Sistemas de Controle 2Cap.9 – Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes

Pontifícia Universidade Católica de Goiás

Escola de Engenharia

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

AED Cap.8

• 8.8 – Lugar das Raízes Generalizado– Exercício de Avaliação 8.7

• 8.9 – Lugar das Raízes para sistemas com Retroação Positiva– Exercício de Avaliação 8.8

• 8.10 – Sensibilidade dos Pólos– Exercício de Avaliação 8.9

Data de entrega: dia da prova 2 - 08/04

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AED - Final do semestre

• Controle PID físico

Assistir vídeos:

Algoritmo PID: Básicohttps://www.youtube.com/watch?v=7BDjZYGHupE&feature=youtu.be

Arduino+PID

https://www.youtube.com/watch?v=txftR4TqKYA

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AED - Final do semestre

• Controle PID físico – apresentação dia 10/06

Construir uma aplicação com Controle PID

- Controle de temperatura

- Controle de posição

- Controle de luminosidade

- Controle de pressão

- Etc.

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Introdução ao Controle PID

Controle PID – Analógico com AmpOp

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Sistemas de Controle 2Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Cap.9 – Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes

9. Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes

9.1 Introdução

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

9.3 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação em Cascata

9.4 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória

9.5 Compensação por Retroação

9.6 Realização Física da Compensação

Bibliografia principal:

Engenharia de Sistemas de Controle – Norman S. Nise

9.1 Introdução

Através do ajuste do ganho podemos deslocar os pólos e então alterar: Resposta transitória Estabilidade do sistema

Contudo, através do ajuste de ganho estamos limitados ao lugar das raízes.

Aperfeiçoando a Resposta Transitória

O projeto de sistemas de controle em alguns casos podem ser melhorados se pudermos utilizar um ponto que está fora do lugar das raízes.

Exemplo:Ultrapassagem percentual e tempo de assentamento desejados estão em B.

Contudo, B não faz parte do lugar das raízes

9.1 Introdução

O ponto A apresenta o amortecimento e a ultrapassagem percentual desejada, contudo não pode fornecer o tempo de assentamento desejado.

O ponto B pode ser alcançado com outro sistema, contudo essa substituição pode ser cara e contraproducente.

Em vez de mudar o sistema existente, aumentamos, ou compensamos, o sistema com pólos e zeros adicionais de modo que o sistema compensado possua um lugar das raízes que passe pela localização desejada para o pólo, para algum valor de ganho

9.1 Introdução

Melhorar o Erro de Estado Estacionário

Utilidade dos compensadores:

Aperfeiçoar a Resposta Transitória

Muitas vezes o simples ajuste do ganho degrada o erro de estado estacionário ou a ultrapassagem percentual. Os compensadores permitem atender a todas especificações ao mesmo tempo.

Mover lugar geométrico das raízes para o local desejado.

• Resposta transitória Pode ser melhorada com a inserção de uma derivação.

• Erro de estado estacionário Pode ser melhorado com a inserção de um integrador.

• Aumento do ganho Reduz o erro de estado estacionário, porém aumenta ultrapassagem percentual.

Controle PID

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9.1 Introdução

Compensadores:

Compensadores ideais Utilizam integração ou derivação pura para melhorar a resposta do sistema. Implementados com estruturas ativas (gastam energia).

Usam amplificadores e fontes adicionais

Compensador ideal (ativo) (integração ou derivação pura)Vantagem:

Erro pode ser reduzido a zero.Desvantagem:

Gastam energia, usam amplificadores e fontes adicionais

Compensador sem integração ou derivação pura (passivo)Vantagem:

São passivos (usam resistores e capacitores).Mais baratos, não usam fontes adicionais.

Desvantagem: Erro de estado estacionário não é forçado a zero.

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Compensação Integral Ideal Controlador Proporcional-e-Integral (PI)

Sistema de Controle Proporcional

Suprimem o erro diretamente

Sistema de Controle Integral

Suprimem a integral do erro

Sistema de Controle Derivativo

Suprimem a derivada do erro

Compensador por atraso de fase Compensador em cascata que não usa integração pura

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Compensação Integral Ideal (PI)

O erro de estado estacionário pode ser melhorado posicionando-se um pólo a malha aberta na origem Aumenta o tipo do sistema

Exemplo:

Adicionando um pólo

Lugar das raízes não passa mais por A

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Compensação Integral Ideal (PI)

Adicionando um pólo na origem

Lugar das raízes não passa mais por A

Adicionando um zero próximo da origem

Tipo do sistema aumenta e o formato do lugar das raízes permanece praticamente o mesmo

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Compensação Integral Ideal (PI)

O erro de estado estacionário é melhorado sem afetar apreciavelmente a resposta transitória

Um compensador com um pólo na origem e um zero próximo ao pólo é chamado um compensador integral ideal

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Analisar sistema não compensado: Determinar localização dos pólos de segunda ordem dominantes. Calcular o erro de estado estacionário para u(t)

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

• Relação de amortecimento = 0,174• Cálculo da reta radial:

𝜃 = tan−11 − 0.1742

0.174

𝜃 = 79.97°

180° − 𝜃 = 100,02°𝜃

Calculando reta radial a partir da relação de amortecimento

𝜃 = tan−11 − 0.1742

0.174

𝜃 = 79.97°

180° − 𝜃 = 100,02°

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

• Relação de amortecimento = 0,174• Reta radial em 100,02°• Ponto de encontro: −0.694 ± 𝑗3.926 com K=164,6• Terceiro polo em -11.61• Kp=8,23

• Erro:

𝐾𝑝 =164,6

1𝑥2𝑥10= 8.23

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Queremos zerar este erro:

Adicionando um pólo na origem e um zero próximo da origem (-0.1):

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Pólos dominantes e terceiro pólo são praticamente os mesmos do sistema não-compensado.

O novo sistema é do tipo 1 Erro nulo para entrada em degrau.

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Compensação Integral Ideal (PI)

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Realização física do compensador Integral Ideal (PI)

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Compensação por Atraso de Fase

O compensador integral ideal, com seu pólo na origem, requer um integrador ativo.

Utilizando uma estrutura passiva, o pólo e o zero serão deslocados para a esquerda, nas proximidades da origem.

Esse posicionamento de pólo não aumenta o tipo do sistema porém produz uma melhoria na constante de erro estático.

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Compensação por Atraso de Fase

Constante de erro antes da

compensação

Constante de erro após a compensação

Melhora no erro

Se 𝑧𝑐 = −0.01 e 𝑝𝑐 = −0.001

Então 𝑧𝑐

𝑝𝑐= 10

O pólo e o zero adicionais precisam estar próximos do zero e ter alguma relação entre eles para reduzir o erro.

9.2 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata

Realização física da compensação por Atraso de Fase passiva