SISTEMA POR UNIDADE (P.U.) - eletrica.ufpr.br · COMPONENTES SIMÉTRICAS •Uma das melhores...

COMPONENTES SIMÉTRICAS


• Uma das melhores ferramentas para lidar com circuitos polifásicos desbalanceados é o método das componentes simétricas introduzido por C. L. Fortescue;

• Neste trabalho Fortescue prova que um sistema desiquilibrado de n fasores pode ser representado por n sistemas de fasores equilibrados;


• Sendo os n fasores dos sistemas equilibrados iguais em módulo, e com diferença angular igual entre fasores adjacentes;

• Portanto, três fasores desiquilibrados de um sistema trifásico podem ser substituídos por três sistemas equilibrados de fasores;


• Os conjuntos equilibrados de componentes são (para o caso trifásico):

1. Componentes de sequência positiva: 3 fasores iguais em módulo defasados de 120o com a mesma sequência dos originais;

2. Componentes de sequência negativa: 3 fasores iguais em módulo e defasados de 120o com sequência oposta aos originais;


3. Componentes de sequência zero: 3 fasores iguais em módulo e com defasagem nula;

Representação gráfica das componentes simétricas


• Sendo que: 𝑉𝑎 = 𝑉𝑎

+ + 𝑉𝑎− + 𝑉𝑎

0 𝑉𝑏 = 𝑉𝑏

+ + 𝑉𝑏− + 𝑉𝑏

0 𝑉𝑐 = 𝑉𝑐

+ + 𝑉𝑐− + 𝑉𝑐

0

• E das imagens temos: 𝑉𝑏

+ = 𝛼2 ∙ 𝑉𝑎+

𝑉𝑏− = 𝛼 ∙ 𝑉𝑎

−

𝑉𝑏0 = 𝑉𝑎

0


• E das imagens temos (continuação): 𝑉𝑐

+ = 𝛼 ∙ 𝑉𝑎+

𝑉𝑐− = 𝛼2 ∙ 𝑉𝑎

− 𝑉𝑐

0 = 𝑉𝑎0

• Nas quais: 𝛼 = 1∠120𝑜 = −0,5 + 𝑗0,866

𝛼2 = 1∠240𝑜 = −0,5 − 𝑗0,866 𝛼3 = 1∠360𝑜 = 1

𝛼 + 𝛼2 + 1 = 0


• Logo, podemos substituir estas relações e obter:

𝑉𝑎 = 𝑉𝑎

+ + 𝑉𝑎− + 𝑉𝑎

0 𝑉𝑏 = 𝛼2 ∙ 𝑉𝑎

+ + 𝛼 ∙ 𝑉𝑎− + 𝑉𝑎

0 𝑉𝑐 = 𝛼 ∙ 𝑉𝑎

+ + 𝛼2 ∙ 𝑉𝑎− + 𝑉𝑎

0


• Na forma matricial:

𝑉𝑎

𝑉𝑏

𝑉𝑐

=1 1 11 𝛼2 𝛼1 𝛼 𝛼2

∙𝑉𝑎

0

𝑉𝑎+

𝑉𝑎−

Tesões de fase

Matriz de transformação

“A”

Fasores de sequência


• Invertendo a matriz A:

𝐴−1 =1

3∙

1 1 11 𝛼 𝛼2

1 𝛼2 𝛼


• Logo, para decompor as tensões de fase (assimétricas) em seus componentes simétricos:

𝑉𝑎0

𝑉𝑎+

𝑉𝑎−

=1

3∙

1 1 11 𝛼 𝛼2

1 𝛼2 𝛼∙

𝑉𝑎

𝑉𝑏

𝑉𝑐


• Note que:

𝑉𝑎0 =

𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 + 𝑉𝑐

3

• Logo, caso 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 + 𝑉𝑐 = 0 , não existe componente de sequência zero!


