Slides Computação Gráfica - ULisboa · , que realiza a mudança do referencial do veículo (UV)...

Modelação

Capítulo 4

1

Exemplo (exame)Considere a cena 2D abaixo representada, onde a posição e direcção de um veículo são

dadas pelo ponto E e pelo vector DOF, respectivamente.

a) Apresente a matriz de transformação composta 𝑀𝑈𝑉→𝑊𝐶𝑆, que realiza a mudança do referencial do veículo (UV) para o sistema de coordenadas do mundo.

b) Indique as coordenadas do pisca direito, 𝑃𝑊𝐶𝑆, no referencial do mundo.

WCS

DOF

UE

V

P

𝐷𝑂𝐹𝑊𝐶𝑆 = 1 1𝑇

𝐸𝑊𝐶𝑆 = 2 2𝑇

𝑃𝑈𝑉 = 2 4𝑇

2

𝑀𝑈𝑉→𝑊𝐶𝑆 = 𝑇 2, 2 ∙ 𝑅 −45

=1 0 20 1 20 0 1

∙cos −45 − sin −45 0sin −45 cos −45 0

0 0 1

=

ൗ22

ൗ22 2

ൗ− 22

ൗ22 2

0 0 1

1º Teste 26/10/2013

a) Apresente a matriz de transformação composta 𝑀𝑈𝑉→𝑊𝐶𝑆, que realiza a mudança do referencial do veículo (UV) para o sistema de coordenadas do mundo.

WCS

DOF

UE

V

P




3

𝑃𝑊𝐶𝑆 =

ൗ22

ൗ22 2

ൗ− 22

ൗ22 2

0 0 1

∙241

=2 + 2 2 + 2

− 2 + 2 2 + 21

=3 2 + 2

2 + 21

1º Teste 26/10/2013

b) Indique as coordenadas do pisca direito, 𝑃𝑊𝐶𝑆, no referencial do mundo.

WCS

DOF

UE

V

P




4

Sumário

Conceitos Geométricos

Representações Geométricas

Instanciação de Primitivas

CSG

Representação por Varrimento

B-REPS & Malhas Poligonais

Curvas e Superfícies Polinomiais

5


6


Lugar Geométrico

Conjunto de todos os pontos cuja localização no espaço

da cena satisfaz uma ou mais condições matemáticas

(igualdades, desigualdades, formulas)Do latim locus (plural:

loci) 7


Tipos de Representação Matemática

Discreta

Nuvem de pontos Malha de triângulos Voxels

Barril et al., 2018

8



Analítica

Explícita

𝑧 = 𝐹 𝑥, 𝑦 ⟺⟺ 𝑧 = 0.5𝑥2 + 0.5𝑦2

9



Analítica

Implícita

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 0.5𝑦2+ 𝑧2

10



Analítica

Paramétrica

𝐩 u, v =

𝑥(𝑢, 𝑣)𝑦(𝑢, 𝑣)𝑧(𝑢, 𝑣)

,

𝑢, 𝑣 ∈ 0,1

11


Convexidade/Concavidade

Objecto

Convexo

Objecto

Côncavo

12


Continuidade (Smoothness)

Continuidade de

posição

Continuidade

de tangência

Continuidade de

curvatura

13

Modelação Geométrica

Cap. 4

14


Objectivos

“Que objecto modelar?”

“Quais as necessidades de modelação?”

“Que representação geométrica escolher?”

15


Representação Universal?

Não existe uma representação geométrica que

satisfaça todas as necessidades de modelação.

A diversidade de necessidades (aparência, simulação

física, manufacturação) criou uma diversidade de

representações geométricas.

