Equações Diferenciais e de Diferenças 1

Sistemas e Sinais

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Departamento de Engenharia Elétrica

Representação de Sistemas Representação de Sistemas LTILTI por por Equações Diferenciais e de DiferençasEquações Diferenciais e de Diferenças

Equações diferenciais e de diferenças de coeficientesconstantes e lineares fornecem outra representação das características entrada-saída de sistemas LTI.

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Representação de Sistemas Representação de Sistemas LTILTI por por Equações Diferenciais e de DiferençasEquações Diferenciais e de Diferenças

Para o caso contínuo, a forma geral de uma equaçãodiferencial de coeficientes constantes e linear é a seguinte:

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Representação de Sistemas Representação de Sistemas LTILTI por por Equações Diferenciais e de DiferençasEquações Diferenciais e de Diferenças

Para o caso de tempo discreto, a equação de diferençaspara um sistema LTI apresenta um formato similar, ouseja:

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Exemplos: Equações DiferenciaisExemplos: Equações Diferenciais

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Exemplos: Equações DiferenciaisExemplos: Equações Diferenciais

Equações Diferenciais e de Diferenças 6

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Exemplos: Equações DiferenciaisExemplos: Equações Diferenciais

Equações Diferenciais e de Diferenças 7

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Exemplos: Equações de DiferençasExemplos: Equações de Diferenças

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Exemplo 2.16:Exemplo 2.16:

Considere o sistema representado pela seguinte equação de diferenças:

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Exemplo 2.16: Resposta para y[-1]=1 e y[-2]=2Exemplo 2.16: Resposta para y[-1]=1 e y[-2]=2

0 5 10 15 20 25 30-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

n

y[n]

Equações Diferenciais e de Diferenças 10

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Exemplo 2.16: Resposta para Exemplo 2.16: Resposta para x[n]=cos((x[n]=cos((ππ /10)n) /10)n)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

y[n]

Equações Diferenciais e de Diferenças 11

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Resolvendo Equações - Resposta NaturalResolvendo Equações - Resposta Natural

Equação Diferencial

Padrão de Resposta

Equação Característica

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Resolvendo Equações – Resposta Natural Resolvendo Equações – Resposta Natural

Equação de Diferenças

Padrão de Resposta

Equação Característica

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Natureza das Raízes Natureza das Raízes

Reais Exponenciais Reais

Imaginárias

Complexas

Senoidais

Senoides com envoltória exponencial

Equações Diferenciais e de Diferenças 14

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Resposta Natural: Raízes ReaisResposta Natural: Raízes Reais

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo (s)

y(t)

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Resposta Natural: Raízes ImagináriasResposta Natural: Raízes Imaginárias

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo (s)

y(t)

Equações Diferenciais e de Diferenças 16

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Resposta Natural: Raízes Complexas Resposta Natural: Raízes Complexas

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

tempo (s)

y(t)

Equações Diferenciais e de Diferenças 17

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Caso de Raízes Repetidas Caso de Raízes Repetidas pp vezes vezes

Caso Contínuo

Caso Discreto

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Exemplo 2.17:Exemplo 2.17:

Determinar a resposta natural para t > 0 sabendo que y(0)=2A.

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Exercício 2.10:Exercício 2.10:

Determinar a resposta natural para o sistema descrito pela equaçãode diferenças

Equações Diferenciais e de Diferenças 20

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Exercício 2.11:Exercício 2.11:

Determinar a forma da resposta natural para o circuito RLC: