SINTONIA ROBUSTA DE ESTABILIZADORES DE SISTEMA DE POTÊNCIA ... · ESTABILIZADORES DE SISTEMAS DE...
127
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DOUTORADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA BETÂNIA GOMES DA SILVA FILHA SINTONIA ROBUSTA DE ESTABILIZADORES DE SISTEMA DE POTÊNCIA PARA CONTROLE DE PEQUENAS PERTURBAÇÕES Salvador – Bahia - Brasil ©Betânia Gomes da Silva Filha, Julho de 2017
Transcript of SINTONIA ROBUSTA DE ESTABILIZADORES DE SISTEMA DE POTÊNCIA ... · ESTABILIZADORES DE SISTEMAS DE...
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA DOUTORADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
BETÂNIA GOMES DA SILVA FILHA
SINTONIA ROBUSTA DE ESTABILIZADORES DE SISTEMA DE POTÊNCIA PARA CONTROLE DE PEQUENAS
PERTURBAÇÕES
Salvador – Bahia - Brasil ©Betânia Gomes da Silva Filha, Julho de 2017
Betânia Gomes da Silva Filha
SINTONIA ROBUSTA DE ESTABILIZADORES DE SISTEMA DE POTÊNCIA PARA CONTROLE DE PEQUENAS
PERTURBAÇÕES
Tese apresentada à Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal da Bahia, em cumprimento às exigências para obtenção do Grau de Doutor em Engenharia Elétrica.
Fernando Augusto Moreira, Dr. Orientador
Alexandre Cézar de Castro, Dr.
Orientador
Salvador – Bahia Julho de 2017
À minha família, pelo apoio e incentivo em todos os meus projetos
Agradecimentos
Primeiramente agradeço a Deus que vem me guiando com sabedoria e
misericórdia até aqui.
Agradeço aos meus orientadores Fernando Moreira, por sua boa vontade
e colaboração e Alexandre Castro por todo apoio, sem os quais eu não
conseguiria concluir essa tese.
Ao professor José Mario Araújo pelo incentivo e palpites fundamentais
para a construção desse trabalho.
Aos professores Humberto Araújo, Niraldo Ferreira e Rodrigo Ramos
pelas sugestões valiosas em minha qualificação que contribuíram muito para o
enriquecimento desse trabalho. Ao professor Rodrigo, muito obrigada também
pelo material disponibilizado.
À Universidade Federal da Bahia que me abriu as portas para que eu
pudesse desenvolver esse trabalho e a todos os professores que gentilmente
aceitaram participar da banca.
Ao meu marido, Ivo Tebexreni, pela paciência e apoio quando me
encontrava exausta da rotina dividida entre as atividades acadêmicas e o
trabalho, não permitindo que eu desanimasse.
Aos meus pais, que torcem por mim e me apoiam incondicionalmente.
Não tem sido fácil, mas até aqui me ajudou o Senhor e o apoio de vocês
foi fundamental neste processo.
Sumário
Sumário
Lista de Figuras ................................................................................................. I
Lista de Tabelas .............................................................................................. IV
Lista de Abreviaturas ....................................................................................... V
Resumo ............................................................................................................ VI
Abstract ........................................................................................................... VII
1. APRESENTAÇÃO E JUSTIFICATIVA ........................................................ 1
1.1. OBJETIVOS ................................................................................................... 2
1.1.1. Objetivos Específicos .......................................................................................... 2
1.2. ORGANIZACÃO DO TRABALHO ................................................................... 3
2. ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA .................. 4
2.1. OSCILAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ......................... 4
2.2. NATUREZA DAS OSCILAÇÕES ELETROMECÂNICAS ................................ 5
2.3. ANÁLISE MODAL NO SISTEMA DE POTÊNCIA ........................................... 8
2.3.1. Mode-Shapes ................................................................................................... 13
2.3.2. Análise modal no domínio da frequência.......................................................... 14
2.3.3. Utilização de valores singulares ........................................................................ 17
2.3.4. Matriz de Ganhos Relativos .............................................................................. 19
2.4. AMORTECIMENTO DOS MODOS DE OSCILAÇÃO ELETROMECÂNICOS. . 21
2.4.1. Robustez .......................................................................................................... 21
2.4.2. Tempo de Resposta do Sistema ........................................................................ 22
2.4.3. Amortecimento Mínimo dos Modos ................................................................. 22
3. MODELAGEM DINÂMICA DE SISTEMA DE POTÊNCIA ........................ 24
3.1. MODELOS DE GERADORES SÍNCRONOS ................................................ 24
3.2. EXCITAÇÃO DOS GERADORES ................................................................. 26
3.2.1. Modelo tipo ST1A ............................................................................................ 27
3.2.2. Modelo tipo ST1A do IEEE simplificado............................................................. 28
3.2.3. Modelo DC4B ................................................................................................... 29
3.3. MODELO DE CARGA-FREQUÊNCIA .......................................................... 30
3.3.1. Obtenção do modelo de uma área ......................................................................... 31
3.4 MODELO DE SISTEMA COM AS ÁREAS INTERLIGADAS .............................. 34
4. ESTABILIZADORES DE SISTEMAS DE POTÊNCIA .............................. 37
4.1. COMPOSIÇÃO BÁSICA DOS ESTABILIZADORES DE SISTEMAS DE
POTÊNCIA .............................................................................................................. 37
4.2. ESTRUTURA DE CONTROLE DOS ESP ..................................................... 40
4.3. HISTÓRICO DOS ESTABILIZADORES DE SISTEMA DE POTÊNCIA ........ 41
4.4. CONTROLE ROBUSTO APLICADO AO ESTABILIZADOR DE SISTEMA DE
POTÊNCIA .............................................................................................................. 44
4.5. CONCLUSÃO ............................................................................................... 46
5. PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS DESCENTRALIZADOS 48
5.1. INCERTEZAS EM MODELOS DE SISTEMAS ............................................. 48
5.1.1. Incertezas não estruturadas ............................................................................. 50
5.1.2. Efeito das Incertezas na Sensibilidade e Resposta do Sistema ................ 52
5.2. DETERMINACÃO DOS CRITÉRIOS DE ESTABILIZAÇÃO ROBUSTA........ 53
6. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO APLICADOS AO CONTROLE ROBUSTO
H∞ UTILIZADOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA ........................................... 57
6.1. ALGORITMOS GENÉTICOS ........................................................................ 57
6.2. ENXAME DE PARTÍCULAS (PSO) ............................................................... 60
6.3. RECOZIMENTO SIMULADO – SIMULATED ANNEALING .......................... 63
6.4. FUNÇÃO FITNESS E AS FUNÇÕES PENALIDADES. ................................. 65
7. PROCEDIMENTO DE POSICIONAMENTO E SINTONIA DOS
CONTROLADORES ........................................................................................ 66
7.1. SELEÇÃO DOS PARES DE ENTRADA E SAÍDA ........................................ 67
7.2. PARAMETRIZAÇÃO DOS CONTROLADORES ........................................... 68
7.3. APLICAÇÃO EM UM SISTEMA TESTE........................................................ 69
7.3.1. Análise modal do sistema teste ........................................................................ 70
7.3.2. Seleção do método de otimização .................................................................... 75
7.4. CONCLUSÕES............................................................................................. 80
8. APLICAÇÃO ............................................................................................. 81
8.1. SISTEMA NEW ENGLAND........................................................................... 81
8.1.1. Seleção de Geradores ...................................................................................... 82
8.1.2. Sintonia do controlador ................................................................................... 83
8.1.3. Resultados Obtidos .......................................................................................... 85
8.2. SISTEMA NEW ENGLAND/ NEW YORK ..................................................... 86
8.2.1. Seleção dos geradores ..................................................................................... 89
8.2.2. Sintonia do controlador ................................................................................... 90
8.2.3. Seleção do método de otimização .................................................................... 90
8.3. DESEMPENHO DOS CONTROLADORES SINTONIZADOS UTILIZANDO GA ....... 95
9. CONCLUSÃO .......................................................................................... 101
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................. 103
I
Lista de Figuras
Figura 1: Modo local (a) e modo interárea (b) .................................................... 7
Figura 2: Sistema de potência com controlador ............................................... 18
Figura 3: Cone no plano complexo ................................................................... 23
Figura 4: Esquemas dos controles principais de um gerador ........................... 26
Figura 5: Diagrama de blocos do sistema de excitação tipo ST1A .................. 27
Figura 6: Diagrama de blocos do sistema ST1A simplificado ........................... 28
Figura 7: Diagrama de blocos do modelo de excitacão tipo DC4B .................. 29
Figura 8: Áreas de controle .............................................................................. 31
Figura 9: Diagrama de blocos do sistema com 3 áreas ................................... 36
Figura 10: Modelo básico de um estabilizador clássico ................................... 38
Figura 11: Comparação ilustrativa do sistema real com seu modelo ............... 49
Figura 12: Formas comuns de incertezas não estruturadas............................. 50
Figura 13: Representação das incertezas como matrizes de ponderação ....... 51
Figura 14: Estrutura M∆ do sistema ................................................................. 54
Figura 15: Esquema básico de um algoritmo genético ..................................... 58
Figura 16: Funcionamento do crossover uniforme ........................................... 60
Figura 17: Fluxograma de um PSO básico....................................................... 62
Figura 18: Algoritmo recozimento simulado ..................................................... 64
Figura 19: Valores singulares do sistema em dB versus ω em rad/s, para os
pares (Ptie1, PC3) e (Ptie2, PC1) ............................................................. 72
Figura 20: Valores singulares do sistema em dB versus em rad/s, para os pares
(Ptie1, PC3), (Ptie2, PC1) e (f2, PC2) ................................................... 73
Figura 21: Valores singulares máximo e mínimo de G ..................................... 74
II
Figura 22: Valores Singulares do sistema usando controladores obtidos usando
GA, PSO e SA .................................................................................................. 76
Figura 23: Resposta ao degrau ........................................................................ 77
Figura 24: Resposta ao impulso ....................................................................... 77
Figura 25: Valores singulares dos três métodos .............................................. 78
Figura 26: Verificação da robustez, com a ausência do controlador 1 ............. 79
Figura 27: Verificação da robustez utilizando PTIE =0,75. ............................... 79
Figura 28: Diagrama unifilar do sistema New England. .................................... 81
Figura 29: Valores singulares do sistema New England. ................................. 85
Figura 30: Teste de robustez dos controladores .............................................. 85
Figura 31: Diagrama de polos do sistema New England com ESP .................. 86
Figura 32: sistema New York/New England ..................................................... 87
Figura 33: Autovalores do sistema sem controladores ..................................... 88
Figura 34: Valores singulares do sistema sem Controladores ......................... 88
Figura 35: Valores singulares do sistema com controladores sintonizados pelos
3 métodos ......................................................................................................... 92
Figura 36: Diagrama de polos do sistema com controlador sintonizado por GA
......................................................................................................................... 93
Figura 37: Diagrama de polos do sistema com controlador sintonizado por PSO
......................................................................................................................... 93
Figura 38: Diagrama de polos do sistema com controlador sintonizado por SA
......................................................................................................................... 94
Figura 39: Verificação de robustez do sistema, sintonizado pelos três métodos
......................................................................................................................... 94
Figura 40: Robustez do benchmark x método com GA .................................... 96
III
Figura 41: Escorregamento relativo para G3, G9 e G15, no primeiro caso ...... 98
Figura 42: Escorregamento relativo para G3, G9 e G15, no segundo caso ..... 99
IV
Lista de Tabelas
Tabela 1: Parâmetros do controlador ............................................................... 75
Tabela 2: MGR do sistema New England......................................................... 83
Tabela 3: Parâmetros dos ESP no sistema New England................................ 84
Tabela 4: Matriz MGR dos 12 primeiros geradores do sistema ........................ 89
Tabela 5: Controladores sintonizados pelos 3 métodos ................................... 91
Tabela 6: Parâmetros dos controladores do benchmark .................................. 95
Tabela 7: Amortecimento dos modos de oscilação dominantes no sistema .. 100
V
Lista de Abreviaturas
AG: Otimização por Algoritmos Genéticos
ESP: Estabilizadores do Sistema de Potência
FACTS: Flexible AC Transmission Systems
MFTfr: Matriz de funções de transferência de respostas frequenciais.
MGR: Matriz de Ganhos Relativos
MIMO: Multiple Input Multiple Output
ONS: Operador Nacional do Sistema Elétrico
POD: Power Damping Oscillations
PSO: Otimização por Enxame de Partículas
RAT: Regulador Automático de Tensão
SISO: Single Input Single Output
SA: Simulated Annealing Optimization
VI
Resumo
Esta tese apresenta uma metodologia de sintonia de controle robusto,
baseado na norma H∞, a ser aplicado em Estabilizadores de Sistema de
Potência. O objetivo destes estabilizadores é fornecer um torque de
amortecimento aos sistemas multimáquinas, quando estes são submetidos a
oscilações de baixa frequência.
O projeto apresentado utiliza-se de uma combinação de MGR e valores
singulares, adaptada para sistemas de grande porte, no intuito de simplificar a
aplicação dos controladores, reduzindo a ordem dos mesmos, sem necessidade
de reduzir o sistema. Após isso, são aplicadas as técnicas de otimização
Algoritmos Genéticos, Enxame de Partículas e Recozimento Simulado, que são
diferentes técnicas baseadas em heurísticas, com a finalidade de determinar os
parâmetros dos controladores com um desempenho robusto.
Requisitos como estabilidade, robustez, e amortecimento das oscilações
foram combinadas para determinar o bom desempenho dos estabilizadores e a
eficácia do método.
Os resultados mostraram que é possível obter controladores de baixa
ordem, sem necessariamente reduzir o sistema, demonstrando que a aplicação
da metodologia apresentada é promissora para estudos de estabilidade a
pequenas perturbações, para sistemas de qualquer porte.
Palavras-chave: sistemas de potência; matriz de Ganhos Relativos;
Valores Singulares; controle robusto; Estabilizadores de Sistema de Potência;
Algoritmos Genéticos; Enxame de Partículas e Recozimento Simulado.
VII
Abstract
This thesis presents a methodology of robust control tuning, based on the
H∞ norm, to be applied in Power System Stabilizers. The purpose of these
stabilizers is to provide damping torque to multi-machine systems when they are
under low frequency oscillations.
The presented project uses a combination of RGA and singular values,
adapted for large systems, in order to simplify the application of the controllers,
reducing their order, without reducing the system. After that, the techniques of
optimization of Genetic Algorithms, Particle Swarm and Simulated Annealing,
different techniques based on heuristics, are applied, in order to determine the
parameters of the controllers with a robust performance.
Requirements such as stability, robustness, and damping of the
oscillations were combined to determine the good performance of the stabilizers
and the effectiveness of the method.
The results show is possible to obtain low order controllers without
necessarily reducing the system, demonstrating that the presented methodology
is promising for small perturbation stability studies, applied on systems with any
size.
Keywords: Relative Gains Array; Singular Values; Robust control; Power System
Stabilizers; Genetic Algorithms; Particle Swarm and Simulated Annealing.
1
1. APRESENTAÇÃO E JUSTIFICATIVA
Os sistemas elétricos atuais costumam ser de grande porte e trabalhar em
seus limites. Isso torna-os vulneráveis às oscilações eletromecânicas, mesmo as
de menor amplitude. Como funcionam de acordo com a demanda exigida
durante o dia, costumam variar seu ponto de operação, colaborando para que
aumente a probabilidade de algum gerador sair de sincronismo. Oscilações no
sistema de potência trazem prejuízo pois acabam por limitar a potência
transmitida, além aumentar a possibilidade de se ter paradas não programadas
reduzindo a oferta de energia. Além disso, a segurança do sistema tem um efeito
significativo sobre o preço da eletricidade, afetando diretamente a
competitividade do sistema no contexto de Mercado (GÓMEZ-EXPÓSITO,
2011).
A estabilidade com pequenas perturbações é traduzida pela existência de
amortecimento positivo para todos os modos naturais de oscilação do sistema,
quando os mesmos são excitados por perturbações de menor amplitude, ou
mesmo flutuações normais de carga (AYRES, 2005). Portanto, o amortecimento
dessas oscilações tornou-se o pré-requisito para uma operação segura de um
sistema elétrico e a preocupação de engenheiros e operadores (CASTRO,
2006).
Para um controle eficaz dessas oscilações é imprescindível a análise e
conhecimento de fatores como a natureza, tipos, frequências das oscilações
mais preocupantes e etc. As técnicas lineares tradicionais utilizadas para projetar
a maioria dos controladores apresentam um baixo desempenho devido ao fato
de que esses métodos não consideram também as variações nas condições de
operação, a variação de parâmetros do sistema devido a falhas, e também a
parte da dinâmica do sistema.
Com o objetivo de melhorar a estabilidade de sistemas de potência,
considerando a dinâmica do sistema, pode ser aplicado um sinal de controle
suplementar às malhas de controle de regulação dos geradores. Esse sinal de
2
controle suplementar é gerado por circuitos compensadores, conhecidos como
estabilizadores de sistemas de potência (ESP).
O tipo de compensação convencional avanço-atraso do ESP é
amplamente aceito na indústria devido à sua simplicidade (RAO E SEN, 2000).
O Controle por ESP tem sido utilizado por várias décadas e seu uso está
consolidado no setor de energia em todo o mundo. Hoje em dia, quase todos os
sistemas de geração de energia estão equipados com ESPs. No entanto, alguns
deles permanecem desligados para evitar efeitos prejudiciais entre diferentes
controladores.
Já é conhecido que o ESP, quando ajustado adequadamente, pode
proporcionar controle robusto de um sistema de energia (KUNDUR et al, 1989;
GIBBARD, 1991). Então, o desenvolvimento de uma metodologia cuja
preocupação básica consiste em explorar a estrutura de controle já existentes
na indústria de energia, evita a substituição prematura do ESP por controladores
com novas estruturas, tornando mais eficientes os métodos existentes, sem a
necessidade de grandes investimentos no setor elétrico.
1.1. OBJETIVOS
Esse trabalho tem como objetivo propor um procedimento para sintonizar
ESP de baixa ordem, visando a obtenção de um controle robusto H∞ para
amortecimento de pequenas oscilações em um sistema de potência.
As proposições clássicas de domínio da frequência do controle robusto H∞,
juntamente com um procedimento de otimizações, serão usados para determinar
os ganhos do ESP e as constantes de tempo. Os geradores onde os ESP’s
devem ser inseridos são previamente selecionados, de acordo com a sua
influência no sistema, e estes ESP’s serão simultaneamente ajustados
1.1.1. Objetivos Específicos
Para cumprir o objetivo principal, o projeto deverá seguir as seguintes etapas:
3
• Utilizar técnicas frequenciais para seleção dos geradores onde serão
colocados os ESPs.
• Sintonizar os ESP’s de modo que sejam amortecidas as oscilações
eletromecânicas dos sistemas
• Propor métodos de otimização que melhor se adaptem ao processo de
obtenção dos parâmetros do ESP, fazendo a comparação entre eles.
• Testar a eficácia do controlador quando o sistema tem um comportamento
não linear.
1.2. ORGANIZACÃO DO TRABALHO
Esta tese foi distribuída em 8 capítulos, além desta introdução. Os
capítulos estão organizados da seguinte maneira:
O capítulo 2 traz uma revisão bibliográfica sobre estabilidade de sistema
de potência, e disserta sobre a natureza das oscilações e sobre a análise modal
nos sistemas de potência.
O capítulo 3 apresenta diferentes modelos dinâmicos de sistema de
potência.
O capítulo 4 faz um apanhado histórico até o estado da arte dos ESP, e
apresenta seus modelos.
No capítulo 5 é mostrado o projeto do controlador que será aplicado no
sistema descrito no capítulo 8
O capítulo 6 descreve os métodos de otimização selecionados para serem
aplicados na parametrização dos controladores propostos.
A explicação de como a metodologia será aplicada aos sistemas, bem
como os critérios que serão levados em conta estão no capítulo 7.
Por fim, o capítulo 8 traz os resultados da aplicação dos ESP nos sistemas
New England e New England/New York e o capítulo 9, as considerações finais.
4
2. ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
A estabilidade de sistemas elétricos de potência refere-se à capacidade que
esses sistemas possuem de se manter em equilíbrio sob condições normais de
operação, bem como a de atingirem um estado aceitável de equilíbrio após
serem submetidos a distúrbios ou perturbações (KUNDUR,1994; IEEE/CIGRE,
2004). Os sistemas de geração de energia elétrica podem perder a estabilidade
por falta de sincronismo dos geradores devido a variações dos seus parâmetros
como, por exemplo, variações na carga, interrupções de energia, mudanças
topológicas. Por esta razão, o estudo da estabilidade dos sistemas elétricos é
tão importante, pois é fundamental que se garanta que os sistemas elétricos irão
operar de forma estável, mesmo sob condições adversas,
O estudo da estabilidade do sistema pode ter foco em distúrbios de larga
escala, associado à grandes desvios do ângulo do rotor do gerador, ou em
pequenas perturbações, quando é possível que o sistema retome um ponto de
equilíbrio igual ou próximo ao original. A capacidade do sistema de manter-se
em sincronismo após ser submetido a um distúrbio é conhecida como
estabilidade angular ou eletromecânica (DILL, 2013).
Para tanto, é preciso identificar as oscilações, conhecidas como oscilações
eletromecânicas, que estão associadas ao sistema. Isso pode ser feito
analisando os modos (autovalores) associados às equações que descrevem
essas oscilações.
2.1. OSCILAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Considerando o modelo clássico de um i-ésimo gerador, a equação de
oscilação que o representa, por variáveis de estado (ANDERSON E FOUAD,
2003), resulta no seguinte:
eimii
B
i TTH
2
(2.1)
5
Em que eimi TT corresponde ao torque de aceleração do gerador, miT é o
torque mecânico em pu e eiT é o torque elétrico em pu. Ainda se tem i
velocidade angular do gerador i em rad/s, iH constante de inércia do gerador
i em s e B velocidade angular síncrona em rad/s.
Sob condições de regime permanente, existe um equilíbrio entre esses
torques no conjunto turbina-rotor de cada gerador, de modo que todos os
geradores operam em sincronismo (mesma velocidade).
Se o sistema é perturbado, ocorre um desequilíbrio de torques, resultando
em uma aceleração ou desaceleração dos rotores das máquinas. Para uma dada
frequência de oscilação do rotor do gerador, existe uma variação do torque
elétrico de mesma frequência e proporcional à amplitude da oscilação (AYRES,
2005). Este desbalanço dos torques eletromecânicos nos geradores síncronos
do sistema corresponde ao fenômeno da estabilidade de ângulo, que pode
acontecer inclusive diante de pequenas perturbações. Ao tentar controlar a
excitação ou velocidade dos geradores, os modos de oscilação aparecem.
2.2. NATUREZA DAS OSCILAÇÕES ELETROMECÂNICAS
Dado um sistema de n equações diferenciais lineares de primeira ordem,
sabe-se que existem n autovalores, ,n,...,i,i 1λ e a solução do sistema tem a
seguinte forma:
n
i
t
i tfecty i
1
),()( (2.2)
em que f(t) depende da entrada.
Cada uma das exponenciais, tieλ é denominada “modo” do sistema
associado ao autovalor iλ .Para o caso de pares de autovalores complexos
conjugados, na forma ,j iii ωαλ os dois termos exponenciais associados a
estes autovalores dão origem a um só termo, na forma ),tsen(e iti θω
α que é
denominado “modo oscilatório” associado a iii jωαλ . (CASTRO, 2006). À
6
cada autovalor é associado um fator de amortecimento 𝜁 que é determinado pela
seguinte equação:
𝜁(𝜆𝑖) =−𝑎𝑖
√𝑎𝑖2 +𝑤𝑖
2 (2.3)
que representa a taxa de decaimento ou crescimento da amplitude das
oscilações de um dado modo de resposta.
