Sobrinho 1981 Taxa de Juros Nominal, Efetiv 19611

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  • 1. Introduo;2. Conceito e classificao das taxas de juros;

    3. Taxas equivalentes e proporcionais;4. Juros pagos antecipadamente;

    5. Concluso.

    Jos Dutra Vieira Sobrinho.

    Economista, Superintendente deControle Financeiro do Grupo

    Unibanco, So Paulo.

    1. INTRODUO

    No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre ostcnicos e executivos, reina muita confuso no que serefere aos conceitos de taxas de juros nominal, efeti-va e real.

    O desconhecimento generalizado desses conceitostem dificultado o fechamento de negcios pela conse-qente falta de entendimento entre as partes.

    Dentro dos programas dos diversos cursos de ma-temtica financeira existe uma verdadeira "polui-o" de taxas de juros. Alm das mencionadas, tem-se ainda a simples (ou linear), composta (ou exponen-cial), equivalente, proporcional, aparente, antecipa-da, etc., sem se falar nas taxas de desconto "por fo-ra" (ou comercial ou bancrio) e "por dentro" (ouracional), simples e compostos.

    As causas de confuso reinante so antigas e nu-merosas, em cujo mrito no entraremos. Preferimo-nos concentrar nas medidas que entendemos necess-rias para amenizar e, se possvel, solucionar o proble-ma existente. E a medida principal reside justamentenuma conceituao simples e clara das taxas mencio-nadas, o que nos propomos a fazer.

    2. CONCEITO E CLASSIFICAO DAS TAXASDE JUROS

    A taxa de juros pode ser definida como a relao en-tre os juros pagos (ou recebidos) no final do perodoe o capital inicialmente tomado (ou aplicado). Assim,se uma pessoa aplica Cr$ 1.000,00 recebe Cr$1.300,00 no final de um certo perodo de tempo, a ta-xa de juros de 30010 nesse perodo, ou seja, a rela-o entre os juros de Cr$ 300,00 recebidos no venci-mento do prazo combinado e o capital de Cr$1.000,00 inicialmente aplicado.

    Entendemos que as taxas de juros podem ser classi-ficadas:

    a) quanto ao regime de capitalizao: simples (ou li-near) e composta (ou exponencial);

    b) quanto ao valor do capital inicial tomado comobase de clculo: nominal, efetiva e real.

    Como se verifica mais adiante, essas duas classifi-caes no so mutuamente excludentes, isto umataxa pode ser nominal linear ou nominal exponen-cial, efetiva linear ou efetiva exponencial e real linearou real exponencial.

    2.1 Classificao quanto ao regime de capitalizao

    Como foi mencionado, as taxas de juros quanto aoseu regime de capitalizao podem ser simples oucompostas.

    Rev. Adm. Ernp., Rio de Janeiro, 21(1): 77-82, jan.lmar. 1981

    77

    Taxade juros nominal, efetiva ou real?

  • A taxa de juros simples (ou linear) quando o va-lor total dos juros resultante da sua incidncia so-mente sobre o capital inicial, ou seja, a taxa no inci-de sobre o valor dos juros acumulados periodicamen-te.

    Exemplo:

    Seja um capital de Cr$ 100.000,00 aplicado porseis meses, taxa de 4010 ao ms.

    Soluo:

    J = C x i x n = 100.000,00 x 0,04 x 6 = 24.000,00

    o quadro 1 nos mostra os saldos mensais de capital+ juros, no incio e fim de cada ms.

