Fundamentos de/Introduo a Eletromagnetismo um curso que reconhecido por sua dificuldade, por isso me dispus a ajudar outros estudantes nessa matria resolvendo o livro que mais usado na UFMG na matria. Em Fsica Bsica, Eletromagnetismo, do professor Alaor, h problemas de diversos nveis e aqui voc encontrar a soluo de diversos deles pelo menos por hora mas futuramente encontrar todos os problemas resolvidos. Antes que sujam questionamentos digo que os Exerccios, por serem mais elementares, no disporo de resoluo nesse arquivo (mais uma vez, pelo menos por hora). Observao: Geralmente, procuro deixar as respostas finais na mesma forma em que apresenta o livro do prof. Alaor, isso para evitar confuso. Mesmo assim, sua resposta porde no coincidir exatamente com as apresentadas, ento confira os algarismos significativos ou se no a mesma coisa, porm apresentada de outra maneira. J, no caso de nossas respostas serem totalmente diferentes e voc no se convencer da resoluo aqui apresentada, voc ou eu poderemos estar errados, ento me contate por e-mail. Digo mais, quaisquer problemas, como, por exemplo, erros de conta, digitao e at mesmo conceito, entrem em contato. Espero estar ajudando a muitos. Bons estudos! Atenciosamente, Danilo. Segue aqui um quadro com o nmero das questes j resolvidas. Prob.\ Cap.123456789101112 1XXXXX 2XXXX 3XX 4XX 5XX 6XX- 7XX- 8XX- 9XX- 10XX- 11X- 12X- 13-X-- 14-XX-- 15---X---- 16---X---- 17-------- 18-X-------- 19----------- 20------------ X = resolvido - = no h exerccio com esse nmero Sumrio Captulo 1 .................................................................................................................................................................. 4 P.1.1) ...................................................................................................................................................................... 4 P.1.2) ...................................................................................................................................................................... 4 P.1.8) ...................................................................................................................................................................... 6 Captulo 2 .................................................................................................................................................................. 7 P.2.18) .................................................................................................................................................................... 7 Captulo 3 .................................................................................................................................................................. 9 P.3.1) ...................................................................................................................................................................... 9 P.3.14) .................................................................................................................................................................. 11 Captulo 4 ................................................................................................................................................................ 13 P.4.1) .................................................................................................................................................................... 13 P.4.2) .................................................................................................................................................................... 13 P.4.3) .................................................................................................................................................................... 14 P.4.4) .................................................................................................................................................................... 14 P.4.5) .................................................................................................................................................................... 14 P.4.6) .................................................................................................................................................................... 14 P.4.7) .................................................................................................................................................................... 