Os modos oscilatórios eletromecânicos (MOE), assim chamados por
estarem relacionados às oscilações eletromecânicas associadas às equações
de oscilação do sistema, são os modos mais críticos em virtude do baixo
amortecimento natural do sistema. Eles se tornaram mais críticos com a
interligação das centrais geradoras de energia elétrica. Estes modos estão
associados ao comportamento dinâmico dos rotores dos geradores e são
responsáveis por oscilações que se situam na faixa de frequência entre 0,1 e 3,0
Hz. (KUNDUR, 1994)
São quatro os tipos de MOE: modos locais, modos interárea, modos
intra-área e modos intraplanta, com características distintas como descritas a
seguir (LARSEN E SWANN, 1981, ARAÚJO E CASTRO, 1996).
Modos locais: Esses modos são devidos às oscilações que podem
ocorrer quando os geradores são ligados a um sistema de potência relativamente
grande através de linhas de transmissão fracas. A frequência natural de um
desses modos é tipicamente entre 0,8- 2,0Hz. Um modo local é, usualmente,
fortemente controlável e fortemente observável em um único gerador (CASTRO,
2006).
Modos interáreas: São observadas quando um grupo de geradores
localizados em uma área oscila coerentemente contra outro grupo de geradores
localizados em outra área, ocorrendo comumente na faixa de 0,1 a 0,7 Hz. As
oscilações de modo interárea tendem a ocorrer quando as áreas são interligadas
por linhas de transmissão fracas, ou seja, com capacidades muito inferiores às
capacidades dos sistemas que elas interligam (AYRES, 2005).
7
Modos intra-área: São os modos correspondentes à interação entre
geradores de uma mesma área. Este modo tem frequência natural no mesmo
intervalo de frequência dos modos locais e, por isso, algumas vezes são tratados
como modos locais. Entretanto, esses modos possuem características
específicas de controlabilidade e observabilidade (ARAÚJO E CASTRO, 1997,
CASTRO E ARAÚJO, 1998).
Modos intraplanta: São modos de frequência superior a 1 Hz, que
surgem devido à interação entre geradores numa mesma central de geração.
Esses modos, apesar de serem suficientemente amortecidos em situações
normais, pode deteriorar com a aplicação de ESP, necessitando de uma
realimentação através de uma combinação de sinais através do próprio ESP
(SCHLEIF et al.,1979; CRENSHAW et al.,1983; CASTRO, 1990; ARAÚJO e
CASTRO, 1991; ARAÚJO e CASTRO, 1995). Para o estudo de sistema de
potência de grande porte, não consideramos esses modos, pois cada central de
geração é representada por um gerador equivalente.
A Figura 1 apresenta exemplos de um modo local e interárea, que são
alvos comuns nos estudos de estabilidades a pequenas perturbações e que
serão foco neste trabalho.
Figura 1: Modo local (a) e modo interárea (b)
Fonte: Dill, 2013
8
Ainda existem outros modos críticos como os modos da excitação,
associados aos sistemas de excitação dos geradores cujos amortecimentos se
deterioram com o ajuste dos parâmetros dos ESP’s (LARSEN e SWANN, 1981;
KUNDUR et al., 1981). Ou os modos torsionais, que possuem frequências acima
de 10 Hz e ocorrem devido às vibrações do eixo do grupo turbina-gerador. Esse
problema somente ocorre no caso de geradores acionados por turbinas térmicas,
porque giram com velocidades mais altas que as hidráulicas (ALDEN et al., 1977;
LAWSON et al., 1978; ROGERS, 2000; CASTRO, 2006).
2.3. ANÁLISE MODAL NO SISTEMA DE POTÊNCIA
Os MOE, que são os modos mais críticos podem ser analisados com bastante
aproximação, usando modelos linearizados do sistema de potência. Isso porque
os sistemas considerados estão submetidos a pequenas perturbações, que
provocam pequeno desvio em torno do estado operativo inicial do Sistema,
possibilitando a linearização em torno de um ponto de equilíbrio.
Dado um sistema de potência, podemos fazer uma descrição modal do
mesmo, de maneira linear, contanto que os desvios de seus parâmetros sejam
realmente pequenos. Um procedimento comum para a linearização consiste em
desenvolver uma função não linear em uma série de Taylor em torno do ponto
de equilíbrio, desprezando os termos de ordem iguais ou superiores a dois.
Considerando um sistema não linear definido da seguinte maneira:
oo xtx
ttutxftx
•
,, (2.4)
Sendo que x(t) é um vetor de estados e u(t) um vetor de entradas e saídas.
Este mesmo sistema pode ser simplificado, pois as derivadas dos estados não
são funções explícitas no tempo (KUNDUR, 1994; FERNANDES, 2012), ficando
da seguinte maneira:
ux,fx •
(2.5)
Podemos ainda representar a saída do sistema em função da entrada do
sistema e das variáveis de estado, da seguinte maneira:
9
u)g(x,y
ny
y
y
2
1
y ,
nn xg
xg
xg
22
11
g (2.6)
Sendo y o vetor de saídas e g o vetor de funções não lineares, que
relaciona as variáveis de entrada e estados com as saídas do sistema.
Se impusermos uma pequena perturbação , na entrada do sistema e nas
suas variáveis de estado teremos:
x = xo + ∆x , (2.7)
u = uo + ∆u
onde xo e uo são, respectivamente a variável de estado e o vetor de entrada no
estado de equilíbrio. De modo que podemos reescrever a equação 2.5 da
seguinte maneira:
�̇� = �̇�𝑜 + ∆�̇� = 𝑓[(𝑥𝑜 + ∆𝑥), (𝑢𝑜 + ∆𝑢)] (2.8)
Como já foi dito anteriormente, podemos expandir essa expressão em
série de Taylor, desprezando os termos de ordem maior ou igual a dois, já que
estamos considerando um desvio relativamente pequeno, então:
𝑥𝑖̇ ≈ 𝑓𝑖 (𝑥𝑜 , 𝑢𝑜) +𝜕𝑓𝑖
𝜕𝑥1∆𝑥1 + ⋯ +
𝜕𝑓𝑖
𝜕𝑥𝑛∆𝑥𝑛 +
𝜕𝑓𝑖
𝜕𝑢1∆𝑢1 + ⋯ +
𝜕𝑓𝑖
𝜕𝑢𝑚∆𝑢𝑚 (2.9)
sendo i = 1, 2, ..., n. Onde m é o número de entradas e n o número de estados
do sistema.
Como 𝑥�̇� = 𝑓𝑜 (𝑥𝑜 , 𝑢𝑜) = 0
∆�̇�𝑖 =𝜕𝑓𝑖
𝜕𝑥1∆𝑥1 + ⋯ +
𝜕𝑓𝑖
𝜕𝑥𝑛∆𝑥𝑛 +
𝜕𝑓𝑖
𝜕𝑢1∆𝑢1 + ⋯ +
𝜕𝑓𝑖
𝜕𝑢𝑚∆𝑢𝑚 (2.10)
10
Isso vale para descrever também a saída do sistema.
∆𝑦𝑗 =𝜕𝑔𝑗
𝜕𝑥1∆𝑥1 + ⋯ +
𝜕𝑔𝑗
𝜕𝑥𝑛∆𝑥𝑛 +
𝜕𝑔𝑗
𝜕𝑢1∆𝑢1 + ⋯ +
𝜕𝑔𝑗
𝜕𝑢𝑟∆𝑢𝑟 (2.11)
Com j = 1, 2, ... n. Sendo r o número de saídas
Desta maneira, para pequenos desvios, podemos representar o sistema
com o seguinte modelo:
∆�̇� = 𝐴∆𝑥 + 𝐵∆𝑢 (2.12)
∆𝑦 = 𝐶∆𝑥 + 𝐷∆𝑢
Em que
◦ A - matriz de estados com dimensão nxn;
◦ B - matriz de controle ou de entrada com dimensão nxm;
◦ C - matriz de saída com dimensão rxn;
◦ D - matriz de transmissão direta com dimensão rxm
Seja iλ um autovalor de A. O autovetor à direita, ig , e o autovetor à
esquerda, iv , associados a i , são definidos por:
Tii
Ti
iii
vAv
gAg
λ
λ
(2.13)
em que ( )T significa transposição de vetor, ou matriz (CASTRO, 2006).
Assumindo que os autovetores são distintos, ocorre 0jTi gv se i=j e
0jTi gv se i j
Quando k autovalores são iguais, podemos determinar a cadeia de k
autovetores generalizados à direita e à esquerda associados aos autovalores
(CHEN, 1998, CASTRO, 1990, ARAÚJO E CASTRO, 1991).
11
Assumindo as seguintes matrizes modais:
ngggG 21 e
Tn
T
T
T
v
v
v
V2
1
(2.14)
Se todos os autovetores são normalizados, então 1iTi gv , o que nos
leva a seguinte relação:
1GV T
Sabe-se que a matriz de funções de transferência do sistema é
DB)AsI(C)s(T 1 (2.15)
Por uma transformação de similaridade obtém-se
AGG 1Γ (2.16)
em que ),,,(diag nλλλΓ 21 .
Pode-se definir qualquer função f no espectro de A na forma (CHEN,
1998; CASTRO, 2006):
G)A(fG)(f 1Γ (2.17)
Então, para ,)AsI()A(f 1 tem-se
G)AsI(G)sI( 111Γ (2.18)
Relacionando as equações acima, obtém-se
TV)sI(G)AsI( 11 Γ (2.19)
E depois:
12
DBV)sI(CG)s(T T 1Γ (2.20)
Considere os produtos matriciais CG e VTB expressos nas seguintes
formas:
nhhhCG 21 e
n
T
q
q
BV 1
(2.21)
em que ii Cgh e Bvq Tii .
Substituindo estes produtos matriciais em T(s), sabendo que
),s
,,s
(diag)sI(nλ
1
λ
1Γ
1
1
pode-se verificar facilmente que:
n
i i
ii Ds
qh)s(T
1 λ (2.22)
Para um sinal de entrada ku como uma função impulso, resposta
transitória da unidade k a um impulso unitário na unidade k é a seguinte:
n
i
tii
Tk
ieqh)t(y1
λ (2.23)
Estes resultados permitem que se possa analisar cada modo de maneira
independente. E além disso, a estabilidade do sistema pode ser determinada
pela natureza dos autovalores da seguinte forma (KUNDUR, 1994;
FERNANDES, 2012):
Autovalores Reais - Correspondem aos modos não oscilatórios. Ou seja,
quando este autovalor é negativo, a resposta do sistema é atenuada a uma taxa
igual a 𝑒𝜆𝑖𝑡 , indicando um sistema estável. Quanto maior a magnitude do
autovalor, o sistema atinge mais rápido a estabilidade. Já quando o autovalor é
positivo, o mesmo corresponde a uma exponencial crescente, ou seja, o sistema
não atinge estabilidade.
13
Autovalores Complexos - ocorrem em pares conjugados e cada par
corresponde a um modo oscilatório. A parte real corresponde ao decaimento do
sistema enquanto a parte imaginária fornece a frequência de oscilação. Ou seja,
se a parte real é positiva a resposta do sistema tem amplitude crescente,
correspondendo a um modo instável, enquanto para os autovalores com a parte
real negativa, a oscilação do sistema é amortecida.
2.3.1. Mode-Shapes
Para aplicação das técnicas baseadas nesses resultados, deve-se
previamente calcular os autovetores (VAN NESS, 1969). Para sistemas de
potência de grande porte, os autovalores são calculados considerando a
esparsidade do modelo (MARTINS, 1986).
Analisando a influência dos autovetores na resposta do sistema, podemos
observar que no produto escalar ci = ψi∆x(0), o autovetor à esquerda determinará
a influência da condição inicial para a trajetória do sistema, permitindo identificar
a intensidade dessa condição inicial na resposta do mesmo. Em outras palavras,
a constante ci corresponde à magnitude da excitação inicial de cada modo.
Já os autovetores à direita irão determinar a intensidade com a qual cada
modo está presente em cada variável de estado do sistema. A partir deles é
possível definir a distribuição dos modos pelas variáveis de estado. Nesta
análise, a magnitude do n-ésimo elemento do autovetor ψi fornece o grau de
atividade da n-ésima variável de estado em relação ao modo λi enquanto a fase
do autovetor ψi fornece a defasagem de cada variável de estado em relação ao
modo λi. Os gráficos com diagrama de amplitude e fase dos autovetores à direita
relacionados a um modo λi são conhecidos como mode shapes.
Os mode-shapes fornecem informações importantes na participação de uma
máquina ou grupo de máquinas em um modo de oscilação eletromecânico
específico. É através dos mode-shapes que pode se identificar qual a natureza
da oscilação e quais máquinas do sistema estão oscilando com a mesma fase
ou em oposição de fase entre si, o que provoca o desequilíbrio (DILL, 2013).
14
Através dessa representação, é possível verificar, por exemplo, por meio
dos autovetores à direita associados à velocidade das máquinas conectadas em
um determinado barramento, se as mesmas oscilam de forma coerente em
relação a um determinado modo. Entretanto, sistemas com representação em
espaço de estados podem envolver variáveis com unidades de medida
diferentes. Nesse caso para comparar o grau de atividade de variáveis de estado
de natureza diferente em um determinado modo, deve-se utilizar
preferencialmente medidas adimensionais, como é o caso dos fatores de
participação. (FERNANDES, 2012)
2.3.2. Análise modal no domínio da frequência
Sabe-se que as técnicas baseadas em autovalores e autovetores podem não
proporcionar as informações suficientes para uma boa estabilização do sistema,
já que a dinâmica do sistema depende de outras características do sistema de
potência com controle descentralizado, como os zeros e as interações modais
(KLEIN et al., 1992, ARAÚJO e CASTRO, 1996; CASTRO, 2006). Além disso,
quando alguns modos críticos têm frequências próximas, os algoritmos iterativos
utilizados para determinar os autovetores associados podem convergir para
vetores falsos (KLEIN, et al, 1992). Por isso, aplicamos técnicas de análise no
domínio da frequência, pois estas estão intimamente relacionadas com o
fenômeno físico e com a prática de engenheiros e operadores, além de
proporcionar um controle robusto das oscilações.
O sistema de potência com múltiplas unidades, entradas de controle e
sinais de saída é descrito por:
)()()( jujGjY (2.24)
em que )( jG é a matriz de funções de transferência de respostas frequenciais
(MFTfr). Para sistemas de potência de grande porte, as MFTfr são usualmente
obtidas diretamente do conjunto de equações diferenciais juntamente com um
15
conjunto de equações algébricas linearizadas no ponto de operação
(MARTINS,1986; CASTRO 2006).
Podemos resolver essas equações simultaneamente, utilizando uma
representação incremental mostrada abaixo, facilitando a análise computacional
do problema:
uB
v
x
JJ
JJx
DC
BA
00
(2.25)
v
xCy 0
Em que x é o vetor de estado, v é um vetor com os fasores das
componentes de tensão.
A matriz Jacobiana apresentada na equação 2.25 apresenta alto índice
de esparsidade em sistemas de potência de grande porte. Assim, para maior
eficiência, técnicas de esparsidade devem ser exploradas para determinar as
respostas em frequência, considerando impulsos como entradas, para resultar o
conjunto de sistemas de equações lineares seguinte:
0ω
ωω B
)j(v
)j(x
JJ
JJIj
DC
BA
(2.26)
)j(Cx)j(y ωω
Analisaremos os modos relacionados ao sistema, através de sua
controlabilidade e observabilidade.
Podemos definir a “controlabilidade” de um modo de oscilação (MO) como
a habilidade do sistema para amortecer o MO para atingir um desempenho
aceitável com entradas e saídas limitadas (WAL e DE JAGER, 2001). Do mesmo
modo, pode-se definir a “observabilidade” de um MO como a contribuição do MO
na resposta do sistema. Os zeros de um sistema podem provocar significativos
efeitos na controlabilidade e observabilidade dos modos e no projeto dos
controladores (SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005). A única maneira de
se evitar zeros indesejáveis é com a prévia seleção de entradas e saídas
adequadas para aplicação de controladores.
16
A “observabilidade” dos modos de oscilação críticos, particularmente os
MOE, é analisada com o uso da equação 2.25. Então, os gráficos de amplitude
do diagrama de Bode das velocidades, n,,i),j(i 1ωω , no intervalo de
frequência dos MOE críticos são usados na análise. Os modos interáreas são
observáveis em vários geradores, enquanto um modo local geralmente é
observável fortemente em um só gerador. Os MOE críticos são os com grandes
picos no gráfico de magnitude de Bode de pelo menos um gerador. Um pico no
gráfico de um gerador significa que o modo correspondente é observável na sua
saída. Comparando os picos de um modo em todos os geradores, para maior
pico corresponde maior grau de observabilidade do modo na saída do gerador
correspondente (ARAÚJO e CASTRO, 1995, CASTRO e ARAÚJO, 1997;
CASTRO 2006).
A “controlabilidade” dos MOE é analisada com o uso da resposta em
frequência de cada gerador, considerando a velocidade como saída e torque
mecânico como entrada, a partir da matriz jacobiana. Essa descrição frequencial,
considerando um estabilizador ideal (desconsiderando o efeito dos demais
estabilizadores) aplicado ao k-ésimo gerador é representada por:
)(1
)()(
jgD
jgjg
kkk
kkkk
(2.27)
Uma variação no pico de um MOE crítico no gráfico de kkg para kD da
ordem de 10 a 20 pu, na base dos geradores, é uma indicação que o MOE é
controlável no k-ésimo gerador, assumindo que o gerador tem o sistema de
excitação de resposta rápida (tipo 1S do IEEE). Maior variação no pico
corresponde a maior grau de controlabilidade (ARAÚJO e CASTRO, 1996,
ARAÚJO et al., 1996). Aplicando o mesmo valor de kD , na base do gerador, em
todos os geradores, um de cada vez, é possível selecionar um grupo de l
geradores para aplicação de estabilizadores para amortecer todos os MOE
críticos. Usualmente, l << n em grandes sistemas de potência.
17
2.3.3. Utilização de valores singulares
Para análise de controlabilidade e observabilidade modais de sistemas
multivariáveis no domínio de frequência são utilizados os “valores singulares”
da MFTfr, que para o caso da matriz )( jG são definidos por:
kiH
i
H
ii ,...,1,)()()( GGGGG (2.28)
em que i é o i-ésimo autovalor da matriz, GH é a matriz conjugada e transposta
de G e k = min(m,r), sendo m e r o número de linhas e colunas da matriz G,
respectivamente. Definindo como o maior valor singular, como o menor e
a relação, / como o número de condição, as seguintes propriedades
de interesse são descritas (CRUZ, 1996; SKOGESTAD e POSTLETHWAITE,
2005):
• na frequência de um MO representa o grau de observabilidade do modo
na resposta do sistema e representa o grau de controlabilidade do
modo. MO pouco amortecidos e fortemente observáveis apresentam
grandes picos no gráfico de . Os picos de são associados à robustez
do sistema. Sistemas robustos apresentam pequenos picos de , pois
isso indica que os modos não estão afetando o sistema de forma
considerável.
• Uma depressão no gráfico de indica a existência de um zero influente
na referida frequência.
• Número de condição elevado ( 10 ) indica dificuldade de controle,
principalmente se <<1.
• A norma l2 de G é (G). Também, ||G-1|| = 1/ (G).
Outras relações entre os valores singulares também deverão ser levados em
consideração na análise. São eles:
18
)G()G(
σ
1σ 1 , ou seja
)(
1)( 1
HH
1σσ
ασασ
1σσ1σ
σσσσσ
σσσ
σσσ
σλσ
)G()GI(
)G()G(
)G()GI()G(
)H()G()HG()H()G(
)H()G()GH(
)H()G()GH(
)G()G()G(
ii
i
(2.29)
Agora, considere o sistema de potência )( jG com controladores ),( jH
entradas de referência R e distúrbios, d, como apresentado na Figura 2.
Figura 2: Sistema de potência com controlador
A seguinte relação é obtida da Figura acima:
dG)GHI(GR)GHI(y d11 (2.30)
dHG)HGI(R)GHI(u d11
em que 1 )GHI(S é a matriz de sensibilidade e T = SG é a matriz de
funções de transferência de malha fechada do sistema. Essas matrizes são
usadas para análise do desempenho do sistema controlado.
Considere uma variação na referência R, assumindo d = 0. Então, resulta
19
)IGH()G(
)T(R
y
σσ
σ (2.31)
Ainda, sabendo que )( GHI ( 1)( GH ) e que )()()( HGGH ,
resulta:
1σσ
σσ
)H()G(
)G()T(
R
y (2.32)
Do mesmo modo, considerando somente o efeito do distúrbio na saída,
verifica-se que
1
)H()G(
)H()G(
d
y d
. (2.33)
Esses resultados mostram que (G), que depende da seleção de entradas
e saídas, deve ser grande para reduzir (T) e o efeito dos distúrbios, facilitando
a ação do controlador. Se 1)( G na faixa de frequência dos modos de
oscilação, será quase impossível o controle robusto do sistema com
controladores descentralizados. Isso explica porque (G) é considerado como
o grau de controlabilidade do sistema.
2.3.4. Matriz de Ganhos Relativos
A matriz de ganhos relativos (MGR) é uma ferramenta importante para
análise de sistemas multivariáveis e será usada para uma prévia seleção de
entrada e saídas para controle descentralizado. A MGR é definida por:
Λ(𝑮(𝑗𝜔)) = [𝜆11 ⋯ 𝜆1𝑚
⋮ ⋯ ⋮𝜆𝑟1 ⋯ 𝜆𝑟𝑚
] (2.34)
20
em que 𝜆𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑗𝑏𝑗𝑖 e bji é o elemento ji de †G (matriz inversa generalizada de G),
definida por †G = (GHG)-1GH para m r, Posto(G) = m ou
†G = GH(GGH)-1 para r
m, Posto(G) = r.
Sabe-se que ij é uma medida de interação entre a entrada j e a saída i
(SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005). Verifica-se, também, que ij é uma
medida do efeito que o controle do restante das variáveis tem no ganho entre u j
e yi (MILANOVIC e DUQUE, 2001). Das propriedades que a MGR tem, as
principais são as seguintes:
• A soma dos elementos de uma linha ou de uma coluna da MGR deverá
sempre ser igual a 1.
• A MGR é independente da escala (valores de base) das entradas e
saídas.
• Qualquer permutação de linhas e colunas de G resulta na mesma
permutação na MGR.
• Sistemas onde a MGR possui grandes valores absolutos ( 10λ ij ) são
sempre mal condicionados e de difícil controle.
• Sistemas com elevados elementos na MGR implica sensibilidade a
incertezas elemento por elemento.
Utilizando as suas propriedades, a MGR pode ser usada para seleção dos
pares entrada-saída mais efetivos. E ainda indicar sobre o melhor
emparelhamento das variáveis controladas e manipuladas (SKOGESTAD e
POSTLETHWAITE, 2005). Entretanto, a utilização da MGR isoladamente para
essa seleção tem algumas limitações. A maior limitação é a impossibilidade de
se selecionar a saída mais efetiva entre sinais de uma mesma unidade, por
exemplo, velocidade e potência elétrica num gerador (MILANOVIC e DUQUE,
2001) ou, de uma maneira geral, sinais com alguma relação entre si.
Em Castro e Araújo (2002) foi proposta uma técnica que combina MGR e
valores singulares na seleção dos pares entrada-saída mais efetivos para
aplicação de controladores descentralizados. Essa técnica se mostra muito
eficiente e confiável para seleção de sinais. Nesse trabalho foi feito uma
adaptação deste método para aplicação nos sistemas de múltiplos geradores.
21
2.4. AMORTECIMENTO DOS MODOS DE OSCILAÇÃO
ELETROMECÂNICOS.
Como já foi exposto, é necessário o amortecimento dos modos de oscilação,
para garantir um sistema confiável. Para isso, são necessários conhecer as
fontes de amortecimento disponíveis e quais aspectos devemos observar, para
confirmar se as oscilações foram mesmo amortecidas.
