Soluções dos exercíciosMAT0124 - Cálculo Diferencial e Integral I

UFRGS

Professor Jaime Ripoll

January 3, 2013

Exercício 1 Faça um esboço do que poderia ser o grá�co da função receitaem termos do preço

Solução:

p

R

Exercício 2 Como no caso da função receita, faça possíveis esboços de grá-�cos da função lucro em termos da quantidade e do preço.

1

Solução:

p

L

q

L

Exercício 3 Um vendedor compra certa mercadoria ao preço unitário deR$150; 00 e vende cada unidade a R$250; 00:a) Encontre uma fórmula analítica que expresse o custo diário C em

função da quantidade comprada qb) Expresse a receita diária R em função da quantidade vendida, que se

supõe igual à quantidade compradac) Obtenha uma fórmula para a função lucro L em termo da quantidade

q

Solução:a) C(q) = 150q; b) R(q) = 250q c) L = 100q

Exercício 4 Em relação ao problema anterior, suponha agora, em uma ver-são mais realista, que o vendedor consiga vender 80% da quantidade quecompra (isto em média, mas vamos supor esta porcentagem �xa) e que aindagaste R$30; 00 em combustível (suponha que o vendedor seja ambulante).Obtenha a fórmula para a função lucro L nestas circunstâncias.

Solução:

L(q) =80

100250q � 150q � 30 = 50q � 30

Exercício 5 A diária de um quarto em um certo hotel é de R$50; 00: O donodo hotel, para atrair mais clientes, bolou a seguinte promoção: a cada quartoadicional alugado por um dado grupo, o hotel dá um desconto de R$3; 00

2

na diária. Assim, se um grupo usa apenas um quarto ele paga 50 reais dediária, se usa dois quartos ele gasta 2�47 reais; se usa três quartos ele gasta3� 44 reais: Obtenha uma fórmula analítica que representa o lucro do hotelem termos do número n de um grupo de hóspedes.

Solução: L(n) = n(53� 3n)

Exercício 6 Uma pessoa coloca um capital a uma certa taxa de juros simplesao mês. Modele matematicamente este fenômeno determinando uma fórmulaque forneça o capital obtido (dito montante) em termos do número (variável)de meses de aplicação do capital.

Solução:M : montantei: taxa de juros (em porcentagem)C: capitaln: número de meses de aplicação do capital

M = C

�1 +

in

100

�Exercício 7 As funções envolvidas neste exercício, de natureza puramentematemática, tem o objetivo ilustrar como as fórmulas analíticas aparecem emcontextos matemáticos familiares a um estudante do Ensino Médio.Veri�que que as funções abaixo admitem fórmulas analíticas, escrevendo

explicitamente estas fórmulas:a) a função que a cada real x associa o quadrado da distância do ponto

(x; 1) ao ponto (�2; 3) no plano cartesiano.b) a função que a cada real r (variável r) associa o décimo quinto termo

da PA cujo primeiro termo é �10000 e a razão é rc) a função que a cada real r associa a soma dos 15 primeiros termos da

PA de razão r cujo primeiro termo é �1d) a função que a cada real z associa a soma dos 10 primeiros termos de

uma PG cujo primeiro termo vale 5 e a razão z

Solução:a)

f(x) = (x+ 2)2 + (1� 3)2 = x2 + 4x+ 8

3

b)t(r) = �1 + 14r

c)

S(r) =(�1 +�1 + 14r)15

2= 105r � 1

d)

S(z) =5 (z11 � 1)z � 1

Exercício 8 Usando truncados da fórmula polinomial in�nita para a funçãoseno determine valores aproximados para sen 3:4

Solução: Temos

sen x = x� x3

6+x5

120� x7

5040+

x9

362880� x11

39916800+

x13

6227 020 800� :::

Usando os truncados com 6 e 7 parcelas, obtemos:

sen 3:4 ' 3:4� (3:4)3

6+(3:4)5

120� (3:4)

7

5040+(3:4)9

362880� (3:4)11

39916800' �0:25678

sen 3:4 ' 3:4�(3:4)3

6+(3:4)5

120�(3:4)

7

5040+(3:4)9

362880� (3:4)11

39916800+

(3:4)13

6227 020 800' �0:25547

Exercício 9 Sabendo que a função cosseno admite a fórmula polinomial in-�nita:

cosx = 1� x2

2+x4

24� x6

720+

x8

40 320� x10

3628 800+ :::

obtenha valores aproximados para cos 1:3 e cos 2:5:

Solução: Usandos os truncados com 5 e 6 parcelas:

cos 1:3 = 1� (1:3)2

2+(1:3)4

24� (1:3)

6

720+(1:3)8

40 320' 0:2675

cos 1:3 = 1� (1:3)2

2+(1:3)4

24� (1:3)

6

720+(1:3)8

40 320� (1:3)10

3628 800' 0:267 50

cos 2:5 = 1� (2:5)2

2+(2:5)4

24� (2:5)

6

720+(2:5)8

40 320' �0:79864

cos 2:5 = 1� (2:5)2

2+(2:5)4

24� (2:5)

6

720+(2:5)8

40 320� (2:5)10

3628 800' �0:80126

4

Exercício 10 Sabendo que

p1 + x = 1+

1

2x�18x2+

1

16x3� 5

128x4+

7

256x5� 21

1024x6+

33

2048x7� 429

32 768x8+:::

obtenha valores aproximados parap2

Solução: Usando o truncado com 9 parcelas

p2 =

p1 + 1 ' 1+ 1

2� 18+1

16� 5

128+7

256� 21

1024+33

2048� 429

32 768' 1:4083:

Exercício 11 Qual a porcentagem mínima do que compra tem o vendedordo Exercício 4 comercializar (vender) para que tenha algum lucro.

Solução:Denominando por p a porcentagem aludida no problema temos

L(q) =p

100250q � 150q � 30 = (2; 5p� 150) q � 30:

Devemos ter 2; 5p � 150 > 0 e o menor lucro ocorre quando q = 1; quandoentão ele vale 2; 5p� 150� 30: O lucro será positivo se 2; 5p� 150� 30 > 0;ou seja,

p >180

2:5= 72:

Conclusão: qualquer porcentagem maior do que 72% que o vendedor comer-cializar do que compra lhe dará algum lucro.

Exercício 12 Será que esta é a promoção inventada pelo dono do hotel noExercício 5 é boa para o hotel? A resposta não é simplesmente �sim ou não�.Analise.

Solução:O lucro do hotel como função do número n de quartos utilizados por um

dado grupo é L(n) = n(53 � 3n): Esta é uma função quadrática que atingeseu valor máximo para

n0 =�53

2� (�3) = 8: 833:::

Concluímos que o lucro do hotel será máximo com grupos alugando 9 quartos.O lucro com tais grupos será L = 9(53�3�9) = 234: Note que L(8) = 232 .

5

Com esta fórmula para o lucro vemos também que se o grupo for grandeo hotel terá prejuízo. Precisamente: 53� 3n = 0; n = 53=3 = 17:66::: Assim,se um grupo ocupar 18 ou mais quartos o hotel terá prejuízo.Conclusão: para ter uma garantia que esta seja uma boa promoção o

hotel deve oferece-la a grupos que ocupem não mais que um certo númerode quartos, por exemplo, 12 ou 13; mas o ideal sendo 9: Jamais um númerosuperior a 17:

Exercício 13 Use a fórmula que Você obteve no item a) do Exercício 7 paradeterminar o ponto da sobre a reta de equação y = 1 que está mais próximodo ponto (�2; 3)

Solução: (�2; 4)

Exercício 14a) Trace o grá�co da receita para valores de q em um intervalo que tenha

signi�cado práticob) obter a quantidade que comercializada resulta na maior receita.

Solução:a) Conforme a apostila, tem-se

R(q) = �0:025291q2 + 4:320 4q:

As quantidades signi�cativas são aquelas em que a receita é positiva. Paradeterminá-las, resolvemos a equação R(q) = 0; ou seja

R(q) = �0:025291q2 + 4:3204q = 0;

que tem como soluções q1 = 0 e q2 = 170:83: Concluímos que as quantidadescom signi�cado prático estão no intervalo aberto (0; 170:83): O grá�co dafunção receita é:

6

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

50

100

150

q

R

b) A quantidade que dá a maior receita é a abscissa do vértice da parábolaque é grá�co da função receita:

qm =�b2a=

�4:32042��0:025291 = 85:414:

Exercício 15a) Veri�que que a receita marginal Rmg(q) é modelada linearmente, ob-

tendo uma fórmula simpli�cada para Rmg(q):b) Determine qual a quantidade em que a receita marginal é zero

Solução:a)

Rmg(q) = R(q + 1)�R(q)= 4:320 4q � 2:529 1� 10�2 (q + 1)2 + 4: 320 4�

�4: 320 4q � 2: 529 1� 10�2q2

�= 4:295 1� 5:058 2� 10�2q

b) Rmg(q) = 0 quando

4:295 1� 5:058 2� 10�2q = 0

que tem como soluçãoq = 84:914:

7

Exercício 16 Calcule a elasticidade receita preço do exemplo anterior parap = 3:1a) Explique porque a elasticidade receita preço é sempre positiva para

preços menores do que R$2:138 e negativa para preços maiores do que R$ =2:16b) Determine uma fórmula simpli�cada para a elasticidade receita preço

e(p)

Solução:

e(3:1) =100 (R(1:01� 3:1)�R(3:1))

R(3:1)' �1:565

a) a elasticidade receita preço é positiva para preços menores do queR$2:138 por que ela é uma função crescente nos preços abaixo deste valor,sendo a elasticidade negativa para preços maiores do que R$ = 2:16 pois areceita é uma função decrescente para preços maiores do que R$2:16:b)

e(q) =100 (R(1:01q)�R(q))

R(q)=7:2621� 105q � 6:172� 1073:613� 105q � 6:172� 107

OBS: uso um programa matemático que simpli�ca valores numéricos de umaforma especial. Portanto, é bem possível, de fato provável, que a expressãoque voces obtiveram não coincida com a acima.

Exercício 17 Comprove que sempre que a demanda é modelada linearmentea demanda marginal é constante.

Solução: Supondo D(p) = ap+ b obtemos

Dmg(p) = D(p+ 1)�D(p)= a(p+ 1) + b� (ap+ b)= a

de modo que a demanda marginal é constante e igual a a:

Exercício 18 Faça a mesma análise do exemplo anterior (resolvendo cor-respondentes exercícios) para a receita da comercialização de erva mate cujafunção demanda é D(p) = �319:62p+ 1354:21:

8

Sabendo que a função custo da erva mate é modelada linearmente pelafórmula C(q) = 0:00090709q+1:562; obtenha uma descrição da função lucro,calculando as quantidade e o preço que o maximizam.Determine um fórmula para a função custo médio e analise que o acontece

com o custo médio quando a quantidade comercializada aumenta signi�cati-vamente. Mais precisamente, determine limq!1Cm(q) (trata-se aqui de umprimeiro contato, intuitivo, com o conceito de limite, conceito este fundamen-tal para o Cálculo Diferencial, e que veremos com mais detalhes adiante).

Solução: Tem-seq = �319:62p+ 1354:21

p = 4: 236 9� 3: 128 7� 10�3qde modo que

R =�4: 236 9� 3: 128 7� 10�3q

�q:

Logo

L(q) = R(q)� C(q)=�4: 2369� 3:128 7� 10�3q

�q � (0:00090709q + 1:562)

L(q) = �3:1287� 10�3q2 + 4:2360q � 1:562

A quantidade que maximiza o lucro é

qm =�4:236 0

2 (�31287� 10�3) = 676:96:

O preço correspondente a esta quantidade é

pm = 4:2369� 3:1287� 10�3 � 676:96 = 2:1189:

A função custo médio é

Cm(q) =C(q)

q=0:00090709q + 1:562

q= 0:00090709 +

1:562

q:

Quando a quantidade produzida �ca muito grande o custo médio tende a0:00090709; ou seja

limq!1

Cm(q) = 0:00090709:

Lucro marginal:

9

Lmg(q) = L(q + 1)� L(q) = 4:232 9� 6:2574� 10�3qElasticidade lucro-preço:

e(p) =100 (L(1:01� p)� L(p))

L(p)=

6:2887� 10�3p2 � 4:236p3:128 7� 10�3p2 � 4:236p+ 1:562 :

Exercício 19a) Determine a demanda marginal e veri�que que ela é constante (D(p) = �11:823p+ 2791:17)b) Determine as elasticidades demanda preço correspondente aos preços

de R$110; 20 e R$179; 45

Solução:a) O mesmo desenvolvimento feito em exercicio anterior.b)

e(110:20) =100 (D(1:01� 110:20)�D(110:20))

D(110:20)= �0:875 44

e(179:45) =100 (D(1:01� 179:45)�D(179:45))

D(179:45)= �3: 168 8

Exercício 20 Determine a fórmula do custo em termos da quantidade, afórmula para o custo marginal e a elasticidade custo-quantidade.

Solução: Da fórmula da demanda obtemos

p = 236:08� 8:4581� 10�2q (1)

Substituindo em

C(p) = �10:854p2 + 2562:3p+ 300obtemos

C(q) = �10:854�236: 08� 8: 458 1� 10�2q

�2+ 2562:3

�236: 08� 8: 458 1� 10�2q

�+ 300

= �7: 764 9� 10�2q2 + 216: 74q + 273: 48:

e(q) =�0:156 07q2 + 216: 74q

�7: 764 9� 10�2q2 + 216: 74q + 273: 48 :

10

Exercício 21a) Faça um esboço do grá�co da função lucro em termos do preço para o

preço variando em um intervalo economicamente signi�cativob) Determine o preço que dá o maior lucro e o valor deste maior lucroc) Calcule a fórmula do custo marginal Lmg(p)d) Calcule a fórmula da elasticidade lucro preço e determine para quais

os preços ela é elástica e para quais é inelástica.e) Determine a fórmula para o lucro em termos da quantidade.

Solução: a) Os preços signi�cativos são aqueles para os quais L(p) > 0:Neste exercício,

L(p) = �0:969 p2 + 228: 9p� 300:0 (2)

Temos L(p) = 0 somente quando p1 = 1: 318 0 e p2 = 234:9: Assim:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200

2000

4000

6000

8000

10000

12000

p

L

b) pm = 118: 11; Lm = L(118: 11) = 13218:c)

Lmg(p) = L(p+ 1)� L(p) = 227: 93� 1: 938pd)

e(p) =100 (L(1:01� p)� L(p))

L(p)=

1: 947 7p2 � 228: 9p0:969 p2 � 228: 9p+ 300:0

Os cálculos para determinação dos intervalos de elasticidade e inelasticidadepara o preço são complicados e extensos e não serão exigidos. Quem seinteressar no encaminhamento desta questão pode me procurar após a aula.

11

e) Usando 2 e 1:

L(q) = �0:969�236: 08� 8: 458 1� 10�2q

�2+ 228: 9

�236: 08� 8: 458 1� 10�2q

�� 300:0

= �6: 932 2� 10�3q2 + 19: 337q � 267: 31Exercício 22 A receita mensal de uma empresa com a comercialização de qunidades mensais de um determinado produto é dada pela fórmula analíticaquadrática

R(q) = �5:17q2 + 121qa) Determine a quantidade que resulta em maior receita para a empresa

e a receita obtida com a comercialização desta quantidade.b) Determine uma fórmula para a função demandac) Determine a demanda correspondente ao preço p = 35d) Determine a receita marginal correspondente a q = 13 e interprete o

resultado obtido. Determine se ela é elástica ou inelástica quando q = 13:

Solução: a) O vértice da parábola grá�co de R(q) tem abscissa q =�121=(2 � �5:17) = 11:70::: que é a quantidade que produz maior receita.A receita correspondente é

R(11:7) = �5:17 (11:7)2 + 121� 11:7 = 707:97:::b) Como R = pq decorre que�5:17q2+121q = pq. Logo�5:17q+121 = p:

Dai vem que

D(p) = q =p� 121�5:17 :

Logo, c)

D(35) =34� 121�5:17 = 16:82:::

d)

Rmg(13) = R(14)�R(13)= �5:17 (14)2 + 121� 14�

��5:17 (13)2 + 121� 13

�= �18:59

Como a receita marginal de 13 unidades é negativa , não existe margem parauma venda de uma quantidade superior a 13 unidades sem perda de receita.

e(13) =100

��5:17 (1:01� 13)2 + 121� 1:01� 13�

��5:17 (13)2 + 121� 13

���5:17 (13)2 + 121� 13

= �0:26:::

12

Como je(14)j = 0:26 < 1 a receita é inelástica à quantidade q = 13:

Exercício 23 A receita mensal de uma empresa com a comercialização de qunidades mensais de um determinado produto é dada pela fórmula analíticaquadrática

R(q) = �5:23q2 + 120q:a) Determine a quantidade que resulta em maior receita para a empresa

e a receita obtida com a comercialização desta quantidade.b) Sabendo que o lucro é dada pela fórmula

L(q) = �5:23q2 + 356q + 77:7

determine uma fórmula analítica para custo C(q) (a fórmula para o lucrotem que ser corrigida para a função acima)c) Determine uma fórmula para o custo médio Cm(q) bem como o valor a

que tende o custo médio quando a quantidade produzida tende a quantidadesarbitrariamente grandes.d) Usando a fórmula R = pq; determine uma fórmula analítica para a

função demanda q = D(p) (tendo-se q como função de p):

Solução: a) q = 11:472; Rmax = R(11:472) = 688:34b) C(q) = �5:23q2 + 356q + 77:7� (�5:23q2 + 120q) = 236q + 77:7c)

Cm(q) =C(q)

q=C(q)

q=236q + 77:7

q= 236 +

77:7

q

de modo que

limq!1

Cm(q) = limq!1

�236 +

77:7

q

�= 236 + 0 = 236:

d) De �5:23q2 + 120q = pq; pela divisão por q de ambos lados da igual-dade, obtemos �5:23q + 120 = p e isolando q em termos de p obtemos

q = � q

5:23+120

5:23

Exercício 24 A fórmula para e(p) foi obtida considerando uma variaçãopara cima de 1% para o preço. Neste exercício vamos obter outras fórmulaspara e(p) considerando diferentes variações percentuais para o preço.

