Solução de Elasticidade para Vigas de Material com ... · cisalhamento serem constantes ao longo...

Departamento de Engenharia Mecânica

Solução de Elasticidade para Vigas de Material com Gradação Funcional

Aluno: Gustavo Brattstroem Wagner

Orientador: Carlos Alberto de Almeida

Introdução

Este projeto insere-se no Projeto de Pesquisa do Orientador cujo objetivo é desenvolver

ferramentas computacionais para a análise de risers marinhos obtidos de material com

gradação funcional. Risers marinhos são estruturas extremamente esbeltas submetidas a

carregamentos dinâmicos e que devem satisfazer as restritivas condições de operação, sendo

as mais relevantes do ponto de vista estrutural, de desgaste por abrasão, de isolamento

térmico, de proteção à corrosão. Resultados recentes têm demonstrado que os modelos

clássicos de vigas de Timoshenko desenvolvidos e largamente empregados na representação

numérica de risers de materiais isotrópicos apoiam-se em algumas hipóteses, especialmente

quanto à distribuição uniforme das tensões de cisalhamento nas seções retas, que não foram

ainda verificadas e quantificadas para a condição de materiais com gradação funcional. E, é

neste aspecto que o atual projeto de iniciação cientifica se insere.

O projeto tem como objetivo comprovar os limites de validade das hipóteses

empregadas no modelo de Timoshenko, comparando-se os resultados obtidos numericamente

com soluções analíticas empregando-se modelos da Teoria da Elasticidade. Com estes

resultados obtidos analiticamente espera-se verificar e quantificar a validade das hipóteses

clássicas utilizadas especialmente quanto as seções retas manterem-se planas e tensões de

cisalhamento serem constantes ao longo da seção transversal da viga.

Inicia-se este trabalho com o estudo do processo de obtenção das distribuições das

tensões e dos deslocamentos de vigas com materiais isotrópicos, através da teoria da

elasticidade. Utilizando-se vigas prismáticas com seções retangulares, verifica-se como a

tensão de cisalhamento influência no deslocamento da seção transversal. Através da variação

da relação entre a altura da viga pelo seu comprimento e do tipo de carregamento submetido,

obtém-se resultados com os quais pode-se observar a dependência das deformações de

cisalhamento na validação da hipótese de Timoshenko.

Na segunda parte do trabalho, uma breve introdução das características dos materiais

com gradação funcional é apresentada, expondo-se a sua história, aplicações e vantagens.

Inicia-se o estudo da solução da elasticidade para vigas com este tipo de material levando em

conta apenas a variação contínua do módulo de elasticidade. O procedimento realizado para

materiais isotrópicos é repetido e os resultados comparados. Desta forma, pode-se validar as

hipóteses de vigas de Thimoshenko.

Viga de Material Isotrópico

No presente estudo, consideram-se as tensões e os deslocamentos de uma viga em

balanço de material isotrópico, sob diferentes tipos de carregamentos. Neste caso o


∂σx

∂x+∂τxy

∂y+ X = 0

∂σy

∂y+∂τxy

∂y+ y = 0

desenvolvimento teórico é significativamente simplificado por ser o material isotrópico, em

que as propriedades mecânicas, como o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poison, são

constantes em qualquer direção considerada. Ligas metálicas, muito utilizadas na engenharia,

são geralmente tratadas como isotrópicas. Mesmo que suas redes cristalinas estejam alinhadas

em diferentes direções em cada grão, uma análise macroscópica, indica que estas ligas

possuem propriedades invariantes em todas as direções, graças à grande aleatoriedade na

direção cristalográfica.

Inicialmente considera-se a análise do comportamento de uma viga reta deformada por

um carregamento genérico de acordo com a teoria da elasticidade. Este desenvolvimento

conduz a uma equação diferencial, como definida a seguir, e que deverá ser sempre satisfeita

em todo o domínio geométrico da viga.

Sob um determinado carregamento uma viga está submetida a um estado de tensões e

de deformações, resultado de um campo de deslocamentos. No presente estudo considera-se o

carregamento em um único plano o que permite a aproximação simplificadora de que a viga

se deforma segundo o estado plano de deformação. Desta forma o número de componentes de

deformação reduz-se a apenas três na forma:

Considerando-se um elemento diferencial no estado plano de tensões mostrado na

Fig.1, as seguintes equações de equilíbrio são obtidas na forma:

Onde X e Y são as forças de corpo nas respectivas direções.

Considerando-se as equações (2), é possível introduzir-se uma função de tensão

𝜓(𝑥, 𝑦) com o objetivo de reduzir as variáveis do problema a esta única função. Essa função

𝜓(𝑥, 𝑦) é definida adiante através das condições de contorno resultantes de cada tipo de

carregamento. Desconsiderando as forças de corpo, as componentes de tensões são obtidas na

forma:

𝜀𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝜀𝑦 =

𝜕𝑣

𝜕𝑦 𝜀𝑧 =

𝜕𝑤

𝜕𝑧;

𝛾𝑥𝑦 =𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑥 𝛾𝑥𝑧 =

𝜕𝑢

𝜕𝑧+

𝜕𝑤

𝜕𝑥 𝛾𝑦𝑧 =

𝜕𝑣

𝜕𝑧+

𝜕𝑤

𝜕𝑦;

0

0 0 0 0 (1)

