Sistemas de equações
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Equações do 1º grau a 2 incógnitas
Sistemas de equações
Prof. Sandra Coelho 2007/08
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Será que (1,2) é solução da equação 2x + y = 4 ?
Logo o par (1,2) é solução da equação
Um par ordenado é dito solução se verificar a equação.
Noção de solução…
2 1 2 42 2 44 4 Verdadeiro
× + =⇔ + =⇔ =
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Solução de um sistema…
O processo é igual ao anterior porém o par tem de verificar as duas equações.
Será que (1,2) é solução do sistema 2 5
2 0x yx y+ =
− =
1 2 2 5 5 52 1 2 0 0 0
Verdadeiro+ × = =
⇔ × − = =
Logo o par (1,2) é solução do sistema
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1º passo – Escrever o sistema na forma canónica.
Exemplo:
Resolução de sistemas - Método da substituição
( ) 23 12
13 2 3
y xy x
x y x
+ − − = − = −
O que é que podemos fazer?Desembaraçar de parêntesis e de seguida de denominadores. As equações são independentes pelo que se pode ir trabalhando as duas em simultâneo.
( ) 2 23 1 6 6 2 2 8 5 23 3 12 21 2 3 6 2 8 3 22 3 2 6
3 2 3
y x y xy x y x y x x yy xx y x y x x yx y xx
+ +− − = − − − = − + =− − = ⇔ ⇔ ⇔ − + = − = − = −− = −
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E agora? Qual o processo que devo adoptar?
Não há regras estanques para resolver sistemas, no entanto, há técnicas que ajudam a manter o raciocínio alerta e orientam a resolução do problema.
1º passo – Escolher uma equação e uma incógnita e resolver essa equação em ordem a essa incógnita.
2º passo – Substituir o valor dessa incógnita na outra equação.
3º passo – Resolver essa segunda equação até encontrar o valor dessa incógnita. (se possível)
4º passo – Substituir o valor obtido no passo anterior na outra equação.
5º passo – Encontrar o valor da outra incógnita e tirar as conclusões devidas.
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Método da substituição em 6 passos (1+5)
Depois de escrever o sistema na forma canónica passemos à sua resolução. Para isso aproveitemos o exemplo anteriormente abordado.
Passo 0 – Escrever o sistema na forma canónica:( ) 2 23 1 6 6 2 2 8 5 23 3 12 2
1 2 3 6 2 8 3 22 3 2 63 2 3
y x y xy x y x y x x yy xx y x y x x yx y xx
+ +− − = − − − = − + =− − = ⇔ ⇔ ⇔ − + = − = − = −− = −
( ){ }
2 38 5 2 16 248 5 2 _________ 5 288
8 3 2 8 2 3 2 3 _______________8
216 24 40 16 16 16 16 2. . 1,22 3 2_______________ ___________ 1
8
y y yx y yx y x y yx
yy y y yC S
xx
+ − + = − − ÷− + = + = ⇔ ⇔ ⇔ − = = + + = =− − + = = + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + × ==
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Possível
Impossível
(Tem pelo menos uma solução)
Determinado
Classificação de sistemas
(Não tem solução)
Indeterminado
(Tem uma só solução)
(Tem uma infinidade de soluções)
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Resolve graficamente o sistema:
Resolução de sistemas – Método Gráfico
42 7
y xx y
= − + =
44 472 7 2 72
y xy x y xxx y y x y
= −= − = − ⇔ ⇔ −+ = = − =
Resolve cada uma das equações em ordem a y:
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Resolução de sistemas – Método Gráfico4
72
y xxy
= − −=
Construa-se uma tabela referente a cada uma das equações:
x y = x - 4
1 1 – 4 = -3
2 2 – 4 = -2
x
1 3
3 2
72xy −=
y
x
SOLUÇÃO( 5 ; 1 )
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Resumindo…
O ponto de intersecção das rectas é a solução do sistema.
Exercício:
Propõe representações gráficas que ilustrem todas as hipóteses das classificações de sistemas.
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Exemplos…
Possível
Impossível
(Tem pelo menos uma solução)
Determinado
(Não tem solução)
Indeterminado
(Tem uma só solução)
(Tem uma infinidade de soluções)
y
x
y
x
y
x
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Resolução de sistemas – Método Gráfico
4 44 42 22 2 2 22 2
y x y xx y y xx xx y y x y y
= − = − − = = − ⇔ ⇔ ⇔ − −− = − = − = = − −
Exemplo:
x y = x - 4
1 1 – 4 = -3
2 2 – 4 = -2
x
2 0
4 1
22xy −= −
y
x
SOLUÇÃO
( 6 ; 2 )
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Resolução de sistemas – Método Gráfico
1 1 12 2 2
x y y x y xy x y x y x
− = − = − + = − ⇔ ⇔ = − = − = −
x y = x – 1
1 1 – 1 = 0
2 2 – 1 = 1
x y = -2x
1 -2
2 -.4
y
x
SOLUÇÃO
( ? ; ? )
Para ter a certeza da solução – Método da
Substituição
Exemplo:
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Resolução de sistemas–Método de Substituição
( )2 11 2 1 3 12 ________ ________________1 1
1 23 3 . . ;3 31 22
3 3
x xx y x x xy x
x xC S
y y
− − =− = + = = ⇔ ⇔ ⇔ = − = = ⇔ ⇔ = − ÷ = − × = −