Sistema de Coordenadas Planas UTM - Apostila

2

SISTEMA UTM

Sistema de coordenadas planas UTM Conceitos e aplicaes

1 - Introduo

O sistema de coordenadas planas UTM baseado na projeo de Mercator cria-do por Geradus Mercator em 1569.

Geradus Mercator o nome latino de Gerhard Kremer nascido em Rupelmonde, na regio de Flandres, atu-almente Blgica, no dia 5 de maro de 1512.

Em 1530, Mercator ingres-sou no curso de Humanida-des e Filosofi a na Univer-sidade de Louvain a mais antiga Universidade da Blgica (fundada em 1425) formando-se em 1532.

Em 1534, Mercator retor-nou a Universidade de Lou-vain para cursar matem-tica e se tornou assistente de Gemma Frisius (1508-1555) matemtico, astrno-mo e construtor de globos, mapas e instrumentos as-tronmicos onde aprendeu a arte de fazer globos e mapas.

Em 1536, construiu um glo-bo terrestre para o impe-rador Carlos V. O Primeiro mapa de Mercator foi feito

em 1537 e retratava a Pa-lestina no tempo de Moi-ss (desenhou o caminho percorrido pelos judeus na sada do Egito).

Em 1540, desenhou o mapa de Flandres e em 1564 elaborou o mapa das ilhas Britnicas.

Em funo de sua confi s-so Protestante (mesmo prestando servio para os catlicos), Mercator foi acusado de heresia pela inquisio espanhola sen-do preso em Rubelmonde em fevereiro de 1544. Aps ser solto, depois de sete meses, Mercator mu-dou-se para Duisburg, no oeste da Alemanha, onde construiu a sua prpria ofi cina para impresso de mapas.

Aps ter elaborado o mapa da Europa utili-zando a projeo cnica, tambm preparou os ma-pas da Frana, Alemanha, Holanda e Grcia.

Em 1569, criou a proje-o cilndrica e desenhou o mapa-mundi para a na-vegao.

Mercator foi o primeiro cartgrafo a efetuar a quadratura do circulo que transforma a esfera terrestre num pla-no retangular onde todos os oceanos e continentes se alinhavam a partir do Equador, separados por quadriculado com 24 traados verticais e 12 traa-dos paralelos (que se estendiam na direo dos trpicos). O mapa mundi de Mercator permitia aos pilotos do mar fi xar sobre a carta, uma rota entre dois pontos navegados em curva. Este traados, foi denominado por Mercator de Loxdromo.

Entre 1590 e 1592, foi abalado por dois derrames, falecendo em Duisburg no dia dois de dezembro de 1594.

Geradus Mercator divulgao / www.neumann-walter.de

Figura 01 - Projeo do Mercator

3

SISTEMA UTM

2 - Projeo conforme de Grauss

O termo UTM (Universal Transversa de Mercator) atribudo a projeo de Mercator. No entanto, o sistema de coordena-das planas UTM, na concepo atual, levou em considerao o aperfeioamento introduzido por Gauss no sistema de proje-o utilizando o cilindro secante em substituio ao cilindro tan-gente. Gauss apresentou o modelo matemtico posteriormente aprimorado por Pierre Tardi, geodesista francs, na dcada de 1930.

Na dcada de 40 (1947) ofi ciais da marinha dos Estados Uni-dos especialistas em Cartografi a e Geodsia prepararam as tabelas para clculos geodsicos no sistema UTM utilizando os parmetro dos elipsides de Clarke (1880) - aplicado nos Estados Unidos e Hayford (1909) - aplicado nas demais pases do mundo como recomendao da Assemblia Geral da Asso-ciao de Geodsia da UGGI - Unio Geofsica e Geodsica Internacional.

As coordenadas retangulares utilizadas, inicialmente, nos ma-pas militares eram obtidas a partir das coordenadas geodsica Latitude/Longitude atravs de clculos onde eram aplicadas o coefi cientes previamente tabelados. E estima-se que aproxima-damente 500 ofi ciais trabalharam na preparao das tabelas usando rgua de clculo.

Na confi gurao atual, no sistema retangular, a Terra dividida em 60 fusos de 6 de longitude cada um tendo incio no antime-ridiano de Greenwich ( = 180) crescendo de oeste para leste. Na latitude os paralelos so divididos em zonas de 4 com limite na latitude 80 sul e 84 Norte (para contemplar reas de inte-resse dos Estados Unidos no hemisfrio norte).

Em 1967, a Assemblia Geral da Associao Geodsica e Geo-fsica Internacional, realizada em Lucerne, na Sua, recomen-dou a adoo do sistema Geodsico de referncia 1967. Em 1969, foi defi nido o sistema Geodsico Sul - Americano que adotou, para modelo geomtrico da Terra, o elipside de refe-rncia UGGI 1967.

A partir de 1980 o instituto Brasileiro de Geografi a e Estatstica defi niu e adotou o sistema Geodsico Brasileiro que coincide com o Sul-Americano.

Em 1981, o professor Luiz Carlos da Silveira - Professor de Ge-odsia no curso de Engenharia de Agrimensura da Escola Su-perior de Tecnologia de Cricima, atual universidade do Extre-mo Sul Catarinense, calculou, para as latitudes brasileiras, os coefi cientes geodsicos usados nas frmulas de transformao de coordenadas e cl-culo da convergncia meridiana.

Em 1984, a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul publicou as tabelas, frmulas e exemplos aplicativos com o ti-tulo Tabelas e Fr-mulas para Clculos Geodsicos no Siste-ma UTM - Calculadas para o elipside UGGI - ref.1967 - SAD 69. O livro teve o prefcio es-crito pelos professores Clvis Carlos Carrara e Francisco Humber-to Simes Magro, do Departamento de Ge-odsia do Instituto de Geocincias da Uni-versidade Federal do Rio Grande do Sul.

Em 1990, o professor Luiz Carlos da Silveira publicou o livro Clcu-los Geodsicos no sis-tema UTM Aplicadas a topografi a.

O livro foi referncia para mais de cinquen-ta teses de doutora-dos e dissertaes de mestrados em todo o Brasil . Atualmente en-contra-se com edio esgotada.

Johann Carl Friedrich Gauss nasceu em Braunschweig, na regio da Saxnia, no dia 30 de abril de 1777 e morreu em Gottingem no dia 23 de fevereiro de 1855.

Foi matemtico, astrnomo, fsico e geodesista.

Descobriu o mtodo dos mnimo quadrados para ajustamento de observaes geodsicas/topogrfi cas. Gauss foi o descobridor do Heliotrpio usado em triangulaes geodsicas.

Na rea de Cartografi a, aperfeioou o sistema da projeo de Mercator apresentando a modelagem matemtica para transformao de coordenadas geodsicas lat/long em coordenadas planas-retangulares.

4

SISTEMA UTM

3 - Caractersticas tcnicas do sistema de coordenada pla-nas UTM

As principais caractersticas do sistema de coordenadas planas UTM so:

a - Projeo cilndrica de Mercator ou Projeo conforme de Gauss.

b - Fusos de 6 de amplitude limitados por meridianos nas lon-gitudes multiplicar de 6.

c - Limitao para o sistema UTM at a latitude 84 para norte e 80 para o sul a partir do equador.

d - Coefi ciente de escala no meridiano central.

K0 = 0,9996

e - Origem do sistema de coordenadas UTM.

Cruzamento do equador com o meridiano central (MC) do fuso.

E = 500.000 no meridiano central;N = 10.000.000 no equador para o hemisfrio sul;N = 0 no equador para o hemisfrio norte.

f - Designao das coordenadas.

Ordenada = N (Latitude)Abscissa = E (Longitude)

g - Sistema formado por eixos cartesianos ortogonais.

Eixo E paralelo ao equador;Eixo N paralelo ao meridiano central;

h - Representao grfi ca da projeo.

Figura 02 - A Terra no cilindro de projeo

Figura 06 - O fuso de projeo no cilindro

Figura 04 - Esquema de projeo no sistema UTM

Figura 05 - Detalhe do fuso de projeo no sistema UTM

Figura 06 - Detalhe do fuso em corte

5

SISTEMA UTM

Na fi gura 06:

Zona de ampliao SPI > Se1 K > 1Zona de reduo SP2 < Se2 K < 1Zona de secncia SP = Se K = 1

Se = Distncia na superfcie do elipsideSP = Distncia plana no sistema de coordenadas UTM

4 - Transformao de coordenadas geodsicas lat/long em coordenadas planas UTM - Datum SIRGAS 2000

4.1 - Parmetros do elipside GRS - 80 Datum Sirgas 2000

Semi-eixo equatorial a = 6.378.137,000Semi-eixo polar b = 6.356.752,3141

1 excentricidade

e = 0,0818191910428

2 excentricidade

e = 0,0820944381519

4.2 - Determinao das coordenadas planas UTM

N = I + II x P2 + III x P4 + A6 x P6

E = IV x P + V x P3 + B5 x P5

N = 10.000.000 - N E = 500.000 EP = 0,0001 x

= | -MC | x 36004.2.2 - Determinao dos coefi cientes para o elipside

GR80

Elipside GRS80 Datum SIRGAS 2000

A = 1,005052501813

B = 0,005063108622

C = 10,62759026 x 10 - 6

D = 20,82037857 x 10 - 9

E = 3,932371371 x 10 - 11

F = 6,554547942 x 10 - 14

4.2.3 - Determinao dos coefi cientes das frmulas

I = Ko x S

K0 = 0,9996 (Ko do sistema UTM)

N = Grade Normal

IV = N x cos x sen 1 x Ko x 104

4.2.4 - Determinao de E

E = IV x P + V x P3 + B5 x P5

E = 500.000 X

6

SISTEMA UTM

+ E para ponto situado a leste do MC- E para ponto situado a oeste do MC

4.2.5 - Determinao de N

N = I + II x P2 + III x P4 + A6 x P6

N = 10.000.000 - N

5 - Transformao de coordenadas planas sistema UTM em coordenadas geodsicas Lat/Long

5.1 - Frmulas utilizadas

N = 10.000.000 - NE = 500.000 - E

5.1.1 - Determinao de (mtodo das aproximaes sucessivas)

1 Aproximao

2 Aproximao

3 Aproximao

4 Aproximao

5 Aproximao

6 Aproximao

Para o clculo de bastam 6 aproximaes.Determinao de q

q = 0,000001 x E

E = 500.000 E

5.1.2 - Clculo da latitude

Determinao dos coefi cientes

Clculo de N

5.1.3 - Clculo da longitude


= MC

7

SISTEMA UTM

Ponto a leste do MC - = MC -

Ponto a oeste do MC - = MC +

6 - Exemplo aplicativo

6.1 - Transformao de coordenadas geodsicas Lat/Long em coordenadas planas sistema UTM. Datum SIRGAS 2000 - Elipside GRS 80

