Solução Analítica do Problema da Barra de Rigidez Variável Sujeita a

Carga de Impacto através do Método de Separação de Variáveis

Carlos Friedrich Loeffler, Fábio Coutinho Fernandes

PPGEM - Universidade Federal do Espírito Santo

Av. Fernando Ferrari 514–Goiabeiras – Vitória – ES – Brazil – CEP 29075 910

E-mail: carlosloeffler@bol.com.br, fabiocfernandes@hotmail.com

Palavras-Chave: Método de Separação de Variáveis, Problemas Heterogêneos, Resposta ao Impacto

Resumo: O objetivo deste trabalho é gerar uma solução analítica de um problema dinâmico não

homogêneo que possa servir de referência para avaliação da qualidade de resposta dos métodos

numéricos em geral, quando aplicados na área da sísmica de reflexão. Enquanto o acervo de soluções

analíticas disponíveis na área de problemas de propagação de ondas em meios heterogêneos é muito

reduzido, há uma enorme necessidade de qualificar com mais exatidão o desempenho das muitas

técnicas numéricas hoje disponíveis para solução de problemas de grande porte. O método aqui

utilizado é o da Separação de Variáveis, que considera facilmente diversos tipos de condições iniciais

e de contorno, iniciais e insere de modo acessívelà variação das propriedades físicas.

1 Introdução

Modernamente, o acompanhamento da reflexão de ondas mecânicas em solos tem ganhado enorme

importância na engenharia de petróleo. Se há vários anos a análise sísmica da reflexão de ondas é

utilizada em estudos de águas subterrâneas e estudos ambientais, atualmente a sísmica de reflexão é

um método poderoso de prospecção geofísica, que utiliza os princípios da sismologia para estimar as

propriedades da subsuperfície da Terra com base na reflexão de ondas mecânicas. Este método requer

a utilização de uma fonte sísmica de energia controlada. Ao determinar o tempo que uma onda

refletida demora até atingir um receptor, é possível estimar a profundidade do objeto que gerou a

reflexão. Deste modo, a sísmica de reflexão é semelhante ao sonar e à ecolocalização.

Deve-se ressaltar que o meio físico nestas aplicações sísmicas é fundamentalmente heterogêneo.

O estudo de tais ondas mecânicas nestes meios não homogêneos é alvo de estudos importantes desde o

início do século XVIII, e têm evoluído progressivamente com auxílio das novas tecnologias.

No contexto atual da engenharia, cujos problemas são cada vez mais complexos, se faz necessário

empregar técnicas de solução mais adequadas e eficientes. Assim, é preciso dispor de recursos

computacionais cada vez mais sofisticados e, por essa razão, o maior foco de atenção e pesquisa nessa

área tem sido o desenvolvimento de poderosos métodos numéricos. Os métodos dos Elementos

Finitos, Volumes Finitos e Elementos de Contorno são algumas dessas principais ferramentas.

Por outro lado, sabe-se que os métodos numéricos geram um modelo simplificado, em sua grande

maioriaenvolvendo a discretização do domínio espacial ou temporal. Logo, os problemas mais simples

de uma dada categoria, se resolvidos de forma analítica ou semi-analítica, oferecem excelente medida

para aferição de desempenho e precisão para tais técnicas numéricas.

2 Equação de Governo

O problema consiste de uma barra heterogênea submetida a uma deformação súbita ε na extremidade

x=b e engastada na extremidade x=a, conforme a Figura 1. A heterogeneidade se deve a variação do

módulo de elasticidade longitudinal. A obtenção da equação diferencial de equilíbrio dinâmico é feita

a partir da Lei de Newton [3], considerando que atua apenas uma tensão uniaxial. Esta é constante ao

longo da barra, mas a deformação varia axialmente, por depender do módulo de elasticidade [4].

372

ISSN 2317-3297

Figura 1: Barra engastada com módulo de rigidez longitudinal variável

Da equação de equilíbrio demonstra-se que:

(1) (x)u'E''E(x)u' u&&ρ=+

3 Aplicação do Método de Separação de Variáveis

De acordo com a estratégia do MSV [2] para problemas nos quais as condições de contorno não são

homogêneas, é necessário supor uma solução do tipo:

(2) (t)(x)TX(x)ut)u(x,1n

nn∑∞

=

+=

Na qual foi preciso eleger uma equação auxiliar que atenda à condição de contorno não

homogênea [6], de modo que obediente à do módulo de elasticidade apresentado na Figura 1, tem-se:

(3) 11

b(x)u 2

−ε=xa

Utilizando o MSV, tem-se:

(4) T

T

X

X2

X

Xx 2

nnn

2 α−==+)x(

)t(k

)x(

)x(x

)x(

)x( ''

n

''

n

''

n&&

Onde precisa ser negativo para se evitar a solução trivial [1]. Separando as equações

anteriores, do exame da parte espacial resulta:

