1

• Viga de ponte rolante industrial;• Capacidade útil da ponte: 60 kN (6 tf);• Vão simplesmente apoiado de 15 m;• Apoios sobre consolos de concreto,

sobre almofada de neoprene e fixação com chumbadores de aço inox;

• Ações: peso próprio, peso dos trilhos, carga móvel da ponte (conforme dados do fabricante). Esforços horizontais desprezíveis.

2

• Sistema de protensão: pré-tração em pista e transferência da força de protensão ao concreto por aderência inicial

3

• Pista de fabricação de 200 m;• Fôrmas de aço articuladas;• Pré-tração com macaco hidráulico

monocordoalha;• Ancoragem das cordoalhas por meio de

cunhas tripartidas e porta-cunhas;• Transporte do concreto proveniente da

central por pórtico rolante/caçamba e lançamento por tremonha;

• Adensamento por vibradores de imersão e motovibradores auxiliares nas paredes das fôrmas.

• Cura a vapor à pressão atmosférica (ciclo admitido, por hipótese)

75

23

Temperatura (ºC)

Tempo (horas)2 5 13 15

Tempode

espera

Aqueci-mento

Patamar de temperaturaconstante (8horas)

Resfria-mento

4

• Transporte interno à fábrica: por meio de pórticos e pontes rolantes, alças de içamento próximas aos apoios;

• Estocagem: empilhamento de no máximo 3 elementos (ou conforme experiência da fábrica), com calços de madeira próximos aos apoios definitivos;

• Transporte externo à fábrica: por meio de guindastes, com auxílio de balancins para não introduzir forças horizontais. Outros cuidados (choques, torções, etc.): conforme experiência da fábrica).

• Montagem e fixação dos elementos

(similar)

5

Concreto (valores admitidos para o dimensionamento)

• Observação geral: neste item a fábrica deverá estabelecer especificações de qualidade dos materiais a empregar, assim como os procedimentos de controle, objetivando alcançar a resistência e a durabilidade requeridas para o produto, de preferência como parte de um sistema mais abrangente de Garantia da Qualidade.

• Aos 28 dias: fck = 35 MPa; fctk = 2,25 MPa;Eci = 33.130 MPa;

• Na data de protensão: fcjk = 24 MPa; fctjk = 1,75 MPa• Controle de resistência: na data de protensão e

aos 28 dias

Aços (valores admitidos para o dimensionamento)

• Observação geral: os mesmos cuidados relativos ao controle de qualidade deverão ser tomados pela fábrica, como parte de um sistema de Garantia da Qualidade.

• Aço de protensão: cordoalhas de 7 fios/CP-190RB (fptk = 1.900 MPa; fpyk = 1.710 MPa; Ep = 200 GPa)

• Aço comum: barras e fios/CA-50 e telas soldadas/ CA-50 (fyk = 500 MPa; Es = 210 GPa)

6

Seção pelos chumbadores:Ac = 2.050 cm2

ycg = y1 = 44,6 cmy2 = - 50,4 cm Ic = 2.056.764 cm4

W1 = 46.068 cm3

W2 = - 40.846 cm3

Seção fora dos chumbadores:Ac = 2.344 cm2

ycg = y1 = 49,7 cmy2 = - 45,3 cm Ic = 2.488.560 cm4

W1 = 50.044 cm3

W2 = - 54.969 cm3

66,5 66,577 77113

70 70120

400

120

120

200220

105 190 105

Medidasem mm950

60

5.1- Carga permanente a) peso próprio: 0,2344 m2 x 25 = 5,86 kN/m ⇒ g1 = 5,86 kN/m

Mg1 = 16.481 kN.cm ⇒ 21

g11g1 cm

kN358,0WM

==σ

⇒ 22

g11g2 cm

kN403,0WM

−==σ

b) Trilho + assentamento dos trilhos trilho TR-25 = 0,25 kN/m argamassa assentamento: 0,12 kN/m ⇒ g2 = 0,37 kN/m

Mg2 = 1.041 kN.cm ⇒ 21

g22g1 cm

kN023,0WM

==σ

⇒ 22

g22g2 cm

kN025,0WM

−==σ

7

5.2- Carga móvel

a) Trem-tipo (dados do fabricante da ponte)

