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SISTEMAS LINEARES – FAÇA A DIFERENÇA. Tópicos de ajuda – RESUMO TEÓRICO Definições: A.1- Equação linear é toda equação da forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 +...+anxn = b1 onde a1, a2, a3, ... an , são números reais, denominados coeficientes da equação; x1, x2, x3,...x n , são as variáveis e b1 é o termo independente .(Se b1 = 0, então a equação denominada homogênea). Ex: a)5x-2y=6; b)x+y=z-2; c)3x+y-z=0(Homog.). Ex de equações NÃO Linear: a) x²+ y = 9; b)2xs+ y x -8=0; c)2x - √ y = 4 A.2- A Solução de uma equação linear a1x1 + a2x2 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b1 é uma seqüência de n números

reais ordenados indicados por (α1,α2, ...αn ) camada n-upla (lê-se êneupla), que verifica a igualdade.

A.3- Solução de um sistema linear de m equações e n incógnitas: é toda n-upla (α1,α2, ...αn) que substituindo as incógnitas (x1,x2,x3,...,xn) transforma as m equações em m sentenças verdadeiras. A.4- Sistema Normal: É um sistema que possui n equações e n incógnitas no qual o determinante do sistema é diferente de zero (D � 0). A.5- REGRA DE CRAMER - Se o sistema é normal, cada incógnita é obtida pela divisão do determinante da incógnita D(x), D(t), D(z), ... , D(n) pelo determinante do sistema (D). D(x), D(y), D(z), ... , D(n) chamados determinantes das incógnitas (ou variáveis) são obtidos de D, substituindo a coluna correspondente à incógnita, pela coluna dos termos independentes. x = D (x) / D; y = D (y) / D ; z = D (z) / D ; ... n = D (n) / D. A.6- Sistema possível e determinado (SPD) – Trata-se de um sistema com n equações lineares com n incógnitas, cujo determinante do sistema D é diferente de zero (D � 0).Admite uma única solução, isto é, o sistema é possível e determinado. A.7- Sistema possível e indeterminado (SPI) ou Sistema Impossível (SI) – Trata-se de um sistema de n equações lineares com n incógnitas, cujo determinante dos coeficientes D é igual a zero (D = 0), admite uma infinidade de soluções ( é possível e indeterminado ), ou não admite solução ( sistema Impossível). A.8- Sistema Homogêneo (S.H.) - Trata-se de um sistema linear em que todos os termos independentes das equações são zeros. Notas: Um S.H. nunca será impossível (S.I) , pois:

i) Um S.H será SPD se D � 0 -Admite apenas solução trivial (nula) ii) Um S.H será SPI se D = 0 – Admite outras soluções, além da trivial (nula.) iii) Todo S.H é sempre possível ou compatível, admitindo sempre a solução trivial (solução

nula). A.9- Discussão (Ou Classificação) de um sistema linear de n equações a n incógnitas: Discutir um sistema quer dizer verificar se o sistema é possível, impossível ou indeterminado. Utilizando a regra de Cramer, temos: x1 = D1 / D, x2 = d2 / D, x3 = D3 / D, ... x n = D n / D.

Nota: Classificação de um sistema linear 2x2: A.10- Discussão sistema linear homogêneo: Veja A.8. A.11- SISTEMA ESCALONADO: Denomina-se sistema escalonado o sistema que tem uma matriz completa da forma:

DETERMINADO� Solução única D � 0.

SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO� Infinitas soluções

D = 0 e D1=D2=...=D n = 0

IMPOSSÍVEL não admite solução �

D = 0 e pelo menos um Di é diferente de zero

a1/a2 = b1/b2 = k1/ k2 ➱ SPI

a1x+b1y= k1 ➱ a1/a2 = b1/b2 � k1/k2 ➱ SI a2x+b2y= k2 a1 /a2 � b1/b2 ➱ SPD

a11 a12 a13 ... a1n b1 0 a22 a23 ... a2n b2 0 0 a33 ... a3n b3 . . . . . . . . . . 0 0 0 amn bm

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Observe que os coeficientes a i j com i > j são nulos. A.12- RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES

(MÉTODO DO ESCALONAMENTO) Para determinar o conjunto verdade de um sistema de equações lineares, podemos utilizar as seguintes transformações elementares:

� Trocar de posição duas equações quaisquer do sistema. � Multiplicar ou dividir uma equação do sistema por um número diferente de zero. � Efetuar uma combinação linear entre as equações para obter uma outra equivalente.