13

a) obtenha uma fórmula para a elasticidade supondo que o preço sobreuma variação percentual de 1% para baixob) obtenha uma fórmula para a elasticidade supondo que o preço sobre

uma variação percentual de 0:5% para baixoc) obtenha uma fórmula para a elasticidade supondo que o preço sobre

uma variação percentual de 0:5% para cimad) aplica as fórmulas obtidas nos itens a), b) e c) anteriores em todos os

exemplos e exercícios onde Voce utilizou a elasticidade.

Solução:a)

e(p) =100 [D(0:99p)�D(p)]

D(p)

b)

e(p) =100 [D(0:995p)�D(p)]

D(p)

c)

e(p) =100 [D(1:005p)�D(p)]

D(p):

Exercício 25 Sabendo que as funções demanda e custo relativas à comer-cialização de um certo produto em um certo mercado e em um certo intervalode tempo são modeladas linearmente por

D(p) = �5:19p+ 120; p: preçoC(q) = 0:45q + 345; q: quantidade

tendo-se 3:2 � p � 21:3; determine:a) o preço pm que produz maior lucrob) os valores do lucro, da receita, da quantidade demandada e do custo

de produção desta quantidade relativas à pmc) os break even points para o lucro-preço e, IMPORTANTE, interprete

economicamente cada um dos valores encontrados considerando a quantidadecomercializada e as funções receita e custo.

Exercício 26 Explique porque 0:999::: = 1:

Solução: feito em aula.

14

Exercício 27 A Taxa de Crescimento �C do custo é o quociente

�C =C (q2)� C (q1)

q2 � q1para os diversos possíveis valores de q1 e q2; com q1 < q2: Comprove que nomodelo linear a taxa de crescimento do custo é constante e igual a a:

Solução: Supondo C(q) = aq + b (modelo linear) obtemos

�C =C (q2)� C (q1)

q2 � q1=aq2 + b� (aq1 + b)

q2 � q1=a (q2 � q1)q2 � q1

= a

Exercício 28 Modelos sub e superlineares para o custo.a) Modelos sublineares para o custo são aqueles modelos que tem um

crescimento inferior ao modelo linear para valores grandes da quantidade.Por exemplo,

C(q) = 2pq + 300

é um modelo sublinear para o custo. Analise o que acontece com o customédio Cm(q) neste modelo e determine limq!1Cm(q):b) Modelos superlineares para o custo são aqueles modelos que tem um

crescimento superior ao modelo linear para valores grandes da quantidade.De exemplos de modelos superlineares do tipo polinomial quadrático e analiseo que acontece com o custo médio Cm(q) neste modelo quando limq!1Cm(q):

Solução:a)

limq!1

Cm(q) = limq!1

2pq + 300

q= lim

q!1

�2pq

q+300

q

�= lim

q!1

�2pq+300

q

�= 0:

b)

Exercício 29 Um certo produto apresenta as seguintes funções demanda eoferta:

D(p) = �11p+ 1700O(p) = 9(p� 20)

15

a) Determine o preço (em reais) e a quantidade de equilibriob) Por um problema de abastecimento, a oferta do produto em dado mo-

mento cai para 300 unidades. Descreva o comportamento do mercado nacomercialização deste produto daí para frente, determinando um ciclo demudanças de preço e de quantidades ofertadas do produto. Determine osíndices de in�ação e/ou de�ação do preço em cada mudança (trabalhar comduas casas decimais depois da vírgula de precisão).Importante: em cada passo, explique a razão econômica do proced-

imento utilizado para o cálculo da quantidade ou do preço (Obs: esta partenão será feita aqui pois já foi feito em aula e aparece nas notas de aula)c) Calcule quantos ciclos de �utações de preço ocorrerão até o mercado

voltar à estabilidade (considerar o mercado estável quando o preço do pro-duto diferir do preço de equilíbrio em no máximo R$5; 00; para cima ou parabaixo).d) Determina qn; pn e comprove que limn!1 qn = qe; limn!1 pn = pe:

Solução:a) Resolvendo �11p + 1700 = 9(p � 20) obtemos o preço de equilíbrio

pe = R$94; 00:Quantidade de equilíbrio qe = D(94) = 666

b) q1 = 300:Resolvendo D(p) = 300 obtem-se p1 = 127: 27:In�ação: i1 =

100(127:27�94)94

= 35:394%q2 = O(127:27) = 965:43D(p) = 965:43, p2 = 66:77De�ação: d1 =

100(127:27�66:77)127:27

= 47:53%q3 = O(66:77) = 420:93Com q3 completou-se um ciclo.

c) D(p) = 420:93 =) p3 = 116:28q4 = O(116:28) = 866:52D(p) = 866:52 =) p4 = 75:77q5 = O(75:77) = 501: 93D(p) = 501: 93 =) p5 = 108:92q6 = O(108:92) = 800: 28D(p) = 800: 28 =) p6 = 81:79q7 = O(81:79) = 556:11

16

D(p) = 556:11 =) p7 = 103:99q8 = O(103:99) = 755:91D(p) = 755:91 =) p8 = 85:82q9 = O(85:82) = 592:38D(p) = 592:38 =) p9 = 100:69q10 = O(100:69) = 726:21D(p) = 726:21 =) p9 = 88:52q11 = O(88:52) = 616:68D(p) = 616:68 =) p10 = 98: 48O preço volta �ao normal�, ou seja, o mercado volta à estabilidade, após

5 ciclos de �utuações.Obs.: Poderíamos resolver esta questão utilizando a fórmula para qn;

abaixo calculada. Contudo, para isso teríamos que fazer uso da função loga-ritmo que vamos estudar adiante.

d)

qn = qe + (q1 � qe)� ca

�n�1= 666 + (300� 666)

�9

�11

�n�1' 666� 366(�0:81)n�1:

Para determinar pn resolvemos a equação qn = D(p) para p:

�11p+ 1700 = 666� 366(�0:81)n�1

pn = 94� 41:07 (�0:81)n :Como limn!1 (�0:81)n = 0 obtemos

limn!1

qn = 666 + 0 = 666 = qe

limn!1

pn = 94 + 0 = pe:

Exercício 30 As mesmas questões do exercício anterior para:

D(p) = �11p+ 1700O(p) = 12(p� 20)

17

Solução: a) �11p+ 1700 = 12(p� 20) =) pe = 84:34qe = D(84:34) = 772:26

b) q1 = 300D(p) = 300 =) p1 = 127:27

In�ação i1 =100(127:27�84:34)

84:34= 50: 9%

q2 = O(127:27) = 1287:2D(p) = 1287:2 =) p2 = 37:52

De�ação d1 =100(127:27�37:52)

127:27= 70:51%

c) q3 = O(37:52) = 210:24Com q3 fecha-se um ciclo. Sendo a quantidade q3 = 210:24 menor que

q1 = 300 o mercado jamais voltará ao equilibrio. As quantidades e preçoscomeçarão a oscilar cada vez mais tendendo a �1:

Exercício 31 (super safra) Um certo produto apresenta as seguintes funçõesdemanda e oferta:

D(p) = 1500� 17pO(p) = 12p� 200

a) Determine o preço (em reais) e a quantidade de equilibriob) Suponha que haja uma derrama do produto no mercado (ocasionado,

por exemplo, por uma super safra) elevando a oferta a aproximadamente750 unidades. Descreva o comportamento do mercado na comercializaçãodeste produto daí para frente, determinando um ciclo de mudanças de preçoe de quantidades ofertadas do produto. Determine os índices de in�açãoe/ou de�ação do preço em cada mudança (trabalhar com duas casas decimaisdepois da vírgula de precisão).c) Calcule quantos ciclos de �utações de preço ocorrerão até o mercado

voltar à estabilidade (considerar o mercado estável quando o preço do pro-duto diferir do preço de equilíbrio em no máximo R$6; 00; para cima ou parabaixo).d) Faça o mesmo que b) e c) supondo, no lugar da derrama de 750

unidades, que haja um aumento do preço do produto elevando-o a R$64; 00a unidadee) Faça o mesmo que b) e c) supondo que haja uma desvalorização do

preço do produto que o baixa a R$42; 00 a unidade

18

Solução: a) 1500� 17p = 12p� 200 =) pe = 58:62qe = O(58:62) = 503:44

b) q1 = 750:Como existe uma quantidade maior do que a quantidade de equilíbrio, e

como o preço no momento da derrama ainda era o preço de equilíbrio, vaihaver uma queda de preço para que toda quantidade possa ser comercializada.O preço vai então baixar a um valor que corresponda a uma demanda iguala quantidade disponível no mercado, ou seja, 750. Então750 = D(p) =) p1 = 44:11

De�ação: d = 100(58:62�44:11)58:62

= 24:753%

Tendo havido uma queda de preço, o produtor tende, no futuro, a ofer-tar uma quantidade menor do produto. Esta quantidade é precisamente aquantidade da função oferta correspondente ao preco de 41.11:q2 = O(44:11) = 329: 32

Tendo-se agora a quantidade disponível (q2) menor do que a quantidadede equilíbrio, e estando o preço no momento ainda abaixo do preço de equi-líbrio, para não haver desabastecimento o preço tende a aumentar até que ademanda correspondente a este novo preço se iguale a quantidade disponívelq2:329:32 = D(p) =) p2 = 68:86

In�ação: i = 100(68:86�44:11)44:11

= 56:11%

Tendo havido um aumento de preço, o produtor tende, no futuro, a ofer-tar uma quantidade maior do produto. Esta quantidade é precisamente aquantidade da função oferta correspondente ao preco de 68.86:q3 = O(68:86) = 626:32 (fechou o primeiro ciclo)

c) 626:32 = D(p) =) p3 = 51:39q4 = O(51:39) = 416:68416:68 = D(p) =) p4 = 63:72Como

jpe � p4j = j58:62� 63:72j = 5:1 < 6concluimos que o mercado volta à estabilidade após 1 ciclo e meio de �utações.

d) p1 = 64

19

Ocorrendo uma remarcação para cima de pe do preço do produto é porqueele faltou no mercado por alguma razão involuntária (se ele não estivesse fal-tando e houvesse uma remarção haveria uma sobra do produto, o que nãoé o que acontece em um mercado equilibrado). Assim, se a(s) razão(ões)que causaram a falta de produto desaparecerem, que é o que se espera emum mercado em equilíbrio, e supondo que isto aconteça (caso contrário nãopodemos fazer nenhuma estimativa pois a Matemática não se aplica ao im-previsível), então haverá no futuro uma oferta maior no mercado, qual sejaq1 = O(64) = 568;

o que fará com que o preço caia a um valor que corresponda uma demandaque cubra a quantidade q1:568 = D(p) =) p2 = 54:82

correspondente a uma de�ação ded = 100(64�54:82)

64= 14:34%

Com o preço em baixa o produtor tende a oferecer menos no futuro, asaber:q2 = O(54:82) = 457:84;

o que faz com que o preço se eleve a457:84 = D(p) =) p3 = 61:30

correspondente a uma in�ação ded = 100(61:30�54:82)

61:30= 10:57%:

Com isso fecha-se um ciclo de �utuações. Como o preço p2 já difere demenos de R$6,00 do preço de equilíbrio podemos concluir que em 1/2 cicloo mercado volta à estabilidade.

e) p1 = 42:Para o preço ter baixado desta forma é porque houve uma derrama do

produto no mercado. Esta derrama pode ter sido causada, no caso de umproduto agrícola, por exemplo, por uma super safra. No futuro, não ocor-rendo uma nova super safra (que é o que se espera normalmente) o produtor,para evitar um eventual prejuízo com um preço tão baixo, vai tender a ofertaruma quantidade menor do produto, a saberq1 = O(42) = 304:0

o que faz com que o preço se eleve, no futuro, a304 = D(p) =) p2 = 70:35:A este preço, o produtor �ca vai querer ofertar uma quantidade maior, a

saber:q2 = O(70:35) = 644:2

20

e la nave va...

Exercício 32 O mesmo exercício anterior, considerando agora as seguintesfunções demanda e oferta:

D(p) = 1500� 16pO(p) = 19p� 200

Solução: Dado: q1 = 750Preço de equilíbrio

1500� 16p = 19p� 200

pe = 48:57Quantidade de equilíbrio: qe = 19� 48:57� 200 = 722:83Tendo uma oferta de q1 = 750; maior do que a de equilíbrio, o preço

de�aciona para750 = 1500� 16p

p1 = 46:87:Como o preço difere do preço de equilíbrio em menos de 6 reais, pode se

considerar que o aumento da oferta de 723 para 750 está dentro da normali-dade.

Exercício 33 Um certo bem em um certo mercado é modelado pelas seguintesfunções demanda e oferta: D(p) = 1500� 17p e O(p) = 12p� 200: Por umgrave problema no abastecimento o preço do produto aumentou em 10%: Dequanto foi desabastecimento?

Exercício 34 Em um dado momento, na comercialização de um certo pro-duto em um certo mercado, há uma supersafra e a quantidade ofertada nomercado sobe para q1 >> qe unidades, sendo qe a quantidade de equilíbrio.Considerando as duas seguintes modelagens (a) e (b) abaixo para as funçõesoferta e demanda do produto,

(a)�D1 (p) = �20p+ 500O1 (p) = 5p+ 234

(b)�D2 (p) = �19p+ 489:36O2 (p) = 6p+ 223:36

pergunta-se: para qual valores de q1 o modelo (b) preve uma de�ação menorno preço?

21

Exercício 35 Interprete geométricamene a Conclusão Teórica acima ex-posta

Solução

Exercício 36 Comprove que, no caso em c = jaj; os preços pn permanecemoscilando inde�nidamente entre os valores pn = pe + (q1 � qe) =a e pn =pe � (q1 � qe) =a:

Solução: como c > 0; a < 0; da suposição c = jaj decorre que c = �a:Logo

qn = qe + (q1 � qe)� ca

�n�1= qe + (q1 � qe) (�1)n�1 :

Se n é ímpar então n� 1 é par de modo que (�1)n�1 = 1: Portanto, para nímpar obtem-se

qn = qe + (q1 � qe) (�1)n�1 = qe + (q1 � qe) = q1:

Para n par tem-se (�1)n = �1 de modo que

qn = qe + (q1 � qe) (�1)n�1 = qe + (q1 � qe) (�1) = �q1 + 2qe:

Conclusão: qn �ca oscilando entre os dois valores q1 e �q1 + 2qe; conforme nseja ímpar ou par, respectivamente.

Exercício 37 As funções demanda e oferta de um determinado bem agrícolaem um determinado intervalo de tempo e em um deteminado mercado são

D(p) = �25p+ 330O(p) = 22p� 50

Usando a fórmula qn = qe+(q1�qe)(c=a)n�1 JUSTIFIQUE e INTERPRETEo fato que limn!1 qn ' 127:87:

Solução: No presente problema, a fórmula qn = qe + (q1 � qe)(c=a)n�1�ca

qn = 127:87 + (q1 � 128)�22

�25

�n= 127:87 + (q1 � 128) (�0:88)n :

22

Como (�0:88)n torna-se cada vez mais próximo de zero quando n aumenta,tornando-se de fato inde�nidamente proximo de zero quando n ! 1; ouseja, limn!1(�0:88)n = 0; temos

limn!1

qn = 127:87 + (q1 � 128)� 0 = 127:87;

que signi�ca que as quantidades com o passar do tempo tendem à quantidadede equilíbrio.