Mq = 39.330 kN.cm ⇒ 21

qq1 cm

kN854,0WM

==σ

⇒ 22

qq2 cm

kN963,0WM

−==σ

41 mm88

25

ep = y1 – d1 =44,6 – 4,1 = 40,5 cm

3,60 m

69 kN 69 kN

5.3- Excentricidade da força de protensão

6.1- Estimativa da força de protensãoGrau de protensão adotado ⇒ PROTENSÃO LIMITADA

Na borda inferior:σ1g1 + σ1g2 + Ψ2 σ1q +σ1p∞ = 0

Adotando-se Ψ2 = 0,4 ⇒ 0,358 + 0,023 + 0,4 x 0,854 +σ1p∞ = 0

⇒ σ1p∞ = - 0,723 kN/cm2

1

pest,

c

est,p1 W

e.PA

P ∞∞∞ +=σ

P∞,est = - 528,9 kN (VALOR A)

a) Combinação quase-permanente de ações

ep y1

y2

BS

BI σ 1g1

σ 2g1

-

+σ1g2

σ2g2

-

+σ1q

σ2q

-

+

σ 2p∞

+++

-σ 1p∞

=Ψ2

σ 1s

σ 2s

0

0,5 f ck

-+

8

Adotando-se Ψ1 = 0,6 ⇒ 0,358 + 0,023 + 0,6 x 0,854 +σ1p∞ =1,2 x 0,225 = 0,270

⇒ σ1p∞ = - 0,623 kN/cm2

1

pest,

c

est,p1 W

e.P

A

P ∞∞∞ +=σ

Portanto:

P∞,est= - 455,8 kN (VALOR B)

P∞,est= - 528,9 kN (maior valor absoluto entre A e B)

b) Combinação freqüente de ações

Na borda inferior:

σ1g1 + σ1g2 + Ψ1 σ1q +σ1p∞ = 1,2 ftk

ep y1

y2

BS

BI σ1g1

σ2g1

-

+σ1g2

σ2g2

-

+σ1q

σ2q

-

+

σ2p∞

+++

-σ1p∞

=Ψ1

σ1s

σ2s

1,5 ftk

ou1,2 ftk

0,5 fck

+ -

6.2- Cálculo da seção transversal da armadura ativa Admitindo perda total de ∆P∞(Pi→ P∞) = 25%:

2,70525,019,528

P1P

P est,est,i =

−=

∆−=

∞

∞ kN

Limitação de tensões na armadura ativa (aço CP-190RB): 0,77 fptk = 0,77 x 1.900 = 1.463 MPa = 146,3 kN/cm2

σpi ≤ 0,85 fpyk = 0,85 x 1.710 = 1.453 MPa = 145,3 kN/cm2

22

limpi,

esti,estp, mm 485 cm 4,85

145,3705,2

sP

A ====

Pela tabela de aço, escolhendo cordoalha de 7 fios/Φ 12,7 mm: Ap = Ap,ef = 5 cordoalhas X 98,7 mm2 = 493,5 mm2

9

6.3- Valores representativos da força de protensão 6.3.1- Força inicial Pi

Adotando a tensão máxima na armadura: σpi = 145,3 kN/cm2

Pi = Ap . σpi = 4,935 x 145,3 = 717,0 kN 6.3.2- Força ancorada Pa

a) perda por acomodação da ancoragem σpi = 1.453 MPa ⇒ εpi = 1.453 / 200.000 = 7,27 ‰ Comprimento da pista = 200 m = 200.000 mm Alongamento aproximado: 0,0727 x 200.000 mm = 1.453 mm

0,41%1.453mm6mm? Panc =≅

b) perda por retração inicial do concreto Desprezada tendo em vista a elevada umidade mantida durante a cura.

c) perda por relaxação inicial do aço de protensão

3,15%?0,765190145,3

fs

1000ptk

pi =⇒==

Na falta de dados sobre o comportamento da relaxação do aço sob altas temperaturas, admitiremos um “tempo fictício” proporcional à temperatura. (Obs.: este não é um procedimento consagrado, nem tem base científica)

h8,48h13C20C75t o

o

fic == ⇒ % 2,00100048,8??

