SOLUÇÃO NUMÉRICA DE UM SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR COM DESLOCAMENTO DE BASE

7/24/2019 SOLUO NUMRICA DE UM SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR COM DESLOCAMENTO DE BASE

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Aluno: Said Morais Sirio Rocha

Prof. Jos Adilson

TRABALHO DE METODOS NUMRICO

SOLUO NUMRICA DE UM SISTEMAMASSA-MOLA-AMORTECEDOR COMDESLOCAMENTO DE BASE

VOLTA REDONDA - RJMaio, 2013

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL E METALRGICA DE VOLTA REDONDAPS- GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA


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2

RESUMO

Este trabalho consiste no estudo da soluo numrica (pelo mtodo de Rune

!utta de "# ordem$ da E%& 'ue descree o comportamento de um sistema massa)mola)

amortecedor (com riide* e amortecimento constante$+ submetido a uma e,citao de base.

Para alidao do modelo+ foi definido um deslocamento de base harm-nico

(tipo senoidal$ e analisado o erro da soluo numrica com relao a soluo analtica.


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3

SUMRIO

1 INTRODUO!2 OBJETIVO"

3 #ORMULAO MATEMTICA$

! DESCRIO DO MTODO RUN%E-&UTTA DE 'UARTA ORDEM(

" IM)LEMENTAO DO MTODO*

/.0 PR&1RAMA23& 4& MA56A7...........................................................................08$ RESULTADOS12

9.0 E;4


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4

1 INTRODUO

& modelo massa)mola)amortecedor com e,citao de base+ pode representar

diersos sistemas mecCnicos+ descreendo seus comportamentos ao lono do tempo para umadeterminada e,citao de base.

Mtodos numricos podem ser aplicados para a soluo de modelos com

e,citaDes de base comple,as+ onde a soluo analtica no sea possel.

Este trabalho consiste na soluo numrica deste modelo pelo mtodo de

Rune)!utta de 'uarta ordem+ fornecendo soluDes para casos de e,citaDes de base onde o

modelo no solucionado analiticamente.


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5

2 OBJETIVO

& obetio deste trabalho definir uma soluo numrica pelo mtodo de

Rune)!utta de 'uarta ordem+ para a soluo da e'uao de moimento (E%& linear desuunda orde com foramento$ 'ue descree o comportamento de um sistema massa)mola)

amortecedor com e,citao de base (deslocamento da base$+ de forma 'ue a soluo possa ser

obtida para 'ual'uer tipo de e,citao de base (deslocamento da base$.


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( )tup

( )tu

c k

m

m

( )puuk ( )puuc

( )tu

6

3 #ORMULAO MATEMTICA

Fm sistema massa)mola)amortecedor com deslocamento de base consiste no

acoplamento de um corpo de massa m a e,tremidade de uma mola com fator restaurador @ e ae,tremidade de um amortecedor com fator de absoro c+ en'uanto a outra e,tremidade da

mola e do amortecedor so acopladas a uma base mGel. ;onforme pode ser obserado na

fiura 0.

Figura 1 Modelo do sistema massa-mola-amortecedor com deslocamento de base (up( t)) .

Reali*ando um diarama de corpo lire na massa m e aplicando a seunda lei

de 4eHton+ tem)se a e'uao de moimento da massa m para o deslocamento de base

up(t) .

Figura 2 Diagrama de corpo livre.

I Seunda lei de 4eHton:

m. u=k . ( uup )+c . (uup )


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! DESCRIO DO MTODO RUN%E-&UTTA DE 'UARTA ORDEM

& Mtodo de Rune)!utta determinado a partir da Srie de 5alor e sua

e,presso de recorrKncia dada por:

( t)i+1= (t)i+ (ti ,i , t) . t

onde (ti, i , t) chamada de funo incremento e pode ser interpretada com a uma

inclinao mdia sobre o interalo.

1enericamente:

( t , , t)=a1

. K1+a

2. K

2++an . Kn

K1=f'(ti ,i )

K2=

f

'

(ti+

p1. t ,i+

q11 . K1. t)K3=f

'(ti+p2. t ,i+q21 . K1 . t+q22 . K2 . t)

Kn=f'( ti+pn1 . t , i+q( n1)1. K1 . t+q (n1 )2 . K2 . t++q (n1) (n1 ) . Kn1. t)

Para o mtodo de Rune)!utta de "# ordem+ tem)se:

(ti , i , t)=1

6

. (K1+2.K2+2.K3+K4 )

K1=f'(ti ,i )

K2=f

'(ti+ 12 t ,i+ 12 K1. t)K

3=f

'(ti+ 12 t ,i+1

2K

2. t)

K4=f' (ti+ t ,i+K3 . t)

& mtodo de Rune)!utta aplicado apenas em E%& de 0L ordem. Porem+

com manipulaDes matemticas+ possel transformar uma E%& de ordem n em um sistema

com n E%&Ns de 0L ordem+ possibilitando a utili*ao do mtodo para E%& de 'ual'uer

ordem.

