SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE DESPACHO HIDROTÉRMICO … · Cada usina possui uma faixa de operação...

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XLIX Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional Blumenau-SC, 27 a 30 de Agosto de 2017. SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE DESPACHO HIDROTÉRMICO DE MÉDIO PRAZO POR RELAXAÇÃO BASEADA EM MOMENTOS Franciele Cicconet, Katia Campos de Almeida Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Santa Catarina Campus Trindade, 88040-900, Florianópolis, SC e-mails: [email protected], [email protected] RESUMO Este artigo calcula o despacho ótimo de geração, num horizonte de médio prazo e em sistemas predominantemente hidrelétricos, através da resolução de um problema de programação estocástica de dois estágios, quadrático e com restrições quadráticas. A técnica de relaxação por programação semidefinida (PSD) baseada na teoria de momentos é utilizada para encontrar uma solução otimista para o problema. O artigo propõe o uso de restrições adicionais para melhorar o grau de factibilidade da solução otimista. Além disso, o artigo analisa a melhoria de desempenho da PSD através de re-escalonamento das variáveis do problema. São apresentados resultados obtidos para sistemas de até quatro usinas. PALAVRAS CHAVE. Programação Semidefinida, Despacho hidrotérmico de médio prazo. Tópicos: otimização aplicada a sistemas de energia, programação não linear, programação semidefinida. ABSTRACT This paper calculates the medium term power dispatch in predominantly hydro systems by solving a two-stage, quadratic, stochastic programming problem with quadratic constraints. Mo- ment relaxation is used to obtain optimistic solutions to such problem. The paper analyses the use of additional constraints to reduce the infeasibility of the relaxed solutions. It also investigates the impact of scaling on the quality of the SDP solutions. Results are presented for small test systems. KEYWORDS. Semidefinite programming, Medium term hydrothermal dispatch. Paper topics: optimization applied to power systems, nonlinear programming, semidefinite programming. 1. Introdução A produção de energia elétrica no Brasil é feita predominantemente por usinas hidrelé- tricas, muitas delas com grandes reservatórios e acopladas em cascata. Devido à presença desses reservatórios, e também da natureza estocástica das vazões afluentes, o planejamento da operação do sistema é feito com auxílio de programação dinâmica estocástica e considerando horizontes de longo prazo. Uma vez que possuem um elevado número de variáveis, os modelos de otimização usados no planejamento de longo prazo não representam detalhadamente o sistema, tornando ne- cessário o uso de outros modelos, com representação mais detalhada das interconexões das usinas hidrelétricas e da rede elétrica, para determinar o despacho ótimo de geração das usinas no hori- zonte de médio e curto prazo. Este trabalho analisa o uso da técnica de programação semidefinida (PSD) para obter a solução do modelo de otimização que representa o despacho ótimo de geração no horizonte de médio prazo.

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  • XLIX Simpsio Brasileiro de Pesquisa OperacionalBlumenau-SC, 27 a 30 de Agosto de 2017.

    SOLUO DO PROBLEMA DE DESPACHO HIDROTRMICO DEMDIO PRAZO POR RELAXAO BASEADA EM MOMENTOS

    Franciele Cicconet, Katia Campos de AlmeidaDepartamento de Engenharia Eltrica, Universidade Federal de Santa Catarina

    Campus Trindade, 88040-900, Florianpolis, SCe-mails: [email protected], [email protected]

    RESUMOEste artigo calcula o despacho timo de gerao, num horizonte de mdio prazo e em

    sistemas predominantemente hidreltricos, atravs da resoluo de um problema de programaoestocstica de dois estgios, quadrtico e com restries quadrticas. A tcnica de relaxao porprogramao semidefinida (PSD) baseada na teoria de momentos utilizada para encontrar umasoluo otimista para o problema. O artigo prope o uso de restries adicionais para melhorar ograu de factibilidade da soluo otimista. Alm disso, o artigo analisa a melhoria de desempenho daPSD atravs de re-escalonamento das variveis do problema. So apresentados resultados obtidospara sistemas de at quatro usinas.

    PALAVRAS CHAVE. Programao Semidefinida, Despacho hidrotrmico de mdio prazo.

    Tpicos: otimizao aplicada a sistemas de energia, programao no linear, programaosemidefinida.

    ABSTRACTThis paper calculates the medium term power dispatch in predominantly hydro systems

    by solving a two-stage, quadratic, stochastic programming problem with quadratic constraints. Mo-ment relaxation is used to obtain optimistic solutions to such problem. The paper analyses the useof additional constraints to reduce the infeasibility of the relaxed solutions. It also investigates theimpact of scaling on the quality of the SDP solutions. Results are presented for small test systems.

    KEYWORDS. Semidefinite programming, Medium term hydrothermal dispatch.

    Paper topics: optimization applied to power systems, nonlinear programming, semidefiniteprogramming.

