SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: um paralelo entre a álgebra e

a geometria

Allan Vicente de Macedo Silva1

GD4 – Educação Matemática no Ensino Superior

Os conteúdos de álgebra linear estão presentes em diversos cursos de graduação, dentre os quais estão os de

engenharia e biologia. Sendo assim, este trabalho tem por finalidade mostrar a importância do estudo da

álgebra linear, mais precisamente os sistemas de equações lineares. Como aporte teórico utilizamos as ideias

de Raymond Duval, acerca da teoria dos registros de representação semiótica para nos auxiliar e a

metodologia empregada baseia-se nos princípios da Engenharia Didática, proposta por Artigue. Um dos

objetivos deste estudo foi a elaboração e aplicação de uma sequência de atividades implantadas num

ambiente computacional, com vista a melhorar os processos de ensino e de aprendizagem da álgebra linear,

mais precisamente os sistemas de equações lineares, com o tema central a visualização. Analisamos alguns

tópicos, verificando se a utilização do software no ensino conteúdo em questão auxiliaria o aluno no processo

de aprendizagem; também desejou-se sugerir uma possibilidade de se trabalhar os fatores algébricos apoiados

nas suas respectivas geometrias. No desenvolvimento de nosso trabalho foi utilizado o software GeoGebra

como recurso computacional para auxiliar o trabalho geométrico e possibilitando também a análise algébrica

nas aplicações do conteúdo de sistemas de equações lineares.

Palavras-chave: Educação matemática; Registros de representação semiótica; Sistemas de equações lineares;

GeoGebra; Visualização.

Introdução

Ao ingressar no curso de graduação em matemática na Universidade Federal Rural

do Rio de Janeiro eu já tinha uma ideia do nível de dificuldade dos conteúdos que eu iria

cursar. No transcorrer da graduação comecei a ser questionado por colegas de curso acerca

de alguns tópicos do conteúdo. Nestas conversas vinha a velha questão: “em que irei

aplicar este conhecimento e para que?” Percebi que a matéria de álgebra linear era vista

por alguns estudantes de graduação como apenas um conteúdo a ser superado.

A álgebra linear é um campo matemático que estuda em um de seus aspectos

principais, os sistemas de equações lineares, conteúdo este fundamental no prosseguimento

da graduação, pois constitui uma parte da matemática da qual necessitam matemáticos,

engenheiros, físicos e muitos outros. Assim podemos compreender a importância desta

disciplina pelas suas múltiplas aplicações.

1 Universidade Severino Sombra, e-mail: allanvicentemacedo@yahoo.com.br, orientador: Dr. João Bosco

Pitombeira Fernandes de Carvalho.

Neste trabalho nos baseamos fortemente em dois livros, materiais estes que tive a

oportunidade de estudar por eles na graduação. O primeiro tem como título Linear Álgebra

and its applications (STRANG, 1998), que tem uma forte tendência à aplicação de seus

conteúdos, respeitando, é claro, a enorme diversidade de uma sala de aula onde há alunos

de diversas graduações. O segundo livro tem como título Introdução à álgebra linear

(GONÇALVES E SOUZA, 1977), este tendo um viés mais algébrico e formal.

Este trabalho se refere a uma pesquisa de dissertação de mestrado concluída no

Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra

situada em Vassouras, cidade do Rio de Janeiro. Nesta pesquisa de dissertação de

mestrado, intitulado “Sistemas de equações lineares: um paralelo entre a álgebra e a

geometria”, pretendeu-se promover uma compreensão mais abrangente do conceito sobre

sistemas lineares através das atividades e mostrar que não devemos ficar limitados a

somente cálculos por meio de técnicas memorizadas e que muitas das vezes os alunos não

entendem a matemática envolvida.

Além disso, elaboramos e aplicamos uma sequência de atividades implantadas num

ambiente computacional com vista a melhorar o processo de ensino e aprendizagem da

álgebra linear, onde o recurso central é a visualização. Com este trabalho não pretendemos

de forma alguma ensinar todos os conceitos de álgebra linear. Nossa intenção é gerar a de

discutir conceitos que envolvam sistemas lineares a partir de conhecimento já adquiridos

dos participantes, com base em uma fundamentação teórica que carrega uma abordagem

que envolve diferentes representações e foca aspectos geométricos no plano.

