Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 – Transformadas de FourierTransformadas de FourierCarlos CardeiraCarlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base ((Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em informação pública disponível em http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.htmlhttp://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html

Sinais e Transformadas de Sinais e Transformadas de FourierFourier

SinaisContínuos->CTFT (Transformada de SinaisContínuos->CTFT (Transformada de Fourier para tempo contínuo a definir)Fourier para tempo contínuo a definir)

SinaisContínuosPeriodicos -> Série de Fourier SinaisContínuosPeriodicos -> Série de Fourier (que é um sinal discreto)(que é um sinal discreto)

SinaisDiscretos = [Inteiros->Complexos] -> SinaisDiscretos = [Inteiros->Complexos] -> DTFT (tranformada de Fourier para tempo DTFT (tranformada de Fourier para tempo discreto a definir)discreto a definir)

SinaisDiscretosPeriódicos -> Série de Fourier SinaisDiscretosPeriódicos -> Série de Fourier (que é um sinal discreto)(que é um sinal discreto)

CTFTCTFT

( )

1, ( ) ( )

2

, ( ) ( )

jwt

jwt

x SinaisContínuos tempo C

CTFT x X SinaisContínuos frequência C

t tempo x t X w e dw

w frequências X w x t e dt

O domínio do sinal x(t) é o tempo que se mede em segundosO domíno da CTFT é a frequência que se mede em rad/s

Sinais periódicosSinais periódicos

0

0

2( ) ( ),

( ) jkw tk

x t p x t wp

x t X e

Já conhecíamos este resultado do desenvolvimento em série de Fourier

Se o período tender para Se o período tender para infinitoinfinito

0

0

2, 0

( ) ( )jkw t jwtk

p wp

x t X e X w e dw

-2p -p 0 p 2p

-2w0 -w0 0 w0 2w0

Se p tender para infinito, a Se p tender para infinito, a série de Fourier tende para a série de Fourier tende para a

CTFTCTFT

-2p -p 0 p 2p

-2w0 -w0 0 w0 2w0

-p 0 p

-4w0 -3w0 -2w0 -w0 0 w0 -2w0 -3w0 -4w0

00

2, 0, ( ) ( )jkw t jwt

kp w x t X e X w e dwp

Se p tender para infinito, a Se p tender para infinito, a série de Fourier tende para a série de Fourier tende para a

CTFTCTFT Na CTFT todas as frequências estão representadas.Na CTFT todas as frequências estão representadas. Os sinais normais terão um espectro da frequência.Os sinais normais terão um espectro da frequência. Se o sinal for aproximadamente uma sinusoide, o Se o sinal for aproximadamente uma sinusoide, o

espectro terá amplitude máxima na frequência da espectro terá amplitude máxima na frequência da sinusoide.sinusoide.

Em torno desta frequência, a amplitude da CTFT cai.Em torno desta frequência, a amplitude da CTFT cai. Se fosse verdadeiramente uma sinousoide pura, a Se fosse verdadeiramente uma sinousoide pura, a

CTFT seria apenas um delta de Dirac nessa CTFT seria apenas um delta de Dirac nessa frequência.frequência.

De um modo geral, o área definida pela CTFT entre De um modo geral, o área definida pela CTFT entre duas frequências está relacionada com a quantidade duas frequências está relacionada com a quantidade de energia do sinal nessa gama de frequências.de energia do sinal nessa gama de frequências.

