =f(x) seccionalmente contnua sobre R umafuno que restrita a cada intervalo limitado I R, possui no mximoum nmero nito de descontinuidades de salto nito. Os limites late-rais de f= f(x) esquerda e direita nos pontos de descontinuidadede salto nito pj(j= 1, 2, , n) so indicados, respectivamente, por:f(pj) = limxpjf(x) f(pj+) = limx pj+f(x)e o salto de f em cada pj indicado por:salto(f)(pj) = f(pj+) f(pj)Exemplo: So seccionalmente contnuas sobre R, as funes:1. f(x) = [x] = max{z Z: z x} (funo mximo inteiro)2. g(x) = x [x], g(x) = g(x + 2) (funo dente de serra)3. h(x) = |x|, h(x) = h(x + 2) (funo modular)Exemplo: A funoj : R {0} R, denida porj(x) =1/x no seccionalmente contnua sobre R, pois possui uma descontinuidadede segunda espcie (salto innito) em x = 0.9.2 Lema fundamental 20Exerccio: Construirosgrcosdetodasasfunesdosexemplosacima, observando que tais funes so contnuas sobre cada inter-valo de medida nita.9.2 Lema fundamentalSef : [a, b] R uma funo seccionalmente contnua, entoflimitada e integrvel sobre [a, b].OresultadodesteLemamuitoimportantedopontodevistadasaplicaes, pois muitas funes reais utilizadas na prtica so seccio-nalmente contnuas.9.3 Funo seccionalmente diferencivelUma funo realf =f(x) seccionalmente diferencivel se satisfazs duas propriedades1. f= f(x) seccionalmente contnua;2. A derivada de f= f(x) seccionalmente contnua.Exemplos: So seccionalmente diferenciveis as funes1. f(x) = [x] = max{z Z: z x} (funo mximo inteiro)2. g(x) = x [x], g(x) = g(x + 2) (funo dente de serra)3. h(x) = |x|, h(x) = h(x + 2) (funo modular)mas a funo m(x)=m(x + 2) denida por m(x)=2x2no seccionalmente diferencivel mas somente seccionalmente contnua.10Teorema de Fourier 2110 Teorema de FourierSe f uma funo seccionalmente diferencivel e 2-peridica, a sriede Fourier de f converge uniformemente para o valor mdio de f emcada ponto, isto :f(x) =a02+Xn=1[an cos(nx) + bn sin(nx)]Quando f contnua em x, escreveremos simplesmentef(x) =a02+Xn=1[an cos(nx) + bn sin(nx)]11 Aproximao de funo pela srie de FourierTeorema de Weierstrass: Sef uma funo contnua real peridicade perodo 2, ento f pode ser aproximada uniformemente por umasequncia de polinmios trigonomtricos da formaSn(f)(x) =a02+nXk=1[ak cos(kx) + bk sin(kx)]Este teorema fundamental na Teoria de Aproximao de funes,sendo muito usado emAnlise Numrica e comele, podemos mostrara relao grca existente entre uma funofe asn-simas somasparciais (n-simas reduzidas) da srie de Fourier de f.Este estudo pode ser estendido a funes 2-peridicas seccionalmentediferenciveis.Exemplo: A funof(x) = |x|, 2-peridica, denida sobre[, ],possui desenvolvimento de Fourier dado por:f(x) =2 4cos(x) + 19 cos(3x) +125 cos(5x) + . . .11Aproximao de funo pela srie de Fourier 22EstafunosatisfazshiptesesdosTeoremasdeWeierstrassedeFourier, assim podemos garantir a igualdade defcom a sua srie egarantir a convergncia uniforme da srie. Temos ento que:limnSn(f)(x) = f(x)Utilizandogrcos, mostraremosoprocessodeaproximaodefcom estas primeiras somas parciais.Figura 13: Funo modular com a 1a. e 2a. aproximaesFigura 14: Funo modular com a 3a. e 4a. aproximaesAs somas parciais (reduzidas) desta srie de Fourier, sero denotadaspor S1(f), S2(f), S3(f), S4(f), e neste caso:12O fenmeno de Gibbs e a srie de Fourier 23S1(f) =2S2(f) =2 4 cos(x)S3(f) =2 4[cos(x) + cos(3x)9]S4(f) =2 4[cos(x) + cos(3x)9+ cos(5x)25]Quando n aumenta arbitrariamente (n ) entoSn(f) fe ob-servamos pelos grcos que S4(f) j representa uma boa aproximaopara f sobre [, ].12 O fenmeno de Gibbs e a srie de FourierSef =f(x) uma funo seccionalmente diferencivel e absoluta-mente integrvel, o Teorema de Fourier garante que a srie de Fourierde f=f(x) converge uniformemente para fem todo o