Slide: Matrizes, Matemática.

Professor: Roberto Rayala

Matemática

Janeiro Fevereiro Março

Matemática 20 000 32 000 45 000

Física 15 000 18 000 25 000

Química 16 000 17 000 23 000

Quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro?

Quantos livros de física foram vendidos em janeiro?

Quantos livros de Química foram vendidos em março?

Quantos livros de matemática foram vendidos durante este período?

Durante este período , qual foi a maior venda entre os livros citados?

a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 +

Matrizes Conceitos Básicos

A= a11 a12 a13

a21 a22 a23

a1n...... a2n

a31 a32 a33 a3n...

... ... ... ...

...

am1 am2 am3 amn...

Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

Consideremos o sistema

... +

a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2

a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...

am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas.

Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A.

Ele é escrito como Ai,j ou A[i,j].

Matemática




874100245210221

3x5

a13= 2

a34= 7

Matemática



Amxn = [aij]mxn

As matrizes podem ser classificadas segundo:

A natureza dos elementos

A forma


Amxn = [aij]mxnSegundo a forma em:

Retangular

Quadrada

Coluna

Linha

Se o número de linhas é diferente do número de colunas

Se o número de linhas é igual do número de colunas

Se o número de colunas é igual a um

Se o número de linhas é igual a um

53

054421252043201

33

231310201

13

101

31221

Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m


Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:

Real

Complexa

Nula

se todos os seus elementos são reais

ijij aAa :

se pelo menos um dos seus elementos é complexo

CaAa ijij :

se todos os seus elementos são nulos

0: ijij aAa

100251

10251

i

000000



Triangular Superior

Triangular Inferior

0: ijij ajiAa

uma matriz quadrada em que os elementos abaixoda diagonal principal são nulos

uma matriz quadrada em que os elementos acimada diagonal principal são nulos

0: ijij ajiAa

5000620003007211

5103022000250001



Diagonal

Escalar

0: ijij ajiAauma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos

5000020000000001

uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais

ij

ijij

aji

ajiAa 0:

2000020000200002

É uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero. É representada por pelo símbolo In

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3I

Ex: Escreva a matriz I3.



Simétrica

Densa

Dispersa

5740723243010211

se os elementos aij são iguais aos aji

se a maioria dos seus elementos são não nulos

se a maioria dos seus elementos são nulos

645046633

BAc

Matrizes

Soma de Matrizes

Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de

342015321

A

303031312

B

3 3 6

6 4 05 4 6

A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.

njmibac

BACMCMBA

ijijij

nmnm

,,1,,1;

:,

Operações com Matrizes

Matrizes

ABBAMBA nm ,


goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Tem elemento neutro

Todos os elementos têm oposto

A soma de matrizes do mesmo tipo

)()(,, CBACBAMCBA nm

AOAMOMA nmnm :

OAAMA nm )(:

Vamos igualar as duas matrizes A e B, de mesmo tipo 2 x 3.

3 ww

y 5 B e

z 1

1y 2xA

bb b

b b b B e

a a a

a a a

23 2221

1312 11

232221

13 1211A

Ex.: Calcule os valores de x, y, z e w para que as matrizes A e B sejam iguais.

Logo:

232322222121

131312121111

a ,a ,b

a ,a ,

bba

bbba

Matrizes

Produto por um escalar

Sejam A uma matriz e um escalar

O produto de por A é uma matriz C

342015321

A

91260315963

3 A

que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por

njmiac

ACMAMA

ijij

nmnm

,,1,,1;

:


do mesmo tipo de A

Matrizes

AA


e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo

AAA )(

BABA

AA1

Matrizes

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a1n...... a2n

a31 a32 a33 a3n...

... ... ... ...

...

am1 am2 am3 amn...


Consideremos o sistema

a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 + ... +

a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2

a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...

am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm

=

b1

b2

b3

...bm

x1

x2

x3

...

xn


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

=

2x3


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

15


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

15 29


Matrizes

1 2 3

2 5 32

1 2 3

2 5 3

1 0 2

=

x33x3

8

2x3

12 15

15 29 27


Matrizes Operações com Matrizes

Produto de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo

O produto de A por B é uma matriz C do tipo

cujos elementos são dados por:

mxp

n

kjkkiji bac

1

e escreve-se C=AB.

nxp.

O produto de matrizes não é comutativo

Matrizes

CBACBA


Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A, B e C, e um escalar.

CBCACBA )(

CABACBA

BABABA

Matrizes Operações com Matrizes

Transposição de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn.Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:

jiji ab mjni ,....;,..., 11

e escreve-se B=AT

5305442

12520

43201

A

35014

523

452

420

201

TA

A transposta de uma matriz Am × n é a matriz At

n × m em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_transposta

Matrizes

AATT


Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,as seguintes propriedades são válidas:

Dadas as matrizes A e B e um escalar.

TTT BABA )(

TT AA

TTT ABBA

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