Slides_Yared_Cap3 [Modo de Compatibilidade]

Instituto de Cincias Exatas e Aplicadas (ICEA) - UFOP

Departamento de Engenharia Eltrica (DEELT)

Sinais e Sistemas CEA562Prof. Glauco F. G. Yared

Baseado em OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. 2 Edio. So Paulo: Editora Pearson, 2010.

Captulo 3

Representao de Sinais Peridicos em Sries de Fourier

Resposta dos Sistemas LIT s Exponenciais Complexas

possvel realizar a representao de sinais como combinao linear de sinais bsicoscapazes de Representar uma ampla variedade de outros sinais Produzir uma reposta suficientemente simples

quando apresentadas como entradas para um sistema LIT, de modo que a sada possa ser obtida a partir de uma combinao linear das respostas individuais aos sinais bsicos


As exponenciais complexas so sinais bsicos que podem ser utilizadas para a representao outros sinais

As exponenciais complexas, quando As exponenciais complexas, quando apresentadas como entradas para sistemas LIT, resultam em uma sadas que tambm so exponenciais complexas com mudana de amplitude

SistemaLITx(t) = est ou x[n] = zn y(t) = H(s)est ou y[n] = H(z)zn

Entrada Sada


Um sinal de entrada que produz como sada de um sistema fsico o prprio sinal de entrada multiplicado por um fator de amplitude denominado autofuno, enquanto tal fator denominado de autovalordenominado de autovalor

Assim, as exponenciais complexas so autofunes de sistemas LIT, enquanto H(s) ou H(z) so autovalores associados a autofuno exponencial complexa de tempo contnuo ou de tempo discreto


Para , a resposta de um sistema LIT

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x h t d h x t d

= =

( ) stx t e=

, sendo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

s t st s st s

H s

y t h e d h e e d e h e d

= = = 1442443

( ) ( ) sty t H s e= ( ) ( ) sH s h e d

=


Para , a resposta de um sistema LIT [ ] nx n z=[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

k ky n x k h n k h k x n k

= =

= =

, sendo

[ ] [ ] [ ] [ ]( )

n k n k n k

k k k

H z

y n h k z h k z z z h k z

= = =

= = = 14243

( ) [ ] kk

H z h k z

=

= [ ] ( ) ny n H z z=


Dessa forma, se a entrada de um sistema LIT for dada por uma combinao de exponenciais complexas

( ) [ ] ento a sada ser dada por

( ) [ ]ks t nk k kk k

x t a e ou x n a z= =

( ) ( ) [ ] ( )ks t nk k k k kk k

y t a H s e ou y n a H z z= =


Embora as variveis s e z possam assumir quaisquer nmeros imaginrios, na anlise de Fourier tais variveis assumem as formas especficasassumem as formas especficas

exp

exp

onenciais da forma j t

onenciais da formaj j ns j ez e e

=

=

Magnitude unitria

Nmero imaginrio puro

Representao de Sinais Peridicos de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

Uma combinao linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas na forma

( )2jk tpi

tambm peridica de perodo T, e denominada Srie de Fourier

( ) 02jk tjk t T

k kk k

x t a e a epi

= =

= =


Se x(t) for um sinal real, ento x(t) = x*(t). Assim, tem-se

( ) 0k

jk t

kx t a e

=

= ( ) 0jk tkk

x t a e

=

= k =

k =

Substituindo k por k no somatrio

( ) 0k

jk t

kx t a e

=

= k kk ka a ou a a

= =


As formas alternativas da Srie de Fourier so

( ) ( ) 0jk tk

kx t a e

=

=

( ) 0 001

jk t jk tk k

kx t a a e a e

=

= + +

( ) 0 001

k

jk t jk tk

kx t a a e a e

=

= + +

( ) { }0012 jk tk

kx t a e a e

=

= +


Assim, tem-seSe ento pode-se escrever

( ) { }0012 jk tk

kx t a e a e

=

= + kj

k ka A e

=

( ) ( ){ }0012 kj k tk

kx t a e A e

+

=

= +

Se , ento

{ }1k =

( ) ( )0 01

2 cosk kk

x t a A k t

=

= + +k k ka B jC= +

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }0 00 01 12 2j k t j k tk k k

