Solução de equações não lineares weslley

Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares

Soluções de Equações não-lineares

(Zeros de funções reais)

Elementos de Análise NuméricaEquações não lineares 2

• Estudar métodos numéricos para a resolução de equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma função f(x)f(x), ou seja, encontrar o(s) valor(es) de xx

tal que f(x) = 0f(x) = 0)

Fundamentar a necessidade de uso de métodos numéricos para a resolução de equações não lineares

Discutir o princípio básico que rege os métodos numéricos para a resolução de equações não lineares

Apresentar uma série de métodos destinados à resolução de equações não lineares

Cálculo Numérico – Objetivos


Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0 Principio da ConservaçãoPrincipio da Conservação

MomentoMomento EnergiaEnergia MassaMassa

Principio da ConservaçãoPrincipio da Conservação

MomentoMomento EnergiaEnergia MassaMassa

+FV

-FV

+FH-FH

Em cada nó :

∑ FH = 0∑ FV = 0

FEstruturas

(Lei de Kirchhoff)

R

E

i

v = g(i)+

-

E - Ri – g(i) = 0

Circuitos

ReatoresE1

E2 S

E S

Em um dado intervalo:∑massa = entradas - saídas


-número de raízes-métodos iterativos

-métodos intervalares-bissecções sucessivas-falsa posição

-métodos abertos-iteração de ponto fixo-Newton-Raphson-Secante

-critérios de parada

Resolução de equações não lineares

Pontos mais importantes:

4


Raízes das funções

f(x)=ax2+bx+c f(x)=log(2x)+sinh(3x)

x= ? tal como f(x)=0Raíz(es): x= ? tal como f(x)=0

explícito implícito

métodos numéricos

5


n Determinação das raízes em função de aa, bb e cc

ax2 + bx + c = 0

n Polinômios de grau mais elevado e funções com maior grau de complexidade Impossibilidade de determinação exata dos

zeros

x = -b ± √ b2 – 4ac 2a

n A partir de uma equação de 2º grau da forma


)e1(c

gm)t(v m

ct−−=-exemplo de queda livre:

m=0.5 kg, c=0.29, g=9.81 m/s2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12

analitica

numérica (dt=1 sec)

numérica (dt=0.5 sec)

tempo, s

velo

cida

de, m

/s

7

- se for c uma incognita? -------> 0v)e1(c

gm)c(f m

ct

=−−=−


Método gráfico

-exemplo de queda livre: 0v)e1(c

gm)c(f m

ct

=−−=−

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

c

f(c)

c

8


Número de zeros

-f(x) é uma função contínua no intervalo [a,b], o número de zeros é:

Teoremas

-ímpar (pelo menos uma) se f(a)*f(b)<0-par (pode ser 0) se f(a)*f(b)>0-se mais do que um f ’(x) também tem pelo menos uma raíz

9


Métodos iterativos

-carácter iterativo: a partir de alguns valores iniciais (x1, x2,...xs-1) da raiz (z) construímos uma nova aproximação xs supostamente melhor:

10


Portanto, o processo iterativo pode ser dividido em duas fases:

Fase I - Localização ou isolamento das raízes: Consiste em obter um intervalo [a,b] que contém uma única raiz;

Fase II - Refinamento: Consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo [a,b], melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão prefixada.

ε


Princípio Básico dos Métodos Numéricos

VALORVALORINICIALINICIALVALORVALORINICIALINICIAL

APRIMORAMENTOAPRIMORAMENTODOS VALORESDOS VALORESAPRIMORAMENTOAPRIMORAMENTODOS VALORESDOS VALORESMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS

MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃODOS ERROSDOS ERROS

MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃODOS ERROSDOS ERROS

VALOR ACEITÁVELVALOR ACEITÁVELDE RAIZDE RAIZ

VALOR ACEITÁVELVALOR ACEITÁVELDE RAIZDE RAIZ


n Etapas Usuais para a Determinação de Raízes a partir de Métodos Numéricos

FASE I

Isolamento das raízes

FASE I

Isolamento das raízes

Determinação de um intervalo (o menor possível) que contenha apenas uma raiz

Determinação de um intervalo (o menor possível) que contenha apenas uma raiz

FASE II

Refinamento das raízes

FASE II

Refinamento das raízes

Melhoramento do valor da raiz aproximada (refinamento até a precisão desejada).

Melhoramento do valor da raiz aproximada (refinamento até a precisão desejada).

MÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS


Métodos de localização de zeros

1, Métodos intervalares: -mudança de sinais na vizinhança de zero-duas estimativas iniciais-método gráfico

14


Exemplo 01: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3

n f(x)f(x) é contínua para ∀x x ∈RR.n II11 = [ = [-5-5,, -3 -3]]n II22 = [ = [00,, 1 1]]n II33 = = [ [22,, 3 3]]

Cada um dos intervalos Cada um dos intervalos contém pcontém peloelo menosmenos um um zerozero ..Cada um dos intervalos Cada um dos intervalos contém pcontém peloelo menosmenos um um zerozero ..

++++++––––++++++––––––––f(x)

543210-1-3-5-10-100-∞x


n f(x)f(x) admite pelo menos um zerozero no intervalo [o intervalo [11,, 2 2] ] O O zerozero é únicoúnico? ?

Análise do sinal de Análise do sinal de f’(x)f’(x)

......++++––––f(x)

...3210x

n f’(x) =1/(2f’(x) =1/(2√√x )+ 5ex )+ 5e-x-x > 0 > 0,, ∀x > 0x > 0

f(x)f(x) admite um admite um únicoúnico zerozero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo [1, 2][1, 2] . .f(x)f(x) admite um admite um únicoúnico zerozero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo [1, 2][1, 2] . .

Exemplo 02: f(x) = f(x) = √√ x – 5e x – 5e-x-x


n OBSERVAÇÃO:Se f(a)f(b) > 0f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no intervalo [a,[a, b]b].

b

f(x)

xaf(x) a ξξ

f(x)

xb

ξξ11 ξξ22xa b


FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES Realização de uma análise teórica e gráfica da

função de interesse Precisão das análises é relevante para o

sucesso da fase posterior


• Estudo Detalhado do Comportamento de uma Função a partir de seu Gráfico

Domínio da funçãoDomínio da função Pontos de descontinuidadePontos de descontinuidade Intervalos de crescimento e decrescimentoIntervalos de crescimento e decrescimento Pontos de máximo e mínimoPontos de máximo e mínimo ConcavidadeConcavidade Pontos de inflexãoPontos de inflexão Assíntotas da funçãoAssíntotas da função


Construção dos gráficos de g(x) g(x) e h(x) h(x) no mesmo sistema cartesianoConstrução dos gráficos de g(x) g(x) e h(x) h(x) no mesmo sistema cartesiano

Localização dos pontos x x nos quais g(x) g(x) e h(x) h(x) se interceptam(f(f(ξξ) = 0 ) = 0 ⇔⇔ g(g(ξξ) = h() = h(ξξ) ) )

Localização dos pontos x x nos quais g(x) g(x) e h(x) h(x) se interceptam(f(f(ξξ) = 0 ) = 0 ⇔⇔ g(g(ξξ) = h() = h(ξξ) ) )

Localização das abscissas dos pontos nos quais a curva intercepta o eixo oxoxLocalização das abscissas dos pontos nos quais a curva intercepta o eixo oxoxConstrução do gráfico de f(x)f(x)Construção do gráfico de f(x)f(x)

I

Obtenção da equação equivalente g(x) = g(x) = h(x) h(x) a partir da equação f(x) = 0f(x) = 0Obtenção da equação equivalente g(x) = g(x) = h(x) h(x) a partir da equação f(x) = 0f(x) = 0

II

Uso de programas para traçar gráficos de funçõesUso de programas para traçar gráficos de funções

III

ANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICA


Exemplo 03: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3 (Uso do método II ) ν ξξ11 ∈[-4, -3][-4, -3]