Exercício 38 As funções demanda e oferta de um determinado bem agrícolaem um determinado intervalo de tempo e em um deteminado mercado são

D(p) = �25p+ 330O(p) = 22p� 50

Podemos a�rmar que após num certo número de oscilações, a partir de umaoferta de q1 = 160 (está faltando acrescentar esta informação no exercício)a quantidade voltará a coincidir EXATAMENTE com a quantidade de equi-líbrio? Use a fórmula de qn para justi�car completamente sua resposta.

Solução: Se após um certo número n de oscilações à quantidade qnvoltasse a quantidade de equilíbrio, ou seja, qn = qe então da fórmula qn =qe + (q1 � qe)(c=a)n�1 obteríamos

qe = qe + (q1 � qe)(c=a)n�1

do que segue que0 = (q1 � qe)(c=a)n�1

o que só é possível se q1 = qe: Isto não tem como acontecer pois q1 = 160e qe = 127:8 7: Logo, podemos a�rmar que a quantidade jamais voltará acoincidir exatamente com a quantidade de equilibrio.

Exercício 39 (um exemplo de modelagem não linear para a Teia de Aranha).Resolva os mesmos itens a), b) e c) do Exercício 29 supondo agora

D(p) = �50p+ 800O(p) = �2p2 + 50p+ 50

e que, no item b), a oferta do produto caia para 220 unidades.

23

Solução: a) Preço de equilíbrio:

�50p+ 800 = �2p2 + 50p+ 50

Possíveis soluções: p1 = 9:18; p2 = 40:81: As quantidades correspondentessão

q1 = �50� 9:18 + 800 = 341e

q2 = �50� 40:81 + 800 = �1240:Como a quantidade não pode ser negativa o preço de equilíbrio é pe = 9:18Quantidade de equilíbrio: qe = 341

0 2 4 6 8 10 12 14

200

400

600

800

p

q

b) pe = 9:18q1 = 220 = D(p); p1 = 11:6i = 1160�918

9:18= 26:36%

q2 = O(11:6) = 360:88D(p) = 360:88, p2 = 8:78d = 1160�878

8:78= 32:11%

q3 = O(8:78) = 334:8 2

c) O mercado nunca saiu do equilíbrio, pois o preço oscilou menos do que5 reais em cada mudança

24

Exercício 40 As funções demanda e oferta de um determinado bem em umdeterminado intervalo de tempo e em um determinado mercado são

D(p) = �24p+ 520O(p) = 21p+ 230

Em dado momento houve uma crise de abastecimendo fazendo que adisponibilidade do produto no mercado caísse para uma certa quantidade q1;desencadeando uma sequência de �utuações de preços.a) Supondo que o mercado na quarta �utuação de preço voltou à esta-

bilidade (considere estável quando o preço diferir do preço de equilíbrio emR$1:50); determine o menor valor possível para q1:b) Sabendo que o mercado na quinta �utuação da quantidade voltou à

estabilidade (considere estável quando a quantidade diferir do preço de equi-líbrio em 50 unidades); determine o menor valor possível para q1:

Respostaa) Com a queda no abastecimento o preço vai aumentar a um valor p1

maior do que pe: Como os preços vão oscilando, consecutivamente, para baixoe para cima do preço de equilíbrio, teremos p2 < pe, p3 > pe e p4 < pe: Comoestá sendo dito que p4 já é um preço de equilíbrio, deve-se ter p4 � pe�1:5 =6:4444� 1:5 = 4:9444:Mas

p4 = 6:4444 +q1 � 365:3344

�24 (21

�24)3 = 0:02 79q1 � 3:7533:

Assim, concluímos que 0:02 79q1 � 3:7533 � 4:9444: Isolando q1 na desigual-dade, obtemos q1 � 311: 745 5: Ou seja, o menor valor possível para q1 é311:7455:b) Como as quantidades vão oscilando, consecutivamente, para baixo e

para cima da quantidade de equilíbrio, teremos q2 > qe, q3 < qe e q4 > qee q5 < qe: Como está sendo dito que q5 já é uma quantidade de equilíbrio,deve-se ter q5 � qe � 50 = 365:3344� 50 = 315: 334 4:Mas

q5 = 365:3344 + (q1 � 365:3344) (21

�24)4 = 0:5861q1 + 151:182

Assim, concluímos que 0:5861q1 + 151:182 � 315: 334 4: Isolando q1 na de-sigualdade, obtemos q1 � 280:0757: Ou seja, o menor valor possível para q1é 280:075 7:

25

Exercício 41 Na compra de um apartamento �nanciado em 5 anos, emregime de juros compostos, oferecem a Você duas opções:i) reajuste trimestral com taxa de anual de 4%ii) reajuste anual com taxa de 6% ao anoQual das opções acima lhe é mai$ vantajo$o? Justi�car sua resposta.

RespostaUsaremos a fórmula

C1 =�1 +

r

100n

�nC0

sendo r% a taxa anual de juros, n o número de capitalizações (juros com-postos), C0 o capital emprestado e C1 o capital a ser devolvido ao banco ao�nal de 1 ano. Ao �nal de 2 anos será

C2 =�1 +

r

100n

�nC1 =

�1 +

r

100n

�n �1 +

r

100n

�nC0

=�1 +

r

100n

�2nC0

e, analogamente, ao �nal de 3; 4 e �nalmente 5 anos:

Cf =�1 +

r

100n

�5nC0:

i) Cada ano tem 4 trimestres e, portanto, n = 4: Então:

Cf =

�1 +

4

2000

�20C0 �= 1: 040 769C0

ii) Neste caso n = 1

Cf =

�1 +

6

500

�5C0 �= 1:061 457C0

de modo que a opção i) é mais vantajosa.

Exercício 42 Uma pessoa emprega R$3000; 00 à taxa de 5% ao ano comcapitalização contínua.O montante obtido ao �nal de dois anos e 6 meses?

26

RespostaAplicamos a fórmula

Qf = etr100Q0

para obterQf = e

2:5�5100 3000 �= 3399:44535:

Exercício 43 O capital C0 = R$3555000; 00 é aplicado a juros contínuos noperíodo de 1 ano à taxa anual de 3%. Considerando a seguinte aproximaçãopara o número neperiano:

e �= 2:718;o acumulado ao �nal de 1 ano é

Cf = e31003555000 = 2:718

31003555000 �= 3663254:473:

a) Mostre que existe um número �nito de capitalizações que aplicadas aomesmo capital inicial C0, à taxa de 3% ao ano, produz, ao �nal de um ano,um acumulado maior ou igual ao acumulado acima obtido.b) Como a capitalização contínua é a que produz maior acumulado, como

Voce explica o obtido no item a)? Não existe uma contradição?c) Que aproximação(ões) razoável(is) Voce usaria para e para garantir

que o acumulado seja maior que o produzido para um número �nito qualquerde capitalizações?

Respostaa) Tem que achar n tal que

3555000

�1 +

3

100n

�n� 3663254:473:

Poderíamos tentar resolver a desigualdade acima para igualdade, mas istoconsiste em resolver uma equação em n de resolução complicada. Usamosentão o método da tentativa: tomamos, por exemplo, n = 100:

3555000

�1 +

3

100� 100

�100�= 3663249: 386

que é inferior ao que se quer. Portanto n = 100 não serve. Tomando n = 500obtemos

3555000

�1 +

3

100� 500

�500�= 3663262: 571

27

que já supera o que se quer. Assim, n = 500 comprova o que está pedido noexercício.

b) Não existe contradição. O que acontece é que foi arredondado parabaixo o valor de e: Sempre que isto acontecer vai ocorrer o que está descritono ítem a).

c) Basta arredondar e por um valor superior ao seu real valor. Por exem-plo, como

e = 2: 718 281 828 5:::

qualquer um dos valores para e: 2:8; 2:72; 2:719 etc satisfaz o pedido.

Exercício 44 Em uma empresa de investimento lhe oferecem as seguintesalternativas para uma aplicação anual:a) Regime de juros compostos à taxa de 5% ao ano com 4 capitalizaçõesb) Regime de juros compostos à taxa de 3.5% ao ano com 8 capitalizaçõesc) Regime de juros contínuos à taxa de 3% ao anoPergunta-se: qual destas opções de investimento lhe é mais interessante?

RespostaSuponha que se tenha um capital inicial Q0 e calculemos o capital �nal

Qf conforme a), b) e c):a)

Qf =

�1 +

5

400

�4Q0 ' 1:0509Q0

b)

Qf =

�1 +

3:5

800

�8Q0 ' 1:035 5Q0

c)Qf = e

3100Q0 ' 1:0305Q0

Portanto, como a) vai sempre produzir o maior valor, seja qual for a quantiainicial Q0; a resposta é a).

Exercício 45 Determine o número mínimo de capitalizações que devem seraplicadas ao capital Q0 = R$3500; 00 no regime de juros compostos à taxa de4:02% a.a. para que o montante obtido, ao �nal de um ano, não seja inferiorao montante obtido pela aplicação deste mesmo capital, à taxa de 4:0% a.a,ao �nal de um ano, no regime de juros contínuos (fazer por tentativas)

28

RespostaCapital �nal com o uso de juros contínuos (usando 4 casas decimais por

truncamento) :Qf = 3500e

4100 ' 3642:8377:

Assim, devemos descobrir o menor n tal que�1 +

4:02

100n

�n3500 � 3642:8377:

Como não existe uma fórmula matemática que nos dê o valor de n para quevalha a igualdade, resolvemos o exercício por tentativas:

n = 1:�1 +

4:02

100

�3500 = 3640:7

n = 2:�1 +

4:02

200

�23500 ' 3642:114

n = 3:�1 +

4:02

300

�33500 ' 3642:5938

n = 4:�1 +

4:02

400

�43500 ' 3642:8353

n = 5:�1 +

4:02

500

�53500 ' 3642:9807:

Logo, usando QUATRO casas decimais, a resposta é n = 5: Contudo, seusarmos duas casas decimas depois da vírgula a resposta é n = 4:

Exercício 46 O capital C0 = R$16000000; 00 é aplicado a juros contínuos àtaxa de 10% ao ano rendendo ao �nal de um ano um acumulado C = C0e

r100 :

Lembrando que

e = limn!1

�1 +

1

n

�n;

considere para e os valores aproximados

e '�1 +

1

n

�nprimeiro para n = 15 e depois n = 25 e calcule os diferentes valores de Cobtidos com estas aproximações de e; bem como a diferença, em reais, domaior para o menor.

29

Resposta. Trabalhando com 7 casas decimais:

n = 15:�1 +

1

15

�15' 2:6328787

Qf = e1010016000000 = (2:6328787)

110 16000000 ' 17626380

n = 25:�1 +

1

25

�25' 2:6658363

Qf = e1010016000000 = (2:6658363)

110 16000000 ' 17648318

Diferença: 17648318� 17626380 = 21938:

Exercício 47 a) Usando a função exponencial natural de sua máquina decalcular determine o acumulado C = C0e

r100 ao �nal de um ano obtido com

a aplicação do capital C0 = R$350000; 00 à taxa de 7% ao ano.b) Sabendo que

e = limn!1

�1 +

1

n

�nuse para e o valor aproximado

e '�1 +

1

n

�ncom n = 80 e determine o valor acumulado C usando este valor de e:c) Embora eu não conheça a máquina de calcular que Você esta usando,

o valor encontrado em b) tem que ter dado menor que o valor encontradoem a). Algum destes valores é o mais correto? (justi�car completamente suaresposta)

Respostaa)

Qf = 350000e7100 ' 375377:8634

b)

n = 80:�1 +

1

80

�80' 2:701484941

Qf = e7100350000 = (2:701484941)

7100 350000 ' 375215:0268

30

O valor de e utilizado pela minha máquina é e = 2:718281828: Partindo dofato de que no mínimo as 8 primeiras casas decimais deste valor são exatas,o valor de Qf dado pela minha máquina é mais correto.

Exercício 48 Usando que

e = limn!1

�1 +

1

n

�né possível encontrar uma aproximação de e que coincida com a que apareceem sua máquina de calcular? Se sim, qual o menor valor de n que Voce temque escolher para que isto aconteça?

Exercício 49 Explique porque sempre que usarmos um truncamento daexpansão decimal de e para o cálculo de um montante acumulado Qf de umcapital inicial Q0 aplicado a juros contínuos a uma certa taxa anual r haveráum número de su�cientementemente grande de capitalizações que ao seremaplicadas ao capital Q0 à taxa r resultará em um acumulado maior do queQf :

Resposta. Se v é um valor truncado de e então obviamente v < e: Como

e = limn!1

�1 +

1

n

�n;

vai existir um n1 tal que v < (1 + 1=n1)n1 : Então, tomando para e o valor

(1 + 1=n1)n1 a fórmula Qf = er=100Q0 produzirá um acumulado maior do que

o calculado utilizando v como valor de e:

Exercício 50 Sabendo que a aplicação de R$3500; 00 no regime de juroscontínuos à taxa de r% a.a. resulta, ao �nal de um ano, em um montanteigual ao obtido pela aplicação de R$3200; 00 no regime de juros contínuos àtaxa de s% a.a.; determine qual o capital que devemos aplicar à taxa de r%a.a. para que o montante obtido ao �nal de um ano seja igual ao montanteobtido pela aplicação de R$4560; 00 à taxa de s% a.a.

Exercício 51 Determine a que taxa de juros anual devemos aplicar o capitalQ0 = R$23700; 00 no regime de juros contínuos para que, ao �nal de um ano,o montante obtido seja de R$30100; 00?

31

Resposta.Devemos ter 30100 = e

r10023700, de modo que r ' 23:90501%

Exercício 52 Determine a que taxa de juros anual devemos aplicar o capitalQ0 = R$3600; 00 no regime de juros contínuos para que, ao �nal de um ano,o montante obtido não seja inferior ao montante obtido pela aplicação destemesmo capital, no regime de juros compostos, à taxa de 5% a.a, ao �nal deum ano, com capitalizações quadrimestrais.

Resposta Sendo Qf o montante obtido pela aplicação de 3600, no regimede juros compostos, à taxa de 5% a.a, ao �nal de um ano, com capitalizaçõesquadrimestrais temos

Qf =

�1 +

5

300

�33600 ' 3783:0166:

Então queremos determinar r tal que

3600er100 � 3783:0166

ou tambéme

r100 � 3783:0166

3600' 1:050837944:

Resolvendo a equação em r

er100 = 1:050837944

obtemos r = 4:958788781:

Exercício 53 As tabelas que aparecem neste exercício foram extraídas dosrelatórios gerenciais de uma malharia, conforme aparecem no artigohttp://www.abepro.org.br/biblioteca/ENEGEP2006_TR510343_7642.pdf.A primeira tabela representa o custo variável e o custo �xo obtidos na

32

produção de tecidos (em termos da quantidade em quilos de tecido produzido):

Mes Produção (Kg) Custo �xo (Cf ) Custo variável (Cv)Dez 42279; 65 274094:63 1308545; 27Nov 90364:22 274094:63 1754281:58Abr 92624:87 274094:63 1786149:92Jun 93681:58 274094:63 1730288:57Jul 94574:59 274094:63 1646835:15Set 102154:40 274094:63 1675673:97Out 108494:53 274094:63 1833208:39Mar 108888:23 274094:63 1803843:50Maio 115019:20 274094:63 1755052:00

A tabela seguinte é da receita. A coluna que apresenta as vendas refere-se ao faturamento apresentado pela empresa no período. O preço médio éa divisão do valor das vendas pela quantidade vendida e a receita total é amultiplicação do preço médio pela quantidade vendida (esta forma de calculara receita é utilizada pelos autores pois se adapta melhor aos seus objetivos).