    1. IntroduoA produo de energia eltrica no Brasil feita predominantemente por usinas hidrel-

    tricas, muitas delas com grandes reservatrios e acopladas em cascata. Devido presena dessesreservatrios, e tambm da natureza estocstica das vazes afluentes, o planejamento da operaodo sistema feito com auxlio de programao dinmica estocstica e considerando horizontes delongo prazo. Uma vez que possuem um elevado nmero de variveis, os modelos de otimizaousados no planejamento de longo prazo no representam detalhadamente o sistema, tornando ne-cessrio o uso de outros modelos, com representao mais detalhada das interconexes das usinashidreltricas e da rede eltrica, para determinar o despacho timo de gerao das usinas no hori-zonte de mdio e curto prazo. Este trabalho analisa o uso da tcnica de programao semidefinida(PSD) para obter a soluo do modelo de otimizao que representa o despacho timo de geraono horizonte de mdio prazo.

  • XLIX Simpsio Brasileiro de Pesquisa OperacionalBlumenau-SC, 27 a 30 de Agosto de 2017.

    As aplicaes de PSD em sistemas de potncia foram feitas na resoluo de problemasde fluxo de potncia timo [Molzahn e Hiskens, 2014], despacho de gerao com unit commitment[Madrigal e Quintana, 1999], estimao de estados [Zhu e Giannakis, 2011] e planejamento daoperao de sistemas hidrotrmicos [Fuentes-Loyola e Quintana, 2003], [Paredes et al., 2015], [Zhuet al., 2013]. Em [Fuentes-Loyola e Quintana, 2003] e [Paredes et al., 2015], a PSD usada pararesolver problemas inteiros mistos, que represetam o despacho timo de gerao considerando apossibilidade de ligar ou desligar unidades geradoras. Por outro lado, em [Zhu et al., 2013], supe-se que as unidades geradoras em operao sejam conhecidas e o despacho timo de gerao obtido resolvendo-se um problema contnuo, quadrtico com restries quadrticas. Os estudossobre despacho hidrotrmico foram feitos considerando-se um horizonte de curto prazo (entre ume sete dias). Portanto, os problemas de otimizao resolvidos so determinsticos.

    Embora tenha sido aplicada com sucesso para encontrar timos globais de diferentes pro-blemas, a relaxao via PSD ancontra ainda obstculos, sendo os mais importantes: a elevada di-menso do problema relaxado, o grau de infactibilidade das solues relaxadas, que pode prejudicaro ajuste de tais solues para solues timas, e o mal condicionamento numrico do problema re-laxado [Waki et al., 2006; Fampa et al., 2013]. Entre as estratgias propostas para reduzir algunsdesses obtculos esto a incluso de restries relevantes ao problema relaxado [Sherali e Tuncbi-lek, 1995; Fampa et al., 2013] e o re-escalonamento de variveis [Waki et al., 2006]. Este trabalhoanalisa a eficcia dessas duas estratgias quando aplicadas na resoluo do problema de despachotimo de usinas.

    Este artigo calcula o despacho timo de gerao, num horizonte de mdio prazo e em sis-temas predominantemente hidreltricos, pela resoluo de um problema de programao estocsticade dois estgios, quadrtico e com restries quadrticas. A tcnica de relaxao por programaosemidefinida baseada na teoria de momentos [Lasserre, 2001] utilizada para encontrar uma solu-o otimista para o problema. O artigo prope o uso de restries adicionais para melhorar o graude factibilidade da soluo otimista. Alm disso, o artigo analisa a melhoria de desempenho daPSD atravs de re-escalonamento das variveis do problema. So apresentados resultados obtidospara sistemas de at quatro usinas.2. Formulao do Problema

    O planejamento de mdio prazo de sistemas hidreltricos feito de forma centralizadapelo operador do sistema e determina o despacho das usinas disponveis com objetivo minimizar ocusto da gerao trmica no perodo considerado que, neste trabalho suposto igual a um ano. Umavez que, neste horizonte de estudo, h considervel incerteza sobre as vazes afluentes naturais dosrios, essas so consideradas variveis aleatrias e representadas por um conjunto de N cenrios,que so obtidos de sries histricas de vazes [ONS, 2017]. Cada cenrio possui probabilidade

    de ocorrncia, sendoN=1

    = 1.

    O horizonte de estudo discretizado em T perodos de tempo. Em cada perodo t e cenrio so determinadas: a potncia gerada, phi,t,, a vazo turbinada, qi,t, e vazo vertida ui,t,de cada usina i. Supe-se um sistema predominantemente hidreltrico, portanto, somente usinashidreltricas so representadas de forma individualizada. A carga no atendida pelas hidreltricas suprida por uma termeltrica equivalente que, no perodo t e cenrio fornece potncia igual aptt,. Considera-se um sistema com H usinas hidreltricas.

