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  • Solues dos exercciosMAT0124 - Clculo Diferencial e Integral I

    UFRGS

    Professor Jaime Ripoll

    January 3, 2013

    Exerccio 1 Faa um esboo do que poderia ser o grco da funo receitaem termos do preo

    Soluo:

    p

    R

    Exerccio 2 Como no caso da funo receita, faa possveis esboos de gr-cos da funo lucro em termos da quantidade e do preo.

    1

  • Soluo:

    p

    L

    q

    L

    Exerccio 3 Um vendedor compra certa mercadoria ao preo unitrio deR$150; 00 e vende cada unidade a R$250; 00:a) Encontre uma frmula analtica que expresse o custo dirio C em

    funo da quantidade comprada qb) Expresse a receita diria R em funo da quantidade vendida, que se

    supe igual quantidade compradac) Obtenha uma frmula para a funo lucro L em termo da quantidade

    q

    Soluo:a) C(q) = 150q; b) R(q) = 250q c) L = 100q

    Exerccio 4 Em relao ao problema anterior, suponha agora, em uma ver-so mais realista, que o vendedor consiga vender 80% da quantidade quecompra (isto em mdia, mas vamos supor esta porcentagem xa) e que aindagaste R$30; 00 em combustvel (suponha que o vendedor seja ambulante).Obtenha a frmula para a funo lucro L nestas circunstncias.

    Soluo:

    L(q) =80

    100250q 150q 30 = 50q 30

    Exerccio 5 A diria de um quarto em um certo hotel de R$50; 00: O donodo hotel, para atrair mais clientes, bolou a seguinte promoo: a cada quartoadicional alugado por um dado grupo, o hotel d um desconto de R$3; 00

    2

  • na diria. Assim, se um grupo usa apenas um quarto ele paga 50 reais dediria, se usa dois quartos ele gasta 247 reais; se usa trs quartos ele gasta3 44 reais: Obtenha uma frmula analtica que representa o lucro do hotelem termos do nmero n de um grupo de hspedes.

    Soluo: L(n) = n(53 3n)

    Exerccio 6 Uma pessoa coloca um capital a uma certa taxa de juros simplesao ms. Modele matematicamente este fenmeno determinando uma frmulaque fornea o capital obtido (dito montante) em termos do nmero (varivel)de meses de aplicao do capital.

    Soluo:M : montantei: taxa de juros (em porcentagem)C: capitaln: nmero de meses de aplicao do capital

    M = C

    1 +

    in

    100

    Exerccio 7 As funes envolvidas neste exerccio, de natureza puramentematemtica, tem o objetivo ilustrar como as frmulas analticas aparecem emcontextos matemticos familiares a um estudante do Ensino Mdio.Verique que as funes abaixo admitem frmulas analticas, escrevendo

    explicitamente estas frmulas:a) a funo que a cada real x associa o quadrado da distncia do ponto

    (x; 1) ao ponto (2; 3) no plano cartesiano.b) a funo que a cada real r (varivel r) associa o dcimo quinto termo

    da PA cujo primeiro termo 10000 e a razo rc) a funo que a cada real r associa a soma dos 15 primeiros termos da

    PA de razo r cujo primeiro termo 1d) a funo que a cada real z associa a soma dos 10 primeiros termos de

    uma PG cujo primeiro termo vale 5 e a razo z

    Soluo:a)

    f(x) = (x+ 2)2 + (1 3)2 = x2 + 4x+ 8

    3

  • b)t(r) = 1 + 14r

    c)

    S(r) =(1 +1 + 14r)15

    2= 105r 1

    d)

    S(z) =5 (z11 1)z 1

    Exerccio 8 Usando truncados da frmula polinomial innita para a funoseno determine valores aproximados para sen 3:4

    Soluo: Temos

    sen x = x x3

    6+x5

    120 x

    7

    5040+

    x9

    362880 x

    11

    39916800+

    x13

    6227 020 800 :::