0,15

1000cura =

=

d) perda total P i → Pa

∆P (Pi→ Pa) = 0,41 + 2,00 = 2,41 %

⇒ Pa = 0,976 x 717,0 = 699,7 kN

10

6.3.3- Força antes das perdas progressivas P0

6,0633200

EE

ac

pp ===

Tomando os dados da seção homogeneizada = seção bruta: 2

2

h

2pa

h

acp kN/cm 0,899

2.056.76440,5699,7

2.050699,7

I.eP

APs −=×−+−=+=

P0 = Pa + αp Ap σcp = -[699,7 + 6,06 . 4,935 . (-0,899)] = -672,8 kN

⇒ P0 = -672,8 kN

6.3.4- Força após as perdas progressivas P∞

a) Hipóteses para o cálculo dos coeficientes de retração e de fluência

Hipóteses assumidas: • Umidade relativa do ambiente média: 60% • Tipo de cimento: CP-V/ARI (Alta Resistência Inicial) • Slump = 5-9 cm (consistência plástica) • t0 = 7 dias (para cálculo da retração) • t0 = 21 dias (para cálculo da fluência)

b) Cálculo da retração final εcs∞

εcs,∞ = ε1s . ε2s

342

1s 100,402101590U

484U6,16e −− ×−=×

+−−=

γ = 1 + e (-7,8 + 0,1 U) = 1,165

uar = 3,02 m

m0,1583,020,205021,165

uA2har

cfic =

××=

⋅= ⋅γ

0,9440,15830,210,15820,33

h30,21h20,33

fic

fic2s =

×+×+

=⋅+⋅+

=ε

εcs,∞ = -0,402 x 10-3 x 0,944 = -0,379 x 10 -3

11

c) Cálculo do coeficiente de fluência φ∞ φ∞ = φa + φf∞ + φd∞

−⋅=φ

∞ )(tf)(tf10,8

c

0ca

6118/2003NBRconforme)(tf)(tf

c

0c −⇒∞

−⋅

== t281s

ck

jck,1 e

ff

ß

s = 0,20 (cimento ARI) t = t0 = 21 dias ⇒ β1 = 0,970 t = ∞ ⇒ β1 = 1,221

0,7941,2210,970

)(tf)(tf

c

0c ==∞

[ ] 0,1650,79410,8a =−⋅=φ

φf∞ = φ1c . φ2c

φ1c = 4,45 – 0,035 U = 2,35

615,1158,020,0158,042,0

h20,0h42,0

fic

ficc2 =

++

=+

+=φ

φf∞ = 2,35 x 1,615 = 3,795 φd∞ = 0,4 φ∞ = φ(∞, t0) = φa + φf∞ + φd∞ = 0,165 + 3,795 + 0,4 = 4,36 d) Comparação do coef. de fluência φ∞ com a retração final εcs∞ [-8.10 -5. φ∞] = - 0,349 x 10-3 εcs∞ = |-0,379 x 10-3| < 1,25 | x 0,349 x 10-3| Portanto, o cálculo simplificado das perdas pode ser efetuado.

12

e) Cálculo simplificado das perdas progressivas Para o caso de aço tipo RB:

)(3)t,(18,7

7,4.100 p0gc,1,07

0p

p0

rscp, σφασ

σ−⋅∞⋅+=

∆ ++

MPa8,65kN/cm0,8652.056.764

40,5672,82.050672,8

IeP

AP 2

2

c

2p0

c

0p0c, −=−=

×−+

−=

⋅+=σ

MPa3,25kN/cm0,3252.056.764

40,516.481I

eM 2

c

pg1g1c, ==

×=

⋅=σ

σc,p0g = -8,65 + 3,25 = -5,40 MPa

20,6%5,40)(34,3618,76,06

7,4100 1,07

p0

rscp, =+××+=⋅∆

σσ ++

∆P(P0→P∞) = 0,206 . P0 = 0,206 x (-672,8) = -138,6 kN P∞ = -672,8 +138,6 = -534,2 kN (lembrando que P∞,est = -528,9 kN ⇒ OK) ∆P(Pi→P∞) = 25,5%

f) Cálculo das perdas progressivas pelo método completo da NBR-6118/2003 • Relaxação do aço em t ∞