Mes Quantidade vendida (Kg) Vendas ($) Preço médio Receita total (R)Dez 53625 1172073:94 22:27 941654:09Nov 101596 2201620:61 21:69 1959966:85Abr 108125 2210931:52 20:45 1893988:35Jun 100391 2075965:45 20:68 1937214:20Jul 93387 1893958:18 20:28 1918038:46Set 99758 2135997:12 21:41 2187304:38Out 99758 2214461:82 22:22 2410815:90Mar 112445 2273038:18 20:21 2201146:31Maio 107685 2231020:00 20:71 2383963:46

a) faça uma tabela para o custo total, custo variável médio e custo totalmédiob) faça uma tabela para as vendas e a receita médiac) faça uma tabela para o lucro e o lucro médio

Respostasa) faça uma tabela para o custo total, custo variável médio e custo total

médio� � � -

33

b) faça uma tabela para as vendas e a receita média� � � �c) faça uma tabela para o lucro e o lucro médio

Mes Lucro Lucro médioDez 1172073:94� (274094:63� 1308545:27) = 2206524:58 2206524: 58

42279;65= 52:18

Nov Idem idem

Exercício 54 Em determinadas situações, um determinado contexto, econômico,físico etc, pode ocorrer que exista uma fórmula que seja a que melhor mod-ele uma dada tabela, como é o que acontece no exemplo apresentado nesteexercícioUm passageiro (em Porto Alegre, em agosto de 2008) tomou um taxi,

rodou 2; 5Km e pagou R$6; 16: A seguir, tomou outro taxi, rodou 5Km epagou R$9:59. Estes dados nos permitem construir a tabela

Km Preço2; 5 6; 165 9; 59

tendo-se o preço como função do quilômetro rodado. Segundo as normas daEPTC, o preço da corrida de taxi é calculado pagando-se um valor que é dire-tamente proporcional ao quilômetro rodado acrescido de um valor �xo (a ban-deirada). Utilizando este fato, conclua que que a função (preço)�(quilômetrorodado)=p� k é dada pela fórmula

p(k) = 1; 37k + 2; 74:

Concluímos tambem que o valor da bandeirada em Porto Alegre (em agostode 2008) é R$2; 74:

RespostaComo o preço da corrida de taxi é calculado pagando-se um valor que é

diretamente proporcional ao quilômetro rodado acrescido de um valor �xoele é dado por uma fórmula do tipo p(k) = ak + b: Da tabela obtemos:

6:16 = 2:5a+ b9:59 = 5a+ b:

Resolvendo o sistema encontramos a = 1:37 e b = 2:74

34

Exercício 55 Veri�que a última a�rmação feita no exemplo anterior, ob-tendo fórmulas analiticas para receita considerando os modelos quadrático elinear para a demanda. Usando algum programa de computador, obtenha oseguinte esboço do grá�co da função receita em ambos os casos (com o preçovariando no intervao [1:8; 4:2]):

1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2180

200

220

240

260

280

300

x

y

RespostasR1(p) = pD1(p) = p

�p2

20� 45p+ 232:45

�= p3

20� 45p2 + 232:45p

R2(p) = pD2(p) = p (�45:45p+ 234:01) = �45:45p2 + 234:01p

Exercício 56 Veri�que que a tabela

X Y1:2 47:5462:0 49:1703:5 52:2154:3 53:839

relacionando duas grandezas X e Y; é interpolada pela função a�m

y = f(x) = 2:03x+ 45:11:

Considerando que o erro de um inteiro para cima ou para baixo é desprezível,veri�que que g(x) = 2x+46 também pode ser utilizada para modelar a tabela.

Resposta

35

Tem-se f(1:2) = 2:03� 1:2+45:11 = 47: 546; f(2:0) = 2:03� 2+45:11 =49: 17; :::; f(4:3) = 2:03�4:3+45:11 = 53:839: Como f reproduz exatamenteos elementos da tabela concluímos que f interpola a tabela.Tem-se: g(1:2) = 2 � 1:2 + 46 = 48:4 de modo que g(1:2) � 47:546 =

48:4� 47:546 = 0:854g(2) = 2�2+46 = 50:0 de modo que g(2)�47:546 = 50�49:170 = 0:83:

Fazendo cálculos análogos com 3:5 e 4:3 vemos que g aproxima a tabelacom erro menor do que 1; de modo que g pode ser utilizada para modelarmatematicamente a tabela.

Exercício 57 Quanto tratamos de aproximações vai ocorrer que fórmulasdistintas do ponto de vista matemático podem ser utilizadas para descreverum mesmo fenômeno, não sendo possível decidir qual a melhor delas. Umarazão, entre outras, deste fato, se encontra neste exercício.a) Dê exemplos de duas funções a�ns distintas cujos valores em 1; 2; 3

e 4 coincidem nas três primeiras casas decimais. Construa exemplos comfunções que têm o mesmo coe�ciente angular e outros exemplos com funçõesque têm o mesmo parâmetro linear.b) Dê exemplos de duas funções, uma �m e outra quadrática, cujos valores

em 1; 2; 3 e 4 coincidem nas três primeiras casas decimais. É possivel con-struir exemplos em que o coe�ciente de grau 2 da quadrática é 1? É possivelconstruir exemplos em que os coe�cientes de grau 2 e de grau 1 da quadráticasejam ambos iguais a 1?c) Idem com uma a�m e uma cúbica, uma quadrática e uma cúbicad) É possível construir duas funções, uma a�m e outra quadrática, que

coincidam em dois valores distintos? Em três valores distintos? Em quatrovalores distintos? Responda a mesma pergunta para uma a�m e uma cúbica.

Resposta:a1) f1(x) = x+0; 1; f2(x) = x+0; 2; g1(x) = x; g2(x) = 1; 1x: as primeiras

casas decimais de f1(1), f1(2); f1(3); f1(4); g1(1), g1(2); g1(3); g1(4) concidemcom as primeiras casas decimais de g2(1), g2(2); g2(3); g2(4) respectivamente.

a2) f1(x) = x+ 0; 1; f2(x) = x+ 0; 12, g1(x) = x; g2(x) = 1; 01x: as duasprimeiras casas decimais de f1(1), f1(2); f1(3); f1(4); g1(1), g1(2); g1(3); g1(4)concidem com as duas primeiras casas decimais de g2(1), g2(2); g2(3); g2(4)respectivamente.

36

a3) f1(x) = x + 0; 1; f2(x) = x + 0; 102, g1(x) = x; g2(x) = 1; 001x: astrês primeiras casas decimais de f1(1), f1(2); f1(3); f1(4); g1(1), g1(2); g1(3);g1(4) concidem com as três primeiras casas decimais de g2(1), g2(2); g2(3);g2(4) respectivamente.

a4) f1(x) = x + 0; 1; f2(x) = x + 0; 1002, g1(x) = x; g2(x) = 1; 0001x:as quatro primeiras casas decimais de f1(1), f1(2); f1(3); f1(4); g1(1), g1(2);g1(3); g1(4) concidem com as quatro primeiras casas decimais de g2(1), g2(2);g2(3); g2(4) respectivamente.

b) f(x) = x; g(x) = 0:0001x2 + x: Os outros casos não são possíveis deconstruir.

c) f(x) = x, C1(x) = 0:0001x3 + x; q(x) = x2; C2(x) = 0:0001x3 + x2

d) É possivel a coincidência em dois valores distintos, mas não em três emuito menos em quatro (caso a�m e quadrático). Uma a�m e uma cúbicapodem coincidir em dois e tres valores distintos, mas não em quatro.

Exercício 58 Através de uma técnica estatística chamada de regressão lin-ear, os autores do artigo que obtiveram a tabela do Exercício 53 obtiveram oseguinte modelo linear para a função custo variável que aproxima a tabela:

Cv(q) = 10:62q + 667736:36 (3)

d) Obtenha uma aproximação linear para a função custo totale) Obtenha fórmulas para as funções custo variável médio e custo total

médiof) Use a fórmula (3) e a fórmula para o custo total obtido no item e),

bem como as fórmulas para as respectivas médias destes custos, para construiruma nova tabela destas funções em termos das quantidades produzidas dadasna tabela de custos.Usando novamente a mesma técnica estatística os autores obtiveram a

seguinte fórmula para a função receita:

R(q) = 20:27q + 71781:27:

g) Represente gra�camente as funções receita e custo totalh) Obtenha fórmulas para o lucro, lucro médio e determine o break-even

point.

37

Respostasd) Obtenha uma aproximação linear para a função custo total

C(q) = Cv(q) + Cf = 10:62q + 667736:36 + 274094:63

= 10: 62q + 941830: 99

e) Obtenha fórmulas para as funções custo variável médio e custo totalmédio

Cvm(q) =10:62q + 667736:36

q= 10:62 +

667736:36

q

Cm = 10: 62 +941830: 99

q:

f) Use a fórmula (3) e a fórmula para o custo total obtido no item e), bemcomo as fórmulas para as respectivas médias destes custos, para construiruma nova tabela destas funções em termos das quantidades produzidas dadasna tabela de custos.

Mes Produção (Kg) Custo variável (Cv)

Dez 42279; 65Cv(42279; 65)

= 10: 62� 42279:65 + 667736:36 = 1116746: 243Nov Idem idem

As tabelas das outras funções são construídas de maneira análoga.g) Represente gra�camente as funções receita e custo total� � �h)

L(q) = R(q)� C(q)= 20:27q + 71781:27� (10: 62q + 941830: 99)= 9: 65q � 870049: 72:

Break even point: 9: 65q � 870049: 72 = 0 =) q = 90160:59

Exercício 59 Neste mesmo artigo do Exercício 53 os autores, usando nova-mente a mesma técnica estatística (método de regressão não linear), obtêm

38

os seguintes modelos não lineares para as funções receita variável e custovariável:

Cv(q) = 779934:56 ln q � 7238369:62 (4)

R(q) = 1420003:86 ln q � 14235684:53 (5)

i) Usando (4) obtenha uma aproximação não linear para a função custototalj) Usando o modelo não linear obtenha fórmulas para as funções custo

variável médio e custo total médiok) Use a fórmula (3) e a fórmula para o custo total obtido no item j),

bem como as fórmulas para as respectivas médias destes custos, para construiruma nova tabela destas funções em termos das quantidades produzidas dadasna tabela de custos.l) Represente gra�camente as funções receita e custo totalm) Obtenha fórmulas para o lucro, lucro médio e determine o break-even

point no modelo não linear.n) Determine o lucro máximo e qual a quantidade que deve ser vendida

para a obtenção deste lucro.

Respostasi)

C(q) = Cv(q) + Cf (q)

= 779934:56 ln q � 7238369:62 + 274094:63= 779934: 56 ln q � 6964274: 99

j) Usando o modelo não linear obtenha fórmulas para as funções custovariável médio e custo total médio� � -k) Use a fórmula (3) e a fórmula para o custo total obtido no item j), bem

como as fórmulas para as respectivas médias destes custos, para construiruma nova tabela destas funções em termos das quantidades produzidas dadasna tabela de custos.___________l) Represente gra�camente as funções receita e custo total_________

39

m)

L(q) = R(q)� C(q)= 1420003:86 ln q � 14235684:53� (779934: 56 ln q � 6964274: 99)= 640069: 3 ln q � 7271409: 54

Break even point: 640069: 3 ln q � 7271409:54 =) q = 85849: 17n) Pelo tipo de modelo utilizado, o lucro é máximo quando a quantidade

vendida é máxima.

Exercício 60 Veri�que que a tabela

X Y1:5 229:3852:3 226:6253:0 224:2103:9 221:105

é modelada por uma função a�m e encontre uma tal função (correção: últimaentradda da tabela tem que ser trocada para 221:105):

Resposta:226:625�229:385

2:3�1:5 = �3:45224:21�226:625

3�2:3 = �3: 45221:105�224:21

3:9�3 = �3:45Como os quocientes são todos iguais concluímos que a tabela é modelada

linearmente.

Exercício 61 Comprove matematicamente que apesar da aparência de alin-hamento do grá�co da tabela que segue, sugerindo que se trata do grá�co deuma função a�m, considerando como admíssivel uma diferença não superiora 0:11 para cima ou para baixo nos critérios de modelagem, a tabela é melhorrepresentada por uma função quadrática do que por uma função a�m.

X Y0:00 0:00:25 0:256 250:50 0:5250030:75 0:80624991:00 1:100021:25 1:406250003

40

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

y

RespostaCalculando os quocientes

�1 =0:256 25�0

0:25= 1:025

�2 =0:52500�0:256 25

0:25= 1:075

�3 =0:8062499�0:525

0:25= 1:124

�4 =1:10002�0:8062499

0:25= 1:175

�5 =1:406250003�1:10002

0:25= 1:224

e os quocientes�1 =

1:075�1:025:5

= 0:100�2 =

1:124�1:075:5

= 0:098�3 =

1:175�1:124:5

= 0:102�4 =

1:224�1:175:5

= 0:098obtemos valores aproximadamente constantes e iguais a 0.1. Pela pro-

priedade de caracterização das funções quadráticas decorre que, matemati-camente, temos razões para acreditar que, entre a linear e a quadrática, aque melhor modela a tabela é a quadrática.

Exercício 62 Ache a margem mínima de erro dentro da qual a tabela

X Y2:36 24:2103:33 7:5025:8 �64:726:02 �71:18

é modelável por uma função quadrática.

41

Resposta7:502�24:213:33�2:36 = �17:22:::�64:72�7:5025:8�3:33 = �29:23:::

�71:18+64:726:02�5:8 = �29:36:::

�29:23+17:225:8�2:36 = �3:49:::

�29:36+29:236:02�3:33 = �0:04:::Diferença: j�3:49� (�0:04)j = 3:45: Portanto, a margem mínima de erro

admissível tem que ser de 3.45.

Exercício 63 Veri�que, matematicamente, que a escala de demanda seguinteNÃO é adequadamente modelável nem por uma função a�m nem por umafunção quadrática (considere uma aproximação aceitável quando houver co-incidência no mínimo no primeiro dígito da expansão decimal dos valores aserem comparados, e não aceitável caso contrário).266664

p q2:33 544:373:45 539:064:00 510:105:31 420:11

377775Resposta539:06�544:373:45�2:33 = �4:74:::

510:1�539:064�3:45 = �52:65:::

420:11�510:15:31�4 = �68:69:::

Como os valores diferem em mais de um dígito na expansão decimalconcluímos que a tabela não é linearmente modelável.

�52:65+4:744�2:33 = �28:68:::

�68:69+52:655:31�3:45 = �8:62:::Como os valores diferem em mais de um dígito na expansão decimal

concluímos que a tabela não é modelável por uma função quadrática.

Exercício 64 Explique por que apesar do grá�co da tabela ter o formatoaproximado de uma parábola, é mais conveniente, para uma certa margem

42

admissível de erro, modelar a tabela abaixo por uma função cúbica.

X Y0:0 2:00:1 1: 998020:2 1:984010:3 1:9460:4 1: 871990:5 1:750080:6 1: 5679990:7 1:3140020:8 0:9760:9 0:5421:0 0:0

0.1 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y

Encontre uma função cúbica que dê uma aproximação com 3 casas decimaisda tabela.

Exercício 65 Critério de modelagem de uma tabela pela função ex-ponencialAdota-se a mesma abordagem feita anteriormente: supomos que uma

tabela (x1; y1) ; (x2; y2) ; ::: seja modelada por uma função exponencial daforma f(x) = cetx; c > 0 e obtem-se uma propriedade da tabela característicada modelagem exponencial. Com esta �nalidade, calculando os valores de fem x1; x2 etc veri�que que

ln y2 � ln y1x2 � x1

;ln y3 � ln y2x3 � x2

;ln y4 � ln y3x4 � x3

; etc

são aproximadamente iguais e coincidem aproximadamente com o coe�cienteexponencial t: Sabendo que esta propriedade é característica da modelagemexponencial tire a seguinte conclusão:Dada uma tabela (x1; y1); (x2; y2); ::: em que os valores yi são todos posi-

tivos, se os quocientes

ln y2 � ln y1x2 � x1

;ln y3 � ln y2x3 � x2

; ::: etc

são aproximadamente iguais a uma constante t, então é matematicamenteplausível que se modele a tabela por uma função exponencial do tipo y = cetx:Veri�que que valor de c é dado por c = y1

etx1:

43

Como aplicação, admitindo um erro para cima ou para baixo, em valorabsoluto, de no máximo 10�4; comprove que a tabela266664

X Y0:60 1:1741:7 11:832:9 1473 181:3

377775pode ser modelada matemáticamente pela função exponencial

y = 0:333e2:10x:

Exercício 66 Decida qual modelagem, entre a linear e a logarítmica, é maisconveniente para modelar matematicamente a seguinte tabela:

X Y1:2 47:5462:0 48:3003:5 49:1004:3 49:700

Exercício 67 a) Considerando desprezível a diferença de 0:3 para cima oupara baixo, veri�que matematicamente que é plausível modelar linearmente aseguinte escala de demanda e obtenha uma função a�m que a modele (justi-�car completamente suas conclusões).266664

p q3:50 447:844:85 444:706:75 440:108:00 437:4

377775b) Se a diferença máxima aceitável fosse de 0:2; para cima ou para baixo,

a conclusão permaneceria válida? (justi�car completamente sua res-posta).c) Use a fórmula que Voce encontrou em a), ou a fórmulaD(p) = �2:33p+

456; para extrapolar o valor da quantidade demandada ao preço de 5:00:d) Use a fórmula que Voce encontrou em a), ou a fórmula D(p) =

�2:33p + 456; para determinar uma fórmula para a receita em função dopreço e use esta fórmula para determinar o preço que determina a maiorreceita e o correspondente valor da receita (pode usar ou não o cálculo difer-encial)

44

Exercício 68 1) (a) Através de medições empíricas foram obtidas as seguintesescalas de demanda e custo:2664

p q = D(p)40 13150 9965 54

3775266664

q C(q)65 143488 1965100 2250124 2862

377775Considerando desprezível a diferença de 0:3 para cima ou para baixo para afunção demanda 0:04 para cima ou para baixo para a função custo, comprovematematicamente que é plausível modelar linearmente a escala de demandae quadraticamente a escala de custo, determinando um modelo linear para afunção demanda e um quadrático para a função custo.