Fundamentação Teórica e metodológica

Registros de Representações Semióticos

O ensino e a aprendizagem da matemática em determinados níveis de escolaridade

e da forma com que é abordado não é uma tarefa fácil, tendo em vista que vários dos

conteúdos matemáticos não são facilmente perceptíveis ao olho humano, e que muitas das

vezes estão sob olhares inexperientes dos alunos, pois se trata de objetos abstratos. Deste

modo, por este caráter abstrato que os diversos conteúdos matemáticos exigem, recorre-se

à teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval, filósofo e

psicólogo francês.

Para entendermos a razão dos bloqueios de compreensão em matemática que

diversos alunos apresentam, segundo Duval (2003), é necessário estudarmos o

funcionamento dos sistemas cognitivos que favorecem o prosseguimento de suas

habilidades de raciocínio próprias da atividade matemática. Desta forma é compreensível

que ao analisar apenas algebricamente uma função linear, uma função diferencial ou até

mesmo a definição de limite, não é uma tarefa fácil, pois o aluno precisa de intimidade e

domínio destes conteúdos.

Para Duval (2003) as representações semióticas são importantes para a construção

do conhecimento pelo sujeito. É através das representações semióticas que se torna

possível desenvolver certas funções cognitivas, que são importantes ao pensamento

humano. Daí, chegando-se a conclusão de que sem as representações semióticas torna-se

difícil a construção do conhecimento pelo sujeito que aprende.

Segundo Duval (2003), existem dois tipos de transformações dos registros de

representação semiótica, onde é possível analisar as atividades matemáticas desenvolvidas

pelos alunos. São elas: tratamento e conversões.

Tratamento são transformações que ocorrem internamente dentro do mesmo

registro de representação na qual foi formada, ou seja, é a transformação da representação

no próprio registro no qual ela foi formada. Duval fala que

Os tratamentos são transformações de um mesmo registro: por exemplo, efetuar

um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de

representação dos números; resolver uma equação ou sistema de equações;

contemplar uma figura segundo os critérios de conexidade e de simetria

(DUVAL, 2003, p.16)

Conversões são transformações de representações semióticas em que ocorrem

necessariamente mudanças de registros, mantendo o mesmo objeto matemático em

questão. Com mais detalhes, Duval fala que “as conversões são transformações de

representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos à sua

representação gráfica” (DUVAL 2003, p.16).

Como conclusão de todos os dados relacionados entre transformações dos registros

de representação semiótica, Duval (2003) diz que:

[...] existem dois tipos de transformações de representações semióticas que são

radicalmente diferentes: os tratamentos e as conversões. Ora, quando se descreve

a resolução matemática de um problema e quando se analisa a produção dos

alunos, não se toma o cuidado de distingui-los. (DUVAL, 2003, p. 15)

Resumindo, podemos entender da seguinte forma de que o tratamento se estabelece

internamente ao registro e a conversão ocorre entre os registros.

Engenharia Didática

Em nossa pesquisa de campo, usamos como metodologia a Engenharia Didática,

uma teoria educacional que visa unir a pesquisa à prática. Artigue (1996) diz que a

Engenharia Didática foi concebida como um trabalho didático de modo comparável ao:

[...] ofício do engenheiro que, para realizar um projeto preciso, se apoia sobre

conhecimentos científicos de seu domínio, aceita submeter-se a um controle de

tipo científico mas, ao mesmo tempo, se vê obrigado a trabalhar sobre objetos

bem mais complexos que os objetos depurados na ciência e, portanto, a enfrentar

[...] problemas que a ciência não quer ou não pode levar em conta (ARTIGUE,

1996, p.193)

Desta forma, podemos relacionar o trabalho do pesquisador a ações semelhantes ao

do engenheiro, no qual ambos precisam, antes de se lançar em sua empreitada, estar

disponíveis a fazer pontes entre a ciência e os problemas reais.

Segundo Artigue (1996), a Engenharia Didática é um processo empírico que

objetiva conceber, realizar, observar e analisar as situações didáticas e que compreende em

4 fases. São elas: análise a preliminares, concepção e análise a priori, experimentação e a

última análise a posteriori e validação.

Na primeira fase, conhecida como análises a preliminares, é o momento em que se

realizam as análises em diversas fontes que incluem uma revisão bibliográfica, que

engloba as condições e situações presentes nos diversos níveis de produção didática como

dissertações, artigos e teses.

Na segunda fase, concepção e análise a priori, Artigue (1996) diz que o pesquisador

toma a decisão de agir sobre determinado conteúdo utilizando variáveis de saberes

pertinentes ao problema estudado. Tem-se como objetivo determinar como as escolhas

efetuadas permitem controlar os comportamentos dos alunos e seu sentido.