    Ao se considerar a aleatoriedade das vazes afluentes dos rios, para se obter o despachotimo das usinas no horizonte de mdio prazo, deve-se resolver um problema de programao es-tocstica de mltiplos estgios, cada estgio associado a um perodo do horizonte de planejamento.Neste trabalho esse problema simplificado para um problema estocstico de dois estgios, sendoque, no primeiro estgio, so tomadas decises referentes ao primeiro perodo de planejamento e,no segundo estgio, so tomadas decises referentes aos perodos t = 2, . . . , T . Assim, no primeiroperodo tem-se:

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    phi,1,1 = phi,1,2 = = phi,1,N ,qi,1,1 = qi,1,2 = = qi,1,N ,ui,1,1 = ui,1,2 = = ui,1,N ,pt1,1 = pt1,2 = = pt1,N .

    (1)

    O despacho das usinas minimiza o custo esperado de gerao trmica, representado por:

    fob =N=1

    Tt=1

    c2pt2t, + c1ptt, + c0, (2)

    onde c0, c1, c2 so constantes pr-especificadas.Desconsiderando os tempos gastos pela gua para percorrer as distncias entre as usinas

    numa cascata, as perdas por evaporao e/ou outras utilizaes para a gua, o balano hdrico emcada reservatrio i, no perodo t e cenrio expresso por:

    vi,t, = vi,t1, + h[ri,t, qi,t, ui,t, +mi

    (qm,t, + um,t,)], (3)

    onde, h o nmero de horas no perodo, ri,t, a vazo natural na usina e i o conjunto de usinasa montante da usina i.

    A potncia fornecida pela hidreltrica i, no perodo t e cenrio obtida a partir daenergia potencial da gua, sendo expressa por:

    phi,t, = g i hli,t, qi,t,, (4)

    onde g a constante de acelerao da gravidade, a densidade dgua, i o rendimento dogrupo turbina gerador da usina, considerado constante, e hli,t, a queda lquida da gua.

    Desprezando-se as perdas hli,t, igual diferena entre a altura a montante, hvi,t,, e aaltura a jusante da usina, hqi,t,:

    hli,t, = hvi,t, hqi,t,. (5)

    As alturas a montante e a jusante das usinas presentes no sistema eltrico nacional soexpressas por polinmios de at quinto grau. Neste artigo, no entanto, utiliza-se a representaopor polinmios de grau 1. Assim, a altura a montante da usina expressa por:

    hvi,t, = 0i + 1i vi,t,, (6)

    onde 0i e1i so constantes pr-calculadas e vi,t, o volume mdio do reservatrio, ou seja,

    vi,t, =vi,t1, + vi,t,

    2.

    Por outro lado, a altura a jusante representada por:

    hqi,t, = 0i + 1i(qi,t, + ui,t,), (7)

    sendo 0i , 1i constantes pr-calculadas.Substituindo (5)-(7) em (4), obtm-se a forma final da funo de produo da usina:

    phi,t, = k1iqi,t, k2iq2i,t, + k3i vi,t,qi,t, k4iqi,t,ui,t,, (8)

    sendo k1i , k2i , k3i e k4i constantes conhecidas.

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    O despacho das usinas deve tambm satisfazer o balano de potncia no sistema em cadaperodo t e cenrio , que expresso por:

    Hi=1

    phi,t, + ptt, = pdt, (9)

    onde pdt a demanda do sistema para cada perodo t. Deve-se observar que pdt a mesma emtodos os cenrios de vazo afluente, o que significa que a o grau de incerteza com que se conhece ademanda do sistema considerado pequeno em relao ao grau de incerteza com que so conhecidasas vazes afluentes nas usinas.

    Cada usina possui uma faixa de operao que depende de seus limites operacionais. Nodespacho de mdio prazo so considerados limites nas vazes turbinadas, vazes vertidas, volumesdos reservatrios e potncias geradas.

    Por fim, para levar em considerao as condies impostas pelo planejamento de longoprazo, impe-se que os volumes dos reservatrios no ltimo perodo sejam maiores ou iguais a umvalor pr-especificado:

    vi,T, vespi , i, . (10)

    O problema de despacho representado em termos das variveis qi,t,, ui,t,, vi,t, e ptt,.Alm disso, (1) usada para reduzir o nmero de variveis do problema. Para

    g1t, =

    Hi=1

    (k1iqi,t, k2iq2i,t, + k3i vi,t,qi,t, k4iqi,t,ui,t,) + ptt,,

    g2i,t, = vi,t, +

    t1=1

    (qi,, + ui,,) +1

    2(qi,t, + ui,t,)

    t1=1

    ki

    (qk,, + uk,,)

    12ki

    (qk,, + uk,,),

    g3i,t, = vi,t, +12 [qi,t, ui,t, +

    mi

    (qm,t, + um,t,)],

    g4i,t, = k1iqi,t, k2iq2i,t, + k3i vi,t,qi,t, k4iqi,t,ui,t,,

    g5i, = vi,T, +12 [qi,T, ui,T, +

    mi

    (qm,T, + um,T,)] +1

    2ri,T,,

    (11)o problema final expresso:

    min fob =N=1

    Tt=1

    c2pt2t, + c1ptt, + c0,

    sujeito ag1t, = pdt,

    g2i,t, = vi,0 +t1=1

    (ri,,) +1

    2ri,t,,

    vmini 12ri,t, g3i,t, vmaxi 12ri,t,,

    phmini g4i,t, phmaxi ,g5i, vespi ,

    0 qi,t, qmaxi ,0 ui,t, umaxi ,0 ptt, ptmax,

    (12)

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    para i = 1, ...,H , t = 1, ..., T , = 1, ..., N e, alm disso, qi,1,, ui,1,, vi,1, e pt1, quesatisfazem (1) i, . Os superescritos min e max indicam limites mnimos e mximos para asvariveis.