Resposta:Demanda:99�13150�40 = �3: 254�9965�50 = �3:0Como a diferença entre os valores acima, para cima ou para baixo, é

inferior a 0:3; podemos usar o modelo linear para a escala de demanda.Tomando a = �3:2 calculamos b resolvendo a equação 131 = �3:2�40+

b) b = 259: Logo D(p) = �3:2p+259 é um modelo linear matematicamenteadmissível para a escala de demanda.Custo:1965�143488�65 = 23: 087

2250�1965100�88 = 23: 75

2862�2250124�100 = 25: 523:75�23:086100�65 = 0:0189

25:5�23:75124�88 = 0:048Como a diferença entre os dois últimos valores, para cima ou para baixo,

é inferior a 0:04; podemos usar o modelo quadrático para a escala de custo.Tomando a = 0:0189 calculamos b e c resolvendo o sistema

1434 = 0:0189(65)2 + 65b+ c

1965 = 0:0189(88)2 + 88b+ c:

Encontramos b = 20:1952; c = 41: 4558: Logo C(q) = 0:0189q2 + 20:1952q +41:4558 é um modelo quadrático matematicamente admissível para a funçãocusto.

45

Exercício 69 (b) Usando as fórmulas para a demanda e para o custo queVoce encontrou em a) determine o preço ótimo para o lucro.

Resposta:L(p) = R(p) � C(D(p)): Temos R(p) = pD(p) = p(�3:2p + 259) e

C(D(p)) = 0:018 9 (3: 2p� 259)2 � 64: 624 64p + 5272: 012 6 = 0:1935 p2 �95:9532p+ 6539:8435: Então

L(p) = p(�3:2p+ 259)��0:1935 p2 � 95:9532p+ 6539:8435

�= �3: 393 5p2 + 354: 953 2p� 6539: 843 5

Logo, o preço ótimo é po = �354: 953 22(�3: 393 5) = 52:298 9

Obs: utilizar quatro casas decimais depois da vírgula (por truncamento)

Exercício 70 Use o método dos mínimos quadráticos para modelar linear-mente as seguintes tabelas:

2664X Y3:2 23:154:5 27:005:0 32:22

3775 ;266664X Y4:5 18:116:7 12:149:0 12:1811:0 9:33

377775Exercício 71 Analise o que acontece com a aplicação do método dos míni-mos quadráticos para modelar linearmente tabelas com duas entradas.

Exercício 72 Aplique o método do mínimos quadráticos para modelar lin-earmente as tabelas dadas nos Exemplos ??, ??, ??, ??.

Exercício 73 Determine a natureza dos pontos P1,...,P6 marcados no grá-�co da função abaixo (se com viés de crescimento, com viés de decrescimento,ponto de mudança, ponto de máximo local, de mínimo local, de máximo ab-

46

soluto, de mínimo absoluto):

RespostaP1: ponto com viés de decrescimentoP2: ponto de mudança, mínimo localP3: ponto com viés de crescimentoP4: ponto de mudança, máximo local e máximo absolutoP5: ponto com viés de decrescimentoP6: ponto de mínimo absoluto

Exercício 74 Faça um possível esboço do grá�co de uma função y = f(x),com x 2 [�2; 4] ; sabendo que (�1; 2); é um ponto de máximo local, (1; 3) umponto de mínimo local e que a função assume seu menor valor em x = 4:

Resposta: feito em aula

Exercício 75 As tabelas indicativas do limite tem que ser utilizadas comprecaução. Tente intuir um valor para o limite

limn!1

�1 +

1

2+ :::+

1

n

�:

Resposta:

47

n 1 + 12+ :::+ 1

n

1 12 1 + 1

2= 1:5

3 1 + 12+ 1

3= 1:833333333

4 1 + 12+ 1

3+ 1

4= 2:083333333

5 1 + 12+ 1

3+ 1

4+ 1

5= 2:283333333

10 1 + 12+ :::+ 1

9+ 1

10= 2:928968254

102 1 + 12+ :::+ 1

99+ 1

100= 5:187377518

103 7:485470861104 9:787606036

Os valores da coluna da direita não sugerem nenhum padrão. De fatonão é possível se intuir facilmente o valor deste limite através de tabelasindicativas. Comprova-se, por argumentos indiretos, que os valores tendema crescer inde�nidamente, ou seja, que limn!1

�1 + 1

2+ :::+ 1

n

�=1:

Exercício 76 Seja f(x) =px:

Fazendo tabela indicativa de limite estime f 0(2) e comprove que 2 temviés de crescimento

Respostah

p2+h�

p2

h

0:1 0:349 241 122 458 4880857�0:1 0:358 086 871 640 728 720 10:01 0:353 112 550 268 747 149 4�0:01 0:353 996 440 650 660 627 90:001 0:353 509 207 464 541 597 2�0:001 0:353 597 595 819 095 256 2

Pela tabela vemos que f 0(2) = 0:35:::: Em particular, f 0(2) > 0 de modo quef tem viés de crescimento em 2:

Exercício 77 Para que o estudante se convença da necessidade de utilizara taxa variacional pontual e não simplesmente a taxa de variação médiapara decidir sobre a natureza do viés de uma dada função em um ponto,recomendamos a resolução do seguinte problema: encontre funções que temtaxa de variação média positiva no ponto x0 = �1 para valores incrementaish = �1; h = �0:5; h = �0:1; h = �0:01; respectivamente, mas que, contudo,o ponto x0 = �1 tem viés de decrescimento para estas funções.

48

Generalize este fato acima da seguinte forma: dado qualquer h > 0 (quepode, em particular, ser MUITO pequeno) encontre uma função que tem taxade variação média no ponto x0 positiva com incrementos �h mas que x0 éum ponto com viés de decrescimento para esta função.

Exercício 78 Fazendo tabelas indicativas do limite estime f 0(x0) bem comoa natureza do ponto x0 quando:1) f(x) = �2x2 + 6:5x� 1; x0 = 2, x0 = 12) f(x) = 3:4x3 � x2 + 2; x0 = 0; x0 = �2; x0 = 43) f(x) = �2x+3

x�5 ; x0 = 0; x0 = 1:5

4) f(x) = �2x+ 3px; x0 = 1; x0 = 4

Resposta1) x0 = 2

h �2(2+h)2+6:5(2+h)�5h

0:1 �1:7�0:1 �1:30:01 �1:52�0:01 �1:480:001 �1:502�0:001 �1:498

Pela tabela vemos empiricamente que f 0(2) = �1:5: Em particular, f 0(2) <0 de modo que f tem viés de decrescimento em 2:x0 = 1

h �2(1+h)2+6:5(1+h)�4:5h

0:1 2:3�0:1 2:70:01 2:48�0:01 2:520:001 2:498�0:001 2:502

Pela tabela vemos empiricamente que f 0(1) = 2:5: Em particular, f 0(1) > 0de modo que f tem viés de decrescimento em 1:2) f(x) = 3:4x3 � x2 + 2; x0 = 0; x0 = �2; x0 = 4x0 = 0

49

h 3:4h3�h2h

0:1 �6: 6� 10�2�0:1 0:1340:01 �9: 66� 10�3�0:01 1: 034� 10�20:001 �9: 966� 10�4�0:001 1: 003 4� 10�3

Pela tabela vemos que f 0(0) = 0: Nada podemos a�rmar sobre o viés de fem x0 = 0:x0 = �2

h 3:4(�2+h)3�(�2+h)2+2+29:2h

0:1 42:69 4�0:1 46:9740:01 44:58 634�0:01 45:01 4340:001 44:77 860 34�0:001 44:82 140 34

Pela tabela vemos que f 0(�2) = 44:\alguma coisa�. Em particular, f 0(�2) >0 de modo que f tem viés de crescimento em �2:x0 = 4

h 3:4(4+h)3�(4+h)2+2�203:6h

0:1 159:2 14�0:1 151:2 540:01 155:5 983 4�0:01 154:8 023 40:001 155:2 398 034�0:001 155:1 602 034

Pela tabela vemos que f 0(5) = 155:\alguma coisa�. Em particular, f 0(4) > 0de modo que f tem viés de crescimento em 4:3) f(x) = �2x+3

x�5 ; x0 = 0; x0 = 1:5x0 = 0

50

h�2h+3h�5 + 3

5

h

0:1 0:285 714 285 714 285 714 3�0:1 0:274 509 803 921 568 627 50:01 0:280 561 122 244 488 978 0�0:01 0:279 441 117 764 471 057 90:001 0:280 056 011 202 240 448 14�0:001 0:279 944 011 197 760 447 9

Pela tabela vemos que f 0(0) = 0:2:::. Em particular, f 0(0) > 0 de modo quef tem viés de crescimento em 0:x0 = 1:5

h�2(1:5+h)+3(1:5+h)�5

h

0:1 0:588 235 294 117 647 058 8�0:1 0:555 555 555 555 555 555 60:01 0:573 065 902 578 796 561 6�0:01 0:569 800 569 800 569 800 60:001 0:571 591 883 395 255 787 4�0:001 0:571 265 352 756 355 327 1

Pela tabela vemos que f 0(1:5) = 0:57:::. Em particular, f 0(1:5) > 0 de modoque f tem viés de crescimento em 1:5:

4) f(x) = �2x+ 3px; x0 = 1; x0 = 4

x0 = 1

h �2(1+h)+3p1+h�1

h

0:1 �0:535 734 554 895 453 590 3�0:1 �0:460 498 941 515 413 988 00:01 �0:503 731 366 373 291 893 4�0:01 �0:496 231 131 985 986 420 30:001 �0:500 374 812 617 105 530 2�0:001 �0:499 624 812 382 730 407 2

Pela tabela vemos que f 0(1) = �0:5. Em particular, f 0(1) < 0 de modo quef tem viés de decrescimento em 1:x0 = 4

51

h �2(4+h)+3p4+h+2

h

0:1 �1: 254 629 806 050 239 2�0:1 �1: 245 252 974 394 497 0520:01 �1: 250 468 164 976 428 169�0:01 �1: 249 530 663 145 367 4730:001 �1: 250 046 869 141 540 367�0:001 �1: 249 953 119 139 709 312

Pela tabela vemos que f 0(4) = �1:2:::. Em particular, f 0(4) < 0 de modoque f tem viés de decrescimento em 4:

Exercício 79 Desenvolvendo o quociente variacional e simpli�cando o h dodenominador, determine f 0(x) quando:1) f(x) = �2x2 + 6:5x� 12) f(x) = 3:4x3 � x2 + 2;3) f(x) = �2x+3

x�5 ;

4) f(x) = �2x+ 3px;

5) Comprove, usando as expressões obtidas acima, os valores de f 0(x0)obtidos empiricamente no Exercício 78.

Resposta1)

f 0(x) = limh!0

f(x+ h)� f(x)h

= limh!0

�2(x+ h)2 + 6:5(x+ h)� 5h

= limh!0

h (�2h� 4x+ 6:5)h

= limh!0

(�2h� 4x+ 6:5) = �4x+ 6:5:

2)

f 0(x) = limh!0

3:4h3 + 10:2h2x� h2 + 10:2hx2 � 2hxh

= limh!0

�3:4h2 + 10:2hx� h+ 10:2x2 � 2x

�= 10:2x2 � 2x:

52

3)

f 0(x) = limh!0

�2h+2x�3h+x�5 +

2x�3x�5

h= lim

h!0

7h(x�5)(h+x�5)

h

= limh!0

7

(x� 5) (h+ x� 5) =7

(x� 5) (x� 5)

4) f(x) = �2x+ 3px

f 0(x) = limh!0

f(x+ h)� f(x)h

= limh!0

3ph+ x� 2h� 3

px

h

= limh!0

�2hh

+3�ph+ x�

px�

h

!

= limh!0

�2 +

3�ph+ x�

px�

h

!

= �2 + 3 limh!0

ph+ x�

px

h

= �2 + 3 limh!0

�ph+ x�

px� �p

h+ x+px�

h�ph+ x+

px�

= �2 + 3 limh!0

h

h�ph+ x+

px� == �2 + 3

2px

5)

Exercício 80 1) f 0(x) = �4x+6:5; f 0(2) = �4�2+6:5 = �1:5, f 0(1) = 2:52) f 0(x) = 10:2x2 � 2x; f 0(0) = 0; f(�2) = 44: 8; f(4) = 155:23) f 0(x) = 7

(x�5)(x�5) ; f(0) = 0:28; f(1:5) = 0:571428 5714

4) f 0(x) = �2 + 32px; f (1) = 0:5; f(4) = �1:25

Exercício 81 Obtenha as funções derivadas das funções dadas:Resposta após a funçãoa) f(x) = 2x3 + 3x� 5; f 0(x) = 3x+ 3b) f(x) = 3

4x5 � x4 � 1p

2x+ 4

3p3 ; f0(x) = 15

4x4 � 4x3 � 1

2

p2

c) f(x) = �2:3455x7 � 0:2333x, f 0(x) = �16:4185x6 � 0:2333d) f(x) = 2:1x�0:4

3:4x2+2:33; f 0(x) = 2:1

3: 4x2+2:33� 6:8x(2:1x�0:4)

(3: 4x2+2:33)2

53

e) f(x) = �4:44x3 +p2x + 2

px � 0:45 3

px; f 0(x) =

p2 � 13:32x2 �

0:15x

3px+ 1p

x

g) f(x) = x2ex + lnx; f 0(x) = 2x2ex+x3ex+1x

h) f(x) = 3x lnx, f 0(x) = 3 ln x+ 3i) f(x) = 2

p3x2 + 2; f 0(x) = 3xp

3x2+2

j) f(x) = 3e5x+4; f 0(x) = 15e5x+4

k) f(x) = 2:4 ln(2:3x+ 5:6666); f 0(x) = 5:522:3x+5:666 6

l) f(x) = 5 cos x+ 6 sen x; f 0(x) = 6 sen�5 sin xm) f(x) = x lnx

x2+1; f 0(x) = lnx�x2 lnx+x2+1

(x2+1)2

n) f(x) = ln (x2 + 3x+ 1) ; f 0(x) = 2x+3x2+3x+1

o) f(x) = ex+px

lnx+5; f 0(x) =

px lnx�2ex+10xex+3

px+2xex lnx

2x ln2 x+20x lnx+50x

p) f(x) = 4 cos(2x) + ex2; f 0(x) = 2xex

2 � 8 sin 2xq) f(x) = cos lnx; f 0(x) = � sin(lnx)

x

k) D(p) = ep+pp

ln p+5; D0(p) =

pp ln p�2ep+10pep+3pp+2pep ln p

2p ln2 p+20p ln p+50p

p) R(q) = 4 cos(q) + 5:23eq; R0(q) = 5:23eq � 4 sin qq) L(p) = 6:77p2 (ln p) ep; L0(p) = pep (13: 54 ln p+ 6: 77p ln p+ 6: 77)

Exercício 82 Determine o pedido:Resposta após a funçãoa) R0(20); onde R(q) = �20q3 + 3000:45q2 + 20:24q � 198R0(20) = 96038:24b) C 0(10:23); onde C(q) = 23:4 ln qC 0(10:23) = 2:287 390 029:::

Exercício 83 Nas notas obtivemos a fórmula da derivada da função logar-itmo a partir da fórmula da derivada da função exponencial. Neste exercíciospropomos o contrário: obter a fórmula da derivada da função exponencial apartir da fórmula da derivada da função logaritmo.

