SME0100 - CÁLCULO NUMÉRICO IPROFESSORESMARCOS ARENALESMARISTELA SANTOS

Agosto 2011

SME0100 - Cálculo Num érico I

Ementa:1) Representação de números no computador. Erros em métodos numéricos. 2) Soluções de equações: método iterativo linear, Newton, Secantes. 3) Soluções de equações e sistemas de equações não-lineares: método iterativo linear, método de Newton. 4) Soluções de equações polinomiais: Briot-Ruffini-Horner e Newton-Barstow. 5) Soluções de sistemas lineares: métodos exatos - LU, eliminação de Gausse Cholesky.6) Soluções de Sistemas linerares: Métodos iterativos - Gauss-Seidel, Jacobi-Richardson, gradientes e gradientes conjugados. 7) Determinação numérica de auto-valores e auto-vetores: métodos das potências e Francis (QR).

Informações Importantes

Bibliografia Indicada

� BURDEN, R. L., FAIRES, J. D., Análise Numérica , Thompson –2003.

� FRANCO, N.B. Cálculo Num érico, Editora Pearson Education(2006).

AVALIAÇÕES

� Duas Avaliações teóricas – Média de Provas: MP = (P1+P2)/2

� Trabalhos Práticos – Média Aritmética dos Trabalhos: MT = (T1 + T2)/2

Média Semestral

� Se MP ≥≥≥≥ 5.0

Então Média Final = 0,85 MP + 0,15 MT

� Senão Média Final = MP

DATAS IMPORTANTESn. aula DATA Planejamento

1 05/08 Apresentação do Curso e critérios. Representação de um número no computador. Erros em métodos numéricos

2 12/08 Localização gráfica de raízes. Métodos iterativos.(Bissecção e posição falsa). Método do ponto fixo.

19/08 SBPO - Sem aula 3 26/08 Método de Newton. Método da secante. 4 02/09 Soluções de equações polinomiais: Briot-Ruffini-Horner e Newton-

Barstow. 5 16/09 Resolução de sistemas não lineares (método iterativo e Newton) 6 23/09 SEMANA DA COMPUTAÇÃO 7 30/09 1º Avaliação de conteúdo ( e entrega do trabalho 1) 8 07/10 Resolução de sistemas lineares. Métodos exatos 9 14/10 Resolução de Sistemas: Método de Gauss, LU. Cholesky 10 21/10 Resolução de sistemas lineares. Métodos iterativos 28/10 FERIADO 04/11 FERIADO

11 11/11 Resolução de sistemas lineares. Métodos iterativos 12 18/11 Autovalores e autovetores 13 25/11 Autovalores e autovetores 14 02/12 2º Avaliação de conteúdo e entrega do trabalho 2Avaliação

substitutiva 15 09/12 Avaliação substitutiva (Repondo a aula 19/08)

PROPOSTA DE TRABALHO

� Trabalho 1: Implementação, na linguagem C ou C++, de métodos numéricos para zeros de funções.

� Trabalho 2: Implementação, na linguagem C ou C++, do Método Numérico para resolução de sistemas LU (com Gauss).

Por que técnicas numéricas ?

� Nem sempre (quase nunca ?) sabemos resolver os problemas reais de maneira analítica.

� ax2 + bx + c = 0� solução analítica ? Sim: fórmula de Bashkara.

� x6 - 20x5 -110x4 + 50x3 - 5x2 + 70x -100 =0

Por que técnicas numéricas ?

� “O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos por intermédio de um computador”.

Aplicações em Matemática:� Obtenção de soluções numéricas;� Solução numérica para problemas sem

solução analítica;

Resolução de um problema real

Problemas reais:-Produção (corte de peças, tamanho do lote e etc)-Escoamento de fluídos e etc

Métodos numéricos (disciplina) para:1) Determinar uma raiz de uma equação;2) Resolver um sistema linear3) Aproximar uma função4) Etc.

Resolução de um problema real

Solução do modelo matemático pode ser diferente da real. Fontes de erros:1) Simplificações do modelo matemático;2) Erro de truncamento3) Erro de arredondamento4) Erros nos dados.5) ...

Fontes de erro

� Simplificações (Idealizações)

� Exemplos: Em um modelo que deseja saber o tempo de queda de um objeto, desconsideramos a força de resistência do ar.