    Quadro 1

    Saldo inicial JurosJuros

    Saldo finalN acumulados(Cr$) (Cr$) (Cr$) (Cr$)

    I 100.000 4.000 4.000 104.0002 104.000 4.000 8.000 108.0003 108.000 4.000 12.000 112.0004 112.000 4.000 16.000 116.0005 116.000 4.000 20.000 120.0006 120.000 4.000 24.000 124.000

    78 A taxa de juros dita composta (ou exponencial)quando o valor total dos juros resultante da sua in-cidncia sobre o capital inicial e tambm sobre o va-lor dos juros acumulados periodicamente. Assim, pa-ra o mesmo exemplo acima, teremos a seguinte solu-o:

    Montante = M = C (1 + l)n = 100.000,00 (1,04)6 == 100.000,00 x 1,26532 = 126.532,00J = M - C = 126.532,00 -100.000,00 = 26.532,00

    Os juros mensais e acumulados, bem como os sal-dos iniciais e finais de capital mais juros, so mostra-dos no quadro 2.

    Quadro 2

    Saldo inicial JurosJuros

    Saldo finalacumuladosN (Cr$) (Cr$) (Cr$) (Cr$)

    I 100.000 4.000 4.000 104.0002 104.000 4.160 8.160 108.1603 108.160 4.326 12.486 112.4864 112.486 4.500 16.986 116.9865 116.986 4.679 21.665 121.6656 121.665 4.867 26.532 126.532

    Atravs dos exemplos podemos verificar que os ju-ros acumulados, e respectivos montantes de capitalmais juros, crescem linearmente num regime de capi-talizao simples e exponencialmente num regime decapitalizao composta. O clculo do primeiro, por

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    ser extremamente simplificado, continua sendo am-plamente utilizado no mercado, embora apresentedistores que se agravam em funo do crescimentodo prazo.

    2.2 Classificao quanto ao valor do capital inicialtomado como base de clculo

    Na maior parte dos compndios de matemtica fi-nanceira, quer de autores nacionais ou estrangeiros,as taxas so classificadas como nominal ou efetivaem funo da diviso de certo perodo (normalmenteum ano), em subdivises de perodos de capitalizao(mensal, trimestral, semestral), segundo uma concei-tuao extremamente confusa e cuja dificuldade deentendimento pude comprovar ao longo da minhaexperincia como professor e como homem ligado aomercado financeiro. Vejamos um exemplo tpico:"Calcular a taxa efetiva anual de juros correspon-dente taxa nominal de 10% ao ano, capitalizadamensalmente. "

    A soluo pretendida a seguinte:

    1. Taxa mensal = i = taxa nominal anual = 0,10n 12

    = 0,008333, em que n representa o nmero de pero-dos de capitalizao.

    2. Taxa equivalente anual = (1 + l)n - 1(1,008333)12-1 = 0,10471 ou 10,471%

    Se esse problema fosse "calcular a taxa efetivaanual de juros, correspondente taxa no~inal de10% ao ano, capitalizada trimestralmente", a solu-o seria:

    i = 0,10 = 0254 'taxa equivalente anual = (1,025)4 - 1 = 10,381%

    Observa-se que, de acordo com os conceitos difun-didos, a soluo do problema implica a utilizao declculos feito segundo regimes distintos de capitaliza-o, isto , simples e composto. E, segundo nos pare-ce, a grande confuso reinante , em boa parte, con-seqncia dessa mistura de regimes.

    No mundo financeiro atual, em que somente fazsentido o raciocnio em termos de capitalizao com-posta, a utilizao da taxa nominal de juros, tal co-mo conceituada, totalmente inadequada, visto asdistores que apresenta quando se consideram dife-rentes perodos de capitalizao. Para ilustrar, va-mos admitir que um banco fixe em 60% ao ano a suataxa nominal de juros, vlida para qualquer plano depagamento (mensal, trimestral, semestral ou anual)escolhido pelo cliente. Procedendo-se de acordo como conceito corrente de taxa nominal e considerandoque o banco calcula suas taxas efetivas com base noregime de capitalizao composta, teremos o quadro3.

  • Quadro 3

    Plano Periodicidade deTaxa do Taxa efetivaperodo anual

    pagamento (070) (070)

    A Mensal 5 79,585B Trimestral 15 74,900C Semestral 30 69,000D Anual 60 60,000

    Atravs do quadro podemos observar que a ado-o de uma taxa nominal faz com que as operaescom pagamentos de menor periodicidade tenhamuma taxa efetiva mais elevada. Isso acontece comoperaes do BNH, como j aconteceu com opera-es da Finame.

    Por tudo isso, entendemos que a taxa deve ser clas-sificada como nominal, efetiva ou real, em funo docapital inicial tomado como base de clculo, comoveremos a seguir.

    2.2.1 Taxa nominal e taxa efetiva

    Uma taxa nominal quando o valor do capital inicialtomado como base de clculo no representa o valorefetivamente recebido ou desembolsado. Trata-se, naverdade, de uma taxa aparente. Exemplo:

    1. Um cliente obtm um emprstimo de Cr$100.000,00 para ser liquidado, no final de um ano,em um nico pagamento de Cr$ 130.000,00, garanti-do por uma nota promissria. Entretanto, o bancosolicita a esse cliente que mantenha 200/0do valor re-cebido como saldo mdio.

    A taxa nominal no perodo considerado a seguin-te:

    Taxa nominal Juros pagos =Capital inicial

    130.000,00 - 100.000,00100.000,00

    = 0,30 ou 300/0

    Portanto, a taxa nominal de 30% no perodo (nocaso, um ano), e que corresponde normalmente ta-xa contratual. Entretanto, o valor do capital inicialno corresponde ao valor efetivamente colocado disposio do cliente, que de Cr$ 80.000,00. O cl-culo da taxa de juros, com base neste valor, nos d ataxa efetiva de juros no perodo.

    Taxa de juros Juros pagos 30.000,0080.000,00Capital inicial efetivo

    = 37,5%

    Ou seja, tudo se passa como se o emprstimo fossede Cr$ 80.000,00 e o seu valor de resgate de Cr$110.000,00 (o valor da nota promissria de Cr$130.000,00 ser complementado pelos Cr$ 20.000,00j existentes na conta do cliente).

    2. Um agiota empresta Cr$ 20.000,00 para receberCr$ 30.000,00 no final de seis meses. Entretanto, noato, paga a um intermedirio uma comisso de 5%sobre o valor emprestado, ou seja, Cr$ 1.000,00.

    As taxas, no perodo, so as seguintes:

    Taxa nominal = 30.000,00 - 20.000,0020.000,00

    10.000,00 = 0,50 ou 50%20.000,00

    Taxa efetiva 30.000,00 - 21.000,00 . =21.000,00

    9.000,00 = O42857 ou 42 857%21.000,00' ,

    2.2.2 Taxa real

    A taxa real calculada a partir da taxa efetiva, consi-derando-se os efeitos inflacionrios no perodo. Parailustrar, vamos tomar o segundo exemplo do item an-terior, analisando a taxa de rendimento do ponto devista do emprestador, e admitindo que a taxa de in-flao, no perodo correspondente ao prazo do em-prstimo (seis meses), tenha sido de 25%.

    A taxa real obtida como segue:

    Taxa real = + taxa efetiva - 1+ taxa de inflao

    791,42857_ 11,2.5

    Taxa real = 0,14286 ou 14,286%

    Nota: Para se calcular a taxa real no perodo h umatendncia generalizada de se subtrair a taxa de infla-o da taxa efetiva, obtendo no nosso caso, uma taxareal de 17,857%, o que errado.

    A taxa real obtida est coerente com a nossa con-ceituao de que as taxas so nominal, efetiva ou realem funo do capital inicial tomado como base declculo. Assim, no caso do nosso exemplo, o capitalinicial efetivo de Cr$ 21.000,00 .tem que ser inflacio-nado para que se possa obter o rendimento real.