k kx t a e a e a e B jC e

= =

= + = + +

( ) ( ) ( ) ( ){ }0 0 012 cosk k

kx t a e B jC k t jsen k t

=

= + + +


Logo

De acordo com a forma de ak, pode-se escolher a forma da representao de

( ) ( ) ( )0 0 0cosk kx t a B k t C sen k t = +

escolher a forma da representao deFourier mais adequada

Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Contnuo em Srie de Fourier

Seja um sinal x(t) contnuo, peridico com perodo T e que possua, a princpio, uma representao em Srie de Fourier. Ento, necessrio determinar os coeficientes akda Srie de Fourier

kda Srie de Fourier

Neste sentido, multiplica-se ambos os lados da equao acima por

( ) 0jk tkk

x t a e

=

=

0jm te

( ) 0 0 0jm t jk t jm tkk

x t e a e e

=

=


Na sequncia, integra-se os dois lados da equao de 0 a 02T pi =

( ) 0 0 0T T

jm t jk t jm tkx t e dt a e e dt

= ( )0 0

kk

x t e dt a e e dt=

=

Trocando da integrao e somatrio

( ) ( ) 000 0

T Tj k m tjm t

kk

x t e dt a e dt

=

=


A integral do lado direito da equao podeser escrita como( ) ( ) ( )0 0 0cos

T T Tj k m t

e dt k m t dt j sen k m t dt = + ou, de outra forma,

Assim, observa-se que

( ) ( )0 00 0 0

( )( )

( )( )

( )0 0

20

00 00

1 1T j k m Tj k m t j k m t T Te dt e e ek m k m

pi

= =

( ) 00

0,,

Tj k m t se k m

e dtT se k m

=

=


Assim, a equao

para k = m, pode ser escrita como

( ) ( ) 000 0

T Tj k m tjm t

kk

x t e dt a e dt

=

=

diferente de Zero apenas Para k = m

para k = m, pode ser escrita como

Note que, para m = 0, obtm-se o coeficiente a0que corresponde a componente DC ou constante

( ) ( )0 00 0

1T Tjm t jm tm mx t e dt a T a x t e dtT

= =

( )0 1T

a x t dtT

=


Assim, pode-se resumir as equaes desntese e anlise conforme indicado abaixo

( ) ( )0 2jk T tjk tk kk k

x t a e a e pi

= =

= = Equao de sntese

Os coeficientes ak so chamados coeficientes daSrie de Fourier ou coeficientes espectrais de x(t)

k k= =

Equao de anlise( ) ( ) ( )0 21 1 jk T tjk tkT T

a x t e dt x t e dtT T

pi = =


Exemplo: Representao da onda quadrada com perodo T em srie de Fourier

( ) 11, t Tx t


Sendo

e

( ) ( )1

1

21

0 02

1 1 1 21.TT

T T T

Ta x t dt a x t dt dt

T T T T

= = = =

e( ) ( )

1

0 0 0

1

2

2

1 1 1 1.TT

jk t jk t jk tk

T T T

a x t e dt x t e dt e dtT T T

= = = 0 0 1 0 11

10 0

1 1jk t jk T jk TTk Ta e e ejk T jk T

= =

( ) ( )0 0 120 10

1 2 Tk ksen k T

a sen k T ak T k

pi pi

=

= =


Se T = 4T1, por exemplo, ento

a = 0 para k par, e

( ) 110 1 1224 2

k

sen k Tsen k T sen ksen k T TT

ak k k k

pipi pi

pi pi pi pi

= = = =

ak = 0 para k par, e

'

0 0

0. cos .12 2 2

0. 2L Hopital

sen ka a

pi pi pi

pi pi

= = =

1 1 3 3 5 51 1 1

; ; ;3 5

a a a a a api pi pi

= = = = = = L

Convergncia da Srie de Fourier de Sinais Peridicos de Tempo Contnuo

Exerccio 3.3, pg. 149. Dado o sinal peridico contnuo x(t) indicado

abaixo, determine a frequncia fundamental e os coeficientes da srie de Fourieros coeficientes da srie de Fourier