intervalo fe-chado que no contm pontos de descontinuidade de f.Se existir um ponto de descontinuidade neste intervaloI, a conver-gncia no poder ser uniforme em I. Gibbs estudou a convergnciada srie de Fourier prximo a umponto p de descontinuidade e desco-briu uma curiosidade, que conhecida como fenmeno de Gibbs.Se denimos a oscilao da soma parcial de ordem n no ponto x=pporn(Sn, p) = max Sn(f) min Sn(f)Gibbs observou que o valor desta oscilao no se aproxima do saltode f no ponto x = p, independente do grau de proximidade de x comp.Na verdade, a soma parcial da srie de Fourier ultrapassa o valor li-mite da funo (sinal no nosso exemplo) direita e tem valor menor13Sries de Fourier de Senos e Cossenos (Extenses) 24Figura 15: Fenmeno de Gibbs com a 1a. e 2a. aproximaesFigura 16: Fenmeno de Gibbs com a 3a. e 4a. aproximaesdo que a funo (sinal do nosso exemplo grco). Esta uma formanatural de compensar o salto que a soma parcial realizar.13 Sries de Fourier de Senos e Cossenos (Extenses)13.1 O papel das extenses de funesAo estudar Equaes Diferenciais Parciais, muitas vezes necessitamosestenderodomniodeumafuno2L-peridicaqueestdenidaapenas sobre o meio intervalo [0, L] ao intervalo completo [L, L] paranos beneciarmos da simetria da funo no intervalo simtrico.A idia estender o domnio da funo f=f(x) que [0, L] a todo ointervalo [L, L], de modo que a extenso fe seja uma funo par oumpar e ento construir a srie de Fourier da extenso.Vamos supor que o domnio de f= f(x) seja [0, ] e alm disso13.1 O papel das extenses de funes 25f(x) =Xn=0An cos(nx)Devemos estender esta funo f =f(x) a todo o intervalo simtrico[, ] de modo que a extenso seja uma funo par, pois a funodada est desenvolvida em srie de cossenos.A extenso par pode ser denida porf2(x) =f(x) se x < 0f(x) se 0 x Observamos que a extenso f2 coincide com a funo f sobre o inter-valo [0, ].Suponhamos agora que o domnio de f= f(x) seja [0, ] e alm dissof(x) =Xn=1Bn sin(nx)Devemos estender esta funo f =f(x) a todo o intervalo simtrico[, ] de modo que a extenso seja uma funo mpar, pois a funodada est desenvolvida em srie de senos.A extenso mpar pode ser denida porf1(x) = f(x) se x < 0f(x) se 0 x A extenso f1 coincide com a funo f sobre o intervalo [0, ].Pelas denies acima, f1=f1(x) uma extenso mpar e f2=f2(x) uma extenso par. Estas extenses so denidas e integrveis sobreointervalo[, ], coincidindocomf =f(x)sobreametadedointervalo [0, ].A partir do exposto acima, a funo f1 a extenso mpar de fe f2 chamada a extenso par de f.13.2 Extenses de funes 2-peridicas 2613.2 Extenses de funes 2-peridicas1. A srie de Fourier da extenso mpar f1, denominada a srie deFourier de senos da funo f, dada por:f(x) Xn=1bnsin(nx)sendo que para cadan N, os coecientes mpares de Fourierso:bn =2Z0f(x) sin(nx) dx2. A srie de Fourier da extenso par f2, chamada a srie de Fourierde cossenos da funo f, dada por:f(x) a02+Xn=1ancos(nx)sendo que para cada n N, os coecientes pares de Fourier sodados por:an =2Z0f(x) cos(nx) dxExemplo: Para obter a extenso par da funo f(x) = x denida sobreo meio-intervalo [0, ], construiremos a extenso f2, que no intervalo[, ] dada por:f2(x) = |x|Comof2 par, os coecientes mpares so nulos, isto ,bn=0 paratodo n N e os coecientes pares an so dados por:a0 =2Z0x dx = ean =2Z0x cos(nx) dx =2n2(cos(n) 1)logof(x) 2 4cos(x) + 19 cos(3x) +125 cos(5x) + . . .13.2 Extenses de funes 2-peridicas 27Exemplo: Para a srie de Fourier de senos da funo f(x)=1 sobrex [0, ], devemos tomar a extenso mpar f1 de fque no intervalo[, ] ser dada por:f1(x) = sinal(x) = 1, < x 0+1, 0 < x Comof1 mpar, os coecientes pares so nulos, isto , an=0 e oscoecientes mpares bn so dados por:bn =2Z0sin(nx)dx =2n(1 cos(n)) =2(1 (1)n)nAssim, bn=0 se n