Sistemas e Transportes de Coordenadas

7/25/2019 Sistemas e Transportes de Coordenadas

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Sistemas e Transportes de Coordenadas

A Geodsia tem como objetivos principais o posicionamento de pontos e a

representao do campo de gravidade da Terra, incluindo as suas variaes temporais.

Para tato, necessria a utilizao de sistemas de coordenadas definidos em termos de

origem, orientao e unidade, sendo a princpio tridimensionais.

As coordenadas referidas aos Sistemas Geodsicos de Referncia so

normalmente apresentadas em trs formas: cartesianas, geodsicas (ou elipsoidais) e

planas. Um sistema de coordenadas ser global se a sua origem for geocntrica. Se a

origem no for geocntrica o sistema ser regional ou local.

Um sistema de coordenadas cartesiano associado ao geocentro o Sistema de

Coordenadas Cartesiano Geocntrico. Segundo Torge (2001), este um sistema de

coordenadas terrestre fundamental, sendo fixo Terra, ou seja, acompanhando a mesma

em seu movimento de rotao. Este sistema utiliza o eixo de rotao mdio e o plano

equatorial mdio, devido a alteraes no movimento de rotao da Terra. As seguintes

caractersticas so indicadas para a definio deste sistema (Torge, 2001):

a) origem no geocentro (O), centro de massa da Terra, incluindo hidrosfera e atmosfera;b) o eixo Z direcionado para o Plo Norte terrestre mdio, paralelo ao eixo de rotao

mdio;

c) o plano equatorial mdio perpendicular ao eixo Z e contm os eixos X e Y;

d) o plano XZ gerado pelo plano do meridiano mdio de Greenwich (Gr), obtido pelo

eixo de rotao mdio e pelo meridiano origem de Greenwich fornecido pelo BIH

(Bureau International de lHeure);

e) o eixo Y torna o sistema dextrgiro.

A Figura 1 a seguir ilustra o Sistema de Coordenadas Geocntrico Cartesiano.


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Figura 1Sistema de Coordenadas Geocntrico Cartesiano.

Ao considerar que a superfcie da Terra pode ser aproximadamente representada

por um elipside de revoluo achatado nos plos, freqentemente, so utilizados

sistemas elipsoidais definidos geometricamente ao invs de sistemas de coordenadas

cartesianas. Isto , um ponto do espao tridimensional tambm pode ser determinado de

forma unvoca a partir de um Sistema de Coordenadas Geodsicas ou Elipsoidais. Este

sistema definido no elipside de revoluo apresenta as seguintes caractersticas:

a) a origem situa-se no centro do elipside;

b) o eixo coincide com o eixo de rotao do elipside;c) o eixo situa-se na interseco do plano equatorial do elipside com o plano domeridiano de Greenwich;

d) o eixo

escolhido de forma que o sistema seja dextrgiro.

Este sistema de coordenadas apresenta dois tipos de conjunto de coordenas

possveis de serem utilizadas. As coordenadas geodsicas ou elipsidicas e as

coordenadas geodsicas ou elipsidicas espaciais.

O sistema de coordenadas geodsicas dado pela latitude geodsica e pela

longitude geodsica como ilustra a Figura 2.


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Figura 2Coordenadas geodsicas.

A latitude geodsica de um ponto () ngulo formado pela normal que passa

pelo ponto e a projeo sobre o plano do equador. Por conveno, a latitude geodsica

positiva no hemisfrio norte e negativa no hemisfrio Sul.

A longitude geodsica de um ponto () o ngulo do diedro formado pelo

meridiano mdio de Greenwich e o meridiano do ponto. Por conveno, a longitude

positiva contada por leste e negativa contada por oeste de Greenwich.

Por outro lado, para a determinao espacial de pontos na superfcie fsica da

Terra, utilizando o elipside de revoluo, a altitude geomtrica ou elipsoidal h

adicionada s coordenadas geodsicas e .Esta altitude a distncia contada a partir

do elipside sobre a normal a este, at o ponto na superfcie fsica da Terra. Desta

forma, as coordenadas geodsicas espaciais so: , e h(Figura 3).

Figura 3Coordenadas geodsicas espaciais.