( ) 2 52 cos 43 3

x t t sen tpi pi

= + +

Convergncia da Srie de Fourier

Para sinais de tempo contnuo, importante que as condies de Dirichlet sejam satisfeitas para que haja uma representao em srie de Fourierrepresentao em srie de Fourier 1 condio:

x(t) precisa ser absolutamente integrvel em qualquer perodo T

( ) ( ) ( )0 01 1 1.jk t jk tk k kT T T

a x t e dt a x t e dt a x t dtT T T

( ) kT

se x t dt a< <

Convergncia da Srie de Fourier 2 condio

Existe um nmero finito de mximos e mnimosdurante qualquer perodo do sinal

3 condio Em qualquer intervalo de tempo, existe no mximo

um nmero finito de descontinuidades, sendo cada uma finita

Nas descontinuidades, a srie infinita converge para o valor mdio de ambos os lados da descontinuidade

Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Contnuo

A seguinte notao indica o sinal x(t) e os respectivos coeficientes da srie de Fourier:

( ) SFx t a Linearidade

( ) kx t a( )( )

SFk

SFk

x t a

y t b

( ) ( ) ( ) SF k k kz t Ax t By t c Aa Bb= + = +


Deslocamento no Tempo para y(t) = x(t t0)

( ) ( ) ( )0 00 001 1 jk tjk t t tk kb x t t e dt b x e dT T + = = =

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 01 1

k

jk jk t jk t jk jk tk k

T T

a

b x e e dt e x e dt e aT T

= = = 1442443

T TT T

( ) ( ) 00 0 20 jk T tjk tSF k kx t t e a e api =


Reflexo no Tempo para y(t) = x(-t)

( ) ( ) ( )0 0jk t jm tk mk mk m

x t a e y t x t a e

=

= =

= = =

Note que se x(t) for par, x(t) = x(-t) e ak = a-k, e se x(t) for mpar, -x(t) = x(-t) e -ak = a-k

k m= =

( ) SF kx t a( ) ( ) SF k ky t x t b a= =


Mudana de Escala no Tempo para y(t) = x(t)

( ) ( )0jk tkx t a e

= os coeficientes da srie de Fourier no sealteram, mas a frequncia fundamental mudapara 0

( ) kk =


Multiplicao para z(t) = x(t)y(t)

e( ) 0jl tlx t a e

= ( ) 0jk tky t b e

= e( ) ll

x t a e=

= ( ) 0kk

y t b e=

=

( ) ( ) ( ) ( )}

00 0

m

j l k tjl t jk tl k l k

l k l kz t x t y t a e b e a b e

+

= = = =

= = =

definindo m = l + k

( ) ( ) ( ) ( )}

0 0

m

m

h

j l k t jm tl k l m l

k l m lz t x t y t a b e a b e

+

= = = =

= = =

64748


sendo que

Analogamente, pode-se escrever tambm

m l m ll

h a b

=

=

( ) ( ) ( ) ( )}

00 0

m

j l k tjl t jk tz t x t y t a e b e a b e

+= = =

sendo

( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 j l k tjl t jk tl k l kl k l k

z t x t y t a e b e a b e += = = =

= = =

( ) ( ) ( ) 0mh

jm tk m k

m kz t x t y t b a e

= =

= =

64748

m k m kk

h b a

=

=


Conjugao e Simetria Conjugada( )( )

SFk

SFk

x t a

x t a

(vide slide no 11)

Se x(t) for real, x(t) = x*(t), ento

( ) kx t a

k ka a

= (vide slide no 11)


Relao de Parseval

( ) 0 02

221 1 1jk t jk tk k

k kT T T

x t dt a e dt a e dtT T T

= =

= =

( ) 0 22 2 21 1 1. jk tk kk kT T

x t dt a e dt a TT T T

= =

= =

( ) 2 21 kkT

x t dt aT

=

= Potnciamdia

Determinao da Representao de um Sinal de Tempo Discreto em Srie de Fourier

Para um sinal de tempo discreto com perodo N, pode-se escrever

A exponencial complexa possui perodo N e frequncia

[ ] [ ]x n x n N= +( )0 2j N nj ne e pi =

possui perodo N e frequncia fundamental 0. Adicionalmente, os sinais abaixo so harmnicos que possuem frequncias fundamentais mltiplos de 0.