Fig.1: Elemento diferencial no estado plano de tensão

(2)

𝜎𝑥 =𝜕2ψ

𝜕𝑦2 𝜎𝑦 =

𝜕2ψ

𝜕𝑥2 𝜏𝑥𝑦 = −

𝜕2ψ

𝜕𝑥𝜕𝑦

(3)

(2)


O comportamento da viga deformada é elasticamente caracterizado utilizando-se

também as equações de compatibilidade geométrica e as relações constitutivas. Das seis

equações de compatibilidade existentes nos casos gerais, apenas uma não é identicamente

satisfeita no caso de estado plano de deformações. A equação resultante é:

As relações constitutivas associadas são:

Substituindo-se (3) em (5) e o resultado em (4), é obtido a equação diferencial em

função de ψ(x, y) na forma:

A equação diferencial possui a forma biharmônica. Em um estudo subsequente,

considera-se uma viga com material de gradação funcional, sendo a manipulação

algebricamente mais trabalhosa. Neste caso, os parâmetros físicos passam a ser função de uma

coordenada especial da viga.

Definida a equação diferencial em (6), passa-se a considerar os carregamentos

utilizados. Apenas o carregamento de uma força concentrada na extremidade livre da viga é

exposto neste relatório. No entanto, carregamentos como uniformemente distribuído e

linearmente crescente a partir de um valor nulo na extremidade também foram analisados.

Isso é necessário para uma compreensão dos fatores que influenciam a distribuição dos

deslocamentos nas seções da viga. O processo de obtenção dos resultados é consiste em:[1]

1. Propor uma expressão para uma das componentes das tensões.

2. Integrar a equação (3) e substituir o resultado em (6), obtendo-se as funções

componentes das tensões através da solução da equação diferencial.

3. Utilizar as condições de contorno para as tensões, obtendo as constantes de integração

4. No caso de não ser possível determinar estas constantes, o procedimento é refeito para

uma nova tentativa da forma de uma das componentes das tensões.

5. Obtidas as constantes de integração, a partir destas expressões para as tensões, as

funções para os deslocamentos são obtidas através da integração das equações (5),

substituídas em (1), e satisfazendo as correspondentes condições de contorno dos

deslocamentos.

Obtém-se a seguir as distribuições das tensões e dos deslocamentos no domínio de

viga em balanço carregada por uma força concentrada na extremidade livre, como mostra a

Fig. 2.

𝜕2𝜀𝑥𝜕𝑦2

+𝜕2𝜀𝑦

𝜕𝑥2=𝜕2𝛾𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦 (4)

𝜀𝑥 =1 + 𝜐

𝐸[ 1 − 𝜐 𝜎𝑥 − 𝜐𝜎𝑦 ]

𝜀𝑦 =1 + 𝜐

𝐸[ 1 − 𝜐 𝜎𝑦 − 𝜐𝜎𝑥 ]

𝛾𝑥𝑦 =2(1 + 𝜐)

𝐸𝜏𝑥𝑦

(5)

𝜕4ψ

𝜕𝑥4+ 2

𝜕4ψ

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+𝜕4ψ

𝜕𝑦4= 0 (6)


Seguindo o procedimento apresentado, faz-se a hipótese para a seguinte distribuição das

tensões longitudinais da seguinte forma:

Onde 𝐶1 é constante. Uma boa suposição é relacionar as tensões 𝜎𝑥 e 𝜏𝑥𝑦 com os momentos

fletores e força cortante, respectivamente. Esta condição nem sempre é verdadeira, mas

indicará a solução. Da integração da equação (7) duas vezes em y, tem-se:

cujo resultado substituído em (6), resulta em

Da equação (9), válida para todo 𝑥 e 𝑦 na viga, fornece:

e portanto,

Voltando-se com o resultado de (11) em (8), obtém-se uma expressão para 𝜓 em

função de constante de integração, e consequentemente as funções das tensões através da

equação (3). Essas são definidas aplicando-se as condições de contorno na solução. Neste

problema em particular, tem-se 10 condições de contorno a serem impostas considerando-se

as quatro faces do domínio do problema, conforme mostrado na Fig. 3 abaixo.

Fig.2: Viga em balanço sob carga concentrada

𝜎𝑥 =𝜕2ψ

𝜕𝑦2= 𝐶1𝑥𝑦

(7)

ψ = 𝐶1

6𝑥𝑦3 + 𝑦𝑓1 𝑥 + 𝑓2(𝑥) (8)

𝑦𝜕4𝑓1(𝑥)

𝜕𝑥4+𝜕4𝑓2(𝑥)

𝜕𝑥4= 0 (9)

𝜕4𝑓1(𝑥)

𝜕𝑥4= 0

𝜕4𝑓2(𝑥)

𝜕𝑥4= 0 (10)

𝑓1 𝑥 = 𝐶2𝑥3 + 𝐶3𝑥

2 + 𝐶4𝑥 + 𝐶5

𝑓2 𝑥 = 𝐶6𝑥3 + 𝐶7𝑥

2 + 𝐶8𝑥 + 𝐶9 (11)

Fig.3: Condições de contorno a serem impostas na viga em balanço considerada


Desta forma, em 𝑥 = 0, tem-se as seguintes condições:

𝑤𝜎𝑥𝑑𝑦 = 0𝑑

2

−𝑑 2

𝑤𝜏𝑥𝑦 = −𝑃𝑑

2

−𝑑 2

𝑤𝜎𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0𝑑

2

−𝑑 2

Em 𝑥 = 𝐿, tem-se as seguintes condições:

𝑤𝜎𝑥𝑦𝑑𝑦 = −𝑃𝐿𝑑

2

−𝑑 2

𝑤𝜏𝑥𝑦 = −𝑃𝑑

2

−𝑑 2

𝑤𝜎𝑥𝑑𝑦 = 0𝑑

2

−𝑑 2

Em 𝑦 = −𝑑2 , tem-se as seguintes condições:

𝜎𝑦 = 0

Note-se que esta equação é válida para todo 𝑥 entre 0 e L .Desta forma a equação resulta nas

seguintes condições:

0 = 0

−𝐶1𝑤𝑑

3

24− 𝐶4𝑤𝑑 = −𝑃

0 = 0

𝐶1𝐿𝑤𝑑3

12= −𝑃𝐿

−𝐶1𝑤𝑑

3

24+ −3𝐶2𝐿

2 − 2𝐶3𝐿 − 𝐶4 𝑤𝑑 = −𝑃

0 = 0

6 −𝐶2

𝑑

2+ 𝐶6 𝑥 + 2 −𝐶3

𝑑

2+ 𝐶7 = 0

−𝐶2

𝑑

2+ 𝐶6 = 0

−𝐶3

𝑑

2+ 𝐶7 = 0

(12.1)

(12.2)

(12.3)

(12.4)

(12.5)

(12.6)

(12.7)

(12.8)


𝜏𝑥𝑦 = 0

Em 𝑦 = 𝑑2 , tem-se as seguintes condições:

𝜎𝑦 = 0

E, mas uma vez, a equação resulta em:

𝜏𝑥𝑦 = 0

Dessas dez condições de contorno, determinam-se as constantes necessárias que definem a

distribuição das tensões. São elas:

Substituindo-se os resultados na equação (8), obtêm-se as tensões explicitadas em (3), onde 𝐼 é o momento de inércia[1].

De acordo com esse resultado, pode-se observar que a tensão normal, na direção 𝑥,

varia linearmente com a cordenada y por toda a viga e é proporcional ao momento fletor na

seção reta da viga. A tensão de cisalhamento tem uma representação parabólica constante,

pois a força cortante é também constante ao longo do comprimento da viga. Estes resultados

verificam com as soluções encontradas na literatura considerando-se as hipóteses

simplificadoras. As Fig.4 e 5 apresentam as distribuições destas tensões. Estas tensões

também podem ser obtidas fazendo-se uma diferente proposta em (7). Pode-se iniciar a

solução do problema através de uma proposta para tensão de cisalhamento na forma 𝜏𝑥𝑦 =

𝑔(𝑦). Esta proposta é independente de 𝑥 assim como a força cortante na viga. Realizando o

mesmo procedimento feito anteriormente, são obtidos os mesmos resultados para as tensões.

−𝐶1𝑑

2

8− 3𝐶2𝑥

2 − 2𝐶3𝑥 − 𝐶4 = 0

6 𝐶2

𝑑

2+ 𝐶6 𝑥 + 2 𝐶3

𝑑

2+ 𝐶7 = 0

𝐶2

𝑑

2+ 𝐶6 = 0

𝐶3

𝑑

2+ 𝐶7 = 0

−𝐶1𝑑

2

8− 3𝐶2𝑥

2 − 2𝐶3𝑥 − 𝐶4 = 0

(12.9)

(12.10)

(12.11)

(12.12)

𝐶2 = 0 𝐶6 = 0

𝐶3 = 0 𝐶7 = 0

𝐶1 = −12𝑃

𝑑3𝑤 𝐶4 =

3𝑃

𝑑𝑤

(13)

𝜎𝑥 = −𝑃𝑥𝑦

𝐼 𝜎𝑦 = 0 𝜏𝑥𝑦 = −

𝑃

2𝐼 𝑑2

4− 𝑦2 (14)


𝑤 = 0.1𝑚 ;𝑑 = 0.1𝑚 ;𝑃 = 1𝑘𝑁

Para obterem-se os deslocamentos, volta-se às equações (5) e (1), relacionando-as da

seguinte forma:

Integrando (15.1) e (15.2), obtém-se:

Onde 𝑗1(𝑦) e 𝑗2(𝑥) são funções resultantes de integrações. Substituindo-se (16) em (15.3) e

separando-se os termos em 𝑦 e em 𝑥, a equação com ambos os lados iguais à constante 𝑎1.

Tem-se então:

Integrando (17) e substituindo o resultado nas equações (14), têm-se os deslocamentos em

função de três constantes conforme mostrado nas equações (18).

Fig.4: Distribuição da tensão normal na direção x. Fig.5: Distribuição da tensão de cisalhamento

na direção x.

𝜀𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑥=

1 + 𝜐

𝐸 1 − 𝜐 𝜎𝑥 − 𝜐𝜎𝑦 = −

𝑃𝑥𝑦

𝐸𝐼

𝜀𝑦 =𝜕𝑣

𝜕𝑦=

1 + 𝜐

𝐸 1 − 𝜐 𝜎𝑦 − 𝜐𝜎𝑥 =

𝜐𝑃𝑥𝑦

𝐸𝐼

𝛾𝑥𝑦 =𝜕𝑢

𝜕𝑦+𝜕𝑣

𝜕𝑥=

2(1 + 𝜐)

𝐸𝜏𝑥𝑦 = −

2 1 + 𝜐 𝑃

𝐸𝐼 𝑑2

4− 𝑦2

(15.1)

(15.2)

(15.3)

𝑢 = −𝑃

2𝐸𝐼𝑥2𝑦 + 𝑗1 𝑦 𝑣 =

𝜐𝑃

2𝐸𝐼𝑥𝑦2 + 𝑗2(𝑥) (16)

𝑑𝑗1(𝑦)

𝑑𝑦=

𝑃

𝐸𝐼 1 +

𝜐

2 𝑦2 + 𝑎1

𝑑𝑗2(𝑥)

𝑑𝑥=

𝑃

2𝐸𝐼𝑥2 −

1 + 𝜐 𝑃

4𝐸𝐼𝑑2 − 𝑎1 (17)

𝑢 = −𝑃

2𝐸𝐼𝑥2𝑦 +

𝑃

3𝐸𝐼 1 +

𝜐

2 𝑦3 + 𝑎1𝑦 + 𝑎2

𝑣 =𝜐𝑃

2𝐸𝐼𝑥𝑦2 +

𝑃

6𝐸𝐼𝑥3 −

1 + 𝜐 𝑃

4𝐸𝐼𝑑2𝑥 − 𝑎1𝑥 + 𝑎3

(18)


Assumindo-se as condições de contorno correspondentes a um pino fixo, neste caso (L,0),

tem-se: 𝑢 = 𝑣 =𝜕𝑣

𝜕𝑥= 0 em 𝑥 = 𝐿 e 𝑦 = 0. E, desta forma, obtém-se:

Substituindo-se os resultados da equação (19) em (18), tem-se para os deslocamentos as

seguintes equações[1]:

A deflexão de uma viga é dada a partir do deslocamento vertical (𝑣) da sua fibra

neutra, neste caso, quando 𝑦 = 0. Como a curvatura de uma viga é aproximadamente dada

por 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2 na fibra neutra, esse resultado coincide com a hipótese simplificadora de Euler-

Bernoulli. A forma da distribuição dos deslocamentos depende da razão da altura pelo

comprimento da viga, e por isso demonstram-se abaixo as distribuições dos deslocamentos

para as razões 𝑑 𝐿 = 0.1, 0.5 e 1.

(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.1, 0.5 𝑒 1𝑚; 𝐿 = 1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸 = 80𝐺𝑃𝑎)

Fig.6: Deslocamento u para razão d/L=0.1. Fig.7: Deslocamento v para razão d/L=0.1.

𝑎1 =𝑃𝐿2

2𝐸𝐼− 1 + 𝜐 𝑃𝑑2

4𝐸𝐼 𝑎2 = 0 𝑎3 =

𝑃𝐿3

3𝐸𝐼 (19)

𝑢 = −𝑃

2𝐸𝐼𝑥2𝑦 +

𝑃

3𝐸𝐼 1 +

𝜐

2 𝑦3 +

𝑃𝐿2

2𝐸𝐼− 1 + 𝜐 𝑃𝑑2

4𝐸𝐼 𝑦

𝑣 =𝜐𝑃

2𝐸𝐼𝑥𝑦2 +

𝑃

6𝐸𝐼𝑥3 −

𝑃𝐿

2𝐸𝐼𝑥 +

𝑃𝐿3

3𝐸𝐼

(20)


Os perfis das vigas deformadas estão mostradas abaixo para as três razões consideradas.

Fig.8: Deslocamento u para razão d/L=0.5. Fig.9: Deslocamento v para razão d/L=0.5.

Fig.10 Deslocamento u para razão d/L=1

Fig.6: Deslocamento u para razão d/L=0.1.

Fig.11: Deslocamento v para razão d/L=1.

Fig.12: Perfil da viga deformada para razão d/L=0.1.


Fig.13: Perfil da viga deformada para razão d/L=0.5.

Fig.14: Perfil da viga deformada para razão d/L=1.


Através das Fig.6-14, constata-se serem válidas as hipóteses simplificadoras das seções

retas permanecerem retas após a deformação para uma viga em balanço sob o carregamento

concentrado na extremidade livre. As Fig.10, 11 e 14 mostram seções deformadas não planas.

A estrutura cuja razão altura pelo comprimento é igual a um não deve ser considerada como

viga, pois não se enquadra na definição de um estrutura esbelta. O formato sinuoso

apresentado na Fig.14 resulta da influência da tensão de cisalhamento que neste caso não é

desprezível comparada à tensão normal.

O estudo realizado acima deve ser feito para outros tipos de carregamento antes de uma

validação geral das hipóteses simplificadoras. Carregamentos que geram maiores forças

cortantes em relação a um mesmo momento fletor acabam por não satisfazerem as hipóteses

de manter seções planas após a deformação com menores relações 𝑑 𝐿 . Para evidenciar isso,

compara-se abaixo o carregamento concentrado e do uniformemente distribuído. Observa-se

que no carregamento uniformemente a força cortante no engaste é maior enquanto o momento

fletor é o mesmo. Isso resulta no aparecimento da “sinuosidade” nas seções próximas ao

engastamento.

