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Soluo das equaes de estado Equao de estado (vetorial): Equao escalar: Aplicando a transformada de Laplace: FONTE: www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_03.pdf www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_03.pdf

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Soluo das equaes de estado Soluo em X(s): Mas: E:

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Soluo das equaes de estado Aplicando a transformada inversa na expresso de X(s): Vamos utilizar o mesmo raciocnio para solucionar a equao diferencial matricial: Soluo para entrada nulaSoluo para estado nulo

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Soluo das equaes de estado Aplicando a transformada de Laplace: Mas:

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Soluo das equaes de estado Aplicando a transformada de Laplace: Por analogia com a relao escalar: Introduz-se a notao:

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Soluo das equaes de estado Se A uma matriz ( n n ), ento e At tambm uma matriz ( n n ), chamada de matriz exponencial. Observe que: Assim: Como deteminar x( t )?

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Soluo das equaes de estado A matriz exponencial e At tambm chamada de matriz de transio de estados ( t ): pois descreve a transio dos estados da condio inicial x(0) para estados no tempo t, para uma entrada nula: Soluo para entrada nulaSoluo para estado nulo

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Soluo das equaes de estado Observe que ( t ) satisfaz a equao: Outras propriedades de ( t ):

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Soluo das equaes de estado Computao da matriz de transio de estados: Pode-se calcular: at que no sejam mais observadas mudanas significativas. Exemplo: Variveis de estado?

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Soluo das equaes de estado Exemplo (cont): Variveis de estado: Equao de estado matricial: Clculo de ( t ) :

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Soluo das equaes de estado Assim, a soluo para a equao homognea com condies iniciais dada por:

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Soluo das equaes de estado Soluo por transformada de Laplace para a matriz de transio de estados: Exemplo: Uma realizao em espao de estados:

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Soluo das equaes de estado Exemplo (cont): Portanto:

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Soluo das equaes de estado Assim:

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Computao da matriz exponencial com o Toolbox Symbolic Math do Matlab: Pode-se tambm calcular o valor numrico:

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Soluo das equaes de estado Resposta total do sistema (entrada + condies iniciais): Entrada = degrau unitrio: aplicada ao sistema: Resposta total: Entrada no domnio s : Este termo j temos Falta determinar este termo

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Soluo das equaes de estado J havamos calculado a resposta entrada nula. Agora falta calcular a resposta ao estado nulo:

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Soluo das equaes de estado Assim:

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Respostas de sistemas no Matlab: Dado um objeto LTI: Resposta a condies iniciais: Resposta ao impulso: Resposta ao degrau: Resposta a uma entrada genrica:

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Respostas de sistemas no Matlab: Viewer do Matlab para um sistema LTI: File Import selecionar G Clique com o boto direito do mouse sobre a figura

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ltiview no Matlab:

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Resposta completa de x(t) Resposta completa do sistema: Resposta completa do sistema - Symbolic Math Toolbox: Resposta entrada nula:

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Resposta ao estado nulo: Resposta completa de x(t)

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>> help syms SYMS Short-cut for constructing symbolic objects. SYMS arg1 arg2... is short-hand notation for arg1 = sym('arg1'); arg2 = sym('arg2');... SYMS arg1 arg2... real is short-hand notation for arg1 = sym('arg1','real'); arg2 = sym('arg2','real');... (...) Examples: syms x beta real is equivalent to: x = sym('x','real'); beta = sym('beta','real'); Toolbox simblico no Matlab

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Transformaes entre conjuntos de variveis de estado J vimos que no existe um nico conjunto de variveis de estado que resultam em um mesmo comportamento entrada-sada (ou mesma funo de transferncia). Como passar de uma realizao em espao de estados para outra? Considere uma realizao dada por: Queremos encontrar uma outra realizao dada por: FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdfhttp://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf

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Transformaes entre conjuntos de variveis de estado Para isto, precisamos realizar uma transformao (no- singular) linear de variveis: T : matriz de transformao. Assim: FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdfhttp://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf

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Transformaes entre conjuntos de variveis de estado Assim: onde: Esta uma chamada de transformao de similaridade. FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdfhttp://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf

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Transformaes entre conjuntos de variveis de estado Como estas duas realizaes referem-se a um mesmo sistema (mesma funo de transferncia), deve-se ter: Exemplo: Vamos escolher:

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Exemplo: ss tf Para esta definio de variveis de estado, as equaes de estados so dadas por: : Forma cannica controlvel

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Diagrama de simulao: Funo de transferncia? Exemplo: ss tf

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Funo de transferncia: Exemplo: ss tf

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No Matlab: ss tf : ss2tf Funo de transferncia G: >> G=tf(1,conv([1 2],[1 3])) Transfer function: 1 ------------- s^2 + 5 s + 6 >> [A,B,C,D]=tf2ss(1,conv([1 2],[1 3])) D = 0 A = -5 -6 1 0 B = 1 0 C = 0 1 : Forma cannica controlvel

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Formas cannicas e diagramas de simulao Diagrama de simulao para o sistema descrito pela equao diferencial: Assim:

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Sadas dos integradores = estados Formas cannicas e diagramas de simulao

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Diagrama de blocos: Formas cannicas e diagramas de simulao Matriz A: Forma cannica companheira (superior)

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Forma cannica controlvel com derivadas da entrada: Introduz-se um estado parcial como uma varivel auxiliar, tal que: Formas cannicas e diagramas de simulao

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Forma cannica controlvel com derivadas da entrada equao envolvendo estados e entrada: Tambm pode ser realizado com integradores em srie A sada pode ser dada por: Formas cannicas e diagramas de simulao

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Forma cannica controlvel com derivadas da entrada diagrama de simulao: Formas cannicas e diagramas de simulao Os estados so realimentados para a entrada

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Equaes de estado: Formas cannicas e diagramas de simulao Matriz Ac: Forma cannica companheira (superior) Esta matriz companheira da equao caracterstica

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Para prxima aula: Estudar formas cannicas: Forma cannica controlvel; Forma cannica observvel; Formas cannicas companheiras.