σpi / fptk = 0,765 ⇒ ψ1000 = 3,15 % ψ∞ = 2,5 ψ1000 = 2,5 x 3,15 = 7,87

• Coeficiente de fluência do aço em t∞ χ∞ = -ln [1 - ψ∞] = 0,082

• Outros coeficientes εcs∞ = -0,379 x 10-3 φ∞ = 4,36 Ep = 200.000 MPa αp = 6,06

σc,p0g = 5,40 Mpa MPa1.363kN/cm136,34,935672,8

APs 2

p

0p0 ====

χp = 1 + χ∞ = 1 + 0,082 = 1,082 χc = 1 + 0,5 . φ∞ = 1 + 0,5 x 4,36 = 3,18

2,6352.056.764

205040,51I.Ae

1?2

c

c2p =

×+=+= 0,00241

2.0504,935

AA?

c

pp ===

13

• Cálculo das perdas progressivas para t=∞

MPa274,2E

)t,(ppcp

p0p0gc,ppcs,0p =

⋅+⋅⋅−⋅−=∞ ρ⋅η⋅α⋅χ+χ

χ ∞∞∞ sfsaes?

∆P(P0→P∞) = 27,42 kN/cm2 x 4,935 cm2 = 135,3 kN (aproximado = 138,6 kN)

P∞ = 537,5 kN (ainda superior a P∞ ,est = -528,9 kN) g) Resumo dos valores representativos Pi = 717,0 kN ∆P = 2,41% Pa = 699,7 kN ∆P = 3,75% ∆Ptotal = 25,0% P0 = 672,8 kN ∆P = 18,87%

P∞ = 537,5 kN Considerando o cálculo completo

das perdas progressivas

7.1- Combinação 1: 0,8g1 + P0 (Combinação especial de transporte, sob supervisão)

σc,lim = -0,7 fcjk= -0,7 x 24 = -16,8 MPa = -1,68 kN/cm2

σt,lim = 1,2 ftjk= 1,2 x 1,75 = 2,1 MPa = 0,21 kN/cm2

7.2- Combinação 2: g1 + P0 (Combinação especial de estocagem ou repouso, sob supervisão) Não apresenta problema, tendo em vista a combinação anterior.

ep

BS

BI 0,358

-0,403

-

+

+

+0,339

-

-0,920

=

-0,634

+0,017

1,2 f tjk

0,7 f cjk

+

0,8 X

-

(0,8g 1) (P0) (transp.)

14

7.3- Combinação 3: g1 + g2 + P0 (Combinação de estado em vazio→ações permanentes) Este caso ficará entre a combinação anterior e a seguinte. 7.4- Combinação 4: g1 + g2 + P∞ (Combinação de estado em vazio→ações permanentes)

σc,lim = -0,5 fck= -0,5 x 35 = -17,5 MPa = -1,75 kN/cm2

σt,lim = 0

ep

BS

BI 0,358

-0,403

-

+

0,023

-0,025 -

+

+ +

+0,271

-

-0,735

=

-0,354

-0,157

0

0,5 fck

+

-

(g1) (g2) (vazio) (P∞)

7.5- Combinação 5: g1 + g2 + 0,4q + P∞ (Combinação quase-permanente) σc,lim = -0,5 fck= -0,5 x 35 = -17,5 MPa = -1,75 kN/cm2

σt,lim = 0

ep

BS

BI 0,358

-0,403

-

+

0,023

-0,025

-

+

0,854

-0,963

-

+

+0,271

+ + +

-

-0,735

= Ψ2

-0,012

-0,542

0,5 fck

+

-

0 (g 1) (g2) (0,4q) (P∞) (quase-permanente)

15

7.6- Combinação 6: g1 + g2 + 0,6q + P∞ (Combinação freqüente)

σc,lim = -0,5 fck= -0,5 x 35 = -17,5 MPa = -1,75 kN/cm2

σt,lim =1,2 ftk= 1,2 x 2,25 = 2,7 MPa = 0,27 kN/cm2

ep

BS

BI 0,358

-0,403

-

+

0,023

-0,025 -

+

0,854

-0,963

-

+

+0,271

+ + +

-

-0,735

= Ψ1

+

1,2 f tk

(g1) (g2) (0,6q) (P∞) +0,158

-0,735

0,5 fck

(freqüente)