ν ξξ22 ∈[0, 1][0, 1]ν ξξ33 ∈[2, 3][2, 3]

n f’(x) = 3xf’(x) = 3x22 - 9 - 9n f’(x) = 0 <=> x = f’(x) = 0 <=> x = ±√±√3 3

33-72

-7,3923√√ 3-5130

11-113,3923- √√ 3

3-3-25-4f(x)x

ξ3

f(x)

x-4 1-3 -2 -1 2 3 4

ξ2ξ1


n g(x) = xg(x) = x33

n h(x) = 9x -3 h(x) = 9x -3

Exemplo 03: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3

ξ3

g(x)

x-4 1-3 -2 -1 2 3 4ξ2

ξ1

h(x)

y


MATLAB: ezplot('9*x-3',[-4,4])ezplot('9*x-3',[-4,4])

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

x

9*x-3

(Uso do método IIIIII )

ν ξξ11 ∈ ( (-4-4,, -3 -3))ν ξξ 22 ∈ ( (00,, 1 1))ν ξξ 33 ∈ ( (22,, 3 3))


FASE II: REFINAMENTO

Aplicação de métodos numéricos destinados ao refinamento de raízes Diferenciação dos métodos Modo de

refinamento Método IterativoIterativo Caracterizado por uma

série de instruções executáveis sequencialmente, algumas das quais repetidas em ciclos (iteraçõesiterações)


CRITÉRIOS DE PARADA Teste: xxkk suficientemente próximo da raiz

exata? Como verificar tal questionamento? Interpretações para raiz aproximada

xx é raiz aproximada com precisão εε se:

i.i. |x - |x - ξξ | < | < εε ou

ii.ii. |f( x )| < |f( x )| < εε Como proceder se não se

conhece ξξ ?

Como proceder se não se

conhece ξξ ?


Redução do intervalo que contém a raiz a cada iteração

Obtenção de um intervalo [a,b][a,b] tal que: ξξ ∈∈ [a,b][a,b]

e b – a < b – a < εε

||xx - - ξξ || < < εε , , ∀∀ xx ∈∈ [[aa,,bb]]

∀∀x x ∈∈ [a,b][a,b] pode ser tomado como xx∀∀x x ∈∈ [a,b][a,b] pode ser tomado como xx

ξξ b

f(x)

xa

b – a < b – a < εε


27

• Métodos Iterativos para a Obtenção de Zeros Reais de Funções

– BissecçãoBissecção– Falsa PosiçãoFalsa Posição– Falsa Posição ModificadoFalsa Posição Modificado– Ponto FixoPonto Fixo– Newton-RaphsonNewton-Raphson– SecanteSecante

Cálculo Numérico –


• Método da BissecçãoBissecção

Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar tal raiz subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a contém pelo ponto médio de aa e bb.

Cálculo Numérico – BissecçãoBissecção


29

• Definição do Intervalo Inicial

– Atribui-se [a,b][a,b] como intervalointervalo inicialinicial

• a0 = aa

• b0 = bb

– Condições de Aplicação

• f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0

• Sinal da derivada constanteconstante



30

Determina-se qual o subintervalo – [a , x[a , x11]] ou

[x[x11 , b] , b] – que contém a raizraiz

Calcula-se o produto f(a)*f(xf(a)*f(x11))

Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11) < 0) < 0

Se verdadeiroverdadeiro ξξ ∈∈ (a, x (a, x11))(Logo a = aa e b = xx11

)

Caso contrarioCaso contrario ξξ ∈∈ (x (x1 1 , b), b)(Logo a = xx11

e b = bb)

Definição de Novos Intervalos

Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada.



Análise Gráfica

x

a = a0ξ

f(x)

b = b0

xx 11 = (a + b)/2 = (a + b)/2

xx 11

x

a = a1ξ

f(x)

x1 = b1

xx 22 = (a + x = (a + x 11)/2)/2

xx 22

x

ξ

f(x)

x1=b2

xx 33 = (x = (x 22 + x + x 11 )/2)/2

x2=a2

xx 33Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições condições de paradade parada.

Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições condições de paradade parada.



32

Após nn iterações, a raiz estará contida no intervalo:

,

de modo que ξξ é tal que:

Generalização

=

−−

n00

nn2abab

++−<−ξ 1n

001n

2abx



33

Aproximação de zero, dependente do equipamento utilizado e da precisão necessária para a solução do problema

TolerânciaTolerância ( εε )

A tolerânciatolerância é uma estimativa para o erro erro absolutoabsoluto desta aproximação.

A tolerânciatolerância é uma estimativa para o erro erro absolutoabsoluto desta aproximação.



34

Considerando :

deve-se escolher nn tal que:

⇒

TolerânciaTolerância ( εε )

++−<−ξ1n00

1n2abx

ε<−

+1n00

2ab

1)2ln(

ablnn

00

−

ε−

≥



35

Condições de Parada Se os valores fossem exatosexatos

f(x) = 0f(x) = 0 (x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk = 0 = 0

Uma vez que são aproximadosaproximados || f(x)f(x) || ≤≤ tolerância tolerância || (x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk | | ≤≤ tolerância tolerância



36

Algoritmok := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a;xk+1 := (ak + bk)/2;while critério de parada não satisfeito and k ≤ L

if f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x , xk+1k+1] */] */ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;

else /* raiz em [x/* raiz em [xk+1k+1, b, bkk] */] */ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;

endifk := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2;

endwhileif k > L

parada falhouendif



37

Vantagens:Vantagens:

• Facilidade de implementação;

• Estabilidade e convergência para a solução procurada;

• Desempenho regular e previsível.

O número de interações é dependentedependente da tolerânciatolerância considerada

O número de interações é dependentedependente da tolerânciatolerância considerada



38

Desvantagens:Desvantagens:

• Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x)f(x) em um elevado número de iterações);

• Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível);

• Complexidade da extensão do método para problemas multivariáveis.



Exemplo 06: Resgatando o Exemplo 05Exemplo 05, f(x) = f(x) = xlogx - 1xlogx - 1

h(x)y

ξ

g(x)

x1 2 3 4 5 6

ξ2 3

Verif icou-se que ξξ ∈ [2, 3] [2, 3]



Cálculo da 1ª aproximação x1 = (a0 + b0)/2 = (2,00000 + 3,00000)/2 ⇒

x1 = 2,500002,50000 f(x1) = f(2,50000) = -0,00510-0,00510 f(a0) = f(2,00000) = -0,39794-0,39794

Teste de Parada |f(x1)| =|-0,00510| = 0,005100,00510 > 0,002

Exemplo 06: f(x) = xlogx - 1f(x) = xlogx - 1Considerando o método da bissecção com tol = 0,002tol = 0,002 e adotando [a[a00 ,b ,b00] = [2, 3]] = [2, 3] como intervalo inicial, tem-se:



Cálculo da 2ª aproximaçãoNovo Intervalo

f(a0).f(x1) = (-0,39794).(-0,00510) > 0

logo:a1 = x1 = 2,500002,50000 e b1 = b0 = 3,000003,00000

Exemplo 06: f(x) = xlogx - 1f(x) = xlogx - 1

x2 = (2,50000 + 3,00000)/2 =x2 = 2,750002,75000 f(2,50000) = -0,051000,05100 < 0 f(3,00000) = 0,431400,43140 > 0 f(2,75000) = 0,208200,20820 > 0 ξξ ∈∈ [2,5 ; 2,75][2,5 ; 2,75]

a2 = a1 = 2,500002,50000 e b2 = x2 = 2,750002,75000



Exemplo 06: x3 = (2,50000 + 2,75000)/2 = 2,625002,62500

f(2,50000) = -0,05100-0,05100 < 0 f(2,75000) = 0,208200,20820 > 0 f(2,62500) = 0,100200,10020 > 0

x4 = (2,50000 + 2,62500)/2 = 2,562502,56250 f(2,50000) = -0,05100-0,05100 < 0 f(2,62500) = 0,100200,10020 > 0 f(2,56250) = 0,047200,04720 > 0