Os principais controladores conhecidos, usados largamente no amortecimento
dos modos de oscilação, são Estabilizadores de Sistema de Potência, ou mesmo
dispositivos FACTS, que podem ser usados com essa finalidade. Os ESP’s são
controladores adicionais acoplados aos reguladores de tensão que oferecem um
torque de amortecimento no rotor quando a velocidade do rotor oscila, atenuando
a oscilação nas máquinas síncronas. Já os FACTS, que operam em série junto
às linhas de transmissão ou em derivação associados a um barramento do
sistema possuem, além do controle primário que atua no controle de tensão ou
fluxo de potência, um controle suplementar conhecido como POD (Power
Oscillation Damping), utilizado para amortecimento das oscilações
eletromecânicas. (DILL, 2013)
Outras fontes de amortecimento dessas oscilações podem ser utilizadas, como
Sistemas de Transmissão HVDC ou enrolamentos amortecedores nos rotores
das máquinas síncronas, porém essas metodologias não conseguem ter um
desempenho tão significante como os ESP ou FACTS.
Entretanto, o foco deste estudo serão os controladores ESP, pois o objetivo aqui
é conseguir sintonizar e aplicar esses controladores de modo que se tenha um
desempenho comparável aos controladores apresentados no Benchmark IEEE
(2016), no amortecimento desses modos de oscilação. Para tanto, é importante
observar aspectos como robustez, tempo de resposta do sistema e o percentual
de amortecimento desses modos.
2.4.1. Robustez
O sistema de controle deve fornecer margens de segurança e amortecimento
adequadas em todas as condições operacionais e configurações de rede que
possam ser necessárias. Neste trabalho, os critérios de robustez serão
22
determinados segundo as definições do projeto de controle H∞, que consiste em
minimizar os picos de respostas frequenciais de um sistema de malha fechada,
diante das entradas exógenas, que, para um sistema MIMO corresponde ao
valor singular máximo desse sistema (SKOGESTAD e POSTLETHWAITE,
2005).
O principal objetivo da teoria de controle H∞ é projetar um controlador que
garanta a estabilidade da planta na presença de incertezas. Para projetar o
controlador, o projetista deve considerar o modelo real, ou seja, o modelo
nominal + incertezas. O modelo nominal é linear e válido para um ponto particular
de operação. Todavia, o controlador deve ser projetado para estabilizar um
conjunto de modelos válidos para os pontos comuns de operação. Na realidade
o sistema real tem uma infinidade de modelos nos quais as incertezas, embora
não conhecidas perfeitamente, devem ser representadas (CASTRO, 2006).
2.4.2. Tempo de Resposta do Sistema
O tempo de resposta ou de acomodação é o tempo necessário para que as
oscilações sejam amortecidas de modo que entrem e permaneçam em uma faixa
de x% em torno do valor final de resposta. Na literatura é possível encontrar
tempos mínimos de respostas pré-estabelecidos, de acordo com o país. No
Reino Unido o tempo de resposta é especificado entre 10-12s. Na Dinamarca e
Noruega esse valor varia entre 10 e 20s (PAL e CHAUDHURI, 2005). No Brasil,
define-se como critério que a diferença de amplitude máxima das oscilações do
sistema após 10s de não pode ser superior a 2% (ONS, 2016).
2.4.3. Amortecimento Mínimo dos Modos
Um sistema cujos autovalores estão localizados no semiplano esquerdo não
necessariamente terá um bom desempenho ao sofrer pequenas perturbações,
pois polos muito próximos ao eixo indicam modos pouco amortecidos, o que
pode significar uma tendência do sistema perder a estabilidade diante de um
distúrbio. Portanto, para assegurar uma boa margem de estabilidade, é
importante que os modos, além de ter seus autovalores associados com parte
23
real negativa, precisam apresentar um percentual mínimo de amortecimento.
Uma maneira simples de visualizar se esses modos cumprem este requisito é
verificar se seus polos se concentram dentro de um cone no semiplano complexo
esquerdo, delimitando a área correspondente aos modos com amortecimento
maior que o mínimo pré-definido (IEEE, 2016).
Figura 3: Cone no plano complexo
Fonte: Dill, 2013
Para os modos críticos, a literatura estabelece alguns valores mínimos de
amortecimento a depender da natureza dos modos. O Ontario Hydro Pratice
(Kundur, 1994) estipula um amortecimento mínimo de 3% para o modo
dominante, enquanto o Australian Utilities utiliza 5% (PAL e CHAUDHURI, 2005).
Ainda segundo Pal (1999), modos com frequência baixa, como os modos
interáreas, devem ter um coeficiente de amortecimento superior a 10%.
Entretanto, muitos projetistas adotam 5% como referência. (SEBAA e
BOUDOUR, 2007; BREULMANN et al, 2000; LARSEN e SWANN, 1981).
24
3. MODELAGEM DINÂMICA DE SISTEMA DE POTÊNCIA
A teoria de controle robusto desenvolvida nesse trabalho foi testada
inicialmente em um sistema multivariável de carga-frequência de três áreas,
usando um controlador do tipo avanço e atraso, que é mais simples que um ESP
mas pode ser eficiente no amortecimento de oscilações eletromecânicas (SILVA
FILHA et al, 2016) e serve como modelo inicial na fase de concepção da
metodologia. Posteriormente, a metodologia foi aplicada em dois modelos
multivariáveis: um com 10 geradores e outro com 16 geradores.
Portanto, neste capítulo serão apresentados os modelos de geradores
síncronos, modelos do sistema de excitação e o modelo de área de carga-
frequência.
3.1. MODELOS DE GERADORES SÍNCRONOS
Segundo Anderson e Fouad (2003), o modelo clássico do gerador
representado apenas por sua equação de oscilação, por variáveis de estado,
resulta em:
iωδ (3.1)
qiiei
iieimii
B
i
IET
DTTH
2
(3.2)
em que iδ ângulo de torque do gerador i em rad
iω velocidade angular do gerador i em rad/s
iH constante de inércia do gerador i em s
eimi TT torque de aceleração do gerador, onde Tmi é o torque mecânico
em pu e
Tei é o torque elétrico em pu
iD fator de amortecimento do gerador i em pu/rad/s
iiE tensão interna do gerador i em pu
25
qiI componente da corrente no eixo de quadratura do gerador i em pu
Bω velocidade angular síncrona em rad/s
O modelo clássico é utilizado para representar geradores equivalentes,
representando uma parte do sistema ou para representar geradores pouco
influentes ou de menor interesse no estudo.
Já para estudos de estabilidade, o modelo de máquina síncrona mais apropriado
é o de quarta ordem, chamado também de modelo de dois eixos. Isso porque
ele é representado por duas equações mecânicas (equações swing) e duas
equações representando os efeitos transitórios e no eixo de quadratura.
(ANDERSON e FOUAD, 2003). As equações são as seguintes:
))((1
0
qiqiqidi
q
di IxxEE
(3.3)
))((1
0
dididiqiFDi
d
qi IxxEEE
(3.4)
ii ωδ (3.5)
iiqiqididimii
B
i DIEIETH
)(2
(3.6)
Usualmente, neste modelo, considera-se qidi xx .
Definem-se: diE e qiE tensões transitórias de eixo direto e de quadratura,
respectivamente, em pu;
diI e qiI = componentes da corrente de eixos direto e de
quadratura, respectivamente, em pu;
dix e qix = reatâncias de eixos direto e de quadratura,
respectivamente, em pu;
dix e qix reatâncias transitórias de eixos direto e de quadratura,
respectivamente, em pu;
26
0τ d e 0τq constantes de tempo transitórias em circuito aberto de
eixos direto e de quadratura, respectivamente, em segundos;
EFDi = tensão de campo (saída do sistema de excitação) em pu.
As correntes dI e qI são expressas em função de dE e qE com o uso
da equação I = YV, como será visto na próxima seção, em que Y é a matriz de
admitância reduzida, incluindo apenas os nós internos dos geradores.
3.2. EXCITAÇÃO DOS GERADORES
O controle de excitação possui três componentes principais: a excitatriz,
reguladores de tensão e controles auxiliares, que podem ser ESP’s por exemplo.
A excitatriz pode ser um gerador de corrente contínua com a finalidade de
alimentar o circuito de campo do gerador síncrono com corrente DC. O regulador
de tensão controla a saída da excitatriz para que ela gere a corrente e a potência
reativa convenientemente, à medida que haja erro entre a corrente resultante e
a projetada. Ainda há os controladores auxiliares que contribuem na melhoria do
comportamento dinâmico do processo de controle de tensão. Na figura 4 temos
uma representação simplificada do controle de excitação:
Os modelos de sistemas de excitação podem ser do tipo estático, excitação
DC, em que classicamente a excitatriz é uma máquina elétrica de corrente
contínua que funciona como gerador que fornece a corrente contínua para o rotor
Potência elétrica,
V,I
Turbina Gerador
Regulador de
velocidade
Sistema de
excitação
vapor ou água Torque e velocidade
refω
refV
Figura 4: Esquemas dos controles principais de um gerador
Fonte: Castro, 2006
27
do gerador síncrono, e excitação AC, onde a corrente é produzida por um
gerador de corrente alternada e posteriormente transformada em corrente
contínua para alimentar o enrolamento do campo. Dentre todos os modelos,
detalharemos apenas o DC4B (agora DC4) de excitação DC, e o ST1A (agora
ST1C), estático (IEEE, 2016), que foram usados nos sistemas testes desse
trabalho.
3.2.1. Modelo tipo ST1A
Neste tipo, a alimentação de excitação é fornecida através de
transformadores ou enrolamentos e retificadores de geradores auxiliares. Na
atualização da Standard IEEE 421.5 de 2016, o modelo tipo ST1A foi substituído
por ST1C. De qualquer maneira, qualquer sistema de excitação existente,
representado pelo ST1A, poderia ser representado pelo ST1C, com exatamente
os mesmos parâmetros (IEEE, 2016), pois a diferença entre os dois modelos é
apenas o acréscimo de mais opções de entrada OEL no somatório. O diagrama
de blocos desse sistema é apresentado na figura 5.
Amortecedor
sT1
K
A
A
sT1
sK
F
F
axImV
inImV
FDE
CV
SV
FV
Redutor de
Ganho Tansitório
HV LVHV)sT1)(sT1(
)sT1)(sT1(
1SS
1CC
Excitação
AV
Limitador
de tensão
Limitador
de tensão
LRI
FDI
REFV IV Limitador
de tensão
SV
UELV
UELV OELVmaxAV
minAV
LRK
UELV
Figura 5: Diagrama de blocos do sistema de excitação tipo ST1A
Fonte: Castro, 2006
Em que SV é a tensão de saída do controlador;
VC é um sinal de controle interno;
28
IFD é a corrente de campo;
ILR é a corrente de referência;
LV é o limitador de tensão com duas entradas e uma saída, sendo a saída
correspondente a entrada de valor menor;
HV é o limitador de tensão com duas entradas e uma saída, sendo a saída
correspondente a entrada de valor maior;
VOEL é a tensão de entrada do limitador LV;
VUEL é a tensão de entrada do limitador;
HV é um sinal de controle interno.
O uso de redutor de ganho transitório (RGT) e amortecedor em sistemas
de excitação modernos é criticado por vários autores, devido aos efeitos
negativos que podem causar no amortecimento dos modos interárea (KUNDUR
et al. 1981, KUNDUR et al., 1989). Kundur et al., 1989, apresentam uma ampla
discussão a respeito do assunto. Assim, retirando o RGT, o amortecedor e
desprezando os elementos não lineares e as entradas internas do próprio
sistema de excitação, que não são de interesse na análise linear, obtém-se o
modelo simplificado apresentado a seguir:
3.2.2. Modelo tipo ST1A do IEEE simplificado
Esse modelo, apresentado na figura 6, representa os sistemas de
excitação sem amortecedor, sem redução de ganho transitório e sem as não
linearidades e sinais de controle.
em que Vt é a tensão terminal.
sT1
K
A
A
maxFDE
minFDE
FDEtV
refV
sV
Retificador
Figura 6: Diagrama de blocos do sistema ST1A simplificado
Fonte: Castro, 2006
29
Nestes sistemas de excitação a retificação de tensão é realizada por
tiristores. Isso permite obter-se constantes de tempo muito pequenas, TA< 0,1s,
e ganhos grandes, KA>10.
O modelo ST1A será utilizado no sistema de 68 barramentos e o ST1A
simplificado, acrescentando uma segunda ordem, será aplicado no sistema de
39 barramentos. Ambos sistemas foram utilizados para testes nesse trabalho.
3.2.3. Modelo DC4B
Esse modelo, assim como os outros do Tipo DC, utilizam geradores DC
como fontes de energia para a excitação da máquina e injetando corrente no
rotor da máquina síncrona através do seu comutador. A excitatriz pode ser
movida por um motor externo ou pelo próprio eixo do gerador. Pode ser
autoexcitado ou de excitação independente, neste caso tem-se um gerador de
imãs permanentes alimentando o campo da máquina DC. O diagrama de blocos
que representa o modelo encontra-se na Figura 7:
Figura 7: Diagrama de blocos do modelo de excitacão tipo DC4B
Fonte: Adaptado de IEEE, 2015
30
Onde Kp, KI, Kd, TD, VRmax e VRmin são, respectivamente, ganho proporcional,
ganho integral, ganho derivado, constante de tempo derivada, saída máxima e
mínima do AVR. KA e TA são o ganho e a constante de tempo do tiristor. KE e TE
são o ganho e a constante de tempo da excitatriz. KF e TF são o ganho e a
constante de tempo de realimentação do estabilizador. E1 ë o ponto de
saturação do excitador 1 e SE (E1) é o fator de saturação do excitador 1. E2 é o
ponto de saturação do excitador 2 e SE (E2) é o fator de saturação do excitador
2. VEmin é a saída mínima da Excitatriz e TR é a constante de tempo do transdutor
de tensão.
3.3. MODELO DE CARGA-FREQUÊNCIA
De modo geral, o controle automático de um sistema de geração ocorre
através de dois canais: Carga-Frequência (PF) e Potência Reativa/Tensão (QV).
O objetivo básico do controle QV é manter a tensão terminal do gerador
constante. Ao passo que o controlador PF foca em manter a potência gerada
igual à demanda de potência elétrica, manter a frequência constante e igual ao
padrão e manter as potências de intercâmbio constantes e iguais às
programadas (MOTA, 2006). Entretanto, devido ao fato da malha de controle de
excitação ser muito mais rápida que a malha de controle PF, pois esta malha
possui grandes constantes de inércia mecânica, é possível desacoplar as
malhas de controle PF e QV, acarretando grande simplificação no estudo
particular de interesse. Neste trabalho, o foco é o controle PF, aplicado a um
modelo de sistemas de potência com três áreas.
O controle de carga-frequência, em contraste com o controle QV, é feito
coletivamente, agindo em todas as unidades de controle geradoras numa
chamada área de controle. (ELGERD, 1976). Chamamos de área de controle a
parte de um sistema de potência interligada, responsável por absorver as suas
próprias variações de carga (COHN, 1961).
31
3.3.1. Obtenção do modelo de uma área
Para que possamos entender a dinâmica dos sistemas de controle PF,
vamos estudar o caso mais simples, o de uma única área de controle. Para tanto,
vamos desenvolver um modelo dinâmico para descrever uma área de controle i,
ligada a outras áreas através de linhas de transmissão, como é mostrado na
Figura 8:
Figura 8: Áreas de controle
Se admitirmos que essa área sofra uma variação na carga igual a LiP
MW, devido à ação dos controladores de turbina, a potência gerada nessa área
aumenta na taxa de GiP MW. Logo, o excedente de carga da área será
)( LiGi PP MW.
Essa potência será absorvida pelo sistema com o aumento da energia
cinética da área ikinW , na taxa dt
dW ikin,, com o aumento da potência “exportada”
por meio das linhas de ligação, num total de itieP , MW, considerado positivo
saindo da área, e com o aumento crescente do consumo da carga. Todas as
cargas típicas sofrerão um aumento 𝐷 =𝜕𝑃𝐿
𝜕𝑓𝑀𝑊/𝐻𝑧, com o quadrado da
velocidade ou frequência, devido à predominância de cargas motoras. O “D” é
conhecido como coeficiente de amortecimento ou característica de frequência
da carga. (ELGERD, 1976).
Matematicamente,
itieiiikinLiGi PfDWdt
dPP ,,
(3.7)
ÁREA DE CONTROLE J
ÁREA DE
CONTROLE I ÁREA DE
CONTROLE K
32
Do primeiro termo, ao lado direito da equação 3.7, a energia cinética da
área, ikinW , , varia com o quadrado da velocidade ou frequência, ou
0
,
2
0, )( ikini
ikin Wf
fW
(3.8)
Em que 0
,ikinW é a energia cinética da área, quando a frequência é a
nominal.
A frequência nominal é 0f e a frequência instantânea da área de
controle é dada por ii fff 0 . Fazendo if pequeno, podemos reescrever
a equação 3.8 como:
0
,0
0
,
2
0
0
, )21()( ikini
ikini
ikin Wf
fW
f
ffW
(3.9)
Assim, podemos definir dt
dW ikin,da seguinte maneira:
i
ikin
ikin fdt
d
f
WW
dt
d
0
0
,
,
2
(3.10)
O segundo termo da equação 3.7 é obtido empiricamente, visto que, para
cargas compostas, o que consiste a maioria dos sistemas reais, pode-se
observar na prática que a carga varia, dependendo da frequência e da
velocidade.
O terceiro termo da equação 3.7 é a potência incremental da linha de
ligação, itieP , , exportada da área i, que é igual a soma das potencias
incrementais que saem dessa área e migram para as áreas vizinhas através das
linhas de transmissão. Logo, considerando, por exemplo, as linhas que ligam a
área i à área k, temos:
k
iktieitie PP ,,
(3.11)
33
O aumento incremental da potência transmitida é causado pelo pequeno
incremento , do ângulo de fase, , entre 𝑉𝑖 e 𝑉𝐾, e é uma medida do
coeficiente de sincronização (ELGERD, 1976), que é dado por:
cosmaxPd
dPPT ikik
ik
MW/Rad (3.12)
Se as perdas de linha forem desprezadas podemos escrever as potências
incrementais individuais em função do coeficiente de sincronização da seguinte
forma:
)(0
, kiikiktie TP (3.13)
Onde )cos( 00
max
0
kiik PT
Pmax corresponde à capacidade de transmissão estática da linha em
questão. Se essa capacidade for pequena, comparada à potência nominal da
área i, então essa linha é fraca.
Além disso, podemos reescrever a equação 3.13 em função da frequência
incremental, if , pois esta está relacionada com as variações de fase das
tensões, logo:
)(2 0
, dtfdtfTP kiikitie
(3.14)
Visto que, pela teoria da análise dinâmica do sistema de potência, ∆𝑓𝑖
pode ser expresso em ciclos por segundo, seguindo a seguinte relação:
iidt
df
2
1
(3.15)
Logo, a potência incremental total da linha que sai da área i será:
)(2 0
, dtfdtfTP ki
k
ikitie
(3.16)
Se dividirmos todos os termos da equação 3.7 pela potência nominal total,
riP , e considerando a equação 3.10, teremos:
34
itieiiii
LiGi PfDfdt
d
f
HPP ,0
)(2
(3.17)
Tornando as variáveis ∆P e D medidas em pu, em relação a riP . Sendo iH a
constante de inércia por unidade, que é dada por:
ri
ikin
iP
WH
0
,
(3.18)
Aplicando a transformada de Laplace na equação 3.17, obteremos o
seguinte:
)()]()()([)( , sGsPsPsPsF piitieLiGii
(3.19)
3.4 MODELO DE SISTEMA COM AS ÁREAS INTERLIGADAS
O modelo apresentado no item anterior mostra que uma área se
comporta aproximadamente como uma unidade geradora, nos levando a concluir
que, se quisermos representar duas áreas ou mais, interligadas, podemos seguir
o mesmo raciocínio utilizado em caso de dois ou mais geradores síncronos,
operando em paralelo e interligados através de uma reatância mútua.
No caso de duas áreas, por exemplo, a troca de potência elétrica entre
os geradores é dada pela equação 3.20:
12
12
21 senx
EEPtie
(3.20)
Em que
𝑥12 = Reatância equivalente entre os geradores 1 e 2.
111 δ Ee = tensão terminal do Gerador 1;
222 δ Ee = tensão terminal do Gerador 2;
2112 δδδ .
35
Para pequenas perturbações, que é o foco desse estudo, pode-se adotar
o modelo linearizado da equação 3.20, que é dado pela equação 3.21, abaixo:
12
0
12 TPtie (3.21)
Em que
tiePΔ desvio de potência de intercâmbio em pu;
12δΔ desvio da diferença angular em rad;
012
12
21012
δcosx
EET = coeficiente de torque sincronizante em pu.
Entretanto, o ângulo não é uma variável de estado do modelo em
estudo, então deveremos “tratar” a equação 3.21 da seguinte maneira:
Sabe-se que dt
df
δΔΔπ2ωΔ . Logo,
t
fdt
0
Δπ2δΔ
Por Transformada de Laplace, temoss
f 2 . Com isso, a equação
3.21 resulta em:
)(2
21
0
12
1ff
s
TPtie
(3.22)
Estendendo este modelo para o caso de três áreas, acrescentaremos a
equação de intercâmbio de potência entre as áreas 2 e 3, que é dada por:
)(2
23
0
32
2ff
s
TPtie
(3.23)
O diagrama de blocos do sistema é apresentado na Figura 9
36
2cPΔ
3cPΔ
1cPΔ
+
-
+
+-
1R
1
2R
1
3R
1
-
1GsT1
1
2GsT1
1
3GsT1
1
1rsT1
1
2rsT1
1
3rsT1
1
1ExΔ
2ExΔ
3ExΔ
1GPΔ
3GPΔ
2GPΔ
2LPΔ
1LPΔ
3LPΔ
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
12a
32a
1tiePΔ
2tiePΔ
1p
1p
sT1
K
3p
3p
sT1
K
2p
2p
sT1
K
s
T2 012
1fΔ
2fΔ
3fΔ
-
-
s
T2 032
Figura 9: Diagrama de blocos do sistema com 3 áreas
Fonte: Castro, 2006
Neste diagrama ija indicam a parcela da potência e o sentido da potência de
intercâmbio (ELGERD, 1976). O sinal negativo indica que a área i fornece
energia, enquanto os valores positivos indicam que esta área recebe energia. A
interligação entre duas áreas é feita através de uma linha de transmissão,
focando apenas as potências de intercâmbio e desconsiderando as
características elétricas da linha.
37
4. ESTABILIZADORES DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Como foi dito no capítulo anterior, um sistema de excitação pode ser
composto por regulador de velocidade e controladores auxiliares como
estabilizadores de sistema de potência.
Uma característica importante dos grandes sistemas elétricos é que eles
operam de maneira interligada através de longas linhas de transmissão que
conectam unidades geradoras de grande porte, que operam próximos à suas
capacidades máximas. Se por um lado este tipo de sistema é vantajoso
financeiramente e permite maior flexibilidade, por outro, demanda uma maior
atenção aos efeitos das oscilações eletromecânicas presentes no sistema.
Estas oscilações são comumente associadas aos modos locais e interáreas
(KLEIN et al., 1991; ROGERS, 2000; BAI et al, 2015; YOUSEFIAN, 2017). Desde
o início das interligações de sistemas nos anos 60, o principal aspecto desse
problema que tem sido abordado intensivamente pelos engenheiros de potência
é a estabilidade diante de oscilações, traduzida pela existência de
amortecimento positivo para todos os modos naturais de oscilação do sistema,
quando os mesmos são excitados por pequenas perturbações, ou mesmo
flutuações normais de carga (AYRES, 2005).