    Usando os truncados com 6 e 7 parcelas, obtemos:

    sen 3:4 ' 3:4 (3:4)3

    6+(3:4)5

    120 (3:4)

    7

    5040+(3:4)9

    362880 (3:4)

    11

    39916800' 0:25678

    sen 3:4 ' 3:4(3:4)3

    6+(3:4)5

    120(3:4)

    7

    5040+(3:4)9

    362880 (3:4)

    11

    39916800+

    (3:4)13

    6227 020 800' 0:25547

    Exerccio 9 Sabendo que a funo cosseno admite a frmula polinomial in-nita:

    cosx = 1 x2

    2+x4

    24 x

    6

    720+

    x8

    40 320 x

    10

    3628 800+ :::

    obtenha valores aproximados para cos 1:3 e cos 2:5:

    Soluo: Usandos os truncados com 5 e 6 parcelas:

    cos 1:3 = 1 (1:3)2

    2+(1:3)4

    24 (1:3)

    6

    720+(1:3)8

    40 320' 0:2675

    cos 1:3 = 1 (1:3)2

    2+(1:3)4

    24 (1:3)

    6

    720+(1:3)8

    40 320 (1:3)

    10

    3628 800' 0:267 50

    cos 2:5 = 1 (2:5)2

    2+(2:5)4

    24 (2:5)

    6

    720+(2:5)8

    40 320' 0:79864

    cos 2:5 = 1 (2:5)2

    2+(2:5)4

    24 (2:5)

    6

    720+(2:5)8

    40 320 (2:5)

    10

    3628 800' 0:80126

    4

  • Exerccio 10 Sabendo que

    p1 + x = 1+

    1

    2x18x2+

    1

    16x3 5

    128x4+

    7

    256x5 21

    1024x6+

    33

    2048x7 429

    32 768x8+:::

    obtenha valores aproximados parap2

    Soluo: Usando o truncado com 9 parcelas

    p2 =

    p1 + 1 ' 1+ 1

    2 18+1

    16 5128

    +7

    256 211024

    +33

    2048 42932 768

    ' 1:4083:

    Exerccio 11 Qual a porcentagem mnima do que compra tem o vendedordo Exerccio 4 comercializar (vender) para que tenha algum lucro.

    Soluo:Denominando por p a porcentagem aludida no problema temos

    L(q) =p

    100250q 150q 30 = (2; 5p 150) q 30:

    Devemos ter 2; 5p 150 > 0 e o menor lucro ocorre quando q = 1; quandoento ele vale 2; 5p 150 30: O lucro ser positivo se 2; 5p 150 30 > 0;ou seja,

    p >180

    2:5= 72:

    Concluso: qualquer porcentagem maior do que 72% que o vendedor comer-cializar do que compra lhe dar algum lucro.

    Exerccio 12 Ser que esta a promoo inventada pelo dono do hotel noExerccio 5 boa para o hotel? A resposta no simplesmente sim ou no.Analise.

    Soluo:O lucro do hotel como funo do nmero n de quartos utilizados por um

    dado grupo L(n) = n(53 3n): Esta uma funo quadrtica que atingeseu valor mximo para

    n0 =53

    2 (3) = 8: 833:::

    Conclumos que o lucro do hotel ser mximo com grupos alugando 9 quartos.O lucro com tais grupos ser L = 9(5339) = 234: Note que L(8) = 232 .

    5

  • Com esta frmula para o lucro vemos tambm que se o grupo for grandeo hotel ter prejuzo. Precisamente: 53 3n = 0; n = 53=3 = 17:66::: Assim,se um grupo ocupar 18 ou mais quartos o hotel ter prejuzo.Concluso: para ter uma garantia que esta seja uma boa promoo o

    hotel deve oferece-la a grupos que ocupem no mais que um certo nmerode quartos, por exemplo, 12 ou 13; mas o ideal sendo 9: Jamais um nmerosuperior a 17:

    Exerccio 13 Use a frmula que Voc obteve no item a) do Exerccio 7 paradeterminar o ponto da sobre a reta de equao y = 1 que est mais prximodo ponto (2; 3)

    Soluo: (2; 4)

    Exerccio 14a) Trace o grco da receita para valores de q em um intervalo que tenha

    signicado prticob) obter a quantidade que comercializada resulta na maior receita.

