Solução de equações de 2º grau

Por prof. Luis Claudio Professor de Matemática do estado

de Pernambuco

Equação de 2º grau é uma equação na forma ax² + bx + c = 0

Exemplos :3 x² - 2x + 4= 0 (Equação do tipo completa com a=3, b=-2, c=4)2x² -4 = 0 ( equação do tipo incompleta com a= 2, b=0 e c=-4)5x² - 10x = 0(a=5, b=-10, c=0)-6x²=0 (a=-6; b=0; c=0)a,b,c são números reais e a ≠ 0

Quais as raízes da equação X² -14x + 13 =0

• Lembrando que raízes são os números que ao serem substituído no valor da variável solucionam a equação, isto é fazem seu valor numérico ser igual ao valor que encontra-se após o sinal de igualdade.

• Aplicaremos o método de completar os quadrados.

Devemos inicialmente isolar o termo independente “c” no outro membro .

X² -14x = -13

Montaremos a figura x 7

X X² x 7x

7 7x x

Falta um quadrado para completar a figura, como os lados que faltam medem 7 unidades sua área será 49 unidades.

Observe o resultado

x 7

X X² 7x

7 7x 49

É só somar 49 unidades nos dois membros da equação

X² -14x + 49 = -13 + 49, obtemos:X² -14x + 49 = 36, na forma fatorada fica,( X - 7)²= 36, isolaremos X,X - 7 = X - 7 = ± 6

Como 36 possui duas raízes trabalharemos com as duas:

X’ - 7 = + 6 X" - 7 = -6X' = + 6 + 7 X" = -6 + 7X' = 13 X" = 1

S = { 1, 13}

Verificação: x = 13X² - 14x + 13 = 013² - 14. 13 + 13 = 169 - 182 + 13 = 0 O. K

Verificação: X= 1X² - 14x + 13 = 01² - 14. 1 + 13 = 1 - 14 + 13 = 0 O. K

Se ax² + bx + c = 0, devemos isolar a incógnita x em um dos membros da equação; para tal isolamos, incialmente, o termo independente no 2º membro da equação:ax² + bx = - c Dividindo os dois membros por “a” para que o coeficiente seja igual a 1 x² + = -

Obtemos a fórmula de Bhaskara, através do método achado

Devemos dividir o termo em x por dois e elevá-lo ao quadrado

X

X X² x

Somando o termo b²/4ª aos dois membros

x² + + = - Colocando o 1º membro na forma fatorada e calculando o

m.m.c. dos denominadores do 2º membro para obter frações de mesmo denominador

(X + )² = X + = X + =

Podemos simplificar a expressão desta forma

• X = - , que fica assim

• Esta é a forma geral da Fórmula de Bhaskara que apesar do nome não foi criada por ele.

Quais as raízes da equação X² -14x + 13 =0 ?

• a = 1, b= -14 e c = 13• = (-14)² - 4 . 1 . 13• = 196 – 52• = 144• x = • x’ = = 13 • x” = = 1 S = { 1, 13}

Quais as raízes de -6m² + 12m = 0 ?

• a = -6; b = 12; c = 0• = 12² - 4. (-6). 0 =144• m = = • m’ = = 0• m” = = • S = {0;2}

Quais as raízes de 5y² -125 = 0?

a = 5, b = 0 e c = -125 = 0² - 4. 5. (-125) = 2500Y = = y’ = y” = = -5S = {-5;5}

Exemplo prático: A temperatura em grau Celsius de um forno é regulada de modo que varie com o tempo t em minutos de acordo com a lei C = -

0,5t² + 15t + 400 . calcule o instante em que a temperatura alcançar 200 graus.

-0,5t² + 15t + 400 = 200-0,5t² + 15t + 200 = 0a = -0,5 ; b= 15; c= 200 = 15² - 4 . (-0,5) . 200225 + 400 = 625

t = t’ = = -10 (não convém, pois não tempo negativot” = 40Resposta: 40 minutos.

Observações

1. Se 0 então a equação possui duas raízes reais e diferentes, isto é, x’ x”

2. Se 0 então a equação possui apenas uma raiz, isto é, x’= x”

3. Se 0 então a equação não possui raiz real pois no conjunto dos números reais não é possível extrair raiz de número negativo e S =

Exercícios de Fixação

Determinar os conjuntos soluções das equações a seguir:a) X² -6x -7 = 0b) 5x² - 11x + 6 = 0c) 16y² - 8y + 1 = 0d) - 6x² - x + 1 = 0e) X² + 9 = 0

Respostas

a) S = {-1, 7}b) S = {-1; 6/5}c) S = { 1/4}d) S = øe) S = ø

Bibliografia

• Dante, L. R. Projeto Teláris Matemática, 9º ano. 1 edição. 1º impressão. Ed Ática. 2013. São Paulo-SP

• Spinelli, W. , Souza, M. H. S. de. Matemática oficina de conceitos, 8º série. 1º edição. 1º impressão. Ed. Ática. 2002. São Paulo-SP

• Souza, J. Pataro, P. M. Vontade de saber Matemática, 9º ano.• 1ª edição. 1º impressão. Ed. FTD.2009. São Paulo-SP