Nas últimas décadas tem sido dada uma considerável atenção à
aplicação e projeto de estabilizadores de sistemas de potência (ESP), que são
compensadores descentralizados de avanço-atraso, geralmente usados para
amortecer as oscilações. Os métodos de domínio da frequência são
constantemente utilizados nas análises e projetos desses estabilizadores
(ROGERS, 2000; PAL e CHAUDHURI, 2005; CASTRO et al., 2011; BENASLA
et al, 2016).
4.1. COMPOSIÇÃO BÁSICA DOS ESTABILIZADORES DE SISTEMAS DE
POTÊNCIA
Desenvolvidos a partir do final da década de 1960, os estabilizadores de
sistemas de potência são dispositivos que atuam nas malhas de controle dos
reguladores automáticos de tensão (ou AVR, do inglês, Automatic Voltage
38
Regulator), com o intuito de amortecer oscilações eletromecânicas de baixa
frequência em máquinas síncronas no sistema de potência (MOTA, 2010; IEEE,
2016). O AVR desempenha um importante papel na extensão dos limites tanto
dos regimes permanentes quanto dos transitórios quando o sistema é submetido
a uma grande perturbação e, de certo modo, reduz o amortecimento intrínseco
do sistema de potência (PEREIRA, 2009). Entretanto, em sistemas interligados,
demandam a presença de um sinal estabilizante auxiliar injetado na malha de
regulação de tensão dos geradores, para um amortecimento mais eficaz
(KUNDUR, 1994).
Basicamente, a estrutura do controlador é composta por sensores para os
sinais de entrada, um filtro passa-alta (washout), um amplificador,
compensações de avanço e atraso de fase, lead-lags, correspondentes ao
compensador dinâmico; filtros de alta frequência e um limitador. Abaixo temos o
esquema geral de um controlador clássico, do tipo PSS1A de acordo com o
IEEE:
Figura 10: Modelo básico de um estabilizador clássico
Fonte: IEEE, 2016
A constante de tempo T6 pode ser utilizada para representar uma
constante de tempo do transdutor. O ganho do estabilizador é definido pelo termo
Ks e a constante de tempo do filtro Washout está representada pelo T5.
As constantes de tempo dos filtros washout definem a frequência de
oscilações a partir da qual o ESP atua. Os valores escolhidos para esses
parâmetros devem ser grandes o suficiente para permitir que os modos de
oscilações do rotor sejam detectados e pequenos o bastante para que grandes
excursões na tensão de campo sejam causadas durante a operação em rede
isolada (MOTA, 2010; KUNDUR et al., 2003). Ele atua como um filtro passa-alta,
com uma constante de tempo suficientemente grande para permitir que sinais
39
com oscilações 𝜔𝑟 passem sem atenuações significativas e modificações de
fase, contribuindo para que o ESP responda apenas às variações de velocidade
(PADIYAR, 1996). Essas constantes podem variar entre 1 a 20s.
O bloco de segunda ordem com parâmetros A1 e A2 correspondem aos
filtros torsonais, presentes em alguns estabilizadores, que podem ter efeitos de
baixa frequência ou de alta. Quando não utilizado para esta finalidade, o bloco
pode ser utilizado para auxiliar na formação das características de ganho e fase
do estabilizador, se necessário. As demais constantes, de T1 a T4, pertencem
aos blocos de compensação de avanço e atraso (IEEE, 2016)
O ganho determina a magnitude do amortecimento introduzido pelo ESP,
mas para Kundur, Lee e Zein El-Din (1981), um modo associado à tensão de
campo, com frequência na faixa de 3 a 6 Hz limita os valores máximos deste
ganho, pois o amortecimento deste modo decresce com o aumento do ganho.
Este modo está relacionado com a malha de controle que envolve o sistema de
excitação e regulador de tensão.
O bloco de compensação de fase permite a adequação de fase entre a
entrada do sistema de excitação e o conjugado do gerador elétrico, uma vez que
a primeira grandeza geralmente apresenta um atraso de fase (CALDEIRA,
2009).
Por fim, o limitador é empregado para permitir a máxima contribuição do
estabilizador, pois seu valor permite uma faixa de controle suficiente e reduz a
probabilidade de uma unidade geradora sair de operação devido à atuação do
estabilizador (KUNDUR, LEE e ZEIN EL-DIN, 1981).
Isso porque o sinal de saída dos ESP deve ser limitado, para que não
interfira no sinal do AVR, pois o AVR atua para controlar o valor da tensão
terminal e, uma variação da velocidade do rotor ou frequência poderiam levar o
ESP a contrariar a ação do AVR (DILL, 2013). É recomendável que esses limites
variem de -5% à 20% (IEEE, 2016).
40
4.2. ESTRUTURA DE CONTROLE DOS ESP
A estrutura de controle do ESP tem a capacidade de controlar diferentes
modos ao mesmo tempo, contanto que eles tenham observabilidade
considerável entre eles. Os ESP podem ter quatro principais tipos de estruturas
de controle:
• Quase-descentralizada: o controlador pode ser alimentado por sinais
locais e remotos sendo que os dois tipos de sinais são processados
localmente no dispositivo.
• Centralizada: O controle centralizado normalmente é situado em uma
subestação, ou centro de operação central e é projetado para receber
sinais remotos e otimizar o sistema de forma global.
• Hierárquica: A estrutura de controle hierárquico é uma combinação
da estrutura descentralizada com a centralizada e visa o
amortecimento de modos locais e interáreas.
• Descentralizada: quando cada controlador é alimentado por um sinal
local, originado do próprio gerador onde está localizado o ESP. Essa
estrutura não é tão eficiente para modos interáreas, mas é
amplamente utilizada na indústria por motivos práticos. (IEEE, 2015)
Essas estruturas permitem o projeto de controladores utilizando sinais
locais e remotos através de técnicas de controle multivariável, onde projeto de
todos os controladores do sistema pode ser realizado simultaneamente
efetuando-se a coordenação entre todas as fontes de geração e controle. (DILL,
2013).
Os primeiros passos para implementar o ESP é definir sua estrutura de
controle bem como a melhor localização e o sinal de controle a ser utilizado.
Essas informações são obtidas por meio da análise modal, que podem ser a
partir de diversos indicadores, inclusive os explicados no capítulo anterior.
Como o interesse desse trabalho é aproximar as simulações das tecnologias
com maior aplicabilidade na indústria, utilizaremos a estrutura descentralizada,
visando aproveitar os controladores já existentes no sistema escolhido.
41
4.3. HISTÓRICO DOS ESTABILIZADORES DE SISTEMA DE POTÊNCIA
Entre 1960 e 1990, diversos ESP’s foram propostos, de acordo com o
sinal escolhido como entrada do controlador. Entre as opções, destaca-se o
método proposto por De Mello e Concordia (1969), que utiliza a velocidade do
rotor como sinal de entrada. Os métodos de domínio da frequência são
frequentemente utilizados nas análises e projetos desses estabilizadores
(KUNDUR et al., 1981, LARSEN e SWANN, 1981). Basicamente, este método
consiste em, através de um sensor magnético, converter a velocidade do rotor
em tensão, sinal este que será tratado no domínio da frequência. Algumas
etapas, do tratamento do sinal, como o avanço da fase e ajuste de ganho são
utilizadas em ESP até hoje, mesmo naqueles baseados em outros tipos de
entrada (BÉRUBÉ et al, 1999).
Há também ESP’s que utilizam a frequência de rotação do rotor como
sinal de entrada (SCHLEIF et al, 1968; e KEAY e SOUTH, 1971), o que reduz os
ruídos provocados por vibrações no movimento dos rotores. Neste tipo de
controlador, o sinal de entrada escolhido sofre mais influência do modo interárea
do que do modo local. Esta característica é determinante no desempenho do
controlador, a depender do tipo de aplicação que ele terá (BÉRUBÉ, et al, 1999;
KUNDUR et al, 2003). Entretanto, este tipo de ESP apresenta alguns problemas,
dentre eles, há uma grande susceptibilidade a ruído causado por cargas
industriais não lineares, o que pode levar o ESP a ter ganhos baixos (MOTA,
2010).
Vale ressaltar que, até em casos mais simples, a aplicação de ESP não é
uma tarefa trivial, pois os parâmetros destes controladores devem ser ajustados
para fornecerem aumento de amortecimento para múltiplos modos de oscilação
que mudam de acordo com as condições operativas (KUNDUR, 1994). As
técnicas para sintonia dos parâmetros de ESP têm evoluído a partir de um
trabalho inicial apresentado em (LARSEN e SWANN, 1981), com vários tipos de
abordagens, envolvendo resíduos de funções de transferência (PAGOLA et
al.,1989) ou mesmo a teoria de controle robusto (RAMOS et al.,2004),
(BOUKARIM et al.,2000), para citar apenas alguns exemplos (CALDEIRA, 2009)
42
Como se pode perceber, o trabalho apresentado por de Mello e Concordia
em 1969 foi um marco no estudo de estabilizadores. Visando melhorar a
estabilidade do sistema de potência, sob a variação das condições operativas do
sistema e da máquina, ou seja, a variação da carga, da inércia ou alterações na
configuração do sistema, os autores apresentaram um estudo para obter um
ajuste ideal dos parâmetros e constantes de tempo do sistema de excitação e
regulador de tensão. Também demonstraram os efeitos da atuação destes
elementos, que, muitas vezes, apesar de inserirem um conjugado sincronizante
positivo, uma parcela de conjugado negativo também aparecia na magnitude do
amortecimento do sistema, o que pode ocasionar instabilidade. A conclusão que
chegaram é que nem sempre se consegue atingir o equilíbrio entre contribuir
com conjugado sincronizante e manter um pouco de amortecimento intrínseco à
máquina, com a atuação do regulador de tensão. A solução encontrada para
contornar esta situação foi a aplicação de sinais adicionais estabilizantes, ou
seja, os estabilizadores de sistemas de potência.
Então Kundur, Lee e Zein El-Din (1981) apresentaram uma análise
detalhada dos principais componentes de um estabilizador de sistema de
potência. O estudo baseava-se na aplicação do ESP, como um controle adicional
que atua aumentando e restaurando o amortecimento total do Sistema, que foi
impactado pela ação dos sistemas de excitação e regulador de tensão, que, por
produzirem uma parcela de torque negativo no amortecimento, provocam uma
diminuição da região de estabilidade a pequenos impactos. Estes estabilizadores
podem ser ajustados para promover o amortecimento de modos oscilatórios de
natureza diferente, tendo para tanto um ajuste diferente em cada caso.
No mesmo ano, Larsen e Swann (1981) apresentaram um estudo
completo a respeito dos estabilizadores, dividido em três partes. Incialmente
foram apresentados os diferentes tipos de estabilizadores, com sinais de entrada
variados, como por exemplo, velocidade, frequência ou potência da máquina. Os
estabilizadores que utilizam a velocidade ou potência como sinal de entrada tem
um desempenho melhor em sistemas com maior capacidade de operação e
transmissão. Para sistemas com linhas fracas, ou que precisam transmitir
energia para longas distâncias, os estabilizadores com frequência no sinal de
entrada conseguem um ganho maior. Na segunda parte do trabalho, Larsen e
43
Swann (1981), também fazem uma análise da técnica de ajuste dos
estabilizadores que utilizam lugar das raízes, associando os modos de oscilação
do sistema de potência à autovalores. Os autores fecham o trabalho
apresentando critérios para ajustes das constantes do modelo do estabilizador,
normalmente relacionados à faixa de frequência de operação, condição
operativa, configuração e a condição de instabilidade do sistema.
Neste período, o uso de autovalores e autovetores do modelo linearizado
passou a ser uma alternativa visada, aplicando em sistemas Multimáquinas. Seja
para ajuste de estabilizadores (SIVAKUMAR et al., 1985; TSE e TSO, 1988) ou
seleção das unidades geradoras que irão receber os estabilizadores (CASTRO
et al., 1988; MARTINS e LIMA, 1990).
Gooi et al. (1981) propôs um aprimoramento da técnica de identificação
da localização mais eficiente do ESP em um sistema multimáquina, utilizando
também a técnica de autovalores e uma análise de sensibilidade. Apesar da
determinação de respostas em frequência em grandes sistemas ser
computacionalmente demorada, as técnicas baseadas no domínio da frequência
para o amortecimento das oscilações são mais relacionadas com a prática dos
engenheiros das empresas de geração de energia. Com isso, outros métodos de
resposta em frequência multivariáveis baseados em Nyquist foram propostos,
porém, sem muito sucesso (AHSON e NICHOLSON, 1976, AHSON et al., 1979,
MUTTIK e GIBBARD, 1980, ANDERSON et al., 1987, CRUSCA E ALDEEN,
1991).
Entretanto, se ampliarmos as possibilidades, o uso de autovalores e
autovetores torna-se limitado, dando origem a um controlador que pode não
proporcionar um desempenho satisfatório para uma gama maior de condições
de funcionamento do modelo (KUNDUR et al., 1989), ou pelo fato de precisar de
outros parâmetros, como os zeros do sistema, para representar a dinâmica do
sistema, como é mostrado em Martins et al. (1992). Ou ainda podemos ter
autovetores convergindo para vetores falsos, quando temos modos de oscilação
muito próximos uns dos outros (KLEIN et al., 1992).
Diversas metodologias usando a resposta em frequência também foram
propostas. Entretanto um método pode ser considerado bastante adequado para
44
sistemas grandes em que é utilizado um número limitado de estabilizadores. Esta
metodologia foi proposta por Araújo e Castro (1995) e consiste em primeiramente
verificar quais máquinas respondem mais efetivamente à aplicação dos
estabilizadores e depois a observabilidade e a controlabilidade dos modos
críticos locais e interáreas destas máquinas são analisadas, indicando os locais
para aplicação dos estabilizadores para amortecimento de ambos os modos.
Por fim, o desenvolvimento da eletrônica de potência possibilitou o
surgimento dos dispositivos chamados FACTS (do inglês, Flexible AC
Transmission Systems). Dispositivos usados, a princípio, no controle de fluxos
de potência e na melhoria do perfil de tensão na linha de transmissão, porém a
sua utilização no amortecimento de oscilações passou a ser estudada e até
implementada (MARTINS et al., 1994; TARANTO e CHOW, 1995; OTHMAN e
ÄNGQUIST, 1995; PAL e CHAUDHURI, 2005). De acordo com Paserba (2007)
a tecnologia dos FACTS proporciona uma operação segura e confiável dos
sistemas de energia, com um investimento mínimo de infra-estrutura, menor
impacto ambiental, e menor tempo de implementação. Em Tortelli (2010), a
abordagem de alocação e determinação ótima dos parâmetros de controle dos
controladores FACTS é vista de maneira desacoplada, sendo o problema de
alocação tratado pela técnica de Algoritmos Genéticos e a otimização dos
parâmetros dos controladores por meio do método do Gradiente Reduzido.
4.4. CONTROLE ROBUSTO APLICADO AO ESTABILIZADOR DE SISTEMA DE POTÊNCIA
A necessidade de se obter estabilizadores de sistema de potência mais
precisos, com modelos que consideram toda a complexidade inerente ao
sistema, levou os pesquisadores a se interessarem pelas técnicas de controle
robusto. Um dos primeiros modelos voltados para os estabilizadores de sistema
de potência, foi desenvolvido por Araki et al (1981). Neste trabalho, foi aplicado
a teoria de controle ótimo e método do lugar das raízes para o projeto de
controladores por realimentação linear para máquinas síncronas. Entretanto, o
modelo de estrutura do ESP desenvolvido por Araki diferia daquele proposto por
De Mello e Concordia (1969).
45
Em 1989, Pai e Sauer propuseram a aplicação do teorema de Kharitonov
para o problema de controle do sistema de potência. Entretanto a aplicação em
Estabilizadores de Sistema de Potência ainda era limitada. Além disso, eles
reconheciam a importância de se examinar a estabilidade dinâmica de tensão
por tratamento de carga variável como um parâmetro, e, assim, aprofundar as
pesquisas. No ano seguinte, Takagi e Shigemasa (1990), ampliaram o modelo
proposto por Pai e Sauer (1989) e aplicaram técnicas de linearização em espaço
de estados para lidar com a não-linearidade do sistema e ampliar as condições
de funcionamento estáveis. Os resultados do trabalho de Takagi e Shigemasa
foram bem-sucedidos em um modelo de uma única linha. Para modelos mais
gerais, o método não foi testado.
Chow et al (1990), também obtiveram êxito na modelagem de ESP,
utilizando técnicas de controle robusto. No seu modelo, Chow et al combinou
controle H∞ com técnicas de otimização de valor singular para desenvolver
estabilizadores a serem aplicados em uma única máquina e um sistema de duas
máquinas com diferentes condições de funcionamento. O resultado foi um ESP
que oferece melhor amortecimento comparado a um ESP convencional.
Aliás, nas últimas décadas, o controle robusto vem sendo utilizada
exaustivamente em projetos aplicados em Estabilizadores. Em Komla et al
(1997), é relatado um estudo da aplicação de controle robusto H∞ baseado na
incerteza do “numerador-denominador” em ESP aplicados em sistemas de
barramento infinito para uma única máquina, que pode ser estendido para
sistemas de potência com múltiplas máquinas, ampliando o modelo iniciado por
Chow et al (1990). Entretanto, apesar dos bons resultados, este método sofre
algumas restrições, além de gerar um controlador de ordem elevada. Mais tarde,
Ngamroo (2001) utilizou novamente H∞ para modelar o ESP aplicado à uma
máquina conectada a um barramento infinito. O método de fatoração “coprime”
foi utilizado para minimizar a norma H e foram obtidos resultados satisfatórios. O
controle H∞ ainda foi utilizado em Supriyadi et al (2008), no projeto de controle
robusto do ESP e do capacitor série controlado a tiristor (TCSC, do inglês
“thyristor controlled series capacitor”), simultaneamente. Peng (2012) modela os
estabilizadores, com controle LMI, baseado nos controladores H2/H∞, e um
46
sistema de referência com uma única máquina barra infinita e dois geradores
alimentados por uma turbina eólica.
Boa parte dos estabilizadores gerados a partir das técnicas de controle
robusto, seja H∞ ou qualquer outro, não tem sido amplamente adotada em uso
prático, devido à natureza complexa da sua teoria e estrutura. Entretanto,
Morishita et al (2012) conseguiu otimizar os parâmetros do ESP, modelado a
partir do controle H∞, através de algoritmo genético.
Algoritmos bio inspirados já são bastante utilizados na literatura para
adaptar ESP. Khodabakhshian et al (2013) consideraram as condições de não
linearidade do sistema Multimáquinas e ajustaram os parâmetros do
estabilizador utilizando um novo algoritmo de otimização Meta-heurística
baseado na combinação de otimização por enxame de partículas (PSO) e
algoritmos co-evolutivos. Linda e Nair (2013) demonstraram que o “Breeder
Genetic Algorithm” apresenta uma resposta ainda mais satisfatória do que um
algoritmo genético comum em sistemas multimáquinas. Outra evolução do
algoritmo genético é o método NSGA-II (Uma variação do algoritmo genético
para funções multi-objetivo) que demonstrou eficácia na otimização dos
parâmetros do estabilizador do sistema de potência (SAMANI et al, 2013). Outra
aplicação foi dada por Kashki et al (2013), que utilizaram o algoritmo CDCARLA,
um procedimento combinado de duas etapas de otimização em espaços
contínuos e discretos para a convergência rápida e alta eficiência de otimização,
para ajustar os parâmetros do controlador. Por fim, em Peres (2016), tem-se a
aplicação do enxame de partículas e do algoritmo eco-localização de morcegos,
com o objetivo de maximizar o coeficiente de amortecimento dos modos de
oscilações, obtendo resultados promissores a serem aplicadas em dinâmica de
sistemas de potência.
4.5. CONCLUSÃO
Ficou comprovado o interesse dos especialistas pelos estabilizadores de
sistema de potência, desde os primeiros modelos. Mas, além disso, é
interessante que estes estabilizadores forneçam um controle robusto para esses
sistemas, amortecendo os diversos modos de oscilações eletromecânicas,
aumentando as margens de estabilidade do mesmo. Sendo assim, utiliza-se
47
métodos de análise modais, com a finalidade de identificar a natureza dos modos
mais frequentes e como podemos controlá-los de maneira eficaz, utilizando os
estabilizadores.
48
5. PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS DESCENTRALIZADOS
Como já foi dito, neste trabalho, optou-se por utilizar estruturas de controle
descentralizados, seja no sistema carga-frequência ou nos sistemas
multimáquinas.
Além disso, um controlador robusto é aquele capaz de controlar o sistema
mesmo que ele apresente variações dos parâmetros em relação ao modelo de
sistema proposto. Essas variações ocorrem porque não é uma tarefa simples
precisar todos os parâmetros que compõem o modelo. Por exemplo, os modelos
dos sistemas de potência são função das condições de carga dos geradores,
das tensões e da configuração externa, que variam constantemente e de
maneira complexa.
Ao linearizar esses modelos, desconsiderando as partes dinâmicas do
sistema ou mesmo fazendo aproximações, a resposta do modelo pode ser, na
melhor das hipóteses, próxima à do sistema real, mas não igual. Desta forma,
nenhum modelo deve ser considerado completo sem uma avaliação dos seus
erros. Na realidade todas essas diferenças (erros) existentes entre o modelo e o
sistema real são denominadas incertezas do modelo. Portanto, parte do
problema de controle robusto é lidar com a representação dessas incertezas no
modelo proposto.
5.1. INCERTEZAS EM MODELOS DE SISTEMAS
Para ilustrar a diferença entre um modelo e o sistema real, a Figura 11
apresenta os gráficos de magnitude da resposta em frequência, ou valores
singulares, de um modelo e do sistema real típico. Também são apresentados
os limites comuns para as respostas.
49
Figura 11: Comparação ilustrativa do sistema real com seu modelo
Fonte: Castro, 2006
Então, pode-se definir incertezas como as diferenças ou erros entre o modelo
e a realidade. Essas incertezas podem ser agrupadas em duas categorias:
• Incertezas estruturadas: São também chamadas incertezas
paramétricas. Nesta classe, a estrutura do modelo, inclusive a sua
ordem são conhecidas e bem definidas, porém os valores de alguns
parâmetros podem variar, por exemplo com o ponto de operação,
podendo-se conhecer os intervalos dessas variações em
funcionamento normal. Assim, as incertezas são tratadas onde elas
ocorrem e com magnitudes bem definidas, indicando estrutura para
as incertezas (DOYLE, 1982).
• Incertezas não estruturadas : São erros genéricos associados com
todos modelos. Nesta classe incluem-se todas as formas de erros e
variações, inclusive os devidos à não consideração de parte da
dinâmica do sistema. Assim, nem a própria ordem nem as variações
paramétricas e nem mesmo a estrutura do modelo são perfeitamente
definidas.
Por essas definições, é conveniente para que o sistema de potência seja
utilizado modelo com incertezas não estruturadas, pois nos modelos de sistema,
equações dinâmicas são desprezadas, como por exemplo as equações
Magnitude sistema real
modelo
limite
limite
log
50
subtransitórias dos amortecedores, as equações do regulador de velocidade,
que podem ser avaliadas mas não necessariamente quantificadas (Castro,
2006).
5.1.1. Incertezas não estruturadas
No caso de incertezas não estruturadas, estas podem ocorrer por todo o
sistema e de forma pouco definida, então assume-se que todas estão
concentradas em um só vetor de sinais na entrada ou na saída do sistema.