-

+

7.7- Combinação 7: g1 + g2 + q + P∞ (Combinação rara) σc,lim = -0,5 fck= -0,5 x 35 = -17,5 MPa = -1,75 kN/cm2

σt,lim =1,2 ftk= 1,2 x 2,25 = 2,7 MPa = 0,27 kN/cm2

ep

BS

BI 0,358

-0,403

-

+

0,023

-0,025 -

+

0,854

-0,963

-

+

+0,271

+ + +

-

-0,735

=

+

limitação de abertura de fissuras

(g1) (g2) (q) (P∞) (rara)

+0,500

-1,120

0,5 fck

-

+

16

7.8- Armadura para absorver os esforços de tração e combater fissuração

Calculando a resultante do concreto tracionado: Rct y 254 kN

Armadura para resistir à resultante: 2

yd

ctfs cm8,18

1,1550

2541,4fRA =

×=

⋅=

γ

Armadura passiva: 7 Φ12,7 mm, na parte central da viga.

40

+

29,3 cm

12

12

5,3

7.9- Alternativa: considerar a própria armadura ativa (para absorver os esforços de tração e combater fissuração)

Rct = 254 kN

∆σp = Rct / Ap = 254 / 4,935 = 51,5 kN/cm2 (valor muito alto!!!)

Basta observar que: σp∞ = P∞ / Ap = 108,9 kN/cm2

σp∞ + ∆σp = 108,9 + 51,5 = 160,4 kN/cm2 > fpyd = 171 / 1,15 = 148,7 kN/cm2

Ou seja, a fissuração do concreto poderia levar a armadura ativa ao escoamento !!!

Portanto, é necessária a armadura passiva, o que traz alguns inconvenientes ao processo de produção. A seguir, vejamos uma proposta de redimensionamento.

17

Tendo em vista os problemas demonstrados anteriormente, opta-se pelo aumento da força de protensão e disposição de cordoalhas construtivas junto à mesa superior. Ap2 = 2 φ9.5 (CP-190RB) → 1,096 cm2

Ap1 = 6 φ15.2 (CP-190RB) → 8,40 cm2 Adotando os mesmos dados já calculados: Força inicial P1,i = 8,40 x 145,3 = 1.220,5 kN P2,i = 1,096 x 145,3 = 159,2 kN Força ancorada P1,a = 0,976 P1,i = 1.191,2 kN P2,a = 0,976 P2,a = 155,5 kN

ep2 = -46,4 cm

ep1 = 40,5 cm

Força antes das perdas progressivas Como temos agora cordoalhas em fibras distintas, temos que considerar o efeito mútuo entre elas: σp1,0 = σp1,a – (α11σp1,a + α12σp2,a)

σp2,0 = σp2,a – (α21σp1,a + α22σp2,a) onde:

⋅

+⋅αα =

h

h

pkpj

h

pkpjk

AI

ee1

AA

Fazendo os cálculos: α11 = 0,0654 α12 = -0,0028 α21 = -0,0217 α22 = 0,0102 Aplicando as expressões resulta: σp1,0 = 132,93 kN/cm2 ⇒ P1,0 = 1.116,6 kN σp2,0 = 143,51 kN/cm2 ⇒ P2,0 = 157,3 kN Força após as perdas progressivas Aplicando a formulação completa da NBR-6118/2003: ∆σp1,c+s+r = 356,6 MPa ⇒ ∆P1 = 26,8% ⇒ P1,∞ = 817,1 kN

∆σp2,c+s+r = 206,1 MPa ⇒ ∆P2 = 14,4% ⇒ P2,∞ = 134,7 kN

18

Verificação da situação de transporte: 0,8g1 + P0

Verificação da combinação rara: g1 + g2 + q + P∞

ep

BS

BI 0,358

-0,403

-

+

+

+0,562

-

- 1,526

=

-0,015

1,2 ftjk

+

0,8 X

(0,8g1) (P1,0)

-1,158

0,7 fcjk

-

(transp.) (P2,0)

-

- 0,255

+0,082

+

ep y1

BS

BI

-0,025

+ +

0,358

-0,403

-

+

(g1) 0,023

-

+

(g2) 0,854

-0,963

-

+

+

(q)