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Grande parte das observaes astronmicas e geodsicas realizada na

superfcie fsica da Terra, estando referenciadas ao campo da gravidade terrestre a partir

da denominada vertical local, a qual representa a direo do vetor gravidade no local.

Por conta disso, faz-se necessrio o uso de um sistema de referncia relacionado ao

campo da gravidade local para representar estas observaes. Segundo Torge (2001), a

direo do vetor gravidade local com respeito a um sistema global, est relacionada com

as coordenadas astronmicas (Figura 4). As coordenadas astronmicas, tambm as

vezes chamadas de geogrficas so a latitude astronmica e a longitude astronmica

.

A Latitude astronmica o ngulo formado pela vertical do ponto (direo do

vetor intensidade da gravidade g) com a sua projeo equatorial. Por conveno a

latitude positiva no hemisfrio norte e negativa no hemisfrio sul, variando de 0 a

90 (GEMAEL, 1999).

Longitude astronmica o ngulo diedro formado pelo meridiano

astronmico do ponto (local) com o meridiano origem de Greenwich (GEMAEL, 1999).

Esta varia de 0 a 360 ou 0 a 180, sendo considerada positiva se contada a partir do

Leste de Greenwich e negativa se contada por oeste de Greenwich.

O plano do meridiano astronmico do ponto contm a vertical que passa pelo

ponto e uma linha paralela ao eixo de rotao, pois a vertical e o eixo de rotao no so

co-planares.


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Para a determinao espacial de um ponto Pna superfcie terrestre utilizando o

sistema de coordenadas astronmicas, alm de dispor da latitude e longitude

astronmicas, deve-se dispor da distncia de P em relao a uma superfcie de

referncia de nvel. A superfcie de referncia de nvel utilizada na Geodsia para o

referenciamento de sistemas de altitudes com carter fsico o Geide, o qual

representa uma superfcie equipotencial do campo gravitacional terrestre, que mais se

aproxima do nvel mdio dos mares no perturbado. Neste caso, a denominada altitude

orotomtrica (H) de P, contada sobre a vertical em relao ao Geide determinada

analisando a diferena entre o potencial de gravidade neste (W0) e o definido pela

equipotencial passante pelo pontoPna superfcie fsica da Terra (W).

Na verdade, o potencial de gravidade Wno pode ser medido diretamente. Por

outro lado, a diferena de potencial pode ser determinada a partir de processos de

nivelamentos geomtricos em combinao com medidas de gravidade. Com isto, a

componente vertical deP definida em termos de diferena de potencial ou de altitude

ortomtrica, sendo esta ltima positiva acima da superfcie geoidal e negativa abaixo

dela.

Assim sendo, o ponto P no espao curvado do campo da gravidade

determinado a partir de , eH.

Outro sistema de coordenadas mundialmente utilizado o sistema de

coordenadas UTM, o qual um sistema de coordenadas plano-retangular inserido na

projeo cartogrfica Universal Transversa de Mercator (UTM). A projeo UTM

uma projeo analtica, cilndrica transversa, conforme e secante. Desta forma, o

sistema de coordenadas UTM obtido a partir da rotao do cilindro da projeo,

assumindo 60 posies diferentes, construindo um fuso UTM em cada uma destas.

Os fusos apresentam 6 em longitude, 3 esquerda e direita do denominado

meridiano central, sendo utilizvel at 80 em latitude para Norte e Sul. Em cada fuso

definido um sistema de coordenadas UTM, cuja origem a interseo do meridiano

central com a linha do Equador. O eixo N (Norte) deste Sistema coincidente com o

meridiano central, obtendo valores positivos para Norte; e o eixo E (Este) coincidente

com a Linha do Equador, obtendo valores positivo para Leste. Na origem, com o

objetivo de evitar valores negativos, no hemisfrio Sul soma-se as constantes

10.000.000 m para N e 500.000 m para E, e, no hemisfrio Norte soma-se apenas500.000 para E. Neste caso, no hemisfrio Sul, deslocando-se para baixo tem-se valores


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menores que 10.000.000 e para Leste valores maiores que 500.000. A Figura 3 a seguir

apresenta um fuso UTM com um sistema de coordenadas UTM inserido.

Figura 3Fuso UTM com o respectivo sistema de coordenadas UTM.

