Sistemas Complexos

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Sistemas Sistemas Complexos Complexos Sistemas Complexos & Mecânica Estatística Criticalidade Auto-Organizada (SOC) Dinâmica de terremotos e modelo OFC Carmen P. C. Prado Instituto de Física da USP Curso de Verão - janeiro /2002

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Sistemas Complexos. Sistemas Complexos & Mecânica Estatística Criticalidade Auto-Organizada (SOC) Dinâmica de terremotos e modelo OFC Carmen P. C. Prado Instituto de Física da USP Curso de Verão - janeiro /2002. Aula 1 - Sistemas Complexos. - PowerPoint PPT Presentation

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Sistemas Sistemas ComplexosComplexos

•Sistemas Complexos & Mecânica Estatística•Criticalidade Auto-Organizada (SOC)•Dinâmica de terremotos e modelo OFC

Carmen P. C. Prado

Instituto de Física da USP

Curso de Verão - janeiro /2002

Page 2: Sistemas Complexos

• No dia a dia, chamamos de “ complexocomplexo ” um sistema que

tem MUITOS COMPONENTESMUITOS COMPONENTES que INTERAGEMINTERAGEM

entre si e se comportam COLETIVAMENTECOLETIVAMENTE de forma

NÃO TRIVIALNÃO TRIVIAL..

• A área de pesquisa que hoje denominamos genericamente

“ Sistemas Complexos ” é um novo campo da ciêncianovo campo da ciência, de

caráter fortemente interdisciplinarinterdisciplinar, que estuda como as diversas partes de um sistema podem gerar padrões e

comportamentos coletivos - chamados emergentesemergentes - e como tal sistema afeta ou é afetado pelo meio que o cerca.

• Como as iterações locais levam a padrões coletivosComo as iterações locais levam a padrões coletivos..• Como podemos descrever tais sistemas / comportamentos.Como podemos descrever tais sistemas / comportamentos.• Como tais sistemas (redes) se formamComo tais sistemas (redes) se formam.

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• Problemas que são difíceis de resolver são, em geral, difíceis Problemas que são difíceis de resolver são, em geral, difíceis

de serem entendidos porque neles de serem entendidos porque neles causas e efeitos não causas e efeitos não estão obviamente relacionadosestão obviamente relacionados. Perturbar um sistema . Perturbar um sistema complexo “aqui” geralmente causa um efeito inesperado “lá” complexo “aqui” geralmente causa um efeito inesperado “lá” porque suas partes são interdependentes de uma forma não porque suas partes são interdependentes de uma forma não trivial.trivial.

• No estudo de sistemas complexos estamos interessados emNo estudo de sistemas complexos estamos interessados em

efeitos indiretosefeitos indiretos, ou seja, em comportamentos ou seja, em comportamentos macroscópicos e coletivos (como sincronismo e macroscópicos e coletivos (como sincronismo e

auto-organização) queauto-organização) que não podem ser inferidos não podem ser inferidos trivialmente das regras de interação entre as partestrivialmente das regras de interação entre as partes..

Page 4: Sistemas Complexos

• A compreensão de que o conhecimento do conhecimento do

funcionamento das partesfuncionamento das partes muitas vezes não não

é suficiente para explicar o comportamento é suficiente para explicar o comportamento

coletivocoletivo de vários sistemas levou ao

desenvolvimento de novos conceitos e novos conceitos e

metodologiasmetodologias que afetam todos os ramos da

ciência exatas, da engenharia, biologia e

mesmo ciências humanas.

Page 5: Sistemas Complexos

• A pesquisa envolvendo os sistemas complexos busca desenvolver novasnovas ferramentasferramentas que possibilitem entendê-los e descrevê-los.

Novos conceitos Ferramentas analíticas Simulações numéricasSimulações numéricas

• Mecânica EstatísticaMecânica Estatística fornece ferramentas importantes para estes

estudos

Page 6: Sistemas Complexos

Mas o que estuda a Mecânica Estatística?Mas o que estuda a Mecânica Estatística?

A MECÂNICA ESTATÍSTICAMECÂNICA ESTATÍSTICA estuda, quantitativamente, sistemas com sistemas com grande número de elementosgrande número de elementos (ou graus de liberdade), tais como os átomos ou moléculas de um sólido, líquido ou gás.