[ ] ( )0 2 , 0, 1, 2,jk N njk nk n e e para kpi = = = K


Pode-se observar que a funo k se repete a cada N valores consecutivos de k, de modo que[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 1, , ,N N k k rNn n n n n n + += = =K

Assumindo que seja possvel determinar uma representao de um sinal x[n] como uma combinao de exponenciais complexas, pode-se escrever

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 1, , ,N N k k rNn n n n n n + += = =K

[ ] [ ] ( )0 2jk N njk nk k k kk k k

x n a n a e a epi= = =


Considerando que a funo k se repete a cada N valores consecutivos de k, ento os limites do somatrio devem variar em um intervalo de N valores sucessivos de k, um intervalo de N valores sucessivos de k, cuja notao k = [ ] [ ] ( )0 2jk N njk nk k k k

k N k N k Nx n a n a e a e

pi= = =

= = =


Note que

Somatrio de uma funo peridica em um perodo igual a zero, a menos que seja uma constante

( )2 , 0, , 2 ,0,

jk N n kk

n N

a N para k N Na e

para outro kpi

=

= =

K

Assim, partindo-se da Equao

pode-se multiplicar ambos os membros por e somar sobre um intervalo de tempo N

igual a zero, a menos que seja uma constante

[ ] ( )2jk N nkk N

x n a epi

=

=

( )2jr N ne

pi


O resultado

Invertendo-se o somatrio do lado direito da

[ ] ( ) ( )( )2 2jr N n j k r N nkn N n N k N

x n e a epi pi

= = =

=

Invertendo-se o somatrio do lado direito daEquao, obtm-se

Pode-se observar que

[ ] ( ) ( )( )2 2jr N n j k r N nkn N k N n N

x n e a epi pi

= = =

=

( )( )2 ,0,

j k r N n

n N

N para k re

para k rpi

=

==


Logo

Resumidamente as Equaes de sntese e anlise so da Srie de Fourier de

[ ] ( )21 jr N nrn N

a x n eN

pi

=

=

e anlise so da Srie de Fourier de tempo discreto so

[ ] ( )0 2jk N njk nk kk N k N

x n a e a epi

= =

= =

[ ] ( )21 jk N nkn N

a x n eN

pi

=

=


Considerando-se que a Equao de sntese um somatrio finito, visto que a cada N valores sucessivos de k a srie se repete, ou seja , ento no k k Na a +=repete, ou seja , ento no existem problemas de convergncia da srie de Fourier de tempo discreto

k k Na a +=


Exemplo: onda quadrada de tempo discreto com perodo N


Partindo-se da Equao de anlise da sriede Fourier no intervalo -N1 < n < N1, vistoque dentro do perodo N/2 < n < N/2somente este intervalo possui valores nosomente este intervalo possui valores nonulos da onda quadrada, ento

( ) ( )1

1

22 2

2

1 1 NN jk N n jk N nk

n N n Na e e

N Npi pi

= =

= =


Efetuando-se a mudana de varivel m = n + N1, obtm-se

( ) ( )12 2 21 1 NN jk N n jk N nka e eN N

pi pi = =

12k

n N n NN N= =

m = n + N1

( )( ) ( ) ( )1 11 12 2

2 2 2

0 0

1 1N Njk N m N jk N N jk N mk

m m

a e e eN N

pi pi pi

= =

= =


Utilizando a expresso da soma finita deuma progresso geomtrica, tem-se

( )( ) 12 12

211

Njk Njk N N e

pi

pi

+

=

( )( )

122

111

jk N Nk jk N

ea e

N epi

pi

=

( ) ( )( )( )

11

2 2 12

2

1 11

jk N Njk N N

k jk Ne

a eN e

pipi

pi

+

=


Desenvolvendo a expresso anterior possvel verificar que

( ) 1 11 1 1 12 22 2 2 2

jk N jk Njk N N Ne e epi pi

pi

+ +

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

1k jk N jk N jk N

e e e

aN e e epi pi pi

=

( )1

1 1221

, 0, , 2 ,ksen k N

Na para k N N

N sen k N

pi

pi

+

= K


Para k = 0, N, 2N, ... , pode-se aplicar oTeorema de LHopital de modo que

( )11 2 1 , 0, , 2 ,ka N para k N NN= + = KAssim, utilizando a equao de sntese dasrie de Fourier de tempo discreto, pode-seObter a expresso da aproximao da ondaquadrada x[n]

