Sistema de Coordenadas Planas UTM - Apostila

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    SISTEMA UTM

    Sistema de coordenadas planas UTM Conceitos e aplicaes

    1 - Introduo

    O sistema de coordenadas planas UTM baseado na projeo de Mercator cria-do por Geradus Mercator em 1569.

    Geradus Mercator o nome latino de Gerhard Kremer nascido em Rupelmonde, na regio de Flandres, atu-almente Blgica, no dia 5 de maro de 1512.

    Em 1530, Mercator ingres-sou no curso de Humanida-des e Filosofi a na Univer-sidade de Louvain a mais antiga Universidade da Blgica (fundada em 1425) formando-se em 1532.

    Em 1534, Mercator retor-nou a Universidade de Lou-vain para cursar matem-tica e se tornou assistente de Gemma Frisius (1508-1555) matemtico, astrno-mo e construtor de globos, mapas e instrumentos as-tronmicos onde aprendeu a arte de fazer globos e mapas.

    Em 1536, construiu um glo-bo terrestre para o impe-rador Carlos V. O Primeiro mapa de Mercator foi feito

    em 1537 e retratava a Pa-lestina no tempo de Moi-ss (desenhou o caminho percorrido pelos judeus na sada do Egito).

    Em 1540, desenhou o mapa de Flandres e em 1564 elaborou o mapa das ilhas Britnicas.

    Em funo de sua confi s-so Protestante (mesmo prestando servio para os catlicos), Mercator foi acusado de heresia pela inquisio espanhola sen-do preso em Rubelmonde em fevereiro de 1544. Aps ser solto, depois de sete meses, Mercator mu-dou-se para Duisburg, no oeste da Alemanha, onde construiu a sua prpria ofi cina para impresso de mapas.

    Aps ter elaborado o mapa da Europa utili-zando a projeo cnica, tambm preparou os ma-pas da Frana, Alemanha, Holanda e Grcia.

    Em 1569, criou a proje-o cilndrica e desenhou o mapa-mundi para a na-vegao.

    Mercator foi o primeiro cartgrafo a efetuar a quadratura do circulo que transforma a esfera terrestre num pla-no retangular onde todos os oceanos e continentes se alinhavam a partir do Equador, separados por quadriculado com 24 traados verticais e 12 traa-dos paralelos (que se estendiam na direo dos trpicos). O mapa mundi de Mercator permitia aos pilotos do mar fi xar sobre a carta, uma rota entre dois pontos navegados em curva. Este traados, foi denominado por Mercator de Loxdromo.

    Entre 1590 e 1592, foi abalado por dois derrames, falecendo em Duisburg no dia dois de dezembro de 1594.

    Geradus Mercator divulgao / www.neumann-walter.de

    Figura 01 - Projeo do Mercator

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    SISTEMA UTM

    2 - Projeo conforme de Grauss

    O termo UTM (Universal Transversa de Mercator) atribudo a projeo de Mercator. No entanto, o sistema de coordena-das planas UTM, na concepo atual, levou em considerao o aperfeioamento introduzido por Gauss no sistema de proje-o utilizando o cilindro secante em substituio ao cilindro tan-gente. Gauss apresentou o modelo matemtico posteriormente aprimorado por Pierre Tardi, geodesista francs, na dcada de 1930.

    Na dcada de 40 (1947) ofi ciais da marinha dos Estados Uni-dos especialistas em Cartografi a e Geodsia prepararam as tabelas para clculos geodsicos no sistema UTM utilizando os parmetro dos elipsides de Clarke (1880) - aplicado nos Estados Unidos e Hayford (1909) - aplicado nas demais pases do mundo como recomendao da Assemblia Geral da Asso-ciao de Geodsia da UGGI - Unio Geofsica e Geodsica Internacional.

    As coordenadas retangulares utilizadas, inicialmente, nos ma-pas militares eram obtidas a partir das coordenadas geodsica Latitude/Longitude atravs de clculos onde eram aplicadas o coefi cientes previamente tabelados. E estima-se que aproxima-damente 500 ofi ciais trabalharam na preparao das tabelas usando rgua de clculo.

    Na confi gurao atual, no sistema retangular, a Terra dividida em 60 fusos de 6 de longitude cada um tendo incio no antime-ridiano de Greenwich ( = 180) crescendo de oeste para leste. Na latitude os paralelos so divididos em zonas de 4 com limite na latitude 80 sul e 84 Norte (para contemplar reas de inte-resse dos Estados Unidos no hemisfrio norte).

    Em 1967, a Assemblia Geral da Associao Geodsica e Geo-fsica Internacional, realizada em Lucerne, na Sua, recomen-dou a adoo do sistema Geodsico de referncia 1967. Em 1969, foi defi nido o sistema Geodsico Sul - Americano que adotou, para modelo geomtrico da Terra, o elipside de refe-rncia UGGI 1967.

    A partir de 1980 o instituto Brasileiro de Geografi a e Estatstica defi niu e adotou o sistema Geodsico Brasileiro que coincide com o Sul-Americano.

    Em 1981, o professor Luiz Carlos da Silveira - Professor de Ge-odsia no curso de Engenharia de Agrimensura da Escola Su-perior de Tecnologia de Cricima, atual universidade do Extre-mo Sul Catarinense, calculou, para as latitudes brasileiras, os coefi cientes geodsicos usados nas frmulas de transformao de coordenadas e cl-culo da convergncia meridiana.

    Em 1984, a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul publicou as tabelas, frmulas e exemplos aplicativos com o ti-tulo Tabelas e Fr-mulas para Clculos Geodsicos no Siste-ma UTM - Calculadas para o elipside UGGI - ref.1967 - SAD 69. O livro teve o prefcio es-crito pelos professores Clvis Carlos Carrara e Francisco Humber-to Simes Magro, do Departamento de Ge-odsia do Instituto de Geocincias da Uni-versidade Federal do Rio Grande do Sul.

    Em 1990, o professor Luiz Carlos da Silveira publicou o livro Clcu-los Geodsicos no sis-tema UTM Aplicadas a topografi a.

    O livro foi referncia para mais de cinquen-ta teses de doutora-dos e dissertaes de mestrados em todo o Brasil . Atualmente en-contra-se com edio esgotada.

    Johann Carl Friedrich Gauss nasceu em Braunschweig, na regio da Saxnia, no dia 30 de abril de 1777 e morreu em Gottingem no dia 23 de fevereiro de 1855.

    Foi matemtico, astrnomo, fsico e geodesista.

    Descobriu o mtodo dos mnimo quadrados para ajustamento de observaes geodsicas/topogrfi cas. Gauss foi o descobridor do Heliotrpio usado em triangulaes geodsicas.

    Na rea de Cartografi a, aperfeioou o sistema da projeo de Mercator apresentando a modelagem matemtica para transformao de coordenadas geodsicas lat/long em coordenadas planas-retangulares.

  • 4

    SISTEMA UTM

    3 - Caractersticas tcnicas do sistema de coordenada pla-nas UTM

    As principais caractersticas do sistema de coordenadas planas UTM so:

    a - Projeo cilndrica de Mercator ou Projeo conforme de Gauss.

    b - Fusos de 6 de amplitude limitados por meridianos nas lon-gitudes multiplicar de 6.

    c - Limitao para o sistema UTM at a latitude 84 para norte e 80 para o sul a partir do equador.

    d - Coefi ciente de escala no meridiano central.

    K0 = 0,9996

    e - Origem do sistema de coordenadas UTM.

    Cruzamento do equador com o meridiano central (MC) do fuso.

    E = 500.000 no meridiano central;N = 10.000.000 no equador para o hemisfrio sul;N = 0 no equador para o hemisfrio norte.

    f - Designao das coordenadas.

    Ordenada = N (Latitude)Abscissa = E (Longitude)

    g - Sistema formado por eixos cartesianos ortogonais.

    Eixo E paralelo ao equador;Eixo N paralelo ao meridiano central;

    h - Representao grfi ca da projeo.

    Figura 02 - A Terra no cilindro de projeo

    Figura 06 - O fuso de projeo no cilindro

    Figura 04 - Esquema de projeo no sistema UTM

    Figura 05 - Detalhe do fuso de projeo no sistema UTM

    Figura 06 - Detalhe do fuso em corte

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    SISTEMA UTM

    Na fi gura 06:

    Zona de ampliao SPI > Se1 K > 1Zona de reduo SP2 < Se2 K < 1Zona de secncia SP = Se K = 1

    Se = Distncia na superfcie do elipsideSP = Distncia plana no sistema de coordenadas UTM

    4 - Transformao de coordenadas geodsicas lat/long em coordenadas planas UTM - Datum SIRGAS 2000

    4.1 - Parmetros do elipside GRS - 80 Datum Sirgas 2000

    Semi-eixo equatorial a = 6.378.137,000Semi-eixo polar b = 6.356.752,3141

    1 excentricidade

    e = 0,0818191910428

    2 excentricidade

    e = 0,0820944381519

    4.2 - Determinao das coordenadas planas UTM

    N = I + II x P2 + III x P4 + A6 x P6

    E = IV x P + V x P3 + B5 x P5

    N = 10.000.000 - N E = 500.000 EP = 0,0001 x

    = | -MC | x 36004.2.2 - Determinao dos coefi cientes para o elipside

    GR80

    Elipside GRS80 Datum SIRGAS 2000

    A = 1,005052501813

    B = 0,005063108622

    C = 10,62759026 x 10 - 6

    D = 20,82037857 x 10 - 9

    E = 3,932371371 x 10 - 11

    F = 6,554547942 x 10 - 14

    4.2.3 - Determinao dos coefi cientes das frmulas

    I = Ko x S

    K0 = 0,9996 (Ko do sistema UTM)

    N = Grade Normal

    IV = N x cos x sen 1 x Ko x 104

    4.2.4 - Determinao de E

    E = IV x P + V x P3 + B5 x P5

    E = 500.000 X

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    SISTEMA UTM

    + E para ponto situado a leste do MC- E para ponto situado a oeste do MC

    4.2.5 - Determinao de N

    N = I + II x P2 + III x P4 + A6 x P6

    N = 10.000.000 - N

    5 - Transformao de coordenadas planas sistema UTM em coordenadas geodsicas Lat/Long

    5.1 - Frmulas utilizadas

    N = 10.000.000 - NE = 500.000 - E

    5.1.1 - Determinao de (mtodo das aproximaes sucessivas)

    1 Aproximao

    2 Aproximao

    3 Aproximao

    4 Aproximao

    5 Aproximao

    6 Aproximao

    Para o clculo de bastam 6 aproximaes.Determinao de q

    q = 0,000001 x E

    E = 500.000 E

    5.1.2 - Clculo da latitude

    Determinao dos coefi cientes

    Clculo de N

    5.1.3 - Clculo da longitude

    Determinao dos coefi cientes

    = MC

  • 7

    SISTEMA UTM

    Ponto a leste do MC - = MC -

    Ponto a oeste do MC - = MC +

    6 - Exemplo aplicativo

    6.1 - Transformao de coordenadas geodsicas Lat/Long em coordenadas planas sistema UTM. Datum SIRGAS 2000 - Elipside GRS 80