Embora as leis que governam a interação entre cada par de elementos desses sistemas possam ser bem compreendidas, o grande número de elementos e a complexidade das iterações que se estabelecem entre eles constitui, em geral,

um problema de enorme dificuldade.

Conexão entre mundo microscópico e macroscópico

Page 7: Sistemas Complexos

1. Problema de um corpo1. Problema de um corpo ...

SabemosSabemos como escreveescrever e integrarintegrar as equações de movimento!

221

002

2

)( tgtvxtxgdt

xd

Fdt

pd

Esquecendo do movimento da Terra ... m << MT

Uma bola caindo sob o Uma bola caindo sob o efeito da gravidadeefeito da gravidade

Page 8: Sistemas Complexos

• Também sabemos resolver o problema de dois corpos....Também sabemos resolver o problema de dois corpos....

No referencial do CM,

movimento se dá de forma que o momento e o momento angular do corpo 1, são iguais e opostos aos do corpo 2.

Leis de conservaçãoLeis de conservação

Conservação de momento + conservação de momento angular

O problema fica reduzido ao problema de um corpo...O problema fica reduzido ao problema de um corpo...

Page 9: Sistemas Complexos

3 corpos?3 corpos?

A estratégia falha porque não temos mais constantes de movimento !

Até hoje não existe uma “forma Até hoje não existe uma “forma fechada” para o problema de 3 fechada” para o problema de 3 corpos.corpos.

Page 10: Sistemas Complexos

E se temos 10E se temos 102323 partículas? partículas?

Esse número é tão grande que não dá nem para imaginar Esse número é tão grande que não dá nem para imaginar

escrevermos a equação de movimentoescrevermos a equação de movimento para cada partícula.para cada partícula.

Mesmo que o fizéssemosMesmo que o fizéssemos, Ninguém interpretaria o resultado! Ninguém interpretaria o resultado!

• Contribuições de Clausius, Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Contribuições de Clausius, Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Plank e muitos outros mostraram quePlank e muitos outros mostraram que é é exatamente o exatamente o número enorme de partículasnúmero enorme de partículas desses sistemas que permite desses sistemas que permite grandes simplificações , possibilitando um tratamento grandes simplificações , possibilitando um tratamento estatístico.estatístico.

MecânicaProbabilidades

MECÂNICA ESTATÍSTICAMECÂNICA ESTATÍSTICA

Page 11: Sistemas Complexos

TermodinâmicaTermodinâmica

Grandezas MicroscópicasGrandezas Microscópicas

Grandezas macroscópicas, como pressão, temperatura ou magnetização.

Idade média dos alunos desse auditórioIdade média dos alunos desse auditório

(a) somar todas as idades e dividir pelo número total de alunos (complicado se temos muitos alunos).

(b) se conhecemos a “distribuição de idades, isso é, quantos alunos tem “x” anos

(mais fácil se N é muito grande)

NjIN

I j ...,,1,1

max...,,1,1

kkInN

I kk

?Médias :

precisamos da “função de distribuição”“função de distribuição”

Page 12: Sistemas Complexos

max...,,1,1

kkInN

I kk

max...,,1, kkIN

nI k

k

N

nP kk

Probabilidade de um aluno ter

idade kSe soubermos calcular essas Se soubermos calcular essas probabilidades, podemos probabilidades, podemos calcular as médias!calcular as médias!

Page 13: Sistemas Complexos

HIPÓTESE FUNDAMENTAL DA MECÂNICA ESTATÍSTICAHIPÓTESE FUNDAMENTAL DA MECÂNICA ESTATÍSTICA

um sistema tem a mesma probabilidade de estar em qualquer uma de um sistema tem a mesma probabilidade de estar em qualquer uma de suas configurações microscópicassuas configurações microscópicas..

Em sistemas macroscópicos medimos, por exemplo, a sua energia totalenergia total.