Uma abordagem válida para descrever essa classe de incertezas é o domínio
da frequência, que dá origem a perturbações complexas normalizadas
||∆(𝑆)||∞ ≤ 1. Pode-se ainda utilizar uma abordagem que consiste em uma ou
mais fontes de incertezas reunidas em uma única incerteza concentrada, ou seja
utiliza-se uma matriz ∆ de perturbação complexa cheia, normalmente de
dimensões compatíveis com as da planta onde, para qualquer ∆(jω), seja
satisfeita a relação �̅�(∆𝑖(𝑗𝜔)) ≤ 1. A Figura 12 mostra alguns exemplos de
aplicação dessas incertezas:
Figura 12: Formas comuns de incertezas não estruturadas
Fonte: Skogestad e Postlethwaite, 2005
51
Nas letras (a), (b) e (c) são mostradas as incertezas aditiva, multiplicativa na
entrada e multiplicativa na saída, respectivamente. já nas letras (d), (e) e (f), tem-
se incertezas aditiva inversa, multiplicativa de entrada inversa e multiplicativa de
saída inversa, respectivamente.
Essas incertezas mostradas na Figura 12 são descritas pelas seguintes
equações:
𝐺′ = 𝐺 + 𝜔𝐴∆𝐴 (5.1)
𝐺′ = 𝐺(1 + 𝜔𝐼∆𝐼) (5.2)
𝐺′ = 𝐺(1 + 𝜔0∆0)𝐺 (5.3)
𝐺′ = 𝐺(1 − 𝜔𝐼𝐴∆𝐼𝐴𝐺)−1 (5.4)
𝐺′ = 𝐺(1 − 𝜔𝐼𝐿∆𝐼𝐿)−1 (5.5)
𝐺′ = 𝐺(1 − 𝜔𝐼𝑂∆𝐼𝑂)−1 (5.6)
Tal que (s) é uma matriz de incertezas normalizadas que em conjunto
com as ponderações ω representam a incerteza verdadeira. As Equações 5.1
a 5.6, em função das incertezas e do modelo nominal G(s) resultam no o
sistema real G’(s). O sinal negativo na frente das incertezas não possui grande
relevância pois pode assumir qualquer sinal.
As ponderações escalares ω também podem ser substituídas por
matrizes de ponderação de acordo com a Figura 13:
Fonte: Castro, 2006
A forma comum que é utilizada neste trabalho, considera Wa = a I em
que a < 1 e Wb= b I, com b=1ττ
ττ 0
s)/(
s. As constantes 0τ , /1 e τ são a
incerteza relativa no estado estacionário, aproximadamente a frequência onde a
incerteza relativa atinge 100% e a magnitude do peso em altas frequências,
respectivamente (SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005).
(s))s(Wb )s(Wa
Figura 13: Representação das incertezas como matrizes de ponderação
52
5.1.2. Efeito das Incertezas na Sensibilidade e Resposta do Sistema
Para essa análise, considera-se inicialmente incertezas multiplicativas
refletidas na entrada. Substituindo a ponderação escalar por matrizes,
segundo a Figura 13, a matriz das funções de transferência corresponderá a
seguinte relação:
)s(W)s(WI)s(G)s('G baΔ (5.7)
Logo, matriz de sensibilidade do sistema nominal será
1 )s(H)s(GIS (5.8)
enquanto a matriz de sensibilidade do sistema real é:
1 )s(H)s('GI'S (5.9)
Substituindo )s('G da Equação 5.7 na Equação 5.9, resulta
1Δ
)s(H))s(W)s(WI)(s(GI'S ba
ou
S)s(H)s(GI)s(H))s(W)s(WI)(s(GI'S ba 1
Δ (5.10)
Assumindo que no intervalo de frequência de maior interesse (frequências dos
MOE) ocorre 1σ )GH( , analisando os valores singulares, baseado nas
propriedades discutidas no capitulo dois, temos:
)s(H))s(W)s(WI)(s(G
)S)s(H)s(G()'S(
baΔσ
σσ
(5.11)
Ainda aplicando as propriedades do capitulo 2, a Equação 5.11 resulta na
seguinte:
)S())s(W)s(WI())s(H())s(G(
))s(H())s(G()'S(
ba
σΔσσσ
σσσ
ou
)S())s(W)S(WI(
))s(H()s(G()'S(
ba
σΔσ
γγσ
(5.12)
53
A Equação 5.12 representa um limite superior para )'S(σ . Desta equação
pode-se concluir que S’ pode ter picos altos e muitos maiores que os picos de
S. Dessa equação conclui-se que o controle descentralizado não contribuirá
para deteriorar a sensibilidade do sistema real e consequentemente da matriz
de transferência de malha fechada T = SG. Ainda vale ressaltar que seguindo
o mesmo desenvolvimento utilizado anteriormente para o caso de incertezas
refletidas na entrada, obtém-se a mesma desigualdade da Equação 5.12,
portanto ela é válida para incertezas refletidas na entrada ou na saída.
No caso do controle da excitação de geradores, a aplicação de controles
idênticos é bastante justificável pelas seguintes razões (CASTRO, 2006):
1. Os modelos dos geradores utilizados no projeto são similares e de
mesma ordem, variando apenas os valores dos parâmetros;
2. Os geradores selecionados para aplicação de controladores são os
maiores do sistema de potência e com sistemas de excitação
modernos.
Entretanto, caso não seja atingida a robustez, é conveniente que se faça
ajustes nos controladores de modo que cada um venha atender as
necessidades do local aplicado. Nesse trabalho, por exemplo, os
controladores são na maioria idênticos, mas em alguns geradores foram
aplicadas variações desses controladores, de modo que se adaptassem
melhor ao sistema proposto e tornasse o problema mais geral.
5.2. DETERMINACÃO DOS CRITÉRIOS DE ESTABILIZAÇÃO ROBUSTA.
A análise de estabilidade aplicada neste trabalho utiliza-se do modelo de
sistema MΔ (SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005), ou seja, isolando o
bloco de incertezas , e arrumando os demais blocos de modo que resulte no
diagrama da Figura 14 onde )()()()( 0 sHsTsWsM .
54
Figura 14: Estrutura M∆ do sistema
A matriz diagonal )(0 sW representa os limites superiores das incertezas nos
canais de controle que corresponde a 12WW e T equivale ao produto da matriz
de sensibilidade pelo sistema.
Dessa simplificação, temos a seguinte relação:
∆0𝑊0(𝑠) = (𝐺′ − 𝐺)𝐺−1 (5.13)
Que resulta em
𝐺′(𝑠) = (𝐼 + Δ0𝑊0)𝐺(𝑠) (5.14)
Se 𝑆′ = (𝐼 + 𝐺′𝐻)−1 é a matriz de sensibilidade do sistema real, então,
SGHIGHWIIS ][])([' 1
00 . (5.15)
Assumindo que no intervalo de frequência de maior interesse ocorre (GH)>>1,
resulta:
�̅�(𝑺′) ≤𝛾(𝑮)𝛾(𝑯)
𝜎(𝑰 + 𝜟𝟎𝑾𝒐)𝜎(𝑺)
(5.16)
Usualmente, a matriz Wo(s) é representada por o(s)I, onde o(s) é um
peso, considerando um único limite superior, representando o pior caso,
associado a todos os canais de controle (CRUZ, 1996).
55
Assumindo que a matriz M e as perturbações sejam estáveis, então o
sistema M será estável para todas as perturbações com 1)( Δ , , se e
somente se (SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005):
(M(j)) < 1, (5.17)
em que (M) é o valor singular estruturado de M.
Sabe-se que (M) (M) e que a igualdade ocorre quando a matriz de
incertezas, , é cheia, que deve ocorrer com erros de modelagem e exclusão de
dinâmica dos geradores, rede de transmissão, etc. Sendo assim, considera-se
como condição necessária e suficiente para estabilidade robusta do sistema,
com (∆)≤1, , a condição:
1))(( jM (5.18)
Assume-se que o controlador é de estrutura conhecida (descentralizado e de
ordem reduzida). Logo, H(s) terá a seguinte forma:
)(00
0)(0
00)(
)(2
1
sh
sh
sh
sH
p
(5.19)
Para atingir a robustez, os parâmetros do controlador H(s) são ajustados
para solução do seguinte problema de otimização da norma H∞:
min[Sup( (M(jω))] (5.20)
Pois, como vimos anteriormente, H(s) faz parte de M.
Considere THM 0 (o sinal negativo não afeta o resultado). Então, a
equação 5.18 reduz-se a
56
1THTHM )().()()( 00 , (5.21)
ou
)(
1)(
0HT (5.22)
Ou ainda, caso sejam utilizados controladores idênticos em todos os
pares de entrada e saída selecionados, reescreve-se a equação 5.22 e obtêm-
se:
o
1
)(H
T (5.23)
Então, o objetivo é otimizar a função M (função objetivo), encontrando os
valores dos parâmetros do controlador, T’s e K, tal que seja satisfeita a condição
de robustez, que corresponde a equação 5.22 ou a 5.23. Ao minimizar o valor
singular máximo de M, estamos diminuindo os picos relacionados aos modos de
oscilação, o que, por consequência, dá mais estabilidade ao sistema. Como a
função M não é função explícita dos parâmetros do controlador, houve a
necessidade de usar métodos que não necessitem calcular as derivadas da
função. Então, o objetivo desse trabalho será buscar novos métodos que se
enquadrem ao problema e que sejam candidatos potenciais a encontrar a melhor
solução, baseado nas suas aplicações na literatura e, por fim, testá-los e
compará-los quanto à sua eficiência e eficácia.
Os três métodos estocásticos testados satisfazem essas condições, por
não necessitarem de avaliações do gradiente da função objetivo, portanto, não
há necessidade de se calcular a derivada das funções. Estes métodos foram o
Recozimento Simulado (SA – Simulated Annealing) e dois algoritmos evolutivos:
Algoritmos Genéticos (GA – Genetic Algorithm), com o qual iremos comparar os
demais, e Enxame de Partículas (PSO – Particle Swarm Optmization), que serão
melhor explicados no capítulo seguinte.
57
6. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO APLICADOS AO CONTROLE ROBUSTO H∞ UTILIZADOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA
Um dos motivos para a escolha dos três métodos que serão mostrados a
seguir é o fato desses métodos já apresentarem um bom desempenho quando
aplicados em estabilizadores de sistemas de potência (ESP) para diferentes
modelos de sistema. Por exemplo, Sunkara et al (2013) aplica enxame de
partículas para sintonizar os parâmetros do estabilizador de sistema de potência,
com compensador série controlado a tiristor (TCSC - do inglês: thyristor
controlled series capacitor), utilizado em um sistema multimáquinas, que se
mantém estável, sob influência do controlador, mesmo diante de falhas no
sistema, mas não diante de defeitos dos estabilizadores. Em Mahapatra e Jha
(2012) aplica-se enxame de partículas em controladores ESP, mas em um
sistema com uma única máquina, conectado a um barramento infinito. algoritmos
genéticos também apresentam um bom desempenho quando aplicados em ESP,
inclusive utilizando técnicas de controle robusto H∞, como pode ser visto em
Morishita, et al (2012). Assim como o recozimento simulado que, embora menos
convencional neste tipo de aplicação, apresentou resultados satisfatórios na
obtenção de parâmetros do ESP, utilizados em sistemas multimáquinas, em
trabalhos como o de Abido (2000). A diferença desses métodos para o proposto
nesse trabalho é que aqui há uma preocupação em apresentar ESP de baixa
ordem, em um arranjo capaz de manter um desempenho aceitável mesmo
apresentando defeitos em um dos controladores, ou na presença de faltas no
sistema. Além disso, a metodologia proposta aqui seleciona os pares de entrada
e saída de maneira simultânea, contribuindo para que seja possível analisar o
sistema como um todo, tornando o controle mais eficiente.
6.1. ALGORITMOS GENÉTICOS
Algoritmos Genéticos (GA, do inglês Genetic Algorithm) são um ramo dos
algoritmos evolucionários que se utilizam de técnicas heurísticas de otimização
baseadas numa metáfora do processo biológico de evolução natural. Nestes
algoritmos, possíveis soluções para o problema correspondem a indivíduos
(cromossomos) que compõem uma população. Cada indivíduo será submetido
58
a operadores genéticos, como seleção, recombinação (crossover), mutação e
etc. A representação cromossômica mais comum utilizada é a binária, ou seja,
cada solução é apresentada por um conjunto de sequências de bits (os genes).
Essa representação foi adotada por Holland (1975) e desde então vem sendo
aplicada devido a sua simplicidade.
Basicamente, os algoritmos genéticos seguem a lógica apresentada na figura
15:
Figura 15: Esquema básico de um algoritmo genético
Fonte: Linden, 2008
Dentre os operadores que podem ser aplicados, mutação e recombinação são
os mais comuns. Esses operadores funcionam da seguinte maneira:
• Função de mutação: A cada geração, associa-se uma pequena
probabilidade de mutação a cada gene. Então, sorteia-se um número
de zero a 1. Se o valor sorteado for menor do que a probabilidade
definida, o operador atua alterando aleatoriamente o valor do Gene. A
probabilidade não deverá ser muito grande para evitar que haja
mutações indiscriminadamente, tornando o processo de busca
59
aleatório demais. Logo, define-se um valor aleatório para taxa de
mutação por distribuição gaussiana com média 0 e desvio padrão igual
a: dk=dk-1(1-k/g), sendo dk o desvio padrão da geração atual, dk-1 o
desvio padrão da geração anterior, k é o número da geração atual e g
é o número máximo de geração. Dessa forma, a probabilidade de
mutação tende a reduzir a medida em que as gerações vão ocorrendo.
• Função de recombinação: Sendo dois cromossomos, sorteia-se um
ponto de corte na estrutura dos dados e cria-se um novo indivíduo,
juntando o conjunto de atributos da direita do ponto de corte do
primeiro pai, com os atributos da esquerda do ponto de corte do
segundo pai. Outro “filho” ficaria com os atributos restantes. Se
quisermos ampliar para mais um ponto de corte, o primeiro filho ficará
com a parte de fora dos pontos de corte do primeiro pai e com a parte
de dentro do segundo pai, restando as outras características para o
segundo filho. Existe ainda a recombinação uniforme que cria um vetor
de “zeros e uns”, aleatório, do tamanho do cromossomo. Cada termo
do vetor determinará de qual precedente virá o gene herdado pelo
descendente. Para os termos iguais a 0, utiliza-se o gene do primeiro
precedente. Para os termos iguais a 1, utiliza-se o gene do segundo.
Este último costuma ter um desempenho melhor que os dois primeiros
pois tem uma maior capacidade de combinar diferentes termos
(LINDEN, 2008). Na Figura 16 é apresentado o esquema da
recombinação uniforme.
60
Figura 16: Funcionamento do crossover uniforme
Fonte: Linden, 2008.
Das vantagens de se utilizar GA é que a possibilidade de buscar
paralelamente o conjunto de parâmetros que formarão uma solução ótima. Além
disso, apesar de determinar o conjunto de pontos a ser percorrido de maneira
aleatória, não se trata de métodos de busca não direcionados, pois exploram
informações históricas para encontrar pontos com melhor desempenho
(CARVALHO, 2003). Outra vantagem é que os GA não são afetados por
descontinuidades e são indicadas para aplicações com em funções de perfis
complexos e multimodais, como a maioria das funções de custo associadas a
problemas reais (LINDEN, 2008).
6.2. ENXAME DE PARTÍCULAS (PSO)
O algoritmo PSO foi introduzido por Kennedy e Eberhart (1995) baseada
nos estudos do sócio biologista Edward Osborne Wilson e constitui uma técnica
evolutiva baseada em uma população de soluções e transições aleatórias. A
técnica surgiu a partir da tentativa de simular os comportamentos imprevisíveis
de um grupo de aves, com a finalidade de descobrir um padrão para essas
reações. Desde então, vem encontrando diversas aplicações, dentre elas, no
controle em Sistemas de Potência. Alguns autores chegam a dizer que, do ponto
de vista evolutivo, este método supera os Algoritmos Genéticos, pois o PSO
61
chega a seus valores de parâmetros finais em menos gerações do que os GA
(PANDA, 2009)
O algoritmo PSO apresenta características similares a técnicas da
computação evolutiva, que são baseadas em uma população de soluções.
Entretanto, no algoritmo PSO a busca da solução é motivada pela simulação de
comportamento social e cooperação entre agentes em vez da sobrevivência do
indivíduo mais apto. (COELHO e WEIHMANN, 2007)
No algoritmo PSO, cada solução candidata (denominada partícula) estará
associada a uma velocidade, que por sua vez, é ajustada através de uma
equação de atualização que leva em consideração a experiência da partícula a
qual está associada e a experiência das demais partículas da população. É
como se a partícula possuísse uma "memória" contendo sua melhor posição
prévia (pbest), enquanto a população possui uma espécie de "memória coletiva",
com a melhor posição já alcançada pelo grupo (gbest). A cada iteração, ocorre
um acréscimo da velocidade de cada partícula (taxa de variação da posição), em
todas as dimensões, fazendo com que haja gradualmente uma evolução para
melhores valores históricos.
A Figura 17 mostra um fluxograma do algoritmo básico do enxame de
partículas:
62
Figura 17: Fluxograma de um PSO básico
Fonte: Santos, 2013
Matematicamente falando, o PSO pode ser descrito pelas equações
abaixo (GAING, 2004), (FALCUCCI et al, 2007):
)()( )(
,22
)(
,,11
)(
,
)(
,
k
jij
k
jiji
k
ji
lk
ji xgbestrcxpbestrcvv
)1(
,
)(
,
)(
,
k
ji
k
ji
lk
ji vxx
𝑖 = 1, 2 … 𝑛
𝑗 = 1, 2 … 𝑚
Onde “n” é o número de partículas no grupo; “m” é o número de membros em
uma partícula; k é a iteração; 𝑣𝑖,𝑗𝑘 é a velocidade da partícula i na iteração k,
sendo que 𝑣𝑗𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑣𝑖,𝑗
𝑘 ≤ 𝑣𝑗𝑚𝑎𝑥 ; ω é o fator de inércia. O peso inercial permite
ampliar a diversidade de exploração do espaço de busca. Valores mais altos
facilitam a busca global (exploração) em novas regiões, enquanto que valores
63
menores favorecem a busca local (intensificação) em uma região mais
promissora; c1 é chamada parâmetro cognitivo e c2 é chamada parâmetro social
e representam a aceleração com que as partículas são levadas para os valores
de pbest e gbest (FALCUCCI et al, 2007), r1 e r2 são números aleatórios entre
0 e 1; e 𝑥𝑖,𝑗𝑘 é a posição de uma partícula i na iteração k.
Em outras palavras, a partícula é o agente que toma decisões a fim de
produzir um evento que poderá otimizar a situação da população que consiste
no conjunto de partículas com as mesmas funções objetivo. Por tratar-se de um
método muito dependente dos parâmetros que o regem, na hora de implementar,
é fundamental que tenha havido uma análise minuciosa na escolha desses
parâmetros, pois, do contrário, um problema mal sintonizado pode levar este
algoritmo a se prender mais facilmente a mínimos ou máximos locais (SANTOS,
2013).
6.3. RECOZIMENTO SIMULADO – SIMULATED ANNEALING
O simulated annealing (SA) é uma técnica inspirada no processo utilizado
para fundir metais, onde este é aquecido a uma temperatura elevada e em
seguida é resfriado lentamente, resultando em um produto homogêneo (esse
processo real é denominado recozimento ou annealing). Foi desenvolvida por
Kirkpatrick, Gelatt e Vecchi em 1983 e independentemente por Cerny em 1985,
baseados no algoritmo de Metropolis (METROPOLIS et al, 1953), método
empregado para simular a evolução de um sólido em uma caldeira, em direção
ao equilíbrio térmico, numa sequência de temperaturas decrescentes. Cada nível
térmico representa as soluções no espaço de busca, cuja energia de cada estado
é o valor da função objetivo. A proposta é obter uma amostra que siga os critérios
da distribuição de Boltzmann.
O pseudo código do SA é mostrado na figura 18:
64
Figura 18: Algoritmo recozimento simulado
Fonte: Adaptado de Silva, 2005
O algoritmo mostra que a partir de uma solução inicial aleatória, o laço de
iterações, que caracteriza o procedimento principal, gera, a cada iteração, um
vizinho s’, da solução corrente s. Então, a variação do custo (valor da função
objetivo) é testada a cada geração de um novo vizinho. O critério utilizado na
avaliação segue a seguinte relação: ∆ = 𝑓(𝑠′) − 𝑓(𝑠). Se ∆< 0, s, passa a ser a
nova solução imediatamente, se não, ele só será aceito com uma probabilidade
𝑒−∆/𝑇, onde T é um parâmetro chamado aqui de temperatura. Inicialmente, a
temperatura deve assumir um valor elevado To, que deverá diminuir a uma razão
qualquer, dentro de um número pré-definido de iterações, até que o sistema
65
atinja o equilíbrio térmico, ou seja, T seja tão pequeno que não permita mais
nenhum movimento, evidenciando que foi encontrado o ponto ótimo.
6.4. FUNÇÃO FITNESS E AS FUNÇÕES PENALIDADES.
Além de apresentar os métodos de otimização utilizados neste trabalho,
é importante chamar atenção para os conceitos de funções penalidades
aplicadas em problemas de otimização.
Tradicionalmente utilizada em problemas aplicados em ciência da
computação como, por exemplo, nos trabalhos de Zhang e Guo (2012) ou de
Song et al (2016), a aplicação de penalidades nas funções fitness é a abordagem
mais comum para lidar com restrições do problema (BÄCK et al, 2000).
Basicamente, consiste em alterar a função fitness, que normalmente é baseada
na função objetivo, restringindo-a aos espaços de buscas factíveis. Em
Richardson et al (1989), são apresentadas em linhas gerais as diferentes
abordagens em que as funções penalidades podem ser utilizadas.
No caso deste trabalho, a restrição adotada é a de que o sistema não
pode ser instável, ou seja, todos os autovalores deverão estar no semiplano
esquerdo, para o sistema em malha fechada. Entretanto, apenas amortecer os
modos não garante que estabilidade em malha fechada. Desta forma, faz-se
necessário modificação da função fitness para atender a essa restrição.
Uma maneira simples de se penalizar soluções que não atendem a esta
restrição é aplicar uma penalidade constante àqueles indivíduos que violem a
factibilidade. Ou seja, no caso de um problema de minimização como o deste
trabalho, a função fitness seria, então, composta por duas parcelas: a própria
função-objetivo original mais uma penalidade associada à restrição (BÄCK et al,
2000). A escolha da penalidade ser aplicada neste trabalho será mostrada no
capitulo 7.
66
7. PROCEDIMENTO DE POSICIONAMENTO E SINTONIA DOS CONTROLADORES
Como já foi mencionado nos capítulos anteriores, o objetivo deste projeto
é sintonizar controladores de baixa ordem do tipo ESP para Sistemas de
Potência de grande porte, sem redução no modelo do sistema, capazes de
amortecer pequenas oscilações. Para tanto, serão necessários métodos de
análise modal, capazes de analisar as entradas e saídas como um todo e
identificar as mais eficientes, possibilitando o posicionamento otimizado dos
controladores e reduzindo o número de ESP a serem instalados. Além disso,
sintonia desses estabilizadores deverá ser de forma automática, utilizando
métodos de busca heurísticas.
A metodologia desenvolvida neste trabalho está dividida em duas etapas:
Seleção dos pares de entrada e saída, onde serão aplicados os controladores,
e parametrização dos controladores aplicados. O procedimento pode ser
resumido seguindo os seguintes passos:
i) Inicialmente eliminam-se as saídas e entradas pouco efetivas ou que
resultem em uma combinação de difícil controle, usando a MGR em
regime permanente (adaptado de Castro e Araújo, 2002).
ii) Assumindo um número de controladores suficiente para atender os
pares de entrada e saída selecionados, traçam-se os gráficos de �̅�(j)
para cada conjunto de entradas e saídas.
iii) O conjunto com boa descentralização e maior �̅�(j) na faixa de
frequência dos MO críticos é selecionado para aplicação de
controladores.
iv) Definido os pares de entradas e saídas desses controladores, faz-se
a parametrização dos controladores.
v) A sintonia dos controladores deve ser feita com um método de busca
heurística a ser selecionado de acordo com o seu desempenho.
vi) Os parâmetros dos controladores devem ser tais que o controlador
seja robusto, usando como critério a norma H∞.