    O nmero de variveis do problema (12) igual a n = (3H + 1)TN (HN 1).Deve-se observar que foi imposto um limite mximo vazo vertida para possibilitar uma boaaproximao do problema via PSD.

    3. Relaxao Semidefinida Baseada em MomentosAtravs de uma mudana de variveis, a PSD representa um problema polinomial em um

    novo espao de maior dimenso, sendo expresso em termos de variveis de elevao. Usando a teo-ria de momentos, Lasserre demonstra que uma soluo otimista para um problema restrito pode serobtida atravs de PSD [Lasserre, 2001]. Neste caso, a aproximao via PSD feita representando-se as restries do problema atravs de matrizes de diferentes ordens, que dependem dos graus dospolinmios das restries.

    Considere o problema polinomial expresso em funo do vetor x = (x1, ..., xn)>:

    min f(x)s. a gi(x) 0, i = 1, ..., r

    (13)

    tendo f(x) grau 2d e gi(x) grau i. A soluo tima desse problema denominada x.Uma vez que f possui grau 2d e n variveis, esta funo pode ser expressa f(x) =

    fx, sendo f coeficientes da funo e x = x11 x

    22 ....x

    nn , com

    i i o vetor de todos os

    (n+dd

    )monmios

    em x1, . . . , xn com grau menor ou igual a d. Alm disso, seja X = xx>. Observa-se que f(x) podeser expressa em funo dos elementos de X. Supondo que i 2d, o mesmo ocorre com a restriogi. Defina o vetor de variveis de elevao y = {y} com y0,...,0 = 1 e y1,2,...,n = x

    11 x

    22 ...x

    nn .

    O problema PSD expresso em funo de y.Seja Md(y) a matriz de momentos de ordem d. Md(y) obtida substituindo-se os mon-

    mios presentes em X pelos elementos correspondentes de y. A funo objetivo de (13) expressaem termos de y escrita como Ly{f} =

    fy. Cada restrio gi(x) expressa em funo de

    y via uma matriz de localizao. Supondo que a matriz de localizao tenha ordem d, para obtera restrio do problema PSD, cada monmio de gi(x) multiplicado por X e a matriz resultante expressa em funo de y. A nova restrio escrita como Md{(gi)y}.

    Uma soluo relaxada de (13) pode ser obtida resolvendo-se o seguinte problema PSD[Lasserre, 2001]:

    miny

    fys. a MNi{(gi)y} 0, i = 1, ..., r,

    MN (y), 0(14)

    sendo i = di/2e, N dde e N maxi i.O valor timo da funo objetivo do problema (14), fN , ser sempre inferior a f(x

    ). Noentanto, fN f(x) quando N .

    4. Problema de Despacho timo de Mdio Prazo RelaxadoO problema (12) possui funo objetivo de grau 2 e restries de at grau 2. Portanto,

    uma soluo otimista pode ser otida para este problema empregando-se relaxao de ordem N 1. Neste trabalho, adota-se N = 1, o que significa que todas as matrizes de localizao sode ordem zero, ou ainda, M0 = [1]. Assim, sendo gi uma restrio do problema, a condioMNi{(gi)y} 0 se simplifica para {(gi)y} 0. Portanto, o problema relaxado tem um con-junto de restries lineares em y e somente uma restrio de matricial (M1(y) 0).

    O vetor de variveis do problema de despacho timo associadas a cada cenrio :

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    x = [q1,1,, . . . , qH,1,, . . . , q1,T,, . . . , qH,T,, u1,1,, . . . , uH,1,, . . . , u1,T,, . . . , uH,T,,

    v1,1,, . . . , vH,1,, . . . , v1,T,, . . . , vH,T,, pt1,, pt2,, . . . , ptT,]>

    (15)e o vetor completo de variveis

    x = [1,x>1 ,x>2 , . . . ,x

    >N ]>. (16)