Com a matriz completa, podemos escalonar um sistema linear por meio das transformações elementares. OBS: Existem apenas dois tipos de sistema linear escalonado:

I. Número de equações igual ao número de incógnita – o sistema é possível e determinado (SPD). II. Número de equações é menor que o número de incógnita – o sistema é indeterminado (S.I).

Nota: Chama-se “grau de indeterminação de um sistema escalonado do segundo tipo” o número de variáveis livres do sistema. Isto é, o número de variáveis que não aparecem no início de nenhuma equação do sistema. A.13- Sistemas lineares equivalentes ( A ~ A´) : São sistemas que possuem o mesmo conjunto solução. A.14- Três termos em PA: ( a – r, a, a + r ).

A-15 Lembrete: Tendo-se a equação ax = b, , com a , b , ℝ ; temos que ela será:

a) Determinada: se a � 0. Indeterminada: se a = b = 0. Impossível: se a = 0 e b � 0 A.16- Característica de uma matriz: Seja A uma matriz qualquer e A’ uma matriz escalonada, linha-

equivalente a A. Chamamos de característica da matriz A, e indicamos por ρ(A), ao número de linhas não nulas de A’. A.17-Teorema de Rouché-Capelli - Considerando um sistema S(com n equações) e sendo A e B as matrizes

incompleta e completa do sistema temos: i) se ρ(A) = ρ(B)= n � SPD ; ii) se ρ(A) =ρ (B) < n � SPI.

Com certeza você já ouviu falar nisso. Pois é. Habitue-se a rever, periodicamente, os estudos feitos. Reler e refazer cuidadosamente lições já estudadas é um exercício de revisão. Agindo assim, você está colhendo frutos que não estavam anda maduros na primeira leitura.

01(Ccvest) Calcule o valor de a sabendo que o terno (3,2,1) é solução da equação: 2x + 3y + az = 2. TA�A.2 Resp: -10. 02(Ccvest) Se o terno (0,2,1) é solução do sistema abaixo, calcule o valor de ( a + b +c ) ax + by + z = 7 x+ ay + cz = 11 TA�A.3 Resp: 10 x + y + cz = 5 03(Ccvest) Resolver os sistemas usando a Regra de Cramer e Regra do Escalonamento: a)

Resp: a) S = { ( 11/12; 23/12; 31/12 )} 04(Ccvest) Se o sistema abaixo é impossível, o valor de m é:

x + 2y + z = 7 2x + y – z = 1 x + 3y – 2z = 1

b) x + 3y = 7 2x + y = 4

c) x + 4y – z = 1 4x + 5y + 2z = 12 x – 2y + 3z = 8

TA � A.11,A.12 Resp b) {(1,2)} c) {(1/10;1;33/10)}

x + 2y + 3z = 7 2x + 3y – mz = 4 3x + y + 4z = 2

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

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T.A.-->A.7. Resp: m = -5

05(UFC) Se o sistema x + my = 3 tem infinitas soluções, então o valor de m4 – 8m² + 23 é igual a: mx + 4y = 6 TA � A.10 Resp: 7

06-(Ccvest) Determine o valor de β sabendo que a equação linear x + y + z = 0 admite como solução o terno

ordenado (α,β,γ) e que formam, nessa ordem, uma PA.

TA � A.2, A.14 Resp: β= 2 07(Ccvest) Os valores de x, y e z, solução do sistema abaixo, formam nesta ordem,uma PA de razão 1. Qual o valor de a ?

Ta � A.3, A.14 Resp: a = 50.