ξξ ∈∈ [2,5 , 2,625][2,5 , 2,625]a3 = a2 = 2,500002,50000b3 = x3 = 2,625002,62500

ξξ ∈∈ [2,5 , 2,5625][2,5 , 2,5625]a3 = a2 = 2,500002,50000b3 = x4 = 2,562502,56250



k a k bk f(a k) f(b k) x k+1 f(x k+1)

0 2,50000 3,00000 -0,39794 0,43136 2,500002,50000 -0,00510-0,00510

1 2,50000 3,00000 -0,00515 0,43136 2,750002,75000 0,208200,20820

2 2,50000 2,75000 -0,00515 0,20816 2,625002,62500 0,100210,10021

3 2,50000 2,62500 -0,00515 0,10021 2,562502,56250 0,047200,04720

4 2,50000 2,56250 -0,00515 0,04720 2,531252,53125 0,020900,02090

5 2,50000 2,53125 -0,00515 0,02094 2,515632,51563 0,007900,00790

6 2,50000 2,51563 -0,00515 0,00787 2,507812,50781 0,001400,00140


εε == 0,0020,002



Exemplo 07: Seja f(x) = xf(x) = x3 3 – x – 1– x – 1

Intervalo inicial atribuído: [1, 2][1, 2]

Considerando-se ε = 0,0020,002

f(a0) = -1-1

f(b0) = 55

f’(x) = 3x3x22 – 1 – 1

f(a0) * f(b0) = -5 < 0-5 < 0

Sinal da derivada constanteconstante (f’(a0) = 22 e f’(b0) = 1111)

x1 2 3 4

y

50-1-2-3-4

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1



Cálculo da 1ª aproximação x1 = (a0+b0)/2 = (1,000000+2,000000)/2 = x1 =

1,5000001,500000 f(x1) = 1,51,533 – 1,51,5 – 11 = 0,8750000,875000

Teste de Parada |f(x1)| =|0,875| = 0,8750000,875000 > 0,002

Escolha do Novo Intervalo f(a0).f(x1) = (-1).0,8750,875 = -0,875-0,875

logo: a1=a0=1,0000001,000000 e b1=x1= 1,500001,50000

Exemplo 07: f(x) = xf(x) = x3 3 – x – 1– x – 1



k ak bk f(ak) f(bk) x k+1 f(xk+1 )

0 1,0000000 2,0000000 -1,000000 5,000000 1,500000001,50000000 0,8750000,875000

1 1,0000000 1,5000000 -1,000000 0,875000 1,250000001,25000000 -0,296875-0,296875

2 1,2500000 1,5000000 -0,296875 0,875000 1,375000001,37500000 0,2246090,224609

3 1,2500000 1,3750000 -0,296875 0,224609 1,312500001,31250000 -0,051514-0,051514

4 1,3125000 1,3750000 -0,051514 0,224609 1,343750001,34375000 0,0826110,082611

5 1,3125000 1,3437500 -0,051514 0,082611 1,328125001,32812500 0,0145760,014576

6 1,3125000 1,3281250 -0,051514 0,014576 1,320312501,32031250 -0,018711-0,018711

7 1,3203125 1,3281250 -0,018700 0,014576 1,324218751,32421875 -0,002128-0,002128


εε == 0,0020,002



• Método da BissecçãoBissecção

– Calcula a média aritméticaaritmética dos limites do intervalo que contém a raiz ([aa, bb] )

• Método da Falsa PosiçãoFalsa Posição

– Calcula a média ponderadaponderada dos limites do intervalo que contém a raiz ([aa, bb] )

Cálculo Numérico – Falsa PosiçãoFalsa Posição


• Método da Falsa PosiçãoFalsa Posição

– Calcula a média ponderadaponderada dos limites do intervalo que contém a raiz ([aa, bb] )

)a(f)b(f

)a(fb)b(fax

−−

=

)a(f)b(f)a(bf)b(af

x−−=

xa ξ

f(x)

b xx

f(b)

f(a)



49

Definição do Intervalo Inicial

– Atribui-se [a,b][a,b] como intervalo inicialintervalo inicial• a0 = aa

• b0 = bb

– Condições de Aplicação

• f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0

• Sinal da derivada constanteconstante



50

Definição dos Subintervalos

– Subdivide-se o intervalo pelo pontoponto dede intersecçãointersecção da reta que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas

– Verifica-se se, através do teste de parada, se xx11 é uma

aproximaçãoaproximação dada raizraiz da equação (ξ)

• Se verdadeiroverdadeiro xx11 é a raizraiz procurada

• CasoCaso contrário contrário define-se um novonovo intervalo



51

– Determina-se qual subintervalo - [a[a0 0 , x, x11]] ou [x[x

1 1 , b, b00]] - contém a raiz ξξ

• Calcula-se o produto f(a)*f(xf(a)*f(x11))

• Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11) < 0) < 0

– Se verdadeiroverdadeiro ξ ∈ (a0, x1) Logo: a1 = aa00 e b1 = xx11

– CasoCaso contrario contrario ξ ∈ (x1, b0)Logo a1 = xx11 e b1 = bb00

Definição do Novo Intervalo




Análise Gráfica

Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de condições de paradaparada.

Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de condições de paradaparada.


xa = a0ξ

f(x)

b = b0xx 11

xa = a1ξ

f(x)

x1 = b1xx 22

xξ

f(x)

x1 = b2x2 = a2xx 33

)()(

)()(

00

00001 afbf

afbbfax

−−

=

)()(

)()(

11

11112 afbf

afbbfax

−−

=

)()(

)()(

22

22223 afbf

afbbfax

−−

=


53

Condições de Parada

Se os valores fossem exatosexatosf(x) = 0f(x) = 0(x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk = 0 = 0

Não o sendoNão o sendo|| f(x)f(x) || ≤≤ tolerância tolerância|| (x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk | | ≤≤ tolerância tolerância



54

Algoritmok := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; F0 := f(a0); G0 := f(b0);

xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk); ou xk+1 := (akGk- bkFk)/(Gk – Fk);

while critério de convergência não satisfeito and k ≤ L

if f(ak)f(xk+1) ≤ 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x , xk+1k+1] */] */

ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;

else /* raiz em [x/* raiz em [xk+1k+1, b, bkk] */] */

ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;

endif

k := k +1; xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk);

endwhile

if k > L convergência falhou

endif



Exemplo 08: Considerando f(x) = xlogx - 1f(x) = xlogx - 1h(x)

y

ξ

g(x)

x1 2 3 4 5 6


Intervalo inicial atribuído: [2, 3][2, 3] Considerando-se ε = 0,0020,002 f(a0)

= - 0,3979- 0,3979f(b0) = 0,43140,4314

f’(x) = logxlogx ++ 1/xln101/xln10 f(a0) * f(b0) = -- 0,0171650,017165<< 00

Sinal da derivada constante (f’(a0) = 0,520,52 e f’(b0) = 0,6220,622)


Exemplo 08: Cálculo da 1ª aproximação: a0 = = 22 b0 = = 33

f(a0) = - 0,3979 - 0,3979 < 0 0f(b0) = 0,43140,4314 > 00

x1 = [2.0,4314 – 3.(- 0,3979)] = 2,47982,4798 [0,4314 – (- 0,3979)]Teste de Parada

|f(x1)| =|- 0,0219| = 0,02190,0219 > tolerânciatolerância

Escolha do Novo Intervalo f(a0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 00 logo: a1 = x1 = 2,47982,4798 e b1 = b0 = 33



