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Parte 3: Root Locus
Prof. Frederico
• Considere o sistema em malha fechada na sua forma canônica.
• A função de transferência de malha fechada é dada por:
cujos polos são raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0 e que, como sabemos, determinam todas as características do sistema em malha fechada.
• Qual o comportamento do sistema se T(s) depender um algum parâmetro k (-∞<k< ∞)?
Exemplo 1: Para o sistema abaixo encontre T(s) e determine seus polos para K variando
entre -∞ e ∞.
Solução:
Equação característica:
(FTMF)
Exemplo 1:
Método braçal, portanto, deve ser evitado!
j
Comentários:
Neste exemplo o sistema apresenta as seguintes características (p/ k > 0):
• Para 0 < K < 16 as raízes s1 e s2 são reais distintas, logo o sistema é sobreamortecido (ou superamortecido);
• Para K = 16 as raízes s1 e s2 são iguais a -4, logo o sistema é criticamente amortecido.
• Para K > 16 as raízes s1 e s2 são complexas e o sistema é subamortecido.
Obs:
p/ k > 0 root-locus
p/ k < 0 root-locus complementar
• Definição: O root-locus de T(s) é:
Vemos portanto que um ponto si do plano complexo ₵, pertence ao root-locus de T(s) se satisfizer duas condições:
1. Condição angular:
2. Condição de módulo:
Lembrar que: G(s)H(s) é a função de transferência de malha aberta do sistema.
Traçado do root-locus (p/ k>0)
Traçado do root-locus (p/ k>0)
• Supondo G(s)H(s) na forma:
• Condição angular:
• Condição de módulo:
Traçado do root-locus (p/ k>0)
• Identificação vetorial da condição de ângulo e de módulo:
Conclusão:
• a condição angular é a condição necessária para um ponto Si pertencer ao R.L.
• se o ponto de teste si pertencer ao R.L., então o valor correspondente de k é determinado de modo a satisfazer a condição de módulo.
Sentido de giro dos vetores
Calibração do root-locus (p/ k>0)
• O cálculo dos valores de K para diferentes pontos si do root-locus é denominado de calibração.
Exemplo 2: Considere a F.T.MA, abaixo, cujo RL. já foi traçado. Partindo do R.L. já conhecido observe a condição angular θ = (2m + 1 )π.
a) Condição angular:
b) Determinação do ganho no ponto si:
0 1Pólos ( ) 180p p
Roteiro para o traçado do root-locus
Considere um sistema cuja função de transferência de malha fechada é dada por :
1) Expressar a função de transferência de malha aberta como:
2) Construir o mapa de polos e zeros da função de transferência de malha aberta; (Regra 1)
3) Identificar trechos do R.L. sobre o eixo real; (Regra 2)
4) Determinar pontos de ramificação; (Regra 5)
5) Determinar as assíntotas; (Regra 3)
6) Determinar a abcissa do centro de gravidade; (Regra 4)
Roteiro para o traçado do root-locus
Continuação...
7) Determinar os ângulos de partida de polos complexos e os de chegada em zeros complexos; (Regra 7)
8) Determinar a interseção do R.L. com o eixo imaginário; (Regra 9)
9) Identificar pontos de interseção de ramos do R.L.; (Regra 8)
Verificar as regras para construção do R.L na folha anexa ao material !
Obs: A regra 1 é o ponto de partida para a análise do sistema em malha fechada como será vistos nos exemplos a seguir.
Exemplo 3: Traçar o R.L. e discutir a estabilidade. (p/ k > 0)
Exemplo 4: Traçar o R.L. e discutir a estabilidade. (p/ k > 0)
Exemplo 5: Traçar o R.L. e discutir a estabilidade. (p/ k > 0)
Exemplo 6: Traçar o R.L. e discutir a estabilidade. (p/ k > 0)
Exemplo 7: Traçar o R.L. e discutir a estabilidade. (p/ k > 0)
( ) ( )( 4)
kG s H s
s s
( ) ( )( 6)
kG s H s
s
( 8)( ) ( )
( 2)
k sG s H s
s
2( ) ( )
kG s H s
s
2( ) ( )
( 2) 5
kG s H s
s
Configurações típicas de polos e zeros e o R.L. correspondente
• O padrão do lugar das raízes depende apenas da separação relativa dos polos e zeros de malha aberta.