08(Ccvest) Qual das alternativas abaixo apresenta uma solução do sistema a) (8,1,0) b) (10,-1,0) c) (1,2,3) d) (9,0,0) e) (1,1,1) TA � A.3 Resp: c. 09(Ccvest) Sabendo que os sistemas abaixo são impossíveis, nas incógnitas x e y, determinar o valor de a. a) TA� A.4 Resp: a = 0. b) TA � A.4 Resp: ∀ a, a � 0 10(Ccvest) Classifique os seguintes sistemas:

a) x + y = 6 x – y = 8

b) x + 2y = 4 2x – y = 3

c) x + y = 10 2x + 2y = 20

d) 4x – 6y = 2 6x – 9y = 3

e) 2x + 3y = 6 2x + 3y = 12

f) x + y = 10

2x + 2y = 30 TA � A.9 Resp: a) SPD b) SPD c) SPI d) SPI e) I f) I 11(Ccvest) Discuta os sistemas: Resp: TA� A.9

12(UM-SP) Os valores de a para que o sistema abaixo admita soluções diferentes da trivial são: x + y = z = 0 TA � A.10 Resp: a = -1. x – ay + z = 0 ax – y – z = 0

x + 2y + 3z = 14 4x + 5y + 6z = 32 7x + 8y + 9z = a

x+y+2z=9 x+2y+z=8 2x+y+z=7

3x + 2y = 1 ay = 5

3x + y = 3 0x + 0y = a

a) x + ky = 1 x + 2y = 3

b) mx + y = 2 x – y = 1

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13(Ccvest) Resolva o sistema linear:

‘

15(UFC) Se (xo, yo, zo) é solução do sistema: então xo² + yo² - 2zo² é igual a: xy + z² = -1 T.A� Quadre a 2ª equação x + y = 2

16(UECE) Resolvendo o sistema por x é:

1/x – 1/y = 1/15 com x � 0 e y� 0 o quociente de y 3/x + 3/y = 1

TA:Faça 1/x=a e 1/y=b Resp : 3/2

Resp: 6

17(Ccvest) O sistema ( λλλλ+1)x + y = 0 +1)x + y = 0 +1)x + y = 0 +1)x + y = 0 x + y x + y x + y x + yλλλλ = 2 = 2 = 2 = 2

, admite solução (x, y) com y = 0. O valor

de λ é:

Resp: -1

x + 2y + z = 2 x – y + mz = n -x + 3y + 2z = 1

Nos seguintes casos: a) m= 0 e n = 0 b) m =-2 e n = 0 c) m = -2 e n = 5.

TA.--> A11 e 12. Resp: a) {(3/2;3/2;-5/2)} b) { } c) {(α+4,-1-α;α)}

14 ( UFC) A solução do sistema sendo ad – bc = 1 é:

ax + by = m cx + dy = n

Resp:x = dm – bn e y = na - cm

18(Ccvest) O sistema 2x + 3y = 1 4x + ay = 5

a) admite (0,0) como solução b) é impossível para a = 6 c) é impossível , ∀ a ℝ; d) tem solução única ∀ a , ℝ; TA�A.3 Resp: b

19(UNIFOR) Se o par (x,y) é solução do sistema y – x = 2 , então a soma (x + y) 2x = y – 4 é: TA � A.3 Resp: -2

20(UFC) Sejam x, y, z e w números reais e positivos que satisfazem o sistema: y z w = 1 x x z w = 2 y x w y = 3 , podemos afirmar que (x.y.x.w) é igual a: z x y z = 6 w T.A �Multiplicar as eq. entre si. Resp: 6

21(Ccvest) Os valores de x, y e z no sistema 2x + 3y = -1 2y + 3z = -2 x + y = 0 pertence ao intervalo: TA � A.5 Resp: [-1,1].

22(UNIFOR) Se os números reais positivos a e b sendo b < a satisfazem o sistema x² + y² = 65/4 , então pode-se afirmar que: xy = 2 a) a – b = 7 b) a.b = 2 c) a + b = 65/2 d) a.b = 6 e) a – b = 7/2. TA � Subtraia as equações dobrando a 2ª x (-1). Resp: e.