Exemplo 08: Cálculo da 2ª aproximação: a1 == 2,47982,4798 b1 == 33

f(a1) = - 0,0219- 0,0219 < 00f(b1) = 0,43140,4314 > 00

x2 = [2,4798.0,4314 – 3.(- 0,0219)] = 2,50492,5049 [0,4314 – (- 0,0219)] Teste de Parada

|f(x2)| =|- 0,0011| = 0,00110,0011 < tolerânciatolerância

Escolha do Novo Intervalo

f(a1).f(x2) = (- 0,0219).(- 0,0011) > 00 logo: a2 = x2 = 2,50492,5049 e b2 = b1 = 33



58

Exemplo 08: Cálculo da 3ª aproximação a2 = = 2,50492,5049 b2 = 33

f(a2) = - 0,0011- 0,0011 < 00f(b2) = 0,4314 0,4314 > 00

x3 = [2,5049.0,4314 – 3.(- 0,0011)] = 2,50612,5061 [0,4314 – (- 0,0011)]

Teste de Parada |f(x3)| = |- 7,0118.10-5 | = 7,0118.107,0118.10-5-5 < toltol

(valor aceitável de raiz)(valor aceitável de raiz)



59



02,0000002,000000 3,0000003,000000 -0,3979000-0,3979000 0,4314000,431400 2,47980002,4798000 -0,021900-0,021900

12,479800 3,000000 -0,0219000 0,431400 2,50490002,5049000 -0,001100-0,001100

22,504900 3,000000 -0,0011000 0,431400 2,50610002,5061000 -0,000070-0,000070


εε = 0,0020,002


Exemplo 09: Seja a função do Exemplo 07, f(x) = xf(x) = x3 3 – x – x – 1– 1

Intervalo inicial atribuído: [1, 2] [1, 2] tol = 0,0020,002f(a0) = -1-1

f(b0) = 55

f’(x) = 3x3x22 – 1 – 1 f(a0)*f(b0) = -5-5 < 00

Sinal da derivada constante (f’(a0) = 22 e f’(b0) = 1111)


x1 2 3 4

y

50-1-2-3-4

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1


Exemplo 09: Cálculo da 1ª aproximação a0 = = 11 b0 = = 22 f(a0) = - 1- 1 < 00 f(b0) = 55 > 00

x1 = [1.5 – 2.(- 1)] = 1,166671,16667 [5 – (- 1)] Teste de Parada

|f(x1)| =|- 0,5787037| = 0,57870370,5787037 > toltol

Escolha do Novo Intervalo f(a0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787037) > 00 logo: a1 = x1 = 1,166671,16667 e b1 = b0 = 22



k ak bk f (ak) f(bk) x k+1 f(x k+1 )

01,0000001,000000 2,0000002,000000 -1,0000000-1,0000000 5,0000005,000000 1,16666671,1666667 -0,578704-0,578704

11,166667 2,000000 -0,5787037 5,000000 1,25311201,2531120 -0,285363-0,285363

21,253112 2,000000 -0,2853630 5,000000 1,29343741,2934374 -0,129542-0,129542

31,293437 2,000000 -0,1295421 5,000000 1,31128121,3112812 -0,056588-0,056588

41,311281 2,000000 -0,0565885 5,000000 1,31898851,3189885 -0,024304-0,024304

51,318988 2,000000 -0,0243037 5,000000 1,32228271,3222827 -0,010362-0,010362

61,322283 2,000000 -0,0103618 5,000000 1,32368431,3236843 -0,004404-0,004404

7 1,323684 2,000000 -0,0044039 5,000000 1,32427951,3242795 -0,001869-0,001869


εε = 0,0020,002



63


• Estabilidade e convergência para a solução procurada;

• Desempenho regular e previsível;

• Cálculos mais simples que o método de Newton.



64


• Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x)f(x) em um elevado número de iterações);

• Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível).



• Método da Falsa Posição ModificadoFalsa Posição Modificado(FPMFPM )

Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b], o qual contém uma raiz única, é possível determinar tal raiz a partir de subdivisões sucessivas do intervalo que a contém, evitando, ao mesmo tempo, que as aproximações geradas pela fórmula de iteração se aproximem da raiz por um único lado.

Cálculo Numérico – FPMFPM


66

Definição do Intervalo Inicial

– Atribui-se [a,b][a,b] como intervalo inicialintervalo inicial• a0 = aa

• b0 = bb

– Condições de Aplicação• f(a)*f(b) < 0f(a)*f(b) < 0• Sinal da derivada constanteconstante



67

Definição dos Subintervalos

– Subdivide-se o intervalo pelo ponto de intersecçãoponto de intersecção da reta que liga f(a)f(a) a f(b)f(b) e o eixo das abscissas

– Verifica-se se xx11 é uma aproximaçãoaproximação dada raizraiz da

equação (ξξ)

• Se verdadeiroverdadeiro xx11 é a raizraiz procuradaprocurada

• CasoCaso contráriocontrário define-se um novonovo intervalo



68

– Determina-se em qual dos subintervalos [a[a0 0 , x, x11]] ou

[x[x1 1 , b, b00]] - se encontra a raiz ξ

– 1º Teste

• Verifica-se se f(a)*f(xf(a)*f(x11)) < 0 0

– Se verdadeiroverdadeiro ξξ ∈ (aa0 0 ,, x x11) Logo: a1 = aa00 e b1 = xx11

– Caso contrarioCaso contrario ξ ∈ (xx1 1 ,, b b00)Logo a1 = xx11 e b1 = bb00

Definição do Novo Intervalo



69


Definição do novo valor de xx– 2º Teste

– Verifica-se se f(xf(xi i )*f(x)*f(xi+1i+1)) > 00

• Caso seja verdadeiroverdadeiro

– Se f(a)*f(xf(a)*f(x11)) < 00

Se verdadeiro faz-se f(a)/2f(a)/2

Caso contrário faz-se f(b)/2f(b)/2

• Caso contrarioCaso contrario Permanecem os valores



Análise Gráfica




x

a = a1ξ

f(x)

b1 = x1

xx 22 = (a|f(x = (a|f(x 11)| - x)| - x 11 | f(a)| )|f(a)| )

(|f(x(|f(x 11 )| - |f(a)|) )| - |f(a)|)

xx 22

f(a1)/2

x

a = a0

ξ

f(x)

b = b0xx 11

xx 11 = (a|f(b)| - x = (a|f(b)| - x 11 | f(a)| )|f(a)| )

(|f(b)| - |f(a)|) (|f(b)| - |f(a)|)


71

Condições de paradaSe os valores fossem exatosexatos

f(x) = 0f(x) = 0(x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk = 0 = 0

Não o sendoNão o sendo|| f(x)f(x) || ≤≤ tolerância tolerância|| (x(x k k – x– x k+1k+1 )/x)/x kk | | ≤≤ tolerância tolerância



72

Algoritmok := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a; F0 := f(a0); G0 := f(b0);xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk);while critério de convergência não satisfeito and k ≤ L

if f(ak)f(xk+1) ≤ 0 then /* raiz em [a/* raiz em [akk , x , xk+1k+1] */] */ak+1 := ak; bk+1 := xk+1; Gk+1 = f(xk+1)

if f(xk)f(xk+1) > 0 then Fk+1 = Fk/2endif

else /* raiz em [x/* raiz em [xk+1k+1, b, bkk] */] */ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ; Fk+1 = f(xk+1)if f(xk)f(xk+1) > 0 then Gk+1 = Gk/2endif

endifk := k +1; xk+1 := ak - Fk(bk – ak)/(Gk – Fk);

endwhileif k ≤ L

xk+1 é uma aproximação aceitável para a raizendif



73


Exemplo 10: Considerando f(x) = xlogx – 1f(x) = xlogx – 1

h(x)y

ξ

g(x)

x1 2 3 4 5 6


Considerando-se εε = 0,0020,002 f(a0)

= - 0,3979- 0,3979f(b0) = 0,43140,4314

f’(xx) = logx + 1/xln10logx + 1/xln10 f(a0) * f(b0) = - 0,017165< 0- 0,017165< 0

Sinal da derivada constante (f’(a0) = 0,520,52 e f’(b0) = 0,6220,622)