    Capital inicial efetivo corrigido = 1,25 x 21.000,00= 26.500,00

    Taxa real = 30.000,00 - 26.250,00 = -.l: 750,00 =26.250,00 26.250,00

    0,14286 ou 14,286%

    O conhecimento da taxa real de fundamental im-portncia tanto para aplicadores como para tomado-res de dinheiro. De acordo com os ndices de preoscalculados e publicados pela Fundao Getulio Var-gas, a inflao brasileira no perodo de-julho de 1979a julho de 1980atingiu a 106,96%. Um aplicador quetivesse adquirido uma letra de cmbio em julho de

    Taxa de juros

  • 1979 por Cr$ 100.000,00 (valor de emisso) para serresgatada por Cr$ 155.000,00 um ano depois, teve oseguinte rendimento real:

    - Imposto de renda pago na fonte55.000,00 = 4.950,00

    0,09 x

    - Valor pago pelo ttulo= 104.950,00

    100.000,00 + 4.950,00

    - Taxa bruta (nominal) = 155.000,00 - 1 = 55070100.000,00

    - Taxa lquida (efetiva) = 155.000,00 __ 1104.950,00

    = 47,689%

    - Taxa real = -=--....:.+----=.;tax=:..:;a'----'-'ef:...;:e;..;;.ti'-v..::;a'---_- 1+ taxa de inflao

    1,476892,0696

    - 1 = (28,6%)

    ou seja, o aplicador teve um prejuzo de 28,6% emtermos reais. E como numa transao financeira oprejuzo de uma das partes significa lucro para a ou-tra, o tomador de recursos seguramente teve um ren-dimento real nesse perodo.

    80Finalmente, cabe observar que as trs taxas men-

    cionadas podem ser coincidentes. Assim, se no hou-ver nenhum pagamento, recebimento ou reteno ex-tra, a taxa nominal igual efetiva. E, na hiptese deinflao zero, a taxa real ser igual taxa efetiva.

    3. TAXAS EQUIVALENTES EPROPORCIONAIS

    3.1 Taxas equivalentes

    A conceituao de equivalncia- de taxas estabeleceque duas taxas, referentes a perodos distintos de ca-pitalizao, so equivalentes quando produzem omesmo montante, no final de um determinado tem-po, pela aplicao de um capital inicial de mesmo va-lor. Em outros termos, isso significa que se um capi-tal C aplicado taxa mensal im, durante 12 meses,produz um montante M, e se esse mesmo capital Caplicado a uma taxa anual ia, por prazo idntico,produz o mesmo montante M, diz-se que as taxas im(mensal) e ia (anual) so equivalentes.

    A partir dessa colocao, entendemos que o con-ceito de taxas equivalentes vlido para os dois regi-mes de capitalizao existente, isto , simples e com-posta. Assim, podemos afirmar que, num regime decapitalizao simples, a taxa de juros de 2% ao msequivale a 24% ao ano, e que 48% ao ano equivalema 12% ao trimestre ou a 4% ao ms; j num regimede capitalizao composta, 2% ao ms equivalem a26,824070 ao ano, e 48% ao ano equivalem a 10,297%ao trimestre ou 3,321 % ao ms.

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    Os diversos autores, e o mercado em geral, aomencionarem taxas equivalentes, esto-se referindoimplicitamente capitalizao composta.

    3.2 Taxas proporcionais

    O conceito de taxas proporcionais utilizado somen-te para capitalizao simples, no sentido de que o va"-lor dos juros linearmente proporcional ao tempo.Assim, a taxa proporcional de 3% ao ms, para 10meses, de 30%; a de 12% ao ano, para trs meses, de 4%, e assim sucessivamente.

    A proporcionalidade linear uma caracterstica dacapitalizao simples. Por isso, entendemos que o fa-to de "taxas proporcionais" serem apresentadas emdestaque, como parte de um programa de matemti-ca financeira, apenas confunde o aluno ou o leitor,que pensa tratar-se de mais um tipo de taxas de juros.