    = 28 16 51,3712 S = 50 26 17,5144 WMC = 51 W

    N = I + II x P2 + III x P4 + A6 x P6

    E = IV x P + V x P3 + B5 x P5

    N = 10.000.000 - N E = 500.000 EP = 0,0001 x

    = | -MC | x 3600

    2.022,4856 P = 0,202248566.1.1 - Determinao dos coefi cientes das frmulas

    I = Ko x S

    K0 = 0,9996 (Ko do sistema UTM)

    e = 0,0818191910428 1 exentricidade do elipside GRS80

    Coefi cientes do elipside

    A = 1,005052501813

    B = 0,005063108622

    C = 10,62759026 x 10 - 6

    D = 20,82037857 x 10 - 9

    E = 3,932371371 x 10 - 11

    F = 6,554547942 x 10 - 14

    S = 3.129.575,607I = 3.128.323,777

    Para o elipside GRS 80

    a = 6378.137,000e = 0,081819191 = - 28 16 51,3712 S

    N = 6.382.934,836 II = 3.128,621 III x P2 = 127,975

    III = 2,261 III x P4 = 0,004

    A6 = 0,001

    A6 x P6 = 0,000

    IV = N x cos x sen 1 x Ko x 104

    IV = 272.406,514IV x P = 55.093,825

    V = 59,235V x P3 = 0,490

    B5 = - 0,001 B5 x P

    5 = 0,000

  • 8

    SISTEMA UTM

    6.1.2 - Determinao de E

    E = IV x P + V x P3 + B5 x P5

    E = 55.094,315E = 500.000 E

    O ponto est a leste do MC 51 W

    E = 500.000 + E

    E= 555.094,3156.1.3 - Determinao de N

    N = I + II x P2 + III x P4 + A6 x P6

    N = 3.128.451,756N = 10.000,000 - N

    N = 6871.548,244

    6.2 - Transformao de coordenadas planas LTM em coor-denadas geodsica Lat/Long. Datum SIRGAS 2000 - Elipside GRS 80

    E = 555.094,3153N = 6.871.548,2443MC = 51 W

    6.2.1 Determinao da latitude

    N = 10.000.000 - NN = 3.128.451,756

    = - VII x q2 + VIII x q4 - D6 x q6

    6.2.1.1 - Determinao dos coeficientes

    Coefi cientes do elipside GRS 80

    e = 0,0818191910428a = 6.378137.000

    A = 1,005052501813

    B = 0,005063108622

    C = 10,62759026 x 10 - 6

    D = 20,82037857 x 10 - 9

    E = 3,932371371 x 10 - 11

    F = 6,554547942 x 10 - 14

    = 111.132,950

    = 16.038,50877

    = 16,83261339

    = 0,021984374

    = 3,11416 x 10-5

    = 4,15259 x 10-8

    6.2.2 - Determinao de (mtodo das aproximaes sucessivas)

    1 Aproximao

    1 = 28,16179689 2 Aproximao

    2 = 28,281756233 Aproximao

    3 = 28,2090764 Aproximao

  • 9

    SISTEMA UTM

    4 = 28,209169 5 Aproximao

    5 = 28,20917

    6 Aproximao

    6 = 28,20917= 28 16 55,5301

    6.2.3 - Clculo da latitude

    q = 0,000001 x EE = 500.000 - E

    E = 55.094,3153 q = 0,055094315

    Determinao dos coefi cientes

    a = 6378.137,000 (elipside GRS80)e = 0,0818191910428 (elipside GRS80) = 28 16 55,5301

    VII = 1.370,192 VII x q2 = 4,1591Clculo de N

    N = 6.382.935,836

    VIII = 16,374 VIII x q4 = 0,0002

    D6 = 0,207 D6 x q

    6 = 0,0000= 28 16 51,37126.2.4 - Clculo da longitude

    Determinao dos coefi cientes

    IX = 36.710,238 IX x q = 2022,5254

    X = 238,097 X x q3 = 0,0398

    E5 = 2,798 E5 x q

    5 = 0,000000 = 2.022,4856

    = 0 33 42,4856

    = MC MC = 51

    O ponto est a leste do MC.

    = MC -

    = 50 26' 17,5144" W

  • 10

    SISTEMA UTM

    ELIPSIDE / DATUM

    HAYFORD - CRREGO ALEGRE UGGI 1967 - SAD 69 GRS 80 - SIRGAS 2000

    a 6.378.388 6.378.160 6.378.137

    b 6.356.911,9461 6.356.774,7192 6.356.752,3141

    f 1/297 1/298,25 1/298,257222101

    e 0,0819918899789 0,0818201799961 0,0818191910428

    e 0,00672267002231 0,00669454185459 0,0066943800229

    e 0,082266896072 0,0820954371197 0,0820944381519

    e- 0,00676784218932 0,00673966079587 0,00673949677548

    A 1,005073988831 1,005052624725 1,005052501813

    B 0,005084685921 0,005063232050 0,005063108622

    C 10,71813676 x 10-6 10,62810712 x 10 -6 10,62759026 x 10- 6

    D 21,08680162 x 10-9 20,82189618 x 10 -9 20,82037857 x 10 - 9

    E 3,999571172 x 10-11 3,932753352 x 10 -11 3,932371371 x 10 - 11

    F 6,694218836 x 10-14 6,555340237 x 10 -14 6,554547942 x 10 - 14

    111.136,53666 111.133,34878 111.132,95255 16.107,0347 16.038,95495 16.038,50877 16,97621089 16,83348992 16,83261339 0,022265934 0,0211986052 0,021984374 3.16741 x 10-5 3.11448 x 10-5 3,11416 x 10-5 4,24113 x 10-8 4,15311 x 10-8 4,15259 x 10-8

  • 11

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    Transporte de coordenadas planas sistema UTM 1 - Consideraes iniciais

    O transporte de coordenadas planas - sistema UTM efetuado para se obter as coordenadas, no mesmo sistema, de pontos a partir de poligonal eletrnica originada numa base, cujas coor-denadas dos vrtices so conhecidas.

    As poligonais podem ser:

    - Poligonal aberta;- Poligonal fechada numa mesma base;- Poligonal enquadrada em bases diferentes.

    Deve-se, sempre que possvel, evitar o levantamento de poli-gonal aberta.

    Para os levantamentos visando o georreferenciamento de im-veis rurais no permitido o uso de poligonal aberta.

    2 - Elementos conhecidos

    Coordenadas dos vrtices da base de sada:

    No, Eo, NA, EA, HA

    3 - Elementos medidos

    - Distncias zenitais: ZAB , ZBA ;- Distncias inclinadas: DIAB , DIBA ;- Altura do prisma e instrumento: APA , APB , AIA , AIB ;- ngulo horizontal medido pelo mtodo das direes: (AH).

    4 - Elementos calculados

    - Distncias zenitais reduzidas ao solo: ZA , ZB;- Distncia horizontal: DHAB ;- Distncia geoidal: DGAB ;- Distncia elipsoidal: DEAB ;- Redues angulares: AB e BA ;- Azimute plano: AZPAB ;- Coefi ciente de escala: K ;- Distncia plana: DP ;- Coordenadas planas sistema UTM de B: NB e EB, HB.

    Figura 01

    Linha AO = base existente;

    Linha AB = linha medida;

    DP = distncia plana UTM;

    DE = distncia elipsidica;

    AO = reduo angular da linha base;

    AB = reduo angular da linha medida;

    AzPAB = azimute plano da linha medida;

    AHA = ngulo horizontal medido em campo .

    Figura 02Na fi gura 02

    DIAB = distncia inclinada AB; DIBA = distncia inclinada BA;DHAB = distncia horizontal AB;DHBA = distncia horizontal BA;DH = distncia horizontal mdia;APA = altura do prisma em A;APB = altura do prisma em B;AIA = altura do instrumento em A;AIB = altura do instrumento em B;ZA = distncia zenital medida em A;ZB = distncia zenital medida em B;ZA = distncia zenital corrigida em A;ZB = distncia zenital corrigida em B;DG = distncia geoidal - nvel do mar;DE = distncia elipsoidal;DP = distncia plana UTM.

  • 12

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    5 Conceitos

    Figura 03

    5.1 - Reduo das distncias zenitais (ZA, ZB)

    Levando-se em considerao que a altitude procurada a do nvel do marco, necessrio transferir as distncias zenitais lidas para a superfcie do marco.

    5.2 - Distncia inclinada (DI)

    As distncias inclinadas, medidas com estao total ou distan-cimetro eletrnico, devem ser recprocas. A mdia das distn-cias inclinadas ser usada para o clculo da distncia horizontal e diferena de nvel.

    A preciso da distncia inclinada depende da classe da estao total.

    A classe I tem preciso de 10 mm 10 ppm, ou seja, tem um erro de 1 cm por distncia medida, mais ou menos 1 cm/Km.

    5.3 - Distncia geoidal (DG)

    Distncia geoidal a projeo da distncia horizontal no nvel do mar ou superfcei do geide.

    5.4 - Distncia elipsoidal (DE)

    Distncia elipsoidal a medida linear do arco, entre os dois pontos, sobre a superfcie do elipside de referncia. No plano representado pela transformada.

    Para distncias inferiores 5 Km, a distncia geoidal aproxi-madamente igual a distncia elipsoidal.

    5.5 - Transformada

    Transformada a linha curvilnea que caracteriza a projeo de uma linha, da superfcie elipsoidal, no cilindro de Mercator. A concavidade da transformada deve ser orientada para o meri-diano central do fuso (MC). O maior valor da fl exa de uma trans-

    formada ocorre quando esta paralela ao meridiano central. Quando a linha perpendicular ao meridiano central, no existe fl exa, neste caso no h transformada, pois esta se confunde com uma linha reta.

    Nos paralelos o comprimento da fl exa varia com a latitude do ponto e o comprimento do arco, isto , cresce com o aumento da latitude e com o comprimento do arco.

    Nas fi guras 02 e 03, a transformada est representada pelo lado elipsidico DE.

    5.6 - Reduo angular -

    Reduo angular o ngulo formado entre o lado plano e o lado elipsidico ou o ngulo formado entre a corda e a tangente da transformada no ponto.

    5.7 - Azimute plano - AZP

    Azimute plano o ngulo formado entre a paralela ao meridiano central do fuso onde se encontra (NQ) e a corda da transfor-mada.

    5.8 - Lado plano - DP

    O lado plano a corda da transformada. a distncia plana entre dois pontos.

    6 - Frmulas utilizadas

    6.1 - Clculo da caderneta de campo

    a) - Reduo do ngulo horizontal - AH

    = limbo horizontal vante - limbo horizontal r

    1 = Leitura PDvante - Leitura PDR

    2 = Leitura PIvante - Leitura PIR

    Se o resultado for negativo deve-se somar 360.

    Exemplo

    Estao Al

    Ponto visado

    Leitura do limbohorizontal

    Reduo ngulohorizontal

    2

    1.480

    1 00 00 00 Prisma 180 00 10

    1.600 MDIA 3 95 53 55 95 53 55

    Prisma 275 54 00 95 53 501.600 MDIA 95 53 52,5

    PD vante = 95 53 55

  • 13

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    PD R = 00 00 001 = 95 53 55

    PI vante = 275 54 00 PI R = 180 00 10

    2 = 95 53 50

    AH = 95 53 52,5

    b) - Reduo do ngulo vertical

    Exemplo

    Estao Al

    Ponto visado

    Leitura do limbovertical

    Reduo ngulovertical

    2

    1.480

    1 89 18 30 Prisma 270 41 45

    1.600 MDIA 89 18 22,53 88 25 10

    Prisma 271 35 001.600 MDIA 88 25 05

    ZPI = 270 41 45 ZPD = 89 18 30

    Z = 89 18 22,5Onde:

    ZPD Vante = posio direta da vante;ZPD R = posio direta da r;ZPI Vante = posio inversa da vante;ZPI R = posio inversa da r;

    6.2 - Reduo das distncias zenitais ZA E ZB

    Onde:

    APA = altura do prisma em A;APB = altura do prisma em B;AIA = altura do instrumento em A;AIB = altura do instrumento em B;ZA = distncia zenital medida em A;ZB = distncia zenital medida em B;ZA = distncia zenital reduzida em A;ZB = distncia zenital reduzida em B.

    6.3 - Distncia horizontal DH

    Onde:

    DIm = distncia inclinada mdia;DIAB = distncia inclinada na vante;DIBA = distncia inclinada na r;DHAB = distncia horizontal.

    6.4 - Diferena de nvel ( H ) e altitude (H)

    6.5 - Azimute plano provisrio - AZP

    AZPAB = AZ PR + AHA 180

    Onde:

    AZPAB = azimute plano provisrio da linha;AZPR = azimute plano da linha anterior;AHA = ngulo horizontal medido em A.