Exemplo 10: Cálculo da 1ª aproximação a0 = x0 = 22 b0 = 33

f(a0) = - 0,3979- 0,3979 < 00f(b0) = 0,43140,4314 > 00

x1 = [2.0,4314 – 3.(- 0,3979)] = 2,47982,4798 [0,4314 – (- 0,3979)]Teste de Parada

|f(x1)| =|- 0,0219| = 0,02190,0219 > tolerânciatolerância

Escolha do Novo Intervalo f(a0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 00 logo: a1 = x1 = 2,47982,4798 e b1 = b0 = 33



Exemplo 10: Cálculo da 2ª aproximação a1 = 2,4798 2,4798 b1 = 33

f(x0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 00

f(a0).f(x1) = (- 0,3979 ).(- 0,0219) > 00

f(a1) = - 0,0219- 0,0219 < 00

f(b1) = 0,43140,4314 > 00

x2 = [2,4798.(0,4314/2) – 3.(- 0,0219)] ⇒

[(0,4314/2) – (- 0,0219)]x2 = 2,52772,5277

( faz f(b)/2f(b)/2 )



Exemplo 10: Cálculo da 2ª aproximação a1 = 2,4798 2,4798 b1 = 33

Teste de Parada |f(xx22)| =|0,018| = 0,0180,018 > εε

Escolha do Novo Intervalo f(aa11).f(xx22) = (- 0,0219).(0,018) < 00

logo: a2 = a1 = 2,47982,4798 e b2 = x2 = 2,52772,5277



Exemplo 10: Cálculo da 3ª aproximação: a2 = 2,47982,4798 e b2 =

2,52772,5277

f(x1).f(x2) = (- 0,0219).(0,018) < 00

f(a1).f(x2) = (- 0,0219).(0,018) < 00

f(a2) = -- 0,02190,0219 < 00

f(b2) = 0,0180,018 > 00

x3 = [2,4798.(0,018) – 2,5277.(- 0,0219)] ⇒ [(0,018) – (- 0,0219)]

x3 = 2,50602,5060


( Permanece f(a)f(a) e f(b)f(b) )


Exemplo 10: Cálculo da 3ª aproximação: a2 = 2,47982,4798 e b2 =

2,52772,5277Teste de Parada

|f(x3)| =|- 0,000153| = 0,0001530,000153 < εε

(valor aceitável de raizvalor aceitável de raiz )



k ak bk f (ak) f(bk) x k+1 f(x k+1 )

02,0000002,000000 3,0000003,000000 -0,3979000-0,3979000 0,4314000,431400 2,47980002,4798000 -0,021900-0,021900

12,479800 3,000000 -0,0219000 0,431400 2,52770002,5277000 0,0180000,018000

22,479800 2,527700 -0,0219000 0,018000 2,50600002,5060000 -0,000153-0,000153

Exemplo 10: f(x) = xlogx – 1f(x) = xlogx – 1

εε = 0,0020,002



Exemplo 11: Seja a função do Exemplo 7, f(x) = xf(x) = x3 3 – x – x – 1– 1



Considerando-se ε = 0,0020,002

f(a0) = -1-1

f(b0) = 55

f’(x) = 3x3x22 – 1 – 1

f(a0) * f(b0) = -5 < 0-5 < 0

Sinal da derivada constanteconstante (f’(a0) = 22 e f’(b0) = 1111)

x1 2 3 4

y

50-1-2-3-4

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1


Cálculo da 1ª aproximação a0 = x0 = 11 b0 = 22f(a0) = - 1- 1 < 00f(b0) = 55 > 00

x1 = [1.5 – 2.(- 1)] = 1,166671,16667 [5 – (- 1)] Teste de Parada

|f(x1)| =|- 0,5787| = 0,57870,5787 > εε

Exemplo 11:



Cálculo da 1ª aproximação a0 = x0 = 11 b0 = 22

Escolha do Novo Intervalo f(a0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787) > 00

logo: a1 = x1 = 1,166671,16667 e b1 = b0 = 22

Exemplo 11:



Cálculo da 2ª aproximação: a1 = 1,166671,16667 e b1 = 22

f(x0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787) > 00

f(a0).f(x1) = (- 1).(- 0,5787) > 00

f(a1) = - 0,5787- 0,5787 < 00

f(b1) = 5 5 > 00x2 = [1,16667.(5/2) – 2.(- 0,5787)] = 1,32331,3233

[(5/2) – (- 0,5787)]

(Faz f(b)/2 f(b)/2 )

Exemplo 11:



Cálculo da 2ª aproximação: a1 = 1,166671,16667 e b1 = 22

Teste de Parada |f(x2)| =|- 0,00604| = 0,00604 0,00604 > εε

Escolha do Novo Intervalo f(a1).f(x2) = (- 0,5787).(- 0,00604) > 00

logo: a2 = x2 = 1,32331,3233 e b2 = b1 = 22

Exemplo 11:



Exemplo 11: Cálculo da 3ª aproximação: a2 = 1,32331,3233 e b2 = 22

f(x1).f(x2) = (- 0,5787).(- 0,00604) > 00

f(a1).f(x2) = (- 0,5787).(- 0,00604) > 00

f(a2) = - 0,00604- 0,00604 < 00

f(b2) = 55 > 00

x3 = [1,3233.(5/2) – 2.(- 0,0064)] = 1,324931,32493

[(5/2) – (- 0,0064)]

(Faz f(b)/2f(b)/2 )



Exemplo 11: Cálculo da 3ª aproximação: a2 = 1,32331,3233 e b2 = 22

Teste de Parada |f(x3)| =|0,00078| = 0,000780,00078 < εε

(valor aceitável de raiz valor aceitável de raiz )



Exemplo 11: f(x) = xf(x) = x 3 3 – x – 1– x – 1



01,0000001,000000 2,0000002,000000 -1,0000000-1,0000000 5,0000005,000000 1,16667001,1666700 -0,578700-0,578700

11,166670 2,000000 -0,5787000 5,000000 1,32330001,3233000 -0,006040-0,006040

21,323300 2,000000 -0,0060400 5,000000 1,32493001,3249300 0,0007800,000780

εε = 0,0020,002


Cálculo Numérico – Ponto FixoPonto Fixo

• Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)

Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, f(x) = 0f(x) = 0, é possível transformar tal equação em uma equação equivalente x = g(x)x = g(x) e, a partir de uma aproximação inicial xx00

, gerar uma seqüência {x{xkk} }

de aproximações para ξξ pela relação xxk+1k+1 = g(x = g(xkk)), uma

vez que g(x)g(x) é tal que f(f(ξξ) = 0 ) = 0 se e somente se g(g(ξξ)) = = ξξ.


• Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)

Implicação de tal procedimento:


Problema de determinação de um zero de f(x)f(x)Problema de determinação de um zero de f(x)f(x)

Problema de determinação de um ponto fixo de g(x)g(x)Problema de determinação de um ponto fixo de g(x)g(x)

Função de iteração



• Método do Ponto FixoPonto Fixo (MPFMPF)Forma geral das funções de iteração:

com A(A(ξξ) ) ≠≠ 0 0 em ξξ, ponto fixo de g(x)g(x).

• Interpretação Gráfica

– x = g(x)x = g(x) tem como raizraiz a abcissa do ponto de intersecção da reta r(x) = xr(x) = x e da curva g(x)g(x).

)x(f)x(Ax)x(g +=


Exemplo 12:Seja a equação xx22 + x – 6 + x – 6 = 0= 0 .