Vamos supor um sistema de 2 partículas2 partículas, que podem ter 3 energias diferentes,

0, E0, E00 e 2E 2E00

Energia total = 2 EEnergia total = 2 E00

Duas partículas com energia E0

Duas partículas, com energias 2E0 e 0

Energia total = 2 EEnergia total = 2 E00

Page 14: Sistemas Complexos

Situação A - uma configuraçãoSituação A - uma configuração

Situação B - duas configuraçõesSituação B - duas configurações(distinguíveis)(distinguíveis)

Page 15: Sistemas Complexos

A A teoriateoria e as e as ferramentas matemáticasferramentas matemáticas desenvolvidas desenvolvidas através da Mecânica Estatística, para estudo de através da Mecânica Estatística, para estudo de sistemas tipicamente “físicos” (sólidos, gases, etc)sistemas tipicamente “físicos” (sólidos, gases, etc)tem sido importantes para o estudo dos chamados sistemas complexossistemas complexos

Modelagem e simulação numérica: Autômatos celulares, monte carlo, algoritmos genéticos Análise de séries temporais Fractais Teoria da percolação, caminhadas aleatórias Fenômenos críticos

É mais do que um conjunto de técnicas. É uma É mais do que um conjunto de técnicas. É uma maneira de olhar para o problema, típica da física.maneira de olhar para o problema, típica da física.

Page 16: Sistemas Complexos

Alguns ExemplosAlguns Exemplos

• Neurônios no cérebro;Neurônios no cérebro;

• Problemas de tráfico;Problemas de tráfico;

• Estratégia de busca e escolha;Estratégia de busca e escolha;

• Funcionamento do sistema Funcionamento do sistema

imunológicoimunológico;;

• Robótica e inteligência artificialRobótica e inteligência artificial;;

• Economia e mercado financeiroEconomia e mercado financeiro

• Sincronização de vaga-lumesSincronização de vaga-lumes

• Dinâmica de Terremotos Dinâmica de Terremotos

• AvalanchesAvalanches

• Teoria da evolução / Teoria da evolução /

envelhecimentoenvelhecimento

• Crescimento urbanoCrescimento urbano

• Abertura dos estomatosAbertura dos estomatos

• ProteínasProteínas

• Opiniões/ crenças / decisõesOpiniões/ crenças / decisões

• etc...etc...

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““El Farol”El Farol”“El Farol” é o nome de um bar que toda quinta-feira toca musica irlandesa.

A questão é: ir ou não ao bar?ir ou não ao bar? Só vale a pena ir se não Só vale a pena ir se não estiver muito cheio... estiver muito cheio...

• Melhor horário para voltar de um feriado prolongado...

• Que ações comprar ou vender...

Como saber com antecedência? Como cada um decide?Como cada um decide?

Page 18: Sistemas Complexos

Sempre os mesmos vão?

O bar hora está cheio, hora está vazio?

De que modo isso depende das estratégias de escolha individuais?

Flutua em torno da média (50)?

O problema não é trivialnão é trivial porque a melhor decisão não pode ser deduzida logicamente das informações (série temporal), e

depende da decisão dos outrosdepende da decisão dos outros .

Se todos tem Se todos tem uma estratégia de uma estratégia de decisão perfeita” decisão perfeita” ela falha !!!ela falha !!!

Você tem que evoluir sempre e ser criativo para Você tem que evoluir sempre e ser criativo para continuar no jogo !!!continuar no jogo !!!

Indução em vez de deduçãoIndução em vez de dedução

O que esperar do comportamento coletivo dos possíveis O que esperar do comportamento coletivo dos possíveis “fregueses”?“fregueses”?

Page 19: Sistemas Complexos

Estratégias de escolha:Estratégias de escolha:

• mesmo da última semana (= 35)mesmo da última semana (= 35)• média das últimas 4 semanas (= 39)média das últimas 4 semanas (= 39)• reflexão especular em torno de 50 ( = 65)reflexão especular em torno de 50 ( = 65)• mesmo que há duas semanas ( = 23)mesmo que há duas semanas ( = 23)

Público possível = Público possível = 100 pessoas100 pessoas

Lotação máxima Lotação máxima

= 60 pessoas= 60 pessoas

44, 78, 56, 15, 23, 67, 84, 34, 45, 76, 40, 56, 23, 35 ....44, 78, 56, 15, 23, 67, 84, 34, 45, 76, 40, 56, 23, 35 ....