No engastamento

Força concentrada

Força distribuída

Força Cortante -10 kN -10 kN

Momento Fletor -100 kN.m -50 kN.m

Fig.15: Comparação entre tipos de carregamentos. Força concentrada à esquerda e

uniformemente distribuido à direita.


Materiais com Gradação Funcional

Inicialmente desenvolvido por japoneses [5, 6] para suportar altas temperaturas,

materiais com gradação funcional são compósitos formados por duas ou mais fases

constituintes, cuja principal característica é possuir uma composição continuamente variável

entre estes materiais [2]. Desta forma, é possível selecionar um compósito onde as melhores

propriedades de cada material são utilizadas. Como exemplo, pode-se citar a possível

combinação das características de isolante térmico e de resistência à corrosão da cerâmica

com a tenacidade dos metais. No campo da engenharia, o emprego de MGF permite uma

melhor distribuição das tensões residuais, o incremento de propriedades térmicas, da alta

tenacidade à fratura, e dos reduzidos fatores de intensidade de tensões, quando comparados

com outros compósitos ou materiais homogêneos [2].

Como no caso de materiais isotrópicos, a obtenção da equação diferencial que governa

a função de tensão ψ(x,y) é um resultado da composição entre as mesmas equações de

equilíbrio (2), de compatibilidade geométrica (4) e das relações constitutivas (5). Aqui, pode-

se também definir as funções de tensão, como mostrado em (3). Neste estudo, considera-se

que apenas o módulo de elasticidade varia continuamente com a coordenada y, que nesta caso

representa a altura da viga. Comparado com o caso estudado para materiais isotrópicos, essa é

a única diferença a ser considerada. Dessa forma, substituindo novamente (3) em (5) e o

resultado em (4), obtém-se, após algumas manipulações algébricas, a seguinte equação:

Note-se que neste relatório utiliza-se E para representar E(y). Verifica-se que se nesta

equação as derivadas do módulo de elasticidade em relação a y forem iguais a zero, material

isotrópico, a equação (21) reduz-se à forma biharmônica (6).

Em [7, 8, 9, 10], Reddy et al. propõe que a variação da fração volumétrica de um

compósito de MGF metal-cerâmico pode ser expressada pela seguinte função:

1 − 𝜐

𝐸

𝜕4𝜓

𝜕𝑦4+ 2 1 − 𝜐

𝜕𝐸−1

𝜕𝑦

𝜕3𝜓

𝜕𝑦3+ 1 − 𝜐

𝜕2𝐸−1

𝜕𝑦2

𝜕2𝜓

𝜕𝑦2+ 1 − 𝜐

𝐸

𝜕4𝜓

𝜕𝑥4− 𝜐

𝜕2𝐸−1

𝜕𝑦2

𝜕2𝜓

𝜕𝑥2

+ 2 1 − 𝜐 𝜕𝐸−1

𝜕𝑦

𝜕3𝜓

𝜕𝑥2𝜕𝑦+ 2

1 − 𝜐

𝐸

𝜕4𝜓

𝜕𝑥2𝜕𝑦2= 0

(21)

𝑉𝑓 𝑧 = 𝑧

𝑑+

1

2 𝑛

−𝑑

2≤ 𝑧 ≤

𝑑

2 (22)

Fig.16: Fração volumétrica de cerâmica através da espessura


Onde 𝑛 é um expoente positivo da equação que estabelece a quantidade e distribuição de

cerâmica na estrutura. Visando simplificar ao máximo as equações que são utilizadas a seguir

durante a resolução do problema com vigas engastadas, considera-se neste trabalho 𝑛 = 1,

fazendo a variação volumétrica entre os materiais linear. Desta forma uma simplificação da

álgebra associada ao problema é utilizada, fazendo uma variação linear do módulo de

elasticidade conforme mostra a equação (23) e a Fig.17.

Assim como no caso onde o material era isotrópico, também aqui desenvolve-se o

estudo de uma viga engastada com uma força concentrada na extremidade livre, como

mostrado na Fig.18. No entanto, a viga considerada possui agora um MGF. Desta forma é

possível uma comparação entre os dois casos bastando os módulos de elasticidade E1 e E2

tenderem ao mesmo valor. Essa comparação é demonstrada durante o processo e auxilia na

validação das equações obtidas.

Inicia-se este problema fazendo-se uma proposta para a tensão normal 𝜎𝑥 da seguinte

forma:

Da integração dupla da equação (24) em 𝑦, obtém-se:

Fig.17: Variação do módulo de elasticidade pela altura da viga

𝐸 𝑦 = 𝐸2 − 𝐸1

𝑑𝑦 +

𝐸2 + 𝐸1

2 (23)

𝜎𝑥 =𝜕2𝜓

𝜕𝑦2= 𝑥.𝑔(𝑦) (24)

𝜓 = 𝑥𝑔1 𝑦 + 𝑓1 𝑥 𝑦 + 𝑓2(𝑥) (25)

Fig.18: Viga em balanço sob carga concentrada


Substituindo (25) em (21), resulta na seguinte equação:

Colocando-se 𝑥 em evidência, é possível dividir a equação (26) em duas classes de termos

que dependem apenas de y e que dependem em x e y. Assim, como a equação deve ser válida

para todo o domínio geométrico da viga, tem-se a equação (26) em duas equações:

Através da equação (27) e da variação linear do módulo de elasticidade (23), pode-se

determinar 𝑔1(𝑦) solucionando a EDO.