Funções de iteração possíveis:

gg11(x)(x) = 6 - = 6 - xx22

gg22(x)(x) = ±√6 - = ±√6 - xx

gg33(x)(x) = 6/= 6/x – 1x – 1

gg44(x)(x) = 6/(= 6/(x + 1)x + 1)

Dada uma equação do tipo f(x) = 0f(x) = 0, há para tal equação mais de umamais de uma funçãofunção de iteração g(x)g(x), tal que: f(x) = 0f(x) = 0 ⇔ x = x = g(x)g(x)



Análise Gráfica da ConvergênciaSituação 1


x k ↑ ξ quando k → ∞


Análise gráfica da ConvergênciaSituação 2


ξ2ξξ22xx00

gg22(x) = (6(x) = (6--x)x)½½

xx11

xx33

{x{xkk} } →→ ξξ quandoquando k k →→ ∞∞

ξ2ξξ22xx00

gg22(x) = (6(x) = (6--x)x)½½

xx11

xx33



Análise Gráfica da ConvergênciaSituação 3


x k ↑ ξ quando k → ∞x k ↑ ξ quando k → ∞


Análise gráfica da Convergência


Situação 4

ξ1ξξ11xx00ξ2ξξ22

gg44(x) = 6/(x + 1)(x) = 6/(x + 1)

xx11 xx33


ξ1ξξ11xx00ξ2ξξ22

gg44(x) = 6/(x + 1)(x) = 6/(x + 1)

xx11 xx33



Exemplo 13: Seja a seguinte equação xx22 + x + x – 6– 6 = 0= 0 ::

Não há necessidade de uso de método numérico para a determinação das raízes ξξ 11 = -3 = -3 e e ξξ 22 = 2 = 2

Util ização desta exemplo para demonstrar a convergência ou divergência numérica e gráfica do processo iterativo

Seja a raiz ξξ 22 = 2 = 2 e e gg 11 (x) = 6 - x (x) = 6 - x 22

Considere-se xx 00= 1,5= 1,5 e g(x) g(x) = gg 11 (x) (x)



x1 = g(x0) = 6 – 1,52 = 3,753,75

x2 = g(x1) = 6 – 3,752 = -8,0625-8,0625

x3 = g(x2) = 6 – (-8,0625)2 = -59,003906-59,003906

Conclui-se que { xx kk }} não convergirá para ξξ 22 == 2 2

xx 44 = g( = g(x3 ) = ) = 66 – – (( -59,003906-59,003906 )) 22 = = - 3475,4609- 3475,4609


Exemplo 13:Seja a raiz ξξ 2 2 = 22 , , x0 = 1,51,5 e g1 (x) = 6 – x²6 – x²:



Exemplo 13: Análise Gráfica:

{x{x kk } } ↑↑ ξξ

y

xξ2

x1

g(x)g(x)

xx 00

y = xy = x

x2

ξ1


Exemplo 14: Seja a raiz ξξ22 = 22, g

2

(x) = √√6 - x6 - x e x0 = 1,51,5

Conclui-se que {x{x kk }} tende a convergir tende a convergir para para ξξ 22 = = 2 2

x1 = g(x0) = √6 - 1,5 = 2,1213203432,121320343

x2 = g(x1) = √6 - 2,121320343 = 1,9694363801,969436380

x3 = g(x 2) = √6 -1,969436380 = 2,0076263642,007626364

x4 = g(x3) = √6 - 2,007626364 = 1,9980924991,998092499

x5 = g(x4) = √6 - 1,998092499 = 2,0004768182,000476818



Exemplo 14: Análise Gráfica

{x{xkk} } → ξξ 22 quando kk → infinf


g(x)g(x)

x

yy = xy = x

ξ2x1

xx 00

x2


gg11(x)(x) = = xx33 – 1 – 1

gg22(x)(x) = ±√1 + = ±√1 + xx

gg33(x)(x) = 1/= 1/x³ – 1x³ – 1

Dada uma equação do tipo f(x) = 0f(x) = 0, há para tal equação mais de uma função de iteração g(x)g(x), tal que: f(x)f(x) = 00 ⇔ xx = g(x)g(x)


Exemplo 15: Seja a equação xx 33 – x – 1 – x – 1 = = 00, Tem-se as seguintes funções de iteração possíveis:

3


Exemplo 15: Seja ξ = 1,3249301,324930, g2 (x) = √√1 + x1 + x e x0 = 11

Conclui-se que {x{x kk }} tende a convergir tende a convergir para para ξξ == 1,3249301,324930

x1 = g(x0) = √1 + 1 = 1,2599211,259921

x2 = g(x1) = √1 + 1,259921 = 1,3122941,312294

x3 = g(x 2) = √1 + 1,312294 = 1,3223541,322354

x4 = g(x3) = √1 + 1,322354 = 1,3242691,324269

x5 = g(x4) = √1 + 1,324269 = 1,3246331,324633


3

3

3

3

3

3


103

Exemplo 15: Análise Gráfica


y

x

g(x)g(x) y = xy = x

ξ2

x1

xx 00

x2x3x4 x5

{x{xkk} } → ξξ 22 quando k k → inf inf


104

TEOREMA 2:

Sendo ξξ uma raiz de f(x) = 0f(x) = 0, isolada em um intervalo II centrado em ξξ e g(x)g(x) uma função de iteração para f(x) = 0f(x) = 0. Se

1.1. g(x)g(x) e g’(x)g’(x) são contínuas em I2. || g’(x)g’(x) || ≤≤ M < 1 M < 1, ∀∀ x x ∈∈ I I e3. xx 1 1 ∈∈ I I

então a seqüência {x{x kk }} gerada pelo processo iterativo xx k+1k+1 = g(x = g(x kk)) convergirá para ξξ .



• gg11(x)(x) geração de uma seqüência divergente de ξξ2 2 = 2= 2

• gg22(x)(x) geração de uma seqüência convergente p/ ξξ2 2 = 2= 2

• g1(x) = 6 - x6 - x22 e g’1 (x) = - 2x- 2x contínuas em II


Exemplo 16: Resgatando os Exemplos Exemplos 1313 e 1414, verif icou-se que:


• |g’1 (x)| < 11 ⇔ |-|-2x2x| < 1 ⇔ -½ -½ < x < ½½

• Não existe um intervalo II centrado em ξξ22=2=2, tal que ||g’(x)g’(x)|| <

11, ∀∀ x x ∈∈ I I gg11 (x) (x) não satisfaz a condição 2 do Teorema 2

com relação a ξξ22=2=2 .


Exemplo 16: Resgatando os Exemplos Exemplos 1313 e 1414, verif icou-se que:



gg 22 (x) (x) = √ 6 - x6 - x e g’2 (x) = - ( 1/21/2 √ 6 - x6 - x ) gg 22 (x) (x) é contínua em S = { xx ∈ R | x x ≤≤ 6 6}

g’g’ 22 (x) (x) é contínua em S’ = { xx ∈ R | x < 6x < 6} | g’g’ 22 (x) (x)| < 11 ⇔ | 1/1/ 22 √ 6 - x6 - x | < 11 ⇔ x < 5,75 5,75

É possível obter um intervalo II centrado em ξξ 22=2=2, tal que todastodas as condições do Teorema 2 sejam satisfeitas .

Exemplo 16:


108

Critérios de parada

Se os valores fossem exatosexatos f(xf(x kk ) = 0) = 0

|| xx k k – x– x k-1k-1 || = 0 = 0

Não o sendoNão o sendo || f(xf(x kk )) || ≤≤ tolerância tolerância

|| xx k k – x– x k-1k-1 | | ≤≤ tolerância tolerância



109

Algoritmok := 0; x0 := x;

while critério de interrupção não satisfeito and k k ≤≤ L L

k := k +1;

xk+1 := g(xk);

endwhile



110

Algoritmo Completo I

(1) Seja f(x) = 0f(x) = 0 e a equação equivalente x = g(x)x = g(x)

Dados: xx00 (aprox. inicial) e εε11 e εε22 (precisões)

Supor que as hipóteses do Teorema 2 foram satisfeitas

(2) Se: lf(x0)l < εε1 1 , então: x´= xx´= x00 . FIMFIM

(3) Senão: k = 0k = 0; NI = 1NI = 1;



111

Algoritmo Completo II

(4) xk+1 = g(xk);

(5) Se (lf(xk+1)l < εε11 ou l xk+1 – xk l < εε22 ou NI >L )

Então x´= xx´= xk+1k+1. FIMFIM

(6) xk = xk+1 ; NI = NI+1

Volta para (4)x’ x’ Raiz aproximadax’ x’ Raiz aproximada



112


• Rapidez processo de convergência;

• Desempenho regular e previsível.



