Sistemas de Polinomios,Analise Numerica e Aplicacoes.

Gregorio Malajovich

Departamento de Matematica Aplicada

Universidade Federal do Rio de Janeiro

gregorio@ufrj.br

XXVIII CNMAC, Sao Paulo, 12 a 15 de Setembro de 2005.

Apoios:

Acordo Franca-Brasil

1

Sistemas de Polinomios

f1(z) =∑

a∈A1f1

a za1

1 za2

2 . . . zann

...

fn(z) =∑

a∈Anfn

a za1

1 za2

2 . . . zann

Os suportes A1, A2, . . . , An sao subconjuntos finitos de (Z+)n.

Procuramos todos os zeros z tais que:

f1(z) = f2(z) = . . . = fn(z) = 0

Nesta conferencia, vamos nos preocupar apenas com os zeros

isolados, e tais que detDf(z) 6= 0.

2

O polinomio perfido

octave:1> roots(poly(1:20))

ans =

19.99962

19.00350

17.98460

17.03835

15.92785

15.08857

13.91782

13.06054

11.96943

11.01274

9.99631

9.00076

7.99991

7.00000

6.00000

5.00000

4.00000

3.00000

2.00000

1.00000

Jim Wilkinson (1919-1986).

3

O numero de solucoes cresce exponencialmente

f1(z) = z21 − 2

f2(z) = z22 − z1

f3(z) = z23 − z2

...

fn(z) = z2n − zn−1

Valores possıveis de zn:

zn = 22−n

e2π√−1 2−nk, k ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1}.

4

Parte I: Aplicacoes de Polinomios

Paris, outubro de 1906.

5

O mecanismo de controle do aviao, ou uma planta em geral, pode ser

modelado por uma equacao diferencial ordinaria de primeira ordem:

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t),

onde u(t) e a ‘entrada’, x(t) e o ‘estado interno’ e y(t) e a ‘saıda’.

Apos aplicar a transformada de Laplace, obtemos:

sX(s) = AX(s) + BU(s)

Y (s) = CX(s).

A solucao e Y (s) = GUY (s)U(s), onde a funcao racional

GUY = C(Is − A)−1B e chamada de funcao de transferencia.

6

A solucao e Y (s) = GUY (s)U(s), onde a funcao racional

GUY = C(Is − A)−1B e chamada de funcao de transferencia.

Se um dos polos da funcao racional GUY (s) estiver a direita do eixo

real, acontecera um desastre:

Entrada u(t) Saıda y(t)

7

Outro exemplo: separadores Gas-Oleo-Agua como os utilizados em

plataformas off-shore podem ser modelados por equacoes diferenciais

ordinarias com 81 variaveis.

8

+ H

S

R−1

W U Y

SeparadorControlador

Controlador

Para tentar controlar o separador de modo a aproximar uma meta de

producao w(t), precisamos ‘fechar a malha’ com um certo

controlador. Decidir a estabilidade do sistema global

separador-controlador e um problema difıcil, que pode envolver

polinomios de grau alto (100 ou 1000).

9

Movimentos rıgidos do espaco.

Composicao de Rotacao e Translacao:

x1

x2

x3

7→

y1

y2

y3

=

cos θ − sin θ 0

sen θ cos θ 0

0 0 1

x1

x2

x3

7→

z1

z2

z3

=

y1

y2

y3

+

t1

t2

t3

Representacao matricial:

x1

x2

x3

1

7→

z1

z2

z3

1

=

cos θ − sin θ 0 t1

sen θ cos θ 0 t2

0 0 1 t3

0 0 0 1

x1

x2

x3

1

10

Manipulador 6R

5 hastes articuladas. Controla-se os angulos entre as hastes.

Uso: brinquedo, laboratorio, industria.

11

Plataforma Stewart

Duas plataformas triangulares, ligada por hastes pneumaticas.

Uso: simulador de voo, manipulacao de objetos pesados.

12

A coluna vertebral humana

A coluna humana e composta por 17

vertebras, separadas por discos. Adler

et alli representam a coluna por um

elemento de SO(3)16.

Problema 1: Achar esse elemento com

base em radiografias.

Problema 2: Planejamento de

intervencoes cirurgicas.

Figura: Adler, Dedieu, Margulis e Shub, Newton method on

Riemannian manifolds and a Geometric model for the Human Spine,

IMA J. on Numerical Analysis 22 359–390, 2002.

13

Parte II: Sistemas de Polinomios e analise de algoritmos

R=1/k

dL Em 1a aproximacao:

dL/dt∝= R = 1/k.

Logo,

dt/dL∝= k.

Integrando,

#Segmentos∝=

∫

kdL.