Estes passos utilizarão como base os critérios de análise modal e controle
robusto discutidos nos capítulos 2 e 5.
67
7.1. SELEÇÃO DOS PARES DE ENTRADA E SAÍDA
O procedimento de seleção de pares de entrada e saída para aplicação de
controladores utilizará matrizes de ganhos relativos e posteriormente a
combinação com valores singulares para garantir a descentralização e seleção
mais precisa, caso seja necessário.
Inicialmente gera-se a matriz MGR do sistema completo em estado
estacionário, considerando todas as entradas e saídas de todas as unidades. A
partir daí excluem-se os pares de entrada e saída que possuam as seguintes
características:
• Pares com ij < 0;
• A(s) saída(s) com 11
m
j
ij ;
• Os pares com valores grandes de ij > 10.
Os zeros multivariáveis no semiplano complexo à direita do eixo imaginário
podem ser um fator limitante para aplicação de controladores. Eles têm um
grande efeito nos picos de resposta, ultrapassagens, largura de faixa,
sensibilidade e robustez do sistema (CASTRO, 2006).
Para os sistemas multimáquinas utilizados nesse trabalho, foi feita uma
adaptação do método utilizado em Castro (2002) eliminando todos os pares de
entrada e saída com ij > 10, pois, segundo Skogestad e Postlethwaite (2005),
valores grandes de ij indicam números condição grandes também, o que
implica em conjuntos difíceis de controlar. Desta maneira, pode-se optar pela
exclusão de pares de entrada e saída com estas características, contribuindo
para o bom desempenho de controladores simplificados.
Em seguida, verifica-se a possibilidade de se utilizar controle descentralizado e
faz-se a seleção final do conjunto de pares de entrada e saída.
68
7.1.1. Aplicação de controladores descentralizados.
Segundo Castro (2006), para um controle descentralizado ser possível e
prático em um sistema de potência, ele precisa seguir os seguintes critérios:
• Cada par entrada-saída para controle deve ser de uma mesma unidade;
• Os pares entrada-saída selecionados não devem ter modos instáveis e
não controláveis (fixos);
Outra exigência que não é impeditiva mas deve ser observada é que
controlador de uma unidade não deve interagir com o controlador de qualquer
outra unidade, para evitar interferência danosa entre controladores. Uma
maneira de assegurar essa condição é considerando um conjunto de pares de
entradas e saídas cuja MGR(G) seja identidade para qualquer frequência
(SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005). Tomando essas medidas e
selecionando o conjunto de pares de entradas e saídas que sigam esses
critérios, faz-se a análise final determinando os gráficos de )(G até a região da
frequência de corte. É selecionado o conjunto com o maior )(G ao longo das
frequências dos MO.
7.2. PARAMETRIZAÇÃO DOS CONTROLADORES
Após a seleção dos pares de entradas e saídas, aplica-se o controlador
descentralizado e usam-se métodos de otimização heurísticos para a sintonia
dos parâmetros dos controladores. O objetivo é minimizar a norma utilizando
diferentes métodos de otimização para que se obtenha o melhor desempenho.
Os critérios a serem analisados serão os seguintes:
• Obtenção de um conjunto de parâmetros que aplicados ao
controlador, satisfaça o critério de robustez.
• Obter o melhor desempenho ao amortecer os modos
eletromecânicos.
• Menor tempo de convergência.
• Êxito nas convergências, obedecendo os demais critérios.
69
Sobre o ultimo critério, para os sistemas multimáquinas, foi feita uma
adaptação na função fitness através de uma função de penalidade: foi atribuído
um peso igual a 1000 ao número de autovalores presentes no semiplano direito
e somado à função fitness (ou custo).
O objetivo deste peso é “forçar” os algoritmos a buscarem minimizar a norma
utilizando um conjunto de parâmetros que corresponda a um sistema estável. A
escolha do peso foi feita de maneira empírica, cuidando para que os valores
atribuídos ao peso não se confundissem com os da própria função (isso foi
observado no caso de pesos na ordem de 100) e nem fossem altos demais.
Valores na ordem de 10 mil tiveram o desempenho semelhante aos de ordem de
1000. Assim, para quem observa a iterações, é possível distinguir quando o
algoritmo ainda está buscando soluções cujo os autovalores indicam
instabilidade, dando uma ideia do rumo que o algoritmo está tomando, mesmo
com os resultados parciais. Além disso, o uso do peso fez aumentar
consideravelmente o desempenho dos algoritmos.
Para validar a metodologia, foi utilizado um sistema teste de menor porte,
com controladores do tipo avanço e atraso, com o objetivo de exemplificar o
método proposto e verificar sua eficácia, para somente depois aplicar em
sistemas de maior porte e utilizando ESP. Os resultados dos testes podem ser
vistos na subseção a seguir.
7.3. APLICAÇÃO EM UM SISTEMA TESTE
O sistema teste é um sistema de potência de controle de carga-frequência de
três áreas equivalentes interligadas, como foi mostrada no diagrama de blocos
da figura 9, capitulo 3. Este é um modelo simplificado utilizado aqui apenas para
ilustrar a metodologia, pois não considera um parâmetro dinâmico importante,
que é o isócrono, não tendo portanto valor prático, mas atendendo bem à
proposta de servir como sistema teste inicial para a metodologia, devido a
simplicidade de sua implementação.
Segundo o exemplo utilizado em Calvert e Titli (1989), os parâmetros do sistema
são: Tp1= Tp2= Tp3= 20s; Kp1= Kp2= Kp3 = 240Hz/pu MW; R1= R2= R3 = 2,4Hz/pu
70
MW; TG1 = 0,08s; Tr1 = 0,3s; TG2 = 0,2s; Tr2 = 0,4s; TG3 = 0,3s; Tr3 = 0,5s; 𝑇120 =
𝑇320 = 0,0866 pu MW; a12 = a32 = -0,5. O modelo do sistema é representado por
xCy
uBxAx
t
tt
(7.1)
em que
xT = | f1 xE1 PG1 Ptie1 f3 xE3 PG3 Ptie2 f2 xE2 PG2|
uT = |PC1 PC3 PC2|
yT = |f1 Ptie1 f3 Ptie2 f2|
em que xEi, fi, PGi, Ptiei e PCi são, respectivamente, sinal de saída do regulador,
frequência, potência da turbina, potência de intercâmbio do turbogerador
equivalente a área i e a entrada de controle do regulador de velocidade da área
i,em valores incrementais (CASTRO E ARAÚJO, 2002).
Segundo Castro e Araújo (2002), este sistema tem três modos do tipo
interárea, o que implica na utilização de controladores nas três áreas para
amortecer esses modos. Os autovalores associados a esses modos são: λ1= -
0,1759 j3,0010 s-1; λ2= -0,1199 j4,0102 s-1; e λ3= -0,1893 j4,6410 s-1.
7.3.1. Análise modal do sistema teste
Aplicando-se a MGR nesse sistema, no estado estacionário,
considerando apenas entradas e saídas que podem ser usadas para controle,
acompanhada da soma de cada uma das linhas, resultou (CASTRO E ARAÚJO,
2002).
71
3
C1 C3 C21
tie1
tie2
0,0834 0,0834 0,1667 0,3335
0,7500 -0 0,2500 1
(0)= 0,0834 0,0834 0,1667 0,3335
-0 0,7500 0,2500 1
0,0834 0,0834 0,1667 0,3335
ijj
P P P
P
P
Para essa matriz, foram desconsiderados todos os pares de entrada e
saída com ijλ < 0 e saídas com 11
m
j
ij . Observando (0), conclui-se que
os seus elementos são todos menores que um, o que indica que o controle do
sistema não será difícil. A matriz também indica os sinais de saídas mais
efetivos: Ptie1 e Ptie2. As entradas mais efetivas são PC1 e PC3. Isso também
ocorre para 0.
No entanto, nem sempre a MGR é o bastante para avaliar o desempenho
dos pares de entrada e saídas. Então, calcula-se os valores singulares da matriz
de transferência. O número condição calculado para esse arranjo foi γ = 3,13, o
que indica que é possível controlar este sistema mais facilmente, usando os
pares de entrada e saída selecionados. Em Castro e Araújo (2002) foi observado
que, ao acrescentar o par entrada-saída (f2, PC2), o conjunto apresenta
melhores características para o controle descentralizado do sistema.
Calculando os valores singulares para os pares de entrada/saída (Ptie1,
PC3) e (Ptie2, PC1), teremos os seguintes resultados, mostrados na Figura 19:
72
10 -1 10 0 10 1 -50
-40
-30
-20
-10
0
10
20 dB
rad/s
Figura 19: Valores singulares do sistema em dB versus ω em rad/s, para os pares (Ptie1, PC3) e (Ptie2, PC1)
Fonte: Castro e Araújo, 2002
É possível observar que todos os três modos são influentes devido os picos de
. Entretanto, o modo 1 é praticamente não controlável para esse caso, devido
a um zero z = -0,2755± j2,9905 que, embora não esteja no semiplano direito
está muito próximo e com a mesma frequência desse modo, exercendo
influência sobre ele.
Por isso foi necessário o acréscimo de outro par entrada-saída que,
nesse caso, foi o (f2, PC2). Analisando os valores singulares deste novo
conjunto, obtemos o gráfico da Figura 20:
73
10 -1 10 0 10 1 -50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
rad/s
DB dB
Figura 20: Valores singulares do sistema em dB versus em rad/s, para os pares (Ptie1, PC3), (Ptie2, PC1) e
(f2, PC2)
Fonte: Castro e Araújo, 2002
Nesse caso, o valor singular é maior, em toda faixa de frequência de
maior interesse, indicando maior controlabilidade dos modos.
Para melhorar a descentralização do controlador, foi considerada a
representação com sinais compostos de saída, um recurso utilizado na prática,
definidos da seguinte maneira:
2232112 BfPBfPBfPy tietietie
T (7.2)
O B é o fator “bias” em MW/Hz e a relação BfPtie , com variáveis
incrementais, é denominada “Erro de Controle de Área” (ECA). Tanto a ECA
quanto o “bias” são amplamente utilizados na literatura como operadores do
controle da frequência e do intercâmbio de sistemas de potência. Normalmente
tem-se B maior que zero e menor que um. Tradicionalmente procura-se tomar o
“bias” igual à característica natural combinada de área, isto é, i
i
i DR
B 1
74
(COHN, 1961; ELGERD, 1976; CASTRO, 1988). Assim, adotamos um valor
típico B1= B2= B = 0,417 MW/Hz.
A MGR, em cω = 6 rad/s, resulta
152,0059,111,0001,0041,0059,0
11,0005,011,00,1003,0005,0
038,0064,00038,0064,1
Λ
jjj
jjj
jj
Verifica-se, então, que os sinais de y2 com as entradas, u, resultam em
pares com uma descentralização muito boa. Os gráficos de e da
descrição uGy 22 )( j são apresentados na Figura 21.
Figura 21: Valores singulares máximo e mínimo de G
Por fim, foram aplicados controladores idênticos, do tipo
)1/()1( 21 sTsTKhi , em cada área, para facilitar a modelagem devido a
semelhança entre as áreas. Entretanto, nada impede que este método seja
aplicado em controladores diferentes.
75
7.3.2. Seleção do método de otimização
Como foi dito, os parâmetros dos controladores deverão ser ajustados
para minimizar a função M, diminuindo também, por consequência, o (T). Para
tanto, foram utilizados três métodos de otimização: Algoritmos Genéticos,
Enxame de Partículas e Recozimento Simulado, e foram comparados os
resultados.
Para a aplicação de Algoritmos Genéticos foram feitas combinações de
20 indivíduos em até, no máximo, 200 gerações. Além disso, ao aplicar o
método, viu-se a necessidade de impor uma limitação ao valor da constante K,
permitindo que ela só variasse entre 0,4 e 1, para garantir que todos os
autovalores se situem no semiplano esquerdo complexo, resultando na
estabilidade do sistema em malha fechada (SILVA FILHA et al, 2014).
No caso do Enxame de partículas, os valores dos parâmetros foram os
seguintes: para os coeficientes de inércia foram adotados os valores c1 =c2 = 2,
pois a literatura recomenda que seja considerado c1+c2 ≤ 4, para que seja
mantida o equilíbrio entre a capacidade de busca global e local do algoritmo
(SANTOS, 2013; BERGH 2001). Para ω, foi atribuído o valor de 0,3, obtido
através de testes com o algoritmo. Foi empiricamente também que se definiu a
velocidade máxima das partículas, 4, e o número de interações e agentes, 50 e
15, respectivamente. Para facilitar a busca, assim como ocorreu com os
algoritmos genéticos, o K também foi limitado, entre 0,5 e 1, pelos mesmos
motivos apresentados acima. Finalmente, para o Simulated Annealing com as
mesmas restrições para K, utilizados para os algoritmos genéticos.
Os resultados apresentados pelos três métodos foram bastante semelhantes.
Todos mostraram robustez, diante do problema proposto.
Os parâmetros encontrados por cada método são mostrados na tabela 1:
Tabela 1: Parâmetros do controlador
GA PSO SA
K 0.401996 0.500000 0.400002
T1 0.001000 0.010000 0.001003
T2 0.010000 0.000010 0.010000
76
Os gráficos de (T) com o controlador obtido e de (H-1/o) para
o1=(0,25s+0,15)/(0,5s+1) são apresentados na Figura 22:
Figura 22: Valores Singulares do sistema usando controladores obtidos usando GA, PSO e SA
No domínio do tempo, em resposta ao Degrau, o método PSO se mostra
ligeiramente mais rápido, enquanto os outros dois são muito semelhantes, como
pode ser observado na Figura 23. Na presença de um impulso, os resultados
são tão parecidos que os gráficos chegam a se sobrepor, como mostra a Figura
24.:
77
Figura 23: Resposta ao degrau
Figura 24: Resposta ao impulso
Comparando os valores singulares resultantes dos três métodos,
podemos observar que o SA e GA têm os valores máximos mais atenuados em
relação ao PSO:
78
Figura 25: Valores singulares dos três métodos
Neste ponto, os modelos com diferentes métodos de otimização foram
testados. As faltas simuladas aqui foram perda de um dos controladores e
redução da potência de transmissão, ocasionado por defeitos nas linhas. Dentre
os três métodos analisados, o Algoritmo Genético teve o melhor desempenho,
conseguindo ter respostas satisfatórias retirando-se um dos controladores, ou
ainda reduzindo em 25% a potência de intercâmbio entre as áreas, ainda é
possível atingir robustez, como é mostrado nas figuras 26 e 27:
79
Figura 26: Verificação da robustez, com a ausência do controlador 1
Figura 27: Verificação da robustez utilizando PTIE =0,75.
80
7.4. CONCLUSÕES
Como foi mostrado, para controladores operando adequadamente, todos
os métodos conseguem satisfazer os critérios, entretanto, eles possuem
algumas pequenas diferenças na implementação. O método que converge mais
rápido é o PSO (o tempo gasto pelo Matlab para convergir, usando este método
foi de 1 minuto e 30 segundos, contra 2 minutos e 21 segundos do GA e 2
minutos e 12 segundos do SA). Entretanto, é necessário bastante cuidado na
hora de sintonizar o problema, pois o método tende a convergir para ótimos
locais. Além disso, os valores singulares máximos foram mais atenuados nos
outros dois métodos.
No Simulated Annealing, temos mais liberdade para sintonizar o
problema. Dos três métodos, foi o único que manteve a robustez, quando
utilizado sem restrição. Entretanto, resultou em constantes de tempo muito
grandes, inviabilizando o controlador. Quanto às faltas, dos três métodos, o
Algoritmo Genético tem o melhor desempenho.
Diante dos resultados apresentados, o próximo passo será a aplicação
em sistemas de grande porte, como é o caso do Sistema New England/ New
York, descrito no Benchmark do IEEE (2015), onde serão testados ESP
sintonizados pelo método desenvolvido neste capítulo. Ainda com o intuito de
teste, aplicaremos a metodologia em um sistema intermediário, de menor porte
em relação ao New England/ New York, que é o sistema de 39 barras (New
England).
81
8. APLICAÇÃO
Este capítulo apresenta os resultados da aplicação da metologia de seleção de
entradas e saídas e sintonia do ESP proposta em sistemas multimáquinas de
grande porte. São eles: New England e New England/New York (PAL E
CHAUDHURI, 2005) de 68 barras e 16 geradores. Ambos modelos fazem parte
da coletânea de benchmark a serem utilizados como sistemas testes em estudos
de dinâmica e controle de sistemas elétricos de potência, reunidos pelo IEEE
(IEEE, 2015). Abaixo seguem as análises de cada um dos modelos.
8.1. SISTEMA NEW ENGLAND
O Sistema Teste New England tem 39 barras, nove geradores e um gerador
equivalente, que representa o sistema New York, que está conectado a ele. Este
sistema pode ser representado pelo diagrama unifilar mostrado na figura 28:
Figura 28: Diagrama unifilar do sistema New England.
Fonte: IEEE, 2015
82
Os sistemas de excitação aplicados a esse sistema foram do tipo ST1A. Quase
todos os modos eletromecânicos deste sistema são locais, com exceção de um
modo interárea que representa a oscilação de todos os geradores do sistema
contra o gerador equivalente que representa a área de Nova Iorque (gerador 1).
O sistema apresentava apenas modos pouco amortecidos e o objetivo deste
trabalho, nessa etapa, é selecionar em quais sistemas de excitação serão
colocados os ESP e sintonizá-los com o intuito de testar como a metodologia se
adapta a sistemas com muitos geradores, para posteriormente aplicar em um
sistema de maior porte, já que este intermediário não representa exatamente um
desafio de controle de estabilidade.
8.1.1. Seleção de Geradores
Seguindo o procedimento descrito no capítulo 7, a ferramenta utilizada para a
seleção foi a Matriz MGR, que mede o grau de Interação entre entradas e saídas
do sistema, no estado estacionário (BRISTOL, 1966). A matriz de ganhos
relativos, assim como no sistema de 68 barras, foi gerada considerando apenas
os geradores pertencentes ao sistema (neste caso, os geradores 2 a 10), pois o
objetivo deste trabalho é implementar controladores do tipo ESP de forma
descentralizada, onde, nesse caso, os sinais de entrada e saída serão obtidos
localmente do gerador associado ao sistema de excitação e ao ESP. Nesse
caso, as propriedades da MGR (SKOGESTAD e POSTLETHWAITE, 2005)
serão utilizadas como ferramentas para a obtenção de um arranjo adequado ao
controle descentralizado e auxiliando na otimização do número de geradores a
serem aplicados o ESP. A escolha de uma estrutura descentralizada se dá por
questões práticas, pois é adotada amplamente na indústria e na academia para
projetos de controle de amortecimento de oscilações (ZANETTA et al 2005,
PELLANDA et al, 2006; DILL, 2013; PERES, 2016). Além disso, a estrutura
centralizada tem um custo mais alto de implantação relacionado aos canais de
comunicação destinados ä transmissão da realimentação remota (BOUKARIM
et al, 2000). A matriz MGR é mostrada na Tabela 2:
83
Tabela 2: MGR do sistema New England
G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10
G2 2.56 0.03 -0.13 -0.09 -0.16 -0.13 -0.12 -0.31 -0.66
G3 0.13 2.84 -0.13 -0.11 -0.18 -0.14 -0.14 -0.36 -0.90
G4 -0.13 -0.14 3.15 0.08 -0.15 -0.12 -0.20 -0.42 -1.05
G5 -0.11 -0.11 0.24 2.53 -0.14 -0.11 -0.16 -0.33 -0.81
G6 -0.17 -0.18 -0.12 -0.14 3.61 0.24 -0.26 -0.55 -1.42
G7 -0.14 -0.14 -0.10 -0.11 0.13 3.03 -0.21 -0.42 -1.05
G8 -0.13 -0.14 -0.21 -0.14 -0.24 -0.20 2.53 -0.32 -0.15
G9 -0.37 -0.36 -0.51 -0.31 -0.52 -0.45 -0.39 5.94 -2.03
G10 -0.65 -0.79 -1.18 -0.71 -1.35 -1.12 -0.04 -2.23 9.07
De qualquer maneira ao eliminarmos os pares de entrada e saída que
resultaram em interações negativas ou muito próximas de zero na MGR, só
restaram as interações na diagonal principal, comprovando que para esse
arranjo, o controle descentralizado é o mais indicado. Além disso, o número de
condição calculado após a retirada dos pares de entrada e saída menos efetivos
foi igual a 2,95, indicando que é possível controlar este sistema, aplicando os
controladores aos pares de entradas e saídas selecionados.
8.1.2. Sintonia do controlador
Como foi dito, este sistema apresenta modos pouco amortecidos do tipo
Interárea e local. Para amortecer esses modos, será utilizado, em conjunto com
reguladores de tensão, controladores do tipo PSS1A (IEEE, 2016), com a
seguinte estrutura simplificada:
Vss = Kpss.sTw
(1+sTw).
(1+sT11)
(1+sT12).
(1+sT21)
(1+sT22)Sm (8.1)
Onde Sm é o escorregamento do Rotor, Tw é a constante de tempo do filtro
Washout e Ti1 e Ti2 são as constantes de avanço e atraso, respectivamente.
Como foi visto anteriormente, o objetivo é otimizar a função M (função
objetivo), encontrando os valores dos parâmetros do controlador, T’s e K, tal que
seja satisfeita a condição de robustez proposto pela equação 5.22.
84
Em que Wo é o limite máximo de incerteza segundo o capítulo 5 e, para o sistema
teste, foi definido experimentalmente por:
𝑊𝑜 =1𝑠
10𝑠 + 300
Então foram aplicados os três métodos de otimização para seleção dos
parâmetros do controlador, seguindo os seguintes critérios: Encontrar o ponto
ótimo de M, garantir que todos os autovalores estão no semiplano esquerdo e
concentrar o maior número de autovalores dentro do limite dos 5%. Entretanto,
para esse sistema, apenas o GA apresentou respostas satisfatórias. Os outros
dois, ou chegavam a constantes de tempo muito grandes, ou não satisfaziam um
dos critérios.
Foram utilizados controladores idênticos nos geradores G3 a G10 e um
controlador diferente no G2, escolhido arbitrariamente para tornar o problema
mais geral. O intervalo de busca por esses parâmetros também foi limitado por
motivos práticos, como por exemplo, o Tw, cujo espaço de busca foi limitado ao
intervalo de 10 e 20s. Constantes Tw acima de 10s são indicados para sistemas
com modos interáreas dominantes, pois valores muito baixos resultam em um
excesso de compensação em baixa frequência, o que reduzirá o componente de
torque sincronizante das frequências interáreas, o que, segundo Kundur et al
(2003), colabora para um decremento da estabilidade transitória deste sistema.
Além disso, foram definidos limites máximos e mínimos para o sinal de saída do
ESP, que correspondem a -0,05Vss e 0,2Vss, respectivamente, seguindo a
orientação do IEEE (2016). Os métodos foram aplicados utilizando os mesmos
valores para as suas respectivas constantes características, apresentadas no
capítulo 7.
A busca dos parâmetros dos controladores resultou nos seguintes valores,
mostrados na tabela 3:
Tabela 3: Parâmetros dos ESP no sistema New England
Ks Tw T11 T12 T21 T22
G2 16.40 12.48 0.7397 0.9646 1.6028 0.1283
Demais 29.62 14.59 1.0076 0.1825 1.1312 1.4470
85
8.1.3. Resultados Obtidos
Com a aplicação do método, foi possível amortecer os modos de oscilação, como
mostram os picos de valores singulares máximos, na Figura 29:
Figura 29: Valores singulares do sistema New England.
