Sistema de numeração

AULA 2

Organização e Arquitetura de

Computadores

Professor:

Marcelo Vianello (MsC.)

Objetivo da Aula

Apresentar os conceitos dos Sistema de Numeração,

destacando o sistema decimal, binário, octal e

hexadecimal

Conteúdo Geral da Aula

1. Introdução

2. O Sistema Binário de Numeração

3. O Sistema Octal de Numeração

4. O Sistema Hexadecimal de Numeração

1. Introdução

O homem, através dos tempos, sentiu a necessidade da utilização de sistemas numéricos. Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam: O sistema decimal;

O sistema binário;

O sistema octal;

E o sistema hexadecimal.

1. INTRODUÇÃO

SISTEMA DE NUMERAÇÃO

O sistema decimal é utilizado por nós no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui 10 (dez) algarismos, com os quais podemos formar qualquer número através da lei da formação. Os outros sistemas (binário, octal e hexadecimal) são importantes nas áreas de técnicas digitais e informática.

1. INTRODUÇÃO


2. O Sistema Binário de Numeração

No sistema binário de numeração, existem apenas dois (02) algarismos. São eles: O algarismos “0” (zero) e

O algarismo “1” (um)

2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO


Informação Importante. Se não possuímos o algarismo 2 nesse sistema, como devemos representá-lo? No sistema decimal, não possuímos o algarismo “dez”, e representamos a quantidade de uma dezena utilizando o algarismo “1”, seguido do algarismo “0”. Neste caso, significará que temos um grupo de uma dezena e o algarismo “0” nenhuma unidade, o que significa “dez”. No sistema binário é a mesma coisa. Agimos da mesma forma. Para representarmos a quantidade “dois”, utilizamos o algarismo “1” seguido do algarismo “0”. O algarismo 1 significará que temos um grupo de “dois” elementos e o “0” o grupo de nenhuma unidade, representando assim o número “dois”.





Cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digit). O conjunto de 4 bits é denominado de nibble e um conjunto de 8 bits corresponde a um byte ou octeto (Binary Term – muito utilizado para especificar o tamanho ou a quantidade de memória e a capacidade de armazenamento de um determinado dispositivo). Termo bastante utilizado na área de informática.

2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL


Para explicar a conversão, vamos utilizar como exemplo, o número decimal 594. Este número significa o seguinte: Esquematicamente, temos:

(5 x 100) + (9 x 10) + (4 x 1) = 594

centena dezena unidade

(5 x 102) + (9 x 101) + (4 x 100) = 594

100 10 1

5 9 4

102 101 100

5 9 4

Utilizando o conceito básico de formação de um número, podemos obter a

mesma equivalência, convertendo assim o número binário para o sistema

decimal.



Para explicar a conversão do sistema binário para o sistema decimal,

vamos utilizar como exemplo, o número binário 1012.

22 21 20

1 0 1 (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 5 =

Portanto, o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10.

Para melhor identificação do número, colocaremos como índice, a

base do sistema ao qual o número pertence. Para o nosso exemplo,

podemos escrever: 510 = 1012



Seguindo o exemplo acima, façam a conversão do sistema binário para o

sistema decimal:

a) 10012

b) 011102

c) 10102

d) 11001100012

e) 10112

f) 111112

22 21 20

1 0 1 (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 5 = Exemplo:



a) 10012

b) 011102

c) 10102

d) 11001100012

e) 10112

f) 111112

(1 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) (1 x 20) = 910

(1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) (0 x 20) = 1410

(1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) = 1010

(1 x 29) + (1 x 28) + (1 x 25) + (1 x 24) + (1 x 20) = 512+256+32+16+1 = 81710

(1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) = 1110

(1 x 24) + (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) = 3110

2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO


Veremos agora a conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário.

Para este tipo de conversão, basta você dividir o número decimal por 2,

conforme demonstrado no exemplo a seguir, com o número decimal 47.

47 2

23 1 1º resto 2

11 1 2

5 1 2

2 1 2

1 0

2º resto

3º resto

4º resto

5º resto

6º resto

4710 1011112 =



4710 1011112 =

O último quociente será o algarismo mais

significativo e ficará colocado à esquerda.