Exemplo: CTFT de uma Exemplo: CTFT de uma exponencialexponencial

0

0

0

, ( )

1( ) ( )

2

( ) 2 ( )

jw t

jw tjwt

t tempo x t e

x t X w e dw e

X w w w

w0

Exemplo: CTFT de um Exemplo: CTFT de um cosenocoseno

0 0

0

0

0 0

, ( ) cos( )

1( ) ( ) cos( )

2 2

( ) ( ) ( )

jw t jw tjwt

t tempo x t w t

e ex t X w e dw w t

X w w w w w

w0-w0

Exemplo: CTFT de um senoExemplo: CTFT de um seno

0 0

0

0

0 0

, ( ) sin( )

1( ) ( ) sin( )

2 2

( ) ( ) ( )

jw t jw tjwt

t tempo x t w t

e ex t X w e dw w t

j

X w w w w wj

w0-w0

/ j)

/j)

CTFT de sinais reaisCTFT de sinais reais

Se o sinal é real :Se o sinal é real :

*

*

* *

* *

*

*

*

( ) ( )

1 1( ) ( ) ( )

2 2

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

jwt jwt

jwt j t

j t

jwt jwt

x t x t

x t X w e dw X w e dw w

X w e dw X e d

X e d w

X w e dw X w e dw

X w X w

Já era um resultado conhecido das séries de Fourier

Mudança de escalaMudança de escala

2

2

2

2

2

( ) (2 )

1 1( ) ( ) 2

2 2

1

2 2

1

2 2

1( )

2 2

jwt jw t

j t

jwt

y t x t

Y w e dw X w e dw w

X e d w

wX e dw

wY W X

LinearidadeLinearidade

1 2

1 2( ) ( ) ( )

y ax bx

Y w aX w bX w

Reverse …Reverse …

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

jwt jwt

jwt jut jut

y t x t

y t x t X w e dw Y w e dw

u w

Y w e dw X u e du X u e du

Y w X w

Delta no domínio do tempoDelta no domínio do tempo

00( ) ( ) ( )

e se ( ) ( )?

( ) ( ) 1

jw t

jwt

x t e X w w w

x t t

X w x t e dt

O delta de Dirac tem todas as frequências. Se pegarmos em todas as sinusoides do mundo (ejwt)e as somarmos, obtemos um delta de Dirac.

Delta de Dirac como Delta de Dirac como entradaentrada

Como o delta de Dirac representa Como o delta de Dirac representa todas as frequências, quando se todas as frequências, quando se excita um sistema com um delta de excita um sistema com um delta de Dirac obtem-se toda a informação Dirac obtem-se toda a informação sobre o sistema uma vez que o sobre o sistema uma vez que o excitámos com todas as excitámos com todas as frequências.frequências.

Sinais PeriódicosSinais Periódicos

Relação entre a transformada de Fourier Relação entre a transformada de Fourier e a Série de Fouriere a Série de Fourier

00

0

( ) ( ) 2 ( )

( ) 2

jkw tk k

k k

k

x t X e X w X w kw

X kw X

pt

w0w2w0 3w00-w0

ExemploExemplo

(1 )

0 0

(1 )

0

0 0( )

1 0

( ) ( )

( ) ( )

1 1

(1 ) 1

t

t jwt t jwt jw t

jw t

tu t

t

y t e u t

Y w e u t e dt e e dt e dt

ejw jw

ExemploExemplo

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

1

tz t y t e u t

Z w Y wjw

Se fizermos “reverse”, não é necessário recalcular a Transformada, basta aplicarmos a regra y(t)=x(-t), Y(w)=X(-w)

Soma das duas …Soma das duas …

'

'

2

( ) ( ) ( )

1 1 (1 ) (1 )( ) ( ) ( )

1 1 (1 )(1 )

2

1

tz t e y t y t

jw jwZ w Y w Y w

jw jw jw jw

w

Resposta Impulsiva e Resposta Impulsiva e Resposta em FrequênciaResposta em Frequência

( ) ( ) ?

( ) ( * )( ) ( ) ( )

( )

( )

jwt

jwt

h t H w

y t h x t h s x t s ds

x t e

H w e

( )( ) jw t sh s e ds

A Resposta em Frequência é a A Resposta em Frequência é a Tranformada de Fourier da Tranformada de Fourier da Resposta Impulsiva.Resposta Impulsiva.