Tem-se ainda como Sistema local o sistema de coordenadas topogrfico local,

proveniente do Plano Topogrfico Local. Plano Topogrfico Local aconselhado para

grandes escalas ao invs do Sistema UTM, ou seja, para utilizao em pequenas reas.

Alm disso, apresenta maior simplicidade no clculo de coordenadas, pois no est

relacionado a um Elipside, sendo ideal para pequenos projetos de engenharia e de

locao.

O Plano Topogrfico Local um sistema de representao, em planta, das

posies dos pontos de um levantamento topogrfico em relao a uma origem de

coordenadas geodsicas conhecidas, utilizando um Plano Topogrfico elevado at a

altitude mdia da regio. Uma vez que utilizado em uma pequena poro da superfcie

terrestre, em vez de Elipside utiliza-se a Esfera de Adaptao de Gauss, cujo raio o

raio mdio (Rm) do Elipside de Referncia no ponto de tangncia do Plano

Topogrfico, o qual representa a origem do sistema.


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Uma vez que o Plano Topogrfico colocado na altitude mdia do terreno, as

medidas efetuadas no terreno (distncias e ngulos) ficam em verdadeira grandeza, no

plano do horizonte local. A Figura 4 ilustra a localizao dos Planos Topogrficos.

Figura 4Localizao do Plano Topogrfico Local e a Esfera de Adaptao de

Gauss.

O sistema de coordenadas topogrfico local, um sistema plano-retangular, cuja

ordenada coincide com a direo Sul-Norte da quadrcula topogrfica e a abscissa

coincide com a direo Oeste-Leste conforme apresentado na Figura 5 a seguir.


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Figura 5Sistema de coordenadas topogrfico local.

Visto os principais sistemas de coordenas utilizados na Geodsia, podem-se

transportar as coordenadas geodsicas ou as coordenadas UTM, vrtice a vrtice, em

poligonais, triangulaes ou trilateraes desenvolvidas sobre o elipside de revoluo,

a partir de observaes efetuadas sobre a superfcie terrestre.

Neste caso, segundo Raap (1991) existem duas possibilidades: o problema direto

e inverso da Geodsia. O problema direto da Geodsia consiste em determinar

coordenadas de um ponto P (, ), a partir de coordenadas de um ponto P (, ), da

distncia de P a P (sPP) e do respectivo azimute (APP). J no problema inverso

determina-se a distncia de P a P (sPP), o respectivo azimute (APP) e contra-azimute

(APP) a partir das coordenadas dos pontos P e P.

Primeiramente utilizando coordenadas geodsicas, h diversos mtodos para a

soluo dos problemas inversos e diretos. Segundo Raap (1991), tais solues so

geralmente classificadas pela distncia para qual elas so vlidas e pelo tipo (seo

normal ou linha geodsica) de linha considerada. Tm-se atualmente solues

simplificadas para distncias curtas e solues com frmulas mais extensas para longas

distncias. Entretanto, para a maioria das aplicaes do transporte de coordenadas, as

solues simplificadas apresentam resultados adequados.

Uma das solues simplificadas mais utilizadas em Geodsia o Mtodo de

Puissant, originalmente desenvolvido pelo matemtico francs Puissant no sculo

XVIII. Sua demonstrao est baseada sobre uma esfera auxiliar tangente ao elipside,

com raio coincidindo com o raio de curvatura da seo primeiro vertical. De acordo

com Bomford (1971) essas frmulas so consideradas com preciso de 1 ppm (parte por

milho) em at 80 ou 100 km. De acordo com Raap (1991), esta soluo utilizvel em

lados curtos, ou seja, no deve ser aplicada para linhas acima de 100 km. Esta soluo

baseada na utilizao da linha geodsica.

As frmulas para clculo do problema direto segundo Puissant, aplicadas a lados

curtos, entre um ponto 1 e um ponto 2, seguem as seguintes etapas. Dados:

- Coordenadas geodsicas de um ponto 1 (1e 1);

- Linha geodsica entre o ponto 1 e um ponto 2 (S12); e- azimute verdadeiro do seguimento 12 (V12).