+0,412

-

- 1,117

+

+

(P1,∞) (rara) +0,188

-1,198

0,5 fck

-

+

-

+0,070 (P2,∞)

-0,219

1,2 ftk

As condições de protensão completa foram atingidas Como se vê, pelo redimensionamento, chegou-se a respeitar inclusive o grau de protensão completa, pois na combinação rara respeita-se o estado limite de formação de fissuras. Acréscimo de tensões na armadura ativa Calculando a resultante do concreto tracionado: Rct ≅ 48 kN

∆σp = Rct / Ap = 48 / 8,40 = 5,7 kN/cm2

σp∞ + ∆σp = 97,3 + 5,7 = 103,0 kN/cm2 < fpyd = 171/1,15 = 148,7 kN/cm2

Não há perigo da fissuração do concreto levar a armadura ativa ao escoamento

Em princípio, pela presente não é necessária a armadura passiva, mas é ainda preciso verificar o estado limite último.

1

9. Verificação das tensões ao longo do vãoProcesso das curvas limites

9.1. Situações a verificarEstado em vazio - situação de transporte: 0,8 g1 + P1,0 + P2,0

Estado em serviço - combinação rara: g1 + g2 + q + P1,∞ + P2,∞

=+ ++

+_

_

_

_

+P2,0

P1,0

P1,0 P2,00,8 g1

1,2 ftjk

0,7 fcjk

++ + ++ +

+

+

_ _

_

__P2,∞

P1,∞

g1 P1,∞ P2,∞ 1,2 f tk

0,5 f ck

g2 q

=

9.2. Determinação das curvas limites

2cklim,s2

2tklim,s1

2tjklim,v2

2cjklim,v1

m,1p2

2p2q22g21g2lim,s2s2

m,1p1

2p1q12g11g1lim,s1s1

m,10p2

20p21g2lim,v2v2

m,10p1

20p11g1lim,v1v1

cm/kN75,1MPa5,17355,0f5,0

cm/kN27,0MPa7,225,22,1f2,1

cm/kN21,0MPa1,275,12,1f2,1

cm/kN68,1MPa8,16247,0f7,0

CC

8,0C

8,0C

−=−=×−=−=σ

==×==σ

==×==σ

−=−=×−=−=σ

σ

σ−σ−σ−σ−σ=

σ

σ−σ−σ−σ−σ=

σ

σ−σ−σ=

σ

σ−σ−σ=

∞

∞

∞

∞

2

22p2

22p1

220p2

220p1

2m,1p2

2m,1p1

2m,10p2

2m,10p1

cm/kN219,0846.40

)4,46(7,134050.2

7,134

cm/kN070,0068.46

)4,46(7,134050.2

7,134

cm/kN255,0846.40

)4,46(3,157050.2

3,157

cm/kN082,0068.46

)4,46(3,157050.2

3,157

cm/kN412,0846.40

5,401,817050.2

1,817

cm/kN117,1068.46

5,401,817050.2

1,817

cm/kN562,0846.40

5,406,116.1050.2

6,116.1

cm/kN526,1068.46

5,406,116.1050.2

6,116.1

−=−

−×−+−=σ

=−×−+−=σ

−=−

−×−+−=σ

=−×−

+−

=σ

=−

×−+−=σ

−=×−+−=σ

=−

×−+−=σ

−=×−

+−

=σ

∞

∞

∞

∞

Seção Mg1 Mg Mq σ1g1 σ2g1 σ1g σ2g σ1q σ2q

0 16.481 17.522 39.330 0,358 -0,403 0,380 -0,429 0,854 -0,9631 15.822 16.821 39.744 0,343 -0,387 0,365 -0,412 0,863 -0,9732 13.844 14.718 36.018 0,301 -0,339 0,319 -0,360 0,782 -0,8823 10.548 11.214 28.152 0,229 -0,258 0,243 -0,275 0,611 -0,6894 5.933 6.308 16.146 0,129 -0,145 0,137 -0,154 0,350 -0,3955 0 0 0 0 0 0 0 0 0

C1v C2v C1s C2s Seção1,342 1,402 0,926 -0,338 01,335 1,379 0,920 -0,355 11,312 1,310 0,807 -0,701 21,275 1,195 0,586 -1,377 31,222 1,034 0,257 -2,382 41,155 0,827 -0,179 -3,716 5