ExemploExemplo

Calcular a resposta impulsiva de

( ) ( ) ( )

sabendo que a resposta em frequência é

1( )

1

Resposta:

1Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de ( )

1

é ( ) ( )t

y t y t x t

H wjw

H wjw

h t e u t

ExemploExemplo

Calcular a resposta impulsiva de

( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )y t y t y t x t

Calculando a RFCalculando a RF

2

Resposta:

( ) ?

( )( ) jwt

H w

H w jw e

3 ( ) jwtH w jw e 2 ( ) jwtH w e jwte

2

1 1( )

( ) 3 2 (2 )(1 )H w

jw jw jw jw

Factorizando …Factorizando …

(um polinómio do 2º grau pode sempre ser factorizado

em dois termos (ver apêndice B)).

1( )

2 1 (2 )(1 )

(1 ) (2 ) 1 2 1

2 1 0 1; 1

1 1( )

1 2

A BH w

jw jw jw jw

A jw B jw A Ajw B Bjw

A B A B A B B A

H wjw jw

TF inversa …TF inversa …

2

Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de

1 1( )

1 2

é

( ) ( )t t

H wjw jw

h t e e u t

NotaNota

Quando se resolvem equações Quando se resolvem equações diferenciais sabemos que somos diferenciais sabemos que somos conduzidos a uma resposta livre, a conduzidos a uma resposta livre, a uma resposta forçada, etc.uma resposta forçada, etc.

Este método permite resolver Este método permite resolver qualquer equação diferencial desde qualquer equação diferencial desde que se saibam factorizar que se saibam factorizar polinómios, decompor em fracções polinómios, decompor em fracções parciais e fazer a convoluçãoparciais e fazer a convolução

Mais simetriaMais simetria

1( ) ( ) 2 ( ) ( )

2

Mudanças de variável:

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

2 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 ( )

jwt jwt

jsu jsw

jwt

x t X w e dw x t X w e dw

x u X s e ds x w X s e ds

x w X t e dt

x t X w X t x w

ExemplosExemplos

-a a

/ax(t)

X(w)=?

ExemploExemplo

( ) ( ) ( )

1 1 2 2sin( )

2

a ajwt jwt jwt

a a

a

jwa jwaajwt jwa jwa

a

X w x t e dt x t e dt e dta

e ee e e aw

a jw a jw aw j aw

ExemploExemplo

sin( )( ) 2

awX w

aw

2

waw= w= /a

aw= 2w= 2/a

aw= -w= -/a

aw= -2w= 2/a

w= 0

ExemploExemplo

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

0

2

4

6

8

>> a=10;>> w=-pi:pi/1000:pi;>> X=2*pi/a./w.*(sin(a*w));Warning: Divide by zero.>> plot (w,X)

sin( )( ) 2 2 sinc

sin( )Nota: sinc( )

aw aX w w

aw

xx

x

Função sincFunção sinc

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

0

2

4

6

8

>> %% a função sinc(x) retorna (sin(pi*x))/pi*x pelo que o mesmo gráfico pode ser obtido por:>>>> plot (w,2*pi*sinc(a/pi*w))

sin( )( ) 2 2 sinc

sin( )Nota: sinc( )

aw aX w w

aw

xx

x

AnalogamenteAnalogamente

-a a

/ax(t)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2

0

2

4

6

8

X(w)

Se considerarmos que um sistema tem como resposta impulsiva X(t) então a sua resposta em frequência seriax(w) (a menos uma simetria e um factor 2pi), pelo que um filtro passa-baixo ideal é não causal (em tempo real É impossível realizar um filtro passa-baixo ideal (sobre os dados de um ficheiro já seria possível)

Aproximação usando DelayAproximação usando Delay

-a a

/ax(w) X(w)

Se considerarmos atrasarmos o sinal em 3pi/4, e truncarmos o valor da resposta impulsiva para t<0, obtemos uma aproximação melhor.Mas há casos em que não se pode fazer um delay, por exemplo, sempreque há feedback.

