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Sistemas Digitais Módulo 5

Teoremas Lógicos, Simplificação Algébrica e Projeto de Circuitos Lógicos

Graduação em Sistemas de Informação

Prof. Dr. Daniel A. Furtado

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação

Conteúdo

Avaliação das Saídas dos Circuitos Lógicos

Análise de Circuitos por Tabela Verdade

Teoremas Lógicos

• Teoremas Básicos

• Teoremas de DeMorgan

Simplificação Algébrica de Expressões Lógicas

Simplificação de Circuitos Lógicos

Projeto de Circuitos Lógicos Combinacionais

Prof. Daniel A. Furtado

Avaliando as Saídas dos Circuitos Lógicos

Exemplo 1: determinar o nível lógico da saída 𝑥 do circuito acima para o caso

em que 𝐴 = 0, 𝐵 = 1, 𝐶 = 1 e 𝐷 = 1:

𝑥 = 𝐴 𝐵𝐶 𝐴 + 𝐷 = 0 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0 + 1 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0 + 1 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ (1 ) = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0 = 0


Avaliando as Saídas dos Circuitos Lógicos

Exemplo 2: determinar o nível lógico da saída 𝑥 do circuito acima para o caso

em que 𝐴 = 0, 𝐵 = 0, 𝐶 = 1, 𝐷 = 1 e 𝐸 = 1:

𝑥 = 𝐷 + 𝐴 + 𝐵 𝐶 𝐸

= 1 + 0 + 0 ∙ 1 ∙ 1

= 1 + 0 ∙ 1 ∙ 1 = 1 + 0 ∙ 1 = 1 + 1 ∙ 1 = 1

𝑥 = 𝐷 + 𝐴 + 𝐵 𝐶 𝐸


Análise do Circuito por Tabela Verdade

Uma análise detalhada do circuito lógico pode ser necessária em algumas situações;

Por exemplo, dado um circuito lógico, pode-se desejar saber quais são as combinações de valores das entradas que levam ao valor lógico 1 na saída;

Também pode ser necessário conhecer os possíveis valores lógicos em um nó intermediário do circuito (para fins de análise de defeitos, por exemplo);

Uma forma de realizar tais avaliações é construindo uma tabela verdade que apresente todos os possíveis valores lógicos nos nós intermediários e no nó final do circuito.


(a) (b) (c)

(d)

Circuito exemplo

Tabela verdade completa do circuito

Simplificação Algébrica

Simplificação Algébrica – Introdução

Expressões lógicas e circuitos lógicos frequentemente pode ser simplificados;

Circuitos lógicos mais simples podem ser analisados com maior facilidade e geralmente são implementados com um custo menor;

Em softwares, expressões lógicas mais simples também trazem benefícios óbvios.



Por exemplo, os circuitos (a) e (b) a seguir são equivalentes. Entretanto, o circuito (b) é muito mais simples e obviamente deveria ser escolhido no caso de uma eventual implementação.



A simplificação algébrica é uma forma de realizar simplificações em expressões lógicas utilizando uma coleção de teoremas lógicos da álgebra booleana;

Alguns desses teoremas são apresentados a seguir.


Simplificação Algébrica – Teoremas Booleanos

1. 𝑥 ∙ 0 = 0

2. 𝑥 ∙ 1 = 𝑥

3. 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥

4. 𝑥 ∙ 𝑥 = 0

𝑥

0

0

𝑥

1

𝑥

𝑥 𝑥

𝑥 0



5. 𝑥 + 0 = 𝑥

6. 𝑥 + 1 = 1

7. 𝑥 + 𝑥 = 𝑥

8. 𝑥 + 𝑥 = 1

𝑥

0

𝑥

𝑥

1

1

𝑥 𝑥

𝑥 1



9. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (a operação OR é comutativa)

10. 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥 (a operação AND é comutativa)

11. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (OR é associativa)

12. 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 (AND é associativa)

13. (a) 𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧

13. (b) 𝑤 + 𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑤𝑦 + 𝑤𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧

14. 𝑥 + 𝑥𝑦 = 𝑥

15. (a) x + x y = x + y

15. (b) x + xy = x + y

Propriedade distributiva: podemos colocar termos comuns em evidência (fatorar)



Os teoremas booleanos são fundamentais na simplificação algébrica de expressões lógicas;

As variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧 nos teoremas booleanos podem representar expressões com mais de uma variável:

• Por exemplo, utilizando o teorema 4, pode-se deduzir

que 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = 0. Neste caso, basta considerar 𝑥 = 𝐴𝐵 .


