Sistemas de Controle III N8SC3 Prof. Dr. Cesar da Costa 8.a Aula: Controlabilidade e...
-
Upload
margarida-clara-de-almada-cipriano -
Category
Documents
-
view
228 -
download
8
Transcript of Sistemas de Controle III N8SC3 Prof. Dr. Cesar da Costa 8.a Aula: Controlabilidade e...
Sistemas de Controle IIIN8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
8.a Aula: Controlabilidade e Observabilidade
Controlabilidade
1. Definição: Um sistema é chamado controlável, se e somente se é possívelencontrar uma entrada u(t), tal que o sistema é trazido a origem x(t) = 0,em um tempo finito, a partir de uma condição inicial arbitrária.
2. Objetivo: Trazer o sistema para a origem imediatamente.
3. Por definição:
Controlabilidade
Se a matriz Qc é singular, ou seja, o determinante associado é zero, diz-se que o sistema é não - controlável.
Se a matriz Qc é não-singular, ou seja, o determinante associado é diferente de zero, diz-se que o sistema é controlável.
Revisão de Produto de Matrizes
Multiplicação de matrizes
• O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos
seus respectivos elementos.
• Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n ,
em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-ésima linha de A, pelos elementos da j-ésima coluna B.
1. Dadas as matrizes A e B. Calcule o produto AB.
Observe que :
AB BA
Exercício 1:
Dado o sistema. Verificar a sua controlabilidade.
.
1 1
.2
2
1 1 10 1 0
x xu
xx
[ ]cQ B AB
Determina-se a matriz de controlabilidade:
1 1 1 1
0 1 0 0AB
10
B
1 10 0cQ
0 ( )Singular não controlável
Exercício 2:
Dado o sistema. Verificar a sua controlabilidade.
[ ]cQ B AB
Determina-se a matriz de controlabilidade:
.
1 1
.2
2
1 1 02 1 1
x xu
xx
1 1 0 12 1 1 1
AB
01
B
0 11 1cQ
0 ( )Não Singular controlável
Exercício 3:
Dado a funcão de transferencia. Verificar a sua controlabilidade.
Determina-se a equação de estado:
( ) 2,5( ) ( 2,5)( 1)X s sU s s s
.
1 1
.2
2
0 1 12,5 1,5 1
x xu
xx
Determina-se a matriz de controlabilidade :
1 1[ ]
1 1cQ B AB
0 ( )Singular não controlável
Observabilidade
2. Definição: Um sistema é dito observável, se e somente se todas ascondições iniciais podem ser construídas, em um tempo finito, somente dasmedições das entradas e saídas..
0QCCA
Exercício 4: Considere a equacão de estado. Verificar a observabilidade do sistema.
Matriz de observabilidade:
.
1 1.
22
1
2
1 1 14 1 1
[1 0]
x xu
xx
xy
x
1 1[1 0] 1 1
4 1CA
0
1 01 1
CQ
CA
0
1 0det( ) det 1 0
1 1Q
0 Sistema observavel
Comandos no MATLAB para para o cálculo das matrizes de controlabilidade e observabilidade:
1. Comando ctrb (A,B):
- Utilizado para a computação da matriz Qc de controlabilidade, a partir da matriz de estados A, B, C e D.
Matriz de controlabilidade
In linear algebra, the rank of a matrix A is the dimension of the vector space generated (or spanned) by its columns.
No MATLAB o comando rank da matriz CONT, determina a controbilidade do
sistema. Se rank (CONT) é menor do que n, onde n é a ordem do sistema ,
o sistema não é controlavel.
rank = ordem do sistema
2. Comando obsv (A,C):
- Utilizado para a computação da matriz Qo de observabilidade, a partir da matriz de estados A, B, C e D.
Matriz de observabilidade
No MATLAB o comando rank da matriz OBSER, determina a observabilidade
do sistema. Se rank (OBSER) é menor do que n, onde n é a ordem do
sistema , o sistema não é controlavel.
rank < ordem do sistema
No MATLAB o comando minreal(sys) permite verificar se houve ou não
simplificacao na Funcao de Transferencia.
• Em termos da Função de Transferencia, se o rank (CONT) ou rank (OBSER)
for menor que n , existe um cancelamento de termos do numerador e
denominador da Função de Transferencia.
Como descobrir se ocorreu um cancelamento de termos da Função de
Transferencia ?
• Claramente, os dois fatores (s+1) se cancelam. Isto significa que há estados iniciais x(0), que não podem ser determinados a partir de medições de y(t).
Exercício 5: Considere a equação de estado. Verificar usando o MATLAB a
observabilidade do sistema. .
1 1.
22
1
2
1 1 14 1 1
[1 0]
x xu
xx
xy
x
Exercício 6: Considere a equação de estado. Verificar usando o MATLAB a controbilidade
e observabilidade do sistema.
.
1 1.
22
1
2
1 0 10 1 0
[1 1] 0
x xu
xx
xy u
x