Esta parte: trabalho conjunto com J-P. Dedieu e M. Shub, Found. of

Computational Mathematics 5 No 2, pp 145-171, Apr 2005.

14

Programacao linear, formulacao primal-dual:

(P) Minimizar cT x

t.q. Ax − s = b

si ≥ 0, i = 1, . . . , m

(D) Maximizar bT y

t.q. AT y = c

yi ≥ 0, i = 1, . . . , m

Convencoes:

• m > n ≥ 1.

• A is m × n de posto n.

• b 6∈ ImA.

• c 6= 0.

• x ∈ Rn, y, s ∈ R

m

sao as incognitas.

15

Barreira logarıtmica

(P) Min cT x − µ∑

mi=1 log si

t.q. Ax − s = b

si ≥ 0, i = 1, . . . , m

(D) Max bT y + µ∑

mi=1 log si

t.q. AT y = c

yi ≥ 0, i = 1, . . . , m

Multiplicadores de Lagrange aplicados ao problema Primal: Seja

f(x, s) = cT x − µ∑

mi=1 log si:

∇f =

[

cT ,− µ

s1, . . . ,− µ

sm

]

= yT

A −I

Multiplicadores de Lagrange: y1, . . . , ym.

16

O caminho central

∇f =

[

cT ,− µ

s1, . . . ,− µ

sm

]

= yT

A −I

Ax − s = b Restricoes do Primal

AT y = c Primeiras m igualdades

siyi = µ, i = 1, . . . , m Ultimas m igualdades

O caminho central

Primal

Dual

Primal-Dual

e

{(x(µ), s(µ))}{y(µ)}

{(x(µ), s(µ), y(µ))}

para µ ∈ [0,∞]. µ = siyi ≥ 0 e chamado de gap de dualidade.

17

Acao da mudanca de sinal εi ∈ {−1; +1}m.

(P) Min cT x

t.q. Ax − s = b

siεi ≥ 0, i = 1, . . . , m

(D) Max bT y

t.q. AT y = c

yiεi ≥ 0, i = 1, . . . , m

Uma mudanca de sinal troca o sinal das linhas de A e b. Nem toda

mudanca de sinal produz um polıtopo viavel, com um caminho

central bem definido.

Teorema [DMS 2005] Sejam m > n ≥ 1. Sejam A matriz

m × n de posto n, b ∈ Rm e 0 6= c ∈ Rn com (A, b) em posicao

geral. Entao a curvatura total media do caminho central primal

dos polıtopos estritamente viaveis definidos por (A, b) e menor

ou igual que 2π(n − 1).

18

3

21

Lema [Buck, 1943 ?] O complemento de m hiperplanos gerais em

Rn e a uniao de

m − 1

n

componentes compactos com volume

6= 0.

19

Teorema [DMS 2005] Sejam m > n ≥ 1. Sejam A matriz

m × n de posto n, b ∈ Rm e 0 6= c ∈ Rn com (A, b) em posicao

geral. Entao a curvatura total media do caminho central primal

dos polıtopos estritamente viaveis definidos por (A, b) e menor

ou igual que 2π(n − 1).

Pelo Lema de Buck, basta mostrar que:

Teorema: Sejam m > n ≥ 1. Sejam A uma matriz m × n de posto

n, b ∈ Rm e 0 6= c ∈ Rn com (A, b) em posicao geral. Entao a

curvatura total da uniao dos caminhos centrais primais dos polıtopos

estritamente viaveis definidos por (A, b) e menor ou igual que

2π(n − 1)

m − 1

n

.

20

Curvatura e comprimento

Seja {γ(t) : t ∈ I} ⊂ RN uma curva parametrizada pelo comprimento

de arco. Entao a sua curvatura total e definida por:

K =

∫

I

‖γ′′(t)‖ dt

Logo a curvatura total e o comprimento da curva de Gauss

{γ′(t) : t ∈ I} ⊂ SN−1.

21

Comprimento e numero esperado de intersecoes

Teorema [Santalo]: Seja η ⊂ SN−1 curva retificavel. Entao

Comprimento(η) = π E(#

(η ∩Tw⊥))

,

onde a media E(. . .) e tomada sobre todos os w ∈ SN−1.

22

Numero esperado de intersecoes e numero de zeros

Ax − s = b

AT y = c

siyi = µ, i = 1, . . . , m

O caminho central

Ax − s = 0

AT y = 0

siyi + siyi = 1, i = 1, . . . , m

Derivada das eq. acima

uT x + vT s = 0, i = 1, . . . , m}

Intersecao com u⊥

µ > 0, si > 0, yi > 0 } Outras restricoes

O numero de zeros complexos das equacoes acima e menor ou igual

que 2(n − 1)

m − 1

n

.

