Slides_Yared_Cap3 [Modo de Compatibilidade]

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Sinais e sistemas

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  • Instituto de Cincias Exatas e Aplicadas (ICEA) - UFOP

    Departamento de Engenharia Eltrica (DEELT)

    Sinais e Sistemas CEA562Prof. Glauco F. G. Yared

    Baseado em OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. 2 Edio. So Paulo: Editora Pearson, 2010.

  • Captulo 3

    Representao de Sinais Peridicos em Sries de Fourier

  • Resposta dos Sistemas LIT s Exponenciais Complexas

    possvel realizar a representao de sinais como combinao linear de sinais bsicoscapazes de Representar uma ampla variedade de outros sinais Produzir uma reposta suficientemente simples

    quando apresentadas como entradas para um sistema LIT, de modo que a sada possa ser obtida a partir de uma combinao linear das respostas individuais aos sinais bsicos

  • Resposta dos Sistemas LIT s Exponenciais Complexas

    As exponenciais complexas so sinais bsicos que podem ser utilizadas para a representao outros sinais

    As exponenciais complexas, quando As exponenciais complexas, quando apresentadas como entradas para sistemas LIT, resultam em uma sadas que tambm so exponenciais complexas com mudana de amplitude

    SistemaLITx(t) = est ou x[n] = zn y(t) = H(s)est ou y[n] = H(z)zn

    Entrada Sada

  • Resposta dos Sistemas LIT s Exponenciais Complexas

    Um sinal de entrada que produz como sada de um sistema fsico o prprio sinal de entrada multiplicado por um fator de amplitude denominado autofuno, enquanto tal fator denominado de autovalordenominado de autovalor

    Assim, as exponenciais complexas so autofunes de sistemas LIT, enquanto H(s) ou H(z) so autovalores associados a autofuno exponencial complexa de tempo contnuo ou de tempo discreto

  • Resposta dos Sistemas LIT s Exponenciais Complexas

    Para , a resposta de um sistema LIT

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d h x t d

    = =

    ( ) stx t e=

    , sendo

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    s t st s st s

    H s

    y t h e d h e e d e h e d

    = = = 1442443

    ( ) ( ) sty t H s e= ( ) ( ) sH s h e d

    =

  • Resposta dos Sistemas LIT s Exponenciais Complexas

    Para , a resposta de um sistema LIT [ ] nx n z=[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

    k ky n x k h n k h k x n k

    = =

    = =

    , sendo

    [ ] [ ] [ ] [ ]( )

    n k n k n k

    k k k

    H z

    y n h k z h k z z z h k z

    = = =

    = = = 14243

    ( ) [ ] kk

    H z h k z

    =

    = [ ] ( ) ny n H z z=

  • Resposta dos Sistemas LIT s Exponenciais Complexas

    Dessa forma, se a entrada de um sistema LIT for dada por uma combinao de exponenciais complexas

    ( ) [ ] ento a sada ser dada por

    ( ) [ ]ks t nk k kk k

    x t a e ou x n a z= =

    ( ) ( ) [ ] ( )ks t nk k k k kk k

    y t a H s e ou y n a H z z= =

  • Resposta dos Sistemas LIT s Exponenciais Complexas

    Embora as variveis s e z possam assumir quaisquer nmeros imaginrios, na anlise de Fourier tais variveis assumem as formas especficasassumem as formas especficas

    exp

    exp

    onenciais da forma j t

    onenciais da formaj j ns j ez e e

    =

    =

    Magnitude unitria

    Nmero imaginrio puro

  • Representao de Sinais Peridicos de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Uma combinao linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas na forma

    ( )2jk tpi

    tambm peridica de perodo T, e denominada Srie de Fourier

    ( ) 02jk tjk t T

    k kk k

    x t a e a epi

    = =

    = =

  • Representao de Sinais Peridicos de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Se x(t) for um sinal real, ento x(t) = x*(t). Assim, tem-se