    4. JUROS PAGOS ANTECIPADAMENTE

    muito comum, em determinadas operaes de em-prstimo ou financiamento, a cobrana "antecipadade juros". A operao tpica, e que muito comumem nosso mercado, a seguinte:

    "Uma pessoa solicita um emprstimo de Cr$10.000,00 a um capitalista, o qual cobra juros anteci-pados de 4% ao ms. Sendo o prazo de seis meses, ocapitalista desconta juros correspondentes a 24% dovalor pedido, entregando ao solicitante um valor l-quido de Cr$ 7 .600,00."

    Efetivamente, do ponto de vista terico, dizer queos juros so antecipados se constitui uma blasfmia,visto que os mesmos somente existem em funo detempo decorrido. No caso do nosso exemplo, o valorefetivamente emprestado de Cr$ 7 .600,00, e a taxade juros, para o perodo de seis meses, a calculadacomo segue:

    Taxa efetiva de juros juros no perodo =capital inicial

    2.400,00 = 0,31579 ou 31,579%7.600,00

    A taxa mensal correspondente de 5,263% (deacordo com o regime de capitalizao simples) ou de4,680% (de acordo com o regime de capitalizaocomposta). Na verdade, todas as operaes de des-conto bancrio se enquadram dentro deste enfoque.

    3. CONCLUSO

    No campo da matemtica financeira existem dois re-gimes distintos de capitalizao, o simples e o com-posto, com caractersticas prprias bem definidas, eque no podem e no devem ser misturados. Assim,antes de falar-se em taxa nominal, efetiva ou real,

  • fundamental que se defina qual o critrio de capitali-zao considerado.

    Segundo nosso entendimento, podemos ter taxasnominais, efetivas ou reais tanto no regime exponen-cial, como no linear, visto que o fator determinante o capital inicial tomado como base de clculo. Paramaior clareza, vamos voltar ao segundo exemplo da-do no subitem 2.2.1, em que as taxas encontradas pa-ra o perodo de seis meses foram:

    a) nominal: 50,000010;b) efetiva: 42,857%;c) real: 14,286%.

    Admitindo-se o regime de capitalizao simples te-remos as seguintes taxas, equivalentes mensais (den-tro do nosso conceito de taxas equivalentes):

    - taxa nominal mensal 50,000% 8,333%6

    - taxa efetiva mensal 42,857% 7,143%6

    - taxa real mensal 14,286% = 2,381%6

    Se quisermos as taxas trimestrais respectivas, bas-tar dividirmos por 2 as taxas correspondentes ao pe-rodo de seis meses.

    Considerando-se agora um regime de capitalizaocomposta, as taxas equivalentes mensais seriam obti-das como segue:

    - taxa nominal mensal = (1,50)1/6 - 1 = 0,06991ou 6,991 %

    - taxa efetiva mensal = (1,42857)1/6 - 1 = 0,06125OU 6,125%

    - taxa real mensal = (1,14286)1/6 - 1 = 0,02251ou 2,251%

    As taxas equivalentes trimestrais seriam obtidas damesma forma, somente substituindo, na frmula, oexpoente 6 pelo 2.

    Seguindo-se a mesma linha de raciocinio, tera-mos, no caso do primeiro exemplo do subitem 2.2.1,as seguintes taxas equivalentes mensais:

    a) capitalizao simples (linear):

    - taxa nominal 30%12

    = 37,5% = 3 125%12 '

    2,500%

    - taxa efetiva

    b) capitalizao composta (exponencial):