    O ngulo AHA medido pelo processo das direes.

    6.6 - Distncia geoidal - nvel do mar (DG)

    Onde: DGAB = distncia geoidal;DHAB = distncia horizontal;Hm = altitude mdia;Rm = raio mdio.

    a) Clculo do Raio mdio - Rm

    Obteno do m

    N = 10.000.000 - Nm

    Obteno da ordenada mdia Nm

  • 14

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    Onde:

    Nm = ordenada mdia;NA = ordenada do vrtice A;(N) = projeo no eixo norte;AZPAB = azimute provisrio da linha.

    Obteno de (Para o elipside UGGI-67 / SAD-69)

    Para o elipside GRS80 - Sirgas 2000

    e = 0,00669438002 (primeira excentricidade)a = 6.378.137,000 (raio equatorial)

    A = 1,005052501813 = 111.132,95255

    Obteno de

    Para o elipside GRS80 - SIRGAS 2000

    B = 0,005063108622 = 16.038,50877

    6.7 - Distncia elipsoidal - DE

    DEAB = DGAB + ( 1,027 x DGAB3 x 10 -15 )

    Onde:

    DEAB = Distncia elipsoidal;DGAB = Distncia geoidal.

    6.8 - Reduo angular-

    AB = (N) x (2EA + EB) x XVIII x 6,8755 x 10

    - 8

    BA = (N) x (2EB + EA) x XVIII x 6,8755 x 10

    - 8

    EA = | EA - 500.000 | EB = EA + E)

    (E) = DEAB x sen AZPAB (N) = DEAB x cos AZPAB

    Onde: AB = reduo angular da linha;BA = reduo angular da r da prxima linha;

    (N) = projeo da linha no eixo norte/sul;(E) = projeo da linha no eixo leste/oeste;DEAB = distncia elipsidica;AZPAB = azimute plano provisrio da linha.

    Obteno de XVIII

    6.9 - Azimute plano defi nitivo - AZP

    Onde:

    AZPAB = azimute plano defi nitivo da linha;AZPAB = azimute plano provisrio da linha;AB = reduo angular da linha;R = reduo angular da r.

    6.10 - Sinal da reduo angular -

    Com o conhecimento do lado em que se encontra o meridiano central traam-se os lados planos e elipsidicos das linhas com a concavidade voltada para o meridiano central.

    Figura 04

  • 15

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    Figura 05

    Figura 06

    Figura 07

    Figura 08

    Figura 09

    Figura 10

  • 16

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    Figura 11

    SUBTRAI SOMA

    Figura 12

    SOMA SUBTRAI

    Figura 13

    6.11 - Fator de escala

    K = K0 x ( 1 + XVIII x qAB + 0,00003 x qAB2 )

    K0 = 0,9996 para o sistema UTM

    qA = 0,000001 EA qB = 0,000001 EB

    EA = | EA - 500.000 | EB = EA + E)

    (E) determinado com a distncia elipsoidal e azimute plano

    provisrios.

    (E) = DEAB x sen AZPAB

    Onde: K0 = Coefi ciente de escala no MC;

    K = Coefi ciente de escala no ponto mdio.

    6.12 - Distncia plana

    DPAB = DEAB x K

    Onde: DPAB = Distncia plana;

    DEAB = Distncia elipsoidal;

    K = Coefi ciente de escala no ponto mdio.

    6.13 - Coordenadas planas Sistema UTM

    NB = NA + DPAB x cos AZPAB

    EB = EA + DEAB x sen AZPAB

    7 - Exerccio aplicativo

    So apresentados, nas pginas seguintes, um levantamento de

    campo utilizando poligonal classe IP com os respectivos clcu-

    los.

  • 17

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

  • 18

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

  • 19

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    7.1 - Clculo da caderneta de campo

    A grande maioria dos softwares topogrfi cos descarregam os arquivos das estaes totais, que medem os ngulos (horizon-tal e vertical) pelo mtodo das direes, sugerido pela NBR 13133 - Normas tcnicas para levantamentos topogrfi cos.

    7.1.1 - ngulo horizontal

    A mdia do ngulo horizontal dada pela frmula:

    Sendo:

    PDVANTE = Leitura na posio direta na vante;

    PDR = Leitura na posio direta na r;

    PIVANTE = Leitura na posio inversa na vante;

    PIR = Leitura na posio inversa na r;

    n = nmero de sries

    Quando o resultado da subtrao resultar em ngulo negativodeve ser adicionado 360.

    1 Srie

    165 47 43 - 0 00 00 = 165 47 43345 47 49 -180 00 04 = 165 47 45

    2 Srie

    165 47 39 - 0 00 00 = 165 47 39345 47 43 -179 59 59 = 165 47 44

    3 Srie

    165 47 38 - 0 00 00 = 165 47 38345 47 42 -180 00 01 = 165 47 41

    Mdia = 165 47 41,67

    7.1.2 - ngulo Vertical (distncia zenital)

    A mdia do ngulo vertical dada pela frmula:

    Sendo:

    PD = ngulo vertical na posio direta;

    PI = ngulo vertical na posio inversa;

    n = nmero de sries.

    Vrtice V1Visada r = ZV1-MS

    1 Srie

    PD = 88 42 58 PI = 360 - 271 16 55 = 88 43 05

    2 Srie PD = 88 42 56

    PI = 360 - 271 16 54 = 88 43 06

    3 Srie

    PD = 88 42 58 PI = 360 - 271 16 57 = 88 43 03

    Mdia ZV1-MS = 88 43 01,00

    Visada vante = ZV1-V2

    1 Srie

    PD = 90 43 58 PI = 360 - 269 15 57 = 90 44 03

    2 Srie

    PD = 90 43 58 PI = 360 - 269 15 56 = 90 44 04

    3 Srie

    PD = 90 43 57 PI = 360 - 269 15 58 = 90 44 02

    Mdia ZV1-V2 = 90 44 00,33

    7.2 - Transporte de coordenadas planas sistema UTM

    Dados da base de sada (SIRGAS 2000)

    Vrtice MS Vrtice V1

    NMS = 6.815.767,893 m NV1 = 6.816.018,279 mEMS = 672.979,028 m EV1 = 673.251,614 mHMS = 71,120 m HV1 = 63,127 mAZPMS-V1 = 47 25 50,62

    Dados da base de chegada

    Vrtice MN Vrtice V8

    NMN = 6.825.909,578 m NV8 = 6.824.831,998 mEMN = 672.725,854 m EV8 = 674.231,391 mHMN = 72,012 HV8 = 11,435 m

    7.2.1 - Transporte do vrtice V1 para o vrtice V2

    Dados da caderneta de campo

    Vrtice V1 Vrtice V2

    ZV1-V2 = 90 44 00,33 ZV2-V1 = 89 15 56,33AIV1 = 1,369 m AIV2 = 1,330 m

    APV1 = 1,600 m APV2 = 1,600 m

  • 20

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    DIV1-V2 = 1.840,3143 m DIV2-V1 = 1.840,3145 mAHV1 = 165 47 41,67 (ngulo horizontal)

    7.2.1.1 - Reduo das distncias zenitais

    Vrtice V1

    Sendo:

    ZV1-V2 = distncia zenital corrigida da vante;ZV1-V2 = distncia zenital lida na vante;APV2 = altura do prisma na vante;AIV1 = altura do instrumento no vrtice;DIV1-V2 = distncia inclinada medida na vante.

    ZV1-V2 = 90 44 00,33APV2 = 1,600 mAIV1 = 1,369 mDIV1-V2 = 1.840,3143 m

    ZV1-V2 = 90 44 26,22

    Vrtice V2

    Sendo:

    ZV2-V1 = distncia zenital corrigida da r;ZV2-V1 = distncia zenital lida na r;APV1 = altura do prisma na r;AIV2 = altura do instrumento no vrtice;DIV2-V1 = distncia inclinada medida na r.

    ZV2-V1 = 89 15 56,33AIV2 = 1,330 mAPV1 = 1,600 mDIV2-V1 = 1.840,3145 m

    ZV2-V1 = 89 16 26,59

    7.2.1.2 - Determinao da distncia horizontal (DH)

    Sendo:

    DHV1-V2 = distncia horizontal;ZV2-V1 = distncia zenital corrigida da vante;ZV1-V2 = distncia zenital corrigida da r.

    DIV1-V2 = 1.840,3143 mDIV2-V1 = 1.840,3145 mZV2-V1 = 89 16 26,59ZV1-V2 = 90 44 26,22

    Sendo:

    DIV1-V2 = distncia inclinada na vante;DIV2-V1 = distncia zenital medida na r;DIm = distncia inclinada mdia.

    DIm = 1.840,3144 mDHV1-V2 = 1.840,1637 m

    7.2.1.3 - Determinao da altitude

    HV1-V2 = -23,5520 mSendo:

    HV1-V2 = diferena de nvel

    HV2 = HV1 + H V1-V2

    HV1 = 63,127 m

    HV2 = 39,5750 m

    7.2.1.4 - Determinao da distncia geoidal (DG)

    Sendo:

    DG = distncia geoidal;DH = distncia horizontal;Hm = altitude mdia;Rm = raio mdio.

    HV1 = 63,127HV2 = 39,5750

    Hm = 51,3510 m

    Determinao de Rm

    Sendo:

    Rm = raio mdio;a = eixo equatorial do elipside;e = primeira excentricidade;m = latitude mdia (aproximada).Determinao de m

  • 21

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    N = 10.000.000 - Nm

    Ordenada mdia provisria

    Azimute provisrio da linha V1 - V2AZPV1-V2 = AZPMS-V1 +AHV1 + 180

    AHV1 = 165 47 41,67AZPMS-V1 = 47 25 50,62

    AZPV1-V2 = 33 13 32,29DHV1-V2 = 1.840,1637NV1 = 6.816.018,279

    Nm = 6.816.787,945N = 3.183.212,055

    Determinao de

    Para o elipside GRS80 DATUM SIRGAS 2000

    e = 0,00669438002 (quadrado da primeira excentricidade)a = 6.378.137,000 (raio equatorial)

    A = 1,005052501813 = 111.132,95255

    N = 3.183.212,055K0 = 0,9996 = 111.132,95255

    1 = 28 39 17,06

    Para o elipside GRS80 DATUM SIRGAS 2000

    B = 0,005063108622 = 16.038,50877

    = 111.132,95255N = 3.183.212,055 mK0 = 0,99961 = 28 39 17,06

    m = 28 46 34,31Nota: Para as demais linhas no necessrio repetir o clculo de A, B, , . So constantes para o elipside GRS80.

    a = 6.378.137,000e = 0,00669438002m = 28 46 34,31

    Rm = 6.366.629,0470 m

    Sendo:

    DG = distncia geoidal;DHV1-V2 = distncia horizontal;Hm = altitude mdia;Rm = raio mdio.

    DHV1-V2 = 1.840,1637 mRm = 6.366.629,0470 mHm = 51,3510 m

    DGV1-V2 = 1.840,1488 m

    7.2.1.5 - Determinao da distncia elipsoidal (DE)

    DGV1-V2 = 1.840,1488 mDEV1-V2 = 1.840,1489 m

    7.2.1.6 - Coefi ciente de escala (K)

    Clculos auxiliares

    EV1 = 673.251,614EV1 = 173.251,614 m

    EV1 = 173.251,614 mDEV1-V2 = 1.840,1489 mAZPV1-V2 = 33 13 32,29

    EV2 = 174.259,901 mqV1 = 0,000001 x EV1

    EV1 = 173.251,614qV1 = 0,173251614

    qV2 = 0,000001 x EV2EV2 = 174.259,901

    qV1 = 0,174259901

  • 22

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    qV1-V2 = 0,030191148

    Determinao do coefi ciente XVIII

    Rm = 6.366.629,0470 mK0 = 0,9996

    XVIII = 0,012345208Aplicando a frmula

    K0 = 0,9996XVIII = 0,012345208qV1-V2 = 0,030191148

    KV1-V2 = 0,999972594

    7.2.1.7 - Determinao da distncia plana (DP)

    DPV1-V2 = DEV1-V2 x KV1-V2

    DEV1-V2 = 1.840,1489 mKV1-V2 = 0,999972594

    DPV1-V2 = 1.840,0984 m

    7.2.1.8 - Clculo das redues angulares da linha ()

    DPV1-V2 = 1.840,0984 mAZPV1-V2 = 33 13 32,29

    NV1-V2 = 1.539,2781 m

    EV1 = 173.251,614 mEV2 = 174.259,901 mXVIII = 0,012345208

    O resultado da reduo angular dado em segundos.