16

Propriedades Desejáveis para as Representações


17

Propriedades Desejáveis para as Representações

6 Propriedades

Universalidade

Fidelidade

Unicidade

Exactidão

Validação

Compacticidade

18

Instanciação de PrimitivasModelação Geométrica

19


Agrupamento de Primitivas Modelação a partir de instâncias da mesma forma

geométrica

Primitiva: objecto geométrico 3D com parâmetros

bem definidos

20


Agrupamento de Primitivas

Obriga a definição previa de cada primitiva que é

realizada uma única vez

21


Agrupamento de Primitivas

22

CSG: Constructive SolidGeometry


23

Constructive Solid Geometry

Sólidos & Álgebra Booleana Modelação a partir de um conjunto de primitivas

hierarquicamente estruturado aplicando álgebra

booleana

Adaptado da Wiki

24


Sólidos & Álgebra Booleana Árvore binária:

folhas primitivas

nós objectos intermédios

raiz objecto final

Adaptado da Wiki

raíz

folhas

nós

25

Operações Booleanas

Transformações geométricas mais comuns

Translação, Rotação, Escalonamento


Sólidos & Álgebra Booleana

Tsuzuki et al. 2007

𝐴 ∪ 𝐵 A⋂𝐵 A − 𝐵 𝐵 − 𝐴 (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)

união intersecção diferença A\B diferença B\A diferença

simétrica

26

Representação por VarrimentoModelação Geométrica

27


Sólidos de Extrusão e Revolução Modelação a partir de um objecto plano (secção

bidimensional) deslocado segundo uma trajectória

Exemplos familiares: cubo, cilíndro, cone, esfera, toro

28


Sólidos de Revolução e Extrusão Trajectória linear Extrusão

Trajectória circular Revolução

29


Sólidos de Revolução e Extrusão Trajectória & secção arbitrárias Cilíndro

Generalizado

30

B-REPSModelação Geométrica

31

Representação de Fronteira

Elementos de Superfície

Modelação a partir de elementos de superfície que

limitam os objectos

Elementos de superfície

Formas simples (superficies cónicas, cilíndricas, esféricas,

poligonais)

Formas complexas (splines, NURBS)

Múltiplos elementos (malha poligonal, surface patches)

32


B-REPS

-

Objecto CSG B-REPS

33


B-REPS

34


Lado Interno e Externo É necessário convencionar o lado interno e externo

da superfície

35

Modelos de Malha PoligonalModelação Geométrica

36

Modelos de Malha Poligonal

Malha Poligonal & Tesselação Malha poligonal: enumeração de uma colecção de

vértices, lados e polígonos interligados numa malha

James Robbins (2018)

nº de triângulos: 413.9k

nº de vértices: 224.7k

37


Malha Poligonal & Tesselação Tesselação: superfície geométrica composta por

polígonos descritos em relação ao sólido poliédrico

ou superfície curvilínea

Botsch et al., 2007

superfície

curvilínea

diferentes

níveis de

tesselagem

38


Interior/Exterior à Malha Poligonal

Convenção:

enumeração dos vértices do polígono no sentido directo

(anti-hórário)

• a normal apontará para o exterior da superfície poligonal

1

3

2

→n

39


Critérios de Continuidade e Fecho

Uma malha poligonal é contínua e fechada sse:

cada vértice deve ser partilhado pelo mínimo de 3 lados

cada lado une 2 vértices

cada lado é partilhado por um mínimo de 2 de polígonos

adjacentes (i.e., nº par de polígonos adjacentes)

cada polígono é descrito por uma sequência ordenada e

fechada de, pelo menos, 3 vértices ou 3 lados

40


Tipos de Malha Poligonal

Malha poligonal de lista explícita

Malha poligonal de lista de vértices

Malha poligonal de lista de lados

41



Malha poligonal de lista explícita

Pi = {V1, V2,…,Vn} = {(x1, y1,z1), (x2, y2,z2),…, (xn, yn,zn)}

P = {P1, P2,…,Pm }

(algumas) vantagens (algumas) desvantagens

útil para malhas poligonais com

muito poucos polígonos

útil quando o processamento

cada polígono não depende de

outros polígonos

utilização ineficiente de memória

(um vértices é armazenado tantas

vezes quanto o nº de poligonos

que o possuem)

não contém informação sobre

vértices e lados comuns aos

polígonos adjacentes42



Malha poligonal de lista de vértices

V = {V1, V2,…,Vn} = {(x1, y1,z1), (x2, y2,z2),…, (xn, yn,zn)}

Pi = {V1, V2,…,Vn}

P = {P1, P2,…,Pm }


descrição + compacta

edição de um vértice é explícita

e feita uma única vez

utilização ineficiente de

memória (duplicação de lados)

