Sistemas de Informações Geográficas

Unidade 3.2: Estrutura de Dados Espaciais

Prof. Cláudio Baptista

2003.1

3.2 Estrutura de Dados Espaciais

Necessidade de indexação dos dados espaciais de modo a reduzir o tempo de acesso aos mesmos

Métodos de indexação tradicionais não são indicados para dados espaciais Hash: não atende a consultas de faixa (range

queries) B-Tree: trata apenas uma dimensão

3.2 Estrutura de Dados Espaciais

Operação comum com dados espaciais é a pesquisa de objetos que estão numa determinada área Ex.: Encontre todos os hospitais que estão a no

máximo 20Km deste ponto

3.2 Estrutura de Dados Espaciais

Algumas estruturas de dados propostas: Grid quad-trees k-d-tree r-tree

3.2.1 Quad trees

Acelera o acesso a dados num plano 2dTécnica bastante simplesO espaço de busca é recursivamente

decomposto em quadrantes até que o número de retângulos sobrepondo cada quadrante é menor do que a capacidade da página.

Os quadrantes são nomeados: Noroeste, Nordeste, Sudeste e Sudoeste

3.2.1 Quad trees

O índice é representado como uma árvore quaternária (cada nó interno tem 4 filhos, um por quadrante)

Cada folha é associada a uma página de disco

Cada retângulo aparece em todos os quadrantes folhas que o sobrepõem

3.2.1 Quad trees

1 5 14

62

3

812

11

13

9

107

4

x y a

tz

b

c d

R

a[8,11,12,13] [3,4,7] d [9,10,13]

b c d

[1,2,5,6] [5,6,14] [2,3,6] [6]x y z t

3.2.1 Quad tree

Consulta de ponto (point query) é simples em quad tree.

Um único path (caminho) é percorrido da raiz até a folha

Em cada nível, é escolhido um dos quadrantes que contém o ponto da consulta

3.2.1 Quad trees

1 5 14

62

3

812

11

13

9

107

4

x y a

tz

b

c d

R

a[8,11,12,13] [3,4,7] d [9,10,13]

b c d

[1,2,5,6] [5,6,14] [2,3,6] [6]x y z t

P

Exemplo de Consulta Ponto P

3.2.1 Quad trees

Inserção em quadtrees um retângulo será inserido em cada quadrante

folha que o sobrepõe então todos os caminhos para as folhas que

sobrepõem o retângulo a ser inserido são percorridos

a página P associada com cada folha é lida Se P não está cheio, então insere o novo

retângulo

3.2.1 Quad trees

Inserção em quadtrees (cont) Se P estiver cheio, O quadrante deve ser

dividido em quatro quadrantes e 3 novas páginas são alocadas

As entradas da página antiga mais a página nova são divididas nas quatro páginas

Uma entrada E é adicionada a toda página cujo quadrante intercepta E.MBR (Minimum Bounding Rectangle)

3.2.1 Quad trees

1 5 14

62

3

812

11

13

9

107

4

x y a

tz

b

c d

Inserção em Quadtree

15

16

m n

p q

Como ficará a árvore após as inserções de 15 e 16?

3.2.2 k-d treeUsada para representar pontosárvore kd particiona o espaço em célulasé uma árvore de busca binária, reside em memória principal, de forma que os nós

interiores em cada nível contêm valores referentes a um único eixo, X ou Y, alternadamente

as folhas apontam para páginas físicas

várias folhas podem apontar para a mesma página física

3.2.2 k-d tree

o valor armazenado na raiz divide o espaço em dois subespaços através de uma reta perpendicular ao eixo dos X, digamos;

o valor armazenado no filho à esquerda (ou direita) por sua vez divide o subespaço à esquerda (ou direita) em dois subespaços através de uma reta perpendicular ao eixo dos Y ; e assim por diante, alternando as dimensões.