    V1-V2 = 0,68A reduo angular V2-V1 ser utilizada no transporte de coorde-nadas planas-UTM do vrtice V2 para o vrtice V3.

    7.2.1.9 - Clculo da reduo angular da linha da base de sada

    Este clculo efetuado somente no incio da poligonal e refere-

    se reduo angular da linha de r no ponto de partida.

    Clculos auxiliares:

    NV1 = 6.816.018,279NMS = 6.815.767,893

    N = 250,386 m

    EMS = 672.979,028EMS = 172.979,028

    Determinao de m (Linha V1 - MS)

    NV1 = 6.816.018,279NMS = 6.815.767,893

    N = 3.184.106,914

    K0 = 0,9996 = 111.132,952551 = 28 39 46,06

    N = 3.184.106,914 mK0 = 0,9996 = 16.038,508771 = 28 39 46,06 = 111.132,95255

    m = 28 47 03,39Determinao de Rm (Linha V1 - MS)

    a = 6.378.160,000 me = 0,00669438002m = 28 47 03,39

    Rm = 6.366.634,126 m

    Clculo do coefi ciente XVIII

    Rm = 6.356.634,126 mK0 = 0,9996

    XVIII = 0,012345188

  • 23

    TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

    Aplicando a frmula

    NV1-MS = 250,386 mEV1 = 173.251,614 mEMS = 172.979,028 mXVIII = 0,012345188

    V1-MS = 0,11

    7.2.1.10 - Clculo do ngulo horizontal plano

    AHvV1 PLANO

    Sinal das redues angulares.

    Para transformar o ngulo horizontal medido em ngulo plano deve ser subtrado a reduo angular V1-MS e a reduo angu-lar V1-V2.

    Figura 14

    HvV1 PLANO = v1 - v1-ms - v1-v2 V1-MS = 0,11V1-V2 = 0,68

    AHV1 PLANO = 165 47 40,88

    7.2.1.11 - Clculo do azimute plano

    AZPMS-V1 = 47 25 50,62AHPLANO = 165 47 40,88

    AZPV1-V2 = 33 13 31,49

    ou

    AZPV1-V2 = 33 13 32,29 (Determinado no item 2.1.4)V1-MS = 0,11V1-V2 = 0,68

    AZPV1-V2 = 33 13 31,49

    7.2.1.12 - Clculo das coordenadas de V2

    NV1 = 6.816.018,279 mDPV1-V2 = 1.840,0984 mAZPV1-V2 = 33 13 31,49

    NV2 = 6.817.557,5606 m

    EV1 = 673.251,614EV2 = 674.259,8671 m

    Coordenadas de V2

    NV2 = 6.817.557,5606 EV2 = 674.259,8671 HV2 = 39,5750

    So apresentadas, na sequncia, as planilhas de clculos.

    Principais elementos dos elipsides

    ELIPSIDE / DATUM

    HAYFORD - CRREGO ALEGRE

    UGGI 1967 - SAD 69

    GRS 80 - SIRGAS 2000

    a 6.378.388 6.378.160 6.378.137

    b 6.356.911,9461 6.356.774,7192 6.356.752,3141

    f 1/297 1/298,25 1/298,257222101

    e 0,0819918899789 0,0818201799961 0,0818191910428

    e 0,00672267002231 0,00669454185459 0,0066943800229

    e 0,082266896072 0,0820954371197 0,0820944381519

    e- 0,00676784218932 0,00673966079587 0,00673949677548

    A 1,005073988831 1,005052624725 1,005052501813

    B 0,005084685921 0,005063232050 0,005063108622

    C 10,71813676 x 10-6 10,62810712 x 10 -6 10,62759026 x 10- 6

    D 21,08680162 x 10-9 20,82189618 x 10 -9 20,82037857 x 10 - 9

    E 3,999571172 x 10-11 3,932753352 x 10 -11 3,932371371 x 10 - 11

    F 6,694218836 x 10-14 6,555340237 x 10 -14 6,554547942 x 10 - 14

    111.136,53666 111.133,34878 111.132,95255 16.107,0347 16.038,95495 16.038,50877 16,97621089 16,83348992 16,83261339 0,022265934 0,0211986052 0,021984374 3.16741 x 10-5 3.11448 x 10-5 3,11416 x 10-5

    4,24113 x 10-8 4,15311 x 10-8 4,15259 x 10-8

  • 25

    TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG

    Transporte de coordenadas geodsicas lat/long

    1 - Introduo

    O transporte de coordenadas geodsicas lat/long utilizado quando se trabalha na extremidade do fuso, com o objetivo de evitar o clculo da transposio do mesmo.

    Para grandes distncias aplica-se o transporte de coordenadas geodsicas Lat/Long em substituio ao transporte de coorde-nadas planas-sistema UTM, pois, no primeiro caso, a distncia para clculo a prpria distncia elipsoidal e para o transporte das coordenadas planas-sistema UTM, a distncia elipsoidal transformada em distncia plana, desta forma, sujeita a um pequeno erro que pode prejudicar a preciso na obteno das coordenadas.

    2 - Frmulas utilizadas

    Fazendo:

    , , ,

    Fazendo:

    Z = X + C1 + C2 = Z x A1B

    Onde:

    , ,

    ,

    , ,

    ,

    Sendo:

    AB = azimute geodsico; DE = distncia elipsidica;

    A = latitude geodsica do ponto A;A = longitude geodsica do ponto A;B = latitude geodsica do ponto B;B = longitude geodsica do ponto B;

    a = raio equatorial do elipside;b = raio polar do elipside;e = primeira excentricidade.

    3 - Exemplo aplicativo

    Dadas as coordenadas geodsicas Lat/Long do vrtice V1, a distncia elipsoidal do vrtice V1 para o vrtice V2 e o azimute geodsico, determinar as coordenadas geodsicas Lat/Long do vrtices V2.

    Ponto A = V1 Ponto B = V2

    Dados:

    A = - 28 46 18,0422 SA = 49 13 30,9883 WAB = 32 22 16,2536DEAB = 1840,1489 m

    3.1 - Clculo auxiliares

    Para o elipside GRS 80 - SIRGAS 2000

    a = 6.378.137,000 me = 0,0066943800229

    X = + 985,2195 m

    Y = +1.554,1848 m

    MA = 6.350.206,2368 m

    NA = 6.383.088,6320

  • 26

    TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG

    3.2 - Clculo da latitude aproximada

    B = 0,032481592

    K1 = + 50,48239749

    C = -1,39710 x 10 - 9

    C negativo no hemisfrio sul.

    K2 = C x X

    K2 = - 0,001356134

    D = - 2,05871 x 10 - 8

    K3 = D x K1

    K3 = - 5,24658 x 10 - 5

    E = 7,79083 x 10 - 15

    K4 = E x K1 x X

    K4 = + 3,81759 x 10 - 7

    = + 50,483806

    = + 0 00 50,483806 B = A +

    A = - 28 46 18,0422 S B = -28 45 27,558394

    Figura 01

    3.3 - Clculo da longitude

    NB = 6.383.084,2134

    C1 = 1,17952 x 10 - 6

    C2 = 4,095 x 10 -16 x X x Y

    C2 = 9,74523x 10 - 7

    Z = X + C1 + C2

    Z = 985,2195

    A1B = 0,036860578

    = Z x A1B = 36,31575973

    = - 0 00 36,315760 A = - 49 13 30,98830

    B = A + B = - 49 12 54,672540

    Figura 02

  • ESCOLA BRASILEIRA DE AGRIMENSURA CURSO ESPECIALIZAO EM AGRIMENSURA TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG DATUM SIRGAS 2000 Servio: Poligonal Marco Norte / Marco Sul IBGE Data: 22/09/2006 Folha: 01

    DO VRTICE A = V1 PARA O VRTICE B = V2 A = -28 46 18,0422 S Distncia elipsoidal DEAB = 1.840,1489 A = -49 13 30,9883 W Azimute geodsico AB = 32 22 16,2536

    CROQUI ABAB sen DE X = 985,2195

    )sene1(

    aNA

    22A = 6.383.088,6320

    )sene1(

    aNB

    22B = 6.383.084,2134

    23

    A22

    2

    A)sene1(

    )e1(aM

    = 6.350.206,2368

    32X

    BCC 3

    2

    1

    = 1,17952 x 10-6

    2162 YX10095.4C = 9,74523 x 10-7

    Z = X + C1 + C2 = 985,2195

    BBB1 cos"1SenN

    1A = 0,036860578

    B1AZ" = 36,31575973

    3600" = 0 00 36,315760

    AB = - 49 12 54,672540

    NQ = norte de quadricula NV = norte verdadeiro C = conv. meridiana AZP = azimute plano AZG = azimute geodsico

    V1 V2 = reduo angular AZPV1V2 = 33 13 31,503 C V1 = - 0 51 15,9294

    V1 V2 = 0,68 AZGV1V2 = 32 22 16,2536

    cos Se Y = 1.544,1848

    "1SenM1B

    A = 0,032481592

    Y BK1 = 50,48239749

    sen1"MN2tgC

    AA = -1,39710 x 10-9

    22 X CK = -0,001356134

    2322

    2

    )sene1( 2

    "1sencos sene3D = -2,05871 x 10-8

    213 K DK = -5,24658 x 10-5

    2A

    2

    NBTg31E

    = 7,79083 x 10-15

    214 x K EK = 3,81759 x 10-7

    KKKK" 4321 = 50,483806

    3600" = 0 00 50,483806

    AB = -28 45 27,558394 ESTAO A = V2 PARA ESTAO B = V1 A = -28 45 27,558394 S Distncia elipsoidal DEAB = 1.840,1489 A = -49 12 54,672540 W Azimute geodsicoAB = 212 21 58,7796

    CROQUI ABAB sen DE X = - 985,0878

    )sene1(

    aNA

    22A = 6.383.084,2134

    )sene1(

    aNB

    22B = 6.383.088,6320

    23

    A22

    2

    A)sene1(

    )e1(aM

    = 6.350.193,0494

    32X

    BCC 3

    2

    1

    = - 1,17768 x 10-6

    2162 YX10095.4C = - 9,74498 x 10-7

    Z = X + C1 + C2 = - 985,0878

    BBB1 cos"1SenN

    1A = 0,036865505

    B1AZ" = - 36,31576018

    3600" = 0 00 36,315760

    AB = - 49 13 30,988300

    AZPV2V1 = 213 13 31,503 C V2 = - 0 51 32,0434

    V2 V1 = 0,68 AZGV2V1 = 212 21 58,7796

    cos Se Y = - 1,554,2683

    "1SenM1B

    A = 0,032481659

    Y BK1 = - 50,4852132

    sen1"MN2tgC

    AA = - 1,39632 x 10

    -9

    22 X CK = -0,001354989

    2322

    2

    )sene1( 2

    "1sencos sene3D = - 2,05807 x 10-8

    213 K DK = -5,24552 x 10-5

    2A

    2

    NBTg31E

    = 7,78655 x 10-15

    214 x K EK = - 3,81469 x 10-7

    KKKK" 4321 = - 50,48380614

    3600" = - 0 00 50,483806

    AB = - 28 46 18,042200 Parmetros dos elipside Observaes Clculo Data:

    Visto Data:

    Elipside UGGI 67 SAD 69

    a = 6.378.160,000 m e = 0,00669454185459 Elipside GRS80 SIRGAS 2000 a = 6.378.137,000 e = 0,00669438000229