� Erro nos dados

� Implica erros nos parâmetros dos modelos, ocasionando erros na saída.

Fontes de erro

� Erros de truncamento

� Quando o modelo matemático envolve a avaliação, por exemplo, de uma série infinita, cometemos um erro de truncamento.

� Ex.: Aproximação Erro

Fontes de erro

� Erros de arredondamento

� Geralmente trabalhamos com uma aritmética de precisão finita (exemplo maior: computadores)

� Ex.:� 1/3 = 0.333333... : 0.3334.� π = 3.141592653....

Medida do erro (introdução)

� É importante termos uma idéia do erro.

Valor obtido por uma técnica numérica:Valor real: x

Erro absoluto:Erro relativo: Obviamente: se soubéssemos x, não

precisaríamos de mais nada... Mesmo sem saber x, conseguimos estimar EAx e

ERx?

x

Medida do erro (introdução)

� Em geral apenas é conhecido.� Na prática, obtém-se um limitante superior

para o erro absoluto ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto

Exemplo: Sabendo que toma para o valor de um valor dentro do intervalo:

x

( )15.3,14.3∈π

π01.0|||| <−= πππEA

Medida do erro (introdução)

� Exemplo: Seja x tal que:

� Exemplo: Seja y tal que:

Ambos os números estão representados com a mesma precisão? (Limitantes dos erros absolutos são os mesmos)

( ))2113,8.2112(1.0||9.2112 ∈<= xEAex x

( ))4.5,2.5(1.0||3.5 ∈<= yEAey y

Medida do erro (introdução)

� Exemplo: Seja x tal que:

� Exemplo: Seja y tal que:

( )5107.4

9.2112

01.0||

)2113,8.2112(1.0||9.2112

−≅<=

∈<=

xx

EAER

xEAex

xx

x

( )

02.03.5

1.0

)4.5,2.5(1.0||3.5

≅<

∈<=

y

y

ER

yEAey

x é representado com maior precisão do que y

Efetuando somatórios na calculadora e no computador

11.05.0,30000

1=== ∑

=ii

ii xexxS

15000

15000

5.0,30000

1

=→=→

== ∑=

SComputador

SaCalculador

xxS ii

i

99691.3299

3300

11.0,30000

1

=→=→

== ∑=

SComputador

SaCalculador

xxS ii

i

Por que a diferença?

Depende da representação na máquina utilizada

Representação de Números

� Representação do número depende da base escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados na sua representação.

� O número π não pode ser representado por meio de um número finito de dígitos decimais.

� Número que não tem representação finita não fornecerácomo resultado um valor exato. Quanto maior o número de dígitos utilizados, maior a precisão obtida.

� Um número pode ter representação finita em uma base e não-finita em outras bases.

� Na interação usuário computador: Os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal; as informações são convertidas para o sistema binário e as operações são efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão convertidos para o sistema decimal e transmitidos para o usuário.

Computadores são "binários"

� Por que 0 ou 1 ?

� 0 ou 1 - "fácil" de obter um sistema físico� Transistores tem duas posições estáveis: ligado ou desligado

� Expansão binária de um número

� Representação binária: (an, an-1, ..., a1, a0)

Conversões entre base 10 e base 2� Da base 2 para a base 10

� (100011) = 1∗25 + 0 ∗ 24 + 0 ∗ 23 + 0 ∗ 22 + 1 ∗ 21

+ 1 ∗ 20 = 35� Da base 10 para a base 2

35 2

2

2

2

2

10

20

40

81

171

100011

09:16

Mudança de base

� Da base 2 para a base 10

� N2 = 1010.1110

N10 = 1 x23+ 0 x 22 + 1 x 21 + 0 xx 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 0 x 2-4

= 10.875

Mudança de base

� Da base 10 para a base 2

� N10 = 13.75

13 2

2

2

11

30

61

1101

0.75

0.75 x 2 = 1.500.50 x 2 = 1.000.00 x 2 = 0.00

(13.75)10 = (1101.110)2

09:16

E para outras bases ?

� 12.20 da base 4 para a base 3

6 3

20

20

0.50

0.50 x 3 = 1.500.50 x 3 = 1.500.50 x 3 = 1.50...