-1 0 1 2 3 4 5 6-2

0

2

4

6

8

ExemploExemplo

1 3

( )1 1 2

jwH w

jw jw

Qual a amplitude e fase ?

Amplitude e faseAmplitude e fase

2

2 2

1 3( )

1 1 2

1 9( )

1 1 4( ) (3 ) ( ) (2 )

jwH w

jw jw

wH w

w wH w arctg w arctg w arctg w

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1.5

-1

-0.5

0

Qual a equação diferencial Qual a equação diferencial que descreve o sistema ?que descreve o sistema ?

2

1 3 1 3( )

1 1 2 1 3 2

2 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( )

jw jwH w

jw jw jw w

y t y t y t x t x t

E a resposta impulsiva ?E a resposta impulsiva ?

2

1 3( )

1 1 2 1 1 2

1 2 1 1 3

2 1 3

1 1

2 3 2 1 3 2; 1

1( )

1( ) 2 ( )

2

tt

jw A BH w

jw jw jw jw

A jw B jw jw

A B A B jw jw

A B B A

A B A A A B

wcomo x at X

a a

h t e e u t

E a resposta a um degrau ?E a resposta a um degrau ?

2

0

1 0( )

0 0

1( ) 2 ( )

2

( ) ( ) ( ) ( )

tt

t

tx t

t

h t e e u t

y t h s x t s ds h s ds

Como era de esperar uma vez que o degraucorresponde ao integral de um impulso. Aplicando o integral da entrada obtemos o integral da saída, umavez que o sistema é linear.

Exemplo simetriaExemplo simetria

Cálculo de Cálculo de integrais que não integrais que não se saberia calcularse saberia calcular

( ) ( )

1( )

1

1( )

1

( ) 2 ( )

12 ( )

1

t

w

jwt w

x t e u t

X wjw

se

x tjt

X w e u w

e dt e u wjt

Mais exemplos de simetriaMais exemplos de simetria

Produto de sinaisProduto de sinais

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( )

x y t X w Y w

x t y t X Y w

DTFTDTFT

2

2

2

0

: SinaisDiscretos SinaisContínuosPeriódicos

: SinaisContínuosPeriódicos SinaisDiscretos

( ) ( )

R, ( ) ( )

1, ( ) ( )

2

jwn

jwn

DTFT

InvDTFT

n x n w X w

w X w x n e

t N x n X w e dw

ExemploExemplo

43

0

1( ) ( )

1

jwjwn jwn

jwn n

eX w x n e e

e

0

1x(n)

MóduloMódulo

81( )

1

jw

jw

eX w

e

0

1x(n)

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

4

6

w

|X(w

)|

A DTFT tem periodicidade 2pi

DTFT e Série de FourierDTFT e Série de Fourier

0

0

( 2 )

( ) ( )

( 2 ) ( ) ( )

A DTFT é portanto periódica. Se é periódica

pode ser representada por uma série de Fourier:

( )

( )

jwn

n

j w n

n

jkw tk

k

jkw w jkwk k

k k

X w x n e

X w x n e X w

x t X e

X w e e

( )

Por isso, se calcularmos os coeficientes da série

de Fourier da DTFT e recuperarmos esse sinal

pela serie de Fourier obtemos o sinal que deu origem

à DTFT a menos de uma inversão no tempo.

k x k

DFTDFT

0

0

2

2

1'

0

1'

0

: SinaisDiscretosPeriódicos SinaisDiscretosPeriódicos

: SinaisDiscretosPeriódicos SinaisDiscretos

, ( )

1, ( )

pjnw k

nk

pjkw n

kk

DFT

InvDFT

n X x k e

n x n X ep

ExemploExemplo

43

0

1( ) ( )

1

jwjwn jwn

jwn n

eX w x n e e

e

0

1x(n) periódico8

p