Traçando-se o valor singular máximo de T em comparação ao limite dado por
HWo
11 , temos como visualizar se os controladores são robustos, segundo os
critérios da norma H∞. A Figura 30 mostra os resultados, onde a parte vermelha
consiste no limite para T.
Figura 30: Teste de robustez dos controladores
86
Os resultados mostram que os parâmetros selecionados para os
controladores permitiram que eles fossem robustos.
Ainda, traçando um diagrama de polos, verificou-se que todos os modos
ultrapassaram com folga o limite de 5% de amortecimento, ou seja, à esquerda
do limite em vermelho, mostrados na Figura 31, e o resultado também foi
positivo.
Figura 31: Diagrama de polos do sistema New England com ESP
Os resultados mostram que a metodologia é aplicável para qualquer sistema,
inclusive de grande porte. Após a adaptação do método para o sistema de
múltiplos geradores, utilizando o modelo de 39 barramentos, será feito um estudo
mais detalhado utilizando um sistema maior, o New England/ New York, e
observando com mais critério o desempenho dos controladores.
8.2. SISTEMA NEW ENGLAND/ NEW YORK
O Sistema New England/ New York foi escolhido para a aplicação e analise
do método de forma mais detalhada, com a finalidade de identificar possíveis
87
falhas. O modelo foi implementado utilizando os dados do benchmark IEEE
(2015), com 162 estados. Este sistema possui 68 barramentos, 16 geradores e
5 áreas, representado pelo diagrama da Figura 32:
Figura 32: sistema New York/New England
Fonte: IEEE, 2016
Esse diagrama é um equivalente de ordem reduzida do sistema de teste
onde os geradores G1 a G9 correspondem ao sistema New England (NETS),
conectado ao sistema de Nova York (NYPS), contendo G10 a G13, e as demais
áreas vizinhas são representadas por modelos de geradores equivalentes (G14
a G16). G13 também representa uma sub-área pequena dentro do NYPS. Há
três linhas grandes entre as redes NETS e NYPS (entre os barramentos 60-61,
53-54 e 27-53) Todas as três são linhas com circuitos duplos. Geradores de G1
a G8 e G10 a G12 têm sistemas de excitação CC (DC4B); G9 tem excitação
estática rápida (ST1A), enquanto o resto dos geradores (G13 a G16) têm
excitação manual, pois eles são equivalentes, em vez de serem geradores
físicos da área.
O desempenho desse sistema em malha aberta, ou seja sem o ESP, apresenta
modos pouco amortecidos como três pares de autovalores com partes reais
88
positivas, e também diversos autovalores com amortecimento inferior a 5%,
limite utilizando como padrão em boa parte da literatura, como mostra a figura
33:
Figura 33: Autovalores do sistema sem controladores
Gerando o gráfico dos valores singulares para esse sistema, o resultado é o
que está apresentado na figura 34:
Figura 34: Valores singulares do sistema sem Controladores
89
Ao todo, o sistema apresenta 15 modos dominantes, sendo 4 do tipo interárea
e 11 locais (IEEE, 2015).
8.2.1. Seleção dos geradores
Como apenas os geradores de 1 a 12 pertencem ao sistema (os demais são
de sistemas vizinhos que sofrem influência do sistema principal) e pelo motivo já
mostrado na seção anterior, vamos nos ater a selecionar os geradores a serem
controlados entre eles.
A matriz MGR correspondente aos 12 primeiros geradores do sistema é a
seguinte:
Tabela 4: Matriz MGR dos 12 primeiros geradores do sistema
G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11 G12
G1 11.18 -0.67 -0.64 -0.72 -0.78 -1.08 -0.74 0.01 -0.28 -1.38 -0.89 -3.00
G2 -0.67 3.08 0.01 -0.09 -0.11 -0.14 -0.10 -0.10 -0.05 -0.21 -0.13 -0.49
G3 -0.66 0.04 2.95 -0.09 -0.11 -0.15 -0.11 -0.10 -0.05 -0.18 -0.11 -0.42
G4 -0.67 -0.09 -0.09 2.85 0.07 -0.18 -0.14 -0.11 -0.06 -0.14 -0.09 -0.33
G5 -0.69 -0.10 -0.10 0.01 3.00 -0.22 -0.16 -0.13 -0.07 -0.13 -0.09 -0.31
G6 -0.95 -0.13 -0.12 -0.13 -0.18 3.74 -0.08 -0.16 -0.08 -0.22 -0.15 -0.54
G7 -0.76 -0.10 -0.10 -0.13 -0.17 0.00 2.89 -0.13 -0.06 -0.12 -0.08 -0.23
G8 -0.42 -0.08 -0.07 -0.09 -0.10 -0.13 -0.09 2.69 -0.03 -0.16 -0.11 -0.43
G9 -0.40 -0.06 -0.06 -0.09 -0.09 -0.13 -0.09 -0.07 2.11 -0.05 -0.03 -0.05
G10 -1.36 -0.22 -0.19 -0.14 -0.14 -0.19 -0.11 -0.22 -0.11 5.89 -0.41 -1.80
G11 -0.88 -0.15 -0.13 -0.09 -0.09 -0.12 -0.07 -0.15 -0.07 -0.49 4.36 -1.13
G12 -2.72 -0.52 -0.45 -0.29 -0.30 -0.39 -0.20 -0.53 -0.25 -1.81 -1.27 9.73
Seguindo a metodologia proposta, usa-se a MGR para selecionar os pares
de entrada e saída. Retira-se todos os pares com interação negativa ou muito
próximas de zero e, fazendo uma adaptação ao método proposto por Castro
(2002), retira-se também todos os pares com 𝜆𝑖𝑗 maior que 10. O que restou foi
uma matriz diagonal com pares de entrada e saída dos geradores 2 a 10,
indicando um sistema favorável ao controle descentralizado. Após isso, calcula-
se o número de condição para verificar se será possível aplicar o controlador no
sistema com esse arranjo. O resultado foi 𝛾 = 4,91, ainda inferior a 10, o que
90
indica que o conjunto de pares de entradas e saídas selecionados é favorável
para a aplicação dos controladores.
8.2.2. Sintonia do controlador
Para esse sistema também foram utilizados estabilizadores do tipo PSS1A
(IEEE, 2005) de terceira ordem, semelhante ao sistema New England.
O limite máximo de incerteza, Wo, obtido experimentalmente, será definido por:
𝑊𝑜 =10𝑠
100𝑠 + 3000
A partir deste ponto, os três métodos de otimização são aplicados para testar
qual terá melhor desempenho na sintonização do controlador, dentro dos
critérios de robustez pré-estabelecidos.
Para aplicarmos os métodos de otimização, foram utilizados os mesmos critérios
aplicados no sistema de 39 barramentos. Em todos os casos, foram sintonizados
controladores idênticos para todos os geradores selecionados, com exceção do
gerador 9, por este ter um funcionamento diferente dos demais.
8.2.3. Seleção do método de otimização
Para sintonizar os controladores, foram utilizados os três métodos de buscas
heurísticas já apresentados – Algoritmos Genéticos, Enxame de Partículas e
Recozimento Simulado – com a finalidade de selecionar aquele que apresentar
melhor desempenho, dentro de um conjunto de parâmetros. As restrições quanto
ao número de iterações, indivíduos (no caso do algoritmo genético) ou os
coeficientes associados ao enxame de partículas foram os mesmos mostrados
no capítulo 7.
A análise comparativa entre os três métodos levou em consideração se foi
possível atingir a robustez, se houve amortecimento dos modos e em quanto
tempo o método sintonizava o controlador. Partindo de uma população de
soluções (ou solução, no caso do recozimento simulado) aleatórias, dentro dos
91
limites pré-estabelecidos, foram feitas 50 simulações iniciais para cada método,
com o objetivo de selecionar o melhor resultado de cada. Optou-se por essa
metodologia, para que houvesse o mínimo de intervenção no processo de
parametrização e, além disso, segundo Dill (2013), métodos como algoritmos
genéticos e enxame de partículas não dependem exclusivamente da população
inicial para ter bons resultados. De qualquer maneira, foram utilizados os
melhores resultados de cada método para tornar a comparação mais justa.
Analisando os resultados, observou-se que cada método convergiu em
diferentes controladores, o que pode ser atribuído à presença de muitos mínimos
locais na função. Dentre os controladores obtidos por cada método, na tabela 5
estão relacionados os que apresentaram maior amortecimento dos modos.
Tabela 5: Controladores sintonizados pelos 3 métodos
Método Gerador Ks Tw T11 T12 T21 T22
PSO G9 10 10 0,0001 0,0001 5 0,0001
Outros 10 10 2,1687 0,0001 0,0001 0,0001
GA G9 20.52 13,9 0.9870 0.3960 0.6236 0.2811
Outros 15,88 14,71 0,9742 2.3558 1.5945 0.0058
SA G9 10,04 10,11 1,250 1,036 0,584 0,090
Outros 10,17 10,77 0,924 1,021 1,263 0,051
Com quaisquer desses controladores, é possível amortecer os modos de
oscilação, como mostra os valores singulares na figura 35:
92
Figura 35: Valores singulares do sistema com controladores sintonizados pelos 3 métodos
Os três métodos atingiram robustez, em seus melhores desempenhos,
entretanto o algoritmo genético foi um pouco melhor, inclusive amortecendo mais
os modos existentes. Aparentemente, os controladores sintonizados por PSO,
amorteceram melhor os modos, mas o pico de seus valores singulares máximos
numa frequência próxima à faixa de atuação dos modos interárea mostra que
ele é muito pouco eficiente para esses modos. Além disso, os coeficientes
determinados por este método levam a constantes muito elevadas, tornando os
controladores infactíveis e ainda resultam em um controlador de ordem um, o
que explica o desempenho inferior aos demais. É possível observar este
desempenho a partir do mapa de autovalores, gerados por cada um dos
métodos, mostrados nas figuras 36 a 38. No sistema com o controlador
sintonizado com GA e SA, há menos autovalores fora do limite correspondente
a um amortecimento inferior a 5%, em relação ao PSO.
93
Figura 36: Diagrama de polos do sistema com controlador sintonizado por GA
Figura 37: Diagrama de polos do sistema com controlador sintonizado por PSO
94
Figura 38: Diagrama de polos do sistema com controlador sintonizado por SA
Quanto a satisfazer a norma H∞, as três conseguiram cumprir. Os gráficos da
Figura 39 apresentam o valor singular máximo em comparação ao limite dado
por HWo
11 (Parte Tracejada).
Figura 39: Verificação de robustez do sistema, sintonizado pelos três métodos
95
E por fim, temos o tempo de que cada método demora em convergir para o
ponto ótimo. Em média, o GA precisou de aproximadamente 01h30min para
convergir, o tempo médio do PSO foi 02h:15min, enquanto para o SA o tempo
de conversão foi de 01h:00min. Todas as simulações foram feitas utilizando o
software Matlab 2012b, e a ferramenta simulink, em um computador com
processador Core I3, 4GB, Windows 7. Apesar de ser mais rápido, o método SA
apresentou uma tendência em cair em mínimos locais, que não cumpriam o
critério de robustez, ou, até mesmo, não convergia depois de muitas horas de
simulação. Dos três métodos, foi o único que não convergiu a um ponto ótimo
adequado em todas as vezes que foi aplicado, mas apenas 60% das tentativas
atingiram robustez. Além disso, o método SA teve o pior desempenho no
amortecimento dos modos.
Diante do exposto, o método selecionado para ser utilizado nas demais etapas
do projeto foi os Algoritmos Genéticos, pois esse teve um desempenho
equilibrado em todos os critérios testados nesse trabalho.
8.3. DESEMPENHO DOS CONTROLADORES SINTONIZADOS
UTILIZANDO GA
Para validar o desempenho dos controladores sintonizados nesse trabalho,
faremos uma comparação com o sistema benchmark, contendo um sistema de
controle ESP descentralizado aplicado em todos os geradores, de 1 ao 12, do
modelo New York/New England, implementado por Pal e Singh para o IEEE
(2015).
Os controladores implementados no sistema benchmark são de quarta ordem do
tipo:
(8.2)
e tem os seguintes parâmetros:
Tabela 6: Parâmetros dos controladores do benchmark
Ks Tw T11 T12 T21 T22 T31 T32
G9 12 10 0.09 0.02 0.09 0.02 1 1
Demais 20 15 0.15 0.04 0.15 0.04 0.15 0.04
96
Apesar de serem de ordem inferior e aplicados em menos geradores, os
controladores sintonizados pelo método desenvolvido neste trabalho possuem
um desempenho semelhante ao do report do IEEE com o sistema Benchmark
em diversos aspectos. Ambos sistemas são robustos, segundo os critérios da
norma H∞, apesar dos resultados do benchmark serem mais lineares nas
frequências maiores, como pode ser observado na figura 40:
Figura 40: Robustez do benchmark x método com GA
Ainda observando o gráfico de robustez, dá pra perceber que nas
frequências dos modos locais, o amortecimento foi maior com os controladores
propostos. Outro aspecto a ser analisado é o tempo de resposta diante de um
comportamento não linear do sistema. Para analisarmos os efeitos do ESP,
foram simuladas duas situações:
• Situação 1: Simulação de 20 s onde é adicionado um degrau de 2%
na tensão de referência da máquina de ensaio em t = 1,0 s e um
degrau de -2% com t = 11,0 s;
97
• Situação 2: Simulação de 20s onde é conectado, em t = 1,0 s, um
reator shunt de 50 MVAr ao barramento conectado à máquina de teste
e removendo este reator em t = 11,0 s.
Sendo o gerador 3 o escolhido como máquina teste apenas para exemplificar.
Para esse caso espera-se que os efeitos dos distúrbios sejam mais evidentes na
máquina 3, já que os eventos acontecem no próprio gerador ou no barramento
conectado a ele, e vá atenuando, quanto mais longe estejam os geradores da
máquina teste, onde acontecem distúrbios (IEEE, 2015). As Figuras 41 e 42
mostram o escorregamento relativo das máquinas 3, 9 e 15, em relação à
máquina 16, pois é a máquina mais distante do Gerador 3, o que permite avaliar
o desvio das máquinas em relação aos escorregamento de referência e o
amortecimento proporcionado pelo ESP. Os Geradores 9 e 15 foram
selecionados pois o primeiro, G9, possui um sistema de excitação diferente dos
demais e por isso recebeu um ESP com parâmetros diferentes, e o segundo,
G15, é o gerador mais próximo da máquina 16, usada com referência, portanto
espera-se que tenha um escorregamento relativo mais brando em relação as
outras máquinas testes, permitindo uma avaliação global do desempenho dos
ESP`s, seja nas máquinas próximas ou distantes da barra onde ocorreu a falta.
98
Figura 41: Escorregamento relativo para G3, G9 e G15, no primeiro caso
Como pode ser observado, a presença do ESP colaborou para o
amortecimento dos modos em ambos os casos, principalmente sobre o G3. No
caso do G15, o amortecimento foi menos eficiente devido à presença dos modos
interáreas pouco amortecidos, principalmente no G15 que se quer tem ESP,
como era esperado para o tipo de controle utilizado e será melhor comentado a
seguir.
99
Figura 42: Escorregamento relativo para G3, G9 e G15, no segundo caso
Comparando os controladores obtidos pelo método exposto nesse
trabalho, com os controladores do benchmark, para o G3 os últimos são
ligeiramente melhores nos primeiros segundos, mas amortecem menos
passados quase 10s depois do distúrbio. Para o G9, os controladores do
benchmark são melhores em qualquer situação, mas no G15, apesar de nenhum
dos dois métodos apresentarem bom desempenho, os controladores obtidos por
GA conseguem ser um pouco melhor, indicando que conseguem proporcionar
amortecimento mínimo para um número maior de modos interáreas.
Para observar melhor o efeito dos ESP nos modos, faz-se o Mode-Shape do
sistema sem controladores e com controladores definidos pelos dois modelos,
encontrando mapa de desempenho mostrado na Tabela 7:
100
Tabela 7: Amortecimento dos modos de oscilação dominantes no sistema
Sem ESP ESP do Report ESP com GA
Modo Frequência Amortecimento
(%) Frequência
Amortecimento (%)
Frequência Amortecimento
(%)
1 0.404 -0.438 0.314 33.54 0.3254 41.90
2 0.526 0.937 0.52 3.62 0.52 3.44
3 0.61 -3.855 0.591 9.63 0.5907 8.96
4 0.779 3.321 0.779 3.38 0.7787 3.38
5 0.998 0.256 0.972 27.14 0.9401 86.32
6 1.073 3.032 1.08 18.57 0.985 15.12
7 1.093 -1.803 0.939 23.61 1.1312 44.63
8 1.1580 3.716 1.078 30.11 1.1413 72.13
9 1.1850 3.588 1.136 28.31 1.2299 47.49
10 1.2170 0.762 1.278 13.43 1.2327 7.04
11 1.2600 1.347 1.188 18.83 1.2989 69.41
12 1.4710 6.487 1.292 32.06 1.3399 77.86
13 1.4870 7.033 1.288 39.54 1.3771 72.31
14 1.5030 6.799 1.367 33.12 1.9474 71.57
15 1.7530 3.904 5.075 23.87 2.1220 65.65
O maior desafio é amortecer os quatro primeiros modos da tabela, que
correspondem aos modos interáreas, pois normalmente apenas o ESP não é
suficiente para amortecer esses modos. Como pode ser observado, ambos os
métodos conseguiram amortecer os modos que estavam instáveis, Por outro
lado, nenhum dos controladores foram eficientes para amortecer os modos
pouco amortecidos, obtendo um desempenho abaixo de 5%. Isso se deve à
grande influência dos geradores equivalentes às áreas 3, 4 e 5, que não são
áreas próprias do sistema, mas vizinhas ou subáreas, de onde se tem poucas
informações (IEEE, 2015). Nesse caso, como não existe acesso à estrutura
detalhada das áreas 3, 4 e 5, é necessário utilizar diferentes tipos de
controladores de amortecimento, tais como controladores suplementares do tipo
POD (Power Oscillation Damping) ou dispositivos FACTS, por exemplo.
101
9. CONCLUSÃO
A proposta deste trabalho foi desenvolver uma metodologia que
possibilitasse a obtenção de controladores ESP de baixa ordem,
descentralizados, de maneira objetiva. Utilizando Matrizes de Ganhos Relativos,
em conjunto com os valores singulares e o número de condição, foi possivel
selecionar quais geradores eram mais influentes no sistema, otimizando a
estrutura de controle, pois foi possível reduzir em alguns casos o número de ESP
a serem instalados. Além disso, usando esta metodologia para a seleção de
pares de entrada e saída, ainda é possível deteminar se será mais adequada a
utilização de uma estrutura descentralizada ou não.
Outro diferencial nesta metodologia é a utilização de métodos de
otimização que exploram o espaço de busca dos parâmetros de maneira
paralela, levando em consideração o desempenho do conjunto. Além disso, este
procedimento não se restringe a apenas um método de otimização, mas faz a
análise do desempenho em três métodos diferentes, aumentando assim a
possibilidade de sucesso e de adaptação da metodologia em diferentes
sistemas. Este trabalho ainda faz uma aplicação dos conceitos da funções de
penalidades, associados à função fitness, no amortecimento de modos
eletromecânicos, atribuindo ao número de autovalores presentes no semiplano
direito um peso e somando à funçao objetivo a ser minimizada. Isso faz com que
as próprias características dos métodos de buscas, que tendem a achar o menor
valor possivel da função fitness modificada, sejam usadas para “forçar” um
conjunto estável.
Ainda sobre os resultados obtidos, dos metodos de otimização
aplicados, o que mais se destacou foi o GA. Com a utilização de algoritmos
genéticos, foi possível sintonizar controladores com ordem menor, até mesmo,
que os controladores utilizados no modelo benchmark do IEEE, no caso do
sistema New England/New York, e ainda assim conseguir um desempenho
semelhante. Isso mostra que com a metodologia desenvolvida, é possível obter
uma malha de controle enxuta e mais simples, mesmo para sistemas complexos.
Ainda sobre a escolha do GA para a sintonia dos controladores, este método se
102
destacou por ter um bom desempenho mais constante, sob diferentes aspectos,
em relação ao PSO e SA, que também foram testados neste trabalho.
Esta metodologia foi aplicada com controladores diferentes, mas pode
ser utilizada com controladores idênticos, com estrutura centralizada ou
descentralizada. Apesar de haver possibilidade de se controlar melhor os modos
interáreas, se aplicarmos o ESP remotamente nas áreas 3, 4 e 5, optou-se por
aproveitar a estrutura existente, se atendo a sintonizar os controladores
pertecentes efetivamente ao sistema New York/ New England, o que resultou na
perda no desempenho dos controladores ao amortecer os modos interáreas.
Entretando, os controladores obtidos conseguem, de modo geral ter um
desempenho, em relaçao aos modos interáreas, semelhante aos controladores
do benchmark, mesmo sendo mais simples. O que mostra a eficiência da
metodologia utilizada em otimizar o sistema como um todo.
Para trabalho futuros, sugere-se a sintonia e seleção de outros
controladores como PODs e os dispositivos FACTS, a fim de completar o sistema
de controle da planta e auxiliar no amortecimento dos modos interáreas. O foco
deste trabalho estava em minimizar os valores singulares máximos, relacionados
aos modos de oscilações, mas a aplicação futura de métodos de otimização
vizando maximizar o coeficiente de amortecimento destes modos podem dar
bons resultados. Ainda é possível o refinamento do método, utilizando modelos
mais leves de simulação, descartando os testes em simulink, que tornaria o
processo de sintonia dos parâmetros dos controladores muito mais rápido, ou
ainda fixando alguns parâmetros dos controladores, simplificando a
implementação, possibilitando o uso controladores diferentes em todos os
geradores. Outra sugestão para trabalhos futuros é a utilização de outros
métodos heurísticos como colônia de formigas ou Bat Algorithm, utilizado na
parametrização de ESP em Peres (2016), ou mesmo novas estratégias na
formulação dos algoritmos, como por exemplo o uso de elitismo no GA. Outra
tendência para trabalhos futuros é a utilização de Métodos Híbridos,
desenvolvendo algoritmos que combinam aspectos de diferentes métodos
heuristicos já consagrados.
103
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABIDO, M.A., 2000. "Robust design of multimachine power system stabilizers using simulated annealing," Energy Conversion, IEEE Transactions on , vol.15, no.3, pp.297,304.
AHSON, S.I., HOGG, B.W., PULLMAN, R.T., 1979, “Integrated Control System
for Turbogenerator Designed by Inverse Nyquist Array Method”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v. PAS-98, pp. 543-553.
AHSON, S.I., NICHOLSON. H., 1976, “Improvement of Turbo-Alternator Response Using The Inverse Nyquist Array Method”, International Journal of Control, v. 23, pp. 657-672.
ALDEN, R.T.H., NOLAN, P.J., BAYNE, J.P., 1977 “Shaft Dynamics in Closely Coupled Identical Generators”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v. PAS-96, pp. 721-728.
ANDERSON, J.H., BAULCH, C., ALDEEN, M., et al., 1987, “A Comparison of Multivariable Time and Frequency Domain Design Methods for Power System Stabilizers Including Links with Reported Field Trials”, IEEE Transactions on Power Systems, v. PWRS-2, pp. 189-196
ANDERSON, P.M., FOUAD, A.A, 2003, “Power System Control and Stability”. 2rd ed. New York. IEEE. Press Power System Engineering Series.
ARAKI, M. KOBASHI, K E KONDO,B. 1981. “Application of optimal control theory and root locus method to the design of linear feedback controllers for synchronous machines,” Proc. IFAC 8th Triennial World Congress, Kyoto, Japan.
ARAÚJO, C.S., CASTRO, J.C., 1997 “Analysis of Input-Output Couplings for Decentralized Control of Oscillations in Power Systems”. In: Proceedings of the IASTED International Conference, Cancun.