• Se o nº de polos exceder o nº de zeros finitos em três ou mais unidades, haverá um valor de ganho k além do qual o R.L. entrará no semiplano direito do plano s e, assim, o sistema se tornará instável.
Root Locus Completo
Exemplo 8: Traçar o R.L. completo e discutir a estabilidade.
Solução:
4)
5)
Continuação...
6)
8)
Continuação...
Verificação da estabilidade segundo o critério de Routh-Hurwitz:
9) Usando a Regra 8 é possível localizar a 3ª raiz para k = 6
Isto significa que, a terceira raiz estará no ponto σ = - 3
Continuação...
Conclusão:
Root-Locus completo do sistema:
Exemplo 9: Traçar o R.L. completo e discutir a estabilidade.
Solução:
4) Pontos de Ramificação:
5) Cálculo das assíntotas: (NP = 2 , NZ = 1 m = 0)
K >0
K <0
K >0
K >0 2
; m = 0 0m m
m
NP NZ
6) Centro de gravidade : como a assíntota possui ângulo de 180°, não faz sentido determinar a abcissa da assíntota.
7) Determinar os ângulos de partida de pólos complexos:
P/ K >0
*
1 1 1
1
2
0
54,73 90 35,27
z p p
p
Zeros Polos m
P/ K <0
P/ K >0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Root Locus
Real Axis (seconds-1)
Imagin
ary
Axis
(seconds
-1)
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Root Locus
Real Axis (seconds-1)
Imagin
ary
Axis
(seconds
-1)
Root Locus – Casos Especiais
Exemplo 10: Traçar o R.L. e discutir a estabilidade. (supondo k >0)
Solução:
4) Pontos de Ramificação:
5) Cálculo das assíntotas: (NP = 2 , NZ = 1 m = 0)
6) Centro de gravidade :
7) Pontos de interseção com o eixo jw:
8) Interseção de ramos do R.L.
• Vimos que s=0 e s=-3 são pontos de ramificação.
• Em s=0 sabemos que é um ponto de ramificação de saída. Mas em s=-3?
• Segundo a regra 5, entre o polo s=-9 e o zero s=-1 não haverá ponto de ramificação ou o número de pontos de ramificação de saída será igual ao número de pontos de ramificação de chegada. Ambas afirmações são falsas.
• Portanto, s=-3 é o ponto de interseção de ramos do R.L. (regra 10b.)
Derivada 1ª:
Derivada 2ª:
Derivada 3ª:
• Logo, pela regra 10, n=2 e portanto no ponto s=-3 existem 3 ramos chegando e 3 ramos saíndo .
• Além disso, os ramos adjacentes que chegam estão separados por direções que fazem
entre si:
• Um ramo que chega e um adjacente que sai fazem um ângulo de:
Efeitos (sobre o Root Locus) da adição de polos e zeros na planta
• Efeito da adição de polos: A adição de um polo à função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o R.L original em direção ao semiplano direito, veja o exemplo abaixo:
• OBS: a adição de polos tem a tendência de tornar o sistema instável !
• Efeito da adição de zeros: A adição de um zero à função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o R.L original em direção ao semiplano esquerdo, veja o exemplo abaixo:
• OBS: a adição de zeros tem a tendência de tornar o sistema estável !
Controladores
Controladores: por que usá-los?
• Para modificar a condição de estabilidade do sistema.
• Nem sempre é possível ter acesso a planta do sistema para alterar o ganho k.
• São estruturas independentes do modelo matemático do sistema e têm o objetivo de modificar o R.L. por meio da inserção de polos e zeros.
• Tem o efeito de modificar a resposta, podendo deixar o sistema mais lento (maior tempo de acomodação da resposta) ou mais rápido, introduzindo certo grau de antecipação (para aumentar a velocidade da resposta transitória).
