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SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E POLIEDROS POLIEDROS RELAÇÃO DE EULER POLIEDROS REGULARES OU PLATÔNICOS SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO ATIVIDADES SÓLIDOS GEOMETRICOS

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SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E POLIEDROS

POLIEDROS

RELAÇÃO DE EULER

POLIEDROS REGULARES OU PLATÔNICOS

SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO

ATIVIDADES

SÓLIDOS GEOMETRICOS

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SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Introdução Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas

geométricas definidas; são denominados sólidos geométricos. São objetos que lembram sólidos geométricos:

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São objetos que lembram corpos redondos:

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Denomina-se Poliedros o sólido geométrico limitado por polígonos planos que

têm, dois a dois, um lado comum. Elementos de um poliedro:Vértice

Face

Aresta

Face: Região poligonal que limita o poliedro.Aresta: Interseção de duas faces.Vértice: Interseção de 3 ou mais arestas.Obs: Um poliedro possui no mínimo 4 faces.

POLIEDRO

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Poliedro Convexo: Quando o segmento da reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver contido no poliedro ele é chamado Poliedro Convexo.

De acordo com o número de faces , os poliedros convexos possuem nomes especiais.

 Veja a tabela a seguir:

x1

x2

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Observe alguns poliedros:

NÚMERO DE FACES

NOME DO POLIEDRO

4 TETRAEDRO

5 PENTAEDRO

6 HEXAEDRO

7 HEPTAEDRO

8 OCTAEDRO

12 DODECAEDRO

20 ICOSAEDRO

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Poliedro Não- Convexo: Observe a figura abaixo:

Nela vemos que existem pontos X1 e X2 do poliedro tais que o segmento de reta X1X2 não está contido no poliedro, ou seja, uma parte do segmento “esta fora” do poliedro. De acordo com o seu n. de faces um poliedro pode ser classificado em Tetraedro(4 faces), Pentaedro(5 faces), Hexaedro(6 faces) e assim por diante.

A relação que veremos a seguir estabelece correspondência entre o número de vértices, o número de arestas e o número de faces de um poliedro convexo.

x1

x2

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Fórmula de Euler O autor desta façanha é Leonardo Euler (lê-se Óiler), grande matemático suíço

(1707- 1783), que produziu trabalhos em diversos ramos da ciência, como física, astronomia, biologia, matemática etc.

Tinha uma memória inigualável e uma incrível destreza com a matemática. Euler escrevia seus trabalhos com a mesma facilidade com que um escritor redige uma carta. Nem a cegueira total que o afligiu durante os últimos dezessete anos de vida modificou isso; parece até que a cegueira o ajudou a desvendar mais ainda o seu mundo interior.

 Em qualquer poliedro convexo vale a seguinte relação: 

V-A+F = 2  Onde V= nº de vértices A= nº de arestas F= nº de faces Faremos apenas a verificação dessa relação através de um exemplo, no qual

contaremos os vértices, as arestas e as faces de um poliedro. V=8 F =6 A = 12 V – A + F = 2 8 – 12 + 6 = 2

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SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES Soma dos Ângulos das Faces A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S = (V-2).360ºonde V é o número de vértices.Demonstração:V, A e F são nesta ordem o número de vértices, arestas e faces do poliedro.Sejam n1, n2, n3, ...,nF os números de lados das faces 1,2,3,...,F, ordenadamente. A soma dos ângulos de

uma face é (n-2).180º Para toda as faces temos: S = (n1-2).180º + (n2-2).180º + (n3-2).180º + ... + (nF-2).180º S = n1180º - 360º + n2180º - 360º + n3180º - 360º + ... + nF180º - 360º S = (n1 + n2 + n3 +...+nF).180º - F.360º mas n1 + n2 + n3 +...+nF = 2A, logo S = 2A.180º - F. 360º S = 360º.A – F.360º S = (A – F).360º Da relação de Euler, temos V-A+F = 2 V-2 = A – F S = (V – 2).360º

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Poliedros Regulares ou Platônicos

Os cinco tipos possíveis de poliedros regulares são o tetraedro, o hexaedro ou cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Ë muito interessante observarmos a presença desses poliedros, ou formas poliédricas derivadas, na natureza e na infinita capacidade do engenho humano de copiá-los em estruturas arquitetônicas belíssimas, em objetos, em moléculas e até mesmo na lapidação de pedras preciosas. Na verdade até podemos dizer que o estudo dos poliedros sempre foi um esforço que os os matemáticos, arquitetos, artesões e artistas fizeram no sentido de dominar as relações entre suas formas para poder reproduzi-las e recriar sua estética. Observe a seguir algumas formas que encontramos na natureza e uma geodésica. Investigue a semelhança entre elas e as formas que estudaremos a seguir

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  DEFINIÇÃO

Denomina-se poliedro regular ou de de Platão[1] ao poliedro convexo que satisfaz as seguintes condições:

- as faces são polígonos regulares;- seus ângulos poliédricos congruentes;-     todas as faces têm o mesmo número de arestas;-     de cada vértice parte o mesmo número de arestas. 1 PLATÃO(427ac). Filósofo e matemático grego. Ficou conhecido não

como matemático, mas como “O Criador de Matemáticos”. Os poliedros regulares foram chamados de “Sólidos Platônicos” devido a maneira pela qual Platão os aplicou para explicar fenômenos científicos.

  Vejamos a seguir os cinco poliedros regulares

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TETRAEDRO REGULAR

V=4; F=4 e A = 6FACES

TRIANGULARES

HEXAEDRO REGULARV=8; F=6 e A = 12

FACES QUADRANGULARES

OCTAEDRO REGULARV=6; F=8 e A = 12

FACES TRIANGULARES

ICOSAEDRO REGULARV=12; F=20 e A = 30

FACES TRIANGULARES

DODECAEDRO REGULARV=20; F=12 e A = 30FACES PENTAGONAIS

Observe a seguir as planificações dos poliedros acima:

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ATIVIDADES 1) Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2

faces quadrangulares e 8 faces triangulares. Resp: V= 8 2) Determinar o número de faces de um poliedro convexo com 9 vértices.

Sabe-se que de 4 vértices partem 3 arestas e dos outros 5 vértices partem 4 arestas. Resp: F = 9

3) Um poliedro convexo tem 14 arestas e 6 faces. Determinar: a) o número de vértices desse poliedro, Resp: 10 b) a soma das medidas dos ângulos das faces desse poliedro. Resp: 2880º

4) Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro ? Resp: 11 faces

5) ( FAAP-SP) Num poliedro convexo, o número de aresta excede o número de vértices em 6 unidades Calcule o número de faces. Resp: 8 faces

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ATIVIDADES 6) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080º.

Determine o número de faces, sabendo que o poliedro tem 8 arestas. Resp: 5 faces

7) Calcule a soma dos ângulos das faces do: a) tetraedro regular Resp: 720º b) octraedro regular Resp: 1440º c) icosaedro regular Resp: 3600º

8) Qual a área da superfície de: a) tetraedro regular de aresta 6m,Resp: 72 m2 b) icosaedro regular de aresta 5cm Resp: 125 cm2

9) (UNIRIO-RJ) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices é: a)35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31 Resp: d

10) ( FUVEST-SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas b)12 vértices e 11 arestas c)22 vértices e 11 arestas d)11 vértices e 22 arestas e)12 vértices e 22 arestas Resp: e

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AULA ELABORADA PELO: PROF. LUIZ CARLOS S0UZA

SANTOS

É SHOW