(12.20)4 = (6.5)10 = (20.111...)3

(12.20)4 = (1x 41 + 2 x 40 + 2 x 4-1 + 0 x 4-2)10 = (6.5)10

Representação de números reais

Representação de ponto fixo

� k e n são inteiros satisfazendo k < n e usualmente k≤0 e n>0

� x i são inteiros satisfazendo 0 ≤ x i < β

� Exemplo:

Armazenado: 210123 . xxxxxx −−−

Representação de números reais

� Representação de ponto fixo� - Representação à qual estamos mais

habituados.� Poderíamos dizer vírgula fixa

Ponto Fixo

� Usa-se determinado número fixo de bits para a parte inteira e determinado numero de bits para a parte fracionária.

� Considerando 4 bits para parte inteira e 4 bits para a parte fracionária, temos os exemplos:

Valor decimal Representação binária

4,500 0100.1000

1,250 0001.0100

3,750 0011.1100

2,125 0010.0010

Representação de Números ReaisRepresentação de ponto flutuante

� .24234235 × 104

� .52423423 × 10-3

� .73836224 × 100

09:16

Representação de números reais� Representação de ponto flutuante (vírgula flutuante)

� ββββ é a base do sistema de numeração� e é o expoente � d é a mantissa. d é um número em ponto fixo:

� freqüentemente: k=10 ≤ di < β i=1,...,t (número de dig.

sign.)β-1 ≤ d < 1-m ≤e ≤ M

09:16

Representação de números reais

� Ponto Flutuante: Usa-se determinado número de bits para a parte inteira e determinado número de bits para a parte fracionária, mas existe um expoente para mudar o local da vírgula

� d1 ≠ 0 representa o sistema de números em ponto flutuante normalizado .

� Como representar o zero ?� mantissa = 0� e = -m

09:16

Exemplos (Base 10)

� 0.35 = � mantissa: (3 x 10-1 + 5x 10-2)� e = 0� = 0.35 x 100

� -5.127 =� mantissa: -(5 x 10-1 + 1x 10-2 + 2 x 10-3 + 7 x 10-4)� e = 1� = -0.5127 x 101

� 0.0003 =� mantissa: (3 x 10-1)� e = -3� 0.3 x 10-3

09:16

Notação

� Representação de um sistema de notação com base β, número de dígitos significativos t e expoentes máximo e mínimo m e M:

� F(β, t, m, M)

� d1 ≠ 0;� m ≤ e ≤M

et xddd βL21.0±

09:16

Exemplos

� Represente os números 0.35, 5391 e 0.0003 no sistema F(10,3,2,2)

� O.35:(3x10-1 + 5x10-2)x 100

0.350 x 100

� 5391(5x10-1 + 3x10-2+ 9x10-3 +1x 10-4 )x 104

� 0.0003(3x10-1 + 0x10-2+ 0x10-3) x 10-3

overflow

underflow

Exemplo (Cálculo Numérico. Sperandio, Mendes e

Silva)� Tome o sistema de representação dado porF(2,10,-15,15)

a) Represente de alguma maneira como esse sistema pode ser

armazenado em um computador binário.

Sinal da mantissa

valor da mantissa

Sinal do expoente

valor do expoente

Exemplo (Cálculo Numérico. Sperandio, Mendes e

Silva)� Tome o sistema de representação dado por

F(2,10,-15,15)

a) Represente o número (23)10.

Sinal da mantissa

valor da mantissa

Sinal do expoente

valor do expoente

23 2

2

2

2

10

21

51

111

1 0 1 1 1 0 0 0 0 0

Exemplo (Cálculo Numérico. Sperandio, Mendes e

Silva)� Tome o sistema de representação dado por F(2,10,-15,15)

Sinal da mantissa

valor da mantissa

Sinal do expoente

valor do expoente

1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

1x2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-4 + 1 x 2-5

23 = 1x24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20x 25

5 2

2

10

21

0 1 0 1 0

Formatos IEEE 754

Pesquisar as precisões (simples, dupla..., entregar na próxima aulaCom referências utilizadas)

Erros de Arredondamento

09:16

Arredondamento

� F(β,t,m,M)

base 10:

t=1: 0.05t=2: 0.005t=3: 0.0005...

Material utilizado

� Notas de aula – Prof. Alysson Machado Costa – ICMC/USP

� Livros Cálculo Numérico