= 28 16 51,3712 S = 50 26 17,5144 WMC = 51 W

N = I + II x P2 + III x P4 + A6 x P6

E = IV x P + V x P3 + B5 x P5

N = 10.000.000 - N E = 500.000 EP = 0,0001 x

= | -MC | x 3600

2.022,4856 P = 0,202248566.1.1 - Determinao dos coefi cientes das frmulas

I = Ko x S

K0 = 0,9996 (Ko do sistema UTM)

e = 0,0818191910428 1 exentricidade do elipside GRS80

Coefi cientes do elipside

A = 1,005052501813

B = 0,005063108622

C = 10,62759026 x 10 - 6

D = 20,82037857 x 10 - 9

E = 3,932371371 x 10 - 11

F = 6,554547942 x 10 - 14

S = 3.129.575,607I = 3.128.323,777

Para o elipside GRS 80

a = 6378.137,000e = 0,081819191 = - 28 16 51,3712 S

N = 6.382.934,836 II = 3.128,621 III x P2 = 127,975

III = 2,261 III x P4 = 0,004

A6 = 0,001

A6 x P6 = 0,000

IV = N x cos x sen 1 x Ko x 104

IV = 272.406,514IV x P = 55.093,825

V = 59,235V x P3 = 0,490

B5 = - 0,001 B5 x P

5 = 0,000

8

SISTEMA UTM

6.1.2 - Determinao de E

E = IV x P + V x P3 + B5 x P5

E = 55.094,315E = 500.000 E

O ponto est a leste do MC 51 W

E = 500.000 + E

E= 555.094,3156.1.3 - Determinao de N

N = I + II x P2 + III x P4 + A6 x P6

N = 3.128.451,756N = 10.000,000 - N

N = 6871.548,244

6.2 - Transformao de coordenadas planas LTM em coor-denadas geodsica Lat/Long. Datum SIRGAS 2000 - Elipside GRS 80

E = 555.094,3153N = 6.871.548,2443MC = 51 W

6.2.1 Determinao da latitude

N = 10.000.000 - NN = 3.128.451,756

= - VII x q2 + VIII x q4 - D6 x q6

6.2.1.1 - Determinao dos coeficientes

Coefi cientes do elipside GRS 80

e = 0,0818191910428a = 6.378137.000

A = 1,005052501813

B = 0,005063108622

C = 10,62759026 x 10 - 6

D = 20,82037857 x 10 - 9

E = 3,932371371 x 10 - 11

F = 6,554547942 x 10 - 14

= 111.132,950

= 16.038,50877

= 16,83261339

= 0,021984374

= 3,11416 x 10-5

= 4,15259 x 10-8

6.2.2 - Determinao de (mtodo das aproximaes sucessivas)

1 Aproximao

1 = 28,16179689 2 Aproximao

2 = 28,281756233 Aproximao

3 = 28,2090764 Aproximao

9

SISTEMA UTM

4 = 28,209169 5 Aproximao

5 = 28,20917

6 Aproximao

6 = 28,20917= 28 16 55,5301

6.2.3 - Clculo da latitude

q = 0,000001 x EE = 500.000 - E

E = 55.094,3153 q = 0,055094315


a = 6378.137,000 (elipside GRS80)e = 0,0818191910428 (elipside GRS80) = 28 16 55,5301

VII = 1.370,192 VII x q2 = 4,1591Clculo de N

N = 6.382.935,836

VIII = 16,374 VIII x q4 = 0,0002

D6 = 0,207 D6 x q

6 = 0,0000= 28 16 51,37126.2.4 - Clculo da longitude


IX = 36.710,238 IX x q = 2022,5254

X = 238,097 X x q3 = 0,0398

E5 = 2,798 E5 x q

5 = 0,000000 = 2.022,4856

= 0 33 42,4856

= MC MC = 51

O ponto est a leste do MC.

= MC -

= 50 26' 17,5144" W

10

SISTEMA UTM

ELIPSIDE / DATUM

HAYFORD - CRREGO ALEGRE UGGI 1967 - SAD 69 GRS 80 - SIRGAS 2000

a 6.378.388 6.378.160 6.378.137

b 6.356.911,9461 6.356.774,7192 6.356.752,3141

f 1/297 1/298,25 1/298,257222101

e 0,0819918899789 0,0818201799961 0,0818191910428

e 0,00672267002231 0,00669454185459 0,0066943800229

e 0,082266896072 0,0820954371197 0,0820944381519

e- 0,00676784218932 0,00673966079587 0,00673949677548

A 1,005073988831 1,005052624725 1,005052501813

B 0,005084685921 0,005063232050 0,005063108622

C 10,71813676 x 10-6 10,62810712 x 10 -6 10,62759026 x 10- 6

D 21,08680162 x 10-9 20,82189618 x 10 -9 20,82037857 x 10 - 9

E 3,999571172 x 10-11 3,932753352 x 10 -11 3,932371371 x 10 - 11

F 6,694218836 x 10-14 6,555340237 x 10 -14 6,554547942 x 10 - 14

111.136,53666 111.133,34878 111.132,95255 16.107,0347 16.038,95495 16.038,50877 16,97621089 16,83348992 16,83261339 0,022265934 0,0211986052 0,021984374 3.16741 x 10-5 3.11448 x 10-5 3,11416 x 10-5 4,24113 x 10-8 4,15311 x 10-8 4,15259 x 10-8

11

TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS SISTEMA UTM

Transporte de coordenadas planas sistema UTM 1 - Consideraes iniciais

O transporte de coordenadas planas - sistema UTM efetuado para se obter as coordenadas, no mesmo sistema, de pontos a partir de poligonal eletrnica originada numa base, cujas coor-denadas dos vrtices so conhecidas.

As poligonais podem ser:

- Poligonal aberta;- Poligonal fechada numa mesma base;- Poligonal enquadrada em bases diferentes.

Deve-se, sempre que possvel, evitar o levantamento de poli-gonal aberta.

Para os levantamentos visando o georreferenciamento de im-veis rurais no permitido o uso de poligonal aberta.

2 - Elementos conhecidos

Coordenadas dos vrtices da base de sada:

No, Eo, NA, EA, HA

3 - Elementos medidos

- Distncias zenitais: ZAB , ZBA ;- Distncias inclinadas: DIAB , DIBA ;- Altura do prisma e instrumento: APA , APB , AIA , AIB ;- ngulo horizontal medido pelo mtodo das direes: (AH).

4 - Elementos calculados

- Distncias zenitais reduzidas ao solo: ZA , ZB;- Distncia horizontal: DHAB ;- Distncia geoidal: DGAB ;- Distncia elipsoidal: DEAB ;- Redues angulares: AB e BA ;- Azimute plano: AZPAB ;- Coefi ciente de escala: K ;- Distncia plana: DP ;- Coordenadas planas sistema UTM de B: NB e EB, HB.

Figura 01

Linha AO = base existente;

Linha AB = linha medida;

DP = distncia plana UTM;

DE = distncia elipsidica;

AO = reduo angular da linha base;

AB = reduo angular da linha medida;

AzPAB = azimute plano da linha medida;

AHA = ngulo horizontal medido em campo .

Figura 02Na fi gura 02

DIAB = distncia inclinada AB; DIBA = distncia inclinada BA;DHAB = distncia horizontal AB;DHBA = distncia horizontal BA;DH = distncia horizontal mdia;APA = altura do prisma em A;APB = altura do prisma em B;AIA = altura do instrumento em A;AIB = altura do instrumento em B;ZA = distncia zenital medida em A;ZB = distncia zenital medida em B;ZA = distncia zenital corrigida em A;ZB = distncia zenital corrigida em B;DG = distncia geoidal - nvel do mar;DE = distncia elipsoidal;DP = distncia plana UTM.

12


5 Conceitos

Figura 03

5.1 - Reduo das distncias zenitais (ZA, ZB)

Levando-se em considerao que a altitude procurada a do nvel do marco, necessrio transferir as distncias zenitais lidas para a superfcie do marco.

5.2 - Distncia inclinada (DI)

As distncias inclinadas, medidas com estao total ou distan-cimetro eletrnico, devem ser recprocas. A mdia das distn-cias inclinadas ser usada para o clculo da distncia horizontal e diferena de nvel.

A preciso da distncia inclinada depende da classe da estao total.

A classe I tem preciso de 10 mm 10 ppm, ou seja, tem um erro de 1 cm por distncia medida, mais ou menos 1 cm/Km.

5.3 - Distncia geoidal (DG)

Distncia geoidal a projeo da distncia horizontal no nvel do mar ou superfcei do geide.

5.4 - Distncia elipsoidal (DE)

Distncia elipsoidal a medida linear do arco, entre os dois pontos, sobre a superfcie do elipside de referncia. No plano representado pela transformada.

Para distncias inferiores 5 Km, a distncia geoidal aproxi-madamente igual a distncia elipsoidal.

5.5 - Transformada

Transformada a linha curvilnea que caracteriza a projeo de uma linha, da superfcie elipsoidal, no cilindro de Mercator. A concavidade da transformada deve ser orientada para o meri-diano central do fuso (MC). O maior valor da fl exa de uma trans-

formada ocorre quando esta paralela ao meridiano central. Quando a linha perpendicular ao meridiano central, no existe fl exa, neste caso no h transformada, pois esta se confunde com uma linha reta.

Nos paralelos o comprimento da fl exa varia com a latitude do ponto e o comprimento do arco, isto , cresce com o aumento da latitude e com o comprimento do arco.

Nas fi guras 02 e 03, a transformada est representada pelo lado elipsidico DE.

5.6 - Reduo angular -

Reduo angular o ngulo formado entre o lado plano e o lado elipsidico ou o ngulo formado entre a corda e a tangente da transformada no ponto.

5.7 - Azimute plano - AZP

Azimute plano o ngulo formado entre a paralela ao meridiano central do fuso onde se encontra (NQ) e a corda da transfor-mada.

5.8 - Lado plano - DP

O lado plano a corda da transformada. a distncia plana entre dois pontos.

6 - Frmulas utilizadas

6.1 - Clculo da caderneta de campo

a) - Reduo do ngulo horizontal - AH

= limbo horizontal vante - limbo horizontal r

1 = Leitura PDvante - Leitura PDR

2 = Leitura PIvante - Leitura PIR

Se o resultado for negativo deve-se somar 360.

Exemplo

Estao Al

Ponto visado

Leitura do limbohorizontal

Reduo ngulohorizontal

2

1.480

1 00 00 00 Prisma 180 00 10

1.600 MDIA 3 95 53 55 95 53 55

Prisma 275 54 00 95 53 501.600 MDIA 95 53 52,5

PD vante = 95 53 55

13


PD R = 00 00 001 = 95 53 55

PI vante = 275 54 00 PI R = 180 00 10

2 = 95 53 50

AH = 95 53 52,5

b) - Reduo do ngulo vertical

Exemplo

Estao Al

Ponto visado

Leitura do limbovertical

Reduo ngulovertical

2

1.480

1 89 18 30 Prisma 270 41 45

1.600 MDIA 89 18 22,53 88 25 10

Prisma 271 35 001.600 MDIA 88 25 05

ZPI = 270 41 45 ZPD = 89 18 30

Z = 89 18 22,5Onde:

ZPD Vante = posio direta da vante;ZPD R = posio direta da r;ZPI Vante = posio inversa da vante;ZPI R = posio inversa da r;

6.2 - Reduo das distncias zenitais ZA E ZB

Onde:

APA = altura do prisma em A;APB = altura do prisma em B;AIA = altura do instrumento em A;AIB = altura do instrumento em B;ZA = distncia zenital medida em A;ZB = distncia zenital medida em B;ZA = distncia zenital reduzida em A;ZB = distncia zenital reduzida em B.

6.3 - Distncia horizontal DH

Onde:

DIm = distncia inclinada mdia;DIAB = distncia inclinada na vante;DIBA = distncia inclinada na r;DHAB = distncia horizontal.

6.4 - Diferena de nvel ( H ) e altitude (H)

6.5 - Azimute plano provisrio - AZP

AZPAB = AZ PR + AHA 180

Onde:

AZPAB = azimute plano provisrio da linha;AZPR = azimute plano da linha anterior;AHA = ngulo horizontal medido em A.

O ngulo AHA medido pelo processo das direes.

6.6 - Distncia geoidal - nvel do mar (DG)

Onde: DGAB = distncia geoidal;DHAB = distncia horizontal;Hm = altitude mdia;Rm = raio mdio.

a) Clculo do Raio mdio - Rm

Obteno do m

N = 10.000.000 - Nm

Obteno da ordenada mdia Nm

14


Onde:

Nm = ordenada mdia;NA = ordenada do vrtice A;(N) = projeo no eixo norte;AZPAB = azimute provisrio da linha.