113


• Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma função de iteração g(x)g(x);

• Difícil sua implementação.



• Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson

Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da tangente à curva em um ponto xx00 com o eixo das

abscissas.

xx00 - atribuído em função da geometria do método e do

comportamento da curva da equação nas proximidades da raiz.

Cálculo Numérico – Newton-Newton-RaphsonRaphson


115

Considerações Iniciais

– Deste modo, escolhido xx00 , a seqüência {x{xkk}} será

determinada por

,

onde k = 0, 1, 2, ...k = 0, 1, 2, ...


)x(f

)x(fxx

k

kk 1k ′

−=+


116

Análise Gráfica

x

ξξ

f(x)

x1xx 00

x2

x3

1a iteração2a iteração3a iteração4a iteração

Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada .

Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada .



Estudo da Convergência

TEOREMA 3:

Sendo f(x)f(x), f ’(x)f ’(x) e f”(x)f”(x) contínuas em um intervalo I I que contém uma raiz x = x = ξξ de f(x) = f(x) = 0 0 e supondo f ’(f ’( ξξ ) ) ≠≠ 0 0, exist irá um intervalo Ī Ī ⊆⊆ I I contendo a raiz ξξ , tal que se xx 00 ∈∈ ĪĪ , a seqüência {x{x kk }} gerada pela fórmula recursiva

convergirá para a raiz.


)x(f

)x(fxx

k

kk 1k ′

−=+


118

• Testes de Parada

– A cada iteração, testa-se se a aproximação encontrada poderá ser considerada como a solução do problema.

• ||f(xf(xkk))|| ≤≤ tolerância tolerância

• ||((x((xk+1k+1 – x – x

kk)/x)/xk+1k+1 ) )|| ≤≤ tolerância tolerância



119

Algoritmok := 0; x0 := x;


k := k +1;

xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk)

endwhile



Exemplo 17: No Exemplo 13, no qual xx 22 + x – 6 + x – 6 = 0 = 0 :

Seja a raiz ξ2 = 2 e x0 = 1,5 1,5 Assim:

x1 = g(x0) = 1,5 – (1,52 + 1,5 – 6)/(2.1,5 + 1)

x1 = 2,0625000002,062500000x2 = g(x1) = 2,0007621952,000762195

x3 = g(x2) = 2,0000001162,000000116

g(x) = x - f(x)/f ’(x) = x – (x 2 + x – 6)/(2x + 1)



Exemplo 17: Comentários:

A parada poderá ocorrer na 3 a i teração ( x = 2,000000116x = 2,000000116), caso a precisão do cálculo com 6 casas decimais for satisfatória para o contexto do trabalho

Observe-se que no Exemplo 10, no Método do Ponto Fixo com g(x) = g(x) = √√6 - x6 - x só veio a produzir x = 2,000476818x = 2,000476818 na 5a i teração



ξ1 ∈ I1 = ( -1-1, 00), ξξ 22 ∈ I2 = ( 11, 22) Seja x0 = 11 xk+1 = x k - f(x k)/f ’(x k)

e g(x) = x x – (x3 - x - 1)/(3x3x22 – 1 – 1))

Exemplo 18: Considere-se a função f(x) =f(x) = xx 33 - x - 1 - x - 1 , e tol = 0,002tol = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos:



Cálculo da 1ª aproximação

g(xx00) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,51,5

[ 3*(1)² – 1 ]

Teste de Parada

|f(xx00)| =| 0,875 | = 0,8750,875 > εε


Exemplo 18:



g(xx11) = 1.5 – [ (1.5)³ – 1.5 – 1 ] = 1,34782611,3478261

[ 3*(1.5)² – 1 ]

Teste de Parada

|f(xx11)| =| 0,100682 | = 0,1006820,100682 > εε


Exemplo 18:



g(xx22) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ]

[ 3*(1,3478261)² - 1 ]

g(xx22) = 1,32520041,3252004

Teste de Parada

|f(xx22)| =| 0,0020584 | = 0,00205840,0020584 > εε


Exemplo 18:


A seqüência {x{xkk}} gerada pelo método de Newton será:

Exemplo 18:

I teração x F(x)

1 1,51,5 0,8750,875

2 1,34782611,3478261 0,10068220,1006822

3 1,32520041,3252004 0,00205840,0020584

4 1,32471821,3247182 9,24378.109,24378.10

5 1,32471781,3247178 1,86517.101,86517.10


-7-7

-13-13

εε = 0,0020,002


127



• Desempenho elevado.



128


• Necessidade da obtenção de f’(x)f’(x) , o que pode ser impossível em determinados casos;

• O cálculo do valor numérico de f’(x)f’(x) a cada iteração;

• Difícil implementação.



• Método da SecanteSecante

Dada uma função f(x)f(x) contínua no intervalo [a,b][a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da secante à curva em dois pontos xx00 e xx11 com o eixo das abscissas.

xx00 e xx11 - atribuídos em função da geometria do método e

do comportamento da curva da equação nas proximidades da raiz.

Cálculo Numérico – SecanteSecante


130

Considerações Iniciais

– Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson

• Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de f’(x)f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração

– Forma de desvio do inconveniente

• Substituição da derivada f’(xf’(xkk)) pelo quociente das

diferenças

f’(xf’(xkk) ≈ [f(x) ≈ [f(x

kk) - f(x) - f(xk-1k-1)]/(x)]/(x

kk - x - xk-1k-1))

onde xxk-1k-1 e xxkk

são duas aproximações para a raiz



131

Interpretação Geométrica

A partir de duas aproximações xx k-1k-1 e xx kk

Obtém-se o ponto xx k+1k+1 como sendo a abscissa do ponto de intersecção do eixo oxox e da reta que passa pelos pontos ( xx k-1 k-1 , f(x, f(x k-1k-1 )) ) e ( xx k k , f(x, f(x kk )) ) (secante à curva da função)



• Com esse método, determinamos um ponto a partir da assimilação da curva com um segmento passando pelos pontos (XE, f(XE)) e (XD, f(YD)). O candidato para ser raiz é o ponto de interseção desse segmento com o eixo x.


Análise Gráfica


O segmento (XN,f(XN)); (XD,f(XD)) é usado para determinar o valor do passo seguinte.


Análise Gráfica


134

• Testes de Parada– A cada iteração, testa-se se a aproximação

encontrada poderá ser considerada como a solução do problema.

• ||f(xf(xkk))|| ≤≤ εε

• ||((x((xk+1k+1 – x – x

kk)/x)/xk+1k+1 ) )|| ≤≤ εε



135

Algoritmok := 0; x0 := X0; x1 := X1


k := k +1;

xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1))/(f(xk) - f(xk-1)) endwhile



136



• Cálculos mais convenientes que do método de Newton;

• Desempenho elevado.



137


• Se o cálculo f’(x)f’(x) não for difícil, então o método logo será substituído pelo de Newton-Raphson;

• Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o método da Secante Secante ;

• Difícil implementação.