(5) lnx)]lna)cos(qtan(qlnx)[sen(qxC(w)X nnn

1/2

1nn +=

Os valores de qn são obtidos da solução da seguinte equação característica, obtida após imposição

das condições de contorno:

(6) 02q]a

blntan[q nn =−

373

ISSN 2317-3297

Resolvendo a parte temporal, considerando a primeira condição inicial, na qual a velocidade em

todo o domínio é nula no instante inicial, tem-se:

(7) t)]cos(g(t)T n1nn D=

Onde gn é dado por:

(8)41

2ρ

+=

a

E)/q(g on

n

A solução neste ponto da dedução está na forma:

(9) lnx)]cos(glna)cos(qtan(qlnx)[sen(qFx11

bt)u(x, nnnn1n

1/2-

1

2 )txa n

++

−ε= ∑∞

=

Sendo F1n=C1nD1n. Para se encontrar as constantes F1n aplica-se a condição inicial na qual o

deslocamento em todo o domínio é nulo. Desta resulta:

(10) 0lnx)]cos(glna)cos(qtan(qlnx)[sen(qFx11

b nnnn1n

1/2-

1

2 )ax n

+=

−ε ∑∞

=

Integrando ambos os lados, fazendo uma substituição de variáveis e multiplicando por sen(qmu):

(11) u)duu)]sen(qlna)cos(qtan(qu)[sen(qFu)dusen(q11

b mnnn1n

1

m

22 ∫∑∫ +=

−ε∞

=

bln

alnn

bln

aln

/u

ue

ae

Neste momento é preciso particularizar o problema, para se resolver as integrais mais facilmente.

Considerando a=1m e b=3m, a solução final para deslocamentos e tensões é dada por:

(12) lnx)cos(gsen(qFx1

19t)u(x,1

nn1n

1/2- ∑∞

=

+

−ε=n

)tx

(13) lnx)]sen(q2

1-lnx)q[cos(qt)cos(gFx

x

9εt)σ(x, nnn

1n

n1n

3/2-

2 ∑∞

=

+=

O cálculo dos coeficientes é feito numéricamente através da expressão (11) que pode ser

efetivado através de diversos programas numéricos de alta precisão para solução de integrais.

Ressalta-se que há uma ortogonalidade entre os modos vibracionais [5] que se constata por inspeção

da diagonalidae da matriz dos coeficientes, pois não é evidente pela análise dos resultados da equação

característica (Eq. (6)), pois que se constata por inspeção que a matriz dos coeficientes é diagonal.

4 Resultados

Para a aquisição das respostas considerou-se um valor unitário de deformação aplicada subitamente.

Os gráficos foram construídos com 100 modos vibracionais. O máximo deslocamento, está na

extremidade livre (b=3m), enquanto que próximo ao engaste (b=1,5m) os deslocamentos são

menores,conforme pode ser visto na Figura 2.

Nesta região notam-se pontos na curva de resposta que não são suaves. Mas este comportamento

é típico destes problemas mais elaborados, nos quais os modos não harmônicos se combinam de forma

a gerar forte dispersão. Especialmente no que tange às deformações, o comportamento é bem mais

374

ISSN 2317-3297

complexo, conforme apresentam os gráficos da Figura 3. Ressalta-se que de modo oposto aos

deslocamentos, as maiores tensões surgem nas partes mais próximas ao engaste.

,.

Figura 2: Deslocamentos em função do tempo em pontos sucessivos da barra.

Figura 3: Deformações em função do tempo em pontos sucessivos da barra.

5 Conclusões

O emprego da metodologia foi bem sucedido e as características físicas do comportamento da resposta

foram confirmadas: a proeminência do período fundamental na resposta ao longo do tempo; o

intervalo de repouso esperado até a chegada da frente de onda, pois que o carregamento imposto em

todos os casos foi da forma súbita; os valores dos picos de deslocamento e tensão, afins com a

expectativa de valor baseada nos casos estacionários; a convergência da resposta com o aumento do

número de componentes modais; e por fim, ausência de instabilidade localizada ou geral. Deve-se

também destacar que o Método de Separação de Variáveis é uma técnica de solução robusta e cuja

estrutura matemática oferece ao usuário, durante a dedução, diversas possibilidades de conferênciados

resultados, implicando numa certa garantia quanto ageração de respostas errôneas.

Referências

[1] W. Boyce, R. C. DiPrima, “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valor de

Contorno”, LTC Editora, Rio de Janeiro, 1999.

[2] F.B. Hildebrand, “Methods of Applied Mathematics”. Dover Pub., New York, 1965.

[3] A. W. Leissa, M.S. Qatu, “Vibrations of Continuous Systems”. McGraw-Hill Companies, 2011.

[4] R.W. Little, “Elasticity”, Prentice-Hall, New Jersey, 1973.

[5] S. S. Rao,“Vibrações Mecânicas”, Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2008.

[6] G. Stephenson, “Uma Introdução às Equações Diferenciais Parciais, Edit. Edgard Blucher, São

Paulo, 1975.

375

ISSN 2317-3297