RESPOSTA DE SISTEMAS VIBRACIONAIS DE 1 GDL NO SOFTWERE

MATLAB:

MASSA MOLA AMORTECIDO E MASSA MOLA COM EXCITAO

HARMNICA

MARO-2014

Exerccio 1

Seja um sistema de 1GL projetado para absorver choques. Sabe-se que o

amortecimento do sistema menor do que o crtico e que dado uma condio inicial, a

amplitude mxima atingida se reduziu a 1/3 aps meio ciclo. A massa do sistema de 450kg e

que o perodo amortecido de 1 seg. Determine a constante de amortecimento c, a rigidez do

sistema k e a velocidade mnima para alcanar o final do curso sabendo-se que o curso de

300mm.

Soluo computacional:

Com as equaes da resposta do sistema massa-mola-amortecido foi possvel com o

auxilio do Software MatLab, obter o grfico da posio em funo do tempo para o problema

dado.

O cdigo do Programa:

clear all clc fprintf('\n\n')

% Exerccio 1

% Resposta de um Sistema Massa Mola Amortecido (sub-amortecido)de 1 GDL

fprintf(' Programa para clcular a constante de rigidez, de amortecimento e

a velocidade inicial para que a massa alcance 300 mm \n\n\n')

% Determinar a Constante de rigidez da mola (k) % Determinar a Constante de amortecimento (c) % Determinar a Velocidade para que a massa alcance 300 mm. % Plotat grficos de posio e velocidade

% -------------------------------------------------------------------------

% Variveis conhecidas: m = 450; % Massa do Sistema td = 1; % Perodo amortecido x1_x2 = 9; % Decrscimo de amplitude. xt = 0.300; % Posio para determinar a velocidade.

% variveis calculadas: d = log(9); % Decrscimo logaritmico z = d/sqrt((2*pi)^2 + d^2); % Fator de amortecimento(Zeta) wd = (2*pi)/td; % Frequncia amortecida wn = wd/sqrt(1-z^2); % Frequncia natural do sistema

%--------------------------------------------------------------------------

% Clculo de constante de rigidez da mola (K) k = (wn^2)*m; % Constante de rigidez da mola

if k > 0 fprintf(' A constante de rigidez da mola %f N/m \n\n', k) end

%--------------------------------------------------------------------------

% Clculo da constante de amortecimento (c) Cc = 2*wn*m; % Amortecimento crtico do sistema c = Cc*z; % Constante do amorteceddor

if c ~= 0

fprintf(' A constante de amortecimento %f Ns/m \n\n', c) end %--------------------------------------------------------------------------

% Clculo da velocidade inicial(V0) para que x(t)=0,300m.

% Sabendo que sin(wd*t) = sqrt(1-z)= sin(pi*t) % O instante em que sin(wd*t) mximo calculado por: T = asin(sqrt(1-z^2))/pi;

% Substituindo na equao da resposta do sistema x(t)=X*exp(-z*wn*t) % Podemos entrotrar a constante X quando x(t)= 0,300m. X = xt*exp(z*wn*T)./sqrt(1-z^2);

% A equao da velocidade obtida difetenciando a equao: % x(t)=X*exp(-z*wn*t)sen(wd*t)

% Equao da velocidade: % v(t)= wd*X*exp(-z*wn*t). % Aplicando as condies de contorno (t=0), obtemos: V0 = X*wd. v0 = X *wd;

fprintf(' A velocidade inicial para que a massa alcance 300 mm de %f m/s.

\n\n', v0)

%--------------------------------------------------------------------------

% Equao do movimento: mx" + cx' + kx = 0 % A resposta do sistema Massa-Mola-Amortecedor dado por: % x(t) = X*exp(-z*wn*t)*sin(wd*t)

t=0:.001:7; % Variao do tempo

%Resposta do sistema - Deslocamento(posio) x = X*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t);

%Resposta do sistema - Velocidade v = X*exp(-z*wn*t).*( -z*wn*sin(wd*t) + wd*cos(wd*t) );

%--------------------------------------------------------------------------

% Plotagem de Grficos subplot(211) plot(t,x, 'k'), grid, hold ylabel('Posio x(t)') xlabel('Tempo(s)')

title('Resposta de um Sistema Massa-Mola com Sub-Amortecimento Viscoso')

subplot(212) plot(t,v, 'k'), grid, hold ylabel('velocidade v(t)') xlabel('Tempo(s)')

Resposta do Programa:

Programa para calcular a constante de rigidez, de amortecimento e a velocidade inicial para

que a massa alcance 300 mm

A constante de rigidez da mola 19937.796051 N/m

A constante de amortecimento 1977.502120 Ns/m

A velocidade inicial para que a massa alcance 300 mm de 4.734706 m/s.