    Uma soluo otimista para (12) obtida resolvendo-se o seguinte problema PSD:

    miny

    Ly{fob}

    sujeito a{(g1t, pdt)y} = 0, t, ,

    {(g2i,t, vi,0 t1=1

    (ri,,)1

    2ri,t,)y} = 0, i, t, ,

    {(g3i,t, vmini + 12ri,t,)y} 0, i, t, ,{(vmaxi 12ri,t, g3i,t,)y} 0, i, t, ,{(g4i,t, phmini )y} 0, i, t, ,{(phmaxi g4i,t,)y} 0, i, t, ,{(g5i, vspi )y} 0, i, ,{(qi,t, qmini )y} 0, i, t, ,{(qmaxi qi,t,)y} 0, i, t, ,{(ui,t, umini )y} 0, i, t, ,{(umaxi ui,t,)y} 0, i, t, ,{(ptt, ptmini )y} 0, t, ,{(ptmaxi ptt,)y} 0, t, ,M1(y) 0,

    (17)

    onde M1 obtida de X = x x>. A soluo deste problema denominada y

    O nmero de variveis de (17) igual a(n+ 2

    2

    ) 1. Portanto, este problema se torna

    extremamente grande quando o nmero de usinas hidreltricas e cenrios aumenta.Um timo global de (12) encontrado se, na soluo de (17), posto(M1) = 1. Se,

    por outro lado, posto(M1) > 1, a soluo relaxada otimista para o problema de planejamento[Blekherman et al., 2013]. Uma soluo menos otimista pode ser obtida aumentando a ordem darelaxao, o que eleva ainda mais a dimenso do problema PSD.

    4.1. Restries ComplementaresA programao semidefinida apresenta a caracterstica de elevar o espao de soluo de

    um problema. No entanto, ao fazer isso, nem sempre mantm as caractersticas fsicas do problema.Uma forma de melhorar os resultados obtidos pela PSD incluir restries adicionais ao problemarelaxado. As restries adicionais usadas para melhorar a qualidade da soluo relaxada so detrs tipos: limites nas variveis de elevao, restries lineares em termos de variveis associadas mesma usina, ao mesmo perodo e cenrio, e restries lineares em termos de variveis de usinase perodos distintos. Essas restries so indicadas em (18). Deve-se observar que muitas soexpressas em termos do parmetro > 0, que deve ser ajustado de forma emprica para cadasistema teste.

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    Para todo i, t, :{ [q2i,t,]y } 0,{ [q2i,t, + (qimax)2]y } 0,{ [u2i,t,]y } 0,{ [u2i,t, + (uimax)2]y } 0,{ [qi,t,ui,t,]y } 0,{ [qi,t,ui,t, + qimaxuimax]y } 0,{ [qi,t, vi,t,]y } 0,{ [qi,t, vi,t, + qimaxvimax]y } 0,{ [qi,t,ptt,]y } 0,{ [qi,t,ptt, + qimaxptmax]y } 0,{ [ui,t, vi,t,]y } 0,{ [ui,t, vi,t, + uimaxvimax]y } 0,{ [ui,t,ptt,]y } 0,{ [ui,t,ptt, + uimaxptmax]y } 0,{ [v2i,t, (vimax)2]y } 0,{ [v2i,t, + (vimax)2]y } 0,

    { [qi,t,(qi,t, + qimax)]y } 0,{ [ui,t,(qi,t, + qimax)]y } 0,

    { [vi,t,(qi,t, + qimax)]y } 0,{ [ptt,(qi,t, + qimax)]y } 0,{ [ui,t,(ui,t, + uimax)]y } 0,{ [vi,t,(ui,t, + uimax)]y } 0,{ [ptt,(ui,t, + uimax)]y } 0,{ [(qi,t, + qimax)2]y } 0,{ [(ui,t, + uimax)2]y } 0,

    { [vi,t,(gvi,t, + vmaxi )]y } 0,{ [qi,t,(gvi,t, + vmaxi )]y } 0,{ [ui,t,(gvi,t, + vmaxi )]y } 0,{ [vi,t,(gvi,t, vmini )]y } 0,{ [qi,t,(gvi,t, vmini )]y } 0,{ [ui,t,(gvi,t, vmini )]y } 0.

    Para todo t, :

    { [pt2t,]y } 0,{ [pt2t, + (pttmax)2]y } 0,{ [ptt,(ptt, + pttmax)]y } 0,{ [(ptt, + pttmax)2]y } 0.

    (18)

    4.2. ImplementaoEm sistemas onde existem usinas com grandes reservatrios em rios com vazes afluentes

    elevadas, problemas numricos pode prejudicar a convergncia da PSD. Isso ocorre porque algunscomponentes do vetor y, que correspondem a monmios presentes na funo de produo (8), ad-quirem valores muito elevados. Para solucionar este problema, foi implementado um modelo PSDno qual vazes afluentes, turbinadas e vertidas so representadas em 100hm3/h e os volumes dosreservatrios em 100hm3, e no em hm3/h e hm3, como feito no problema de despacho origi-nal. Isso diminuiu a diferena numrica entre os valores das variveis utilizadas no problema. Ore-escalonamento das variveis do problema facilita a convergncia do mtodo de pontos interiores,que empregado na resoluo do problema PSD.