15 P.4.8) .................................................................................................................................................................... 15 P.4.9) .................................................................................................................................................................... 16 P.4.10) .................................................................................................................................................................. 17 P.4.11) .................................................................................................................................................................. 17 P.4.12) .................................................................................................................................................................. 18 P.4.13) .................................................................................................................................................................. 19 P.4.14) .................................................................................................................................................................. 20 P.4.15) .................................................................................................................................................................. 20 Captulo 5 ................................................................................................................................................................ 23 Captulo 6 ................................................................................................................................................................ 24 P.6.1) .................................................................................................................................................................... 24 P.6.2) .................................................................................................................................................................... 24 P.6.3) .................................................................................................................................................................... 25 P.6.4) .................................................................................................................................................................... 25 P.6.5) .................................................................................................................................................................... 26 P.6.6) .................................................................................................................................................................... 27 P.6.7) .................................................................................................................................................................... 27 P.6.9) .................................................................................................................................................................... 27 P.6.10) .................................................................................................................................................................. 28 P.6.15) .................................................................................................................................................................. 29 P.6.16) .................................................................................................................................................................. 30 Captulo 7 ................................................................................................................................................................ 32 P.7.1) .................................................................................................................................................................... 32 Captulo 8 ................................................................................................................................................................ 35 Captulo 9 ................................................................................................................................................................ 