23(UFC) Seja (x,y,z) a solução do sistema a seguir,

calcule o valor da potência z xy

1 + 1 = 3 x y 2 1 + 1 = 4 T A �Veja Ex. 16 Resp: 9 x z 3 1 + 1 - 1 = 7 x y z 6

24(UNIFOR) Se f(x) = 6x-1 o sistema y = f-1 (x) 6y – x = 1

a) Possui uma única solução b) Possui exatamente três soluções. c) É indeterminado d) É impossível TA �A.3 Resp: c

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31( Ccvest) Discutir o sistema nas incógnitas x e y segundo os valores do parâmetro real m . mx + 3y = 1 3x + my = 1 TA � A.9 - Resp: M � ± 3 � SPD; m = 3 � SPI; m = -3 �SI. 32( Ccvest) Discutir o sistema abaixo nas variáveis x , y e z em função do parâmetro real a. x + 2y –z = 1 2x – y + 3z = 2 ax – 3y + 4z = 0. TA� A.9 – Resp: a � 1 � SPD ; a = 1 � SI 33- (Ccvest) Discutir o sistema abaixo nas incógnitas x e y em função dos parâmetros a e b. x + 2y = 3

ax + 4y = b . TA �A.9-Resp: a � 2 ➱SPD; a = 2 e b � 6 ➱SI ; a = 2 e b = 6 ➱SPI . 34(Ccvest) Discutir o sistema em função do parâmetro real m: x + 2y – z = 1

2x + y + mz = 1 TA � A9;A12 – Resp: m = -2 ➱SI; m � -2 ➱ SPI. 35(Ccvest) Discutir o sistema abaixo nas variáveis x e y em função do parâmetro real m. x + 2y = 5 3x + 5y = 13

2x + 3y = m. TA � A.9;A12 – Resp: m � 8 ➱ SI; m = 8 ➱ SPD.

25(Ccvest) Discuta os sistemas abaixo: a) ax + 3ay = 0 b) x – y = 2 2x + ay = 4 2x + ay = b TA � A.9 Resp: a) a � 0 e a � 6 �SPD; a = 0 � SPI a = 6 � SI b) a � -2 �SPD; a = -2 e a = 4 � SPI; a = - 2 e b � 4 � SI.

26(Ccvest) Discuta os sistemas; a) x + y + z = 0 b) ax + y + 2z = b x – y + mz = 2 2ax – y + 2z = 1 mx + 2y + z = -1 2x + y + 2z = 3 TA � A.9 Resp: a) m � 0 e m � 1 � SPD; m = 1 �SPI; m = 0 � SI b) a � 2 � SPD ; a = 2 e b = 3� SPI a = 2 e b � 3 � SI

28(Ccvest) Discuta os sistemas segundo a: a) x + 4y – 5z = 0 b) x + ay = 0 2x – y + 3z = 0 2x + 6y = 0 3x + ay + 2z = 0 TA � 10

a) a � 3/13� SD ; a = 3/13 � SI b) a � 3 � SPD ; A = 3 � SI

27(Ccvest) Resolva os sistemas: a) 2x + 3y – z = 0 b) x + 2y –z = 0 x – 4y + z = 0 2x – y + 3z = 0 3x + y -2z = 0 4x + 3y + z = 0 TA � A.8

Resp: a) {(0,0,0)} b) (- α,α,α);α, ℝ

29) (Ccvest) Determine as características das matrizes: 2 5 1 3 4 a) A = 4 8 B = 2 5 -1 2 4 -10 1 1 1 1 c) C = 2 2 2 2 3 3 3 3 TA� A16

Resp: a) ρ(A) = ρ(B) =2; c)ρ(C)=1.

30(Ccvest) Classifique e resolva os sistemas abaixo, utilizando o teorema de Rouché-Capelli.

a) x + y -2z = 4 b) - x + 3y –z = 2 -x+4y– 3z = 1 3x – y +2z =1 2x+2y+z = 2 2x+2y+z = 3 TA � A.16; A.17