Estruturas básicas de controle
Compensação Série:
Compensação por Realimentação:
Compensação Série e por Realimentação:
Estruturas básicas de controle
Pré Compensação:
Compensação por Realimentação de Estados:
• Obs: este tipo de compensação usa as variáveis de estado. Para um sistema com o espaço de estados de dimensão elevada exigirá um grande número de transdutores. Além disto nem sempre as variáveis de estado são acessíveis e então será necessário o uso de um observador de estados.
Tipos de Controladores
• O objetivo da estrutura denominada CONTROLADOR é comparar o valor da saída com o valor desejado e adotar uma ação de controle sobre o sistema.
Dependendo da ação de controle pretendida, os controladores são classificados em:
1 - Controlador Liga-Desliga ON-OFF
2 - Controlador Proporcional-P
3 - Controlador do Tipo Integral - I
4 - Controlador do Tipo Proporcional mais Integral- Pl
5 - Controlador do Tipo Proporcional mais Derivativo- PD
6 - Controlador do Tipo Proporcional mais Integral mais Derivativo- PID
Esquema básico de um controlador:
Controlador Liga-Desliga
• Este tipo de controlador geralmente é constituído por uma válvula operada por solenóide elétrico.
OBS: Neste tipo de controlador, em geral, existe o denominado Intervalo Diferencial ou Histerese Diferencial que é o intervalo onde e(t) muda de sinal sem que o controlador mude a sua ação.
O intervalo diferencial geralmente é colocado para evitar que a operação do mecanismo, com muita frequência, cause danos ao mesmo.
(Exemplo)
Controlador Proporcional
• A ação de controle é dada por:
• Comportamento do sistema:
• G(s)- planta ou processo • e(t)- sinal de erro atuante • m(t)- saída do controlador • Kp - ganho do controlador
Entrada Saída
Considere o sistema abaixo que representa um servo mecanismo de posição. Estudar o efeito do controlador P no sistema, supondo uma entrada do tipo degrau unitário:
a) Traçando o root locus do sistema:
(Exemplo)
FTMF:
FTMA:
b) Resposta ao degrau unitário (supondo k=5):
(Exemplo)
Controlador Integral
A ação de controle é dada por: ou
• Comportamento do sistema:
Entrada Saída
Controlador Proporcional + Integral
A ação de controle é dada por:
• Comportamento do sistema:
Entrada Saída
ou
Kp - ganho Proporcional Ti - Tempo Integral
Controlador Proporcional + Derivativo
A ação de controle é dada por:
• Comportamento do sistema:
Entrada Saída
ou
Kp - ganho Proporcional TD - Tempo derivativo
Controlador Proporcional + Derivativo
OBS: A ação de controle derivativa tem um caráter antecipativo, o que é uma vantagem, mas tem como desvantagem amplificar sinais de ruído. A ação de controle derivativa em geral não é usada sozinha porque só é efetiva em relação à transitórios.
Considere o mesmo sistema do exemplo anterior, estudar o efeito do controlador PD no sistema supondo uma entrada do tipo degrau unitário:
a) Traçando o root locus do sistema:
(Exemplo)
FTMA:
b) Resposta ao degrau unitário (supondo k=5):
(Exemplo)
(Exemplo)
Controlador Proporcional + Integral + Derivativo
A ação de controle é dada por:
• Comportamento do sistema:
Entrada Saída
ou
Considere o mesmo sistema do exemplo anterior, estudar o efeito do controlador PD no sistema supondo uma entrada do tipo degrau unitário:
a) Traçando o root locus do sistema:
(Exemplo)
FTMA:
KCR=5
b) Resposta ao degrau unitário (supondo k=5):
Antes de determinar a resposta ao degrau unitário, vamos examinar a estabilidade usando o critério de ROUTH-HURWITZ:
(Exemplo)
(Exemplo)
Conclusão
Controlador - P
Controlador - PD Controlador - PID