Os outros algarismos seguem na ordem até

o 1° resto.

O bit menos significativo de um número

binário recebe a notação de LSB (Least

Significant Bit) e o bit mais significativo de

MSB (Most Significant Bit)

(MSB)

(LSB)



Façam as conversões dos números decimais mencionados abaixo, para o

para o sistema binário, utilizando o método das divisões sucessivas.

a) 400

b) 21

c) 552

d) 715

e) 27

f) 45

g) 28

2.3 CONVERSÃO NÚMEROS BINÁRIO FRACIONÁRIOS EM DECIMAIS


Seguindo o mesmo método apresentado anteriormente, só que agora, utilizando um

número decimal fracionário qualquer, por exemplo, o número 10,5 e, aplicando a regra

básica de formação de um número, temos:

101 100 10-1

1 0 5 (1 x 101) + (0 x 100) + (5 x 10-1) = 10,5 =

Para números binários, agimos da mesma forma. Vamos transformar em decimal o

número 101,1012.

(1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) + (1 x 2-1) + (0 x 2-2) + (1 x 2-3) =

=

22 21 20

1 0 1 1 1 0

2-1 2-2 2-3

4 + 0 + 1 + 0,5 + (0 x ¼) + (1 x 1/8) = 5,62510 = 101,1012

=

2.3 CONVERSÃO NÚMEROS BINÁRIO FRACIONÁRIOS EM DECIMAIS


Façam a conversão dos números binários mencionados abaixo, para o

sistema decimal.

a) 1010,11012

b) 111,0012

c) 100,110012

2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS


Vamos tomar como exemplo, o número decimal fracionário 8,375 e convertê-

lo para binário.

Este número significa: 8 + 0,375 = 8,375

1º Passo: Transformar a parte inteira do número, como já vimos

anteriormente:

8 2

4 0 2

2 0 2

1 0

MSB

LSB

810 = 10002



2º Passo: Transformar a parte fracionária, que consiste na multiplicação

sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, até atingir zero. O

número fracionário convertido será composto pelos algarismos inteiros

resultantes tomados na ordem das multiplicações. Teremos então:

0,375

x 2

-------

0,75

x 2

-------

1,5

Parte fracionária

Base do sistema

1° algarismo

2° algarismo Quando atingirmos o número 1, e a parte após a virgula não for nula,

separamos esta última e reiniciamos o processo:

0,5

x 2

-------

1

O processo para aqui, pois a parte do número depois da vírgula é nula.

3° algarismo



Para finalizar a conversão, efetuamos a composição da parte inteira com a fracionária,

ficando da seguinte forma:

8,37510 = 1000,0112

Façam a conversão dos números decimais fracionários abaixo para o sistema

binário:

a) 4,810

b) 0,62510

c) 3,38010

Exercícios


Faça a conversão do número decimal fracionário 4,810, para o sistema binário.

1. Passo: Transformar a parte inteira do número 410

410 = 1002

2. Passo: Converter a parte fracionária utilizando a regra já aplicada.

a) 0,8 x 2 = 1,6

b) 0,6 x 2 = 1,2

c) 0,2 x 2 = 0,4

d) 0,4 x 2 = 0,8

Podemos notar que o número 0,8 tornou a aparecer. Se continuarmos o processo,

teremos a mesma sequência já vista até aqui. Um caso equivalente a uma dízima. Temos

então:

Logo: 4,810 = (100,1100110011001100...)2

0,810 = (0,1100 1100 1100...)2 Sequência

calculada

Repetições



a) 0,625 x 2 = 1,250

b) 0,250 x 2 = 0,5

c) 0,5 x 2 = 1 (verdadeiro)

Logo, dizemos que (0,625)10 = (0,101)2



1) 0,38 x 2 = 0,76

2) 0,76 x 2 = 1,52

3) 0,52 x 2 = 1,04

4) 0,04 x 2 = 0,08

5) 0,08 x 2 = 0,16

6) 0,16 x 2 = 0,32

7) 0,32 x 2 = 0,64

8) 0,64 x 2 = 1,28

9) 0,28 x 2 = 0,56

1. Passo: Transformar a parte inteira do número 310

310 = 112

2. Passo: Converter a parte fracionária utilizando a regra já aplicada.

Neste caso, temos:

0,0110000102 = 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-8 = 0,3789062510

Observação: Se aproximarmos o número decimal em duas casas,

teremos 0,38, logo, para uma precisão de duas casas decimais é

suficiente que tenhamos seguido o método até aí.