Na terceira fase, a de experimentação, é onde o pesquisador aplica as atividades da

pesquisa junto aos alunos.

A quarta fase, análise a posteriori e validação, é o momento em que o pesquisador

se apoia no conjunto de dados recolhidos na experimentação, assim como nas observações

realizadas, produções dos alunos, terminando na validação onde é feita uma análise.

É importante saber que, segundo Artigue (1996), cada fase é retomada e

aprofundada ao longo da pesquisa. Sendo assim, mesmo estando numa fase a diante é

perfeitamente normal, por exemplo, retornar à etapa das análises preliminares.

Portanto, escolhemos a Engenharia Didática, pois nos fornece um maior

embasamento e subsídios para a aplicação de nosso trabalho.

Atividades Propostos na Dissertação

A princípio, a ideia era o de trabalharmos conteúdos que abordassem os problemas

básicos que a maioria dos alunos de graduação tem com relação ao estudo de sistema de

equações lineares. E assim, ao desenvolvermos este trabalho, propusemos atividades que

incluem a resolução de sistemas de equações lineares, conceito este muito utilizado no

curso de Álgebra Linear que teve o intuito de trabalhar tais conceitos, apoiado na solução

algébrica e a solução gráfica, simultaneamente.

Paralelamente, utilizamos como ferramenta o software GeoGebra, sendo este livre e

viabiliza o trabalho gráfico. No transcorrer do trabalho, analisamos a viabilidade do uso

desta tecnologia nos cursos regulares em diversas graduações onde o trabalho da

visualização de certos conceitos matemáticos era necessário. É importante salientar de que,

ao trabalharmos com um software, tivemos o cuidado de não cairmos na ilusão de que

apenas com esta ferramenta tecnológica melhoraria o ensino de tal conteúdo. Mas sim, o

professor, sabendo utilizar tal tecnologia mesclada a sua didática utilizando como uma

ferramenta.

As atividades ocorreram na Universidade Severino Sombra no dia 09 de abril de

2014 e houve a adesão de cerca de 30 alunos de engenharia elétrica, engenharia mecânica,

engenharia química, dentre outros cursos de graduação. Tivemos como objetivo facilitar a

compreensão e assimilação no estudo de sistemas lineares, analisar as estratégias de cada

aluno e saber se a utilização de software no ensino do conteúdo em questão auxiliaria o

aluno no processo de aprendizagem.

Em resumo, a sequência de atividades que propusemos consiste na resolução de

questões de forma a articular a conversão da resolução algébrica para a resolução gráfica e,

reciprocamente, a resolução gráfica para a solução algébrica.

Os participantes realizaram as atividades em dupla em virtude do espaço cedido ser

pequeno e também imaginamos que tal situação favoreceria a interação entre os estudantes,

na troca de ideias, ao construírem e discutirem entre si as estratégias de solução de cada

atividade ou até, muitas das vezes, compararem suas diferentes respostas com relação a

interpretação. De certo modo, podemos já adiantar que esta estratégia deu certo, pois

percebemos logo de inicio de que houve o interesse em entender e responder às questões

propostas nas atividades e assim, tornava o processo mais dinâmico com a troca de

informações.

Vale ressaltar que a ideia inicial não era a de somente resolvermos, de forma literal,

um sistema de equações lineares. Obter somente o resultado numérico final não foi o

objetivo deste trabalho e sim o de trabalhar a perspectiva da visualização de forma a ser um

caminho para entender algumas características importantes que o assunto carrega. Strang

(1998) diz que a álgebra linear se tornou tão básica e tão aplicável como o cálculo e,

felizmente, mais fácil. Contudo, tem-se que ter cuidado na abordagem mais aplicada para

não ser confundida com uma abordagem mais mecanizada, assim como uma coleção de

receitas de cálculo. É daí o interesse em promover uma compreensão mais abrangente do

conceito trabalhado nas atividades e mostrar que não devemos ficar limitados a somente

cálculos, realizados por meio de técnicas memorizadas e que muitas das vezes os alunos

não entendem a matemática envolvida.

Atividade

Ao executarmos tais atividades, utilizamos alguns instrumentos com intuito de

serem utilizados em sala de aula para auxiliar na atividade com a turma. Foram eles o

projetor e o computador com o software Geogebra. Além disso, utilizamos alguns

instrumentos de coleta de dados para a obtenção das informações, estas foram as respostas

escritas por cada participante sobre as propostas tarefas e minhas anotações acerca das

observações feitas durante a atividade.