As funções 𝑓1(𝑥) e 𝑓2(𝑥) podem ser obtidas através da equação (28). Multiplicando-se toda a

equação (28) pela função do módulo de elasticidade, obtém-se mais uma vez termos que

dependem apenas de 𝑥 e termos que dependam de 𝑥 e 𝑦. Desta forma, pode-se novamente

separá-la em duas equações:

Integrando quatro vezes em 𝑥 a equação (30), tem-se a função 𝑓2(𝑥) em função das constantes

de integração.

Para obter a função 𝑓1 𝑥 , retorna-se à equação (31) dividindo-a por 𝑦. Desta forma, pode-se

separá-la novamente em mais duas equações, uma em função apenas de x e outra em função

de 𝑥 e 𝑦.

Integrando a equação (33) quatro vezes em 𝑥, obtém-se a função 𝑓1(𝑥) também em função

das constantes de integração.

1 + 𝜐

𝐸𝑥𝜕4𝑔1

𝜕𝑦4+ 2 1 − 𝜐

𝜕𝐸−1

𝜕𝑦𝑥𝜕3𝑔1

𝜕𝑦3+ 1 − 𝜐

𝜕2𝐸−1

𝜕𝑦2𝑥𝜕2𝑔1

𝜕𝑦2+ 1 − 𝜐

𝐸

𝜕4 𝑓1𝑦 + 𝑓2

𝜕𝑥4

− 𝜐𝜕2𝐸−1

𝜕𝑦2

𝜕2 𝑓1𝑦 + 𝑓2

𝜕𝑥2+ 2 1 − 𝜐

𝜕𝐸−1

𝜕𝑦

𝜕3𝑓1

𝜕𝑥2𝜕𝑦= 0

(26)

1 + 𝜐

𝐸

𝜕4𝑔1

𝜕𝑦4+ 2 1 − 𝜐

𝜕𝐸−1

𝜕𝑦

𝜕3𝑔1

𝜕𝑦3+ 1 − 𝜐

𝜕2𝐸−1

𝜕𝑦2

𝜕2𝑔1

𝜕𝑦2= 0

1 − 𝜐

𝐸𝑥

𝜕4 𝑓1𝑦 + 𝑓2

𝜕𝑥4−𝜐

𝑥

𝜕2𝐸−1

𝜕𝑦2

𝜕2 𝑓1𝑦 + 𝑓2

𝜕𝑥2+ 2

1 − 𝜐

𝑥

𝜕𝐸−1

𝜕𝑦

𝜕3 𝑓1𝑦

𝜕𝑥2𝜕𝑦= 0

(27)

(28)

𝑔1 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑦 −𝑑 𝐸1 + 𝐸2

2 −𝐸2 + 𝐸1 + 𝐶3 𝑦 −

𝑑 𝐸1 + 𝐸2

2 −𝐸2 + 𝐸1

3

+ 𝐶4 𝑦 −𝑑 𝐸1 + 𝐸2

2 −𝐸2 + 𝐸1

4

(29)

1 − 𝜐

𝑥

𝜕4𝑓2

𝜕𝑥4= 0

1 − 𝜐

𝑥

𝜕4𝑓1

𝜕𝑥4−𝜐𝑦𝐸

𝑥

𝜕2𝐸−1

𝜕𝑦2

𝜕2𝑓1

𝜕𝑥2−𝜐𝐸

𝑥

𝜕2𝐸−1

𝜕𝑦2

𝜕2𝑓2

𝜕𝑥2+ 2

1 − 𝜐 𝐸

𝑥

𝜕𝐸−1

𝜕𝑦

𝜕2𝑓1

𝜕𝑥2= 0

(30)

(31)

𝑓2 𝑥 = 𝐶9𝑥3 + 𝐶10𝑥

2 + 𝐶11𝑥 + 𝐶12 (32)

1 − 𝜐

𝑥

𝜕4𝑓1

𝜕𝑥4= 0

−𝜐𝐸

𝑥

𝜕2𝐸−1

𝜕𝑦2

𝜕2𝑓1

𝜕𝑥2−𝜐𝐸

𝑥𝑦

𝜕2𝐸−1

𝜕𝑦2

𝜕2𝑓2

𝜕𝑥2+ 2

1 − 𝜐 𝐸

𝑥𝑦

𝜕𝐸−1

𝜕𝑦

𝜕2𝑓1

𝜕𝑥2= 0

(33)

(34)

𝑓1 𝑥 = 𝐶5𝑥3 + 𝐶6𝑥

2 + 𝐶7𝑥 + 𝐶8 (35)


Com as funções 𝑔1(𝑦), 𝑓1 𝑥 e 𝑓2(𝑥) definidas em (29), (35) e (32), respectivamente,

impõe-se as mesmas dez condições de contorno utilizadas no caso istrópico na determinação

das constantes de integração. No entanto, apenas cinco dessas condições são necessárias, pois

as outras são redundantes. Elas são demonstradas pelas equações (36.1) até (36.5).

𝜎𝑦 𝑦 = 𝑑2 = 0

𝜎𝑦 𝑦 = −𝑑2 = 0

As equações (36.1) e (36.2) são válidas para todo o domínio geométrico da viga, e, portanto,

correspondem a 𝐶5 = 𝐶6 = 𝐶9 = 𝐶10 = 0.