Obteno de (Para o elipside UGGI-67 / SAD-69)

Para o elipside GRS80 - Sirgas 2000

e = 0,00669438002 (primeira excentricidade)a = 6.378.137,000 (raio equatorial)

A = 1,005052501813 = 111.132,95255

Obteno de

Para o elipside GRS80 - SIRGAS 2000

B = 0,005063108622 = 16.038,50877

6.7 - Distncia elipsoidal - DE

DEAB = DGAB + ( 1,027 x DGAB3 x 10 -15 )

Onde:

DEAB = Distncia elipsoidal;DGAB = Distncia geoidal.

6.8 - Reduo angular-

AB = (N) x (2EA + EB) x XVIII x 6,8755 x 10

- 8

BA = (N) x (2EB + EA) x XVIII x 6,8755 x 10

- 8

EA = | EA - 500.000 | EB = EA + E)

(E) = DEAB x sen AZPAB (N) = DEAB x cos AZPAB

Onde: AB = reduo angular da linha;BA = reduo angular da r da prxima linha;

(N) = projeo da linha no eixo norte/sul;(E) = projeo da linha no eixo leste/oeste;DEAB = distncia elipsidica;AZPAB = azimute plano provisrio da linha.

Obteno de XVIII

6.9 - Azimute plano defi nitivo - AZP

Onde:

AZPAB = azimute plano defi nitivo da linha;AZPAB = azimute plano provisrio da linha;AB = reduo angular da linha;R = reduo angular da r.

6.10 - Sinal da reduo angular -

Com o conhecimento do lado em que se encontra o meridiano central traam-se os lados planos e elipsidicos das linhas com a concavidade voltada para o meridiano central.

Figura 04

15


Figura 05

Figura 06

Figura 07

Figura 08

Figura 09

Figura 10

16


Figura 11

SUBTRAI SOMA

Figura 12

SOMA SUBTRAI

Figura 13

6.11 - Fator de escala

K = K0 x ( 1 + XVIII x qAB + 0,00003 x qAB2 )

K0 = 0,9996 para o sistema UTM

qA = 0,000001 EA qB = 0,000001 EB

EA = | EA - 500.000 | EB = EA + E)

(E) determinado com a distncia elipsoidal e azimute plano

provisrios.

(E) = DEAB x sen AZPAB

Onde: K0 = Coefi ciente de escala no MC;

K = Coefi ciente de escala no ponto mdio.

6.12 - Distncia plana

DPAB = DEAB x K

Onde: DPAB = Distncia plana;

DEAB = Distncia elipsoidal;

K = Coefi ciente de escala no ponto mdio.

6.13 - Coordenadas planas Sistema UTM

NB = NA + DPAB x cos AZPAB

EB = EA + DEAB x sen AZPAB

7 - Exerccio aplicativo

So apresentados, nas pginas seguintes, um levantamento de

campo utilizando poligonal classe IP com os respectivos clcu-

los.

17


18


19


7.1 - Clculo da caderneta de campo

A grande maioria dos softwares topogrfi cos descarregam os arquivos das estaes totais, que medem os ngulos (horizon-tal e vertical) pelo mtodo das direes, sugerido pela NBR 13133 - Normas tcnicas para levantamentos topogrfi cos.

7.1.1 - ngulo horizontal

A mdia do ngulo horizontal dada pela frmula:

Sendo:

PDVANTE = Leitura na posio direta na vante;

PDR = Leitura na posio direta na r;

PIVANTE = Leitura na posio inversa na vante;

PIR = Leitura na posio inversa na r;

n = nmero de sries

Quando o resultado da subtrao resultar em ngulo negativodeve ser adicionado 360.

1 Srie

165 47 43 - 0 00 00 = 165 47 43345 47 49 -180 00 04 = 165 47 45

2 Srie

165 47 39 - 0 00 00 = 165 47 39345 47 43 -179 59 59 = 165 47 44

3 Srie

165 47 38 - 0 00 00 = 165 47 38345 47 42 -180 00 01 = 165 47 41

Mdia = 165 47 41,67

7.1.2 - ngulo Vertical (distncia zenital)

A mdia do ngulo vertical dada pela frmula:

Sendo:

PD = ngulo vertical na posio direta;

PI = ngulo vertical na posio inversa;

n = nmero de sries.

Vrtice V1Visada r = ZV1-MS

1 Srie

PD = 88 42 58 PI = 360 - 271 16 55 = 88 43 05

2 Srie PD = 88 42 56

PI = 360 - 271 16 54 = 88 43 06

3 Srie

PD = 88 42 58 PI = 360 - 271 16 57 = 88 43 03

Mdia ZV1-MS = 88 43 01,00

Visada vante = ZV1-V2

1 Srie

PD = 90 43 58 PI = 360 - 269 15 57 = 90 44 03

2 Srie

PD = 90 43 58 PI = 360 - 269 15 56 = 90 44 04

3 Srie

PD = 90 43 57 PI = 360 - 269 15 58 = 90 44 02

Mdia ZV1-V2 = 90 44 00,33

7.2 - Transporte de coordenadas planas sistema UTM

Dados da base de sada (SIRGAS 2000)

Vrtice MS Vrtice V1

NMS = 6.815.767,893 m NV1 = 6.816.018,279 mEMS = 672.979,028 m EV1 = 673.251,614 mHMS = 71,120 m HV1 = 63,127 mAZPMS-V1 = 47 25 50,62

Dados da base de chegada

Vrtice MN Vrtice V8

NMN = 6.825.909,578 m NV8 = 6.824.831,998 mEMN = 672.725,854 m EV8 = 674.231,391 mHMN = 72,012 HV8 = 11,435 m

7.2.1 - Transporte do vrtice V1 para o vrtice V2

Dados da caderneta de campo

Vrtice V1 Vrtice V2

ZV1-V2 = 90 44 00,33 ZV2-V1 = 89 15 56,33AIV1 = 1,369 m AIV2 = 1,330 m

APV1 = 1,600 m APV2 = 1,600 m

20


DIV1-V2 = 1.840,3143 m DIV2-V1 = 1.840,3145 mAHV1 = 165 47 41,67 (ngulo horizontal)

7.2.1.1 - Reduo das distncias zenitais

Vrtice V1

Sendo:

ZV1-V2 = distncia zenital corrigida da vante;ZV1-V2 = distncia zenital lida na vante;APV2 = altura do prisma na vante;AIV1 = altura do instrumento no vrtice;DIV1-V2 = distncia inclinada medida na vante.

ZV1-V2 = 90 44 00,33APV2 = 1,600 mAIV1 = 1,369 mDIV1-V2 = 1.840,3143 m

ZV1-V2 = 90 44 26,22

Vrtice V2

Sendo:

ZV2-V1 = distncia zenital corrigida da r;ZV2-V1 = distncia zenital lida na r;APV1 = altura do prisma na r;AIV2 = altura do instrumento no vrtice;DIV2-V1 = distncia inclinada medida na r.

ZV2-V1 = 89 15 56,33AIV2 = 1,330 mAPV1 = 1,600 mDIV2-V1 = 1.840,3145 m

ZV2-V1 = 89 16 26,59

7.2.1.2 - Determinao da distncia horizontal (DH)

Sendo:

DHV1-V2 = distncia horizontal;ZV2-V1 = distncia zenital corrigida da vante;ZV1-V2 = distncia zenital corrigida da r.

DIV1-V2 = 1.840,3143 mDIV2-V1 = 1.840,3145 mZV2-V1 = 89 16 26,59ZV1-V2 = 90 44 26,22

Sendo:

DIV1-V2 = distncia inclinada na vante;DIV2-V1 = distncia zenital medida na r;DIm = distncia inclinada mdia.

DIm = 1.840,3144 mDHV1-V2 = 1.840,1637 m

7.2.1.3 - Determinao da altitude

HV1-V2 = -23,5520 mSendo:

HV1-V2 = diferena de nvel

HV2 = HV1 + H V1-V2

HV1 = 63,127 m

HV2 = 39,5750 m

7.2.1.4 - Determinao da distncia geoidal (DG)

Sendo:

DG = distncia geoidal;DH = distncia horizontal;Hm = altitude mdia;Rm = raio mdio.

HV1 = 63,127HV2 = 39,5750

Hm = 51,3510 m

Determinao de Rm

Sendo:

Rm = raio mdio;a = eixo equatorial do elipside;e = primeira excentricidade;m = latitude mdia (aproximada).Determinao de m

21


N = 10.000.000 - Nm

Ordenada mdia provisria

Azimute provisrio da linha V1 - V2AZPV1-V2 = AZPMS-V1 +AHV1 + 180

AHV1 = 165 47 41,67AZPMS-V1 = 47 25 50,62

AZPV1-V2 = 33 13 32,29DHV1-V2 = 1.840,1637NV1 = 6.816.018,279

Nm = 6.816.787,945N = 3.183.212,055

Determinao de

Para o elipside GRS80 DATUM SIRGAS 2000

e = 0,00669438002 (quadrado da primeira excentricidade)a = 6.378.137,000 (raio equatorial)

A = 1,005052501813 = 111.132,95255

N = 3.183.212,055K0 = 0,9996 = 111.132,95255

1 = 28 39 17,06

Para o elipside GRS80 DATUM SIRGAS 2000

B = 0,005063108622 = 16.038,50877

= 111.132,95255N = 3.183.212,055 mK0 = 0,99961 = 28 39 17,06

m = 28 46 34,31Nota: Para as demais linhas no necessrio repetir o clculo de A, B, , . So constantes para o elipside GRS80.

a = 6.378.137,000e = 0,00669438002m = 28 46 34,31

Rm = 6.366.629,0470 m

Sendo:

DG = distncia geoidal;DHV1-V2 = distncia horizontal;Hm = altitude mdia;Rm = raio mdio.

DHV1-V2 = 1.840,1637 mRm = 6.366.629,0470 mHm = 51,3510 m

DGV1-V2 = 1.840,1488 m

7.2.1.5 - Determinao da distncia elipsoidal (DE)

DGV1-V2 = 1.840,1488 mDEV1-V2 = 1.840,1489 m

7.2.1.6 - Coefi ciente de escala (K)

Clculos auxiliares

EV1 = 673.251,614EV1 = 173.251,614 m

EV1 = 173.251,614 mDEV1-V2 = 1.840,1489 mAZPV1-V2 = 33 13 32,29

EV2 = 174.259,901 mqV1 = 0,000001 x EV1

EV1 = 173.251,614qV1 = 0,173251614

qV2 = 0,000001 x EV2EV2 = 174.259,901

qV1 = 0,174259901

22


qV1-V2 = 0,030191148

Determinao do coefi ciente XVIII

Rm = 6.366.629,0470 mK0 = 0,9996

XVIII = 0,012345208Aplicando a frmula

K0 = 0,9996XVIII = 0,012345208qV1-V2 = 0,030191148

KV1-V2 = 0,999972594

7.2.1.7 - Determinao da distncia plana (DP)

DPV1-V2 = DEV1-V2 x KV1-V2

DEV1-V2 = 1.840,1489 mKV1-V2 = 0,999972594

DPV1-V2 = 1.840,0984 m

7.2.1.8 - Clculo das redues angulares da linha ()

DPV1-V2 = 1.840,0984 mAZPV1-V2 = 33 13 32,29

NV1-V2 = 1.539,2781 m

EV1 = 173.251,614 mEV2 = 174.259,901 mXVIII = 0,012345208

O resultado da reduo angular dado em segundos.

V1-V2 = 0,68A reduo angular V2-V1 ser utilizada no transporte de coorde-nadas planas-UTM do vrtice V2 para o vrtice V3.