par, mas se n mpar da forma n=2k 1 ondek N, temos que:b2k1 =4(2k 1)logof(x) 4sin(x) + 13 sin(3x) + 15 sin(5x) + Exemplo: Seja a funo de f(x)=cos(x) sobre x [0, ]. Para obtera srie de Fourier de Senos, devemos estender esta funo f funompar f1 denida por:f1(x) =cos(x) < x 0cos(x) 0 < x Como f1 mpar, temos que an = 0 e os bn so dados por:bn =2Z0cos(x) sin(nx)dxque fornece b1 = 0 e para n > 1, obtemos:bn =2n1 + (1)nn2113.3 Extenses de funes 2L-peridicas 28Como bn = 0 para todo n mpar, assim basta tomar n = 2k e os coeci-entes pares:b2k=8k4k21A funof(x)=cos(x) inicialmente denida sobre o meio-intervalo[0, ], possui a extenso mpar de f1(x) = cos(x) denida sobre todo ointervalo [, ], tendo a srie de Fourier:cos(x) 8Xk=1k4k21 sin(2kx)13.3 Extenses de funes 2L-peridicasComo zemos antes, podemos denir as sries de Fourier de senose cossenos para funes2L-peridicas denidas sobre um intervalo[L, L]. Se a funof =f(t) 2L-peridica, a sua srie de Fouriersobre [L, L] denida por:f(t) a02+Xn=1an cos(ntL) + bn sin(ntL)

onde os coecientes de Fourier so dados por:an =1LZLLf(t) cos(ntL)dtbn =1LZLLf(t) sin(ntL)dtProposio: Sejafuma funo2L-peridica e denida sobre meio-intervalo [0, L].(1)Se f par ento bn = 0 (n 1) e para n 0:an =2LZL0f(t) cosntLdt14Outras formas de apresentar uma Srie de Fourier 29A srie de Fourier tem a forma:f(t) a02+Xn=1an cosntL(2)Se f mpar ento an = 0 (n 0) e para n 1:bn =2LZL0f(t) sinntLdtNeste caso, a srie de Fourier ter a forma:f(t) Xn=1bn sinntL14 Outras formas de apresentar uma Srie de Fourier14.1 Forma simplicada da Srie de FourierComo sempre possvel escrever g(t) = B cos(nt)+C sin(nt) na formag(t) =Acos(nt ), ento podemos escrever a srie de Fourier emuma forma simplicada contendo somente funes cosseno na soma.Para uma funo 2-peridica f= f(t), escreveremos:f(t) a02+Xn=1An cos(nt )14.2 Forma complexa da Srie de FourierA forma complexa da srie de Fourier de uma funo peridica real fpode ser obtida como uma combinao linear de funes exponenciaiscomplexas.Sejaf =f(x) uma funo real2-peridica. A forma complexa dasrie de Fourier de f= f(x) dada por:14.2 Forma complexa da Srie de Fourier 30f(x) Xn=cneinxonde o coeciente de Fourier complexo dado por:cn =12Zf(x)einxdxpara cada nmero n Z= { , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, }.Observao: Se a funof =f(t) 2L-peridica, o coeciente com-plexo de Fourier para f= f(t) denido para cada n Z, comocn =12LZLLf(t) eint/Ldtsendo a srie de Fourier representada porf(t) Xn=cneint/LExemplo: Seja f(t) = t, for t (1, 1) e f(t +2) = f(t). Os coecientescomplexos {cn} da srie de Fourier de f= f(t) so dados por c0 = 0 ecn =12Z11t eintdtCom alguns clculos obtemos:cn = 12einin+ eininein(in)2+ein(in)2

Como ei= ei= 1, simplicamos cn para:cn =(1)n(in)14.3 Relao entre coecientes reais e complexos 31logo, a forma complexa da srie de Fourier de f= f(t) ser:f(t) Xn=1(1)n+1in[einteint]que pode ser escrita na formaf(t) 2Xn=1(1)n+1nsin(nt)14.3 Relao entre coecientes reais e complexosExiste uma ntima relao entre os coecientes de Fourier reais e com-plexos para uma funo peridica f.Teorema: Se f uma funo 2-peridica, {an} e {bn} os coecientesde Fourier reais, {cn} os coecientes complexos de Fourier de f, entoexistem trs relaes que fazem a conexo entre estes coecientes dasrie de Fourier:(1) c0 =12a0(2) cn =12(anibn) (n 1)(3) cn =12(an + ibn) (n 1)Demonstrao: Seja a forma real da srie de Fourier para f dada por:f(x) a02+Xn=1(an cos(nx) + bn sin(nx))onde a0, an e bn so nmeros reais. Como para todo nmero complexoz C vale a relao de Euler:ez= cos(z) + i sin(z)14.3 Relao entre coecientes reais e complexos 32e em particular, obtemoseinx= cos(nx) + i sin(nx) e einx= cos(nx) i sin(nx)A partir da, podemos escrever