Resp: a)ρ(A)=ρ(A’) = 3= n�SPD {(9/5, -1/5, -6/5)}

b) ρ (B) = ρ(B’) = 2 < 3 �SPI

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36(UDF) Determine os valores de m e n, de tal forma que o sistema abaixo seja indeterminado x + 2y + 2z = m 3x + 6y – 4z = 4 2x + ny – 6z = 1. TA � A.9 – Resp: m = 3 e n = 4. 37(Fuvest-SP) O sistema linear abaixo é indeterminado para que valores de m ? x + y = 0 x + z = 0 y + mz = 0. TA � A9,A12 – Resp: m = 0 38(FMTM-MG) Três pacientes usam, em conjunto, 1 830 mg por mês de certo medicamento em cápsulas. O paciente A usa cápsula de 5 mg, o paciente B, de 10 mg, e o C de 12 mg. O paciente A toma metade do número de cápsula de B e os três juntos tomam 180 cápsulas por mês. O número de cápsula que toma por mês o paciente C é: TA � Montar o sistema Resp: 90 39(UFRN) Três amigos denominados X, Y e Z utilizam um computador todas as noites. Em relação ao tempo em que cada um usa o computador por noite, sabe-se:

� O tempo de X mais o tempo de Z excede o de Y em 2 horas � O Tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a 3 mais o dobro do tempo de Y. � O tempo de X mais 9 vezes o tempo de Z excede em 10 o tempo de Y.

A soma do numero de horas de utilização do computador, pelos três amigos, em cada noite, é TA � Montar o sistema Resp: 5 h.

40(Ccvest) Uma pessoa possui galinhas e coelhos, ao todo 20 cabeças e 58 pés. Calcular o número de animais de cada espécie. TA � Montar o sistema Resp: 11 gal. e 9 coeh. 41(Ccvest) Em um depósito há viaturas de 4 e de 6 rodas num total de 39 viaturas e 190 rodas. Calcule quantas viaturas há de cada espécie. TA � Montar o sistema. Resp: 22 e 17. 42(Ccvest) Num caderno estão desenhados triângulos e quadrados, num total de 35 figuras e 125 lados. Calcule o número de quadrados. TA� Montar o sist. Resp: 20 43(Ccvest) Num caderno estão desenhados triângulos, quadrados e pentágonos. Ao todo são 18 figuras e 74 lados. Calcule o número de quadrados, sabendo que o número deles é o dobro do número de triângulos. TA � Montar o sist. Resp: 8 44(Ccvest) Um aluno ganha 5 pontos por cada exercício que acerta e perde 3 pontos por exercício erra. Ao fim de 20 exercícios, tem 36 pontos. Quantos exercícios acertou? TA � Mont. o sist. (Se perde ou paga, devemos subtrair) Resp: 12. 45( Ccvest) Um atirador ganha 4 pontos por tiro que acerta no alvo e paga a metade , como multa, cada vez que erra. Após 32 tiros, tinha 86 pontos. Calcule quantos tiros acertou. TA � Mont. o sist. Resp: 25 46(Ccvest) Um aluno ganha 6 pontos por cada exercício que acerta e paga 4 por exercício que erra. Ao fim de 30 exercícios tinha 60 pontos. Calcule quantos exercícios ele acertou. TA � Mont. o sist. Resp: 18 47(Ccvest) Achar a fração que , somando-se 4 a cada um de seus termos , ela torna-se igual a 2/3, e subtraindo-se 1 de cada um de seus termos , torna-se igual a ½. TA � Mont. o sist. Resp: 6/11. 48(Ccvest) Se juntarmos 8 ao numerador de uma fração, ela ficará igual a 2; mas se subtrairmos 5 do denominador, a fração ficará igual a 3. Calcule a fração. TA � Mont. o sist. Resp; 6/7. 49(Ccvest) O denominador de uma fração excede ao numerador de 5 unidades. Se ao denominador se adiciona 7, o valor da fração ficará sendo igual a 1/2; determinar a fração. TA � Mont. o sist. Resp: 12/17. 50(Ccvest) Se dividirmos as idades de A e B aumentadas de um ano, encontraremos uma fração igual a ½ e, se dividirmos diminuídas de um ano, encontraremos uma fração igual a 1/3. Calcule a idade de A e B.

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TA � Mont. o sist. Resp: 3 e 7 anos.