    ( ) 0k

    jk t

    kx t a e

    =

    = ( ) 0jk tkk

    x t a e

    =

    = k =

    k =

    Substituindo k por k no somatrio

    ( ) 0k

    jk t

    kx t a e

    =

    = k kk ka a ou a a

    = =

  • Representao de Sinais Peridicos de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    As formas alternativas da Srie de Fourier so

    ( ) ( ) 0jk tk

    kx t a e

    =

    =

    ( ) 0 001

    jk t jk tk k

    kx t a a e a e

    =

    = + +

    ( ) 0 001

    k

    jk t jk tk

    kx t a a e a e

    =

    = + +

    ( ) { }0012 jk tk

    kx t a e a e

    =

    = +

  • Representao de Sinais Peridicos de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Assim, tem-seSe ento pode-se escrever

    ( ) { }0012 jk tk

    kx t a e a e

    =

    = + kj

    k ka A e

    =

    ( ) ( ){ }0012 kj k tk

    kx t a e A e

    +

    =

    = +

    Se , ento

    { }1k =

    ( ) ( )0 01

    2 cosk kk

    x t a A k t

    =

    = + +k k ka B jC= +

    ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }0 00 01 12 2j k t j k tk k k

    k kx t a e a e a e B jC e

    = =

    = + = + +

    ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 0 012 cosk k

    kx t a e B jC k t jsen k t

    =

    = + + +

  • Representao de Sinais Peridicos de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Logo

    De acordo com a forma de ak, pode-se escolher a forma da representao de

    ( ) ( ) ( )0 0 0cosk kx t a B k t C sen k t = +

    escolher a forma da representao deFourier mais adequada

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Seja um sinal x(t) contnuo, peridico com perodo T e que possua, a princpio, uma representao em Srie de Fourier. Ento, necessrio determinar os coeficientes akda Srie de Fourier

    kda Srie de Fourier

    Neste sentido, multiplica-se ambos os lados da equao acima por

    ( ) 0jk tkk

    x t a e

    =

    =

    0jm te

    ( ) 0 0 0jm t jk t jm tkk

    x t e a e e

    =

    =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Na sequncia, integra-se os dois lados da equao de 0 a 02T pi =

    ( ) 0 0 0T T

    jm t jk t jm tkx t e dt a e e dt

    = ( )0 0

    kk

    x t e dt a e e dt=

    =

    Trocando da integrao e somatrio

    ( ) ( ) 000 0

    T Tj k m tjm t

    kk

    x t e dt a e dt

    =

    =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    A integral do lado direito da equao podeser escrita como( ) ( ) ( )0 0 0cos

    T T Tj k m t

    e dt k m t dt j sen k m t dt = + ou, de outra forma,

    Assim, observa-se que

    ( ) ( )0 00 0 0

    ( )( )

    ( )( )

    ( )0 0

    20

    00 00

    1 1T j k m Tj k m t j k m t T Te dt e e ek m k m

    pi

    = =

    ( ) 00

    0,,

    Tj k m t se k m

    e dtT se k m

    =

    =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Assim, a equao

    para k = m, pode ser escrita como

    ( ) ( ) 000 0

    T Tj k m tjm t

    kk

    x t e dt a e dt

    =

    =

    diferente de Zero apenas Para k = m

    para k = m, pode ser escrita como

    Note que, para m = 0, obtm-se o coeficiente a0que corresponde a componente DC ou constante

    ( ) ( )0 00 0

    1T Tjm t jm tm mx t e dt a T a x t e dtT

    = =

    ( )0 1T

    a x t dtT

    =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Assim, pode-se resumir as equaes desntese e anlise conforme indicado abaixo