Cada pessoa decide baseada em Cada pessoa decide baseada em informações sobre o que ocorreu nas informações sobre o que ocorreu nas semanas anteriores:semanas anteriores:

Todos atualizam suas estratégias de escolha, mantendo a que mais funcionouTodos atualizam suas estratégias de escolha, mantendo a que mais funcionou

Page 20: Sistemas Complexos

O sistema se auto-O sistema se auto-ajustaajusta, de forma que existe uma flutuação limite em em torno do número máximotorno do número máximo de pessoas (60, no caso).

A flutuação é “caóticacaótica”.

Desde que as regras não sejam todas iguais (ou muito óbvias)...

Page 21: Sistemas Complexos

Problemas nas Problemas nas células, defeitoscélulas, defeitos

etc...etc...Teorias Teorias

evolucionáriasevolucionárias

Existem seres vivos Existem seres vivos que não envelhecemque não envelhecem

(menos evoluídos)(menos evoluídos)

O processo de O processo de mutação / mutação / seleção naturalseleção natural “seleciona” “seleciona” o envelhecimento como o envelhecimento como uma característica boa para uma característica boa para a espéciea espécie

Page 22: Sistemas Complexos

Tabelas AtuariaisTabelas Atuariais

Taxa de sobrevivência S(x)Taxa de sobrevivência S(x)% de indivíduos na idade x

Taxa de mortalidade: M(x)Taxa de mortalidade: M(x)

fração de indivíduos que morrem entre a idade x e x+1

Se a população Se a população envelhece, a taxa de envelhece, a taxa de mortalidade varia com mortalidade varia com

a idadea idade..

idade (x) População óbitos M(x) S(x)

0 100.000 3.587 0,03587 100%1 96.413 233 0,00242 96%2 96.180 122 0,00127 96%3 96.058 88 0,00092 96%4 95.970 79 0,00082 96%

30 93.076 222 0,00239 93%40 90.343 356 0,00394 90%50 85.496 682 0,00798 85%

70 59.755 2.287 0,03827 60%

Tabela de vida da população brasileira, 1998Tabela de vida da população brasileira, 1998

Fonte: IBGEFonte: IBGE

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0

0,02

0,04

0,06

0 20 40 60 80

anos

mo

rta

lid

ad

e

Brasil

EUA

0

0,005

0,01

0 10 20 30

Curvas de mortalidade Brasil e Curvas de mortalidade Brasil e Estados Unidos Estados Unidos

Page 24: Sistemas Complexos

0

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

0 5 10 15 20 250

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

0 5 10 15 20 25

Modelos de simulação numérica mostraram que o o fator decisivo para o envelhecimentofator decisivo para o envelhecimento é a diminuição do efeito de seleção naturaldiminuição do efeito de seleção natural com a

idade, que é conseqüência da idade do início (e fim) da reprodução.

Page 25: Sistemas Complexos

Movimento Browniano e Movimento Browniano e caminhadas aleatóriascaminhadas aleatórias

Problemas de difusãoProblemas de difusão

Page 26: Sistemas Complexos

Caminhada aleatória não é um processo muito Caminhada aleatória não é um processo muito eficiente de se afastar de um ponto !eficiente de se afastar de um ponto !

Ndd

N

2

Se dou 25 passos, em média me Se dou 25 passos, em média me afasto 5 passos do ponto de afasto 5 passos do ponto de partida. partida.

Para dobrar a distância (10), Para dobrar a distância (10), tenho que quadruplicar o número tenho que quadruplicar o número de passos (100)de passos (100)

Page 27: Sistemas Complexos

Vôos de LevyVôos de Levy P

Caminhada aleatória Caminhada aleatória onde os passos onde os passos variam de tamanhovariam de tamanho

Vôo de LevyVôo de LevyRandom walkRandom walk

Page 28: Sistemas Complexos

Esta estratégia parece otimizar diversos Esta estratégia parece otimizar diversos fatores (tempo, energia gasta, etc...)fatores (tempo, energia gasta, etc...)

Outras aplicações:Outras aplicações:

Crescimento urbanoCrescimento urbano

Estratégias de busca em Estratégias de busca em geral ...geral ...

??Como buscar Como buscar alvos alvos distribuidos distribuidos aleatóriamentealeatóriamente