    - taxa nominal = (1,30)1/12 - 1 = 0,02210 ou2,210%

    - taxa efetiva = (1,375)1/12 - 12,689%

    0,02689 ou

    No mundo dos negocios, principalmente dentrodas mdias e grandes empresas, o regime de capitali-zao composta, por ser o correto, o mais utilizadonos estudos que envolvem clculos financeiros e eco-nmicos. No mercado de capitais brasileiro, mor-mente entre aplicadores e tomadores de dinheiro,pessoas fsicas, o critrio mais popular, por ser omais prtico, da capitalizao linear. Assim, no ca-so da aquisio de um ttulo de renda fixa, com umano de prazo e rendimento de 48% pago no venci-mento, o aplicador facilmente verifica que a taxa derendimento mensal de 4% (capitalizao linear);mas esse mesmo aplicador certamente no seria ca-paz de calcular a taxa equivalente mensal segundo ocritrio de juros compostos (que no caso de3,321 %), visto que, alm de conhecimento, o mesmonecessitaria de uma tabela especfica ou de uma cal-culadora cientfica.

    O grande inconveniente da capitalizao simples a distoro crescente que a taxa de juros apresenta, medida que o prazo aumenta, se comparada com ataxa de juros composta, que, como j mencionamos, a correta. Para maior clareza vamos analisar o qua-dro 4.

    Quadro 4

    Prazo Taxa no perodo Taxa mensal equivalente (OJo)

    (meses) (OJo) Exponencial Linear

    6 21,655 3,321 3,609 8112 48,000 3,321 4,00018 80,050 3,321 4,44724 119,040 3,321 4,96030 166,474 3,321 5,54936 224,179 3,321 6,227

    Os nmeros do quadro falam por si. Em termos decapitalizao composta, as taxas mensais equivalen-tes, relativas s taxas dos perodos considerados de 6a 36 meses, so todas iguais, ou seja, de 3,321 %. Jas taxas mensais, calculadas de acordocom o regimede capitalizao simples, crescem com o prazo, che-gando, no prazo de 36 meses, a ter um valor de quaseduas vezes a taxa mensal exponencial. Essas distor-es, que so relevantes, desaconselham totalmente autilizao do critrio linear para prazos relativamentelongos.

    Se de um lado a utilizao generalizada dos chama-dos juros simples, pelos leigos e semileigos, tem suasjustificativas, a utilizao de taxas de descontos nasoperaes com LTN, quer pelos especialistas do mer-cado, quer pelo Banco Central, no tem o menor sen-tido. De fato, a taxa de desconto totalmente inade-quada como referncia para se determinar a rentabi-lidade ou custo de qualquer operao financeira. Pa-ra exemplificar, vamos admitir que num determinadoleilo de LTN os papis de 91, 182 e 365 dias de prazo(que so os atualmente existentes) fossem adquiridos,ou subscritos, a uma taxa de desconto de 20% aoano. As taxas efetivas de juros correspondentes a es-

    Taxa de juros

  • ses dados, num regime de capitalizao composta,so as seguintes:

    a) para a LTN de 91 dias: 1,7251170ao ms ou22,7811170ao ano;

    b) para a LTN de 182 dias: 1,7731170ao ms ou23,4731170ao ano;

    c) para a LTN de 365 dias: 1,8801170ao ms ou25,0471170ao ano.

    Para que as rentabilidades das LTN's nos trs pra-zos sejam iguais rentabilidade da LTN de 365 dias,considerados juros compostos, teremos as seguintestaxas de descontos correspondentes:

    a) para a LTN de 91 dias: 21,7311170de desconto aoano;

    b) para a LTN de 182 dias: 21,1341170de desconto aoano;

    c) para a LTN de 365 dias: 20,0001170de desconto aoano.

    Portanto, as taxas de descontos no permitem umaidia imediata das taxas efetivas de rentabilidade. Re-comendamos s autoridades monetrias que passema adotar e divulgar a taxa efetiva de juros, de prefe-rncia exponencial, para indicar o rendimento dos t-tulos sob sua tutela, visto ser esse critrio o tecnica-

    82 mente correto.

    Assim, visualizaramos, de imediato, se uma LTNde 91 dias de prazo proporciona maior ou menor ren-tabilidade, em termos de taxa mensal ou anual, queuma outra de 182 dias ou 365 dias.

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