    No hemisfrio Sul C e D so negativos. Azimute geodsico (azimute com origem no Norte)

    Formulrio organizado pelo Professor Luiz Carlos da Silveira

  • ESCOLA BRASILEIRA DE AGRIMENSURA CURSO ESPECIALIZAO EM AGRIMENSURA TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG - DATUM SIRGAS 2000

    FAA VOC MESMO

    DO VRTICE A = V2 PARA O VRTICE B = V3 A = -28 45 27,558394 S Distncia elipsoidal DEAB = 1.920,7602 A = - 49 12 54,672540 W Azimute geodsico AB = 13 16 15,4506

    CROQUI ABAB sen DE X =

    )sene1(

    aNA

    22A =

    )sene1(

    aNB

    22B =

    23

    A22

    2

    A)sene1(

    )e1(aM

    =

    32X

    BCC 3

    2

    1

    =

    2162 YX10095.4C =

    Z = X + C1 + C2 =

    BBB1 cos"1SenN

    1A =

    B1AZ" =

    3600" =

    AB =

    V2 V3 = reduo angular AZPV2V3 = 14 0746,664 C V2 = - 0 51 32,0434

    V2 V3 = 0,83 AZGV2V3 = 13 16 15,4506

    cos Se Y =

    "1SenM1B

    A =

    Y BK1 =

    sen1"MN2tgC

    AA =

    22 X CK =

    2322

    2

    )sene1( 2

    "1sencos sene3D =

    213 K DK =

    2A

    2

    NBTg31E

    =

    214 x K EK =

    KKKK" 4321 =

    3600" =

    AB =

    ESTAO A = V3 PARA ESTAO B = V2 A = -28 44 26,834657 S Distncia elipsoidal DEAB = 1.920,7602 A = -49 12 38,422480 W Azimute geodsicoAB = 193 16 07,6295

    CROQUI ABAB sen DE X =

    )sene1(

    aNA

    22A =

    )sene1(

    aNB

    22B =

    23

    A22

    2

    A)sene1(

    )e1(aM

    =

    32X

    BCC 3

    2

    1

    =

    2162 YX10095.4C =

    Z = X + C1 + C2 =

    BBB1 cos"1SenN

    1A =

    B1AZ" =

    3600" =

    AB =

    AZPV3V2 = 194 07 46,664 C V3 = - 0 51 38,2045 V3 V2 = 0,83 AZGV3V2 = 193 16 07,6295

    cos Se Y =

    "1SenM1B

    A =

    Y BK1 =

    sen1"MN2tgC

    AA =

    22 X CK =

    2322

    2

    )sene1( 2

    "1sencos sene3D =

    213 K DK =

    2A

    2

    NBTg31E

    =

    214 x K EK =

    KKKK" 4321 =

    3600" =

    AB = Parmetros dos elipside Observaes Clculo Data:

    Visto Data:

    Elipside UGGI 67 SAD 69

    a = 6.378.160,000 m e = 0,00669454185459 Elipside GRS80 SIRGAS 2000 a = 6.378.137,000 e = 0,00669438000229

    No hemisfrio Sul C e D so negativos. Azimute geodsico (azimute com origem no Norte)

    Formulrio organizado pelo Professor Luiz Carlos da Silveira

  • 29

    CONVERGNCIA MERIDIANA

    Convergncia meridiana

    1 - Introduo

    A convergncia meridiana o ngulo C, que num determinado ponto P, formado pela tangente ao meridiano deste, e a para-lela ao meridiano central.

    Desta forma a convergncia meridiana o ngulo formado en-tre o norte verdadeiro e o norte de quadricula.

    Figura 01

    NV = norte verdadeiro;NQ = norte da quadrcula;C = convergncia meridiana;MC = Meridiano central.

    Figura 02 - Sinal da convergncia meridiana

    C positivo

    - no hemisfrio sul - lado oeste do MC;- no hemisfrio norte - lado leste do MC.

    C negativo

    - no hemisfrio sul - lado leste do MC;- no hemisfrio norte - lado oeste do MC.

    Figura 03

    2 Utilizao da convergncia meridiana

    A convergncia meridiana utilizada para transformar o azimu-te verdadeiro, determinando por via astronmica, em azimute plano (norte de quadrcula) e vice-versa.

    O azimute plano utilizado, em geodsia, no clculo do trans-porte de coordenadas planas sistema UTM (E,N).

    Figura 04

    AzVAB = azimute verdadeiro da linha AB;AzPAB = azimute plano da linha AB;C = convergncia meridiana;NV = norte verdadeiro.NQ = norte de quadrcula.

    O azimute verdadeiro utilizado em topografi a para clculos das coordenadas locais (X, Y).

    O azimute geodsico referenciado a superfcie elipsoidal, en-quanto o azimute verdadeiro referenciado a superfcie geoidal (superfcie real da Terra).

    Em topografi a de minas, para locao da rea em campo, o azimute verdadeiro determinado, a partir do azimute plano por tcnica GNSS.

  • 30

    CONVERGNCIA MERIDIANA

    A pequena diferena existente entre os azimutes pode ser, na pratica, negligenciada sem prejuzo a preciso dos levantamen-tos topogrfi cos.

    3 Frmulas utilizadas

    A convergncia meridiana pode ser calculada em funo das coordenadas geodsicas Lat/Log ou das coordenadas planas nos sistemas UTM, LTM e RTM.

    3.1 Frmulas para clculo da convergncia meridiana a partir das coordenadas geodsicas Lat/Long.

    C = XIII x P x XIII x P3 + C5 x P5

    P = 0,0001''= MC - Coefi cientes

    XII = sen x 104

    Parmetros dos elipsides

    Elipside UGGI 1967 - Datum SAD 69

    a = 6.378.160,0000b = 6.356.774,7192e = 0,00669454185459e = 0,00673966079587

    Elipside GRS 80 - Datum SIRGAS 2000

    a = 6.378.137,0000b = 6.356.752,3141e = 0,00669438000229e = 0,00673949677548

    Elementos das frmulas

    = latitude geodsica do ponto;e = segunda excentricidade;a = raio equatorial do elipside; = longitude geodsica do ponto;MC = meridiano central do fuso;b = raio polar do elipside.

    Determinao do meridiano central

    Para determinar o MC, no sistema de coordenadas planas UTM, conta-se, a partir do 1 MC ( MC = 3 ), de 6 em 6 desta forma

    3, 9, 15, ......, 45, 51, 57,....

    Para determinar a qual MC pertence o ponto, basta situar o

    mesmo no fuso.

    Figura 05

    Todo o ponto de longitude compreendida entre 48 e 54 tem MC = 51.

    3.2 - Frmula para clculo da convergncia meridiana a par-tir das coordenadas planas Sistema UTM

    C = XV x q - XVI x q3 + F5 x q5

    q = 0,000001 E E = 500.000 - EOnde:

    K0 = 0,9996 Signifi cado dos termos

    = latitude do p da perpendicular que vai do ponto conside-rado at o MC;

    E = abscissa do sistema UTM;e = primeira excentricidade do elipside;e = segunda excentricidade do elipside;K0 = fator de escala;N = grande normal;a = raio equatorial do elipside;b = raio polar do elipside.

    Determinao de por processo interativo.1 Aproximao

    2 Aproximao

  • 31

    CONVERGNCIA MERIDIANA

    3 Aproximao

    4 Aproximao

    5 Aproximao

    6 Aproximao

    Para o clculo de bastam 6 aproximaes.

    Determinao de q q = 0,000001 x E

    E = 500.000 E

    4 Exemplo aplicativo

    4.1 Calcular a convergncia meridiana do vrtice V1, cujas coordenadas planas sistema UTM so:

    Elipside GRS 80 - SIRGAS 2000

    N = 6.816.018,279E = 673.251,614

    Determinao de N = 10.000.000 - N

    N = 3183981,7211 Aproximao

    1 = 28,661669312 Aproximao

    2 = 28,783007773 Aproximao

    3 = 28,783337244 Aproximao

    4 = 28,783338135 Aproximao

    5 = 28,783338146 Aproximao

  • 32

    CONVERGNCIA MERIDIANA

    6 = 28,78333814Determinao de q

    E = 673.251,614 E = 500.000 - E| E = 173.251,614 q = 0,173251614

    Determinao dos coefi cientes

    XV

    Clculo de N

    Dados:

    a = 6.378.137,000e2 = 0,006694541852 = - 28 47 00,017

    N = 6.383.092,308XV = 3.076,909676

    XV x q = 3.076,909676XVI

    XVI = 188,916617347

    XVI x q3 = 0,980469F5

    F5 = 2,701953466

    F5 x q5 = 0,000422

    Clculo da convergncia meridiana

    C = XV x q - XVI x q3 + F5 x q5

    C = 3075,929629

    C = 00 51 15,929629

    Como o ponto est a leste do meridiano central.

    C = - 00 51 15,9296

    4.2 Calcular a convergncia meridiana do vrtice V1 cujas coordenadas geodsicas so:

    Latitude () = - 28 46 18,0422 SLongitude () = - 49 13 30,9833 WMC = 51

    C = XIII x P + XIII x P3+C5 x P5

    Determinao de p

    p = 0,0001 |MC | = 1 46 29,0167

    = 00 23 47,5485 = x 3600

    = 1 46 29,0167 = 6.389,0167P = 0,63890167

    Clculo dos coefi cientes

    XII PXII = sen x 104 XII = 4.813,204522

    XII x P = 3.075,164407XIII P

    XIII = 2,941710

    XIII x P = 0,767188C5 P

    5

    C5 = 0,001775

    C5 P5

    = 0,000189Clculos da convergncia

    C = XII x P + XIII x P3 +C5 x P5

    C = 3075,929629

    C = 0 51 15,93178

    Como o ponto est a leste do MC

    C = - 0 51 15,93178

  • 33

    TRANSFORMAO DE SISTEMAS GEODSICOS

    Transformao de sistemas geodsicos (Equaes diferenciais simplificadas de Molodenski)

    1 Introduo

    No Brasil, atualmente, so utilizados os elipsides UGGI 1967 Datum SAD 69 e GRS 80 Datum SIRGAS 2000.

    Na fase de transio para o Datum SIRGAS 2000 alguns traba-lhos so executados no sistema UGGI 1967 SAD 69.

    2 - Frmulas utilizadas

    Segundo as especifi caes e normas gerais para levantamen-tos geodsicos - apndice II do IBGE, a transformao de sis-temas geodsicos (transformao de coordenadas geodsicas referenciadas a um elipside - datum - origem para um elipside - datum - destino) dever ser efetuada a partir das equaes diferenciais simplifi cadas de Molodenski.

    As equaes so:

    h2 = h1 + h

    f = f2 - f1 a = a2 - a1

    e12 = f1 x (2 - f1)

    onde:a1 = semi-eixo maior do elipside 1;f1 = achatamento do elipside 1;

    1 = latitude geodsica do ponto 1 no elipside 1;1 = longitude geodsica do ponto 1 no elipside 1;a2 = semi-eixo maior do elipside 2;f2 = achatamento do elipside 2;2 = latitude geodsica do ponto 1 no elipside 2;2 = longitude geodsica do ponto 1 no elipside 2;e1 = primeira excentricidade do elipside 1;N1 = grande normal (do ponto 1)no elipside 1;M1 = raio da seo meridiana (do ponto 1) no elipside 1;h = diferena de geondulao;h1 = altura elipsoidal do ponto 1 no elipside 1;h2 = altura elipsoidal do ponto 1 no elipside 2.

    Parmetros de transformao

    Parmetros dos elipsides

    Elipside UGGI 1967 Datum - SAD-69

    a = 6.378.160,000 mf = 1/298,25e1

    2 = 0,00669454185459

    Elipside GRS 80 Datum SIRGAS 2000

    a = 6.378.137,000 mf = 1/298,257222101e2

    2 = 0,0066943800229

    Parmetros de transformao - ofi cial do IBGE

    SAD-69 SIRGAS 2000

    X = - 67,35 m Y = + 3,88 m Z = - 38,22 m

    SIRGAS 2000 SAD-69 X = + 67,35 m Y = - 3,88 m Z = + 38,22 m

    3 - Exemplo aplicativo

    Transformar as coordenadas do ponto Pilar 1 da Base USP do elipside UGGI 1967 - SAD-69 para o elipside GRS 80 - SIRGAS 2000.