Fazendo uma análise a priori tinha-se a finalidade de a partir da conversão do

registro algébrico para o registro gráfico, os participantes pudessem trabalhar as situações

descritas de forma graficamente, utilizando tal transição para compreender melhor os

fenômenos matemáticos descritos.

Como a atividade foi idealizada com o intuito de trabalhar concomitantemente suas

funções, ao iniciarmos nossas atividades, comentei que o sistema de equações lineares

proposto aos participantes estava definido por duas equações e duas incógnitas. Apesar de

existirem diversos métodos de resolução, o objetivo não era o de se resolver puramente na

forma algébrica. Neste caso, o cuidado foi o de trabalharmos com duas equações

concomitantemente.

Logo após, introduzimos os conceitos do software geogebra além de resgatar

conceitos importantes que necessariamente trabalharíamos no desenvolvimento da

atividade seguinte. Além disso foi o momento que preocupei-me em analisar quem eram os

alunos e, ao lançar algumas questões no ar, saber como estavam seus conhecimento acerca

do conteúdo de equações lineares.

Após este momento, utilizando um sistema de equações lineares com duas equações

e duas incógnitas sendo possível e determinado, inserimos os dados no software Geogebra

do sistema

e começamos a trabalhar a partir daí. Não foi difícil construir

sua representação geométrica de forma que obtivesse seus resultados numericamente

(raízes). Um dos alunos respondeu: “Raiz é igual a {1,1} por que as duas raízes cortam o

mesmo ponto” (aluno a). Parece uma resposta redundante, mas de fato foi uma observação

necessária para a interpretação.

Figura 1: Sistema linear possível e determinado

Fonte – Criada pelo autor, com o uso do software GeoGebra

Por outro lado, assim como a maioria dos participantes, outro aluno disse: “(1,1)

porque é a única solução possível, pois é onde as duas funções se cruzam”(aluno b). De

fato é isso que ocorre graficamente e foram nestas palavras que o restante da turma

expressou os seus respectivos resultados obtidos.

É claro que nosso objetivo, neste momento, não era o de resolver algebricamente,

mas utilizamos estas informações algébricas por serem importantes para o trabalho de

visualização e permitirem encontrar pontos importantes para a obtenção do gráfico.

Por fim, houve uma generalização de um sistema, a fim de que pudéssemos analisar

outras formas algébricas e gráficas. Pois, ao transladarmos as funções, tínhamos a

possibilidade de observar as mudanças ocorridas matematicamente e desta forma, como foi

proposto nesta atividade, estudarmos as classificações de um sistema de equações lineares

quanto ao seu número de soluções assim como fizemos na figura 2.

Figura 2: Sistema linear impossível e indeterminado

Fonte – Criada pelo autor, com o uso do software GeoGebra

Com este dinamismo que o software GeoGebra nos fornece, pudemos analisar,

além de suas classificações, também quando um sistema tem um número de equações igual

ao número de incógnitas, chegando à conclusão de que o sistema de equações é possível e

determinado e, na hipótese de quando o número de equações for menor que o número de

incógnitas, chegando a conclusão de que o sistema de equações é possível e indeterminado

e portanto, tendo infinitas soluções. Ao analisarmos o sistema linear

, como

podemos verificar na figura 2 um aluno, na sua interpretação, disse que “não possui

soluções, pois não há interseções”. Foi importante que essas análises fossem feitas por

etapas, para que não perdêssemos a linha de raciocínio.

Assim, foi possível verificar também algumas características dos sistemas

homogêneos, caracterizados sempre como possíveis, pois possuem, ao menos, a solução

única.

Figura 3: Sistema linear possível e indeterminado

Fonte – Criada pelo autor, com o uso do software GeoGebra

Foi possível verificar na figura 3 que, ao digitar as equações 2=y+x e

422 =y+x , as retas eram coincidentes, ou seja, existiam infinitos pontos comuns

correspondentes às soluções do sistema. Daí, na janela algébrica, as equações das retas

aparecem iguais e expliquei que isso acontece, pois uma equação é múltipla da outra. É

importante notar que a equação 2=y+x é igual à equação 422 =y+x , multiplicada por

uma constante 2, isto é, estas equações eram equivalentes. Salientamos que o software

GeoGebra reconhece que a segunda equação como proporcional à primeira e a simplifica

automaticamente ao digitar, portanto, o sistema descrito é caracterizado como possível e

indeterminado.

Note-se também que marcamos alguns pontos sobre as retas para que pudéssemos

ver algumas soluções desse sistema e assim mostrando que existem infinitas soluções.