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1) Determinao dos raios de curvatura da seo meridiana, do primeiro vertical e do

raio mdio no ponto 1;

= , (1)= , (2)

= , (3)

2) Transporte da latitude:

= +

com:

" = " + " " = cos+ cos +

onde:

= 1 1" = tan2 1"

=3 cos 1"

2 1

=1 + 3 6

3) Transporte da longitude:

= +

onde:


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" = cos

= 1 1"= , (2)

sendoao semi-eixo maior do elipside de revoluo; e2 a primeira excentricidade do

elipside de revoluo; e 2e 2as coordenadas geodsicas do ponto 2.

As frmulas para clculo do problema inverso segundo Puissant, tambm

aplicadas a lados curtos, entre dois pontos 1 e 2, seguem as etapas descritas a seguir.

Dados:

- Coordenadas geodsicas do ponto 1 (1e 1);

- Coordenadas geodsicas do ponto 2 (2e 2).

1) Clculos auxiliares:

= = =+ 2

= , (1)= , (2)

= cos = cos(2 )

= arctan ()

2) Clculo do azimute e contra-azimute verdadeiro:

= 2


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= 2 180

3) Clculo da linha geodsica:

= cos= sen

Ainda no contexto do transporte de coordenadas utilizando coordenadas

geodsicas, outro mtodo bastante utilizado, para linhas mais longas, o mtodo direto

e inverso de Vicenty. Este mtodo iterativo e apresenta preciso milimtrica at

20.000 km (ICSM, 2012). As frmulas para clculo do problema direto segundo

Vicenty, entre um ponto 1 e um ponto 2, seguem as seguintes etapas. Dados:

- Coordenadas geodsicas de um ponto 1 (1e 1);

- Linha geodsica entre o ponto 1 e um ponto 2 (S12); e

- azimute verdadeiro do seguimento 12 (V12).

1) Clculo auxiliares:

= [1 tan ] = cos

=

= 1 +

16384 4096 +

[768 +

320 175

]}

= 1024 256 + [128 + 74 47 ]}

2) Primeira aproximao do parmetro :

=


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sendo f, a e b o achatamento, o semi-eixo maior e o semi-eixo menor do elipside de

revoluo utilizado respectivamente.

3) Iterao para determinao dos parmetros e m, com aplicao da primeira

aproximao de na 1 iterao:

= + 2 = {cos2+ (4) [cos 1 + 2 cos 2 ) (

6) cos2

3 + 4 cos 2]}

= +

sendo 1o parmetro proveniente da iterao anterior; e a correo calculada a

cada iterao.

4) Clculo da latitude do ponto 2:

= arctan cos + cos cos 1 + cos cos

5) Clculo da longitude do ponto 2:

= arctan (

sen cos cos )

= 16 [4 + 4 3 ]

= +

sendo2e 2as coordenadas geodsicas do ponto 2.

As frmulas para clculo do problema inverso segundo Vicenty, entre dois

pontos 1 e 2, tambm de forma iterativa, seguem as etapas descritas a seguir. Dados:


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- Coordenadas geodsicas do ponto 1 (1e 1);

- Coordenadas geodsicas do ponto 2 (2e 2).

1) Clculo das quantidades iniciais:

= [1 tan ]= [1 tan ]

2) Clculo do parmetro :

=

3) Aproximao inicial de :

=

4) Iteraes para o clculo de , utilizando o valor da aproximao inicial de para a 1

iterao:

=cos +cos cos cos = + cos cos cos

= cos sen 2= (2

)

= 16 [4 + 4 3 ] = +1 + [cos 2+ cos 1 + 2 2]}.

As iteraes permanecem at que a diferena de valor de da iterao atual

menos o valor de da iterao anterior seja insignificante.

5) Aps calcular definitivo, calcula-se os parmetros auxiliares:


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= = 1 + 16384 4096 + [768 + 320 175 ]}

= 1024 256 + [128 + 74 47 ]} = {cos2+ (4) [cos 1 + 2 cos 2 ) (

6) cos2

3 + 4 cos 2]}

6) Clculo da linha geodsica:

=

7) Clculo do azimute verdadeiro V12 e do contra azimute verdadeiro V21 do

seguimento 12:

tan= cos

cos

sen

cos

tan= cos sen cos cos

Na questo do transporte de coordenadas utilizando coordenadas do sistema

UTM, tem-se tambm o problema direto e inverso. A soluo do problema direto tem a

seqncia de clculo indicada a seguir.