  • 34

    TRANSFORMAO DE SISTEMAS GEODSICOS

    Coordenadas do ponto

    1 = - 23 33 01,28833 S1 = - 46 43 52,03600 Wh1= 724,8371 m

    3.1 - SAD-69 SIRGAS 2000

    Sistema 1 - Elipside UGGI 1967 - SAD-69

    a1 = 6.378.160,000 mf1 = 1/298,25e1

    2 = 0,00669454185459

    Sistema 2 - Elipside GRS 80 SIRGAS 2000

    a = 6.378.137,000 mf = 1/298,257222101e2

    2 = 0,0066943800229

    Parmetros de transformao

    UGGI 1967 - SAD-69 GRS 80 - SIRGAS2000

    X = - 67,35 m Y = + 3,88 m Z = - 38,22 m

    Clculo da grande normal N1

    a1 = 6.378.160,000 me1

    2 = 0,006694541854591 = - 23 33 01,28833

    N1 = 6.381.571,04573 m

    Clculo do raio da seo meridiana M1

    M1 = 6.345.631,20899 m

    Clculos auxiliares

    a = a2 - a1

    a = - 23,00

    f = f2 - f1

    f = - 8,1188054898 x 10 - 8

    Clculo de

    = - 0,000489149574

    = - 0 00 01,76094Clculo de 2

    2 = 1 +

    2 = - 23 33 01,28833 S2 = - 230 33 03,049324Clculo de

    = - 0,000454260303

    = - 00 00 01,635337

    Clculo de 22 = 1 +

    1 = - 46 43 52,03600 W 2 = - 46 43 53,671337

    Clculo da altura elipsoidal

    h= - 6,7321 mh2 = h1 + h

    h1 = 724,8371h2 = 718,105 m

    Sistema S1 - Elipside SAD-69

    1 = - 23 33 01,28833 S1 = - 46 43 52,03600 Wh1 = 724,8371 m

    Sistema S2 - Elipside WGS - 84

    2 = - 23 33 03,049324 S2 = - 46 43 53,671337 Wh2 = 718,105 m

    3.2 Verifi cao - SIRGAS 2000 - SAD 69

    Transformar as coordenadas do ponto Pilar 1 da Base USP do elipside GRS 80 - SIRGAS 2000 para o elipside UGGI

  • 35

    TRANSFORMAO DE SISTEMAS GEODSICOS

    1967 - SAD-69.

    Coordenadas do ponto - GRS 80 - SIRGAS 2000

    1 = - 23 33 03,049324 S1 = - 46 43 53,671337 Wh1 = 718,105 m

    SIRGAS 2000 SAD-69

    Sistema 1 - Elipside GRS 80 - SIRGAS 2000

    a1 = 6.378.137,000f1 = 1/298,257222101e1

    2 = 0,0066943800229

    Sistema 2 - Elipside UGGI 1967 - SAD-69

    a2 = 6.378.160,000f2 = 1/298,25e2

    2 = 0,00669454185459

    Parmetros de transformao

    SIRGAS 2000 SAD-69

    X = + 67,35 mY = - 3,88 mZ = + 38,22 m

    Clculo da grande normal N1

    a1 = 6.378.137,000 me1

    2 = 0,006694380002291 = - 23 33 03,049324" S

    N1 = 6.381.548,1672 m

    Clculo do raio da seo meridiana M1

    M1 = 6.345.608,7252 m

    Clculos auxiliares

    a = a2 - a1

    a = 23,00 mf = f2 - f1

    f = 8,1188054898 x 10- 8

    Clculo de

    = 0,000489152227

    = 0 00 01,760948Clculo de 2

    2 = 1 +

    1 = - 23 33 03,049324"2 = - 23 33 01,288376

    Clculo de

    = 0,000454267426

    = 0 00 01,635363

    2 = 1 +

    1 = - 46 43 53,671337

    2 = - 46 43 52,035974

    Clculo da altura elipsoidal (h)

    h = 6,731 m

    h1 = 718,105

    h2 = h1 + h

    h2 = 724,836 m

  • 36

    TRANSFORMAO DE SISTEMAS GEODSICOS

    Transformao de sistemas geodsicos (Mtodo direto pelas coordenadas cartesianas)

    1 Introduo

    A transformao de sistemas geodsicos tambm pode ser efetuada a partir das coordenadas cartesianas X, Y e Z, cujo sistema, com origem no centro do elipside, tem como eixos, o meridiano de Greenwich (eixo X), o meridiano 90 E (eixo Y) e o eixo de rotao da Terra (eixo Z).

    As coordenadas nativas do sistema GNSS so cartesianas.

    2 Transformao de coordenadas geodsicas lat/long em coordenadas cartesianas

    2.1 Frmulas utilizadas:

    X = (N + h) x cos x cos Y = (N + h) x cos x sen Z = {[ N x (1 - e)] + h} x sen 1

    onde:

    X, Y, Z = coordenadas cartesianas; = latitude geodsica; = longitude geodsica;h = altura elipsoidal;N = grande normal;e = primeira excentricidade;a = eixo equatorial do elipside;b = eixo polar do elipside.

    Conveno de sinais

    - = ponto no hemisfrio sul;+ = ponto no hemisfrio norte;- = ponto a oeste de Greenwich;+ = ponto a leste de Greenwich.3 - Transformao de sistemas geodsicos

    3.1 - Frmulas utilizadas

    X2 = X1 + X Y2 = Y1 + Y Z2 = Z1 + Zonde:

    Coordenadas cartesianas no sistema 1

    Coordenadas cartesianas no sistema 2

    Parmetros dos elipsides (Dados ofi ciais do IBGE)

    Elipside UGGI 1967 Datum SAD 69

    a = 6.378.160,000f = 1/298,25e2 = 0,00669454185459

    Elipside GRS 80 Datum SIRGAS 2000

    a = 6.378.137,000f = 1/298,257222101e2 = 0,0066943800229

    Parmetros de transformao

    SAD-69 SIRGAS 2000 SIRGAS 2000 SAD-69X = - 67,35 m X = + 67,35 mY = + 3,88 m Y = - 3,88 mZ = - 38,22 m Z = + 38,22 m

    4 - Transformao de coordenadas cartesianas em coorde-nadas geodsicas lat/long

    Frmulas utilizadas

    Parmetros dos elipsides

    Elipside UGGI 1967 - Datum SAD 69

    a = 6.378.160,0000 e = 0,00669454185459b = 6.356.774,7192 e = 0,00673966079587

    Elipside GRS - Datum SIRGAS 2000

    a = 6.378.137,000 e = 0,00669438000229b = 6.356.752,3141 e = 0,00673949677548

    5 - Exemplo aplicativo

    Transformar as coordenadas do ponto Pilar 1 da Base USP do elipside UGGI 1967 - SAD-69 para o elipside GRS 80 - SIRGAS 2000.

  • 37

    Coordenadas do ponto

    1 = - 23 33 01,28833 S1 = - 46 43 52,03600 Wh1= 724,8371 m

    SAD-69 SIRGAS 2000

    Sistema 1 - Elipside UGGI 1967 - SAD-69

    a1 = 6.378.160,000 mf1 = 1/298,25e1

    2 = 0,00669454185459

    Sistema 2 - Elipside GRS 80 SIRGAS 2000

    a2 = 6.378.137,000 mf2 = 1/298,257222101e2

    2 = 0,0066943800229

    Parmetros de transformao

    UGGI 1967 - SAD-69 GRS 80 - SIRGAS2000

    X = - 67,35 m Y = + 3,88 m Z = - 38,22 m

    5.1-Determinao das coordenadas cartesianas no sistema 1

    Clculo da grande normal N1

    a1 = 6.378.160,000 me1

    2 = 0,006694541854591 = - 23 33 01,28833

    N1 = 6.381.571,04573 m

    X1 = (N+h) x cos 1 x cos 1

    N = 6.381.571,04573h = 724,83711 = - 23 33 01,28833 S1 = - 46 43 52,03600 W

    X1 = 4.010.210,70947 m

    Y1 = (N1+h1) x cos 1 x sen 1

    Y1 = - 4.260.165,97534 m

    Z = {[ N x (1 - e)] + h} x sen 1

    TRANSFORMAO DE SISTEMAS GEODSICOS

    Z1 = - 2.533.008,11252 m

    5.2-Determinao das coordenadas cartesianas no sistema 2

    X2 = X1 + X X1 = 4.010.210,70547 m X = - 67,35 m

    X2 = 4.010.143,35947Y2 = Y1 + Y

    Y1 = 4.260.165,97534 m Y = - 3,88 m

    Y2 = - 4.260.162,09534

    Z2 = Z1 + Z

    Z1 = - 2.533.008,11252 m Z = - 38,22 m

    Z2 = - 2.533,046,33252

    5.3 - Determinao das coordenadas geodsicas Lat/Long no sistema 2.

    X2 = 4.010.143,35947Y2 = - 4.260.162,09534Z2 = - 2.533,046,33252

    Clculo auxiliares

    P = 5.850.660,71842

    a = 6.378.137.0000 b = 6.356.752,3141 = -23 28 49,662578

    2 = - 23 33 03,049104

    2 = - 46 43 53,671165

    h2 = 718,105044

  • 38

    Clculo do lado elipsoidal e azimute geodsico em funo das coordenadas geodsicas lat/long

    1 - Introduo

    O azimute geodsico usado para o transporte de coordena-das geodsicas Lat/Long.

    Com as coordenadas geodsicas Lat/Long dos vrtices, calcu-la-se o lado elipsoidal e o azimute geodsico.

    Atualmente tem grande aplicao na navegao inercial com-putadorizada onde, conhecendo a posio do avio e do aero-porto, ou do navio e do porto, calcula-se a distncia e o azimute. Pode ser usado tambm no clculo do azimute geodsico para direcionamento de antenas de rdios entre outras aplicaes.

    2 - Frmulas Utilizadas

    As frmulas a seguir foram deduzidas a partir das frmulas do transporte de coordenadas geodsicas lat/long.

    2.1 Lado elipsoidal provisrio

    2.2 - Azimute geodsico provisrio

    2.3 Lado elipsoidal defi nitivo

    2.4 - Clculo do contra azimute

    Fazendo:

    K4 = E x K1 x X1

    K2 = C x X1,

    K3 = D x K1,

    K1 = B x Y1

    X = W C1 C2

    Onde os coefi cientes so:

    CLCULO DE LADOS E AZIMUTES

  • 39

    Para o elipside UGGI 67 Datum SAD 69

    a = 6.378.160,000 me = 0,00669454185459

    Para o elipside GRS 80 Datum SIRGAS 2000

    a = 6.378,137,000 me = 0,0066943800229

    Onde:

    DE= lado elipsoidal; = azimute geodsico;NA = grande normal no ponto A;NB = grande normal no ponto B;MA = raio da seco meridiana no ponto A;MB = raio da seco meridiana no ponto B;e = primeira excentricidade;a = raio equatorial do elipside;b = raio polar do elipside;A = latitude geodsica do ponto A;A = longitude geodsica do ponto A;B = latitude geodsica do ponto B;B = longitude geodsica do ponto B;m = Latitude mdia.

    3 Exemplo aplicativo

    Dadas as coordenadas geodsicas Lat/Long dos pontos V1 e V2, determinar o lado elipsoidal e azimute geodsico.

