SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 DEFINIR E CLASSIFICAR ... · Característica correspondente e um...

Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 5a série/6o ano – Volume 3

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

DEFINIR E CLASSIFICAR EXPERIMENTANDO

Páginas 4-7

1. Seguem abaixo cinco características que podem ser listadas, com a respectiva

correspondência nas figuras. Note que explicitamos as características em linguagem

informal, como provavelmente aparecerá no texto dos alunos.

• Pelo menos “um lado reto”: de 1 a 23, de 26 a 29, de 31 a 36, de 38 a 40, de 43 a

50.

• Possui “lados curvos”: de 24 a 26, 29, 30, de 37 a 50.

• Possui apenas “lados retos” e “buracos”: 11, de 14 a 18, 21, 22.

• Possui “bicos”: de 1 a 29, de 31 a 40 (exceto 37), de 42 a 46, de 48 a 50.

• Figura com lados retos e pelo menos um par de lados paralelos: de 1 a 11, 14, 15, 16, 18, 20, 28, 33, 35.

2. Escolhemos uma figura para descrever, em linguagem informal, algumas de suas características:

• Figura 4: cinco lados; todos os lados são “retos”; cinco “bicos”; um par de lados

paralelos; quando dobrada de forma conveniente, ocorre sobreposição perfeita entre

as partes dobradas (referência à simetria); possui lados “em cruz” (referência aos

ângulos retos); não possui “buracos” (referência ao fato de o polígono ser convexo);

possui dois pares de lados com as mesmas medidas entre si.


2

Página 7

1. Vale lembrar que neste exercício podemos incluir ou excluir algumas figuras de certa

classificação, dependendo sempre da interpretação dada aos termos usados.

CCaarraacctteerrííssttiiccaa NNúúmmeerroo ddaass ffiigguurraass

Figuras com apenas 3 lados

(retos ou curvos) 23, 29, 31, 32, 34, 36, 43, 44, 45, 46,

48

Figuras com apenas 3 lados retos 23, 31, 32, 34, 36

Figuras com apenas 3 “bicos”

23, 29, 31, 32, 34, 36, 43, 44, 45, 46, 48

Figuras com pelo menos

4 lados retos De 1 a 22, 27, 28, 33, 35

Figuras com pelo menos 1 par

de lados paralelos

De 1 a 11, 14, 16, 18, 20, 28, 33, 35, 38, 40

Observação: 47 também pode ser considerado, se admitirmos que a

figura tem 4 lados.

Figuras com todos os lados de

mesma medida 1, 2, 7, 9, 12, 23, 42

Figuras com alguns lados que formam

uma “quina” perfeita (lados “em

cruz”)

3, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 18, 19, 32, 35, 36, 43, 45, 48


3

Páginas 7-9

1.

NNoommeennccllaattuurraa ““ooffiicciiaall”” nnaa MMaatteemmááttiiccaa

CCaarraacctteerrííssttiiccaa ccoorrrreessppoonnddeennttee ee uumm eexxeemmpplloo

Polígono

Figura geométrica plana cujo contorno é fechado e

formado por segmentos de retas. Ex:

Quadrilátero

Figuras com 4 lados retos (ou polígono de quatro

lados). Ex:

Triângulo Polígono de 3 lados. Ex:

Não polígono

Figuras com pelo menos 1 lado curvo. Ex:


4

Polígono não convexo

Figuras com lados retos e “buracos” (ou polígono

que tem pelo menos um ângulo interno maior

que 180º).

Ex:

Polígono convexo

Dados dois pontos quaisquer em seu interior, o

segmento que os liga está contido na região interior do

polígono (ou polígono com todos os ângulos internos

menores que 180º). Ex:

Vértices

Bicos de uma figura com lados retos. Ex:

Ângulo reto

Lados “em cruz”, ou que formam uma “quina

perfeita”. Ex:


5

Paralelogramo

Quadrilátero com dois pares de lados paralelos. Ex:

Triângulo retângulo

Triângulo com um ângulo “em cruz” (“em quina

perfeita”). Ex:

Triângulo isósceles

Triângulo que tem pelo menos 2 lados iguais. Ex:

Triângulo escaleno

Triângulo com três lados diferentes. Ex:

2. Nesta atividade, você poderá redefinir com maior rigor algum termo ou palavra usada

durante a aula. Neste momento é mais importante que o aluno consiga expressar seu


6

pensamento de alguma forma, mesmo que ainda sem o rigor necessário do vocabulário

matemático.