Dados de entrada:

- coordenadas UTM de um ponto r (N1, E1);

- coordenadas UTM do ponto ocupado (N2, E2);

- ngulo observado entre o lado 2-1 e 2-3 ();

- comprimento da geodsica 2-3 (De).

Pretende-se calcular as coordenadas UTM do ponto 3.


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Seqncia de clculo:

1) Clculo da latitude do p da normal ao eixo X pelo ponto mdio 1-2:

2) Clculo do raio mdio (Rm):

3) Clculo da reduo angular 21:

4) Clculo do azimute da linha 1-2 sobre o plano UTM:


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5) Clculo do azimute plano aproximado do lado 2-3 (azimute plano = azimute de

quadrcula):

6) Clculo das coordenadas aproximadas do ponto 3 (N'3, E'3):

7) Clculo do raio mdio (Rm) para o lado 2-3:

8) Clculo da reduo angular 23:

9) Clculo do azimute plano definitivo da corda da geodsica 2-3:

10) Clculo da distoro de escala m23:


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11) Clculo do comprimento da corda da geodsica Dc:

12) Clculo das coordenadas definitivas do ponto 3 (N3, E3):

Assim a partir do conhecimento das coordenadas UTM de dois pontos (N1, E1) e

(N2, E2) e da observao de ngulo horizontal entre duas geodsicas e da observao da

distncia sobre a superfcie fsica e sua posterior reduo ao elipside, pode-se calcular

a posio UTM do ponto observado (N3, E3).

A seqncia para a soluo do problema inverso dada a seguir:

Dados de entrada:

- coordenadas UTM do ponto 1 (N1, E1);

- coordenadas UTM do ponto 2 (N2, E2).

Pretende-se calcular o azimute geodsico e o comprimento da geodsica 1-2.Seqncia de clculo

1) Clculo da latitude do p da normal ao eixo X pelo ponto mdio 1-2.


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2) Clculo do raio mdio (Rm).

3) Clculo da reduo angular 21.

4) Clculo da convergncia meridiana :

- Clculo da latitude do p da normal (0) por Newton-Raphson para o ponto 1, ou seja,

utiliza-se Y = Y1.

5) Clculo do azimute da linha 1-2 sobre o plano UTM.


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6) Clculo do azimute geodsico da linha 1-2.

7) Clculo da distoro de escala (m12).

8) Clculo do comprimento da geodsica De.

Assim, a partir de dois pontos com coordenadas UTM conhecidas pode-se

determinar o azimute geodsico e o comprimento da geodsica.

Concluindo tem-se que os principais sistemas de coordenadas utilizados em

Geodsia so: o sistema de coordenadas geocntrico cartesiano, o sistema de

coordenadas geodsicas, o sistema de coordenadas geodsicas espaciais, o sistema de

coordenadas astronmicas, o sistema de coordenadas UTM e o sistema de coordenadas

do Plano Topogrfico Local. Cada um apresenta suas vantagens e desvantagens em

determinados tipos de aplicaes. Isto , fica portanto sendo deciso do profissional

escolher o mais adequado para sua necessidade.

Por fim, existem ainda para utilizaes de coordenadas geodsicas espaciais, os

mtodos de Bowring, de Gauss, da Corda, de Sodano, de Rainsford e outros mtodos


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aproximados. Porm, os apresentados anteriormente, so os mais utilizados. O uso de

coordenadas geodsicas recomendado quando se trabalha nas extremidades dos fusos

UTM, com o objetivo de evitar a transposio dos mesmos.

Para grandes distncias recomenda-se o transporte de coordenadas geodsicas

em substituio ao transporte com coordenadas do sistema UTM, pois, no primeiro

caso, a distncia para o clculo a prpria distncia elipsidica, que para o transporte

das coordenadas planas, a distncia elipsidica transformada em distncia plana, desta

forma, sujeita a um pequeno erro que pode prejudicar a preciso do levantamento.

REFERNCIAS BILBIOGRFICAS

GEMAEL, C. Introduo Geodsia Fsica. Curitiba: UFPR, 1999. 304p.

RAPP, R. Geometric GeodesyPart I. The Ohio State University, 1991.

TORGE, W. Geodesy. 3. ed. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2001.

BOMFORD, G. Geodesy. 3th ed. Oxford: Oxford University Press. 1971. 731 p.

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