7.2.1.9 - Clculo da reduo angular da linha da base de sada

Este clculo efetuado somente no incio da poligonal e refere-

se reduo angular da linha de r no ponto de partida.

Clculos auxiliares:

NV1 = 6.816.018,279NMS = 6.815.767,893

N = 250,386 m

EMS = 672.979,028EMS = 172.979,028

Determinao de m (Linha V1 - MS)

NV1 = 6.816.018,279NMS = 6.815.767,893

N = 3.184.106,914

K0 = 0,9996 = 111.132,952551 = 28 39 46,06

N = 3.184.106,914 mK0 = 0,9996 = 16.038,508771 = 28 39 46,06 = 111.132,95255

m = 28 47 03,39Determinao de Rm (Linha V1 - MS)

a = 6.378.160,000 me = 0,00669438002m = 28 47 03,39

Rm = 6.366.634,126 m

Clculo do coefi ciente XVIII

Rm = 6.356.634,126 mK0 = 0,9996

XVIII = 0,012345188

23


Aplicando a frmula

NV1-MS = 250,386 mEV1 = 173.251,614 mEMS = 172.979,028 mXVIII = 0,012345188

V1-MS = 0,11

7.2.1.10 - Clculo do ngulo horizontal plano

AHvV1 PLANO

Sinal das redues angulares.

Para transformar o ngulo horizontal medido em ngulo plano deve ser subtrado a reduo angular V1-MS e a reduo angu-lar V1-V2.

Figura 14

HvV1 PLANO = v1 - v1-ms - v1-v2 V1-MS = 0,11V1-V2 = 0,68

AHV1 PLANO = 165 47 40,88

7.2.1.11 - Clculo do azimute plano

AZPMS-V1 = 47 25 50,62AHPLANO = 165 47 40,88

AZPV1-V2 = 33 13 31,49

ou

AZPV1-V2 = 33 13 32,29 (Determinado no item 2.1.4)V1-MS = 0,11V1-V2 = 0,68

AZPV1-V2 = 33 13 31,49

7.2.1.12 - Clculo das coordenadas de V2

NV1 = 6.816.018,279 mDPV1-V2 = 1.840,0984 mAZPV1-V2 = 33 13 31,49

NV2 = 6.817.557,5606 m

EV1 = 673.251,614EV2 = 674.259,8671 m

Coordenadas de V2

NV2 = 6.817.557,5606 EV2 = 674.259,8671 HV2 = 39,5750

So apresentadas, na sequncia, as planilhas de clculos.

Principais elementos dos elipsides

ELIPSIDE / DATUM

HAYFORD - CRREGO ALEGRE

UGGI 1967 - SAD 69

GRS 80 - SIRGAS 2000

a 6.378.388 6.378.160 6.378.137

b 6.356.911,9461 6.356.774,7192 6.356.752,3141

f 1/297 1/298,25 1/298,257222101

e 0,0819918899789 0,0818201799961 0,0818191910428

e 0,00672267002231 0,00669454185459 0,0066943800229

e 0,082266896072 0,0820954371197 0,0820944381519

e- 0,00676784218932 0,00673966079587 0,00673949677548

A 1,005073988831 1,005052624725 1,005052501813

B 0,005084685921 0,005063232050 0,005063108622

C 10,71813676 x 10-6 10,62810712 x 10 -6 10,62759026 x 10- 6

D 21,08680162 x 10-9 20,82189618 x 10 -9 20,82037857 x 10 - 9

E 3,999571172 x 10-11 3,932753352 x 10 -11 3,932371371 x 10 - 11

F 6,694218836 x 10-14 6,555340237 x 10 -14 6,554547942 x 10 - 14

111.136,53666 111.133,34878 111.132,95255 16.107,0347 16.038,95495 16.038,50877 16,97621089 16,83348992 16,83261339 0,022265934 0,0211986052 0,021984374 3.16741 x 10-5 3.11448 x 10-5 3,11416 x 10-5

4,24113 x 10-8 4,15311 x 10-8 4,15259 x 10-8

25

TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG

Transporte de coordenadas geodsicas lat/long

1 - Introduo

O transporte de coordenadas geodsicas lat/long utilizado quando se trabalha na extremidade do fuso, com o objetivo de evitar o clculo da transposio do mesmo.

Para grandes distncias aplica-se o transporte de coordenadas geodsicas Lat/Long em substituio ao transporte de coorde-nadas planas-sistema UTM, pois, no primeiro caso, a distncia para clculo a prpria distncia elipsoidal e para o transporte das coordenadas planas-sistema UTM, a distncia elipsoidal transformada em distncia plana, desta forma, sujeita a um pequeno erro que pode prejudicar a preciso na obteno das coordenadas.


Fazendo:

, , ,

Fazendo:

Z = X + C1 + C2 = Z x A1B

Onde:

, ,

,

, ,

,

Sendo:

AB = azimute geodsico; DE = distncia elipsidica;

A = latitude geodsica do ponto A;A = longitude geodsica do ponto A;B = latitude geodsica do ponto B;B = longitude geodsica do ponto B;

a = raio equatorial do elipside;b = raio polar do elipside;e = primeira excentricidade.


Dadas as coordenadas geodsicas Lat/Long do vrtice V1, a distncia elipsoidal do vrtice V1 para o vrtice V2 e o azimute geodsico, determinar as coordenadas geodsicas Lat/Long do vrtices V2.

Ponto A = V1 Ponto B = V2

Dados:

A = - 28 46 18,0422 SA = 49 13 30,9883 WAB = 32 22 16,2536DEAB = 1840,1489 m

3.1 - Clculo auxiliares

Para o elipside GRS 80 - SIRGAS 2000

a = 6.378.137,000 me = 0,0066943800229

X = + 985,2195 m

Y = +1.554,1848 m

MA = 6.350.206,2368 m

NA = 6.383.088,6320

26

TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG

3.2 - Clculo da latitude aproximada

B = 0,032481592

K1 = + 50,48239749

C = -1,39710 x 10 - 9

C negativo no hemisfrio sul.

K2 = C x X

K2 = - 0,001356134

D = - 2,05871 x 10 - 8

K3 = D x K1

K3 = - 5,24658 x 10 - 5

E = 7,79083 x 10 - 15

K4 = E x K1 x X

K4 = + 3,81759 x 10 - 7

= + 50,483806

= + 0 00 50,483806 B = A +

A = - 28 46 18,0422 S B = -28 45 27,558394

Figura 01

3.3 - Clculo da longitude

NB = 6.383.084,2134

C1 = 1,17952 x 10 - 6

C2 = 4,095 x 10 -16 x X x Y

C2 = 9,74523x 10 - 7

Z = X + C1 + C2

Z = 985,2195

A1B = 0,036860578

= Z x A1B = 36,31575973

= - 0 00 36,315760 A = - 49 13 30,98830

B = A + B = - 49 12 54,672540

Figura 02

ESCOLA BRASILEIRA DE AGRIMENSURA CURSO ESPECIALIZAO EM AGRIMENSURA TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG DATUM SIRGAS 2000 Servio: Poligonal Marco Norte / Marco Sul IBGE Data: 22/09/2006 Folha: 01

DO VRTICE A = V1 PARA O VRTICE B = V2 A = -28 46 18,0422 S Distncia elipsoidal DEAB = 1.840,1489 A = -49 13 30,9883 W Azimute geodsico AB = 32 22 16,2536

CROQUI ABAB sen DE X = 985,2195

)sene1(

aNA

22A = 6.383.088,6320

)sene1(

aNB

22B = 6.383.084,2134

23

A22

2

A)sene1(

)e1(aM

= 6.350.206,2368

32X

BCC 3

2

1

= 1,17952 x 10-6

2162 YX10095.4C = 9,74523 x 10-7

Z = X + C1 + C2 = 985,2195

BBB1 cos"1SenN

1A = 0,036860578

B1AZ" = 36,31575973

3600" = 0 00 36,315760

AB = - 49 12 54,672540

NQ = norte de quadricula NV = norte verdadeiro C = conv. meridiana AZP = azimute plano AZG = azimute geodsico

V1 V2 = reduo angular AZPV1V2 = 33 13 31,503 C V1 = - 0 51 15,9294

V1 V2 = 0,68 AZGV1V2 = 32 22 16,2536

cos Se Y = 1.544,1848

"1SenM1B

A = 0,032481592

Y BK1 = 50,48239749

sen1"MN2tgC

AA = -1,39710 x 10-9

22 X CK = -0,001356134

2322

2

)sene1( 2

"1sencos sene3D = -2,05871 x 10-8

213 K DK = -5,24658 x 10-5

2A

2

NBTg31E

= 7,79083 x 10-15

214 x K EK = 3,81759 x 10-7

KKKK" 4321 = 50,483806

3600" = 0 00 50,483806

AB = -28 45 27,558394 ESTAO A = V2 PARA ESTAO B = V1 A = -28 45 27,558394 S Distncia elipsoidal DEAB = 1.840,1489 A = -49 12 54,672540 W Azimute geodsicoAB = 212 21 58,7796

CROQUI ABAB sen DE X = - 985,0878

)sene1(

aNA

22A = 6.383.084,2134

)sene1(

aNB

22B = 6.383.088,6320

23

A22

2

A)sene1(

)e1(aM

= 6.350.193,0494

32X

BCC 3

2

1

= - 1,17768 x 10-6

2162 YX10095.4C = - 9,74498 x 10-7

Z = X + C1 + C2 = - 985,0878

BBB1 cos"1SenN

1A = 0,036865505

B1AZ" = - 36,31576018

3600" = 0 00 36,315760

AB = - 49 13 30,988300

AZPV2V1 = 213 13 31,503 C V2 = - 0 51 32,0434

V2 V1 = 0,68 AZGV2V1 = 212 21 58,7796

cos Se Y = - 1,554,2683

"1SenM1B

A = 0,032481659

Y BK1 = - 50,4852132

sen1"MN2tgC

AA = - 1,39632 x 10

-9

22 X CK = -0,001354989

2322

2

)sene1( 2

"1sencos sene3D = - 2,05807 x 10-8

213 K DK = -5,24552 x 10-5

2A

2

NBTg31E

= 7,78655 x 10-15

214 x K EK = - 3,81469 x 10-7

KKKK" 4321 = - 50,48380614

3600" = - 0 00 50,483806

AB = - 28 46 18,042200 Parmetros dos elipside Observaes Clculo Data:

Visto Data:

Elipside UGGI 67 SAD 69

a = 6.378.160,000 m e = 0,00669454185459 Elipside GRS80 SIRGAS 2000 a = 6.378.137,000 e = 0,00669438000229

No hemisfrio Sul C e D so negativos. Azimute geodsico (azimute com origem no Norte)

Formulrio organizado pelo Professor Luiz Carlos da Silveira

ESCOLA BRASILEIRA DE AGRIMENSURA CURSO ESPECIALIZAO EM AGRIMENSURA TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG - DATUM SIRGAS 2000

FAA VOC MESMO

DO VRTICE A = V2 PARA O VRTICE B = V3 A = -28 45 27,558394 S Distncia elipsoidal DEAB = 1.920,7602 A = - 49 12 54,672540 W Azimute geodsico AB = 13 16 15,4506

CROQUI ABAB sen DE X =

)sene1(

aNA

22A =

)sene1(

aNB

22B =

23

A22

2

A)sene1(

)e1(aM

=

32X

BCC 3

2

1

=

2162 YX10095.4C =

Z = X + C1 + C2 =

BBB1 cos"1SenN

1A =

B1AZ" =

3600" =

AB =

V2 V3 = reduo angular AZPV2V3 = 14 0746,664 C V2 = - 0 51 32,0434

V2 V3 = 0,83 AZGV2V3 = 13 16 15,4506

cos Se Y =

"1SenM1B

A =

Y BK1 =

sen1"MN2tgC

AA =

22 X CK =

2322

2

)sene1( 2

"1sencos sene3D =

213 K DK =

2A

2

NBTg31E

=

214 x K EK =

KKKK" 4321 =

3600" =

AB =

ESTAO A = V3 PARA ESTAO B = V2 A = -28 44 26,834657 S Distncia elipsoidal DEAB = 1.920,7602 A = -49 12 38,422480 W Azimute geodsicoAB = 193 16 07,6295