que:cos(nx) =12(einx+ einx) e sin(nx) =12(einxeinx)Substituindo estas duas ltimas expresses na srie de Fourier comcoecientes reais, teremos:f(x) a02+Xn=1[an2(einx+ einx) +bn2i(einxeinx)]que pode ser escrita na forma:f(x) a02+Xn=1(anibn2) einx+Xn=1(an + ibn2) einxTomando n 1 ec0 =12a0, cn =12(anibn), cn =12(an + ibn)teremos a srie:f(x) c0 +Xn=1cneinx+Xn=1cneinxisto f(x) 1Xn=cneinx+ c0 ei0x+Xn=1cneinx15Conexo entre a srie de Fourier e a sua derivada 33que nalmente pode ser escrita na forma:f(x) Xn=cneinxEste teorema garante que a forma complexa da srie de Fourier coincidecom a forma real da srie de Fourier. Cada uma das formas pode serusada para tirar vantagem das propriedades matemticas envolvidascom o contexto fsico. No estudo de Sinais Digitais, Comunicao deDados ou Computao Grca, til trabalhar com a srie complexa.15 Conexo entre a srie de Fourier e a sua derivada15.1 A derivada da srie de FourierH uma conexo entre os coecientes complexos da srie de Fourierde uma funo f e os correspondentes coecientes da srie de Fourierda derivada de f.Teorema: Se f uma funo diferencivel 2L-peridica ef(x) Xn=cneinx/Lentof0(x) Xn=inLcneinx/L15.2 Resoluo de EDOL com sries de FourierInicialmente, Fourier estudava processos para resolver Equaes Di-ferenciais Ordinrias Lineares (EDOL). Realizaremos a anlise de al-15.3 Soluo de uma EDOL de primeira ordem por Srie de Fourier 34gumas EDOL com coecientes constantes de ordem 1 e 2, ao invs deestudar o caso geral.L(y) = y(n)+ an1 y(n1)+ + a1y0 + a0 y= f(x)onde f= f(x) uma funo 2-peridica.15.3 Soluo de uma EDOL de primeira ordempor Srie de FourierSeja f uma funo 2-peridica. Obteremos as solues peridicas daEDOL:y0 + ay= f(x)Vamos considerar que f= f(x) possua a srie de Fourier, sendo fn osseus coecientes complexos de Fourier, isto :f(x) Xn=fneinxSeja y= y(x) uma soluo 2-peridica da equao diferencial dada evamos assumir que y= y(x) possui a srie de Fouriery(x) Xn=yneinxonde yn so os coecientes complexos de Fourier de y= y(x).Substituindo estas duas representaes na EDOL dada, obteremos doissomatrioscujoscoecientescomplexosdeFouriercoincidemparatodo n Z, isto inyn + ayn = fndonde segue que para todo n Zyn =fna + in15.4 Soluo de uma EDOL de segunda ordem por Srie de Fourier 35Assim, se conhecermos os coecientesfn, ns teremos a soluo daequao diferencial dada por:y(x) =Xn=fna + ineinx15.4 Soluo de uma EDOL de segunda ordempor Srie de FourierSejafuma funo2-peridica. Estudaremos agora as solues pe-ridicas da EDOL de segunda ordem:y00 + ay0 + by= f(x)Consideraremos a srie de Fourier de f, dada porf(x) Xn=fneinxe a srie de Fourier da funo incgnita y= y(x), dada pory(x) Xn=yneinxonde yn so os coecientes complexos de Fourier de y= y(x).Ao substituir estas representaes na EDOL dada, obteremos dois so-matrios cujos coecientes de Fourier coincidem para todo n Z:(inL)2+ ainL+ b

yn = fndonde segue que para todo n Zyn =fn(inL)2+ ainL+ bAssim, se conhecermos os coecientesfn, ns teremos a soluo daequao diferencial dada por:y(x) =Xn="fn(inL)2+ ainL+ b#einxREFERNCIAS BIBLIOGRFICAS UTILIZADAS 36O que zemos pode ser estendido a EDOL com coecientes constan-tes de ordem n maior do que 2.Referncias bibliogrcas utilizadas[1] Figueiredo, Djairo Guedes Anlise de Fourier e Equaes Diferenciais Parciais,Coleo Euclides, IMPA/CNPq, Rio de Janeiro, 1986.[2] Kaplan, Wilfred, Clculo Avanado, Edgard Blcher Editora e EDUSP, (1972),So Paulo, Brasil.[3] Kolmogorov, A.N. e Fomin, S.V., Elementos de la Teoria de Funciones y del Ana-lisis Funcional, Editorial MIR, (1972), Moscou.[4] Quevedo, Carlos P., Circuitos Eltricos, LTC Editora, (1988), Rio de Janeiro, Bra-sil.[5] Spiegel, Murray, Anlise de Fourier, Coleo Schaum, McGraw-Hill do Brasil,(1976), So Paulo, Brasil.