    Uma vez que a soluo do problema PSD usualmente otimista para (12), uma soluofactvel precisa ser recuperada a partir de y. A recuperao da soluo tima pode ser encaradacomo um problema independente, que foi resolvido usando trs estratgias diferentes.

    A primeira estratgia se baseia no fato que y sempre factvel para as restries linearesde (12). Assim, os valores timos de vi,t,, qi,t, e ui,t,, i, t, so obtidos diretamente de y eso usados para calcular vi,t,, a partir das equaes de balano hdrico, e phi,t,, a partir de (8).Por fim, a gerao termeltrica calculada a partir das equaes de balano de potncia.

    A segunda estratgia baseada na decomposio espectral de M1(y) [Luo et al., 2010].Uma aproximao de posto r para M1(y) pode ser obtida pela expresso:

    Mr1 =r

    k=1

    jj>j . (19)

    onde 1 2 ... r > 0 so autovalores de M1(y) e 1, 2, ..., r os respectivos autovetores.Portanto, M11 = 11

    >1 possui posto igual a 1. Assim, uma estimativa de soluo para o problema

    so componentes da matriz M11. Caso essa estimativa, x+, seja factvel, ela um timo global do

    problema (12). Caso contrrio, uma soluo factvel recuperada a partir de x+ resolvendo-se o

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    seguinte problema:min F = 12

    ni=1(xi x

    +i )

    2

    sujeito a restries de (12).(20)

    Na terceira estratgia, o despacho timo de gerao tambm obtido por mnimos des-vios quadrticos. No entanto, em (20) utiliza-se como referncia os componentes da soluo doproblema PSD, y.

    5. ResultadosResultados foram obtidos para a usina hidreltrica de Furnas operando isoladamente, um

    sistema com duas usinas e um sistema com 4 usinas da Regio Sudeste do Brasil. A topologia dossistemas apresentada na Figura ?? e os dados das usinas nas tabelas 1, 2 e 3. Os perfis de cargados sistemas so indicados na Figura 1.

    Os resultados dos modelos relaxados de PSD foram obtidos utilizando o solver SeDuMi(Self-Dual-Minimization) [Sturm, 2001]. Para validar os resultados obtidos pela PSD, foi imple-mentado o modelo de despacho timo de mdio prazo na plataforma GAMS (General AlgebraicModeling System) [Rosenthal, 2012]. O GAMS possui um conjunto de solvers para diversos tiposde problemas. Neste artigo utilizado o solver CONOPT, que possui convergncia local [Drud,2012]. Toda a implementao foi feita em ambiente MATLAB.

    0201

    03

    04

    01: A. Vermelha02: Capivara03: I. Solteira04: JupiHS2

    HS4

    R. G

    rand

    eR.

    Par

    an

    R. P

    aran

    apan

    ema

    R. P

    aran

    (a)

    1 2 3 4 5 63000

    3500

    4000

    4500

    Perodo

    Car

    ga (M

    W)

    Carga HS2

    1 2 3 4 5 6600

    800

    1000

    1200

    1400

    Perodo

    Car

    ga (M

    W)

    Carga Furnas

    1 2 3 4 5 65000

    5200

    5400

    5600

    5800

    Perodo

    Car

    ga (M

    W)

    Carga CESP

    (b)

    Figura 1: (a) Topologia do Sistema, (b) Perfil de Carga: Furnas, SH2 e HS4

    Tabela 1: Dados das UsinasUsina qmin qmax vmin vmax v0 phmin phmax

    (hm3/h) (hm3/h) (hm3) (hm3) (hm3) (MW ) (MW )A. Verm. 0 10,519 5856 11025 7000 0 1380

    Capiv. 0 6,278 4816 10540 7000 0 640I. Solt. 0 31,824 8232 21060 12000 0 3240Jupi 0 27,367 2450 3680 2700 0 1411

    Furnas 0 5,4821 5733 22950 22950 0 1272

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    Tabela 2: Constantes da Funes de ProduoUsina (g) 0 1 0 1

    (MW/m hm3/h) (m) (m/hm3) (m) (m/hm3)A. Verm. 0, 0245 3, 218 102 5, 0 103 3, 23123 102 0, 1648 105

    Capiv. 0, 0232 2, 5195 102 7, 2 103 2, 83463 102 0, 4710 105I. Solt. 0, 0245 2, 9392 102 1, 0 103 2, 7294 102 0Jupi. 0, 0243 2, 756 102 0 2, 54329 102 0, 2083 104

    Tabela 3: Dados - TrmicaUsina ptmax (MW ) c0 ($) c1 ($/MWh) c2 ($/(MW )2h)

    Trmica mx. pdt 230 7.48 1,68 103

    Os resultados para a usina de Furnas e o sistema HS2 foram obtidos considerando trscenrios de vazes afluentes, correspondendo aos anos de 1953 (vazes baixas), 1933 (vazes m-dias) e 1984 (vazes altas); nas simulaes com o sistema HS4 foram usados apenas dois cenriosde vazes (baixas e mdias) ONS [2017]. O horizonte de planejamento foi dividido em 6 perodosbimestrais, sendo iniciado no ms de maio.