CROQUI ABAB sen DE X =

)sene1(

aNA

22A =

)sene1(

aNB

22B =

23

A22

2

A)sene1(

)e1(aM

=

32X

BCC 3

2

1

=

2162 YX10095.4C =

Z = X + C1 + C2 =

BBB1 cos"1SenN

1A =

B1AZ" =

3600" =

AB =

AZPV3V2 = 194 07 46,664 C V3 = - 0 51 38,2045 V3 V2 = 0,83 AZGV3V2 = 193 16 07,6295

cos Se Y =

"1SenM1B

A =

Y BK1 =

sen1"MN2tgC

AA =

22 X CK =

2322

2

)sene1( 2

"1sencos sene3D =

213 K DK =

2A

2

NBTg31E

=

214 x K EK =

KKKK" 4321 =

3600" =

AB = Parmetros dos elipside Observaes Clculo Data:

Visto Data:

Elipside UGGI 67 SAD 69

a = 6.378.160,000 m e = 0,00669454185459 Elipside GRS80 SIRGAS 2000 a = 6.378.137,000 e = 0,00669438000229



29

CONVERGNCIA MERIDIANA

Convergncia meridiana

1 - Introduo

A convergncia meridiana o ngulo C, que num determinado ponto P, formado pela tangente ao meridiano deste, e a para-lela ao meridiano central.

Desta forma a convergncia meridiana o ngulo formado en-tre o norte verdadeiro e o norte de quadricula.

Figura 01

NV = norte verdadeiro;NQ = norte da quadrcula;C = convergncia meridiana;MC = Meridiano central.

Figura 02 - Sinal da convergncia meridiana

C positivo

- no hemisfrio sul - lado oeste do MC;- no hemisfrio norte - lado leste do MC.

C negativo

- no hemisfrio sul - lado leste do MC;- no hemisfrio norte - lado oeste do MC.

Figura 03

2 Utilizao da convergncia meridiana

A convergncia meridiana utilizada para transformar o azimu-te verdadeiro, determinando por via astronmica, em azimute plano (norte de quadrcula) e vice-versa.

O azimute plano utilizado, em geodsia, no clculo do trans-porte de coordenadas planas sistema UTM (E,N).

Figura 04

AzVAB = azimute verdadeiro da linha AB;AzPAB = azimute plano da linha AB;C = convergncia meridiana;NV = norte verdadeiro.NQ = norte de quadrcula.

O azimute verdadeiro utilizado em topografi a para clculos das coordenadas locais (X, Y).

O azimute geodsico referenciado a superfcie elipsoidal, en-quanto o azimute verdadeiro referenciado a superfcie geoidal (superfcie real da Terra).

Em topografi a de minas, para locao da rea em campo, o azimute verdadeiro determinado, a partir do azimute plano por tcnica GNSS.

30


A pequena diferena existente entre os azimutes pode ser, na pratica, negligenciada sem prejuzo a preciso dos levantamen-tos topogrfi cos.

3 Frmulas utilizadas

A convergncia meridiana pode ser calculada em funo das coordenadas geodsicas Lat/Log ou das coordenadas planas nos sistemas UTM, LTM e RTM.

3.1 Frmulas para clculo da convergncia meridiana a partir das coordenadas geodsicas Lat/Long.

C = XIII x P x XIII x P3 + C5 x P5

P = 0,0001''= MC - Coefi cientes

XII = sen x 104

Parmetros dos elipsides

Elipside UGGI 1967 - Datum SAD 69

a = 6.378.160,0000b = 6.356.774,7192e = 0,00669454185459e = 0,00673966079587

Elipside GRS 80 - Datum SIRGAS 2000

a = 6.378.137,0000b = 6.356.752,3141e = 0,00669438000229e = 0,00673949677548

Elementos das frmulas

= latitude geodsica do ponto;e = segunda excentricidade;a = raio equatorial do elipside; = longitude geodsica do ponto;MC = meridiano central do fuso;b = raio polar do elipside.

Determinao do meridiano central

Para determinar o MC, no sistema de coordenadas planas UTM, conta-se, a partir do 1 MC ( MC = 3 ), de 6 em 6 desta forma

3, 9, 15, ......, 45, 51, 57,....

Para determinar a qual MC pertence o ponto, basta situar o

mesmo no fuso.

Figura 05

Todo o ponto de longitude compreendida entre 48 e 54 tem MC = 51.

3.2 - Frmula para clculo da convergncia meridiana a par-tir das coordenadas planas Sistema UTM

C = XV x q - XVI x q3 + F5 x q5

q = 0,000001 E E = 500.000 - EOnde:

K0 = 0,9996 Signifi cado dos termos

= latitude do p da perpendicular que vai do ponto conside-rado at o MC;

E = abscissa do sistema UTM;e = primeira excentricidade do elipside;e = segunda excentricidade do elipside;K0 = fator de escala;N = grande normal;a = raio equatorial do elipside;b = raio polar do elipside.

Determinao de por processo interativo.1 Aproximao

2 Aproximao

31


3 Aproximao

4 Aproximao

5 Aproximao

6 Aproximao

Para o clculo de bastam 6 aproximaes.

Determinao de q q = 0,000001 x E

E = 500.000 E

4 Exemplo aplicativo

4.1 Calcular a convergncia meridiana do vrtice V1, cujas coordenadas planas sistema UTM so:

Elipside GRS 80 - SIRGAS 2000

N = 6.816.018,279E = 673.251,614

Determinao de N = 10.000.000 - N

N = 3183981,7211 Aproximao

1 = 28,661669312 Aproximao

2 = 28,783007773 Aproximao

3 = 28,783337244 Aproximao

4 = 28,783338135 Aproximao

5 = 28,783338146 Aproximao

32


6 = 28,78333814Determinao de q

E = 673.251,614 E = 500.000 - E| E = 173.251,614 q = 0,173251614


XV

Clculo de N

Dados:

a = 6.378.137,000e2 = 0,006694541852 = - 28 47 00,017

N = 6.383.092,308XV = 3.076,909676

XV x q = 3.076,909676XVI

XVI = 188,916617347

XVI x q3 = 0,980469F5

F5 = 2,701953466

F5 x q5 = 0,000422

Clculo da convergncia meridiana

C = XV x q - XVI x q3 + F5 x q5

C = 3075,929629

C = 00 51 15,929629

Como o ponto est a leste do meridiano central.

C = - 00 51 15,9296

4.2 Calcular a convergncia meridiana do vrtice V1 cujas coordenadas geodsicas so:

Latitude () = - 28 46 18,0422 SLongitude () = - 49 13 30,9833 WMC = 51

C = XIII x P + XIII x P3+C5 x P5

Determinao de p

p = 0,0001 |MC | = 1 46 29,0167

= 00 23 47,5485 = x 3600

= 1 46 29,0167 = 6.389,0167P = 0,63890167

Clculo dos coefi cientes

XII PXII = sen x 104 XII = 4.813,204522

XII x P = 3.075,164407XIII P

XIII = 2,941710

XIII x P = 0,767188C5 P

5

C5 = 0,001775

C5 P5

= 0,000189Clculos da convergncia

C = XII x P + XIII x P3 +C5 x P5

C = 3075,929629

C = 0 51 15,93178

Como o ponto est a leste do MC

C = - 0 51 15,93178

33

TRANSFORMAO DE SISTEMAS GEODSICOS

Transformao de sistemas geodsicos (Equaes diferenciais simplificadas de Molodenski)

1 Introduo

No Brasil, atualmente, so utilizados os elipsides UGGI 1967 Datum SAD 69 e GRS 80 Datum SIRGAS 2000.

Na fase de transio para o Datum SIRGAS 2000 alguns traba-lhos so executados no sistema UGGI 1967 SAD 69.


Segundo as especifi caes e normas gerais para levantamen-tos geodsicos - apndice II do IBGE, a transformao de sis-temas geodsicos (transformao de coordenadas geodsicas referenciadas a um elipside - datum - origem para um elipside - datum - destino) dever ser efetuada a partir das equaes diferenciais simplifi cadas de Molodenski.

As equaes so:

h2 = h1 + h

f = f2 - f1 a = a2 - a1

e12 = f1 x (2 - f1)

onde:a1 = semi-eixo maior do elipside 1;f1 = achatamento do elipside 1;

1 = latitude geodsica do ponto 1 no elipside 1;1 = longitude geodsica do ponto 1 no elipside 1;a2 = semi-eixo maior do elipside 2;f2 = achatamento do elipside 2;2 = latitude geodsica do ponto 1 no elipside 2;2 = longitude geodsica do ponto 1 no elipside 2;e1 = primeira excentricidade do elipside 1;N1 = grande normal (do ponto 1)no elipside 1;M1 = raio da seo meridiana (do ponto 1) no elipside 1;h = diferena de geondulao;h1 = altura elipsoidal do ponto 1 no elipside 1;h2 = altura elipsoidal do ponto 1 no elipside 2.

Parmetros de transformao


Elipside UGGI 1967 Datum - SAD-69

a = 6.378.160,000 mf = 1/298,25e1

2 = 0,00669454185459

Elipside GRS 80 Datum SIRGAS 2000

a = 6.378.137,000 mf = 1/298,257222101e2

2 = 0,0066943800229

Parmetros de transformao - ofi cial do IBGE

SAD-69 SIRGAS 2000

X = - 67,35 m Y = + 3,88 m Z = - 38,22 m

SIRGAS 2000 SAD-69 X = + 67,35 m Y = - 3,88 m Z = + 38,22 m


Transformar as coordenadas do ponto Pilar 1 da Base USP do elipside UGGI 1967 - SAD-69 para o elipside GRS 80 - SIRGAS 2000.

34


Coordenadas do ponto

1 = - 23 33 01,28833 S1 = - 46 43 52,03600 Wh1= 724,8371 m

3.1 - SAD-69 SIRGAS 2000

Sistema 1 - Elipside UGGI 1967 - SAD-69

a1 = 6.378.160,000 mf1 = 1/298,25e1

2 = 0,00669454185459

Sistema 2 - Elipside GRS 80 SIRGAS 2000

a = 6.378.137,000 mf = 1/298,257222101e2

2 = 0,0066943800229


UGGI 1967 - SAD-69 GRS 80 - SIRGAS2000

X = - 67,35 m Y = + 3,88 m Z = - 38,22 m

Clculo da grande normal N1

a1 = 6.378.160,000 me1

2 = 0,006694541854591 = - 23 33 01,28833

N1 = 6.381.571,04573 m

Clculo do raio da seo meridiana M1

M1 = 6.345.631,20899 m

Clculos auxiliares

a = a2 - a1

a = - 23,00

f = f2 - f1

f = - 8,1188054898 x 10 - 8

Clculo de

= - 0,000489149574

= - 0 00 01,76094Clculo de 2

2 = 1 +

2 = - 23 33 01,28833 S2 = - 230 33 03,049324Clculo de

= - 0,000454260303

= - 00 00 01,635337

Clculo de 22 = 1 +

1 = - 46 43 52,03600 W 2 = - 46 43 53,671337

Clculo da altura elipsoidal

h= - 6,7321 mh2 = h1 + h

h1 = 724,8371h2 = 718,105 m

Sistema S1 - Elipside SAD-69

1 = - 23 33 01,28833 S1 = - 46 43 52,03600 Wh1 = 724,8371 m

Sistema S2 - Elipside WGS - 84

2 = - 23 33 03,049324 S2 = - 46 43 53,671337 Wh2 = 718,105 m

3.2 Verifi cao - SIRGAS 2000 - SAD 69

Transformar as coordenadas do ponto Pilar 1 da Base USP do elipside GRS 80 - SIRGAS 2000 para o elipside UGGI

35


1967 - SAD-69.