• Para as correntes temos:

𝐼𝑎

𝐼𝑏

𝐼𝑐

=1 1 11 𝛼2 𝛼1 𝛼 𝛼2

∙𝐼𝑎

0

𝐼𝑎+

𝐼𝑎−

𝐼𝑎0

𝐼𝑎+

𝐼𝑎−

=1

3∙

1 1 11 𝛼 𝛼2

1 𝛼2 𝛼∙

𝐼𝑎

𝐼𝑏

𝐼𝑐


• Temos que: 𝐼𝑛 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐

• Mas:

𝐼𝑎0 =

𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐

3

• Logo: 𝐼𝑛 = 3𝐼𝑎

0 OBS: Quando não existe fio de retorno (neutro) as correntes de linha não possuem componentes de sequência zero!

EXEMPLO

• Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que flui para uma carga ligada em ∆ (delta) pela linha A é de 10 A. Tomando a corrente na linha A como referência e supondo que C seja a linha aberta, determine os componentes simétricos das correntes de cada fase.

EXEMPLO

A

B C

𝐼𝑎 = 10∠0𝑜 𝐴

𝐼𝑏 = 10∠180𝑜 𝐴

𝐼𝑐 = 0 𝐴

EXEMPLO

𝐼𝑎0

𝐼𝑎+

𝐼𝑎−

=1

3∙

1 1 11 𝛼 𝛼2

1 𝛼2 𝛼∙

𝐼𝑎

𝐼𝑏

𝐼𝑐

𝐼𝑎0

𝐼𝑎+

𝐼𝑎−

=1

3∙

1 1 11 𝛼 𝛼2

1 𝛼2 𝛼∙

10∠0𝑜

10∠180𝑜

0

𝐼𝑎0

𝐼𝑎+

𝐼𝑎−

=0

5,77∠ −30𝑜

5,77∠30𝑜 𝐴

EXEMPLO

𝐼𝑏

+ = 𝛼2 ∙ 𝐼𝑎+

𝐼𝑏+ = 5,7735∠ −150𝑜 𝐴

𝐼𝑏

− = 𝛼 ∙ 𝐼𝑎−

𝐼𝑏− = 5,7735∠150𝑜 𝐴

𝐼𝑎0 = 𝐼𝑏

0 = 𝐼𝑐0 = 0

𝐼𝑐

+ = 𝛼 ∙ 𝐼𝑎+

𝐼𝑐+ = 5,7735∠90𝑜 𝐴

𝐼𝑐

− = 𝛼2 ∙ 𝐼𝑎−

𝐼𝑐− = 5,7735∠ −90𝑜 𝐴

Exercício 1

Considere a sequência fasorial a seguir: 𝑉𝑎

𝑉𝑏

𝑉𝑐

=120∠0𝑜

380∠ −90𝑜

380∠90𝑜

Encontre as tensões de sequência positiva, negativa e zero para a fase A.

Resp: 𝑉𝑎

0

𝑉𝑎+

𝑉𝑎−

=40∠0𝑜

260∠0𝑜

180∠180𝑜

MODELAGEM DE ELEMENTOS DO SEP EM COMPONENTES SIMÉTRICAS

Geradores

• Os geradores sãos construídos para serem equilibrados, logo só geram tensão na sequência positiva;

• A impedância de sequência zero leva em conta a impedância de aterramento de centro- estrela e a sua impedância do gerador de sequência zero;

Geradores

𝐸𝑎+

𝑗𝑋𝑑+

𝐼𝑎+

𝑉𝑎+ 𝑗𝑋𝑑

−

𝑗𝑋𝑑0

3𝑍𝑛

𝑉𝑎− 𝑉𝑎

0

𝐼𝑎− 𝐼𝑎

0

Sequência Positiva Sequência Negativa Sequência Zero

G

1

1 1 1

Transformadores

• No caso dos transformadores, a representação na sequência zero muda de acordo com as ligações dos enrolamentos;

• A representação das sequências positiva e negativa não é modificada, permanecendo igual a vista com a modelagem em PU;

Linhas de transmissão

• Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos do sistema, apresentam reatância de sequência positiva com o mesmo valor da reatância de sequência negativa;