( )12 1 , 0, , 2 ,ka N para k N NN= + = K

[ ] ( )2 M jk N nkk M

x n a epi

=

=


Grficos de ak para diferentes valores de N, um vez fixado o valor de N1Grficos de ak para diferentes valores de N, um vez fixado o valor de N1


Aproximao da onda quadrada para diferentes valores do intervalo M no nulo do pulso

[ ] ( )2 M jk N nkk M

x n a epi

=

=

Propriedades da Srie de Fourier de Tempo Discreto

Multiplicao Para z[n]=x[n].y[n]

[ ] SF kx n a[ ] kx n a[ ] SF ky n b

[ ] [ ] [ ] SF k l k ll N

z n x n y n d a b

=

= Anlogo ao caso contnuo (vide slide 31)

Somatrio em um perodo do sinal


Primeira Diferena Para a primeira diferena x[n] x[n-1]

[ ] [ ] ( )00 11 jk njk nk kx n x n a e a e = =

=

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

0 0 0

0 0

0

1

1 1

1 1

l N l N

jk n jk n jkk k

l N l N

jk jk nk

l N

jkSFk

x n x n a e a e e

x n x n a e e

x n x n a e

= =

= =

=

=

=


Relao de Parseval

[ ] 2 21 kx n a= Potnciamdia [ ] kn N k N

x n aN

= =

= mdia

Anlogo ao caso de tempo contnuo (vide slide 34)

Srie de Fourier e Sistemas LIT A funo exponencial complexa uma

autofuno dos sistemas LIT, de modo que para entradas do tipo

( ) [ ]st nx t e ou x n z= =obtm-se sadas com a forma

em que . Adicionalmente, os autovalores H(s) e H(z) correspondem asrespostas em frequncia dos sistemas LIT

( ) [ ]x t e ou x n z= =( ) ( ) [ ] ( )st ny t H s e e y n H z z= = (Vide slides 6 e 7)

js j e z e = =

( ) ( ) ( ) sH s H j h e d

= = ( ) ( ) [ ]j kk

H z H e h k z

=

= =

Srie de Fourier e Sistemas LIT Assim, quando a entrada de um sistema

LIT for do tipo( ) [ ] ( )0 2jk N njk tk k

k k Nx t a e ou x n a e pi

= =

= =

a sada ter a forma k k N= =

( ) ( ) [ ] ( ) ( )0 0 20 jk N njk t jkk kk k N

y t a H jk e ou y n a H e e pi

= =

= =

Filtragem O processo de modificao das amplitudes dos

componentes de frequncia de um sinal denominado filtragem

Os filtros podem ser agrupados em duas Os filtros podem ser agrupados em duas classes Filtros conformadores em frequncia

Modelam a forma do espectro Filtros seletivos em frequncia

Selecionam ou permitem a passagem de uma faixa de frequncias do sinal e atenuam/eliminam as demais

Filtragem O filtro diferenciador um exemplo de

conformador

Para uma entrada exponencial complexa ( ) ( )dx ty t

dt=

Para uma entrada exponencial complexa ejt, a sada ser dada por

( )( ){ ( ) ( )j t

H jy t j e H j j H j

= = =

Resposta em frequncia

Filtragem

FiltragemO filtro diferenciador utilizado para realarbordas de imagens

Filtragem O filtro recursivo (IIR) de tempo discreto

de primeira ordem um exemplo de filtro seletivo em frequncia.

[ ] [ ] [ ]1y n ay n x n =Assim, para uma entrada x[n] exponencial complexa, tem-se a sada y[n] dada por

Logo [ ] [ ] ( )j n j j nx n e y n H e e = =

[ ] [ ] [ ]1y n ay n x n =

( ) ( ) ( ) ( )1 11j nj j n j j n j jH e e aH e e e H e ae = =

FiltragemAssim, considerando a resposta emfrequncia ( ) 11j jH e ae =

0 11 0

a passa baixaa passa alta

< <

< <

Slides_Yared_Cap3 [Modo de Compatibilidade]

Documents

Transcript of Slides_Yared_Cap3 [Modo de Compatibilidade]