36 Captulo 10 .............................................................................................................................................................. 37 Captulo 11 .............................................................................................................................................................. 38 Captulo 1 P.1.1) A fora resultante dada por: FR= Fn Ento, Fn= Fq.q| F2q.q| = 0 Fq.q| = F2q.q| k. q. qi(I x)2= k. 2. q. qix2 1(I x)2=2x2 x = (I x). 2 x + 2. x = (1 + 2). x = I. 2 xI=21 + 2= 2 2 P.1.2) Como as esferas possuem raios idnticos possuem capacitncias idnticas. Logo, aps contato, pelo fio, as cargas se distribuiro identicamente entres as esferas. Ento, as esferas ficaro com carga igual media aritmtica das cargas iniciais. q]= q1+ (q2)2= q1 q22,se, q1= q2 q]= 0 caso contrrio, como as cargas ficaro com cargas idnticas elas, necessariamente, se repeliro. Inicialmente, tem-se: F = k. |q1|. |q2|r2= k. q1. q2r2 Para a configurao desejada necessrio que: F = Fi k. q1. q2r2= k. [q1 q222r2q1. q2=(q1 q2)24 4. q1. q2= q12 2. q1. q2+q22 q126. q1. q2+ q22= 0 Resolvendo essa ultima equao para q2, ou seja, considerando q2 a varivel e resolvendo como uma equao de 2 grau em funo de q1: q2= 6. q1(6. q1)2 4. q122= 6 36 42. q1= (3 8). q1 q2q1= 3 8 = 3 22 P.1.3) P.1.4) P.1.5) P.1.6) P.1.7) P.1.8) Devido simetria, campos eltricos no centro do cubo de cargas opostas pelos vrtices se cancelaro. Ento apenas uma carga no ter seu campo eltrico cancelado no centro do cubo, essa a que no tem outra carga no vrtice oposto. Sendo a carga positiva, deduz-se que a direo do campo coincide com essa diagonal e, ainda, que tem sentido do vrtice com carga para o sem carga. Finalmente, seu mdulo ser: E = k. qr2=k. q_o.32 _2=4. k. q3. o2 E =4. k. q3. o2 P.1.9) P.1.10) P.1.11) P.1.12) Captulo 2 P.2.1) P.2.2) P.2.3) P.2.4) P.2.5) P.2.6) P.2.7) P.2.8) P.2.9) P.2.10) P.2.11) P.2.12) P.2.13) P.2.14) P.2.15) P.2.16) P.2.17) P.2.18) O fio infinito cria um campo eltrico em um ponto de intensidade igual a E1=z12. e0. n. r Em que r a distncia entre o fio e o ponto. A densidade do fio ab pode ser dada por: z2= JqJx Jq = z2. Jx (I) Ainda, sabe-se que cada elemento de carda do fio ab sofre um elemento de fora, devido o campo eltrico E1. Para encontrar a fora total resultante devemos somar todos esses elementos de fora, ou seja, integrar a seguinte equao: JF = E1. Jq =z12. e0. n. r. Jq (I)===JF =z1. z22. e0. n. r. Jx x= -- JF =z1. z22. e0. n. r. Jr _JF = _z1. z22. e0. n. r. Jrbu= z1. z22. e0. n_1rJrbu F = z1. z22. e0. n(lnr)|ub= z1. z22. e0. n(lnb lno) F = z1. z22. e0. n. ln_bo] Captulo 3 P.3.1) Chamemos os vrtices do quadrado de 1, 2, 3 e 4. Ento a energia potencial eletrosttica do sistema ser dada por: u =12. u]n]=]n=1= u12+u13+u14+u23+u24+u34=q1. q24. e0. n. r12+q1. q34. e0. n. r13+q1. q44. e0. n. r14+q2. q34. e0. n. r23+q2. q44. e0. n. r24+q3. q44. e0. n. r34 u =14. e0. n_q2I+q2I. 2 q2I q2I+q2I. 2q2I _ =q24. e0. n. I_4 +22] =q2e0. n. I_12. 2 1] u =q2e0. n. I_18 1] P.3.2) P.3.3) P.3.4) P.3.5) P.3.6) P.3.7) P.3.8) P.3.9) P.3.10) P.3.11) P.3.12) P.3.13) P.3.14) A) O desenho deve ser algo parecido com o seguinte. O importante desenhar linhas de campo mais densas na ponta da agulha. B) Como aproximao, devemos considerar a ponta da agulha como uma esfera de raio r = 0,01pm = 1. 10-8m e que essa possui um potencial igual a 10 volts. Assim: E. r I E Ir E 101. 10-8= 109 Im,E 109 Im, P.3.15) P.3.16) P.3.17) P.3.18) Captulo 4 P.4.1) A) Para um capacitor de placas esfricas concntricas a capacitncia : C = 4. n. e0 R. rR r= 4. n. e00,1.0,050,1 0,05= 1,112. 10-11 F C = 11 pF B) Num ponto mdio teremos o raio (r) mdio que ser: r = R+2 . Ento, tracemos uma superfcie Gaussiana com esse raio mdio, concntrica s esferas. Teremos: = qe0= _E JA Como o campo eltrico constante na superfcie: qe0= E. _JA = E. A = E. 4. n. r2 E =qe0. 4. n. r2=qe0. 4. n. [R +r22=1,0. 10-6e0. 4. n. [0,1 + 0,0522= 1,598. 106 Im,E = 1,6. 106 Im, P.4.2) A) Para capacitores esfricos tem-se que a capacitncia dada por: C = 4. n. e0 R.R- Porm, s h a espera interior. Para resolver esse caso devemos considerar que o raio da espera maior tende ao infinito. limRC = limR4. n. e0 R. rR r= 4. n. e0. r. limRRR r= 4. n. e0. r Assim, CR= 4. n. e0. r = 4. n. e0. 0,1 = 1,1121. 10-11 C = 11 pF B) Simplesmente faa a substituio na frmula: u = C. I22=11. 10-12. (100)22= 5,5. 10-8 [ u = 5,5. 10-8 [ = 55. n[ P.4.3) A questo apenas aplicao de frmulas. A)q = C. I I = qC=3.10-8200.10-12= 1,5. 