RespostaComo ln ex = x; obtemos (ln ex)0 = (x)0 = 1: Pela regra da cadeia,

(ln ex)0 = 1ex(ex)0 : Assim, 1

ex(ex)0 = 1 donde segue que (ex)0 = ex:

Exercício 84 Obtenha as funções derivadas das funções dadas:

Resposta após a função

54

Exercício 85 a) f(x) = 2p3x2 + 2; f 0(x) = 3 xp

3x2+2

b) f(x) = 3e5x+4; f 0(x) = 15e5x+4

c) f(x) = 2:4 ln(2:3 + 5:6666); f 0(x) = 0d) f(x) = ln (x2 + 3x+ 1) ; f 0(x) = 2x+3

x2+3x+1

p) f(x) = 4 cos(2x) + ex2; f 0(x) = 2xex

2 � 8 sin 2xq) f(x) = cos lnx; f 0(x) = � 1

xsin (lnx)

Exercício 86 Calcule as primeiras, segundas e terceiras funções derivadasdas funções dadasResposta após a funçãoa) f(x) = 3:44x2 � 4x2 � 5;f 0(x) = �1:12x; f 00(x) = �1:12; f 000(x) = 0b) f(x) = 3

p7x3 � 2x;

f 0(x) = 3 3p7x2 � 2; f 00(x) = 6 3

p7x; f 000(x) = 6 3

p7

c) f(x) = 3e4x;f 0(x) = 12e4x; f 00(x) = 48e4x; f 000(x) = 192e4x

d) f(x) = x+1x�1

f 0(x) = � 2(x�1)2 ; f

00(x) = 4(x�1)3 ; f

000(x) = � 12(x�1)4

e) f(x) = cosxf 0(x) = � sin x; f 00(x) = � cosx; f 000(x) = sin xf) f(x) =

px+ 1

f 0(x) = 12px+1; f 00(x) = � 1

4(x+1)32; f 000(x) = 3

8(x+1)52

Exercício 87 Usando as técnicas de derivação prove que a derivada dafunção tangente tan x é tan2 x+ 1:

Resposta:Como tan x = sinx

cosxobtemos

(tan x)0 =

�sin x

cosx

�0=cosx: cosx� sin x:(� sin x)

cos2 x= 1+

sin2 x

cos2 x= tan2 x+1

Exercício 88 Calcule o pedido:a) f 0(2) onde f(x) = x2 � 3:44x� 123:45f 0(2) = 0:56b) f 0(3:44) onde f(x) = 3

px+ 4

f 0(3:44) = 0:08746 415 839:::c) f 00(�1) onde f(x) = x3 � 3:44x2 � x

10

55

f 00(�1) = �12: 88d) f (20)(0); onde f(x) = 3ex

f (20)(0) = 3

Exercício 89 Determina a equação da reta tangente ao grá�co da funçãoexponencial y = 2ex+1 no ponto x = �1 faça um esboço do grá�co da funçãoe da reta tangente ao grá�co da função no ponto (�1; y(�1))

Respostay = �2x+ 4

Exercício 90 Idem considerando y = 3 cos x; x = �=4

Respostay = �3

2

p2x+

p2�38� + 3

2

�Exercício 91 Suponha que uma dada função (que supomos derivável, vejacomentários adiante) y = f(x) satisfaça f(a) = f(b) para certos valoresa; b 2 R; a < b: Argumentando geométricamente, explique porque deve haverum valor x0 2 (a; b) tal que f 0(x0) = 0:

RespostaSe f(x) for uma função constante então qualquer x0 2 (a; b) satisfaz

f 0(x0) = 0: Se f não é constante então deve haver um valor x0 para x nointervalo aberto (a; b) onde f é mais alta do que f(a) (ou seja, assume o maiorvalor) ou f é mais baixa do que f(a) (ou seja, assume o menor valor). Emqualquer dos casos, �ca geométricamente claro que a tangente ao grá�co dafunção neste ponto tem que ser paralela ao eixo das abscissas, o que equivalea dizer que f 0(x0) = 0:

Exercício 92 a) Observando os grá�cos de uma função f(x) e de uma retar como mostrado na �gura

56

­1 1 2 3 4 5 6

­10

10

20

30

x

y

e supondo que os pontos de interseção do grá�co de f com r são (a; f(a));(b; f(b)); argumente que deve haver um x0 2 (a; b) tal que

f 0(x0) =f(b)� f(a)b� a : (6)

RespostaPelo grá�co �ca claro que deve haver um ponto x0 2 (a; b) tal que a reta

tangente ao grá�co de f no ponto (x0; f(x0)) é paralela à reta r: Por seremparalelas, a reta tangente e r tem que ter a mesma declividade, que é f 0(x0)no caso da reta tangente e f(b)�f(a)

b�a no caso da reta r: Logo tem-se a igualdade(6).

Exercício 93 b) Deduza a equação da reta g(x) = cx + d que passa pelospontos (a; f(a)) ; (b; f(b)) (c e d estarão dados em termos de a; f(a); b e f(b):

RespostaA declividade desta reta é f(b)�f(a)

b�a : Logo

g(x) =f(b)� f(a)b� a x+ d

Como g(a) = f(a) devemos ter

f(a) =f(b)� f(a)b� a b+ d

57

d = f (a)� b (f (a)� f (b))a� b :

Assim

g(x) =f(b)� f(a)b� a x+ f (a)� b (f (a)� f (b))

a� b :

Exercício 94 c) Trabalhando com a função h(x) = f(x)� g(x) use o Exer-cício 91 para comprovar analiticamente a validade de (6).

RespostaTemos

h(a) = f(a)� g(a)

= f(a)� f (a)� a

a� b (f (a)� f (b)) +b

a� b (f (a)� f (b))

= f (b)� f (a)

bem como

h(b) = f(b)� g(b)

= f(b)� f(b)� f(a)b� a b� f (a) + b (f (a)� f (b))

a� b= f (b)� f (a)

Logo h(a) = h(b): Pelo visto antes, deve então haver x0 tal que h0(x0) = 0;ou seja, f 0(x0) = g0(x0): Mas

g0(x0) =f(b)� f(a)b� a ;

o que comprova (6).

Exercício 95 Use o exercício anterior para comprovar que toda função quetem derivada primeira zero é uma constante, que toda função que tem derivadasegunda zero é uma a�m e que toda a função que tem derivada segunda con-stante e não nula é uma função quadrática.

Resposta

58

Suponha que uma função tenha derivada zero em todos os pontos. Fixadoum valor a para x; e dado um valor qualquer x diferente de a; suponhamosmaior do que a; deve haver x0 2 (a; x) tal que

f 0(x0) =f(x)� f(a)x� a :

Mas f 0(x0) = 0; de mdo quef(x)�f(a)x�a = 0; o que nos dá f(x) = f(a): Assim,

�ca comprovado que f(x) = f(a) para todo x > 0: Analogamente veri�ca-seque f(x) = f(a) para x < a: Conclui-se então que f(x) = f(a) para todo x;ou seja, f é uma função constante.Suponha agora que uma função f(x) tenha derivada segunda zero em

todos os pontos. Considerando a função g(x) = f 0(x); decorre então queg0(x) = 0 para todo x: Logo g(x) é uma função constante, digamos g(x) = apara todo x: Como g(x) = f 0(x); temos f 0(x) = a: Considere agora a funçãoh(x) = f(x)� ax: Então h0(x) = f 0(x)� a = 0 de modo que h é uma funçãoconstante, que não precisa ser a mesma constante a. Digamos h(x) = b:Então, como h(x) = f(x) � ax concluímos que b = f(x) � ax; ou seja,f(x) = ax+ b:Suponha agora que uma função f(x) tenha derivada segunda zero con-

stante = a 6= 0; ou seja, f 00(x) = a: Considere g(x) = f(x) � ax2=2. Entãog�(x) = f 0(x)� ax e g00(x) = f 00(x)� a = 0: Logo g(x) é uma função do tipog(x) = cx+d: Então cx+d = f(x)�ax2=2 de modo que f(x) = a

2x2+cx+d:

Exercício 96 Usando a de�nição analítica da função módulo comprove queela não tem derivada em x = 0:

RespostaA derivada em 0; se existir é, por de�nição

f 0(0) = limh!0

f(0 + h)� f(0)h

= limh!0

jhjh:

Se fazemos o limite de h! 0 com valores positivos de h obtemos

f 0(0) = limh!0h>0

jhjh= lim

h!0h>0

h

h= lim

h!0h>0

1 = 1:

Por outro lado, se fazemos o limite de h ! 0 com valores negativos de hobtemos

f 0(0) = limh!0h<0

jhjh= lim

h!0h<0

�hh= lim

h!0h>0

(�1) = �1;

59

o que deixa claro que não existe um valor possível para f 0(0):

Exercício 97 Comprove geometricamente que em um ponto de mudança aderivada tem que ser necessariamente zero.

RespostaTodo ponto de mudança é um ponto de máximo ou de mínimo local.

Nestes pontos, é geometricamente claro que a reta tangente é horizontal,tendo portanto declividade zero. Como a declividade da reta tangente éigual à derivada da função na abscissa corresponte ao ponto, a conclusãosegue.

Exercício 98 Prove que a função y = x3 tem derivada zero em x = 0 maso ponto (0; 0) não é um ponto de mudança desta função. Faça um esboço dográ�co desta função em uma vizinhança da origem.

RespostaTemos y0(x) = 3x2 de modo que y0(0) = 0: Por outro lado, é obvio que

x3 é uma função crescente não podendo ter, portanto, nenhum ponto demudança.

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­100

­50

50

100

x

y

Exercício 99 Determine (exata ou aproximadamente), se existirem, os pon-tos de mudança da função dada, determinando sua natureza (se de máximoou mínimo local) e faça um esboço do seu grá�co

a) f(x) = 2x3 � 27x2 + 120x� 100f 0(x) = 6x2 � 54x+ 120

60

f 0(x) = 0;() x1 = 5; x2 = 4f 00(x) = 12x� 54f 00(4) = �6 < 0 =) 4 é ponto de máximo localf 00(5) = 6 > 0 =) 5 é ponto de mínimo local

­1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

­200

­100

100

200

300

400

x

y

b) f(x) = �3:34x2 + 0:02x� 10:44f 0(x) = 0:02� 6:68x = 0() x = 0:0029:::f 00(0:0029:::) = �6:68 < 0 =) x = 0:0029 é ponto de máximo local.

Como ele é o único ponto de mudança, ele é ponto de máximo global

­1.0 ­0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

­14

­12

­10

­8

­6

­4

­2

x

y

61

c) f(x) = x3 � 6x2 + 12x� 8Feito em aulad) f(x) = 2:34x ln 0:111x, x 2 [1;1)f 0(x) = 2:34 ln 0:111x+ 2:34 = 0 =) x = 3:314f 00(3:314) ' 0:7 > 0 =) x = 3:314 é ponto de mínimo global

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

x

y

e) f(x) = 10:23xe�2:11x + 12:11f 0(x) = 10:23e�2:11x � 21:5853xe�2:11x = 0 =) x ' 0:47f 00(0:47) ' �8: 07 < 0 =) x ' 0:47 é ponto de máximo global10:23xe�2:11x + 12:11

­1 1 2 3 4

­70

­60

­50

­40

­30

­20

­10

10

x

y

62

f) f(x) = �1:5x3 � 2:52x2 + 1:3266x+ 7:66f 0(x) = �4:5x2 � 5:04x+ 1: 3266 = 0 =) x1 = 0:22; x2 = �1:34f 00(x) = �9:0x� 5:04f 00(0:22) = �7: 02 =) x1 = 0:22 é ponto de máximo localf 00(�1:34) = 7: 02 =) x1 = �1:34 é ponto de mínimo local

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­200

­100

100

x

y

g) f(x) = ex

x2+1

f 0(x) = ex(x�1)2

(x2+1)2= 0 =) x = 1

f 00(1) = 0Neste caso, pelo teste da segunda derivada, nada podemos a�rmar sobre

a natureza do ponto x = 1: Contudo, da expressão da derivada vemos que elaé sempre positiva para x 6= 1; do que decorre que todos os pontos da funçãosão de crescimento. Logo f(x) é uma função crescente, e o grá�co de f(x)tem em x = 1 reta tangente horizontal

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

y

63

g) Seja

f(x) =ex

4x2 + 1:

(a) Determine os pontos de mudança de f(x) bem como a natureza dosmesmos (se são pontos de máximo/mínimo local)(b) Faça um esboço do grá�co de f no intervalo [0; 5]

a) f 0(x) =ex(4x2�8x+1)(4x2+1)2

:

f 0(x) = 0, ex(4x2�8x+1)(4x2+1)2

= 0, ex (4x2 � 8x+ 1) = 0, 4x2 � 8x+ 1 =0, x1 = 0:133 97 ou x2 = 1: 866:

f 00(x) =ex(16x4�64x3+104x2�16x�7)

(4x2+1)3

f 00(0:13397) ' �6: 895 8 < 0) x1 é ponto de máximo localf 00(1:8666) ' 0:200 82 > 0) x2 é ponto de mínimo localb)

0 1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

y

i) f(x) = x sinx

Exercício 100 Esta função tem uma in�nidade de pontos de máximo e mín-imo locais, que são soluções da equação

f 0(x) = sin x+ x cosx = 0:

Não é possível o cálculo dos valores explicitos destes pontos, com exceção dex = 0; que é um ponto de mínimo local pois f 00(0) = 2 > 0: O seguinte grá�cofoi feito pelo computador:

64

­20 ­15 ­10 ­5 5 10 15 20

­16­14­12­10

­8­6­4­2

2468

1012141618

x

y

Exercício 101 Usando resultados sobre derivadas obtenha o que é ensinadono Ensino Médio sem muitas explicações: o vértice da parábola, grá�co daquadrática q(x) = ax2 + bx + c; tem abscissa x = �b=(2a): Além disso ovértice está �acima�na parábola se a < 0 e �abaixo�se a > 0:

RespostaTemos q0(x) = 2ax + b de modo que q0(x) = 0 () x1 = �b=(2a): Além

disso q00(x) = 2a e assimq00 (x1) = 2a;

de modo que q00 (x1) > 0 se a > 0 e, neste caso, x1 é um ponto de mínimolocal de q: Além disso, como q(x) não tem nenhum outro ponto de mudança,x1 é um ponto de mínimo absoluto. Assim, se a > 0 o grá�co de q é umaparábola que tem vértice na parte de baixo e cuja abscissa vale x1 = �b=(2a):O caso a < 0 é análogo.

Exercício 102 Responda se o ponto dado é de crescimento, decrescimentoou de mudança da função dada:a) x = �3; f(x) = �x3 + 2xb) x = 2:45; f(x) = x lnx

65

Respostaa) f 0(x) = �3x2+2 de modo que f 0(�3) = �3:9+2 = �25 < 0: Portanto

�3 é um ponto com viés de decrescimendo de fb) f 0(x) = 1 + lnx =) f 0(2:45) = 1:89::: > 0 =) 2:45 é um ponto com

viés de crescimendo de f

Exercício 103 Usando derivadas, explique porque as funções logaritmo eexponencial não apresentam pontos de mudança.

RespostaÓbvio, já que (lnx)0 = 1=x e (ex)0 = ex nunca se anulam (x 2 (0;1) no

caso da função ln); mais do que isso, são sempre positivas. Portanto, todosos pontos das funções exponencial e logaritmo são de crescimento, ou seja,estas funções são crescentes.

Exercício 104 As funções y = x e y = ex são ambas funções crescentes. Oque podemos concluir sobre a função y = ex=x no intervalo (0;1)?

RespostaTemos

y0(x) =ex (x� 1)

x2

de modo que y0(x) = 0() x = 1: Além disso

y00(x) =ex (x2 � 2x+ 2)

x3

de modo que y00(1) = e > 0 o que implica que x = 1 é um ponto de mínimolocal. Como ele é o único ponto de mudança, x = 1 é um ponto de mínimoglobal. Portanto, a função y(x) é decrescente no intervalo (0; 1] e crescenteno intervalo [0;1) : Um esboço do grá�co de y(x) é:

66

1 2 3 4 50

10

20

30

x

y

Exercício 105 Uma aplicação geométrica da derivada:a) prove que entre todos os retângulos de um dado perímetro o que tem

maior área é um quadrado. Voce é capaz de dar uma aplicação prática (denatureza econômica até) deste resultado?

Solução:Sejam x; y > 0 os lados de um retângulo genérico de perímeto L: A área

deste retângulo é A = xy. Como 2x + 2y = L obtemos y = (L� 2x) =2 (*)de modo que

A(x) =(L� 2x)x

2:

No valor de x em que a área é máxima tem-se A0(x) = 0: Resolvendo-se aequação A0(x) = 0 encontramos x = L=4: Usando (*) vemos que y = L=4 oque nos permite concluir que o retângulo de maior área e perímetro L é umquadrado de lado L=4:Aplicação: pense em um lojista que tem muitas tirinhas de tecido de um

mesmo comprimento e que quer usar estas tirinhas para enfeitar as bordas decartões retangulares. Quais as dimensões dos retângulos que o lojista deveutilizar para ter um cartão onde ele possa escrever o maior texto possível?

Exercício 106 b) prove que entre todos os retângulos de mesma área o quetem maior perímetro é um quadrado

Solução: Seja A > 0 e seja R um retângulo genérico de lados x e y eárea A; ou seja, A = xy: Então o perímetro de R é

P (x) = 2x+2A

x

67

Se x é um valor onde P é máximo então P 0(x) = 0: Resolvendo esta equaçãoecontramos x =

pA e, como xy = A; encontramos y =

pA o que prova o

a�rmado.