23

Parte III: Contagem de Zeros

F

Pn =

(Cn+1)∗

∼ , onde z ∼ w ⇔ ∃λ ∈ C∗ : z = λw.

24

Topologia de Zariski

Um conjunto fechado em Pn e um conjunto da forma

V (f1, . . . , fm) = {z ∈ Pn : f1(z) = . . . = fm(z) = 0}.Um conjunto aberto e o complementar de um conjunto fechado.

Um conjunto fechado e irredutıvel quando nao pode ser decomposto

como a uniao de dois fechados nao contidos um no outro.

Uma variedade e um conjunto fechado irredutıvel.

25

Grau de uma variedade

V

Se V ⊂ Pm e uma variedade de dimensao m − n, entao um espaco

linear generico de dimensao n corta V em um numero finito D de

pontos. O numero D e chamado de grau da variedade V .

26

O numero de zeros e o grau de uma variedade

Seja A(Z+)n, com m = #A finito. A variedade de Veronese e

definida por:

VA = {(za1 : za2 : . . . : zam) : z ∈ (C∗)n} ⊂ Pm−1

O numero de solucoes isoladas de

f1(z) =∑

a∈A1fa za1

1 za2

2 . . . zann

...

fn(z) =∑

a∈Anfa za1

1 za2

2 . . . zann

para coeficientes f ia genericos e precisamente o grau de VA.

Teorema [Kushnirenko] Esse numero e n! Vol Conv(A).

27

Formas de volume e formas simpleticas

Se escrevemos z = x + iy, entao:

〈z, z′〉H =∑

j zj z′j =

⟨

x

y

,

x′

y′

⟩

R +√−1

Forma simpletica:

η=∑

jdxj∧dyj

︷ ︸︸ ︷∑

j xj y′j − yj x

′j

Forma de Volume = det〈·, ·〉 =1

n!η ∧ η ∧ . . . ∧ η︸ ︷︷ ︸

n vezes

28

Fubini-Study

Comecamos com o potencial em Cm:

g(z) =1

2log ‖z‖2 =

1

2log

∑

x2j + y2

j

Aplicamos o operador − 12dJ∗d, e obtemos a 2-forma:

η = −1

2dJ∗d g(z) =

∑

jdxj ∧ dyj∑

x2j + y2

j

+∑

j(xjdxj+yjdyj)∧∑

j(−xjdyj+yjdxj)

(∑

x2j + y2

j )2

(1) η e invariante por rotacao.

(2) Quando z = (1, 0, . . . , 0),

η = dx2 ∧ dy2 + . . . + dxm ∧ dym.

A forma de volume n-dimensional e:

1

n!(η∧n

z )TzV .

29

Grau e volume

Teorema [Wirtinger]: Se V ⊂ Pm−1 e uma variedade de dimensao

n, entao

Vol(V) = Vol(Pn) Grau(V).

30

A aplicacao momento

0

1

2

0 1 2 3 4

A aplicacao

z 7→∑

a∈Aa|za|2∑

a∈A|za|2

preserva volume (vezes uma constante πn), e cobre ConvA. Logo

Vol(VA) = πnVol(ConvA).

31

Prova do Teorema de Kushnirenko

f1(z) =∑

a∈A1fa za1

1 za2

2 . . . zann

...

fn(z) =∑

a∈Anfa za1

1 za2

2 . . . zann

#Zeros = deg(VA) por definicao.

= Vol(VA)/Vol(Pn) pelo T. de Wirtinger.

= Vol(Conv(A)) πn

Vol(Pn) pela aplicacao momento.

= n! Vol(Conv(A)) usando Vol(Pn) = πn

n!.

32

Comentarios finais:

(1) Para contar o numero de zeros de um sistema geral

f1(z) =∑

a∈A1f1

a za1

1 za2

2 . . . zann

...

fn(z) =∑

a∈Anfn

a za1

1 za2

2 . . . zann ,

onde os suportes A1, . . . , An sao diferentes, precisamos de uma

generalizacao do volume usual, chamada de volume misto:

=+a b a ab

ab b

2

2

33

(2) Resolver sistemas de polinomios exige uma combinacao de

metodos e resultados de varias areas da matematica, que incluem

mas nao se restringem a (por ordem alfabetica): algebra, algebra

linear computacional, analise numerica, combinatoria, complexidade,

geometria algebrica, geometria algebrica tropical, geometria convexa,

otimizacao, probabilidade, teoria da eliminacao, etc...

(3) Conferencias e escolas sobre o assunto: ja realizamos duas escolas

latino-americanas sobre sistemas de polinomios, e pretendemos

organizar uma terceira. Mais informacoes na minha pagina:

www.labma.ufrj.br/∼gregorio

.

34