    Ponto A V1A = - 284618,042200 SA = - 49 13 30,988300 WPonto B V2

    B = - 28 45 27,558400 SB = - 49 12 54,672500 W3.1 - Clculos auxiliares

    B = - 28 45 27,558400 S

    CLCULO DE LADOS E AZIMUTES

    A = - 28 46 18,042200 S = - 0 00' 50,4838"

    " = - 50,4838"

    m = - 28 45 52,800300 S = B - A

    B = - 49 12 54,672500 WA = - 49 13 30,988300 W = - 0 00' 36,3158"

    " = x 3600 = - 36,3158"

    MA = 6.350.206,2368 m

    NA = 6.383.088,6320 m

    NB = 6.383.084,2134 m3.2 Clculo do lado provisrio

    NB = 6.383.048,2134B = - 28 45 27,5584 S = - 0 00 36,3158 X1 = - 985,2206 m

    Y1 = - 1.554,2280 mDE1 = 1.840,1860 m

    3.3 - Clculo do azimute provisrio

    = 32 22' 13,765975"

    Figura 01

  • 40

    CLCULO DE LADOS E AZIMUTES

    O azimute geodsico contado a partir do Sul

    1 = 212 22 13,7659753.4 Clculo do lado e azimute defi nitivo

    B = 0,032484592K1 = B x Y1

    K1 = - 50,4838

    C = - 1,39713 x 10-9

    C negativo hemisfrio Sul

    K1 = - 0,001356137

    D = - 2,05871 x 10 - 8D negativo hemisfrio Sul

    K3 = - 5,24687 x 10

    - 5

    E = 7,79083 x 10 - 5

    K4 = - 3,81771 x10 - 7

    K5 = K2 K3 + K4 K5 = - 50,4824

    Y = - 1.554,1847 m

    C1 = - 1,17953 x 10 - 6

    C2 = 4,095 x 10-16 x X1 x Y1

    C2 = -9,74579 x 10 - 7

    A1B = 0,0368860578

    W = - 985,2206X = W C1 C2

    X = - 985,2206 m

    Azimute geodsico defi nitivo

    A partir do sul

    A partir do norte Lado elipsoidal defi nitivo

    DE = 1.840,1493 m3.5 - Clculo do contra azimute

    m = - 28 45 52,800300 S = B - A

    = - 0 00' 50,4838"

    = B - A

    = - 36,3158" - = 17,4756417467"

    = - 17,47564175" = - 0 00' 17,47564175"

    Figura 02

  • ESCOLA BRASILEIRA DE AGRIMENSURA CURSO ESPECIALIZAO EM AGRIMENSURA CLCULO DO LADO E AZIMUTE GEODSICO EM FUNO DAS COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG Servio: Poligonal Marco Norte / Marco Sul IBGE Datum: SIRGAS 2000 Folha: 01

    VRTICE A = V1 VRTICE B = V2 A = - 28 46 18,0422 S B = - 28 45 27,5584 S A = - 49 13 30,9883 W B = - 49 12 54,6725 W

    AB = - 0 00 50,4883 3600" - 50,4838

    AB = - 0 00 36,3158 3600" - 36,3158

    )sene1(aN

    B22B

    = 6.383.084,2134 m

    180CosN X BB1

    = - 985,2206 m

    180MY A1 = - 1.554,2280 m

    YXDE 111 = 1.840,1860 m Rumo

    Y1X1 tgArc AB1 = 32 22 13,765975

    Azimute AB1 212 22 13,765975

    32X

    BCC 3

    2

    1

    = 6 1017953,1 2

    1116

    2 YX10095.4C = 7 1074579,9

    BBB1 cos"1SenN

    1A = 0,0368860578

    1BA"W = 0,0368860578

    X = W C1 C2 = - 985,2206

    Rumo

    YX tg arcAB = 32 22 16,367597

    Azimute a partir do sul AB 212 22 16,367597 Azimute geodsico AB 212 22 16,367597

    )sene1(aN

    A22A

    = 6.383.088,6230 m

    3/2A

    A ) Sene1(e)(1 aM

    = 6.350.206,2368 m

    "1SenM1B

    A = 0,032484592

    Y BK1 = - 50,4838

    "1senMN2TgC

    AA = 9 10139713,1

    22 X CK = - 0,001356137

    2322

    2

    )sene1( 2

    "1sencos sene3D = 8 1005871,2

    213 K DK = 5 1024687,5

    2A

    2

    NBTg31E

    = 5 1079083,7

    214 x K EK = 7 1081771,3

    K5 = K2 K3 + K4 = - 50,482382

    BK

    Y 5 = - 1.554,1847 m 22

    AB YXDE = 1.840,1493 m Clculo do contra azimute CROQUI

    2

    = - 0 00 25,2419

    2

    B1m = - 28 45 52,8003

    "1sencossen121F 2A

    2A = 13 102429,7

    3m )"(F2

    secsen " = 17,4756417 = - 0 00 17,4756417

    )180( ABBA BA = 32 21 58,8920 Azimute geodsico BA = 212 21 58,8920

    Parmetros dos elipside Observaes Clculo Data:

    Visto Data:

    Elipside UGGI 67 SAD 69 a = 6.378.160,000 m e = 0,00669454185459 Elipside GRS80 SIRGAS 2000 a = 6.378.137,000 e = 0,00669438000229

    No hemisfrio Sul C e D so negativos. Azimute geodsico (azimute com origem no Norte)

    Formulrio organizado pelo Professor Luiz Carlos da Silveira

  • ESCOLA BRASILEIRA DE AGRIMENSURA CURSO ESPECIALIZAO EM AGRIMENSURA CLCULO DO LADO E AZIMUTE GEODSICO EM FUNO DAS COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG

    Faa voc mesmo Datum : SIRGAS 2000

    VRTICE A = V2 VRTICE B = V1 A = - 28 45 27,5584 S B = - 28 46 18,0422 S A = - 49 12 54,6725 W B = - 49 13 30,9883 W

    AB = 3600"

    AB = 3600"

    )sene1(aN

    B22B

    =

    180CosN X BB1

    = -

    180MY A1 = -

    YXDE 111 = Rumo

    Y1X1 tgArc AB1 =

    Azimute AB1

    32X

    BCC 3

    2

    1

    = 2

    1116

    2 YX10095.4C =

    BBB1 cos"1SenN

    1A =

    1BA"W =

    X = W C1 C2 =

    Rumo

    YX tg arcAB =

    Azimute a partir do sul AB Azimute geodsico AB

    )sene1(aN

    A22A

    =

    3/2A

    A ) Sene1(e)(1 aM

    =

    "1SenM1B

    A =

    Y BK1 =

    "1senMN2TgC

    AA =

    22 X CK =

    2322

    2

    )sene1( 2

    "1sencos sene3D =

    213 K DK =

    2A

    2

    NBTg31E

    =

    214 x K EK =

    K5 = K2 K3 + K4 =

    BK

    Y 5 = 22

    AB YXDE = Clculo do contra azimute CROQUI

    2

    =

    2

    B1m =

    "1sencossen121F 2A

    2A =

    3m )"(F2

    secsen " = =

    )180( ABBA BA = Azimute geodsico BA =

    Parmetros dos elipside Observaes Clculo Data:

    Visto Data:

    Elipside UGGI 67 SAD 69 a = 6.378.160,000 m e = 0,00669454185459 Elipside GRS80 SIRGAS 2000 a = 6.378.137,000 e = 0,00669438000229

    No hemisfrio Sul C e D so negativos. Azimute geodsico (azimute com origem no Norte)

    Formulrio organizado pelo Professor Luiz Carlos da Silveira

  • 43

    CONVERSO DE AZIMUTE

    Converso de azimute

    1 - Introduo

    Em topografi a so utilizados diversos tipos de azimutes. O mais usados atualmente, o azimute plano, com origem no norte de quadrcula, aplicado no sistema de coordenadas planas - UTM.

    O azimute magntico foi muito usado no passado, num passa-do muito distante...

    O azimute verdadeiro aplicado em topografi a de minas na locao da rea em campo. Por exigncia da legislao mineral as reas minerais tm os seus lados orientados para o norte/sul e leste oeste (verdadeiro).

    O azimute geodsico aplicado no transporte de coordenadas geodsicas Lat/Long e na navegao.

    2 - Obteno dos azimutes

    2.1 - Azimute magntico

    O azimute magntico, referenciado ao norte magntico, obti-do diretamente no campo a partir de uma bssola.

    Foi muito usado no passado por topgrafos sem formao acadmica, que no possuam habilidade para determinao do norte verdadeiro.

    A topografi a, na concepo atual, no admite o norte magntico como orientao de trabalho topogrfi co.

    Para recuperar o norte magntico, de uma poca passada, utiliza-se o norte verdadeiro, a declinao magntica atual e a variao anual da declinao magntica.

    Com a variao anual da declinao magntica e o tempo de-corrido pode ser corrigida a declinao magntica para a poca desejada.

    Os valores determinados so expeditos, visto que o modelo magntico disponibiliza a variao anual da declinao mag-ntica atual.

    No passado, o Observatrio Nacional publicava as cartas iso-gnicas e isopricas que forneciam a declinao magntica e sua variao anual. Eram impressas em papel e a obteno dos dados eram efetuadas por interpolao grfi ca.

    2.1.1 - Obteno da declinao magntica pelo software DMAG 2010 - clculo manual

    O DMAG um software utilitrio, desenvolvido pelo Engenheiro

    Agrimensor Luiz Ricardo Mattos, distribudo de forma gratuita, que tem por fi nalidade disponibilizar ao usurio a declinao magntica a partir das coordenadas geodsicas ou planas nos sistemas UTM, LTM e RTM, referenciadas aos datuns SAD 69, CRREGO ALEGRE, SIRGAS 2000.

    Em sua ltima verso, no DMAG 2010, foram corrigidos alguns problemas da verso anterior, mas mantendo as funcionalida-des desta como a identifi cao do meridiano central para os sistemas de coordenadas UTM, LTM e RTM e identifi cao das cartas topogrfi cas do mapemaneto sistemtico (IBGE), a partir das coordenadas geodsicas lat/long.

    Outra funcionalidade a capacidade de processar arquivos de texto (clculos em lote), que contenham as coordenadas dos pontos de interesse, resultando num arquivo com os valores da declinao magntica para estes pontos.

    Extraindo o valor da declinao magntica pelo DMAG 2010.

    Aps a instalao do DMAG 2010, d um duplo clique no cone para acessar o programa. A interface do programa apre-

    sentada na fi gura 01.

    Figura 01 - Tela principal do DMAG 2010

    Na opo Datum, defi na o datum das coordenadas a serem uti-lizadas, neste caso escolheremos o SIRGAS 2000 como mostra a fi gura 02.

  • 44

    CONVERSO DE AZIMUTE

    Figura 02 - Defi nio do Datum

    Em Datum defi nimos a data para a qual queremos o valor da declinao magntica, como mostra a fi gura 03. Para abrir o calendrio basta clicar no boto lateral direito da clula de data e para ocult-lo novamente basta clicar outra vez.

    Figura 03 - Defi nio da data

    Na opo Tipo de coordenada defi nimos o tipo de coordena-das com que vamos identifi car o ponto de interesse. As opes so coordenadas Geodsicas, planas UTM, planas LTM e pla-nas RTM.

    Se a entrada escolhida for coordenada geodsicas, basta en-trar com a latitude, a longitude e a altitude e clicar no boto calcular.

    No nosso exemplo, utilizaremos as coordenadas planas siste-ma UTM como mostra a fi gura 04.

    Figura 04 - Tipo de coordenadas

    Defi nido o tipo de coordenadas, entre com os valores do meri-diano central, o hemisfrio e as coordenadas. Clique no boto Calcular, como mostra a fi gura 05.

    Figura 05 - Entrada de valores

    Aps a entrada dos dados e processamento dos clculos, o DMAG 2010 apresentar os valores da declinao magntica e seu quadrante, a variao anual e a convergncia meridiana.

    Cada clculo que efetuado, o DMAG 2010 gera uma tabela com os valores que pode ser copiado. Clique sobre o espao da tabela. Depois de copiados, estes dados podem ser colados em qualquer software para gerar um relatrio personalizado como um processador de textos, editor de textos ou mesmo uma pla-nilha eletrnica.

    O resultado do clculo apresentado na fi gura 06.

    Figura 06 - Resultado fi nal dos clculos

    O DEMAG 2010 est disponvel para cpia no site :www.amiranet.com.br

  • 45

    2.2 - Azimute verdadeiro (NM)

    O azimute verdadeiro ou azimute astronmico determinado por via astronmica, com observao do sol e ou estrelas.

    O mtodo mais utilizado da distncia zenital absoluta do sol em quadrantes opostos nas posies direta e inversa do teodo-lito/estao total.

    No uso da estao total, em observaes solares, a luneta no pode ser direcionada diretamente para o sol sem o uso de fi ltro. Este procedimento (sem o uso do fi ltro) pode queimar o dispo-sitivo eletrnico de medida da distncia.

    O mtodo mais preciso para determinao do azimute verda-deiro da mxima elongao de estrelas circumpolares. Neste mtodo no necessrio o conhecimento da latitude precisa do ponto.

    O livro Determinao do Norte Verdadeiro - Manual Tcnico,

    do Prof Luiz Carlos da silveira, publicado pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul, contm, em forma de manual, a descrio dos principais mtodos utilizados para determinao do norte verdadeiro, destacando:

    - distncia zenital absoluta do Sol; - distncia zenitais absoluta de estrelas; - alturas iguais do Sol; - alturas iguais de estrelas; - mxima elongao de estrela circumpolares; - mxima elongao de estrelas circumpolar, em lados opos-

    tos.

    O livro foi fruto da organizao e reviso dos manuscritos dos polgrafos utilizados nas aulas de astronomia de campo minis-trado no curso de Engenharia de Agrimensura da Universidade do Extremo Sul Catarinense.

    A Mira publica, H 21 anos, as efemrides do Sol (declinao, variao horria e distncia Sol-Terra) necess-rio para o clculo do azimute verdadeiro.

    Figura 01

    - d = declinao magntica negativa.+ d = declinao magntica positiva.

    2.3 - Azimute plano (NQ)

    O azimute plano o azimute dos sistema de co-ordenadas planas UTM, LTM e RTM.

    O referencial do azimute plano o norte de qua-drcula que, no plano, equivale a linha paralela ao meridiano central do fuso.

    Figura 02

    CONVERSO DE AZIMUTE

  • 46

    O azimute plano obtido a partir das coordenadas planas (UTM, LTM ou RTM) ou do azimute verdadeiro e da convergn-cia meridiana.

    2.4 - Azimute geodsico

    O azimute geodsico o mesmo azimute verdadeiro referencia-do ao elipside terrestre. O azimute verdadeiro ou astronmico referenciado ao geide (forma real da Terra).

    3 - Converso de azimutes

    3.1 - Azimute verdadeiro em azimute magntico Azimute magntico em azimute verdadeiro.

    Figura 03

    AZV = AZM + dAZM = AZV - d

    Onde:

    d = declinao magntica;AZV = azimute verdadeiro;AZM = azimute magntico.

    3.2 - Azimute verdadeiro em azimute plano Azimute plano em azimute verdadeiro.

    Figura 04

    AZP = AZV - c AZV = AZP + c

    Onde:

    C = convergncia meridiana;AZP = azimute plano;AZV = azimute verdadeiro.

    3.3 - Azimute plano em azimute geodsico Azimute geodsico em azimute plano.

    Figura 05

    Figura 06

    3.4 - Azimute astronmico em azimute geodsico

    Onde:

    AG = azimute geodsico;Aa = azimute astronmica;a = longitude geodsica;g = longitude astronmica;g = latitude geodsica.O azimute geodsico o azimute astronmico corrigido do des-vio da vertical.

    A diferena entre ambos to pequena que na prtica podem ser considerados iguais sem prejuzo preciso dos trabalhos.

    CONVERSO DE AZIMUTE

  • 47

    CLCULOS DOS LADOS E AZIMUTES

    Clculo dos lados e azimutes em funo das coordenadas planas sistema UTM1 - Introduo

    O Azimute utilizado para o clculo das coordenadas. Quando o levantamento de uma poligonal parte de uma base geodsica necessrio o conhecimento do azimute plano para o trans-porte das coordenadas planas - sistema UTM ou do azimute geodsico para o transporte das coordenadas geodsicas Lat/Long.

    Dadas as coordenadas planas - sistema UTM de dois pontos, o problema consiste em determinar os lados e azimutes.

    DE = distncia elipsidal;DP = distncia plana;AZGAB = azimute geodsico;AZPAB = azimute plano;CA = convergncia meridiana;AB = reduo angular.

    Figura 01

    2 - Conceito e determinao dos elementos

    2.1 - Azimute plano (AZP)

    Azimute plano o ngulo formado entre a paralela ao MC do fuso (norte de quadricula) e a corda da transformada (lado pla-no).

    O azimute plano tem origem no Norte da quadrcula ( NQ ). Varia de 0 a 360 no sentido N, E, S, W.

    E = EB - EA N = NB - NA

    Se EB - EA for positivo AZP = AZPSe EB - EA for negativo AZP = 360 - AZP

    2.2 - Azimute geodsico (AZG)

    Azimute geodsico o ngulo formado entre a tangente ao me-ridiano local e a tangente da transformada.

    O azimute geodsico tem origem no norte e varia de 0 a 360 no sentido horrio.

    Sendo:

    AZP = azimute plano da linha AB;CA = convergncia meridiana no ponto A;AB = reduo angular da linha AB.2.3 - Reduo angular ( )Reduo angular o ngulo formado entre o lado plano e a tangente ao lado elipsoidal.

    AB = N x ( 2 EA + EB ) x XVIII x 6,8755 x 10 - 8

    AB = N x ( EA + 2 EB ) x XVIII x 6,8755 x 10 - 8

    Sendo:N = NB - NA

    EA = EA 500.000

    EB = EB 500.000

    N = 10.000.000 Nm

    As frmulas para clculo de e so apresentadas no item transporte de coordenadas planas UTM publicado nesta edio.

    Onde:e = primeira excentricidade;

  • 48

    CLCULOS DOS LADOS E AZIMUTES

    N = grande normal;Ko = coefi ciente de escala Sistema UTM.

    2.4 Distncia plana ( DP )

    Distncia plana a corda da transformada.ouDistncia plana a distncia plana entre os dois pontos.

    2.5 - Distncia elipsidal ( DE )

    Distncia elipsoidal a medida linear entre os dois pontos, me-dido sobre a superfcie elipsoidal.

    Sendo:

    DP = distncia plana;K = fator de escala no meridiano central Sistema UTM.

    K = Ko x ( 1 + XVIII x qAB + 0,00003 x qAB )

    Onde:

    qA = 0,000001 EAqB = 0,000001 EB EA = EA 500.000EB = EB 500.000Ko = 0,9996 Sistema UTM

    3 - Exemplo aplicativo

    Dadas as coordenadas planas sistema UTM dos pontos V1 e V2, determinar:

    - distncia plana;- distncia elipsoidal;- azimute plano;- azimute geodsico.

    V1 Ponto A

    NA = 6.816.018,279EA = 673.251,614

    V2 Ponto B

    NB = 6.817.557,5606EB = 674.259,8672

    3.1 - Azimute Plano (AZP)

    N = NB EA N = 1.539,2816 m

    E = EB EA E = 1008,2532 mAZP = 33 13 31,50

    Como EB - EA positivo

    AZP = 33 13 31,50

    3.2 - Distncia plana (DP)

    DP = 1.840,0984 m

    3.3 - Distncia elipsoidal

    Determinao de K

    K = Ko x ( 1 + XVIII x qAB + 0,00003 x qAB )

    Nm = 6.816.787,9198 m

    N = 10.000,000 N N = 3.183.212,0802 m

    EA = EA 500.000EA = 173.251,614 m

    qA = 0,000001 EAqA = 0,173251614

    EB = EB 500.000EB = 174.259,8672 m

    qB = 0,000001 EB

    qB = 0,1742598672 qAB = 0,030191148

    - 28 39 17,064 S (hemisfrio Sul)

    m = - 28 46 34,314 S (hemisfrio Sul)

    Rm = 6.366.629,0472 m K = 0,999972594

  • 49

    CLCULOS DOS LADOS E AZIMUTES

    DE = 1.840,1489 m

    XVIII = 0,012345208

    3.4 - Azimute geodsico

    AZG

    Clculo da Convergncia Meridiana

    Para o ponto A

    N = 6.816.018,279E = 673.251,614

    C = - 0 51 15,9294

    Clculo da convergncia meridiana j visto nesta publicao

    Clculo da reduo angular

    AB = N x ( 2 EA + EB ) x XVIII x 6,8755 x 10 - 8

    EA = 173.251,614EB = 174.259,867XVIII = 0,012345208

    AB = 0,68 AZGAB = 32 22 16,2536

    Nota:

    Para calcular o contra azimute ( AZGBA ) utiliza-se a relao.

    Figura 02

    Determinao da " Baseline" (Vetor espacial entre dois pontos)

    1 - Introduo

    Nos levantamentos com tcnica GNSS so obtidas as coorde-nadas cartesianas X,Y,Z dos vrtices.

    A baseline ou vetor espacial entre os vrtices corresponde a distncia inclinada medida com a estao total.

    Quando a altura do instrumento for muito diferente da altura do prisma (diferena menor que 1 m) pode existir uma diferena na distncia inclinada da ordem de 1 cm. Em distncias maiores que 1 km, esta diferena fi ca na ordem de 5 mm ou menor. Se a altura do prisma for a mesma do instrumento a diferena obser-vada ser em funo da preciso da medida da distncia na es-tao total e preciso no posicionamento pela tcnica GNSS.

    2 - Frmula utilizada

    Quando as coordenadas cartesianas no forem disponibiliza-das, estas podem ser obtidas a partir das coordenadas geod-sicas Lat/Long (visto no item transformao do sistema geod-sicas desta edio).

    3 - Exemplo aplicativo

    X1 = 3.462.214,62329 mY1 = - 4.307.187,58971 mZ1 = - 3.174.089,60075 m

    X2 = 3.462.098,77476 m Y2 = - 4.306.999,51715 mZ2 = - 3.174.343,62616 m

    Vetor = 336,63196 m

    Que corresponde distncia inclinada medida com estao to-tal.

  • 50

    Determinao do Kr1 - Determinao do Kr

    Kr o coefi ciente de transformao da distncia plana UTM em distncia horizontal local (distncia topogrfi ca).

    Frmula utilizada:

    Onde:

    Rm = Raio mdio no elipside;Hm = Altitude ortomtrica mdia;MC = Meridiano central; a = Raio equatorial; f = Achatamento do elipside; e = Primeira excentricidade;DH = Distncia horizontal (topogrfi ca);DUTM = Distncia plana UTM;M = Latitude mdia; M = Longitude mdia.

    2 Exemplo aplicativo

    Coordenadas do vrtice base (Datum SAD 69)

    = -0 58 39,83608 S = 0,97773224 S = -47 06 54,18938 W = 47,11505261 W H = 30,00 m (Altitude do plat)

    Coordenadas do vertice M011

    = 0,979492576 S = 47,11714308 W

    Coordenadas do ponto mdio

    = 0,978612408 S = 47,116097845 W

    Determinao de K

    Para o sistema UTM

    Ko = 0,9996MC = 45 (meridiano central)

    K = 1,000281934

    Determinao de Rm

    Primeira excentricidade

    Para o elipside UGGI 67 Datum SAD 69

    f = 1/298,25a = 6.378.160,000 e = 0,006694541854

    Aplicando na frmulaRm = 6356787,132 m

    Determinao do Kr

    Kr = 1,000277214

    Figura 04 representao grfi ca das distnciaOnde:

    DH = Distncia horizontal; Distncia topogrfi ca.DI = Distncia inclinada;DN = Distncia geoidal. Nvel do mar;DE = Distncia elipsoidal; Superfcie da elipside.DP = Distncia plana UTM.