3.2.2 K-D-Tree

3.2.2 K-D-Tree

A

B

C

D

Árvore para figura anterior

3.2.2 K-d Tree

Outro ExemploSejam as cidades com coordenadas

Cidade (X,Y)

Mossoró (19,45)Natal (40,50)Campina Grande (38,38)João Pessoa (54,40)Monteiro (4,4)

3.2.2 K-d Tree

Monteiro

Campina GrandeJoão Pessoa

NatalMossoró

3.2.2 K-d Tree

Inserção de Mossoró

Inserção de Natal

Mossoró (19,45)

Mossoró (19,45)

Natal (40,50)

3.2.2 K-d Tree

Monteiro

Campina GrandeJoão Pessoa

NatalMossoró

3.2.2 K-d Tree

Monteiro

Campina GrandeJoão Pessoa

NatalMossoró

3.2.2 K-d Tree

Inserção de Campina

Campina (38,38)

Mossoró (19,45)

Natal (40,50)

3.2.2 K-d Tree

Monteiro

Campina GrandeJoão Pessoa

NatalMossoró

3.2.2 K-d Tree

Inserção de João Pessoa:

Campina(38,38)

Mossoró (19,45)

Natal (40,50)

JP(54,40)

3.2.2 K-d Tree

Monteiro

Campina GrandeJoão Pessoa

NatalMossoró

3.2.2 K-d Tree

Inserção de Monteiro:

Campina(38,38)

Mossoró (19,45)

Natal (40,50)

JP(54,40)

Monteiro(4,4)

3.2.2 K-d Tree

Monteiro

Campina GrandeJoão Pessoa

NatalMossoró

3.2.3 R-Tree

É uma árvore similar a uma B+-tree, com índices para dados nas folhas

Nós correspondem à páginas de discoA estrutura é projetada de forma que uma

pesquisa espacial requer visitar um número pequeno de nós

Um BD espacial consiste de tuplas representando objetos espaciais, onde cada tupla possui um identificador

3.2.3 R-Tree

Nós folhas contêm entradas da forma: (R, TId) Onde: R contém o retângulo que encobre a área

da tupla identificada por TId. Este retângulo é conhecido por Minimum

Bounding Box ou Minimum Bounding Rectangle

Ex.

3.2.3 R-Tree

Nós não-folhas contêm entradas da forma: (R, Filho) Onde R é o retângulo que envolve todos os

retângulos dos descendentes deste nó e Filho é o endereço do nó filho

3.2.3 R-Tree

Definição: Sejam M e m o número máximo e mínimo de entradas de um nó respectivamente, tal que m <= M/2 Uma R-tree satisfaz às seguintes propriedades: P1. Cada nó contém entre M e m entradas, exceto a

raiz P2. Para cada nó folha (R, TId), R é o menor retângulo

que espacialmente contém os objetos espaciais n-dimensionais representados pela tupla TId

3.2.3 R-Tree

Definição (cont) P3. Para cada entrada (R, filho) num nó não

folha, T é o menor retângulo que espacialmente contém os retângulos descendentes

P4. O nó raiz tem pelo menos dois filhos a menos que seja um nó folha

P5. Todas as folhas aparecem num mesmo nível

3.2.3 R-Tree

3.2.3 R-Tree

PointQuery (consulta ponto)RTPointQuery (p: Point): set (oid)begin

result = {};// Passo 1: Atravessar a árvore da raiz, e computar // SL, o conjunto de folhas cujo TId contém P SL = RTTraversal(root, P);// Passo 2: percorra as folhas e acrescente ao // resultado àquelas que contiverem P for each L in SL do

// Percorra as entradas da folha L

for each e in L doif (e.mbb contém P) then result += e.oid;

return result;end

PointQuery (consulta ponto)

RTTraversal(oid: Node, P:point) : set of folhasbegin

result = {};// Obtém a página N = readPage(oid);if (ehFolha(N)) return N;

// Scan as entradas de N e visitar àquelas que contém Pfor each e in N do

if (e.mbb contém P) then result += RTTraversal(e.oid, P);

return result;end

Inserção A árvore é percorrida top-down, a partir da raiz. Em

cada nível, verifica-se qual mbb contém o mbb do objeto a ser inserido e desce naquela sub-árvore

Caso não exista nenhum nó não folha que contenha o objeto a ser inserido, então um nó é escolhido para ter seu mbb estendido de forma a conter o objeto a ser inserido. O nó escolhido será aquele que precisa crescer menos seu mbb.