• A reatância de sequência zero das linhas é influenciada por grande número de variáveis (condutores, solo sob a linha, etc);

• De modo geral 𝑋𝐿0 = (2 𝑎𝑡é 5) ∙ 𝑋𝐿

+

Linhas de transmissão

Exemplo 2

Faça a representação unifilar da sequência zero do sistema a seguir:

Exemplo 2

Diagrama de sequência zero

Exercício 2

Considerando que a potência base do sistema abaixo é 10MVA e que todas as reatâncias já estão nas referidas bases. Para o sistema elétrico abaixo, desenhe o diagrama unifilar (ou sub-rede) de: a) sequência positiva; b) sequência negativa; c) sequência nula.

APLICAÇÃO PRÁTICA

• Os diagramas de sequência positiva, negativa e zero são utilizados para o cálculo de curto-circuito assimétrico no SEP;

• Como exemplo será analisado o caso de curto-circuito fase-terra nos terminais de um gerador a vazio;


𝐸𝑐

𝐸𝑎

𝐸𝑏

𝑗𝑋𝑑"

𝑗𝑋𝑑"

𝑗𝑋𝑑"

𝐼𝑐 = 0

𝐼𝑏 = 0

𝑉𝑐

𝑉𝑏

𝐼𝐴 𝑉𝑎 = 0

𝑍𝑛

Curto-circuito fase-terra com o gerador a vazio


• Para o cálculo da corrente de curto no caso de um curto-circuito fase-terra nos terminais de um gerador a vazio devemos montar os diagramas de sequência positiva, negativa e zero e conectá-los em série;

• Então calculamos a corrente por:

𝑖𝑎+ =

𝐸𝐹+

𝑍+ + 𝑍− + 𝑍0

• Sendo: 𝑍+ a impedância total do diagrama de sequência positiva; 𝑍− e 𝑍0 análogos a 𝑍+; e 𝐼𝐴 = 3 ∙ 𝑖𝑎

+


• Calculo o curto fase-terra para o diagrama a seguir quando a falta ocorre na barra 3, tendo os dados a seguir já nas bases adequadas:

– Gerador: operando a vazio com tensão 5% acima da nominal, 𝑋+ = 10%, 𝑋− = 15%, 𝑋0 = 5%, 𝑧𝑛 = 𝑗0,1 pu;

– Transformador: 𝑋𝑇 = 5%;

– LT: 𝑋+ = 𝑋− = 0,1 𝑝𝑢, 𝑋0 = 0,3 𝑝𝑢

1 2 3

j0,1 j0,05 j0,1

1 2 3

j0,15 j0,05 j0,1

1 2 3

j0,05 j0,05 j0,3

3zn = j0,3

𝑖𝑎+

𝑣𝑎+

𝑣𝑎−

𝑣𝑎0

𝑒𝑎+


𝑍+ = 𝑗0,1 + 𝑗0,05 + 𝑗0,1 = 𝑗0,25 𝑝𝑢 𝑍− = 𝑗0,15 + 𝑗0,05 + 𝑗0,1 = 𝑗0,3 𝑝𝑢

𝑍0 = 𝑗0,05 + 𝑗0,3 = 𝑗0,35 𝑝𝑢

𝑖𝑎+ =

𝐸𝐹+

𝑍+ + 𝑍− + 𝑍0

𝑖𝑎+ =

1,05

𝑗0,25 + 𝑗0,3 + 𝑗0,35= −𝑗1,667 𝑝𝑢

𝐼𝐴 = 3 ∙ 𝑖𝑎

+ = −𝑗3,5 𝑝𝑢

SISTEMA POR UNIDADE (P.U.) - eletrica.ufpr.br · COMPONENTES SIMÉTRICAS •Uma das melhores...

Documents

Transcript of SISTEMA POR UNIDADE (P.U.) - eletrica.ufpr.br · COMPONENTES SIMÉTRICAS •Uma das melhores...