𝜏𝑥𝑦 𝑦 = 𝑑2 = 0

𝜏𝑥𝑦 𝑦 = −𝑑2 = 0

− 𝜏𝑥𝑦 0,𝑦 𝑑𝐴 = 𝑃𝑑

2

−𝑑 2

Considerando-se as equações (36.3), (36.4) e (36.5) e definindo-se 𝐶13 = 𝐶2 + 𝐶7 é possível

chegar a um sistema linear de 3 equações. A solução analítica deste sistema resulta nas

seguintes expressões para as constantes:

(36.5)

6 𝐶5

𝑑

2+ 𝐶9 𝑥 + 2 𝐶6

𝑑

2+ 𝐶10 = 0 (36.1)

6 −𝐶5

𝑑

2+ 𝐶9 𝑥 + 2 −𝐶6

𝑑

2+ 𝐶10 = 0

(36.2)

−𝐶2 − 4𝐶4 𝑑

2−

𝑑 𝐸1 + 𝐸2

2 −𝐸2 + 𝐸1

3

− 3𝐶3 𝑑

2−

𝑑 𝐸1 + 𝐸2

2 −𝐸2 + 𝐸1

2

− 𝐶7 = 0 (36.3)

−𝐶2 − 4𝐶4 −𝑑

2−

𝑑 𝐸1 + 𝐸2

2 −𝐸2 + 𝐸1

3

− 3𝐶3 −𝑑

2−

𝑑 𝐸1 + 𝐸2

2 −𝐸2 + 𝐸1

2

− 𝐶7 = 0 (36.4)

−1

12𝑤

6𝐶4𝑑 𝐸1 + 𝐸2

−𝐸2 + 𝐸1

− 3𝐶3 𝑑3 −𝑤 −𝐶2 +

𝐶4𝑑3 𝐸1 + 𝐸2

3

2 −𝐸2 + 𝐸1 3− 𝐶7 −

3𝐶3𝑑2 𝐸1 + 𝐸2

2

4 −𝐸2 + 𝐸1 2 𝑑 = 𝑃

𝐶13 = −12𝐸1

2𝐸22𝑃

𝑑 −𝐸2 + 𝐸1 2 𝐸1

2 + 4𝐸1𝐸2 + 𝐸22 𝑤

𝐶4 =3 𝐸1 + 𝐸2 −𝐸2 + 𝐸1 𝑃

𝑑4 𝐸12 + 4𝐸1𝐸2 + 𝐸2

2 𝑤

𝐶3 =4𝑃 𝐸1

2 + 𝐸1𝐸2 + 𝐸22

𝑑3 𝐸12 + 4𝐸1𝐸2 + 𝐸2

2 𝑤

(37)

(38)

(39)


Logo, a partir destas constantes, é possível obter-se expressões analíticas para as componentes

das tensões em todo o domínio da viga, na forma:

Nas Fig.19 e 20, apresentam-se as distribuições das tensões em diversas (cinco) seções

transversais da viga. Com referência às tensões normais 𝜎𝑥 , observa-se que esta é nula na

seção 𝑥 = 0 e aumenta a medida que a seção se desloca em direção ao engastamento. Ao

contrário do modelo isotrópico, verifica-se que a distribuição não é mais linear e que a fibra

neutra também não mais se encontra no baricentro da estrutura, e sim, mais próxima da região

com maior módulo de elasticidade. Também se observa que este mesmo ponto corresponde a

posição onde a tensão de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 é máxima. A forma da distribuição da tensão de

cisalhamento é uma parábola cúbica, como pode ser observado na equação (42). Nas Fig. 21 e

22 estão apresentadas as distribuições das tensões utilizando-se as equações acima, mas

tomando-se valores muito próximos para 𝐸1 e 𝐸2. O objetivo é utilizar este modelo de MGF

para representar a solução do material isotrópico. Note-se que os resultados obtidos

reproduzem as soluções obtidas anteriormente com a distribuição linear das tensões normais e

a distribuição parabólica das tensões de cisalhamento (comparas Fig. 21 e 22 com Fig.4 e 5).

(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸1 = 400𝐺𝑃𝑎; 𝐸2 = 200𝐺𝑃𝑎)

𝜎𝑥 = −3 𝑑𝐸1 + 6𝑦𝐸1 − 𝑑𝐸2 + 6𝑦𝐸2 2𝑦𝐸2 − 2𝑦𝐸1 + 𝑑𝐸1 + 𝑑𝐸2 𝑃𝑥

𝑑4 𝐸12 + 4𝐸1𝐸2 + 𝐸2

2 𝑤

𝜎𝑦 = 0

𝜏𝑥𝑦 = −𝑃

2𝑑4 𝐸12 + 4𝐸1𝐸2 + 𝐸2

2 𝑤(−4𝐸1

2𝑦2𝑑 + 8𝐸13𝑦3 + 𝐸1

2𝑑3 − 2𝐸12𝑦𝑑2 − 16𝐸1𝑦

2𝐸2𝑑

+4𝐸1𝑑3𝐸2 + 𝐸2

2𝑑3 − 4𝑦2𝐸22𝑑 + 2𝐸2

2𝑦𝑑2 − 8𝐸22𝑦3)

(40)

(41)

(42)