O processo é repetido até se encontrar um nó folha.

Inserção Se o nó folha não estiver cheio, uma nova

entrada [mbb, oid] é adicionada à página associada com a folha. Observação: se houver crescimento no mbb da folha, este deve se progagar para cima na árvore.

Se o nó folha f estiver cheio, uma divisão de nó ocorrerá: uma nova folha f’ é criada, e M+1 entradas são distribuidas entre f e f’.

InserçãoInserir (e: Nodo)begin

// Inicializa a busca pela raiz nodo = raiz;// Escolha um caminho descendo para folhawhile (nãoEhFolha(nodo)) do

nodo = EscolherSubÁrvore(nodo, e);//Insira na folhaInserirEmFolha(nodo, e);// Divide e ajusta a árvore se a folha estiver cheia, // senão ajusta o caminhoif (ehCheio(nodo)) then

DividirEAjustar(nodo);else AjustarCaminho(nodo);

end

Inserção

A função EscolherSubÁrvore(node, e) pega a entrada do node cujo node.mbb contém e.mbb ou precisa de menor crescimento

A função AjustarCaminho(node) propaga o crecimento do mbb para cima na árvore. Este processo pára quando não precisar mais fazer crescimento ou se alcançar a raiz. Esta função está descrita a seguir.

Inserção

AjustarCaminho (nodo: Node)begin

if (ehRaiz(nodo)) return;//Encontrar o pai do nodopai = getPai(nodo);// Ajuste a entrada do nodo no paiif (AjustarEntrada(pai, nodo)) then

// Entrada foi modificada, ajuste o caminho // para o paiAjustarCaminho(pai);

end

InserçãoDividirEAjustar (nodo: Node)begin

//Cria um novo nodo e distribui as entradasnovoNodo = Dividir(nodo);if (ehRaiz(nodo)) then

CriarNovaRaiz(nodo, novoNodo);else// Obter pai do nópai = getPai(nodo);//Ajustar entrada do nodo e seus paisAjustarEntrada(pai, nodo)// Inserir novo nodo no paiInserirNodo(pai, novoNodo);if (ehCheio(pai)) then

DividirEAjustar(pai);else

AjusteCaminho(pai);end

Inserção

A função AjustarEntrada(pai, filho) compara pai.mbb e filho.mbb. Se for preciso o pai.mbb é estendido e a função retorna TRUE, caso contrário retorna FALSE

3.2.3 R-TreeDivisão de Nó

Para adicionar uma nova entrada a um nó cheio é necessário dividir as entradas em dois nós

A divisão deve ser feita de modo que seja improvável que ambos nós sejam examinados em pesquisas subsequentes

Uma vez que a decisão de visitar um nó depende se seu retângulo sobrepõe a área sendo pesquisada, a área total dos dois retângulos deve ser minimizada

3.2.3 R-Tree

Veja que a área do Bad Split é muito maior do que a área de Good Split

Remoção

A remoção é feita em 3 passos: Encontrar o nodo folha F que contém a entrada e Remover e de F Reorganizar a árvore se houver underflow.

Obs.: Uma abordagem simples na reorganização é remover o nodo inteiro e re-inserir as m-1 entradas restantes.

Remoção

Remoção (e: Objeto)begin

//Encontrar a folha contendo eF = EncontrarFolha(e);// Remover entradas e reorganizar árvore// o resultado é um conjunto de nodos QQ = Reorganizar(F,e);// Reinserir as entradas dos nodos de QReinserir(Q);

end

Remoção

Reorganizar (N: nodo, e: objeto): {objetos de nodo}begin

Q = {}; // conjunto de nodos//Remover e de NN = N - e;if (not ehRaiz(N)) then

if (N.numNodos < m) thenQ = Q U N;// Obtém o pai e reorganiza-oF = getPai(N);

Q = Q U Reorganizar(F, entrada de N em F)else// N foi modificado: ajuste o caminho

AjustarCaminho(N); end