    ( ) ( )0 2jk T tjk tk kk k

    x t a e a e pi

    = =

    = = Equao de sntese

    Os coeficientes ak so chamados coeficientes daSrie de Fourier ou coeficientes espectrais de x(t)

    k k= =

    Equao de anlise( ) ( ) ( )0 21 1 jk T tjk tkT T

    a x t e dt x t e dtT T

    pi = =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Exemplo: Representao da onda quadrada com perodo T em srie de Fourier

    ( ) 11, t Tx t

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Sendo

    e

    ( ) ( )1

    1

    21

    0 02

    1 1 1 21.TT

    T T T

    Ta x t dt a x t dt dt

    T T T T

    = = = =

    e( ) ( )

    1

    0 0 0

    1

    2

    2

    1 1 1 1.TT

    jk t jk t jk tk

    T T T

    a x t e dt x t e dt e dtT T T

    = = = 0 0 1 0 11

    10 0

    1 1jk t jk T jk TTk Ta e e ejk T jk T

    = =

    ( ) ( )0 0 120 10

    1 2 Tk ksen k T

    a sen k T ak T k

    pi pi

    =

    = =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

    Se T = 4T1, por exemplo, ento

    a = 0 para k par, e

    ( ) 110 1 1224 2

    k

    sen k Tsen k T sen ksen k T TT

    ak k k k

    pipi pi

    pi pi pi pi

    = = = =

    ak = 0 para k par, e

    '

    0 0

    0. cos .12 2 2

    0. 2L Hopital

    sen ka a

    pi pi pi

    pi pi

    = = =

    1 1 3 3 5 51 1 1

    ; ; ;3 5

    a a a a a api pi pi

    = = = = = = L

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

  • Convergncia da Srie de Fourier de Sinais Peridicos de Tempo Contnuo

    Exerccio 3.3, pg. 149. Dado o sinal peridico contnuo x(t) indicado

    abaixo, determine a frequncia fundamental e os coeficientes da srie de Fourieros coeficientes da srie de Fourier

    ( ) 2 52 cos 43 3

    x t t sen tpi pi

    = + +

  • Convergncia da Srie de Fourier

    Para sinais de tempo contnuo, importante que as condies de Dirichlet sejam satisfeitas para que haja uma representao em srie de Fourierrepresentao em srie de Fourier 1 condio:

    x(t) precisa ser absolutamente integrvel em qualquer perodo T

    ( ) ( ) ( )0 01 1 1.jk t jk tk k kT T T

    a x t e dt a x t e dt a x t dtT T T

    ( ) kT

    se x t dt a< <

  • Convergncia da Srie de Fourier 2 condio

    Existe um nmero finito de mximos e mnimosdurante qualquer perodo do sinal

    3 condio Em qualquer intervalo de tempo, existe no mximo

    um nmero finito de descontinuidades, sendo cada uma finita

    Nas descontinuidades, a srie infinita converge para o valor mdio de ambos os lados da descontinuidade

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Contnuo

    A seguinte notao indica o sinal x(t) e os respectivos coeficientes da srie de Fourier:

    ( ) SFx t a Linearidade

    ( ) kx t a( )( )

    SFk

    SFk

    x t a

    y t b

    ( ) ( ) ( ) SF k k kz t Ax t By t c Aa Bb= + = +

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Contnuo

    Deslocamento no Tempo para y(t) = x(t t0)

    ( ) ( ) ( )0 00 001 1 jk tjk t t tk kb x t t e dt b x e dT T + = = =

    ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 01 1

    k

    jk jk t jk t jk jk tk k

    T T

    a

    b x e e dt e x e dt e aT T

    = = = 1442443

    T TT T

    ( ) ( ) 00 0 20 jk T tjk tSF k kx t t e a e api =

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Contnuo

    Reflexo no Tempo para y(t) = x(-t)

    ( ) ( ) ( )0 0jk t jm tk mk mk m

    x t a e y t x t a e

    =

    = =

    = = =

    Note que se x(t) for par, x(t) = x(-t) e ak = a-k, e se x(t) for mpar, -x(t) = x(-t) e -ak = a-k

    k m= =

    ( ) SF kx t a( ) ( ) SF k ky t x t b a= =

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Contnuo

    Mudana de Escala no Tempo para y(t) = x(t)

