SLIDE Teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos Terceirão_1

Prof. Salsicha

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� Relação de pertinência: de elemento para conjunto.

� ∈∈∈∈ (pertence) ou ∉∉∉∉(não pertence);

� Ex.: Dado o conjunto A = {2, 4, 5, 8}, podemos afirmar que:

5 ∈ A (5 pertence a A)� 5 ∈ A (5 pertence a A)

� 7 ∉ A (7 não pertence a A)


� Relação de inclusão: de conjunto para conjunto.

� ⊂ (contido); ⊄ (não contido); ⊃ (contém)

� Ex.: Dado o conjunto B = {1, 3, 5, 8, 10}, podemos afirmar que:afirmar que:

� {1, 3} ⊂ B

� {0, 1, 3, 4} ⊄ B


� I. Se B ⊂ A, diz-se que B é um subconjunto de A ou B é uma parte de A.

� Ex.: A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2} logo B ⊂ A.

II. O conjunto vazio ∅ ou { }, está contido em qualquer � II. O conjunto vazio ∅ ou { }, está contido em qualquer conjunto.

� Ex.: ∅ ⊂ A


� III. O conjunto das partes de A é formado por todos os subconjuntos de A.

� Ex.:Se A = {a, e, i}, então P(A) = {{a}, {e}, {i} , {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i} ∅}.i}, {e, i}, {a, e, i} ∅}.

� Para saber o n(P(A)), ou seja, o número de subconjuntos formados por A, basta saber que n(P(A)) = 2n , onde n é o número de elementos do conjunto A.


� Conjunto Universo: é o conjunto U em qual pertencem todos os elementos de todos os conjuntos considerados.

� Igualdade de conjuntos: quando dois conjuntos tem os mesmos elementos (A = B)

� Conjunto unitário: chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.

� Conjunto vazio: é o conjunto que não possui nenhum elemento A = ∅


� União entre conjuntos:

� A ∪∪∪∪ B = {x |||| x ∈∈∈∈ A ou x ∈∈∈∈ B}

� Ex.: Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, A ∪∪∪∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}


� Intersecção entre conjuntos: O conjunto intersecção de A com B é formado pelos elementos que pertencem a A e B, ou seja, os elementos que eles tem em comum.

� A ∩∩∩∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

� Ex.: Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} A ∩∩∩∩ B = {3, 4, 5}.


� Número de elementos da união entre conjuntos.

� n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

� Diferença (A – B): é formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

� A – B = {x | x ∈ A e x∉B}� A – B = {x | x ∈ A e x∉B}

� Ex.: Dado o conjunto

A = {0, 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}

Logo A – B = {0, 1, 2} e

B – A = {4, 5}


� Complementar : Se A e B são dois conjuntos, tais que B ⊂ A, então o complementar de B em relação a A.

�CAB = A – B (condição B ⊂ A).

� Ex.: Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2,

3}, temos CAB = A – B = {0, 4, 5}.


� Conjunto dos número naturais (IN)

� IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

� IN* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}


� Conjunto do números inteiros (Z)

� Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

� Destacamos os seguintes subconjuntos:

� IN ⊂ Z;

� Z* = Z – {0}

� Há uma simetria em relação ao zero. O oposto, ou simétrico de 3 é -3 pois, 3 +(-3) = 0.


� Conjunto dos números racionais (Q):

� Ao acrescentarmos as frações positivas e negativas ao conjunto Z, obtemos o conjunto dos números racionais (Q).

� Q = {x | x = a/b com a ∈ Z e b ∈ Z*}� Q = {x | x = a/b com a ∈ Z e b ∈ Z*}

� Ex.: -3/2; 0,555555...; -0,83; 102/3; -9; 7, etc.

� IN ⊂ Z ⊂ Q


� Determinação da fração geratriz do decimal:

� a) 0,75 = 75/100 = 3/4

� Veja como se calcula a fração geratriz:

� b) 0,222...

x = 0,222...

10x = 2,22... (multiplica os dois lados por dez pois a 10x = 2,22... (multiplica os dois lados por dez pois a fração tem periodicidade 1).

10x = 2 + 0,22... (separa-se a parte inteira com a decimal, repare que 0,22.. = x)

10x = 2 + x → 9x = 2 → x = 2/9.


� Conjunto dos números irracionais (I):

� Os números irracionais são formados por decimais infinitos e não periódicos.

� Não é possível formar uma fração.

� Exemplos:

√2 = 1,4142135...

� Exemplos:

� a) √2 = 1,4142135...

� b) π = 3,1415926535…

� Obs.: Q ∩ I = ∅


� Conjunto dos números reais (IR):

� Da união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

� IR = Q ∪ I

� Com a idéia dos números reais a reta numérica fica completa.

� IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR

� I ⊂ IR


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