Coordenadas do ponto - GRS 80 - SIRGAS 2000

1 = - 23 33 03,049324 S1 = - 46 43 53,671337 Wh1 = 718,105 m

SIRGAS 2000 SAD-69

Sistema 1 - Elipside GRS 80 - SIRGAS 2000

a1 = 6.378.137,000f1 = 1/298,257222101e1

2 = 0,0066943800229


a2 = 6.378.160,000f2 = 1/298,25e2

2 = 0,00669454185459


SIRGAS 2000 SAD-69

X = + 67,35 mY = - 3,88 mZ = + 38,22 m


a1 = 6.378.137,000 me1

2 = 0,006694380002291 = - 23 33 03,049324" S

N1 = 6.381.548,1672 m

Clculo do raio da seo meridiana M1

M1 = 6.345.608,7252 m

Clculos auxiliares

a = a2 - a1

a = 23,00 mf = f2 - f1

f = 8,1188054898 x 10- 8

Clculo de

= 0,000489152227

= 0 00 01,760948Clculo de 2

2 = 1 +

1 = - 23 33 03,049324"2 = - 23 33 01,288376

Clculo de

= 0,000454267426

= 0 00 01,635363

2 = 1 +

1 = - 46 43 53,671337

2 = - 46 43 52,035974

Clculo da altura elipsoidal (h)

h = 6,731 m

h1 = 718,105

h2 = h1 + h

h2 = 724,836 m

36


Transformao de sistemas geodsicos (Mtodo direto pelas coordenadas cartesianas)

1 Introduo

A transformao de sistemas geodsicos tambm pode ser efetuada a partir das coordenadas cartesianas X, Y e Z, cujo sistema, com origem no centro do elipside, tem como eixos, o meridiano de Greenwich (eixo X), o meridiano 90 E (eixo Y) e o eixo de rotao da Terra (eixo Z).

As coordenadas nativas do sistema GNSS so cartesianas.

2 Transformao de coordenadas geodsicas lat/long em coordenadas cartesianas

2.1 Frmulas utilizadas:

X = (N + h) x cos x cos Y = (N + h) x cos x sen Z = {[ N x (1 - e)] + h} x sen 1

onde:

X, Y, Z = coordenadas cartesianas; = latitude geodsica; = longitude geodsica;h = altura elipsoidal;N = grande normal;e = primeira excentricidade;a = eixo equatorial do elipside;b = eixo polar do elipside.

Conveno de sinais

- = ponto no hemisfrio sul;+ = ponto no hemisfrio norte;- = ponto a oeste de Greenwich;+ = ponto a leste de Greenwich.3 - Transformao de sistemas geodsicos

3.1 - Frmulas utilizadas

X2 = X1 + X Y2 = Y1 + Y Z2 = Z1 + Zonde:

Coordenadas cartesianas no sistema 1

Coordenadas cartesianas no sistema 2

Parmetros dos elipsides (Dados ofi ciais do IBGE)

Elipside UGGI 1967 Datum SAD 69

a = 6.378.160,000f = 1/298,25e2 = 0,00669454185459

Elipside GRS 80 Datum SIRGAS 2000

a = 6.378.137,000f = 1/298,257222101e2 = 0,0066943800229


SAD-69 SIRGAS 2000 SIRGAS 2000 SAD-69X = - 67,35 m X = + 67,35 mY = + 3,88 m Y = - 3,88 mZ = - 38,22 m Z = + 38,22 m

4 - Transformao de coordenadas cartesianas em coorde-nadas geodsicas lat/long

Frmulas utilizadas


Elipside UGGI 1967 - Datum SAD 69

a = 6.378.160,0000 e = 0,00669454185459b = 6.356.774,7192 e = 0,00673966079587

Elipside GRS - Datum SIRGAS 2000

a = 6.378.137,000 e = 0,00669438000229b = 6.356.752,3141 e = 0,00673949677548


Transformar as coordenadas do ponto Pilar 1 da Base USP do elipside UGGI 1967 - SAD-69 para o elipside GRS 80 - SIRGAS 2000.

37

Coordenadas do ponto

1 = - 23 33 01,28833 S1 = - 46 43 52,03600 Wh1= 724,8371 m

SAD-69 SIRGAS 2000


a1 = 6.378.160,000 mf1 = 1/298,25e1

2 = 0,00669454185459

Sistema 2 - Elipside GRS 80 SIRGAS 2000

a2 = 6.378.137,000 mf2 = 1/298,257222101e2

2 = 0,0066943800229


UGGI 1967 - SAD-69 GRS 80 - SIRGAS2000

X = - 67,35 m Y = + 3,88 m Z = - 38,22 m

5.1-Determinao das coordenadas cartesianas no sistema 1


a1 = 6.378.160,000 me1

2 = 0,006694541854591 = - 23 33 01,28833

N1 = 6.381.571,04573 m

X1 = (N+h) x cos 1 x cos 1

N = 6.381.571,04573h = 724,83711 = - 23 33 01,28833 S1 = - 46 43 52,03600 W

X1 = 4.010.210,70947 m

Y1 = (N1+h1) x cos 1 x sen 1

Y1 = - 4.260.165,97534 m

Z = {[ N x (1 - e)] + h} x sen 1


Z1 = - 2.533.008,11252 m

5.2-Determinao das coordenadas cartesianas no sistema 2

X2 = X1 + X X1 = 4.010.210,70547 m X = - 67,35 m

X2 = 4.010.143,35947Y2 = Y1 + Y

Y1 = 4.260.165,97534 m Y = - 3,88 m

Y2 = - 4.260.162,09534

Z2 = Z1 + Z

Z1 = - 2.533.008,11252 m Z = - 38,22 m

Z2 = - 2.533,046,33252

5.3 - Determinao das coordenadas geodsicas Lat/Long no sistema 2.

X2 = 4.010.143,35947Y2 = - 4.260.162,09534Z2 = - 2.533,046,33252

Clculo auxiliares

P = 5.850.660,71842

a = 6.378.137.0000 b = 6.356.752,3141 = -23 28 49,662578

2 = - 23 33 03,049104

2 = - 46 43 53,671165

h2 = 718,105044

38

Clculo do lado elipsoidal e azimute geodsico em funo das coordenadas geodsicas lat/long

1 - Introduo

O azimute geodsico usado para o transporte de coordena-das geodsicas Lat/Long.

Com as coordenadas geodsicas Lat/Long dos vrtices, calcu-la-se o lado elipsoidal e o azimute geodsico.

Atualmente tem grande aplicao na navegao inercial com-putadorizada onde, conhecendo a posio do avio e do aero-porto, ou do navio e do porto, calcula-se a distncia e o azimute. Pode ser usado tambm no clculo do azimute geodsico para direcionamento de antenas de rdios entre outras aplicaes.

2 - Frmulas Utilizadas

As frmulas a seguir foram deduzidas a partir das frmulas do transporte de coordenadas geodsicas lat/long.

2.1 Lado elipsoidal provisrio

2.2 - Azimute geodsico provisrio

2.3 Lado elipsoidal defi nitivo

2.4 - Clculo do contra azimute

Fazendo:

K4 = E x K1 x X1

K2 = C x X1,

K3 = D x K1,

K1 = B x Y1

X = W C1 C2

Onde os coefi cientes so:

CLCULO DE LADOS E AZIMUTES

39

Para o elipside UGGI 67 Datum SAD 69

a = 6.378.160,000 me = 0,00669454185459

Para o elipside GRS 80 Datum SIRGAS 2000

a = 6.378,137,000 me = 0,0066943800229

Onde:

DE= lado elipsoidal; = azimute geodsico;NA = grande normal no ponto A;NB = grande normal no ponto B;MA = raio da seco meridiana no ponto A;MB = raio da seco meridiana no ponto B;e = primeira excentricidade;a = raio equatorial do elipside;b = raio polar do elipside;A = latitude geodsica do ponto A;A = longitude geodsica do ponto A;B = latitude geodsica do ponto B;B = longitude geodsica do ponto B;m = Latitude mdia.


Dadas as coordenadas geodsicas Lat/Long dos pontos V1 e V2, determinar o lado elipsoidal e azimute geodsico.

Ponto A V1A = - 284618,042200 SA = - 49 13 30,988300 WPonto B V2

B = - 28 45 27,558400 SB = - 49 12 54,672500 W3.1 - Clculos auxiliares

B = - 28 45 27,558400 S


A = - 28 46 18,042200 S = - 0 00' 50,4838"

" = - 50,4838"

m = - 28 45 52,800300 S = B - A

B = - 49 12 54,672500 WA = - 49 13 30,988300 W = - 0 00' 36,3158"

" = x 3600 = - 36,3158"

MA = 6.350.206,2368 m

NA = 6.383.088,6320 m

NB = 6.383.084,2134 m3.2 Clculo do lado provisrio

NB = 6.383.048,2134B = - 28 45 27,5584 S = - 0 00 36,3158 X1 = - 985,2206 m

Y1 = - 1.554,2280 mDE1 = 1.840,1860 m

3.3 - Clculo do azimute provisrio

= 32 22' 13,765975"

Figura 01

40


O azimute geodsico contado a partir do Sul

1 = 212 22 13,7659753.4 Clculo do lado e azimute defi nitivo

B = 0,032484592K1 = B x Y1

K1 = - 50,4838

C = - 1,39713 x 10-9

C negativo hemisfrio Sul

K1 = - 0,001356137

D = - 2,05871 x 10 - 8D negativo hemisfrio Sul

K3 = - 5,24687 x 10

- 5

E = 7,79083 x 10 - 5

K4 = - 3,81771 x10 - 7

K5 = K2 K3 + K4 K5 = - 50,4824

Y = - 1.554,1847 m

C1 = - 1,17953 x 10 - 6

C2 = 4,095 x 10-16 x X1 x Y1

C2 = -9,74579 x 10 - 7

A1B = 0,0368860578

W = - 985,2206X = W C1 C2

X = - 985,2206 m

Azimute geodsico defi nitivo

A partir do sul

A partir do norte Lado elipsoidal defi nitivo

DE = 1.840,1493 m3.5 - Clculo do contra azimute

m = - 28 45 52,800300 S = B - A

= - 0 00' 50,4838"

= B - A

= - 36,3158" - = 17,4756417467"

= - 17,47564175" = - 0 00' 17,47564175"

Figura 02

ESCOLA BRASILEIRA DE AGRIMENSURA CURSO ESPECIALIZAO EM AGRIMENSURA CLCULO DO LADO E AZIMUTE GEODSICO EM FUNO DAS COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG Servio: Poligonal Marco Norte / Marco Sul IBGE Datum: SIRGAS 2000 Folha: 01