    ( ) ( )0jk tkx t a e

    = os coeficientes da srie de Fourier no sealteram, mas a frequncia fundamental mudapara 0

    ( ) kk =

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Contnuo

    Multiplicao para z(t) = x(t)y(t)

    e( ) 0jl tlx t a e

    = ( ) 0jk tky t b e

    = e( ) ll

    x t a e=

    = ( ) 0kk

    y t b e=

    =

    ( ) ( ) ( ) ( )}

    00 0

    m

    j l k tjl t jk tl k l k

    l k l kz t x t y t a e b e a b e

    +

    = = = =

    = = =

    definindo m = l + k

    ( ) ( ) ( ) ( )}

    0 0

    m

    m

    h

    j l k t jm tl k l m l

    k l m lz t x t y t a b e a b e

    +

    = = = =

    = = =

    64748

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Contnuo

    sendo que

    Analogamente, pode-se escrever tambm

    m l m ll

    h a b

    =

    =

    ( ) ( ) ( ) ( )}

    00 0

    m

    j l k tjl t jk tz t x t y t a e b e a b e

    += = =

    sendo

    ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 j l k tjl t jk tl k l kl k l k

    z t x t y t a e b e a b e += = = =

    = = =

    ( ) ( ) ( ) 0mh

    jm tk m k

    m kz t x t y t b a e

    = =

    = =

    64748

    m k m kk

    h b a

    =

    =

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Contnuo

    Conjugao e Simetria Conjugada( )( )

    SFk

    SFk

    x t a

    x t a

    (vide slide no 11)

    Se x(t) for real, x(t) = x*(t), ento

    ( ) kx t a

    k ka a

    = (vide slide no 11)

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Contnuo

    Relao de Parseval

    ( ) 0 02

    221 1 1jk t jk tk k

    k kT T T

    x t dt a e dt a e dtT T T

    = =

    = =

    ( ) 0 22 2 21 1 1. jk tk kk kT T

    x t dt a e dt a TT T T

    = =

    = =

    ( ) 2 21 kkT

    x t dt aT

    =

    = Potnciamdia

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Para um sinal de tempo discreto com perodo N, pode-se escrever

    A exponencial complexa possui perodo N e frequncia

    [ ] [ ]x n x n N= +( )0 2j N nj ne e pi =

    possui perodo N e frequncia fundamental 0. Adicionalmente, os sinais abaixo so harmnicos que possuem frequncias fundamentais mltiplos de 0.

    [ ] ( )0 2 , 0, 1, 2,jk N njk nk n e e para kpi = = = K

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Pode-se observar que a funo k se repete a cada N valores consecutivos de k, de modo que[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 1, , ,N N k k rNn n n n n n + += = =K

    Assumindo que seja possvel determinar uma representao de um sinal x[n] como uma combinao de exponenciais complexas, pode-se escrever

    [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 1, , ,N N k k rNn n n n n n + += = =K

    [ ] [ ] ( )0 2jk N njk nk k k kk k k

    x n a n a e a epi= = =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Considerando que a funo k se repete a cada N valores consecutivos de k, ento os limites do somatrio devem variar em um intervalo de N valores sucessivos de k, um intervalo de N valores sucessivos de k, cuja notao k = [ ] [ ] ( )0 2jk N njk nk k k k

    k N k N k Nx n a n a e a e

    pi= = =

    = = =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Note que

    Somatrio de uma funo peridica em um perodo igual a zero, a menos que seja uma constante