Simplificação Algébrica – Duplas Inversões

Duas inversões em sequência se anulam, ou seja:

• A + B + C = A + B + C

• A ∙ B = AB

• A = A

Entretanto:

• A ∙ B ≠ AB


Simplificação Algébrica – Exemplos

Exemplo 1: utilize os teoremas booleanos para simplificar a expressão 𝑦 = AB D + AB D

𝑦 = AB D + AB D

= AB D + D (coloca-se em evidência 𝐴𝐵 , teorema 13)

= AB 1 (teorema 8)

= AB (teorema 2)



Exemplo 2: utilize os teoremas booleanos para simplificar a expressão 𝑧 = 𝐴 + 𝐵 𝐴 + 𝐵

𝑧 = A + B A + B

= A A + A B + BA + BB (distribuição, teorema 13b)

= 0 + A B + BA + B (teoremas 3 e 4)

= A B + BA + B (0 + 𝑥 = 𝑥, teorema 5)

= B(A + A + 1) (pode-se colocar B em evidência, teor. 13)

= B(1) (𝑥 + 1 = 1, teorema 6)

= B (𝐵 ∙ 1 = 𝐵)



Exemplo 3: utilize os teoremas booleanos para simplificar a expressão 𝑥 = ACD + A BCD

𝑥 = ACD + A BCD

= CD(A + A B) (coloca-se CD em evidência, teor. 13)

= CD(A + B) (A + A B = A + B; teorema 15a)

= ACD + BCD (distribuição, teor. 13)


Simplificação Algébrica – Exercícios

Exercício. Utilize os teoremas lógicos para simplificar:

• AC + ABC

• A B CD + A B C D

• A D + ABD

• A BC + ABC + BC D

• ABC + AB (A + C)


Simplificação Algébrica – Teoremas de DeMorgan

Dois outros teoremas lógicos possuem especial importância no processo de simplificação algébrica de expressões lógicas;

Eles foram propostos pelo matemático britânico Augustus De Morgan:

1. x + y = x ∙ y

2. x ∙ y = x + y



Exemplo 4: simplifique a expressão x = AB + C

AB + C = AB ∙ C (DeMorgan, x + y = x ∙ y )

= A + B ∙ C (DeMorgan, xy = x + y )

= A + B ∙ C

= A C + BC


Formas Canônicas de uma Expressão Lógica

Uma expressão lógica está na forma soma-de-produtos quando é constituída por dois ou mais termos AND conectados por operações OR, onde:

• Cada termo AND consiste em um grupo de variáveis conectadas pela operação AND e é denominado mintermo;

• As variáveis em um termo AND podem aparecer individualmente na forma complementada ou não;

Exemplos: • AB + CD + AD (expressão com 3 mintermos)

• AB + B C D + D + A BD (expressão com 4 mintermos)

Atenção: na soma-de-produtos não é permitida a inversão de um grupo de variáveis, isto é, uma barra não pode cobrir mais que uma variável ao mesmo tempo, como em ABC ou BCD.


Formas Canônicas de uma Expressão Lógica

Uma expressão lógica está na forma produto-das-somas quando é

constituída por dois ou mais termos OR conectados por operações AND, onde: • Cada termo OR consiste em um grupo de variáveis conectadas pela

operação OR e é comumente denominado maxtermo;

• As variáveis em um termo OR podem aparecer individualmente na forma complementada ou não;

Exemplos: • (A + B + C )(A + D )

• (A + B )(A + D)(B + A + C)(D)

Atenção: no produto-das-somas não é permitida a inversão de um grupo de variáveis, como em (A + B + C)(C + D ).



Pode-se utilizar a forma soma-de-produtos e os teoremas lógicos para simplificar expressões lógicas;

Passos:

1. Coloca-se a expressão na forma soma-de-produtos (se

possível, aplica-se DeMorgan, multiplicações, etc.);

2. Procura-se por fatores comuns entre os termos a fim de

colocá-los em evidência:

• o objetivo é tentar eliminar um ou mais termos;

• dê preferência para os fatores maiores;


Simplificação Algébrica – Exemplo 5

Simplifique a expressão y = ABC + AB A C

ABC + AB A C = ABC + AB (A + C ) (DeMorgan) = ABC + AB (A + C)

= ABC + AAB + AB C = ABC + 𝐀𝐁 + 𝐀𝐁 𝐂

= ABC + AB (x + xy = x)

= A BC + B

= A(B + C) (x + xy = x + y)

= AB +AC



Simplifique a expressão (A + C) ∙ (B + D )