Exercício 107 Procurando maximizar lucro com a comercialização de umdeterminado produto foram feitas pesquisas de campo e obtidas as seguintesescalas de demanda e custo:26666664

p q = D(p)5 45010 44014 39518 27721 140

377777752664

q C(q)120 238200 278300 328

3775Através da construção de um modelo matemático, matematicamente plausível

para estas escalas de demanda e custo (teste modelos polinomiais), estime opreço que fornece maior lucro. Assuma que para a função demanda o erroadmissível seja menor do que 2 e que para a função custo seja 1:

Solução:Vamos testar inicialmente modelos polinomiais para as escalas de de-

manda e de custo:Demanda:450�44010�5 = 2:0

395�44014�10 = �11:25277�39518�14 = �29: 5140�27721�18 = �45:6666Erros grandes. Tentemos a quadrática�11:25�214�5 = �1:4722

�29:5+11:2518�10 = �2:2812

�45:6666+29:521�14 = �2:3095

Erro dentro da faixa admíssivel. Usamos então o modelo quadrático paraa demanda: D(p) = ap2 + bp+ c: Tomamos a = �2:3: Resolvendo o sistemapara b e c obtemos:

440 = �2:3� 10 + 10b+ c395 = �2:3� 14 + 14b+ c

68

b = �8:95 e c = 552:5 se modo que D(p) = �2:3p2 � 8:95p+ 552:5Custo:278�238200�120 = 0:5328�278300�200 = 0:5Vemos então que, matemáticamente, o custo admite o modelo linear

C(q) = aq + b: Tomando a = 0:5 e resolvendo para b a equação 238 =0:5� 120 + b encontramos b = 178: Logo C(q) = 0:5q + 178:Logo L(p) = pD(p) � C(D(p)) = �2: 3p3 � 7: 8p2 + 556: 975p � 454: 25:

Calculando L0(p) e resolvendo a equação L0(p) = 0 obtemos p1 = �10: 1857e p2 = 7: 924 8: Logo o preço ótimo é po = 7:9248: Notemos que L00(7:9248) =�124: 962 24 < 0 o que comprova que po = 7:9248 é um valor de máximopara o lucro.

Exercício 108 Suponha que f(x) = 3:45 (x+ 1) ln (2:5x+ 1) + 3:33:a) Da de�nição de derivada tem-se

f 0(0) = limh!0

f(h)� f(0)h

;

do que decorre que o valor f 0(0) é aproximadamente igual (f(h)� f(0)) =hpara valores de h próximos de 0: Construa então uma tabela de no mínimo 8entradas, com valores de (f(h)� f(0)) =h com no mínimo 6 casas decimais;para valores positivos e negativos de h ' 0 para estimar f 0(0):b) Determine f 0(0) usando as regras e fórmulas de derivação

Respostaa)

h 3:45(ln(2: 5h+1))(h+1)h

0:1 8: 468 297 772 374 260 231�0:1 8: 932 528 349 627 797 7970:01 8: 604 140 857 114 949 528�0:01 8: 647 297 317 034 206 9440:001 8: 622 850 921 810 962 318�0:001 8: 627 163 453 256 420 8150:0001 8: 624 784 446 859 280 712�0:0001 8: 625 215 696 890 726 026

Logo, f 0(0) = 8:62:::

69

b)

f 0(x) = 3: 45 ln (2: 5x+ 1) +8:625

2: 5x+ 1(x+ 1)

f 0(0) = 8:625

Exercício 109 Sendo f(x) = x3�2x; estime/determine f 0(1) das três seguintesmaneiras:a) usando tabela indicativa do limite para a derivadab) usando as regras e fórmulas de derivaçãoc) desenvolvendo a expressão (f(1 + h)� f(1)) =h; simpli�cando o h do

denominador e calculando o limite acima

Exercício 110 Suponha que as funções demanda e custo sejam dadas pelasfórmulas analíticas �

D(p) = �5:66pp+ 334:67C(q) = 2q + 455

para 1400 � p � 1600: Calcule o preço que dá maior lucro, bem quanto écomercializado e o lucro a este preço.

Resposta

L(p) = p (�5:66pp+ 334:67)� (2 (�5:66pp+ 334:67) + 455)L(p) = �5:66ppp+ 334:67p+ 11:32pp� 1124:34

L0(p) =334:6 7

pp� 8:49p+ 5:66pp

334:67pp� 8:49p+ 5:66 = 0

p = 39:432 = 1554:72 é o preço que dá maior lucro.Lmax = L(1554:72) = 172667:9 2q = D(1554:72) = 111:49

Exercício 111 Idem para�D(p) = �5:66p2 + 334:67C(q) = 2q2 + 455

70

RespostaEste exercício para ser resolvido requer o cálculo das raízes de uma função

cúbica, que não estudamos no curso como fazer. Por isto não precisa ser feito.

Exercício 112 Suponha que a função demanda mensal de um certo produtoem um certo mercado em função do preço p do produto é dada pela fórmula

D(p) = �2:3pp+ 345:5

com 85000 � p � 12300:a) Veri�que o viés da função receita ao preço p = 10025:56b) Determine a elasticidade demanda preço e a elasticidade demanda

preço aproximada para p = 92200:c) Utilize a noção de demanda marginal para determinar se este modelo

para função demanda é do tipo côncavo ou convexo, justi�cando completa-mente sua resposta. Interprete economicamente.

Respostaa) R(p) = pD(p) = p

��2:3pp+ 345:5

�R0(p) = 345:5� 3: 45ppR0(10025:56) = 0:05937 138::: > 0) R tem viés de crescimento ao preço

p = 10025:56

Exercício 113 Comprove matematicamente que a elasticidade demanda preçoé sempre menor do que a elasticidade aproximada demanda preço quando ademanda é modelada por uma função quadrática no modelo convexo, o con-trário acontecendo quando a demanda é modelada por uma função quadráticano modelo côncavo (usar um modelo genérico para função demanda).

Exercício 114 Podemos usar o artifício do cálculo aproximado da raíz quadradapara calcular o valor aproximado da raíz n�ésima de qualquer número. Porexemplo, obtenha valores aproximados de 3

p9; 4p628:23

Respostaf(x) = x1=3: Sabemos que 23 = 8 e 33 = 27: Assim escolhemos x0 = 8:x1 = 9f(x1) �= f 0(x0) (x1 � x0) + f(x0):f 0(x) = 1

33px2

f 0(8) = 1

3 3p64= 1

12= 0:08

71

3p9 ' 0:08(9� 8) + 2 = 2:08

3p13:5 ' 2:08

f(x) = x14 ; x0 = 625; x1 = 628:23

4p628:23 �= f 0(625)(628:23� 625) + f(625) = 5:00646

Exercício 115 Notando que a função f(x) = 2:3 ln(1+4:5x) e sua derivadasão fáceis de avaliar em x0 = 0; determine a fórmula de aproximação deprimeira ordem da mesma em x0 = 0:

Respostaf(x) ' f(0) + f 0(0)xf(0) = 0f 0(x) = 2:3�4:5

1+4:5x) f 0(0) = 2:3� 4:5 = 10:35

Logo, 2:3 ln(1 + 4:5x) ' 10:34x

Exercício 116 Calcule o valor aproximado de (1:0012)3 + ln 1:0012:

Respostax0 = 1x1 = 1:0012f(x) = lnx+ x3; f 0(x) = 1

x+ 3x2

f 0(1) = 1 + 3 = 4ln 1:0012 + (1:0012)3 ' 4(1:0012� 1) + 1 = 1:0048

Exercício 117 Calcule aproximadamente 32:233; 32:88 (usar a aproximaçãoln 3 �= 1:098 6)

Respostax0 = 2; x1 = 2:233; f(x) = 3

x

32:233 �= f 0(2)(2:233� 2) + f(2) = 11:30:::x0 = 2; x1 = 2:88; f(x) = 3

x

32:88 �= f 0(2)(2:88� 2) + f(2) = 17:70:::

Exercício 118 Calcula-se que o custo relativo à comercialização inicial deq0 = 1000 unidades de um determinado produto é de R$3547; 00: Supondoque a função custo é modelada pela fórmula

C(q) = 7 ln(25q � 24000) + 3500

72

para q � 103; use a fórmula de aproximação de primeira ordem

C(q) ' C(q0) + C 0(q0)(q � q0)

para obter um modelo linear para o custo C(q) para quantidades q � 103

próximas a 103 (q ' 103): Usando este modelo linear, estime C(1040): Per-gunta: Você precisa usar uma máquina cientí�ca (que tenha, em particular,a função logaritmo) para fazer os cálculos deste problema ou basta uma cal-culadora simples (que tenha apenas as 4 operações elementares)?

RespostaTemos

C(q0) = C(1000) = 3547

eC 0(q) =

175

25q � 24000de modo que C 0(1000) = 0:175:Logo

C(q) = 3547� 0:175(q � 1000);

é um modelo linear para o custo. Então C(1040) = 3540:Os cálculos acima mostram que basta uma calculadora simples.

Exercício 119 Determinar de quanto pode aumentar-se o preço, a partir de0:85; para que o lucro ainda aumente.

Resposta:

Exercício 120 As funções demanda e custo de um certo bem são dadas,respectivamente, pelas fórmulas

D(p) = �1:28p+ 3000C(q) = 2:25q2 + 6:7q + 900

Determinar as funções receita e lucro marginais e as funções receita e lucromarginais aproximadas, todas elas relativas às seguintes quantidades q =798 e q = 891:

73

Respostaq = �1:28p+ 3000 =) p = 2343:75� 0:78q (coe�cientes aproximados)R(q) = q (2343:75� 0:78q)Rmg(798) = R

0(798) = 1098: 87Rmg(891) = R

0(891) = 953:7 9Rma(798) = R(799)�R(798) = 1098: 09Rma(891) = R(892)�R(891) = 953:0 1L(q) = q (2343:75� 0:78q)� (2:25q2 + 6:7q + 900)Lmg(798) = L

0(798) = �2498: 83Lmg(891) = L

0(891) = �3062: 41Lma(798) = L(799)� L(798) = �2501: 86Lma(891) = L(892)� L(891) = �3065:44

Exercício 121 Comprove matematicamente que tanto o custo marginal quantoo custo marginal aproximado não dependem do custo �xo.

Exercício 122 Comprove matematicamente que, no modelo linear, o customédio, a grandes quantidades, se iguala ao custo marginal.

Exercício 123 Supondo que q = �p2 + 3p+ 18 descreve a demanda de umcerto produto, determine a elasticidade-preço e elasticidade-preço aproximadapara p = 4 e p = 3. Elas são elásticas ou inelásticas?Obtenha uma fórmula que de a variação da quantidade demandada quando

o preço p sofre uma variação de 5% para cima. Calcule valores explicitos davariação para os preços dados no item anterior.

RespostaTendo-se D(p) = �p2 + 3p+ 18:

ea(4) =100 (D(1:01� 4)�D(4))

D(4)' �1:44

ea(3) =100 (D(1:01� 3)�D(3))

D(3)' �0:505

e(4) =4D0(4)

D(4)' �1:42

e(3) =3D0(3)

D(3)' �0:5

74

p = 4: elástica, p = 3: inelástica.Denotando por f(p) a fórmula pedida, temos

f(p) =100 (D(1:05� p)�D(p))

D(p)

e

f(4) =100 (D(1:05� 4)�D(4))

D(4)' �7:42

f(3) =100 (D(1:05� 3)�D(3))

D(3)' �2:62

Exercício 124 A demanda de soja q está relacionada ao preço p do feijão(demanda cruzada) através da fórmula

q =pp+ 4:

Determine a elasticidade-preço (dita elasticidade cruzada) da demandaao preço p = 12 (utilize ambas fórmulas para elasticidade).

RespostaTendo-se D(p) =

pp+ 4

e(12) =12D0(12)

D(12)' 0:375

ea(12) =100 (D(1:01� 12)�D(12))

D(12)' 0:37

Exercício 125 Prove que se uma função econômica E(p) é modelada poruma função a�m, ou seja E(p) = ap + b; então a elasticidade e(p) e a elas-ticidade aproximada ea(p) de E coincidem. O que podemos dizer se E(p) émodelada por uma função quadrática?

Respostae(p) = pE0(p)

E(p)= ap

ap+b

ea(p) =100(E(1:01p)�E(p))

E(p)= 199(0:01ap)

ap+b= ap

ap+b: Logo ea(p) = e(p):

Se E(p) é modelada por uma função quadrática então a a�rmação anterioré falsa. Por exemplo, se E(p) = p2 entãoe(p) = pE0(p)

E(p)= 2

ea(p) =100(E(1:01p)�E(p))

E(p)= 2:01

de modo que e(p) 6= ea(p):

75

Exercício 126 Suponha que as funções demanda e custo relativas à comer-cialização de um determinado produto sejam

D(p) = �2:3p2 + 0:5p+ 210:77C(q) = 0:023q + 3:33

com o preço variando de 4:5u:m: (u:m:: unidade monetária) a 8:5u:m:a) Sem deduzir a fórmula do lucro, responda o que dá mais lucro: vender

o produto a p = 5:4 ou vender o produto a p = 6:0b) Determine a elasticidade e a elasticidade aproximada da demanda-

preço para p = 5:6c) Determine o custo-quantidade marginal e o custo-quantidade aproxi-

mado relativos a q = 5d) Determine o custo-preço marginal e o custo-preço aproximado relativos

a p = 6:6e) Pergunta-se: qual o viés da receita aos preços de p = 4:5 e p = 6:6f) Pergunta-se: qual o viés da funçao lucro ao preço p = 5:8g) Qual o lucro marginal aproximado correspondente ao preço p = 5:6?h) Qual o preço que produz maior lucro e qual o lucro obtido a este preço?i) Qual a quantidade vendida ao preço que produz maior lucro?

Respostaa) A demanda ao preço p = 5:4 éD(5:4) = 146:402 que corresponde a uma

receita R = 146:402� 5:4 = 790:5708 e um custo de C(146:402) = 6:697 246:Portanto, o lucro correspondente à venda do produto ao preço 5.4 é L(5:4) =790:5708� 6:697 246 = 783:873554:Por outro lado, a demanda ao preço p = 6 é D(6) = 130:97 que corre-

sponde a uma receita R = 130:97 � 6 = 785:82 e um custo de C(130:97) =6:342 31 Portanto, o lucro correspondente à venda do produto ao preço 6 éL(6) = 785:82 � 6:342 31 = 779:4 776 9: Portanto, a venda do produto aopreço de 5:4 é o que dá mais lucro

b) e(5:6) = 5:6D0(5:6)D(5:6)

= �1:000 098980 500 841 334ea(5:6) =

100(D(1:01�5:6)�D(5:6))D(5:6)

= �1: 005 198 455 904 186 875

c) Cmg(5) = C 0(5) = 0:023; Cma(5) = C(6)� C(5) = 0:023:

d) Temos C(p) = C(D(p)) = �0:0529p2+0:0115p+8:77 71 de modo que

76

Cmg(6:6) = C0(6:6) = �0:686 78; Cma(6:6) = C(7:6)�C(6:6) = �0:739 68

e) R(p) = dD(p) = R(p) = �2:3p3 + 0:5p2 + 210:7 7pR0(4:5) = 75:54 5 > 0) 4:5 tem viés de crescimentoR0(6:6) = �8: 319 4� 101 < 0) 6:6 tem viés de decrescimento

f) L(p) = pD(p)�C(D(p)) = �2:3p3 + 0:552 9p2 + 210:7 585p� 8: 177 71L0(5:8) = �1: 494 386� 101 < 0) 5:8 tem viés de decrescimento

g) Lma(5:6) = L(6:6)� L(5:6) = �39:82 012

h) L0(p) = 0 tem como única solução com signi�cado econômico p1 =5: 607 438 190 960 654 743: Como L00(5: 607 438 190 960 654 743) = �7: 627 684 703525 703 545� 101 < 0; o preço p1 é o que maximiza o lucro, que valeL(5: 607 438 190 960 654 743) = 7: 854 941 431 260 154 495� 102:

i) q = D(5: 607 438 190 960 654 743) = 1: 412 539 840 449 588 967� 102

Exercício 127 Sabendo que

D(p) = �1:44p+ 455C(q) = 10:02 ln (300:23q) + 100

a) Determine o custo marginal e o custo marginal aproximado correspon-dentes à quantidade q1 = 100 e q2 = 179b) Determine a função custo médio e analise seu comportamento quando

a quantidade �ca muito grandec) Determine os lucros marginais referente aos preços p1 = 145 e p2 =

167. O que se pode concluir?d) Determine o lucro marginal e o lucro marginal aproximado referentes

ao preço p = 157:7: Interpretar os resultados obtidos.e) Determine o preço que resulta em maior lucro

Respostaa) Cmg(100) = C 0(100) = 0:100 2; Cma(100) = C(101) � C(100) =

0:9970 231 514 874 419 014� 10�2Cmg(179) = C

0(179) = 5: 597 765 363 128 491 62�10�2; Cma(179) = C(180)�C(179) = 5: 582 187 139 554 290 808� 10�2

77

b) Cm(q) =C(q)q= 10:02 ln(300:23q)+100

q= 10:02 ln(300:23q)

q+ 100

q: É claro que

a segunda parcela tende a zero quando q decresce inde�nidamente. Mastambém é verdade que a primeira parcela decresce inde�nidamente pois ocrescimento linear é maior que o logarítmico. Para ter uma melhor idéiadisto, construímos uma tabela indicativa do limite:

q 10:02 ln(300:23q)q

5 1: 465 722 946 707 647 835� 10110 8: 023 148 208 459 304 376102 1: 033 033 847 163 933 815103 0:126 375 287 348 193 719 3106 1: 955 909 952 435 947 325� 10�41010 2: 878 786 057 707 960 836� 10�8

Existe um indicativo claro na tabela que

limq!1

10:02 ln (300:23q)

q= 0:

Usando a tabela indicativa como uma comprovação empírica do limite acimaconcluímos que limq!1Cm(q) = 0:

c) Temos

L(p) = pD(p)�C(D(p)) = �1:44p2+455p�100�10:02 ln (136604:65� 432:3312p) :

Logo

L0(p) = �1245:113 856p2 � 590132:088p+ 62159447:708624432:3312p� 136604:65

de modo que Lmg(145) = L0(145) = 37:45860601137 286759 e Lmg(167) =L0(167) = �25:8927391385418609: Portanto, o lucro tem viés de crescimentoao preço 145 e viés de decrescimento o preço 167:

d)Lmg(157:7) = L

0(157:7) = 0:887 308 645 442 100 459 8 > 0Lma(157:7) = L(158:7)� L(157:7) = �0:552 490 508887 533 532 5O fato do lucro marginal ser positivo ao preco de 157:7 garante que existe

margem para um aumento de preço com um correspondente aumento de

78

lucro. Contudo, como o lucro marginal aproximado é negativo �ca claro queeste aumento tem que ser menor do que 1 unidade monetária.

e) Resolvendo a equação L0(p) = 0, encontramos p1 = 158:0081 361596 736 624e p2 = 315:9501971736596 709Como

L00(p1) = L00(158:0081 361596 736 624) = �2:879 598 439 484 307 650 < 0

e

L00(p2) = L00(315:9501971736596 709) = 2: 065 253 724 315 004 126� 104 > 0

concluímos que p1 é um ponto de máximo local e p2 um ponto de mínimolocal. No contexto econômico, decorre que p1 é o preço que proporcionamaior lucro.