    5.1. Impacto das Restries AdicionaisOs estudo realizados indicaram a importncia de se incluir no problema relaxado as res-

    tries adicionais (18). Isso observado na Figura 2, que indica o despacho timo da usina deFurnas. Em (a) so apresentados os valores de despacho obtidos pelo CONOPT, em (b) a soluodo problema PSD foi obtida sem a incluso das restries (18). Observa-se que tal soluo ex-tremamente otimista no que tange gerao hidreltrica; em (c) observa-se a reduo da geraohidreltrica quando as restries adicionais so includas no problema PSD, sendo a nova soluorelaxada mais prxima da soluo do problema original indicada em (a).

    1 2 3 4 5 60

    200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    1400

    Pot

    ncia

    Ger

    ada

    (MW

    )

    fobj = 4.09 107 $

    Perodo

    (a)

    1 2 3 4 5 60

    200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    1400

    Pot

    ncia

    Ger

    ada

    (MW

    )

    fobj = 1.36 106 $

    Perodo

    (b)

    1 2 3 4 5 60

    200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    1400

    Pot

    ncia

    Ger

    ada

    (MW

    )

    fobj = 3,70 106 $

    Perodo

    FurnasTrmica

    (c)

    Figura 2: Furnas: (a) CONOPT, (b) Otimista sem restries adicionais e (c) Otimista com restries.

    5.2. Solues Relaxadas e Solues RecuperadasNa Tabela 4 so indicados os custos esperados das melhores solues obtidas pelo CO-

    NOPT, das solues relaxadas do modelo PSD original (PSDO), formulado com as variveis asso-ciadas s usinas hidreltricas expressas em hm3/h e hm3, e do modelo escalonado (PSDE), for-mulado com variveis expressas em 100hm3/h e 100hm3. As restries (18) foram includas nosmodelos. As solues obtidas por PSD so sempre factveis para as restries de balano hdricoe limites das usinas (restries lineares) No entanto, ocorrem diferenas entre os valores otimistasdas geraes hidreltrica, photimi,t, , obtidos usando as componentes de y

    associadas s variveis doproblema original e tambm os monmios q2i,t,, qi,t,ui,t, e qi,t,vi,t,, e a gerao hidreltrica,calculada a partir da funo no linear (8), que obtida pela primeira estratgia de recuperao,

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    phRec1i,t, . Assim, em cada perodo t e cenrio tal diferena pt, =Hi=1

    [photimi,t, phRec1i,t, ].

    Considerando todos os perodos e cenrios tem-se um vetor de diferenas, p.

    Tabela 4: Custos Esperados das Solues ObtidasSistema CONOPT SDPO SDPE

    Custo ($) p (MW) Custo ($) p (MW)Furnas 4, 14 107 3, 70 107 0, 72 3, 73 107 0, 75HS2 9, 22 107 6, 06 107 1027 6, 43 107 1035HS4 1, 06 108 5, 60 107 1269 6, 65 107 1268

    Analisando os resultados da Tabela 4 observa-se que, medida que o nmero de usinasaumenta, aumentam as diferenas entre os custos das solues obtidas pelo CONOPT e os cus-tos das solues relaxadas. Alm disso aumentam os valores de pt,. Nota-se tambm que ore-escalonamento das variveis fez com que as solues otimistas tenham custos esperados maisprximos dos custos das solues obtidas pelo CONOPT, embora os valores de p sejammaiores nesse caso.

    Em todos os casos simulados h necessidade de recuperar as solues timas do problemade despacho a partir das solues otimistas. A Tabela 5 indica os custos esperados das soluestimas recuperadas para os sistemas teste atravs das trs estratgias propostas, Rec.1, Rec.2 eRec.3. Observa-se que em todos os casos a primeira estratgia obteve os melhores resultados.

    Tabela 5: Custos Totais das Solues RecuperadasSistema Custos ($) - SDPO Custos ($) - SDPE

    Rec.1 Rec.2 Rec.3 Rec.1 Rec.2 Rec. 3Furnas 4, 10 107 5, 03 107 4, 90 107 4, 11 107 6, 13 107 4, 95 107

    HS2 1, 12 108 1, 28 108 1, 20 108 1, 16 108 1, 86 108 1, 23 108

    HS4 1, 36 108 1, 42 108 1, 32 108 1, 43 108 2, 02 108 1, 54 108

    6. Anlise dos Resultados Obtidos para o Sistema HS4Os valores esperados das vazes turbinadas, vazes vertidas e volumes dos reservatrios

    no perodo de planejamento obtidos pelo CONOPT so indicados na Figura 3(a). Pode se observarque as usinas com reservatrio operam com armazenamento mximo em quase todos os perodos eque somente h vertimento na usina de Jupi. Na Figura 3(b) so indicados os valores obtidos pelomodelo SDPE, que so factveis para todas as restries lineares do problema (12). Nota-se que,na soluo do modelo SDPE, as vazes turbinadas por gua Vermelha, Capivara e Ilha Solteira somenores do que as obtidas pelo CONOPT. Alm disso, h vertimento em Ilha Solteira e variaesnos volumes de gua armazenada nos reservatrios durante o perodo de planejamento. As soluesobtidas so, portanto, muito distintas.