51(Ccvest) Achar um número de dois algarismos, sabendo que a soma desses algarismos é 6 e que subtraindo36 unidades do número, ele fica escrito na ordem inversa. TA � Mont. o sist. Resp: 51. 52(Ccvest) Um número é composto de dois algarismos cuja diferença é 15. Invertendo-se a ordem desses algarismos, formam-se um segundo número que vale 23/32 do primeiro. Calcule esse número. Ta � Mont. o sist. Resp:96 53(Ccvest) A diferença entre dois números é 6 289; a divisão do maior pelo menor dá 23 de quociente e 41 de resto. Determinar o maior número. x – y = 6 289 TA: Faça: x e y os números, com x > y. Temos o sistema x = 23y + 41. Resp: 6 573. 54(Ccvest) Determinar dois números que possuem soma 59, por quociente 8 e o resto é o maior possível. TA � O maior resto possível em uma divisão é o divisor menos uma unidade. Resp: 53 e 6. 55(Ccvest) A diferença entre dois números é 4. Sabendo-se que cinco vezes o maior mais três vezes o menor é igual a 84, calcule o número maior. x – y = 4 TA � Faça: x = nº. maior e y = nº. menor. Temos o sistema: 5x + 3y = 84. Resp: 12. 56(Ccvest) Achar o número que dá o mesmo resultado somando-se a ele 5 unidades ou multiplicando-o por 5. TA � Mont. sist. Resp: 5/4. 57(Ccvest) Um número é composto de três algarismos cuja soma ´dos valores absolutos é 6. O valor absoluto do algarismo das unidades é a soma dos valores absolutos do algarismo das dezenas e o das centenas. O valor absoluto do algarismo das centenas é igual ao dobro do das dezenas. Escreva esse número. TA � Mont. Sist. Resp: 213. 58(Ccvest) Um copo cheio de água pura pesa 325g. Se jogarmos fora metade da água, o peso do conjunto se reduz a 180g. Calcule o peso do copo vazio. x + y = 325 TA � Seja: x = peso do copo vazio e y = peso da água. Temos o sistema: x + y /2 = 180. Resp: 35g. 59(Ccvest) Um vaso cheio de água pura pesa 14 kg; tirando-lhe os 3 / 4 da água , não pesa mais que 5 kg. Calcule o peso da água e do vaso. TA � Mont. Sist. Resp: 12 kg e 2 kg. 60(Ccvest) Dois números são tais que, se tirarmos uma unidade do primeiro e adicionarmos ao segundo, este ficará sendo o dobro do primeiro; e, se tirarmos uma unidade do segundo e adicionarmos ao primeiro, eles ficam iguais. Qual é o segundo número? TA � Mont. Sist. Resp: 7. 61(Ccvest) Dividir 32 em duas partes de modo que seja igual a 6 a soma dos quocientes que resultam, dividindo a primeira parte por 6 e a segunda parte por 5. x + y = 32 TA � Sendo x = 1ª parte e y = 2ª parte, temos o sistema: x/6 + y/5 = 6 . Resp: 12 e 20. 62(Ccvest) Dois jogadores entram em um jogo, o primeiro com R$ 2 900,00 e o segundo com R$ 3 100,00. Depois de uma partida ganha pelo segundo, este tem o quádruplo do primeiro. Calcule o valor da partida. TA � Mont. Sist. Resp: R$ 1 700,00. 63(Ccvest) Camila e Carine possuem cada uma, certo número de maças. Porém, se a 1ª der 5 maças a 2ª, elas ficam com igual número de maças; se pelo contrário, a 2ª der 5 maças a 1ª, esta fica com o quíntuplo de maças da 2ª. Quantas maças possuem cada uma? x – 5 = y + 5 TA � x = Nº de maças da 1ª e y = Nº de maças da 2ª. Temos o sistema: 5(y – 5) = x + 5. Resp: 1ª=20 e 2ª=10. 64)Ccvest) Dois irmãos têm juntos 21 anos; se a idade do mais moço fosse triplicada, ela excederia de 3 anos a idade do mais velho. Calcular a idade dos dois irmãos. x + y = 21 TA � x = id. do mais velho e y = id do mais novo. Temos o sistema: 3y = x + 3. Resp: 15 e 6.