A seguir est plotado o grfico da resposta do sistema.

Exerccio 2

Dado p sistema abaixo obtenha a resposta para o tempo de 50s e plote os grficos de posio e

velocidade, tendo os seguintes dados sobre o problema:

X0 = 0,2 m

V0 = 0,1 m/s

m = 1,7 kg

K = 22 N/m

= 2,1 rad/s

Soluo computacional:

Usando as formulas conhecidas da resposta de um sistema massa mola excitado por

uma fora harmnica e codificando-as no Software MatLab 2012, obtm se os grficos da

velocidade e a posio em funo do tempo e a posio para 50 s, admitindo que a amplitude

da fora harmnica possui mdulo igual a 10N.

O cdigo do Programa:

clear all clc fprintf('\n\n')

% Exemplo 2

fprintf(' Programa para calcular a resposta de um sistema massa mola, com

exitao forada para tempo igual a 50 segundos. \n\n\n')

% resposta de um Sistema de 1 GDL Massa Mola Com Excitao Forada % sem amortecimento com w/wn < 1

% Determinar resposta do sistema para t = 50s % Plotar grficos de posio e velocidade

%--------------------------------------------------------------------------

% Variavis conhecidas: x0 = 0.2; % Posio inicial v0 = 0.1; % Velocidade inicial k = 22; % Rigidez da mola m = 1.7; % Massa do sistema w= 2.1; % Frequncia de excitao

%--------------------------------------------------------------------------

% A Equao Diferencial do Movimento Vibracinal com Ercitao forada % harmnica % mx" + kx = F(t)

% Supondo valor da amplitude da fora harmnica f=10 f = 10;

% Clulo para determinar a frequencia nataral no amortecida wn wn = (k/m)^.5; r = w/wn;

if r < 1

fprintf('A frequncia de excitao menor que a frequncia natural do

sistema pois r %f . \n\n\n', r)

% Clculo das constante da equao resposta do movimento

c1 = x0 - ((f/m)/(wn^2 - w^2)); c2 = v0/wn; X = (f/m)/(wn^2 - w^2);

% Resposta do sistema

for i=1:1001

t(i)=50*(i-1)/1000; % Variao do

tempo

x = c1*cos(wn*t) + c2*sin(wn*t) + X*cos(w*t); % posio

v = -c1*wn*sin(wn*t) + c2*wn*cos(wn*t) - X*w*sin(w*t); % Velocidade end

end

%--------------------------------------------------------------------------

% Resposta do sistema quando t=50s T = 50;

X = c1*cos(wn*T) + c2*sin(wn*T) + X*cos(w*T); % posio

V = -c1*wn*sin(wn*T) + c2*wn*cos(wn*T) - X*w*sin(w*T); % Velocidade

fprintf(' A Posio quando T = 50s %f m. \n\n', X) fprintf(' A Velocidade quanto T = 50s %f m/s. \n\n', V)

%--------------------------------------------------------------------------

% Plotagem de Grficos

subplot(211) plot(t,x,'k'), grid ylabel('Posio x(t)') xlabel('Tempo(s)')

title('Vibrao com excitao forada harmnica (w/wn) < 1 ')

subplot(212) plot(t,v,'k'), grid ylabel('Velocidade v(t)') xlabel('Tempo (s)')

Resposta do programa:

Programa para calcular a resposta de um sistema massa mola, com exitao forada

para tempo igual a 50 segundos.

A frequncia de excitao menor que a frequncia natural do sistema pois r

0.583757 .

A Posio quando T = 50s 0.155534 m.

A Velocidade quanto T = 50s -1.014122 m/s.

A seguir est plotado os grficos da resposta do sistema