Páginas 10-11

1.

NNoommeennccllaattuurraa ““ooffiicciiaall”” nnaa MMaatteemmááttiiccaa

DDeeffiinniiççããoo FFiigguurraass

Triângulo

Polígono de 3 lados 20 a 34

Quadrilátero

Polígono de 4 lados De 1 a 19, 35, 36

Triângulo equilátero

Triângulo com os 3 lados iguais 20, 22

Retângulo

Quadrilátero com

4 ângulos retos

1, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12,

13, 14, 15, 16, 17, 18,

19

Losango Polígono com 4 lados iguais

4, 9, 10, 11, 16, 17,

18, 19

Polígono

não convexo

Ao menos um segmento de extremos

com pontos na região interior do

polígono não está contido na região

interior do polígono (ou polígono em

que pelo menos um ângulo interno é

maior que 180º)

36


7

Páginas 11-12

1. Nesta atividade você pode discutir com os alunos uma definição mais consistente

sobre o que entendemos por “tamanho” da figura. A ideia é que eles possam perceber

intuitivamente a área associada ao que usualmente compreenderiam como o

“tamanho” da figura. Vale destacar que o percurso didático de um programa de

geometria deve levar em consideração que, para as faixas etárias menores, o

significado se constrói muito mais por meio de situações concretas e aproximações

experimentais do que com formalismo e definições. Outras atividades específicas

propõem o uso do tangram para explorar a ideia de perímetro e área de uma figura

com base em sua decomposição.

2. Esta atividade explora a ideia de perímetro e, como a anterior, trabalha com duas

importantes habilidades, a de ordenar e a de estimar. É muito importante que os

alunos de 5a série consigam estabelecer a ordem de grandeza entre comprimentos e

entre áreas de figuras que possibilitem uma distinção clara de medidas. A habilidade

e a destreza com o uso e a leitura das medidas indicadas na régua também devem ser

um dos motes desta atividade. A figura de menor comprimento é a 10 e a de maior

comprimento, a 1.

3. 4 e 12; 6,7,10 e 13.

4. Todos os quadrados são semelhantes entre si; 15 e 14 são semelhantes e congruentes.

5. Os triângulos que têm ângulos internos dois a dois de mesma medida são

semelhantes. Em relação aos quadriláteros, além dos ângulos internos dois a dois de

mesma medida, tem de haver proporcionalidade entre os lados em correspondência

para que eles sejam semelhantes. Essa discussão deve ser feita de maneira informal,

apelando mais para a intuição do que para a formalização, porque os alunos ainda

não conhecem a definição de ângulo e não foram suficientemente apresentados à


8

ideia de proporcionalidade. O tema de semelhança de figuras geométricas será

retomado em outra série do Ensino Fundamental.

Páginas 12-13

1. Note, inicialmente, que o enunciado desta atividade exige compreensão do uso das

palavras “área” e “perímetro”, que devem ter sido trabalhadas nas atividades

anteriores. Espera-se que os alunos percebam e concluam, pela experimentação, que

se aumentarmos o perímetro de um triângulo sua área também vai aumentar. De

forma geral, se o perímetro for multiplicado por k, a área será multiplicada por k².

Essa conclusão não precisa ser formalizada, mas pode ser explorada parcialmente

pela ideia de que “se aumenta o perímetro, a área também aumenta” e vice-versa.

2.


9


PLANIFICANDO O ESPAÇO

Páginas 15-16

1. Atividade de construção.

2. As três planificações formam cubos.

3. Um cubo tem seis faces e, portanto, sua planificação deve ser formada por seis

quadrados. As figuras (a) e (c) não têm seis quadrados e, portanto, não formarão um

cubo. A figura (b) não forma um cubo porque, apesar de ter 6 quadrados, não há

como associar as bases às faces laterais.

4. Apenas (b) e (c) formam cubos. Note que nesta atividade foi sugerida a resolução

sem a construção concreta do cubo. Nem todos os alunos conseguem resolver esta

questão apenas com o pensamento abstrato; porém, deve ser uma meta sua,

professor, fazer com que gradativamente todos possam resolver um problema

semelhante a este sem a construção física do cubo.

Página 17

1. Não é possível, porque cinco quadrados alinhados conseguem fechar apenas quatro

das seis faces do cubo. O sexto quadrado da planificação fechará a quinta face do

cubo, e uma face ficará aberta. Exemplos de planificação assim são:


10

Desafio!