138

Análise Comparativa dos Métodos

• Garantias de ConvergênciaGarantias de Convergência

• Rapidez de ConvergênciaRapidez de Convergência

• Esforço ComputacionalEsforço Computacional

Critérios de Comparação


139


• BissecçãoBissecção e Falsa PosiçãoFalsa Posição

– Convergência garantidaConvergência garantida, desde que a função seja contínuacontínua num intervalo [aa,bb] , tal que f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0

Garantias de Convergência dos Métodos

Ponto FixoPonto Fixo , Newton-RaphsonNewton-Raphson e SecanteSecanteCondições mais restr it ivasmais restr it ivas de

convergência

Se as condições de convergência forem satisfeitassatisfeitas, os dois últ imos métodos são mais rápidosmais rápidos do que os demais estudados


140


• Número de IteraçõesNúmero de Iterações Medida usualmente adotada para a determinação da rapidez de convergênciarapidez de convergência de um método

• Não deve ser uma medida conclusivaconclusiva sobre o tempo de execução do programa

• Tempo gasto Tempo gasto na execução de uma iteração VariávelVariável de método para método

Rapidez de Convergência


141


• Indicadores

– Número de operações operações efetuadas a cada iteração;

– ComplexidadeComplexidade das operações;

– Número de decisõesdecisões lógicas;

– Número de avaliaçõesavaliações de função a cada iteração; e

– Número total de iteraçõesiterações.

Esforço Computacional


142


• Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de um método.

– BissecçãoBissecção Cálculos mais simplessimples por iteração

– NewtonNewton Cálculos mais elaboradoselaborados

– Número de iterações da BissecçãoBissecção é, na grande maioria das vezes, muito maiormuito maior do que o número de iterações efetuadas por NewtonNewton

Esforço Computacional


143


• Convergência asseguradaConvergência assegurada

• Ordem de convergência altaOrdem de convergência alta

• Cálculos por iteração simplesCálculos por iteração simples

Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal


144


• Newton-RaphsonNewton-Raphson Caso seja fácil a verificação das condições de convergência e o cálculo de f´(x)f´(x)

• SecanteSecante Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f´(x)f´(x) , uma vez que não é necessária a obtenção de f´(x)f´(x)

Escolha do Melhor Método


145


• Se o objetivo for a reduçãoredução do intervalo que contém a raiz BissecçãoBissecção ou FalsaFalsa PosiçãoPosição ModificadoModificado (nãonão usar o Método da FalsaFalsa PosiçãoPosição)

• Se a escolha parte de um valor inicialvalor inicial para a raiz Newton-Raphson Newton-Raphson ou da SecanteSecante (pois trabalham com aproximações xxkk para a raiz exata)

Critério de Parada Detalhe importanteimportante na escolha do método


146


• Situações nas quais se deve evitar o uso do Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson e da SecanteSecante

– Tendência da curva ao paralelelismoparalelelismo a qualquer um dos eixos

– Tendência da função à tangênciatangência ao eixo das abscissas em um ou mais pontos.

Observações Importantes


147


• Escolha do método Diretamente relacionada com a equação equação cuja solução é desejada

– Comportamento da função na região da raiz exata

– Dificuldades com o cálculo de f´(x)f´(x)

– Critério de parada, etc.

Conclusão


148


Exemplo 01: f(x) = xf(x) = x 3 3 – x – 1– x – 1

x1 2 3 4

y

50-1-2-3-4

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

ξξ ∈ [11, 2 2 ], ], ε1 = ε2 = 1010 -6-6


149


Exemplo 01:

φ(x) = (x+1)φ(x) = (x+1)1/31/3

441,598683 x 101,598683 x 10 --44-- 1,186057 x 101,186057 x 10 --661,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]FPMFPM

881,221868 x 101,221868 x 10 --661,417347 x 101,417347 x 10 --991,3247181,324718xx 00 = 0,2= 0,2xx 11 = 0,5= 0,5

Secant eSecant e

21216,275822 x 106,275822 x 10 --772,746469 x 102,746469 x 10 --12121,3247181,324718xx 00 = 0= 0New tonNew t on

991,882665 x 101,882665 x 10 --662,493994 x 102,493994 x 10 --661,3247181,324718xx 00 = 1= 1Pont o FixoPont o Fixo

34342,614434 x 102,614434 x 10 --66-- 1,087390 x 101,087390 x 10 --551,3247151,324715[ 1,2][ 1,2]Falsa PosiFalsa Posiççãoão

18182,879637 x 102,879637 x 10 --662,209495 x 102,209495 x 10 --661,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]BissecBissecççãoão

# # de de it erait eraççõesõesErro em xErro em xf (x)f (x)xxDados Dados

iniciaisiniciais

441,598683 x 101,598683 x 10 --44-- 1,186057 x 101,186057 x 10 --661,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]FPMFPM

881,221868 x 101,221868 x 10 --661,417347 x 101,417347 x 10 --991,3247181,324718xx 00 = 0,2= 0,2xx 11 = 0,5= 0,5

Secant eSecant e

21216,275822 x 106,275822 x 10 --772,746469 x 102,746469 x 10 --12121,3247181,324718xx 00 = 0= 0New tonNew t on

991,882665 x 101,882665 x 10 --662,493994 x 102,493994 x 10 --661,3247181,324718xx 00 = 1= 1Pont o FixoPont o Fixo

34342,614434 x 102,614434 x 10 --66-- 1,087390 x 101,087390 x 10 --551,3247151,324715[ 1,2][ 1,2]Falsa PosiFalsa Posiççãoão

18182,879637 x 102,879637 x 10 --662,209495 x 102,209495 x 10 --661,3247181,324718[ 1,2][ 1,2]BissecBissecççãoão

# # de de it erait eraççõesõesErro em xErro em xf (x)f (x)xxDados Dados

iniciaisiniciais


150


Exemplo 02: xx 22 + x – 6 + x – 6 = 0= 0

g(x)g(x)

x

y

1 3 4 50-1-2-4

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-6

-5

-3 2

ξξ ∈ [11, 3 3 ], ], ε1 = ε2 = 1010 -6-6


151

Exemplo 02:


φ(x) = (6 - x)φ(x) = (6 - x)1/21/2

18182,450482 x 102,450482 x 10 --77--2,397253 x 102,397253 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]FPMFPM

559,798250 x 109,798250 x 10 --66--4,230246 x 104,230246 x 10 --882,0000002,000000xx 00 = 1,0= 1,0xx 11 = 1,2= 1,2

Secant eSecant e

445,820766 x 105,820766 x 10 --10105,820766 x 105,820766 x 10 --992,0000002,000000xx 00 = 1= 1New tonNew t on11115,696906 x 105,696906 x 10 --771,139381 x 101,139381 x 10 --662,0000002,000000xx 00 = 1= 1Pont o FixoPont o Fixo

42428,548295 x 108,548295 x 10 --88--2,479001 x 102,479001 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]Falsa PosiFalsa Posiççãoão

20207,152561 x 107,152561 x 10 --772,384186 x 102,384186 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]BissecBissecççãoão

# de # de it erait eraççõesõesErro em xErro em xf (x)f (x)xxDados Dados

iniciaisiniciais

18182,450482 x 102,450482 x 10 --77--2,397253 x 102,397253 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]FPMFPM

559,798250 x 109,798250 x 10 --66--4,230246 x 104,230246 x 10 --882,0000002,000000xx 00 = 1,0= 1,0xx 11 = 1,2= 1,2

Secant eSecant e

445,820766 x 105,820766 x 10 --10105,820766 x 105,820766 x 10 --992,0000002,000000xx 00 = 1= 1New tonNew t on11115,696906 x 105,696906 x 10 --771,139381 x 101,139381 x 10 --662,0000002,000000xx 00 = 1= 1Pont o FixoPont o Fixo

42428,548295 x 108,548295 x 10 --88--2,479001 x 102,479001 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]Falsa PosiFalsa Posiççãoão

20207,152561 x 107,152561 x 10 --772,384186 x 102,384186 x 10 --662,0000002,000000[ 1;2,5][ 1;2,5]BissecBissecççãoão

# de # de it erait eraççõesõesErro em xErro em xf (x)f (x)xxDados Dados

iniciaisiniciais

Solução de equações não lineares weslley

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