Escoamentos compressíveis

Revisão

Escoamento compressível

• Esc. Incomp. Subsônico => 𝑀 =𝑉

𝑎< 0.3

• Esc. Comp. Subsônico => 0.3 < 𝑀 =𝑉

𝑎< 1

• Esc. Comp. Supersônico => 𝑀 =𝑉

𝑎>1

• Velocidade do som e número de Mach

a

h

p

0V

hh

pp

V

Conservação da massa: )()( VaAAa

som do velocidadea

Conservação da QDM:

Segunda lei, processo isentrópico:

Combinando as três equações: s

pa

0

2 lim ou:

s

pa

))(()( aVaAaAPPPA

cteP

Velocidade do som em gases ideais

RTp

kk

pp

1

1Equação de estado: Processo isentrópico:

pkk

pp kk

s

)1(

1

1Efetuando a derivada indicada:

kRTp

ka

Obtém-se uma expressão para o cálculo da

velocidade do som num gás ideal

Número de Mach a

VM

subsônico escoamento 1M

sônico 1M

osupersônic escoamento 1M

Propagação de uma onde elástica num gás

o t

t2

t3

t4

o t

t2

t4

o o

aV

em repouso

em movimento

o

Propagação de uma onde elástica num gás : cone de Mach

o

at

vt

Marcsen

vt

atarcsen

1

aV

Eqs. p/ s=cte, RP e gás perf.

• Continuidade

• Eq. s=cte

• Eq. Energia

• Eq. Estado RTP

1

1

2

2 PP

2121

2

1

1

1

2

2

2

2 VPVP

111222 AVAV

2121

2

1

2

1

2

2

2

2 VaVa

Estado de Estagnação

2

2

00

VTcTch pp Entalpia de estagnação:

Temperatura de estagnação:

pc

VTT

2

2

0

-> Fluido trazido adiabaticamente até o repouso (V=0)

-> Índice “t” ou “0”

)1(

Rcp RTa

20

2

)1(1 M

T

T

-> Estado de referência

Estado de Estagnação

Temperatura de estagnação:

Pressão de estagnação

(s = cte):

100

T

T

p

p

11

00

T

TVariação da densidade

na estagnação (s=cte):

20

2

)1(1 M

T

T

)1(20

2

)1(1

M

p

p

)1(1

20

2

)1(1

M

Velocidade do som

na estagnação: 2/1~ Ta

2/1

20

2

)1(1

M

a

a

• Propriedades na estagnação

puh

2

Vhh

2

0

Entalpia:

Entalpia de estagnação:

Escoamento num duto adiabático : conservação da energia

Volume

de controle 01

1

1

h

V

h

02

2

2

h

V

h

2

Vh

2

Vh

22

2

21

1

0201 hh

0201 TT

E, se além disso for isentrópico: 0201 PP

Estado Crítico -> Condições de escoamento sônico (M=1)

-> Índice *

-> Estado de referência

Temperatura crítica:

Pressão crítica:

Variação da densidade

crítica:

Velocidade do som

Nas cond. críticas:

2/1

0

*

)1(

2

a

a

1

2

0

*

T

T

)1(

0

*

1

2

p

p

)1(1

0

*

1

2

• Escoamento isentrópico unidimensional

Variação da velocidade do fluído com a seção da tubulação

Conservação da massa, num

escoamento em regime permanente: vazãoAV

Diferenciando em relação à x e dividindo

pela vazão: 0111

x

V

Vx

A

Ax

Vel. som

P

a2

QDM1-D isentrópico: 0

1

x

VV

x

P

Substituindo na equação diferencial de conservação da massa:

dp

d

Vdx

dPP

dx

dA

A

2

11 2111

Mdx

dV

Vdx

dA

AOu:

Para escoamento subsônico M < 1

Para escoamento supersônico M > 1

0dV A 0dV A

Variação da velocidade do fluído com a seção da tubulação

0dV A

0M1 2 0M1 2

0M1 2

0dV A

0M1 2

2111

Mdx

dV

Vdx

dA

A

Caso em que M=1 é atingido no final do duto:

1MA

A

A

1M

A solução para continuar

acelerando o fluído é fazer um duto

convergente - divergente:

garganta

1M 1M

Questão

Um reservatório contém ar a 106 Pa e o descarrega

isentropicamente em um ambiente a 105 Pa. Qual é o

número de Mach na saída?

Questão

Dadas as medições de pressão e temperatura de

estagnação e de pressão estática da figura, calcule a

velocidade do ar V admitindo: (a) escoamento

incompressível; (b) escoamento compressível