Página 17-18

Páginas 18-19

1. Atividade prática de montagem.

2. Há algumas possibilidades de formação. Apresentamos, a seguir, um exemplo com

10 quadradinhos na região interior.


11

Página 20

1.

2.

Página 20

1.

2.


12

Desafio!

Página 21

Páginas 21-23

1.


13

2.

Páginas 24-25

1. Resposta pessoal. Professor, solicite aos alunos que apresentem à classe seus objetos

e desenhos das vistas para que se possa fazer uma discussão.


14


GEOMETRIA E FRAÇÕES COM O GEOPLANO OU MALHAS QUADRICULADAS

Páginas 26-28

1.

2. Resposta pessoal.

3.


15

4. Apresentamos abaixo duas figuras, entre as muitas opções de solução, que atendem

às condições do problema:

Páginas 28-29

1.


16

Páginas 29-31

1.

2. Dobrando o lado, a área multiplica-se por 4. Em geral, multiplicando-se por k os

lados, a área da figura semelhante será multiplicada por k².


17

3.

Páginas 32-33

1.


18

2.

Observação: Professor, note que nesse caso não estamos assumindo 0 como número natural.

Caso se queira assumir 0 como natural, também será necessário marcar os pontos:

8

0...,,

4

0,

3

0,

2

0,

1

0

3.

4.

(V) Frações com denominadores iguais, necessariamente, estão alinhadas

horizontalmente.

(V) Frações impróprias estão localizadas na diagonal que passa pela origem ou à

direita dela.

(V) Frações equivalentes, necessariamente, estão alinhadas com a origem da malha e

entre si.


19

Páginas 34-35

1.

2.

6

11

2

3

3

1

10

9

10

3

5

3


20


PERÍMETRO, ÁREA E ARTE USANDO MALHAS GEOMÉTRICAS

Páginas 36-39

1.

2.

Na malha da esquerda, a figura ficou mais longa que a original e na malha da direita,

a figura ficou mais alta que a original.


21

3. (a), (b) e (c) Paralelismo e perpendicularidade entre segmentos são mantidos em

todas as transformações; porém, o ângulo de 8

1 de volta só foi mantido no caso

em que ambas as dimensões da malha dobraram. Na malha em que apenas a

dimensão horizontal foi dobrada, o ângulo entre a manga e a lateral da camisa

aumentou (a manga se afasta da lateral da camisa) e, na malha em que apenas a

dimensão vertical foi dobrada, o ângulo diminuiu (a manga se aproxima da lateral da

camisa).

4. A malha deve ser ampliada horizontalmente, como no exemplo a seguir:

5. Alternativa b. O crescimento da empresa entre 2006 e 2007 foi de 10%, informação

que pode ser obtida por meio de qualquer um dos três gráficos. Mas, como a empresa

quer impressionar seus acionistas sobre esse crescimento, o gráfico indicado em (b)

deve ser o escolhido, porque trabalha com ampliação vertical da malha, acentuando a

aparência do crescimento das vendas. Exercícios desse tipo têm seu valor não só pelo

trabalho realizado com a compreensão de temas da Matemática, como também pelo

alcance que têm na dimensão de construção da cidadania. Um bom leitor da

informação deve sempre estar atento às técnicas que muitas vezes são utilizadas para

destacar um resultado positivo ou atenuar um resultado negativo.

6. Como são necessários seis triângulos equiláteros idênticos em torno do ponto, o

ângulo interno de um triângulo tem 6

1 de giro de uma volta completa.


22

Páginas 40-41

1. Os perímetros das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente: 4 u, 6 u, 6 u, 8 u, 6 u.

As áreas das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, 2 u², 4 u², 4 u², 6u² e 6 u².

Este exercício lhe permite explorar a ideia de que podemos ter figuras de mesmo

perímetro com áreas diferentes e de mesma área com perímetros diferentes.

Observação: dada a importância do trabalho com malhas no estudo de perímetro e

área de figuras, é recomendável que ele seja retomado na 6a série/7º ano.

2. Resposta pessoal. Exemplo:

3.


23

Página 42

1. Resposta pessoal. Exemplo:

Página 42

Algumas sugestões em português para essa pesquisa são:

1. <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm21>. Acesso em: 6 janeiro 2011.

2. ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Taschen do Brasil, 2007.

3. ESCHER, M. C. Gravuras e desenhos. Taschen do Brasil, 2000.

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