    Na Figura 4(a) so indicados os valores esperados das potncias geradas obtidos pelo CO-NOPT. Pode-se notar que, no perodos 3 e 4, com cargas mais baixas (Figura 1), as hidreltricasgeram menos do que nos demais perodos. Na Figura 4(b) so indicados os valores otimistas daspotncias geradas, obtidos na soluo do modelo SDPE. Nessa soluo observa-se claramente a ele-vada gerao de Capivara, uma maior gerao de gua Vermelha e, consequentemente uma menorgerao trmica. interessante notar que, apesar de se ter maiores geraes em Capivara e guaVermelha, elas no so acompanhadas de maiores vazes turbinadas (Figura 3(b)). Este fato indicaque a soluo do modelo SDPE otimista. Por fim, na Figura 4(c) so representados os valoresesperados de gerao na soluo recuperada. Nessa soluo, as potncias geradas por Capivara e

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    1 2 3 4 5 60

    5

    10

    15

    20

    25

    30Va

    zo

    turb

    inad

    a (h

    m3 /h

    )

    Perodo1 2 3 4 5 6

    0

    5

    10

    15

    20

    Vaz

    o Ve

    rtida

    (hm3

    /h)

    Perodo1 2 3 4 5 6

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5x 104

    Perodo

    Volu

    me

    Arm

    azen

    ado(

    hm3 )

    (a)

    1 2 3 4 5 60

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    Vaz

    o tu

    rbin

    ada

    (hm

    3 /h)

    Perodo1 2 3 4 5 6

    0

    5

    10

    15Va

    zo

    Verti

    da (h

    m3/h

    )

    Perodo1 2 3 4 5 6

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5x 104

    Perodo

    Volu

    me

    Arm

    azen

    ado(

    hm3 )

    A.Vermelha Capivara I.Solteira Jupi

    (b)

    Figura 3: Vazes Turbinadas e Vertidas e Volumes Armazenados: (a) CONOPT, (b) SDPE Rec. 1

    1 2 3 4 5 60

    1000

    2000

    3000

    4000

    5000

    6000

    Pot

    ncia

    Ger

    ada

    (MW

    )

    Perodo1 2 3 4 5 6

    0

    1000

    2000

    3000

    4000

    5000

    6000

    Pot

    ncia

    Ger

    ada

    (MW

    )

    Perodo1 2 3 4 5 6

    0

    1000

    2000

    3000

    4000

    5000

    6000

    Pot

    ncia

    Ger

    ada

    (MW

    )

    Perodo

    A.Verm. Capivara I.Solteira Jupi Trmica

    Figura 4: Gerao: (a) CONOPT, (b) SDPS Otimista, (c) SDPS Rec. 1

    gua Vermelha so inferiores s que aparecem na soluo otimista, o que leva ao aumento da gera-o trmica. Na soluo recuperada a participao da usina trmica menor nos perodos de cargamais baixa e maior nos perodos de carga elevada, ou seja, a soluo recuperada no modula aproduo das usinas hidreltricas de forma a minimizar a gerao trmica. Consequentemente, ocusto esperado da soluo recuperada (Tabela 5) maior do que o custo da soluo obtida peloCONOPT (Tabela 4).

    7. ConclusoA PSD sempre obtm solues otimistas, o que significa que solues factveis para o es-

    pao original devem ser recuperadas. A utilizao de matrizes de momento e localizao de ordensmaiores tende a melhorar a qualidade destas solues obtidas. No entanto, o esforo computacionalse torna proibitivo, mesmo para sistemas pequenos. Assim, considerando as limitaes da relaxa-o de ordem 1 utilizada neste artigo, a forma encontrada para melhorar a soluo foi introduzirrestries adicionais ao problema com o objetivo de limitar o valor dos monmios e ainda utilizartcnicas de escalonamento para diminuir o erro numrico causado pelo desbalano nas magnitu-

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    des das variveis. Embora essas tcnicas tenham auxiliado na obteno de solues relaxadas maisproximas do timo global do problema, h ainda a necessidade de recuperao da soluo relaxadapara que atenda as restries no espao original do problema. Trs formas de recuperao foramtestadas, no entanto, devem ser exploradas novas tcnicas que permitam a obteno de melhoressolues factveis. Embora a PSD tenha sido aplicada com sucesso a sistemas de pequeno porte,sua aplicao a sistemas maiores depende do uso de tcnicas de esparsidade.RefernciasBlekherman, G., Parrilo, P. A., e Thomas, R. R. (2013). Semidefinite optimization and convex

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