Fig.19: Tensão normal com 𝐸1

𝐸2 = 2 Fig.20: Tensão de cisalhamento com

𝐸1𝐸2 = 2


(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸1 = 200.1𝐺𝑃𝑎; 𝐸2 = 200𝐺𝑃𝑎)

Com referência à obtenção dos deslocamentos, segue-se o mesmo procedimento

utilizado para materiais isotrópicos. No entanto, devido à complexidade das funções das

tensões e das manipulações algébricas exigidas neste caso, não foi possível obter-se soluções

literais e analíticas. Assim, foi necessário utilizar-se valores numéricos para a geometria da

viga e para as propriedades do compósito. Desta forma, inicia-se a obtenção dos

deslocamentos através das seguintes relações:

Onde 𝑗1 𝑦 e 𝑗2(𝑥) são funções resultantes do processo de integração. Através das

equações (43) e (44), substitui-se 𝑢 e 𝑣 na equação (45) e obtém-se 𝑗1(𝑦) e 𝑗2(𝑥) através da

solução da equação diferencial resultante. A equação resultante é de difícil manipulação

algébrica e a solução só é possível substituindo-se os valores referentes às geometrias da viga

e às propriedades do compósito. Com o auxílio do software Maple 14 obteve-se,

numericamente, os resultados para 𝑗1(𝑦) e 𝑗2(𝑥). Utilizando as mesmas condições de

contorno no caso isotrópico (𝑢 = 𝑣 =𝜕𝑣

𝜕𝑥= 0), obtêm-se os valores das constantes obtidas da

solução numérica. As distribuições dos deslocamentos u e v através das seções transversais

podem ser observadas nas Fig.23 até 28.

Analisando os gráficos apresentados, percebe-se um comportamento similar dos

deslocamentos com os mesmos observados no caso isotrópico. Para a viga com razão

Fig.21: Tensão normal com 𝐸1

𝐸2 ≈ 1 Fig.22: Tensão de cisalhamento com

𝐸1𝐸2 ≈ 1

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 𝜀𝑥 =

𝜎𝑥𝐸(𝑦)

→ 𝑢 = −3𝑥2𝑃 𝑑𝐸1 + 6𝑦𝐸1 − 𝑑𝐸2 + 6𝑦𝐸2

𝑑3 𝐸12 + 4𝐸1𝐸2 + 𝐸2

2 𝑤+ 𝑗1(𝑦)

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 𝜀𝑦 = −

𝜐𝜎𝑥𝐸(𝑦)

→ 𝑣 =6𝜐𝑃𝑥 𝑑𝐸1𝑦 + 3𝐸1𝑦

2 − 𝑑𝐸2𝑦 + 3𝑦2𝐸2

𝑑3 𝐸12 + 4𝐸1𝐸2 + 𝐸2

2 𝑤+ 𝑗2(𝑥)

𝜕𝑢

𝜕𝑦+𝜕𝑣

𝜕𝑥= 𝛾𝑥𝑦 =

2 1 + 𝜐 𝜏𝑥𝑦

𝐸(𝑦)

(43)

(44)

(45)


dL = 0.1 os deslocamentos permanecem com uma distribuição linear durante todo o

comprimento. À medida que a razão dL aumenta, observa-se o surgimento de uma

“sinuosidade” no deslocamento u e o deslocamento v passa a assumir uma forma parabólica.

A única difeença observada na comparação do MGF com o material isotrópico é o fato das

curvas não mais passarem pela origem. Isso acontece exatamente pelo fato da fibra neutra não

se encontrar mais no baricentro da seção da viga.

Analisando essas similaridades e diferenças, é possível concluir que as seções retas

transversais da viga permanecem retas após a deformação, validando assim as hipóteses de

Timoshenko na análise de vigas com materiais de gradação funcional. Essa afirmativa só é

válida para esse tipo de carregamento e distribuição do módulo de elasticidade, e o estudo

deve ser feito para outras combinações antes de uma validação total das hipóteses em questão.

(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.1𝑚;𝐿 = 1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸1 = 400𝐺𝑃𝑎; 𝐸2 = 200𝐺𝑃𝑎; 𝜐 = 0.3)

Fig.23: Deslocamento u para 𝑑 𝐿 = 0.1 Fig.24: Deslocamento v para 𝑑 𝐿 = 0.1


(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 0.5𝑚;𝐿 = 1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸1 = 400𝐺𝑃𝑎; 𝐸2 = 200𝐺𝑃𝑎; 𝜐 = 0.3)

(𝑤 = 0.1𝑚 ; 𝑑 = 1𝑚; 𝐿 = 1𝑚; 𝑃 = 100𝑘𝑁; 𝐸1 = 400𝐺𝑃𝑎; 𝐸2 = 200𝐺𝑃𝑎; 𝜐 = 0.3)

Fig.25: Deslocamento u para 𝑑 𝐿 = 0.5 Fig.26: Deslocamento v para 𝑑 𝐿 = 0.5

Fig.27: Deslocamento u para 𝑑 𝐿 = 1 Fig.28: Deslocamento v para 𝑑 𝐿 = 1


Referências Bibliográficas

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Dinâmico de Linhas Flexíveis. Rio de Janeiro, 2011. 168p. Tese de doutorado -

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[10] Reddy, J.N.; Chin, C.D. Thermomechanical Analysis of Functionally Graded Cylinders

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Solução de Elasticidade para Vigas de Material com ... · cisalhamento serem constantes ao longo...

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