3

-2

-1

0

1

20 1 2 3 4 5

Seções

Ten

sões

rel

ativ

as

C1vC2vC1sC2s

Interromper 2 (ou pelo menos 1) cabos a partir da seção 4

10. Verificação do ELU - Solicitações normaisP1,∞ = -817,1 kN P2,∞ = -134,7 kN

ep1 = 40,5 cm ep2 = -46,4 cmAp1 = 8,40 cm2 Ap2 = 1,096 cm2

10.1. Cálculo do pré-alongamento

+ =+ +

_

_

_

ep2

ep1

P2,∞

P1,∞

P1,∞ P2,∞ P1,∞ + P2,∞

σcp,1 σcp,2 σcp

4

( )

00068,400468,0

000.2040,81,786

EAP

kN1,7864,8739,0PP

kN4,8733,561,817107,140,806,61,817APP

cmkN107,1057,0050,1

cmkN057,0764.056.2

5,404,467,1342050

7,134I

eeP

AP

cmkN050,1764.056.2

5,401,8172050

1,817I

eP

AP

pp

ndpnd

npnd

cppp,1n

22cp1cpcp

2

c

1p2p,2

c

,22cp

22

c

21p,1

c

,11cp

==×

=⋅

=

=×=⋅=

=+=××+=⋅⋅+=

−=+−=+=

=×−×−+−=⋅⋅

+=

−=×−+−=⋅

+=

ε

γ

σα

σσσ

σ

σ

∞

∞∞

∞∞

10.2. Cálculo de MRd por tentativas

a) Supondo domínio 3 ou 4 e σpd,arb = fpyd = 1.487 MPa

=ep1

P2,∞

P1,∞

M+P2,∞.ep2

ep2

P1,∞

P2,∞

M

ep1

ep1

P2,∞

P1,∞

M+P2,∞.ep2

σpd

σcd εcd

εp1d

Rcc

Rpt

z

xy

d

5

σcd = 0,85 x fcd = 0,85 x 35 / 1,4 = 21,25 MPa e εcd = 3,5 ‰

b) Equação de equilíbrioP2d = Rcc - Rpt P2d= 1,2 x P2,∞ = 1,2 x 134,7 = 161,64 kN

Rcc= Acc. σcd = Acc x 2,125

Rpt= Ap1. σpd,arb = 8,40 x 148,7 = 1.249,08 kN

161,64 = Acc x 2,125 - 1.249,08 ⇒ Acc = 663,87cm2

Acc= 40.y y= 663,87 / 40 = 16,60 < 22cm⇒ expressão de Acc correta

x = y / 0,8 = 16,60 / 0,8 = 20,75 cm

22y

c) Equação de compatibilidadeεp1d = εcd.(d - x) / x = 3,5 x (90,9 -20,75) / 20,75 = 11,84‰ > 10‰

Hipótese de domínio 3 não está correta

d) Nova tentativa considerando agora domínio 2εp1d = 10‰ ⇒ εpd = εp1d + εpnd = 10 + 4,68 = 14,68‰

εpd = 14,68‰

⇒ σpd = 1.530 MPa

εcd < 3,5‰ e σcd ≤ 0,85 fcd = 2,125 kN/cm2

σp

εpyd = 7,435 35%o

εp

fptd = 1.652

fpyd = 1.487

Ep

εp d = 14,68

σpd = 1.530

6

e) Equação de equilíbrio

Supondo σcd,arb = 0,85 fcd = 2,125 kN/cm2 ⇒ Rcc= Acc x 2,125

Rpt= Ap1. σpd = 8,40 x 153,0 = 1.285,2 kN

P2d = Rcc – Rpt ⇒ 161,64 = Acc x 2,125 - 1.285,2⇒ Acc = 680,87cm2

Acc= 40.y ⇒ y= 680,87 / 40 = 17,02 cm < 22 cmx = y / 0,8 = 17,02 / 0,8 = 21,28 cm