Com a função "novo ponto", marcamos alguns pontos que satisfazem às duas equações e

assim mostrando, só para ter uma ideia, que existem infinitas soluções.

De imediato, podemos dizer que não houve dificuldades de fazer uma ligação entre

o algébrico com o geométrico. Foram além e conseguiram expressar, detalhando na escrita.

Além disso, pudemos estudar suas características algébrica e gráfica, simultaneamente e

assim nos permitiu associar certas particularidades algébricas paralelamente com a

representação gráfica.

Fazendo a análise a posteriori podemos dizer que a visualização pareceu ter sido

plausível em vista das respostas obtidas pelos alunos e seus rendimentos. De modo geral,

cada etapa descrita nestas atividades teve o intuito de chegar-se a analisar graficamente a

solução de um Sistema de Equações Linear. Deu-se também importância à interpretação de

cada uma das equações ao se identificar pontos que são suas soluções e assim, determinar

se há pontos em comum entre as retas, satisfazendo simultaneamente a ambas as equações.

Através da representação gráfica foi relativamente fácil verificar se o sistema era possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível. Note-se que, a construção para este

raciocínio, foi sendo elaborada passo a passo desde a primeira proposta até esta última

questão.

Considerações Finais

A ideia neste trabalho foi de fazermos um paralelo entre a álgebra e a geometria,

trabalhando ambas as representações, sem perder o rigor matemático. Nesta perspectiva

exercitamos várias formas de registros, fazendo um link com a teoria de Representação

Semiótica de Duval, onde trabalhamos a forma algébrica, gráfica e a língua natural,

tentando sempre abordar, da melhor forma possível, tais conversões, cujo objetivo era o de

passar de um registro para o outro de maneira a obter bons resultados no âmbito da

assimilação. Paralelamente, trabalhamos a Engenharia Didática como metodologia.

Destaca-se a utilização do software GeoGebra, sendo uma ferramenta interessante

para a construção do conhecimento, pois possibilitou com facilidade a interpretação

geométrica das possíveis soluções do sistema. Neste caso, chegou-se à conclusão de que é

importante que o docente saiba o momento adequado para a utilização da tecnologia como

um recurso auxiliar.

Em nossa experiência com os alunos do primeiro período daqueles cursos, notou-se

uma dificuldade muito grande com relação à base, ou seja, deficiências oriundas do Ensino

Médio, até mesmo com relação às operações básicas, pois quando indagávamos, tinham

dificuldades, mas conseguiam resolver.

Desta forma, a visualização gráfica foi importante para o entendimento dos

conteúdos, mostrando aos alunos outra perspectiva do conteúdo lecionado. Chegamos a um

entendimento de que o estudo paralelo entre o quadro gráfico e o algébrico parece ser

viável.

Concluiu-se que o objetivo deste trabalho foi alcançado, apesar de todas as

dificuldades encontradas, levando em consideração que o intuito era o de mostrar a

importância de uma análise gráfica e uma análise algébrica dos sistemas de equações

lineares. Assim o aluno entendeu o significado algébrico de cada problema proposto e não

apenas encontrou a solução algébrica de um sistema.

Acredito estar contribuindo por meio deste trabalho, mas é importante salientar de

que ela não se esgota com este o estudo. Além disso, lembramos que aqui não visamos

ensinar um melhor ou único método, mas sim de termos a oportunidade de discutir sobre

uma abordagem em favor do debate sobre o ensino de alguns conteúdos algébricos, um

ponto de partida para estimular discussões acerca do trabalho de visualização, não somente

num curso de Álgebra Linear, mas também em outros conteúdos, como, por exemplo, no

estudo de alguns tópicos de Cálculo, no de Análise Real e dentre outras matérias onde a

visualização gráfica de certos conteúdos possam ajudar na compreensão algébrica.

REFERÊNCIAS

ARTIGUE, M. Engenharia Didática. In: BRUN, J. Didática das matemáticas. Lisboa:

Instituto Piaget, 1996, 193-217.

DUVAL, R. Registros de Representações Semióticas. In: Machado, S. Aprendizagem em

matemática. São Paulo: Papirus, 2003, 11-33.

GONÇALVES, A; SOUZA, R. Introdução à álgebra linear. 1ª Edição. São Paulo:

Edgard, 1977.

SILVA, A. Sistemas de equações lineares: um paralelo entre a álgebra e a geometria.

2014. 86f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade Severino

Sombra , Vassouras, 2014.

STRANG, G. Linear Álgebra and its applications. 3ª Edição. [S.I]: Books/Cole, 1998.