Exercício 128 Suponha que o lucro L(p) obtido pela comercialização de de-terminado produto em um certo intervalo de tempo em termos do preço p doproduto é dado pela fórmula analítica

L(p) = 0:33p3 � 3:99p2 + 13:18p+ 25:66

com 1 � p � 6:a) Comprove que o lucro tem viés de decrescimento ao preço p = 3:5b) Determine o preço em que o lucro é máximo, justi�cando matematica-

mente sua conclusãoc) Comprove que a diferença entre o lucro marginal aproximado e o lucro

marginal cresce linearmente com p

Respostaa) Comprove que o lucro tem viés de decrescimento ao preço p = 3:5L0(p) = 0:99p2 � 7:98p+ 13:18L0(3:5) = �2: 622 5 < 0) viés de decrescimento

b) Determine o preço em que o lucro é máximo, justi�cando matemati-camente sua conclusãoL0(p) = 0, p1 = 2: 318 517 061 515 321 24; p2 = 5:742 088 999 090 739 366L00(2:31) = �3:406 2 < 0L00(5:742) = 3:389 16

79

Logo p1 = 2:31::: é o preço que dá maior lucro.

c) Comprove que a diferença entre o lucro marginal aproximado e o lucromarginal cresce linearmente com pL(p+ 1)� L(p) = 0:99p2 � 6: 99p+ 9: 52L0(p) = 0:99p2 � 7: 98p+ 13:18L(p+ 1)� L(p)� L0(p) = 0:99p� 3: 66Esta última fórmula é uma função a�m crescente.

Exercício 129 A função demanda relativa à comercialização de um deter-minado produto em um certo período de tempo é

D(p) = �p2:3p+ 34:56

tendo-se o preço variando entre 210 � p � 265: Determine a receita marginalreferente ao preço de R$233; 00 e, a partir do resultado obtido, responda se�existe margem� para uma diminuição deste valor de preço sem que hajaperda de receita.

RespostaR(p) = pD(p) = �p

�p2: 3p� 34:56

�Rmg(p) = R0(p) = 34:56 �

p2:3p � 1:15pp

2: 3p; Rmg(233) ' �0:164 271 050:

Como Rmg(233) < 0 existe margem para diminuição do preço com aumentoda receita.

Exercício 130 A função demanda relativa à comercialização de um deter-minado produto em um certo período de tempo é

D(p) = 12:22� ln (2345:67p)

tendo-se o preço variando entre 25 � p � 38: Determine a receita marginalreferente ao preço de R$31; 00 e, a partir do resultado obtido, responda se�existe margem� para uma diminuição deste valor de preço sem que hajaperda de receita.

RespostaR(p) = pD(p)R0(31) ' 0:02568 644 > 0) não existe margem para diminuição do preço

sem perda da receita.

80

Exercício 131 Considere o seguinte modelo para as funções demanda ecusto relativas à comercialização de um determinado produto, em um certomercado e em um certo intervalo de tempo:�

q = D(p) = �3p2 � 10p+ 2900C(q) = 9:9q + 98:78

com 10:50 � p � 30:a) Determine fórmulas para as funções receita e lucrob) Determine o preço que produz maior lucro e o valor deste lucroc) Determine a natureza do preço p1 = 18:55 (se com viés de cresci-

mento ou de decrescimento) para as funções receita e lucro e, importante:interpretar economicamente os resultados obtidos, veri�cando se há ou nãoincoerência entre eles e EXPLICANDO PORQUE.

Respostaa) R(p) = pD(p) = �p (3p2 + 10p� 2900)L(p) = pD(p) � C(D(p)) = 99:0p � p (3p2 + 10p� 2900) + 29:7p2 �

28808:78 = �3:0p3 + 19:7p2 + 2999:0p� 28808:78b) L0(p) = �9:0p2 + 39:4p + 2999 = 0 , p = �16: 196 25::: ou p =

20:574 031::: Logo p = 20:574 031 é o preço que produz maior lucro. O maiorlucro é L(20:574 031) ' 15105:175 64c) L0(18:55) = 632: 947 5; R0(18:55) = �567: 922 5: Para p = 18:55 o lucro

tem viés de crescimento e a receita viés de decrescimento. Não há incoerência.Isto signi�ca que embora a receita decresça se aumentarmos o preço a partirde p = 18:55 o custo decresce de uma quantidade ainda maior, de modo queo lucro acaba sendo maior.

Exercício 132 Comprove matematicamente que tanto o custo marginal quandoo custo marginal aproximado não dependem do custo �xo.

Exercício 133 Suponha que a função custo é modelada pela fórmula

C(q) = 3:45qp2:3q + 45 + 450

a) Da de�nição de custo marginal como derivada e da de�nição de derivadatem-se

Cmg(20) = limh!0

C(20 + h)� C(20)h

;

81

do que decorre que o valor Cmg(20) é aproximadamente igual (C(20 + h)� C(20)) =hpara valores de h próximos de 0: Construa então uma tabela de no mínimo8 entradas com valores de (C(20 + h)� C(20)) =h; com no mínimo 6 casasdecimais; para valores positivos e negativos de h ' 0 para estimar Cmg(20):

C(q) = 3:45qp2:3q + 45 + 450

Respostaa) Aproximando C(20+h)�C(20)

hcom 6 casas decimais:

h 3:45(h+20)p2:3h+91�658:218048

h

0:1 41:265357�0:1 41:1926880:01 41:232675�0:01 41:2254080:001 41:229405�0:001 41:2286790:0001 41:229078�0:0001 41:229006

de modo que Cmg(20) = 41:22:::b)

Cmg(q) = C0(q) =

11:9025q + 155:25p2:3q + 45

Cmg(20) = C0(20) = 41:229042:::

Exercício 134 Determinar a tabela derivada da tabela26666664X Y

�0:21 12:001:00 11:001:23 16:552:01 15:222:90 16:00

37777775e utilizá-la, usando a fórmula de aproximação, para extrapolar os seguintesvalores de X: 1:11; 2:5

82

Resposta 266664X Y 0

�0:21 �0:821:00 24:131:23 �1:72:01 0:87

377775Supondo que esta tabela seja modelada por uma função Y = f(X) de-

sconhecida tem-se, escolhendo-se primeiro x0 = 1 e depois x0 = 2:01

f(1:11) ' f 0(1)(1:11� 1) + f(1) = 24:13(0:11) + 11 = 13:65f(2:50) ' f 0(2:01)(2:5� 2:01) + f(2:01) = 0:87(2:5� 2:01) + 15:22 = 15:64266664

X Y 00

�0:21 20:611:00 �112:301:23 �1:72:01 3:29

377775f(1:11) ' f(x0) + f 0(x0)(1:11� x0) +

f 00(x0)

2(1:11� x0)2

x0 = 1

f(1:11) ' 11 + 24:13(0:11) + �112:302

(1:11� 1)2 ' 12:97

x0 = 2:01

f(2:5) ' 15:22 + 0:87(2:5� 2:01) + 3:292(2:5� 2:01)2 ' 16:04

Exercício 135 Da escala de demanda (preço em reais)26666664p D(p)50 2200:0254 2152:7260 2081:7967 1999:0270 1855:99

37777775estimar a quantidade demandada quando os preços do produto forem R$57; 00e R$61; 00:

83

RespostaSupondo a tabela modelada por uma função de fórmula desconhecida

D(p); temosD(57) ' D0(p0)(57� p0) +D(p0):

Tomando p0 = 54; temos

D(57) ' 2081:79� 2152:7260� 54 (57� 54) + 2152:72 ' 2117: 25

Analogamente

D(61) ' 1999:02� 2081:7967� 60 (61� 60) + 2081:79 ' 2069:96

Exercício 136 Em exercicio de lista anterior foi apresentada a seguinte es-cala de custos de uma malharia

Mes Produção (Kg) Custo �xo (Cf ) Custo variável (Cv)Dez 42279; 65 274094:63 1308545; 27Nov 90364:22 274094:63 1754281:58Abr 92624:87 274094:63 1786149:92Jun 93681:58 274094:63 1730288:57Jul 94574:59 274094:63 1646835:15Set 102154:40 274094:63 1675673:97Out 108494:53 274094:63 1833208:39Mar 108888:23 274094:63 1803843:50Maio 115019:20 274094:63 1755052:00

Determinar a tabela derivada de q � C; sendo q a quantidade em quilos e Co custo total. Obter uma estimativa para o custo de produção de 106000Kgde tecido.

RespostaA tabela derivada é obtida da mesma forma como feita em exercícios

anteriores.Supondo esta tabela modelada por uma função C(q) de fórmula descon-

hecida, tem-se

C(106000) ' C 0(102154:40)(106000� 102154:40) + C(102154:40)

=1833208:39� 1675673:97108494:53� 102154:40 (3845:6) + 1675673:97

' 1771226:32

84

Exercício 137 Determinas as derivadas segundas das tabelas dos Exercícios134, 135 e 136 e a fórmula de aproximação de segunda ordem para obternovas estimativas dos valores pedidos nestes exercícios.

Exercício 138 Determine, usando a tabela de custos (136), o custo totalmarginal relativo à produção de 91000Kg e 103154:40Kg de tecidos, respec-tivamente. Usar um desenvolvimento similar ao utilizado no Example ??.

Resposta

Cmg(91000) = C0(91000) ' C 0(90364:22)

' 1786149:92� 1754281:5892624:87� 90364:22 ' 14:09

Cmg(103154:40) = C0(103154:40) ' C 0(102154:40)

' 1833208:39� 1675673:97108494:53� 102154:40 ' 24:84

Exercício 139 Suponha que a tabela a seguir seja uma escala de custosC(q): 2664

q C35 46446 46783 475

3775a) Determine a tabela da primeira derivada q � C 0 de q � Cb) Usando a fórmula de aproximação de primeira ordem

C(q) ' C(q0) + C 0(q0)(q � q0)

com centro q0 = 46 obtenha um modelo linear para o custo.c) Use este modelo para extrapolar o valor do custo correspondente a

q = 55d) Usando a fórmula que Voce obteve em b) e supondo que a demanda

seja modelada por D(p) = �0:34p2 + 25:4p + 10 obtenha o preço que produzmaior lucro.

85

Exercício 140 Suponha que a tabela a seguir seja uma escala de demandaq = D(p):

p q5:6 98:456:2 97:007:1 91:408:0 82:20

a) Determine as tabelas da primeira e segunda derivadas de p� q (p� q0e p� q00)b) Usando a fórmula de aproximação de segunda ordem

D(p) ' D(p0) +D0(p0)(p� p0) +D00(p0)

2(p� p0)2

com centro p0 = 6:2 obtenha um modelo quadrático para a demanda.c) Usando a fórmula que Voce obteve em b) determine uma fórmula para

a receita e o preço que produz maior receitad) Construa uma tabela 3 � 2 elasticidade demanda preço p � e(p) com

p = 5:6; 6:2, 7:1:

Exercício 141 Obtenha as expressões até a ordem 4 das fórmulas de Taylordas funções dadas:a) x lnx (x0 = 1); b) (1 + x2)ex (x0 = 0); c) ex ln(1 + x) (x0 = 0)Utilizando truncamentos de ordem 4 das funções acima obtenha valores

aproximados de 1:01 ln 1:01; 1:01e0:1 = (1 + 0:12) e0:1; e�0:01 ln 0:99

Respostas

f(x) = a0 + a1(x� x0) + a2(x� x0)2 + a3(x� x0)3 + :::

a0 = f(x0); a1 = f0(x0); a2 =

f 00(x0)

2; a3 =

f 000(x0)

6

a) f(x) = x lnx; x0 = 1a0 = 0; a1 = 1; a2 = f

00(1)=2 = 1=2; a3 =f 000(1)6

= �16

x lnx = (x� 1) + 12(x� 1)2 � 1

6(x� 1)3 + :::

86

b) f(x) = (1 + x2)ex; x0 = 0a0 = 1; a1 = f

0(0) = 1; a2 = f00(0)=2 = 3

2; a3 =

f 000(0)6

= 76

(1 + x2)ex = 1 + x+3

2x2 +

7

6x3 + :::

c) f(x) = ex ln(1 + x); x0 = 0a0 = 0; a1 = f

0(0) = 1; a2 = f00(0)=2 = 1

2; a3 =

f 000(0)6

= 13

ex ln (x+ 1) = x+1

2x2 +

1

3x3 + :::

1:01 ln 1:01 ' (1:01� 1) + 12(1:01� 1)2 � 1

6(1:01� 1)3 = 0:01 004 983 333333

1:01e0:1 ' 1 + 0:1 + 320:12 +

7

60:13 ' 1:116166 666666 666 667

e�0:01 ln 0:99 ' �0:01 + 12(�0:01)2 + 1

3(�0:01)3 ' �0:00995

Exercício 142 Obtenha um valor aproximado de e usando um truncamentode ordem 7 de (??).

Resposta

ex = 1 + x+x2

2+x3

6+x4

24+x5

120+x6

720+ :::

e = e1 ' 1 + 1 + 12+1

6+1

24+

1

120+

1

720' 2:718

Exercício 143 Obtenha as tabelas derivadas das tabelas dadas e os corre-spondentes modelamentos matemáticos polinomiais.

X Y0 01 12 43 94 16

Z W�1 �10 01 12 83 27

87

Resposta266664X Y 0

0 1�01�0 = 1

1 4�12�1 = 3

2 9�43�2 = 5

3 16�94�3 = 7

377775 ,2664X Y 00

0 3�11�0 = 2

1 5�32�1 = 2

2 7�53�2 = 3

3775 ;24 X Y 000

0 01 0

35Supondo que a tabela seja modelada por uma função y = f(x) com

fórmula analítica desconhecida, considerando o centro x0 = 0; tem-se:

f(x) ' a0 + a1x+ a2x2 = f(0) + f 0(0)x+f 00(0)

2x2

= 0 + 1x+2

2x2 = x+ x22666664

Z W 0

�1 0�(�1)0�(�1) = 1

0 1�01�0 = 1

1 8�22�1 = 6

2 27�83�2 = 19

3777775 ,2664Z W 00

�1 1�11= 0

0 6�11�0 = 5

1 19�62�1 = 13

3775 ;24 Z W 000

�1 5�01= 5

0 13�51= 6

35 ; � Z W 0000

�1 6�51= 1

�

Neste caso, considerando x0 = �1

f(x) ' a0 + a1(x� (�1)) + a2 (x� (�1))2 + a3 (x� (�1))3 + a4 (x� (�1))4

= �1 + (x+ 1) + 0(x+ 1)2 + 56(x+ 1)3 +

1

24(x+ 1)4

= x+5

6(x+ 1)3 +

1

24(x+ 1)4

88