(A + C) ∙ (B + D ) = (A + C) + (B + D )

= A ∙ C + B ∙ D

= AC + B D



Simplificar a expressão x = (A + B)(A + B + D)D

= A AD + A BD + A DD + BAD + BBD + BDD (Distribui)

= 0 + A BD + 0 + BAD + BD + 0 (x ∙ x = 0)

= A BD + ABD + BD (Reescreve)

= BD (A + A + 1) (Fatora)

= BD (1) (1 + x = 1)

= BD (x ∙ 1 = x)



Simplificar a expressão z = A C A BD + A BC D + AB C

• Passo 1: colocar na forma soma-de-produtos:

z = A C A BD + A BC D + AB C

= A C 𝐀 + 𝐁 + 𝐃 + A BC D + AB C [DeMorgan]

= A CA + A CB + A CD + A BC D + AB C [Multiplica]

• Passo 2: fatorar/simplificar (1ª forma)

= 𝐀 𝐂𝐀 + A CB + A CD + A BC D + AB C

= 0 + A CB + A CD + A BC D + AB C [A ∙ A = 0]

= A B C + A CD + A BC D + AB C [Reorganiza]

= B C A + A + A D (C + BC ) [Fatora]

= B C + A D (C + C B) [A + A = 1]

= B C + A D (C + B) [C + C B = C + B, teor. 15]



Passo 2: fatorar/simplificar (2ª forma)

𝐳 = 𝐀 𝐂𝐀 + A CB + A CD + A BC D + AB C

= 0 + A 𝐂B + A 𝐂D + A BC D + AB 𝐂 [A ∙ A = 0]

= C A 𝐁 + A D + A𝐁 + A BC D [Fatora]

= C B A + A + A D + A BC D [Fatora]

= C B 1 + A D + A BC D [A + A = 1]

= B C + A CD + A BC D [Distribui]

= B C + A D (C + BC ) [Fatora]

= 𝐁 𝐂 + 𝐀 𝐃 (𝐂 + 𝐁) [C + C B = C + B, teor. 15]



Pode-se observar na simplificação algébrica que:

• É possível ter diversos “caminhos” no processo de simplificação;

• Nem sempre é óbvio escolher as melhores variáveis para fatorar;

• Nem sempre é fácil saber se a expressão resultante ainda pode ser simplificada;

• Muitas vezes temos um processo de tentativa e erro;

• Nem sempre o resultado obtido corresponde à forma mais simples da expressão. Por exemplo, a forma mais simples da última expressão simplificada é 𝒛 = 𝑨 𝑩𝑫 + 𝑩 𝑪


Simplificação Algébrica – Exercício

Utilize a álgebra booleana para simplificar as expressões:

a. q = RST(R + S + T)

b. r = (ABA)(ABB)


Simplificação Algébrica e Circuitos Lógicos

É possível utilizar a simplificação algébrica para simplificar circuitos lógicos;

Basta obter a expressão lógica equivalente ao circuito a ser simplificado, simplificar a expressão e então gerar um novo circuito a partir da expressão simplificada;


Simplificação de Circuitos

Exemplo. Utilizar o processo de simplificação algébrica para simplificar o circuito lógico:



Solução

• Passo 1: Obter a expressão lógica equivalente à saída do circuito;

z = ABC + AB (A C )



Solução

• Passo 2: Simplificar a expressão lógica

ABC + AB A C

= ABC + AB (A + C) (DeMorgan)

= ABC + AAB + AB C = ABC + 𝐀𝐁 + 𝐀𝐁 𝐂

= ABC + AB (x + xy = x)

= A BC + B

= A(B + C) (x + xy = x + y)



Solução

• Passo 3: Montar o circuito correspondente à expressão simplificada.

A(B + C)


Simplificação de Circuitos – Exercício

Simplificar o circuito a seguir utilizando a álgebra booleana:


Projeto de Circuitos Combinacionais


Quando se conhece o valor de saída de um circuito lógico para cada combinação de entradas, pode-se montar uma tabela verdade e projetar o circuito lógico a partir dessa tabela;

Exemplo 1

Entradas Saída 𝑥

A B

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 0

Tabela Verdade do Circuito

A

B 𝑥 = A B

Circuito correspondente

A B



Exemplo 2. Três entradas com uma única saída em alta

Entradas Saída 𝒙

A B C

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0


A

B x = AB C

C

Circuito correspondente

AB C



Exemplo 3. Duas entradas e duas combinações de entrada que resultam em saída alta;