    ( )2 , 0, , 2 ,0,

    jk N n kk

    n N

    a N para k N Na e

    para outro kpi

    =

    = =

    K

    Assim, partindo-se da Equao

    pode-se multiplicar ambos os membros por e somar sobre um intervalo de tempo N

    igual a zero, a menos que seja uma constante

    [ ] ( )2jk N nkk N

    x n a epi

    =

    =

    ( )2jr N ne

    pi

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    O resultado

    Invertendo-se o somatrio do lado direito da

    [ ] ( ) ( )( )2 2jr N n j k r N nkn N n N k N

    x n e a epi pi

    = = =

    =

    Invertendo-se o somatrio do lado direito daEquao, obtm-se

    Pode-se observar que

    [ ] ( ) ( )( )2 2jr N n j k r N nkn N k N n N

    x n e a epi pi

    = = =

    =

    ( )( )2 ,0,

    j k r N n

    n N

    N para k re

    para k rpi

    =

    ==

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Logo

    Resumidamente as Equaes de sntese e anlise so da Srie de Fourier de

    [ ] ( )21 jr N nrn N

    a x n eN

    pi

    =

    =

    e anlise so da Srie de Fourier de tempo discreto so

    [ ] ( )0 2jk N njk nk kk N k N

    x n a e a epi

    = =

    = =

    [ ] ( )21 jk N nkn N

    a x n eN

    pi

    =

    =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Considerando-se que a Equao de sntese um somatrio finito, visto que a cada N valores sucessivos de k a srie se repete, ou seja , ento no k k Na a +=repete, ou seja , ento no existem problemas de convergncia da srie de Fourier de tempo discreto

    k k Na a +=

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Exemplo: onda quadrada de tempo discreto com perodo N

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Partindo-se da Equao de anlise da sriede Fourier no intervalo -N1 < n < N1, vistoque dentro do perodo N/2 < n < N/2somente este intervalo possui valores nosomente este intervalo possui valores nonulos da onda quadrada, ento

    ( ) ( )1

    1

    22 2

    2

    1 1 NN jk N n jk N nk

    n N n Na e e

    N Npi pi

    = =

    = =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Efetuando-se a mudana de varivel m = n + N1, obtm-se

    ( ) ( )12 2 21 1 NN jk N n jk N nka e eN N

    pi pi = =

    12k

    n N n NN N= =

    m = n + N1

    ( )( ) ( ) ( )1 11 12 2

    2 2 2

    0 0

    1 1N Njk N m N jk N N jk N mk

    m m

    a e e eN N

    pi pi pi

    = =

    = =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Utilizando a expresso da soma finita deuma progresso geomtrica, tem-se

    ( )( ) 12 12

    211

    Njk Njk N N e

    pi

    pi

    +

    =

    ( )( )

    122

    111

    jk N Nk jk N

    ea e

    N epi

    pi

    =

    ( ) ( )( )( )

    11

    2 2 12

    2

    1 11

    jk N Njk N N

    k jk Ne

    a eN e

    pipi

    pi

    +

    =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Desenvolvendo a expresso anterior possvel verificar que

    ( ) 1 11 1 1 12 22 2 2 2

    jk N jk Njk N N Ne e epi pi

    pi

    + +

    ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

    1k jk N jk N jk N

    e e e

    aN e e epi pi pi

    =

    ( )1

    1 1221

    , 0, , 2 ,ksen k N

    Na para k N N

    N sen k N

    pi

    pi

    +

    = K

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Para k = 0, N, 2N, ... , pode-se aplicar oTeorema de LHopital de modo que

    ( )11 2 1 , 0, , 2 ,ka N para k N NN= + = KAssim, utilizando a equao de sntese dasrie de Fourier de tempo discreto, pode-seObter a expresso da aproximao da ondaquadrada x[n]

    ( )12 1 , 0, , 2 ,ka N para k N NN= + = K

    [ ] ( )2 M jk N nkk M

    x n a epi

    =

    =

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Grficos de ak para diferentes valores de N, um vez fixado o valor de N1Grficos de ak para diferentes valores de N, um vez fixado o valor de N1

  • Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

    Aproximao da onda quadrada para diferentes valores do intervalo M no nulo do pulso

    [ ] ( )2 M jk N nkk M

    x n a epi

    =

    =

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Discreto

    Multiplicao Para z[n]=x[n].y[n]

    [ ] SF kx n a[ ] kx n a[ ] SF ky n b

    [ ] [ ] [ ] SF k l k ll N

    z n x n y n d a b

    =

    = Anlogo ao caso contnuo (vide slide 31)

    Somatrio em um perodo do sinal

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Discreto

    Primeira Diferena Para a primeira diferena x[n] x[n-1]

    [ ] [ ] ( )00 11 jk njk nk kx n x n a e a e = =

    =

    [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

    0 0 0

    0 0

    0

    1

    1 1

    1 1

    l N l N

    jk n jk n jkk k

    l N l N

    jk jk nk

    l N

    jkSFk

    x n x n a e a e e

    x n x n a e e

    x n x n a e

    = =

    = =

    =

    =

    =

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Discreto

    Relao de Parseval

    [ ] 2 21 kx n a= Potnciamdia [ ] kn N k N

    x n aN

    = =

    = mdia

    Anlogo ao caso de tempo contnuo (vide slide 34)

  • Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Discreto

  • Srie de Fourier e Sistemas LIT A funo exponencial complexa uma

    autofuno dos sistemas LIT, de modo que para entradas do tipo

    ( ) [ ]st nx t e ou x n z= =obtm-se sadas com a forma

    em que . Adicionalmente, os autovalores H(s) e H(z) correspondem asrespostas em frequncia dos sistemas LIT

    ( ) [ ]x t e ou x n z= =( ) ( ) [ ] ( )st ny t H s e e y n H z z= = (Vide slides 6 e 7)

    js j e z e = =

    ( ) ( ) ( ) sH s H j h e d

    = = ( ) ( ) [ ]j kk

    H z H e h k z

    =

    = =

  • Srie de Fourier e Sistemas LIT Assim, quando a entrada de um sistema

    LIT for do tipo( ) [ ] ( )0 2jk N njk tk k

    k k Nx t a e ou x n a e pi

    = =

    = =

    a sada ter a forma k k N= =

    ( ) ( ) [ ] ( ) ( )0 0 20 jk N njk t jkk kk k N

    y t a H jk e ou y n a H e e pi

    = =

    = =

  • Filtragem O processo de modificao das amplitudes dos

    componentes de frequncia de um sinal denominado filtragem

    Os filtros podem ser agrupados em duas Os filtros podem ser agrupados em duas classes Filtros conformadores em frequncia

    Modelam a forma do espectro Filtros seletivos em frequncia

    Selecionam ou permitem a passagem de uma faixa de frequncias do sinal e atenuam/eliminam as demais

  • Filtragem O filtro diferenciador um exemplo de

    conformador

    Para uma entrada exponencial complexa ( ) ( )dx ty t

    dt=

    Para uma entrada exponencial complexa ejt, a sada ser dada por

    ( )( ){ ( ) ( )j t

    H jy t j e H j j H j

    = = =

    Resposta em frequncia

  • Filtragem

  • FiltragemO filtro diferenciador utilizado para realarbordas de imagens

  • Filtragem O filtro recursivo (IIR) de tempo discreto

    de primeira ordem um exemplo de filtro seletivo em frequncia.

    [ ] [ ] [ ]1y n ay n x n =Assim, para uma entrada x[n] exponencial complexa, tem-se a sada y[n] dada por

    Logo [ ] [ ] ( )j n j j nx n e y n H e e = =

    [ ] [ ] [ ]1y n ay n x n =

    ( ) ( ) ( ) ( )1 11j nj j n j j n j jH e e aH e e e H e ae = =

  • FiltragemAssim, considerando a resposta emfrequncia ( ) 11j jH e ae =

    0 11 0

    a passa baixaa passa alta

    < <

    < <