f) Equação de compatibilidade

εcd = εp1d . x / (d - x) = 10 x 21,28 / (90,9 – 21,28) = 3,06‰

g) Tensão no concreto

εcd = 3,06‰ ⇒ σcd,calc = 0,85 fcd = 2,125 kN/cm2 = σcd, arb

h) Momento resistenteσcd = 2,125 kN/cm2 Acc= 680,87 cm2 Rcc= σcd.Acc = 1.446,8 kNσpd = 153,0 kN/cm2 Ap1= 8,40 cm2 Rpt= σpd.Ap1 = 1.285,2 kNP2d = 161,6 kNy = 17,02 cm z ≅ d – y / 2 = 90,9 – 17,02 / 2 = 82,39 cmMRd= Rcc.(z - 40,5) + Rpt. 40,5 = 112.657 kN.cm

ou MRd= Rcc.z - P2d. 40,5 = 112.657 kN.cm

10.3. Verificação da segurançaMSd + P2d.ep2 ≤ MRd = 112.657 kN.cm

MSd = 1,4.(Mg1 + Mg2 + Mq) = 1,4.(16.481 + 1.041 + 39.330) == 79.593 kN

P2d.ep2 = 161,6 x 46,4 = 7.498 kN.cmMSd + P2d.ep2 = 79.593 + 7.498 = 87.091 kN.cm < MRd

Portanto a segurança está verificada.

7

11. Verificação do ELU – Força cortante

11.1- Cálculo da força cortante máxima

Vg = (5,86 + 0,37) . 15 / 2 = 46,73 kN

Vq = 69,0 . (1,00 + 0,76) = 121,44 kN(pela linha de influência da força cortante no apoio)

VSd = 1,4 . (46,73 + 121,44) = 235,44 kN

11.2- Verificação da compressão diagonal do concreto

VRd2 = 0,27. αv2 . fcd . bw . d

αv2 = (1 – fck / 250) = (1 – 35 / 250) = 0,86fcd = 35 / 1,4 = 25 MPa = 2,5 kN / cm2

bw = 12 cmd = 90,9 cm

VRd2 = 0,27 x 0,86 x 2,5 x 12 x 90,9 = 633 kN

VSd < VRd2 verificação satisfeita

8

11.3- Cálculo da armadura transversal (estribos)

VSd ≤ Vc + Vsw ⇒ Vsw = VSd – Vc

Vc = Vc0 . (1 + M0 / MSd,máx.) ≤ 2 . Vc0

Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d

fctd = 2,25 / 1,4 = 1,61 MPa = 0,161 kN / cm2

Vc0 = 0,6 x 0,161 x 12 x 90,9 = 105,37 kN

Cálculo de M0 :

+⋅−

+⋅−=⇒=+

+⋅+

+⋅

=σ

+⋅=σ

+⋅=σ

=σ+σ+σ

2pc

1d21p

c

1d10

1

0

1

2p

cd2

1

1p

cd1

1

0M1

1

2p

cd22p1

1

1p

cd11p1

M12p11p1

eAW

PeAW

PM0WM

W

e

A1P

W

e

A1P

WM

We

A1

PWe

A1

P

0

0

0

+ =+

_

_

+_

_

+ep1

ep2

P1d

P2d M0

σ1p1 σ1p2 σ1M0 = 0

( ) ( )

cm.kN514.41789.2303.444,46050.2068.46

55,1165,40050.2068.46

53,703M

kN55,1165,1299,0P9,0PkN53,7037,7819,0P9,0P

0

,2d2,1d1

=−=

−⋅+

+⋅=

−=−×=×=−=−×=×= ∞∞

9

MSd,máx. = 1,4 (Mg1 + Mg2 + Mq) = 79.593 kN.cm

Vc = Vc0 . (1 + M0 / MSd,máx.) == 105,37 x (1 + 41.514 / 79.593) = 160,33 kN (< 2.Vc0)

Vsw = VSd – Vc = 235,44 – 160,33 = 75,11 kNVsw = (Asw / s). 0,9 . d . fywd ⇒ s = Asw . 0,9 . d . fywd / Vsw

Estribos de φ 6,3 mm e 2 ramos ⇒ Asw = 0,64 cm2

Aço CA-50 ⇒ fywd = 435 MPa = 43,5 kN / cm2

s = 0,64 x 0,9 x 90,9 x 43,5 / 75,11 = 30 cm