VRTICE A = V1 VRTICE B = V2 A = - 28 46 18,0422 S B = - 28 45 27,5584 S A = - 49 13 30,9883 W B = - 49 12 54,6725 W

AB = - 0 00 50,4883 3600" - 50,4838

AB = - 0 00 36,3158 3600" - 36,3158

)sene1(aN

B22B

= 6.383.084,2134 m

180CosN X BB1

= - 985,2206 m

180MY A1 = - 1.554,2280 m

YXDE 111 = 1.840,1860 m Rumo

Y1X1 tgArc AB1 = 32 22 13,765975

Azimute AB1 212 22 13,765975

32X

BCC 3

2

1

= 6 1017953,1 2

1116

2 YX10095.4C = 7 1074579,9

BBB1 cos"1SenN

1A = 0,0368860578

1BA"W = 0,0368860578

X = W C1 C2 = - 985,2206

Rumo

YX tg arcAB = 32 22 16,367597

Azimute a partir do sul AB 212 22 16,367597 Azimute geodsico AB 212 22 16,367597

)sene1(aN

A22A

= 6.383.088,6230 m

3/2A

A ) Sene1(e)(1 aM

= 6.350.206,2368 m

"1SenM1B

A = 0,032484592

Y BK1 = - 50,4838

"1senMN2TgC

AA = 9 10139713,1

22 X CK = - 0,001356137

2322

2

)sene1( 2

"1sencos sene3D = 8 1005871,2

213 K DK = 5 1024687,5

2A

2

NBTg31E

= 5 1079083,7

214 x K EK = 7 1081771,3

K5 = K2 K3 + K4 = - 50,482382

BK

Y 5 = - 1.554,1847 m 22

AB YXDE = 1.840,1493 m Clculo do contra azimute CROQUI

2

= - 0 00 25,2419

2

B1m = - 28 45 52,8003

"1sencossen121F 2A

2A = 13 102429,7

3m )"(F2

secsen " = 17,4756417 = - 0 00 17,4756417

)180( ABBA BA = 32 21 58,8920 Azimute geodsico BA = 212 21 58,8920

Parmetros dos elipside Observaes Clculo Data:

Visto Data:

Elipside UGGI 67 SAD 69 a = 6.378.160,000 m e = 0,00669454185459 Elipside GRS80 SIRGAS 2000 a = 6.378.137,000 e = 0,00669438000229



ESCOLA BRASILEIRA DE AGRIMENSURA CURSO ESPECIALIZAO EM AGRIMENSURA CLCULO DO LADO E AZIMUTE GEODSICO EM FUNO DAS COORDENADAS GEODSICAS LAT/LONG

Faa voc mesmo Datum : SIRGAS 2000

VRTICE A = V2 VRTICE B = V1 A = - 28 45 27,5584 S B = - 28 46 18,0422 S A = - 49 12 54,6725 W B = - 49 13 30,9883 W

AB = 3600"

AB = 3600"

)sene1(aN

B22B

=

180CosN X BB1

= -

180MY A1 = -

YXDE 111 = Rumo

Y1X1 tgArc AB1 =

Azimute AB1

32X

BCC 3

2

1

= 2

1116

2 YX10095.4C =

BBB1 cos"1SenN

1A =

1BA"W =

X = W C1 C2 =

Rumo

YX tg arcAB =

Azimute a partir do sul AB Azimute geodsico AB

)sene1(aN

A22A

=

3/2A

A ) Sene1(e)(1 aM

=

"1SenM1B

A =

Y BK1 =

"1senMN2TgC

AA =

22 X CK =

2322

2

)sene1( 2

"1sencos sene3D =

213 K DK =

2A

2

NBTg31E

=

214 x K EK =

K5 = K2 K3 + K4 =

BK

Y 5 = 22

AB YXDE = Clculo do contra azimute CROQUI

2

=

2

B1m =

"1sencossen121F 2A

2A =

3m )"(F2

secsen " = =

)180( ABBA BA = Azimute geodsico BA =

Parmetros dos elipside Observaes Clculo Data:

Visto Data:

Elipside UGGI 67 SAD 69 a = 6.378.160,000 m e = 0,00669454185459 Elipside GRS80 SIRGAS 2000 a = 6.378.137,000 e = 0,00669438000229



43

CONVERSO DE AZIMUTE

Converso de azimute

1 - Introduo

Em topografi a so utilizados diversos tipos de azimutes. O mais usados atualmente, o azimute plano, com origem no norte de quadrcula, aplicado no sistema de coordenadas planas - UTM.

O azimute magntico foi muito usado no passado, num passa-do muito distante...

O azimute verdadeiro aplicado em topografi a de minas na locao da rea em campo. Por exigncia da legislao mineral as reas minerais tm os seus lados orientados para o norte/sul e leste oeste (verdadeiro).

O azimute geodsico aplicado no transporte de coordenadas geodsicas Lat/Long e na navegao.

2 - Obteno dos azimutes

2.1 - Azimute magntico

O azimute magntico, referenciado ao norte magntico, obti-do diretamente no campo a partir de uma bssola.

Foi muito usado no passado por topgrafos sem formao acadmica, que no possuam habilidade para determinao do norte verdadeiro.

A topografi a, na concepo atual, no admite o norte magntico como orientao de trabalho topogrfi co.

Para recuperar o norte magntico, de uma poca passada, utiliza-se o norte verdadeiro, a declinao magntica atual e a variao anual da declinao magntica.

Com a variao anual da declinao magntica e o tempo de-corrido pode ser corrigida a declinao magntica para a poca desejada.

Os valores determinados so expeditos, visto que o modelo magntico disponibiliza a variao anual da declinao mag-ntica atual.

No passado, o Observatrio Nacional publicava as cartas iso-gnicas e isopricas que forneciam a declinao magntica e sua variao anual. Eram impressas em papel e a obteno dos dados eram efetuadas por interpolao grfi ca.

2.1.1 - Obteno da declinao magntica pelo software DMAG 2010 - clculo manual

O DMAG um software utilitrio, desenvolvido pelo Engenheiro

Agrimensor Luiz Ricardo Mattos, distribudo de forma gratuita, que tem por fi nalidade disponibilizar ao usurio a declinao magntica a partir das coordenadas geodsicas ou planas nos sistemas UTM, LTM e RTM, referenciadas aos datuns SAD 69, CRREGO ALEGRE, SIRGAS 2000.

Em sua ltima verso, no DMAG 2010, foram corrigidos alguns problemas da verso anterior, mas mantendo as funcionalida-des desta como a identifi cao do meridiano central para os sistemas de coordenadas UTM, LTM e RTM e identifi cao das cartas topogrfi cas do mapemaneto sistemtico (IBGE), a partir das coordenadas geodsicas lat/long.

Outra funcionalidade a capacidade de processar arquivos de texto (clculos em lote), que contenham as coordenadas dos pontos de interesse, resultando num arquivo com os valores da declinao magntica para estes pontos.

Extraindo o valor da declinao magntica pelo DMAG 2010.

Aps a instalao do DMAG 2010, d um duplo clique no cone para acessar o programa. A interface do programa apre-

sentada na fi gura 01.

Figura 01 - Tela principal do DMAG 2010

Na opo Datum, defi na o datum das coordenadas a serem uti-lizadas, neste caso escolheremos o SIRGAS 2000 como mostra a fi gura 02.

44

CONVERSO DE AZIMUTE

Figura 02 - Defi nio do Datum

Em Datum defi nimos a data para a qual queremos o valor da declinao magntica, como mostra a fi gura 03. Para abrir o calendrio basta clicar no boto lateral direito da clula de data e para ocult-lo novamente basta clicar outra vez.

Figura 03 - Defi nio da data

Na opo Tipo de coordenada defi nimos o tipo de coordena-das com que vamos identifi car o ponto de interesse. As opes so coordenadas Geodsicas, planas UTM, planas LTM e pla-nas RTM.

Se a entrada escolhida for coordenada geodsicas, basta en-trar com a latitude, a longitude e a altitude e clicar no boto calcular.

No nosso exemplo, utilizaremos as coordenadas planas siste-ma UTM como mostra a fi gura 04.

Figura 04 - Tipo de coordenadas

Defi nido o tipo de coordenadas, entre com os valores do meri-diano central, o hemisfrio e as coordenadas. Clique no boto Calcular, como mostra a fi gura 05.

Figura 05 - Entrada de valores

Aps a entrada dos dados e processamento dos clculos, o DMAG 2010 apresentar os valores da declinao magntica e seu quadrante, a variao anual e a convergncia meridiana.

Cada clculo que efetuado, o DMAG 2010 gera uma tabela com os valores que pode ser copiado. Clique sobre o espao da tabela. Depois de copiados, estes dados podem ser colados em qualquer software para gerar um relatrio personalizado como um processador de textos, editor de textos ou mesmo uma pla-nilha eletrnica.

O resultado do clculo apresentado na fi gura 06.

Figura 06 - Resultado fi nal dos clculos

O DEMAG 2010 est disponvel para cpia no site :www.amiranet.com.br

45

2.2 - Azimute verdadeiro (NM)

O azimute verdadeiro ou azimute astronmico determinado por via astronmica, com observao do sol e ou estrelas.

O mtodo mais utilizado da distncia zenital absoluta do sol em quadrantes opostos nas posies direta e inversa do teodo-lito/estao total.

No uso da estao total, em observaes solares, a luneta no pode ser direcionada diretamente para o sol sem o uso de fi ltro. Este procedimento (sem o uso do fi ltro) pode queimar o dispo-sitivo eletrnico de medida da distncia.

O mtodo mais preciso para determinao do azimute verda-deiro da mxima elongao de estrelas circumpolares. Neste mtodo no necessrio o conhecimento da latitude precisa do ponto.

O livro Determinao do Norte Verdadeiro - Manual Tcnico,

do Prof Luiz Carlos da silveira, publicado pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul, contm, em forma de manual, a descrio dos principais mtodos utilizados para determinao do norte verdadeiro, destacando:

- distncia zenital absoluta do Sol; - distncia zenitais absoluta de estrelas; - alturas iguais do Sol; - alturas iguais de estrelas; - mxima elongao de estrela circumpolares; - mxima elongao de estrelas circumpolar, em lados opos-

tos.

O livro foi fruto da organizao e reviso dos manuscritos dos polgrafos utilizados nas aulas de astronomia de campo minis-trado no curso de Engenharia de Agrimensura da Universidade do Extremo Sul Catarinense.

A Mira publica, H 21 anos, as efemrides do Sol (declinao, variao horria e distncia Sol-Terra) necess-rio para o clculo do azimute verdadeiro.

Figura 01

- d = declinao magntica negativa.+ d = declinao magntica positiva.

2.3 - Azimute plano (NQ)

O azimute plano o azimute dos sistema de co-ordenadas planas UTM, LTM e RTM.

O referencial do azimute plano o norte de qua-drcula que, no plano, equivale a linha paralela ao meridiano central do fuso.

Figura 02

CONVERSO DE AZIMUTE

46

O azimute plano obtido a partir das coordenadas planas (UTM, LTM ou RTM) ou do azimute verdadeiro e da convergn-cia meridiana.

2.4 - Azimute geodsico

O azimute geodsico o mesmo azimute verdadeiro referencia-do ao elipside terrestre. O azimute verdadeiro ou astronmico referenciado ao geide (forma real da Terra).

3 - Converso de azimutes

3.1 - Azimute verdadeiro em azimute magntico Azimute magntico em azimute verdadeiro.

Figura 03

AZV = AZM + dAZM = AZV - d

Onde:

d = declinao magntica;AZV = azimute verdadeiro;AZM = azimute magntico.

3.2 - Azimute verdadeiro em azimute plano Azimute plano em azimute verdadeiro.

Figura 04

AZP = AZV - c AZV = AZP + c

Onde:

C = convergncia meridiana;AZP = azimute plano;AZV = azimute verdadeiro.

3.3 - Azimute plano em azimute geodsico Azimute geodsico em azimute plano.

Figura 05

Figura 06

3.4 - Azimute astronmico em azimute geodsico

Onde:

AG = azimute geodsico;Aa = azimute astronmica;a = longitude geodsica;g = longitude astronmica;g = latitude geodsica.O azimute geodsico o azimute astronmico corrigido do des-vio da vertical.

A diferena entre ambos to pequena que na prtica podem ser considerados iguais sem prejuzo preciso dos trabalhos.