Mtodo de Rune)!utta de "# ordem para um sistema de E%&Ns com n

e'uaDes:

(t)ni+1= ( t)n

i+

n (t

i,

1

i,

2

i, ,

n

i, t

). t


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8

n(ti,1

i,2

i, , n

i, t)=1

2(K1,n+2.K2,n+2.K3, n+K4,n )

K1,n=fn

' (ti , 1i

,2

i, ,n

i )

K2,n=fn

' (ti+ 12 t ,1i +1

2K

1,1,

2

i+1

2K

1,2, ,n

i+1

2K

1,n)K

3,n=fn' (ti+12 t ,1i +

1

2K

2,1,

2

i+1

2K

2,2, ,n

i+1

2K

2,n)K

4,n=fn' (ti+ t , 1

i+K

3,1,

2

i+K

3,2, ,n

i+K

3,n )


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9

" IM)LEMENTAO DO MTODO

A e'uao de moimento da massa m+ obtida anteriormente+ uma E%& de

seunda ordem+ portanto+ necessria a transformao desta em um sistema com duas E%&Os

de primeira ordem.

m. u=k . ( uup )+c . (uup )

u=v

v=(cm up+k

mup

c

mv

k

mu)

Aplicando)se o mtodo de Rune)!utta de 'uarta ordem ao sistema acima+

tem)se:

ui+1=ui+ t

6 (K11+2.K21+2.K31+K41 )

v i+1=v i+ t

6 (K12+2.K22+2.K32+K42)

K11=v i

K12=(cm )vi(km)ui+(cm) upi+(km)upi

K21=v i+

t

2K

12

K22=(cm ) .(vi+ 12 t .K12)(

k

m ) .(ui+12 t .K11)+(c

m) up(i+12 )+(k

m)up(i+12 )K

31=v i+ t

2K

22

K32=(cm ) .(vi+ 12 t .K22)(

k

m ) .(ui+ 12 t .K21)+(c

m )up(i+12 )+(k

m )up(i+12 )K

41=v i+ t . K 32

K42=(cm ) .( v i+ t . K 32 )(

k

m ). (ui+ t . K 31)+(c

m )up(i+1 )+(k

m )up( i+1)

;om o obetio de enerali*ar a aplicao do modelo implementado+ apenas o

histGrico de deslocamento da base ( up $ foi definido como dado de entrada+ isto 'ue a

elocidade da base pode no ser obtida analiticamente para alumas aplicaDes.


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10

A elocidade da base ( up $ no instante t + foi obtida pela diferena entre o

deslocamento no instante (t+ t) e o instante ( t t) + diidida por 2t . %esta

forma+ o histGrico de deslocamento dee conter dois pontos a mais (o primeiro e o ultimo

ponto$para obteno da elocidade.

upi=upi+1upi1

2. t

%e posse do histGrico do deslocamento e da elocidade+ os termosup(i+12 ) e

up(i+12 ) + foram calculados atras da mdia na posio i com a posio i0+ como podem ser

obserados abai,o.

up(i+ 12 )=

upi+1+upi

2

up(i+ 12 )=

upi+1+upi

2

/.0 PR&1RAMA23& 4& MA56A7

Proramao do mtodo no Matlab+ para um deslocamento harm-nico do tipo

senoidal+ descrito pela funo:

up(t)=a.sen ( wb .t) .

%Mtodos Nmericos: Trabalho Final

%Said Morais Sirio Rocha

%Sol. EDO (Sist. Massa-Mola-mort. c! Desl. de "ase# $elo mtodo R&

%%

%EDO: m.')c.'*)+',c.'$*)+.'$

m, +,/01/ c,&./2&

%3nter4alo e $asso:

tem$o,2 dt,5.55/

%6ist7rio do desl. da base ('$,.sen(8b.t##:


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11

a,5.5 8b,02.192

ori,:((tem$o!dt#)9# hist;t(i#,dt


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12

'(A)#,'(A#)(dt!0#


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13

& lado es'uerdo da iualdade da e'uao anterior representa o comportamento

da soluo homoKnea e o lado direito o foramento.

%eido a E%& ser linear+ a soluo eral pode ser diidida em duas soluDes:

homoKnea e a particular.

) Soluo =omoKnea:

A soluo homoKnea foi obtida para o caso sub)amortecido ( 0


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15

Analisando o rfico 0+ obsera)se 'ue com o aumento da relao R ocorre

uma reduo do erro absoluto m,imo. Porem essa ariao do erro redu* e,ponencialmente+

de forma 'ue o efeito do aumento do R tenha menos influencia na preciso da soluo. %esta

forma+ a deciso pelo R+ a ser adotado na anlise+ pode ser definido entre 0/ e ?8+ isto 'ue a

partir do R iual a 0/ a ariao do erro absoluto m,imo pe'ueno.

5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

14Erro Relativo Mdio do Deslocamento X R

R

ErroRelativo

Mdio[%]

Grfico 2 Erro relativo m#dio do deslocamento ! ".

%efinindo um erro relatio mdio aceitel de 0T+ o R utili*ado na anlise

dee ser maior ou iual a 0B+/ (erro relatio mdio de 8+U9T$. Portanto o R definido foi de

?8+ conse'uentemente um passo de 8+88/.

t= #

10.wb


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16

0 0.5 1 1.5 2-0.05

0

0.05Deslocamento

Tempo [s]

Deslocamento[m

]

Desl. da Base

Desl. da Massa

Grfico $ %olu&'o num#rica do deslocamento da massa m para " igual a 2(.

0 0.5 1 1.5 2-4

-2

0

2

4Velocidade

Tempo [s]

V

elicidade[m/s]

Veloc. da Base

Veloc. da Massa

Grfico ) %olu&'o num#rica da velocidade da massa m para " igual a 2(.


17/18

17

9.? E;


18/18

18

( CONCLUSO

Atras dos resultados obtidos+ erifica)se 'ue o mtodo de Rune)!utta de

'uarta ordem apresenta bons resultados para a soluo do modelo analisado.

Para uma e,citao de base harm-nica (senoidal$+ o mtodo numrico

apresentou um erro relatio mdio menor 'ue 0T+ com uma relao R de 0B+/.

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