A B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A B

AB 𝑥 = A B + AB

A

B

𝑥 = A B + AB

𝐴 𝐵

𝐴𝐵



Exemplo 4

Entradas Saída 𝑥

A B C

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0


A B C

AB C

AB C

x = A B C + AB C + AB C

= B C A + A + AB C = B C + AB C = B C + AC = B (C + A)

B

C

A

x = B (C + A)


Projeto de Circuitos – Procedimento Completo

1. Interprete o problema e construa uma tabela-verdade para descrever seu funcionamento;

2. Escreva o termo AND (produto) para cada caso em que a saída seja 1;

3. Escreva a expressão soma-de-produtos para a saída;

4. Simplifique a expressão de saída, se possível;

5. Implemente o circuito para a expressão final, simplificada.


Projeto de Circuitos Combinacionais – Exemplo 5

Em um determinado modelo de automóvel, uma luz de advertência

deve acender no painel de instrumentos do veículo quando uma das

seguintes situações ocorrer:

O motorista acende os faróis com a ignição desligada;

O motorista abre a porta com a ignição ligada;

Projete um circuito lógico para simular esses eventos. A saída 𝑥 do

circuito deverá indicar o estado da luz de emergência (ligada/desligada).



Solução:

Passo 1a. Utilizar três variáveis lógicas para representar,

respectivamente, o estado dos faróis, da ignição e da porta:

• Variável 𝐅: estado dos faróis (0 = desligado; 1 = ligado);

• Variável 𝐈: estado da ignição (0 = desligada; 1 = ligada);

• Variável 𝐏: estado da porta (0 = fechada; 1 = aberta);



Solução:

Passo 1b. Construção da tabela verdade contendo todas as

combinações possíveis de entrada e as respectivas saídas:


𝐅 𝐈 𝐏

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

• O motorista acende os faróis

com a ignição desligada;

• O motorista abre a porta

com a ignição ligada;

Condições para acender a luz

1

1

1

1

0

0

0

0

0



Solução:

Passo 2. Obter os mintermos para cada saída igual a 1


𝐅 𝐈 𝐏

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

F I P

F I P

F I P

F I P



Solução:

Passo 3. Escrever a expressão da saída na forma soma-de-produtos


𝐅 𝐈 𝐏

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

x = F IP + FI P + FI P + FIP F I P

F I P

F I P

F I P



Solução:

Passo 4. Simplificar a expressão da saída

Passo 5. Projetar o circuito para a expressão simplificada

x = F IP + FI P + FI P + FIP

= IP F + F + FI P + P = IP 1 + FI 1 = 𝐈𝐏 + 𝐅𝐈

I

P

F

𝑥 = IP + I F


Suficiência da Portas NAND e NOR

Teoremas de DeMorgan e Portas Lógicas

Os teoremas de DeMorgan podem ser usados para estabelecer equivalências de portas lógicas;

Uma porta NOR é equivalente a uma porta AND com duas inversões nas entradas:


Teorema 1: x + y = x ∙ y

Teoremas de DeMorgan e Portas Lógicas

Da mesma forma, uma porta NAND é equivalente a uma porta OR com duas inversões nas entradas:


Teorema 2: x ∙ y = x + y

Suficiência da Porta NAND

Qualquer circuito lógico pode ser representado utilizando apenas portas NAND.


≡

≡

≡

Suficiência da Porta NOR

Qualquer circuito lógico pode ser representado utilizando apenas portas NOR.


Suficiência das Portas NAND e NOR

Suponha que a expressão lógica 𝑥 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 tenha que ser implementada como um circuito para controle de uma esteira de transporte;

Suponha ainda que os seguintes circuitos integrados (CIs) estejam disponíveis:

Qual seria a melhor forma de criar o circuito?

74LS00 74LS32 74LS08


Suficiência das Portas NAND e NOR Opção 1: Implementar o circuito a seguir utilizando um CI

74LS08 (portas AND) e um CI 74LS32 (porta OR)

74LS00 74LS32 74LS08


Suficiência das Portas NAND e NOR

Opção 2: Tentar simplificar o circuito utilizando apenas portas NAND:


Suficiência das Portas NAND e NOR Circuito equivalente após substituição das portas AND e OR por portas NAND:

Após eliminação das duplas inversões:


Suficiência das Portas NAND e NOR Assim, o circuito equivalente à expressão lógica 𝑥 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 que utiliza

apenas portas NAND poderia ser implementado utilizando apenas um CI 74LS00, ao invés de dois CIs diferentes, como na primeira proposta.


74LS00

Referências

TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: princípios e aplicações. 11.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.

• Leitura recomendada: Páginas 49-75.


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