0,3810 = 0,011000012 .: 3,3810 = 11,0110000102

3. O Sistema Octal de Numeração

3.1 O SISTEMA OCTAL DE NUMERAÇÃO


O sistema octal de numeração é um sistema de base 8 no qual existem 8 algarismos

assim enumerados:

0, 1, 2, 3, 4 ,5 6 e 7

3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL


Para convertermos um número octal em decimal, utilizamos o conceito básico de

formação de um número, conforme já visto.

Vamos converter o número 1448 em decimal:

82 81 80

1 4 4 (1 x 82) + (4 x 81) + (4 x 80) = 64 + 32 + 4 = 10010 =

.: 1448 = 10010

3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL


Converta os números abaixo em decimal.

a) 778

b) 1008

c) 4768

d) 218

e) 358

3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL


O processo é análogo do sistema decimal do sistema binário. Só que neste

caso utilizaremos a divisão por 8, por ser o sistema octal, sua base é igual a

8.

Exemplo: Convertendo o número 9210 para o sistema octal.

92 8

11 4 8

1 3 9210 = 1348

3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL


Converta os números decimais abaixo para o sistema octal.

a) 7410

b) 51210

c) 71910

3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO


Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a

regra prática descrita abaixo.

Tomemos como exemplo o número octal 278. A regra consiste em transformar

cada algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando o

número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8.

Desta forma, teremos:

2 7

010 111



Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a regra prática

descrita abaixo.

Tomemos como exemplo o número octal 278. A regra consiste em transformar cada

algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando o número

padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8. Desta forma,

teremos:

2 7

010 111



Converta os números octais em binários:

a) 348

b) 5368

c) 446758

d) 578

e) 258

f) 118

g) 728

4. O Sistema Hexadecimal de Numeração

4.1 O SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO


O Sistema hexadecimal possui 16 algarismos, sendo sua base igual a 16. Os

algarismos são assim enumerados:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F

Notamos que a letra “A” por sua vez representa a quantidade dez. A letra “B”

que representa a quantidade onze, e assim sucede até a letra F, que

representa a quantidade quinze.

Este sistema é muito usado na área de microprocessadores e também no

mapeamento de memoria em sistemas digitais, sendo aplicado em projetos

de software e hardware.

4.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O SISTEMA DECIMAL


A regra de conversão é análoga à de outros sistemas, somente que neste

caso a base é 16.

Exemplo: Converta o número 3F16 em decimal.

161 160

3 F (3 x 161)+ (15 x 160) = 6310 =

Sendo F16 = 1510

4.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O SISTEMA DECIMAL


Converta os números hexadecimal para decimal:

a) 1C316

b) 23816

c) 1FC916

4.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL


Da mesma forma como nos casos anteriores, esta conversão se faz através

de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido.

Exemplo: transformar o número 100010 em hexadecimal.

1000 16

62 8 16

3 14

100010 = 3E816

Sendo 1410 = E16

4.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL


Convertam os números decimais abaixo para o sistema hexadecimal.

a) 13410

b) 38410

c) 388210

4.4 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL


É análoga à conversão do sistema binário para octal, só que neste caso,

agrupamos de 4 em 4 bits para a esquerda.

Exemplo: Transforme o número 100110002 em hexadecimal.

1001 1000

9 8 .: 100110002 = 9816

4.4 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL


Converta para o sistema hexadecimal os números binários:

a) 11000112

b) 110001111000111002

4.5 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXA PARA O SISTEMA BINÁRIO


É análoga à conversão do sistema octal para binário, só que neste caso,

necessita-se de 4 bits para representar cada hexadecimal

Exemplo: Converter o número C1316 para o sistema binário:

C C16 = 1210

C = 1100 1 = 0001 3 = 0011

C1316 = 1100000100112

4.5 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXA PARA O SISTEMA BINÁRIO


Exercícios: Convertam os números abaixo para o sistema decima:

a) 1ED16

b) 6CF916

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