ARAÚJO, C.S., CASTRO, J.C., 1996, “Techniques for Stabilizing Interarea Oscillations in Power Systems”. In: Proceedings of the 13th IFAC World Congress, San Francisco.
ARAÚJO, C.S. , CASTRO, J.C., 1995, “Frequency Domain Technique for Designing Stabilisers for a Power Plant with Identical Generators”, IEE Proceedings, Generation, Transmission and Distribution, v. 142, pp. 330-336.
ARAÚJO, C.S., CASTRO, J.C., 1991, “Application of Power System Stabilisers in a Plant with Identical Units”, IEE Proceedings-C, v. 138, pp. 11-18
ARAÚJO, C.S., CASTRO, J.C., CAVALCANTI, L.F., 1996, “Métodos Modais e de Resposta em Frequência na Aplicação de Estabilizadores de Sistemas de Potência”. In: Anais do XI Congresso Brasileiro de Automática, São Paulo.
AYRES H. M. 2005. Aplicação do Controlador UPFC para o Amortecimento de Oscilações Eletromecânicas em Sistemas Elétricos de Potência. Dissertação
104
de Mestrado da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. UNICAMP, Campinas, São Paulo.
BAI F. et al., 2015. "A measurement-based control input-output signal selection approach to damp inter-area oscillations," 2015 IEEE PES Asia-Pacific Power and Energy Engineering Conference (APPEEC), Brisbane, QLD, pp. 1-5.
BÄCK, T., FOGEL, D. e MICHALEWICZ, Z. 2000. Evolutionary Computation – Advanced Algorithms and Operators. vol. 2. Institute of Physics Publishing.
BENASLA, M. ALLAOUI, T. BRAHAMI M. E HADJI, B. 2016. "Frequency response analysis to select the best PSS locations in power systems," 8th International Conference on Modelling, Identification and Control (ICMIC), Algiers, pp. 269-273.
BERGH, F. V. D. 2001. “An analysis of particle swarm optimizers”. Tese submetida ao programa de pós-graduação em engenharia elétrica da University of Pretoria.
BERUBÉ E, G. R.; HAJAGOS, L. M.; BEAULIEU, R. 1999 “Practical utility experience with application of power system stabilizers”. In: IEEE Power Engineering Society. Summer Meeting 1999. v. 1, p. 104 -109.
BREULMANN H.; WINTER, W.; WITZMANN, R.; DUPUIS, P.; HOURY, M. P.;
MARGOTIN, T.; ZERENYL, J.; DUDZIK, J.; MARTIN, L.; RODRIGUEZ, J. M., URRETAVIZCAYA, E. 2000. “Analysis and damping of inter-area oscillations in the UCTE/CENTREL Power System”, CIGRÉ Sessions 2000, 38-113, Germany.
BOUKARIM, G.E., WANG, S., CHOW, J.H., et al., 2000, “A Comparison of Classical, Robust and Decentralized Control Designs for Multiple Power System Stabilizers”, IEEE Transactions on Power Systems, v. 15, pp. 1287-1292.
CALDEIRA, N. S. 2009. “Aplicação de estabilizadores de sistemas de potência em reguladores de velocidade e turbinas”. Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Itajubá. UNIFEI. Itajubá. Minas Gerais.
CALVERT, J. L., TITLI, A. 1989. “Overlapping vs Partitioning in Bloc-Iteration Methods: Application in Large-Scale Theory”. Automatica, 25, 137-145.
CARVALHO, A.; BRAGA, A; LUDERMIR, T., 2003.” Computação Evolutiva, In: Rezende, S. O. (Coord.), Sistemas Inteligentes – Fundamentos e Aplicações”, 1ª Ed. Cap. 9, Ed. Manole, São Paulo, Brasil
CASTRO, A. C., 2006. “ Projeto de controladores robustos descentralizados de ordem reduzida para amortecimento de oscilações em sistemas elétricos de potência”. Tese apresentada à Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa, PB, Brasil.
105
CASTRO, A.C., ARAÚJO, C.S., 2002, “Análise de Sinais para Controle Descentralizado em Sistemas de Potência”. In: Anais do XIV Congresso Brasileiro de Automática , pp. 1188-1193, Natal.
CASTRO, J.C., ARAÚJO, C.S., 1998, “Frequency Domain Analysis of Oscillatory Modes in Decentralized Control Systems”, Automatica, v. 34, pp. 1647-1649.
CASTRO, J.C., ARAÚJO, C.S., 1997, “Computer Aided Frequency Domain Method for Analysis and Design in Multiarea Power Systems”. In: Preprints of the 7th IFAC Symposium on Computer Aided Control Systems Design, Gent.
CASTRO, J.C., 1990, “Modal Framework for Systems with Identical Units”. In: Preprints of the 11th IFAC World Congress, Tallin.
CASTRO, J.C., 1988, “Controle de Geração e Intercâmbio”, Apostila do CEOPE/88, DEE-UFPB, Campina Grande
CERNY, V. 1985. “Thermodynamical approach to the treveling salesman problema: an efficient simulation algorithm”. Journal of Optimization Theory and Applications, ed. 45, 41-51.
CHEN, C.T., 1998, “Linear System Theory and Design”, 3 ed. New York, Oxford University Press
CHOW J. H., HARRIS L. P., KALE M. A., OTHMAN H. A., SANCHEZ GASCA J. J. e TERWILLIGER, G. E. 1990. "Robust Controller Design of Power System Stabilizers Using Multivariable Frequency Domain Techniques", Proceedings of the 29th Conference on Decision and Control.
COHN, N., 1961, “Control of Interconnected Power System”. In: Ramo, S.,Wooldrige, D.E. (eds), Handbook of Automation Computation and Control, chapter 17, John Wiley.
COELHO L. S; WEIHMANN, L. 2007. “Abordagem de enxame de partículas inspirada em algoritmo cultural aplicada em um problema de otimização não-linear com restrições”. Anais do Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI), Florianópolis, SC. Brasil.
CRENSHAW, M.L., CUTLER, J.M., WRIGHT, G.F., et al., 1983, “Power System Stabilizer Application In a Two-Unit Plant Analytical Studies and Field Tests”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v. PAS-102, pp. 267-274.
CRUSCA, F., ALDEEN, M., 1991, “Multivariable Frequency Domain Techniques for The Systematic Design of Stabilizers for Large-Scale Power Systems”, IEEE Transactions on Power Systems, v. 6, pp. 1133-1139.
CRUZ, J.J., 1996, “Controle Robusto Multivariável”, São Paulo, Editora Universidade de São Paulo.
DE MELLO, F.P., CONCÓRDIA, C., 1969, “Concepts of Synchronous Machine Stability as Affected by Excitation Control”, IEEE Transactions Power Apparatus and Systems, v. PAS-88, pp. 316-329
106
DILL, G. K.; 2013. “Projeto de controladores robustos para sistemas de potência
baseado em otimização paramétrica”. Tese apresentada à Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, SC, Brasil.
DOYLE, J.C., 1982, “Analysis of Feedback Systems with Structured Uncertainties”, IEE Proceedings Part D, v.129, pp. 242-250.
ELGERD, O.I., 1976, “Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica”, 1ª ed., São Paulo, McGraw-Hill do Brasil
EXPOSITO, A. G. CONEJO, A. J. CAÑIZARES, C. 2011. “Sistemas de Energia Elétrica: Análise e Operação”. LTC, Rio de Janeiro.
FALCUCCI, M.; JUNIOR, J.N.R.S.; BRAGA, A.P.S.; NASCIMENTO, J.A. 2007. “Determinação dos parâmetros ótimos de um controlador PID aplicado na regulação de tensão de geradores síncronos através do método de otimização por enxame de partículas PSO”. Anais do I Simpósio Brasileiro de Inteligência Computacional (SBIC), Florianópolis.
FERNANDES T. C. da C, 2012. “Aplicações de técnicas de Estimação Modal
para a Análise da Estabilidade a Pequenas Perturbações de Sistema de Distribuição com Geração distribuída”. Dissertação apresentada a Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
GAING, Z.L. 2004.” A Particle swarm optimization approach for optimum design of PID controller in AVR system”. IEEE Transaction on Energy Conversion, Vol.19, pp. 384–391.
GIBBARD M. J. 1991. "Robust design of fixed-parameter power system stabilisers over a wide range of operating conditions," in IEEE Transactions on Power Systems, vol. 6, no. 2, pp. 794-800.
GOOI, H.B., E.F. HILL, M.A. MOBARAK, D.H. THORNE AND T.H. LEE, 1981.” Coordinated Multimachine Stabilizer Settings Without Eigenvalue Drift.” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-100 (August), nº 3, 3879-3887.
HOLLAND, J. H. 1975/1992. “Adaptation in Natural and Artificial Systems. Cambridge”, MA: MIT Press. 2ª edição (Primeira edição, 1975).
IEEE. 2016. “Recommended Practice for Excitation System Models for Power System Stability Studies," in IEEE Std 421.5-2016 (Revision of IEEE Std 421.5-2005) , vol., no., pp.1-207.
IEEE. 2015. Report of the IEEE PES task Force on Benchmark Systems for
Stability Controls.
IEEE/CIGRE, 2004. “Joint Task Force on Stability Terms and Definitions,
‘Definition and classification of power system stability,’” IEEE Transactions on Power System, vol. 19, no. 3, pp. 1387–1401.
KASHKI, M. ABIDO, M. A., ABDEL-MAGID Y. L. 2013. “Power System Dynamic Stability Enhancement Using Optimum Design of PSS and Static Phase
107
Shifter Based Stabilizer”. Arabian Journal for Science and Engineering. Volume 38, Issue 3, pp 637-650.
KEAY, F. W.; SOUTH, W. H. 1971. “Design of a power system stabilizer sensing
frequency deviation”. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, PAS-90, p. 707 - 712.
KENNEDY, J.; EBERHART, R., 1995 "Particle swarm optimization," Neural Networks. Proceedings., IEEE International Conference on , vol.4, no., pp.1942,1948 vol.4.
KHODABAKHSHIAN, A.; HEMMATI, R.; MOAZZAMI, A. 2013. “Multi-band power
system stabilizer design by using CPCE algorithm for multi-machine power system” Electric Power Systems Research, Volume 101, August 2013, Pages 36-48
KIRKPATRICK, S. GELATT, C.D. VECCHI, M. P. 1983. “Optimization by simulated annealing”, Science, 220, 671–680
KLEIN, M., ROGERS, G.J., KUNDUR, P., 1991, “A Fundamental Study of Inter-Area Oscillations in Power Systems”, IEEE Transactions on Power Systems, vol.6, pp. 914-921.
KLEIN, M., ROGERS, G.J., MOORTY, S., et al., 1992, “Analytical Investigation of Factors Influencing Power System Stability Performance”, IEEE Winter Meeting, Paper 92 WM 016-6 EC.
KOMLA, F.; YORINO, N. e SASAKI, H. 1997. "Design of H ∞-pss using numerator-denominator uncertainty representation," IEEE Transactions on Power Systems., vol. 12, pp. 45-50.
KUNDUR, P.; BERUBÉ E, G. R.; HAJAGOS, L. M.; BEAULIEU, R. 2003. “Practical utility experience with and efective use of power system stabilizers”. In: IEEE Power Engineering Society. General Meeting 2003. v. 3, p. 1777 - 1785.
KUNDUR, P., 1994. “Power System Control and Stability”. Editora McGraw-Hill.
KUNDUR, P., KLEIN, M., ROGERS, G.J., et al., 1989, “Application of Power System Stabilizers for Enhancement of Overall System Stability”, IEEE Transactions on Power Systems, v.4, pp. 614-626.
KUNDUR, P., LEE, D.C., ZEIN EL-DIN, H.M., 1981, “Power System Stabilizers
for Thermal Units: Analytical Techniques and On-Site Validation”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v.PAS-100, pp. 81-95.
LARSEN, E.V., SWANN, D.A., 1981, “Applying Power System Stabilizers”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v.PAS-100, pp. 3017-3046.
LAWSON, R.A., SWANN, D.A., WRIGHT, G.F., 1978, “Minimization of Power System Stabilizer Torsional Interaction on Large Steam Turbine-Generators”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems v.PAS-97, pp. 183-190.
108
LINDA, M. M.; KESAVAN NAIR, N. K. 2013. “A new-fangled adaptive mutation breeder genetic optimization of global multi-machine power system stabilizer” International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Volume 44, Issue 1, January 2013, Pages 249-25.
LINDEN, R., 2008. “Algoritmos Genéticos: Uma importante ferramenta da
Inteligência Computacional”. 2ª Ed. Editora Brasport, São Paulo, Brasil
MAHAPATRA, S.; JHA, A.N. 2012. "PSS & TCSC coordinated design using particle swarm optimization for power system stability analysis," Power, Control and Embedded Systems (ICPCES), 2nd International Conference on pp.1,5, 17-19.
MARTINS, N., 1986, “Efficient Eigenvalue and Frequency Response Methods Applied to Power System Small-Signal Stability Studies”, IEEE Transactions on Power Systems, v.1, pp. 217-226.
MARTINS, N., LIMA, L.T.G., 1990, “Eigenvalue and Frequency Domain Analysis of Small-Signal Electromechanical Stability Problems”, IEEE Publicação Especial, nº90TH0292-3 PWR, pp. 17-33.
MARTINS, N., PINTO, H.J.C.P., LIMA, L.T.G., 1992, “ Efficient Methods for
Finding Transfer Function Zeros on Power Systems”, IEEE Transactions on Power Systems, v.7, pp.1350-1361.
MARTINS, N., PINTO, H.J.C.P., BIANCO, A., et al., 1994, “ TCSC Control Scructures on Line Power Scheduling and Methods to Determine Their Location and Tuning to Damp System Oscillations”.In: IV Symposium of Specialists in Electric Operational and Expansion Planning, Foz do Iguaçu, Brazil.
METROPOLIS, N.; ROSENBLUTH, A. W.; ROSENBLUTH, M.; TELLER, A. H.; and TELLER, E. "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines." J. Chem. Phys. 21, 1087-1092, 1953.
MILANOVIC, J.V., DUQUE, A.C.S., 2001, “The Use of Relative Gain Array for
Optimal Placement of PSS”, IEEE Transactions on Power Systems, v.16, pp. 992-996.
MORISHITA, Y.; SUZUKI, K.; IWAMOTO, S. 2012. "Lead-lag PSS design based on H∞ control theory and genetic algorithm," Power and Energy Society General Meeting, pp.1,7.
MOTA, D. S. 2010. Técnicas de ajuste de estabilizadores de sistemas de potência. Dissetação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo.
MOTA, W. S., 2006, Simulação de transitórios Eletromecânicos em Sistemas de Potência. Ed. EPGRAF. Campina Grande-PB. Brasil.
MUTTIK, P.K., GIBBARD, M.J., 1980, “Design of Synchronous Generator Excitation Controllers in Multimachine Power Systems Using Inverse Nyquist Array”, IEEE Proceedings, v.227, pp. 350-356.
109
NGAMROO, I. 2001. ISCAS 2001. “Design of robust H∞ PSS via normalized coprime factorization approach”. The 2001 IEEE International Symposium on. P. 129 - 132 vol. 2
ONS. 2016. Procedimentos de Rede – Submódulo 23.2. www.ons.org.br. Acesso em: 03/03/2017.
OTHMAN, H.A., ÄNGQUIST, L., 1995 “Analytical Modeling of Thyristor Controlled Series Capacitors for SSR Studies”, IEEE Winter Meeting, Paper 95 WM 171-9 PWRS.
PADIYAR, K. R. 1996. “Power system dynamics: stability and control”. New York:
John Wiley & Sons.
PAGOLA, F.L., PEREZ-ARRIAGA, I.J., VERGHESE, G.C., 1989, “On Sensitivities, Residues and Participations: Applications to Oscillatory Stability Analysis and Control”, IEEE Transactions on Power Systems, v.4, pp. 278-285.
PAI M. and SAUER P. 1989. "A framework for application of generalized Kharitonov\'s theorem in the robust stability analysis of power systems", Proc. 28th IEEE Conf. Decision and Control, vol. 2, pp.1818 -1821.
PANDA, S. 2009. “Multi-objective evolutionary algorithm for SSSC-based controller design”. Electric Power System Research 79, 937-944.
PAL, B., e CHAUDHURI B., 2005. Robust Control in Power Systems. Ed.
Springer.
PASERBA, J., 2007. “Recent Power Electronics/FACTS Installations to Improve
Power System Dynamic Performance”. Power Engineering Society General Meeting, 2007. IEEE
PELLANDA, P. C.; APKARIAN, P.; MARTINS, N. 2006. “Tuning Structurally Constrained Stabilizers for Large Power Systems via Nonsmooth Multi-Directional Seach.” Anais do XII Latin-American Congress on Automatic Control. Salvador-BA, Brasil. P. 425-430.
PEREIRA, A. L.S. 2009. “Utilização de redes neurais artificiais no ajuste de controladores suplementares e dispositivo FACTS statcom para a melhoria da estabilidade a pequenas perturbações do sistema elétrico de potência”. Tese submetida ao programa de pós-graduação em engenharia elétrica da Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Ilha Solteira – São Paulo
PERES, W. 2016. “Projeto de controladores de sistemas de potência utilizando otimização bioinspirada”. Tese submetida ao programa de pós-graduação em engenharia elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora. Juiz de Fora-MG, Brasil.
110
PENG, Y.; ZHU, Q. M.; NOURI, H. 2012. "LMI based H2/H∞ power system
stabilizers for large disturbances in power systems with wind plant," Modelling, Identification & Control (ICMIC), 2012 Proceedings of International Conference on , vol., no., pp.939,944, 24-26.
RAMOS R. A., ALBERTO L. F. C., BRETAS N. G. 2004 “A new methodology for
the coordinated design of robust decentralized power system damping controllers,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 19, pp. 444–454.
RAO, P. S.; SEN, I. 2000. “Robust pole Placement Stabilizer Design using Linear Matrix Inequalities”. IEEE Transactions on Power Systems, vol 15, no. 1, p. 313-319.
RICHARDSON, J. T., PALMER, M. R., LIEPINS, G. e HILLIARD, M. 1989. “Some Guidelines for Genetic Algorithms with Penalty Functions”. Em J. D. Schaffer (ed.) – Proceedings of the 3rd International Conference on Genetic Algorithms: pp. 191-197. Morgan Kaufmann.
ROGERS, G., 2000, “Power System Oscillation”, 1 ed. Boston, Kluwer Academic Publishers.
SAMANI, E. R.; SEIFI, H.; SHEIKH-EL-ESLAMI, M. K. 2013. “A framework for PSS pricing as an ancillary service in a competitive electricity market.” International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Volume 46, March 2013, Pages 221-227
SANTOS, M. P. S; 2013. “Algoritmo Enxame de Partículas Evolutivo para o problema de coordenação de relés de sobrecorrente direcionais em sistemas elétricos de potência”. Dissertação apresentada ao programa de pós-graduação em engenharia elétrica da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. São Carlos, SP. Brasil
SCHLEIF, F. R.; HUNKINS, H. D.; MARTIN, G. E.; HATTAN, E. E. 1968.
“Excitation control to improve powerline stability”. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, PAS-87, p. 1426 - 1434.
SCHLEIF, F.R., FEELEY, R.K., PHILIPS, W.H., et al., 1979, “A Power System Stabilizer Application with Local Mode Cancellation”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, v.PAS-98, pp. 1054-1059
SEBAA K. E BOUDOUR, M. 2007. "Robust Power System Stabilizers Design
Using Multi-objective Genetic Algorithm," 2007 IEEE Power Engineering Society General Meeting, Tampa, FL, pp. 1-7 .
SILVA, F. 2005. “Estudo e implementação, mediante recozimento simulado, do problema de alocação de salas”. Monografia apresentada ao Departamento de Ciência da Computação da Universidade Federal de Lavras, Lavras, Minas Gerais.
SILVA FILHA, B, G., CASTRO A. C. MOREIRA, F. A., ARAÚJO J. M. 2014. “Projeto de Controlador Robusto H∞ em um Sistema de Potência de Carga Frequência”. Congresso Brasileiro de Automática.
111
SILVA FILHA, B. G. ; CASTRO, A. C. ; MOREIRA, F. A. ; ARAÚJO, J. M. 2016. “Design of a Robust H∞ Controller for a Load-Frequency Power System”. International Journal of Innovative Computing, Information & Control, v. 12, p. 321-331.
SIVAKUMAR, S., SHARAF, A.M., HAMED, H.G., 1985, “Coordinated Tuning of Power System Stabilizers in Multimachine Power Systems”, International Journal of Electric Power System Research, v.8, pp. 275-284.
SKOGESTAD S., POSTLETHWAITE, I. 2005. “Multivariable Feedback Control Analysis and Design”. John Wiley & Sons.
SONG, P., HE Y. e MA, Q. 2016. "Fault diagnosis for missile autopilot based on GSA-SVM," 2016 IEEE Advanced Information Management, Communicates, Electronic and Automation Control Conference (IMCEC), Xi'an, pp. 1365-1369.
SUNKARA, S.K.; NARNE, R.; PANDA, P.C., "Co-ordinated tuning of PSS with TCSC damping controller through advanced adaptive PSO for a multi-machine power system," Energy Efficient Technologies for Sustainability (ICEETS), 2013 International Conference on , vol., no., pp.1097,1102, 10-12 April 2013
SUPRIYADI, A.N.C. NGAMROO, I. ; KAITWANIDVILAI, S. ; KUNAKORN, A. ;
HASHIGUCHI, T. ; GODA, T. 2008. “H∞ loop shaping-based robust control design of PSS and TCSC for dynamic stability enhancement”. Electrical Engineering/Electronics, Computer, Telecommunications and Information Technology. ECTI-CON 2008. 5th International Conference on (Volume:2 ). P. 965 – 968. Krabi
TAKAGI Y. e SHIGEMASA, T. 1990. "An Application of State-Space Linearization
to a Power System Stabilizer", Proc. 29th CDC.
TARANTO, G.N., CHOW, J.H., 1995, “A Robust Frequency Domain Optimization
Technique for Tuning Series Compensation Damping Controllers”, IEEE Transactions on Power Systems, v.10, pp. 1219-1225.
TORTELLI., O. L., 2010. “Alocação e operação de controladores FACTS em Sistemas Elétricos de Potência.” Tese de Doutorado apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP, Campinas, SP, Brasil.
TSE, C.T., TSO, S.K., 1988, “Approach to the Study of Small-Perturbation Stability of Multimachine Systems”. IEE Proceedings C., v.5, pp. 396-405.
VAN NESS, J.E., 1969, “Inverse Iteration Method for Finding Eigenvectors”, IEEE Transactions on Automatic Control, v.AC-14, pp. 63-66.
WAL, M. V, DE JAGER, B. 2001.”A Review of Methods for Input/Output Selection”. Automatica, 37, 487-510.
YOUSEFIAN, R. SAHAMI A. e KAMALASADAN, S.. 2017."Hybrid Transient Energy Function-Based Real-Time Optimal Wide-Area Damping Controller,"
112
in IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 53, no. 2, pp. 1506-1516, March-April.
ZANETTA JUNIOR, L. C.; CRUZ, J. J. 2005. “An incremental approach to the
coordinated tuning of power systems stabilizers using mathematical programming”. IEEE Transactions on Power Systems. V. 20, n. 2, p. 895-902.
ZHANG L. e GUO, Y. 2012. "Optimal Power Flow Using Particle Swarm
Intelligence Algorithm and Non-stationary Multi-stage Assignment Penalty Function," 2012 Fourth International Conference on Computational and Information Sciences, Chongqing, pp. 1357-1359.
![Potência aparente, fator de potência Potência complexa · Reativa (Q em [VAr]) diretamente a partir dos fasores de tensão e corrente. Potência Complexa 17 ...](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5bd588ad09d3f25d3e8bd14d/potencia-aparente-fator-de-potencia-potencia-reativa-q-em-var-diretamente.jpg)