ineficiente para determinar

adjacências de polígonos

43



Malha poligonal de lista de lados

V = {V1, V2,…,Vn} = {(x1, y1,z1), (x2, y2,z2),…, (xn, yn,zn)}

L = {L1, L2,…,Lm}

Lj = {Vo, Vp, Pq [, Pf ,…,Pt]}

Pi = {Ld, Le, Lf [,…,Lh]}

P = {P1, P2,…,Pm }


eficiente para determinar

adjacências de polígonos

edição de um vértice é explícita

não permite determinar que

lados concorrem num dado

vértice

44


Operações sobre Malhas Poligonais

As operações mais comuns sobre malhas

poligonal são:

reconhecimento das coordenadas dos vértices de cada lado

que compôem cada polígono

determinar que lados concorrem num dado vértice

determinar os vértices de um dado lado

determinar os polígonos que partilham um dado lado ou

vértice

verificar a consistência da malha, determinando faltas de

vértices, lados ou polígonos

45


Verificação da Consistência

Fontes de erro na geração de malhas:

utilizadores ao definirem a malha

46


Verificação da Consistência

Fontes de erro na geração de malhas:

geradores automáticos de malha

47


Verificação da Consistência (1/2)

A consistência de uma malha poligonal deve

atender aos seguintes critérios:

todos os polígonos devem ser fechados

todos os lados devem ser referenciados pelo menos 1 vez

(malha aberta) / 2 vezes (malha fechada)

cada vértice deve ser referenciado por pelo menos 2 lados

(malha aberta) / 3 lados (malha fechada)

malhas planas: verificar se polígonos com mais do que 3

lados ou vértices são planos

48


Verificação da Consistência (2/2)

A consistência de uma malha poligonal deve

atender aos seguintes critérios:

um lado não deve ser referenciado 2 ou mais vezes num

mesmo polígono

um vértice deve pertencer a, pelo menos, 1 polígono

os lados não podem possuir comprimento nulo

malha poligonal de lista de lados: 1 polígono não pode

referenciar 1 lado se este, por sua vez, não referenciar o

polígono

49

Curvas CúbicasCurvas e Superfícies

51

Curvas Cúbicas

Expressão Paramétrica Modelação a partir de curvas paramétricas de 3º grau

Representação flexível

segmento de curva t = 0 (ponto inicial)

t = 1 (ponto final)

T T

52

Curvas Cúbicas

Expressão Paramétrica

53

Curvas Cúbicas


matriz base

Cte para cada tipo de curva

(Hérmite, Bézier, …)

matriz de vectores geométricos

pontos ou tangentes à curva

54

Curvas Cúbicas


Exemplo Interactivo:

https://threejs.org/examples/#webgl_geometry_spline_editor

55

https://threejs.org/examples/https://threejs.org/examples/

Curvas Cúbicas

Curva e Polilinha

curva

cúbica

(3º grau)

polilinha

(1º grau)

polilinha são aproximações de 1º grau de linhas

curvas

aproximação exacta requer um grande nº de

segmentos de recta

56

Curvas Cúbicas

Continuidade Geométrica Curva cúbica = conjunto de segmentos de curvas

G0: curvas coincidem numa das extremidades

G1: G0 & vectores tangentes têm a mesma direcção

1

2

3

4

5

67

Q1(t) Q2(t)

57

Curvas Cúbicas

Continuidade Geométrica Vector tangente

58

Superfícies BicúbicasParamétricas

Curvas e Superfícies

59

Superfícies Bicúbicas Paramétricas

Expressão Paramétrica generalização das curvas cúbicas paramétricas

cada elemento de superfície corresponde a uma

sequência contínua e ordenada de curvas cúbicas

David Solomon, Cap. 1

t

st = 0.0

t = 1.0

t = 0.2

t = 0.4

t = 0.6

t = 0.8

60

Trabalho de Casa

Leitura do Capítulo 4

(excepto 4.1.6, 4.2.1.3-5, 4.2.2)

61

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