    Soluo:a) Conforme a apostila, tem-se

    R(q) = 0:025291q2 + 4:320 4q:

    As quantidades signicativas so aquelas em que a receita positiva. Paradetermin-las, resolvemos a equao R(q) = 0; ou seja

    R(q) = 0:025291q2 + 4:3204q = 0;

    que tem como solues q1 = 0 e q2 = 170:83: Conclumos que as quantidadescom signicado prtico esto no intervalo aberto (0; 170:83): O grco dafuno receita :

    6

  • 0 20 40 60 80 100 120 140 1600

    50

    100

    150

    q

    R

    b) A quantidade que d a maior receita a abscissa do vrtice da parbolaque grco da funo receita:

    qm =b2a=

    4:320420:025291 = 85:414:

    Exerccio 15a) Verique que a receita marginal Rmg(q) modelada linearmente, ob-

    tendo uma frmula simplicada para Rmg(q):b) Determine qual a quantidade em que a receita marginal zero

    Soluo:a)

    Rmg(q) = R(q + 1)R(q)= 4:320 4q 2:529 1 102 (q + 1)2 + 4: 320 4 4: 320 4q 2: 529 1 102q2= 4:295 1 5:058 2 102q

    b) Rmg(q) = 0 quando

    4:295 1 5:058 2 102q = 0

    que tem como soluoq = 84:914:

    7

  • Exerccio 16 Calcule a elasticidade receita preo do exemplo anterior parap = 3:1a) Explique porque a elasticidade receita preo sempre positiva para

    preos menores do que R$2:138 e negativa para preos maiores do que R$ =2:16b) Determine uma frmula simplicada para a elasticidade receita preo

    e(p)

    Soluo:

    e(3:1) =100 (R(1:01 3:1)R(3:1))

    R(3:1)' 1:565

    a) a elasticidade receita preo positiva para preos menores do queR$2:138 por que ela uma funo crescente nos preos abaixo deste valor,sendo a elasticidade negativa para preos maiores do que R$ = 2:16 pois areceita uma funo decrescente para preos maiores do que R$2:16:b)

    e(q) =100 (R(1:01q)R(q))

    R(q)=7:2621 105q 6:172 1073:613 105q 6:172 107

    OBS: uso um programa matemtico que simplica valores numricos de umaforma especial. Portanto, bem possvel, de fato provvel, que a expressoque voces obtiveram no coincida com a acima.

    Exerccio 17 Comprove que sempre que a demanda modelada linearmentea demanda marginal constante.

    Soluo: Supondo D(p) = ap+ b obtemos

    Dmg(p) = D(p+ 1)D(p)= a(p+ 1) + b (ap+ b)= a

    de modo que a demanda marginal constante e igual a a:

    Exerccio 18 Faa a mesma anlise do exemplo anterior (resolvendo cor-respondentes exerccios) para a receita da comercializao de erva mate cujafuno demanda D(p) = 319:62p+ 1354:21:

    8

  • Sabendo que a funo custo da erva mate modelada linearmente pelafrmula C(q) = 0:00090709q+1:562; obtenha uma descrio da funo lucro,calculando as quantidade e o preo que o maximizam.Determine um frmula para a funo custo mdio e analise que o acontece

    com o custo mdio quando a quantidade comercializada aumenta signicati-vamente. Mais precisamente, determine limq!1Cm(q) (trata-se aqui de umprimeiro contato, intuitivo, com o conceito de limite, conceito este fundamen-tal para o Clculo Diferencial, e que veremos com mais detalhes adiante).

    Soluo: Tem-seq = 319:62p+ 1354:21

    p = 4: 236