CONVERSO DE AZIMUTE

47

CLCULOS DOS LADOS E AZIMUTES

Clculo dos lados e azimutes em funo das coordenadas planas sistema UTM1 - Introduo

O Azimute utilizado para o clculo das coordenadas. Quando o levantamento de uma poligonal parte de uma base geodsica necessrio o conhecimento do azimute plano para o trans-porte das coordenadas planas - sistema UTM ou do azimute geodsico para o transporte das coordenadas geodsicas Lat/Long.

Dadas as coordenadas planas - sistema UTM de dois pontos, o problema consiste em determinar os lados e azimutes.

DE = distncia elipsidal;DP = distncia plana;AZGAB = azimute geodsico;AZPAB = azimute plano;CA = convergncia meridiana;AB = reduo angular.

Figura 01

2 - Conceito e determinao dos elementos

2.1 - Azimute plano (AZP)

Azimute plano o ngulo formado entre a paralela ao MC do fuso (norte de quadricula) e a corda da transformada (lado pla-no).

O azimute plano tem origem no Norte da quadrcula ( NQ ). Varia de 0 a 360 no sentido N, E, S, W.

E = EB - EA N = NB - NA

Se EB - EA for positivo AZP = AZPSe EB - EA for negativo AZP = 360 - AZP

2.2 - Azimute geodsico (AZG)

Azimute geodsico o ngulo formado entre a tangente ao me-ridiano local e a tangente da transformada.

O azimute geodsico tem origem no norte e varia de 0 a 360 no sentido horrio.

Sendo:

AZP = azimute plano da linha AB;CA = convergncia meridiana no ponto A;AB = reduo angular da linha AB.2.3 - Reduo angular ( )Reduo angular o ngulo formado entre o lado plano e a tangente ao lado elipsoidal.

AB = N x ( 2 EA + EB ) x XVIII x 6,8755 x 10 - 8

AB = N x ( EA + 2 EB ) x XVIII x 6,8755 x 10 - 8

Sendo:N = NB - NA

EA = EA 500.000

EB = EB 500.000

N = 10.000.000 Nm

As frmulas para clculo de e so apresentadas no item transporte de coordenadas planas UTM publicado nesta edio.

Onde:e = primeira excentricidade;

48


N = grande normal;Ko = coefi ciente de escala Sistema UTM.

2.4 Distncia plana ( DP )

Distncia plana a corda da transformada.ouDistncia plana a distncia plana entre os dois pontos.

2.5 - Distncia elipsidal ( DE )

Distncia elipsoidal a medida linear entre os dois pontos, me-dido sobre a superfcie elipsoidal.

Sendo:

DP = distncia plana;K = fator de escala no meridiano central Sistema UTM.

K = Ko x ( 1 + XVIII x qAB + 0,00003 x qAB )

Onde:

qA = 0,000001 EAqB = 0,000001 EB EA = EA 500.000EB = EB 500.000Ko = 0,9996 Sistema UTM


Dadas as coordenadas planas sistema UTM dos pontos V1 e V2, determinar:

- distncia plana;- distncia elipsoidal;- azimute plano;- azimute geodsico.

V1 Ponto A

NA = 6.816.018,279EA = 673.251,614

V2 Ponto B

NB = 6.817.557,5606EB = 674.259,8672

3.1 - Azimute Plano (AZP)

N = NB EA N = 1.539,2816 m

E = EB EA E = 1008,2532 mAZP = 33 13 31,50

Como EB - EA positivo

AZP = 33 13 31,50

3.2 - Distncia plana (DP)

DP = 1.840,0984 m

3.3 - Distncia elipsoidal

Determinao de K

K = Ko x ( 1 + XVIII x qAB + 0,00003 x qAB )

Nm = 6.816.787,9198 m

N = 10.000,000 N N = 3.183.212,0802 m

EA = EA 500.000EA = 173.251,614 m

qA = 0,000001 EAqA = 0,173251614

EB = EB 500.000EB = 174.259,8672 m

qB = 0,000001 EB

qB = 0,1742598672 qAB = 0,030191148

- 28 39 17,064 S (hemisfrio Sul)

m = - 28 46 34,314 S (hemisfrio Sul)

Rm = 6.366.629,0472 m K = 0,999972594

49


DE = 1.840,1489 m

XVIII = 0,012345208

3.4 - Azimute geodsico

AZG

Clculo da Convergncia Meridiana

Para o ponto A

N = 6.816.018,279E = 673.251,614

C = - 0 51 15,9294

Clculo da convergncia meridiana j visto nesta publicao

Clculo da reduo angular

AB = N x ( 2 EA + EB ) x XVIII x 6,8755 x 10 - 8

EA = 173.251,614EB = 174.259,867XVIII = 0,012345208

AB = 0,68 AZGAB = 32 22 16,2536

Nota:

Para calcular o contra azimute ( AZGBA ) utiliza-se a relao.

Figura 02

Determinao da " Baseline" (Vetor espacial entre dois pontos)

1 - Introduo

Nos levantamentos com tcnica GNSS so obtidas as coorde-nadas cartesianas X,Y,Z dos vrtices.

A baseline ou vetor espacial entre os vrtices corresponde a distncia inclinada medida com a estao total.

Quando a altura do instrumento for muito diferente da altura do prisma (diferena menor que 1 m) pode existir uma diferena na distncia inclinada da ordem de 1 cm. Em distncias maiores que 1 km, esta diferena fi ca na ordem de 5 mm ou menor. Se a altura do prisma for a mesma do instrumento a diferena obser-vada ser em funo da preciso da medida da distncia na es-tao total e preciso no posicionamento pela tcnica GNSS.

2 - Frmula utilizada

Quando as coordenadas cartesianas no forem disponibiliza-das, estas podem ser obtidas a partir das coordenadas geod-sicas Lat/Long (visto no item transformao do sistema geod-sicas desta edio).


X1 = 3.462.214,62329 mY1 = - 4.307.187,58971 mZ1 = - 3.174.089,60075 m

X2 = 3.462.098,77476 m Y2 = - 4.306.999,51715 mZ2 = - 3.174.343,62616 m

Vetor = 336,63196 m

Que corresponde distncia inclinada medida com estao to-tal.

50

Determinao do Kr1 - Determinao do Kr

Kr o coefi ciente de transformao da distncia plana UTM em distncia horizontal local (distncia topogrfi ca).

Frmula utilizada:

Onde:

Rm = Raio mdio no elipside;Hm = Altitude ortomtrica mdia;MC = Meridiano central; a = Raio equatorial; f = Achatamento do elipside; e = Primeira excentricidade;DH = Distncia horizontal (topogrfi ca);DUTM = Distncia plana UTM;M = Latitude mdia; M = Longitude mdia.


Coordenadas do vrtice base (Datum SAD 69)

= -0 58 39,83608 S = 0,97773224 S = -47 06 54,18938 W = 47,11505261 W H = 30,00 m (Altitude do plat)

Coordenadas do vertice M011

= 0,979492576 S = 47,11714308 W

Coordenadas do ponto mdio

= 0,978612408 S = 47,116097845 W

Determinao de K

Para o sistema UTM

Ko = 0,9996MC = 45 (meridiano central)

K = 1,000281934

Determinao de Rm

Primeira excentricidade

Para o elipside UGGI 67 Datum SAD 69

f = 1/298,25a = 6.378.160,000 e = 0,006694541854

Aplicando na frmulaRm = 6356787,132 m

Determinao do Kr

Kr = 1,000277214

Figura 04 representao grfi ca das distnciaOnde:

DH = Distncia horizontal; Distncia topogrfi ca.DI = Distncia inclinada;DN = Distncia geoidal. Nvel do mar;DE = Distncia elipsoidal; Superfcie da elipside.DP = Distncia plana UTM.

Sistema de Coordenadas Planas UTM - Apostila

Documents

Transcript of Sistema de Coordenadas Planas UTM - Apostila

Sin título de diapositivactig/documentos/Integracion_SIG_GPS.pdf · 0.2 Tipos de sistemas de coordenadas. (4) Planas Coordenadas cartesianas (x, y): Distancias a las transformadas

Coordenadas UTM Referencia: nada-utm

Manual de Usuario - marketing.totalcad.com.brmarketing.totalcad.com.br/suporte/mdt/manual_mdt.pdf · transformação de coordenadas em UTM e geográficas. 10. A partir de um arquivo

Aula 3 [Modo de Compatibilidade] - graltec.comgraltec.com/downloads/curso_geo/aula3.pdf · SISTEMA DE COORDENADAS A utilização de coordenadas UTM em imóveis situados em mais de

Ciências Cartográficas · dado pelas coordenadas ... 1/25.000 UTM 730x 730 189 km2 1/50.000 UTM 15x 756 km2 1/100.000 UTM 30x 30 3025 km2 1/250.000 UTM 1° 30x 1° 18150 km2 1/500.000

QGIS 2.4 - Processamento Digital · sirgas 2000 / utm zone 24s 31984 sirgas 2000 / utm zone 25s 31985 sistema de referÊncia (src) datum horizontal cÓdigo epsg sistemas de coordenadas

Representação de dados espaciais. · Dados espaciais Mapas 2D Cartesianos: ( , ) Mapas em coordenadas esféricas Geográficos: (𝜆,𝜙) Projeções (Mercator, UTM, Ortográfica,

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - twiki.ufba.br · DIAGNÓSTICO AMBIENTAL DA ÁREA DE PRESERVAÇÃO ... outorga de direito de recursos ... localizada nas coordenadas UTM 389680mE e

Sistema Geodesico Sistema UTM v2files.profricardoferreira.webnode.com/.../Sistema_UTM_prof...UFV.pdf · As coordenadas geográficas que são angulares não são ... Y. S u p e r f

m. · Santa Cecília ffi a gleba mais bem identificada na Planta e Memorial ... com coordenadas UTM Este ... (Usucapião proc. 0132906-72.2000.8 ...

0 Guaíbe 0 4 2 0 4 2 - SIGAM/SIMA/CETESB · Nota: sobre a malha de coordenadas UTM - SIRGAS 2000 está indicado em cinza, a malha referênciada ao mesmo Datum em coordenadas geográficas.

ANÁLISE COMPARATIVA DE COORDENADAS PLANAS UTM …semanaacademica.org.br/system/files/artigos/gomes_d_s_0.pdf · coordenadas são obtidas em relação a dois ou mais pontos de ...

A Projeção Geodésica de Gauss e as Coordenadas UTM

Estatísticas de Grupo – Somatório de Áreas · Figura 04. QGIS 2.4: Região de Interesse no Sistema de Coordenadas Planas UTM. 4. QGIS 2.4: Estatísticas de Grupo – Somatório

ANÁLISE COMPARATIVA DE COORDENADAS PLANAS UTM … · 1 anÁlise comparativa de coordenadas planas utm obtidas com posicionamento por satÉlites com o uso de receptor gnss geodÉsico

- Jorj.-t - ANTAQportal.antaq.gov.br/wp-content/uploads/2017/06/Escritura_da_area_MADECON.pdf · MS coordenadas planas UTM E 398045.163777 s N 5033677.3306!,lp,fe l|#%ÍS dem.sw«nit;,.

Projeção UTM · Qual a importância do estuda das projeções UTM na Engenharia? Em projetos de engenharia, é essencial que se aplique um sistema de coordenadas ortogonal;

14 TOPOGRAFIA1 COORDENADAS UTM REV1.ppt [Modo de ... · regiões polares. Projeção Cartográfica Cônicas Projeções Cônicas: Na projeção cônica, a superfície terrestre e

Diário Oficial - 200.238.105.211200.238.105.211/cadernos/2020/20200613/1... · Memorial Descritivo com coordenadas dos vértices das referidas APPs, em projeção UTM SIRGAS 2000

Localização: coordenadas planas – UTM