102 Iolts I = 1,5. 102 I B) u = 0v , em que u a densidade de energia, U a energia do capacitor e V o volume entre as placas. u = uI=q22. CI=q22. C. I=(3. 10-8)22.200. 10-12. 100. 10-6= 2,25. 10-2 [m3,u = 2,25. 10-2 [m3, = 2,25 m[m3, P.4.4) Temos que JF = E. Jq, como o campo eltrico constante, devido a ser placas planas e paralelas teremos: F = E. q Como as cargas de um placa no podem sentir fora devido o campo gerado por elas mesmas, a fora exercida entre as placas ser devido o campo de uma placa que age sobre as cargas das outras. Ento como: E =o2. e0=q2. e0. A Tem-se: F = Eq =q2. e0. A. q F =q22. e0. A P.4.5) F =q22. e0. A=(C. I)22. e0. [J. Ce0 = C. I22. J=200. 10-12. 5022.0,001= 2,5. 10-4N F = 2,5. 10-4N P.4.6) Sabe-se que para uma esfera metlica podemos usar a seguinte equao: E =q4. n. e0. r2 q = 4. n. e0. r2. E qmx.= 4. n. e0. r2. Emx.= 4. n. e0. 0,0052. 3. 106= 8,34. 10-9C qmx.= 8. 10-9C = 8 nC P.4.7) A) Da equao para a intensidade de um campo eltrico em um capacitor de placas paralelas e da equao do capacitor em funo de sua geometria temos: E = oe0=qe0. A qMx.= e0. A. EMx. (I) C = e0. AJ(II) Substituindo (I) e (II) na equao da energia: u = q22. C uMx.=(e0. A. EMx.)22.e0. AJ= e0. A. EMx.2. J2= e0. EMx.22. I uMx.= e0. EMx.22. I B) substituindo os valores dados na equao encontrada: uMx.= e0. EMx.22. I = e02(3. 106)2. 200. 10-6= 79,65. 10-4 uMx.= 8,0. 10-3[ = 8,0 m[ P.4.8) No caso de um capacitor cilndrico, haver capacitncia apenas onde houver o cilindro interno. Isso pode ser provado pela lei de Gauss. Tracemos uma superfcie internamente ao cilindro maior, onde no haja o menor, veremos que no h fluxo de campo eltrico, ou seja, a carga nessa regio nula. Conclumos que a capacitncia tambm nula nessa regio. Onde o cilindro estiver presente haver capacitncia. Essa ser dada por uma funo de y, parcela do cilindro interno no externo. C =2. n. e0. yln[bo Substituindo essa frmula na de energia teremos u(y), ou seja, a funo energia potencial em funo da posio y. u = q22. C=q22.2. n. e0. yln[bo u(y) = q2. ln[bo4. n. e0. y Como j se sabia, em uma dimenso: F = JuJy F = J _q2. ln[bo4. n. e0. y_Jy= q2. ln[bo4. n. e0.J [1yJy= q2. ln[bo4. n. e0.1y2 F = q2. ln[bo4. n. e0.1y2 Como foi pedido para que a fora eletrosttica compense a gravitacional, teremos a seguinte igualdade: FcIctosttcu= FgutuconuI q2. ln[bo4. n. e0.1y2= mg Explicitando o y: y2= q2. ln[bo4. n. e0. mg y = _ q2. ln[bo4. n. e0. mg_12 P.4.9) Chamemos de Cs a capacitncia da parte superior e C, da inferior. Se dissermos, sem perda de generalidade, que as placas superiores distam de x, teremos: Cs= e0. Ax(I) C=e0. AI l x(II) Pela figura fica evidente que Cs e C esto em srie. Calculemos a capacitncia equivalente para esse caso: 1Ccq.= 1C n1Ccq.=1Cs+1C Ccq.=Cs. CCs+ C(I),(II) -- Ccq.= e0. Ax.e0. AI l xe0. Ax+e0. AI l x Ccq.=(e0. A)2[1x.1I l x(e0. A). [1x+1I l x= e0. A._1(I l x). x]_I l x + xx. (I l x)]= e0. A._1(I l x). x]_I lx. (I l x)]= e0. AI l Ccq.= e0. AI l Como se v, claramente, a capacitncia equivalente no depende da posio do bloco, depende unicamente da geometria dos elementos. P.4.10) Foi dado que Iub= 0. Para que isso ocorra, as quedas de potencial nos capacitores C e Cx devem ser iguais. Analisando o sistema, obrigatoriamente, as quedas em C1 e C2, tambm, so idnticas. Disso, pode-se escrever: I= Ixv=qC

==== qC= qxCx(I) I1= I2v=qC

====q1C1= q2C2(II) Das informaes dadas conclui-se, ainda, que C e C2 esto em srie, assim como o esto Cx e C1. Disso pode-se inferir que: qx= q1 c q= q2 Substituindo essas ultimas igualdades em (I) e (II): q1Cx= q2C(III)

q1C1= q2C2(II) Dividindo a equao (IV) por (III): q1C1q1Cx_ =q2C2q2C_ CxC1= CC2 Cx= C.C1C2 P.4.11) Inicialmente, como a chave est em a, C1 e C2 esto na mesma ddp. Ento a carga inicial em C1 : q1= I. C1 (I) Ao desligar a conexo a carga em C1 permanecer a mesma. Finalmente, liga-se a chave em b, ao faz-lo a carga q1 se distribui por essa parte do circuito fechado, at que a diferena de potencial entre os capacitores C1 e C3 sejam idnticas. Com a lei da conservao das cargas eltricas: q1+q3= q1+ q3 Consideremos que o capacitor C3 inicie descarregado: q1= q1+ q3 (II) Como as ddps entre C1 e C3 so as mesmas. q1= Ii. C1 ; q3= Ii. C3 q1C1= q3C3 q3= q1.C3C1 (III) Substituindo (III) em (II): q1= q1+ q1.C3C1= q1. _1 +C3C1] q1= q =q1[1 +C3C1(I) --q =I. C1[1 +C3C1 q =I. C12(C1+C3) P.4.12) Inicialmente, pode-se inferir que: u0=q22. C1= C1. I022(I) q = C1. I0 (II) Ao fechar o circuito a carga q se distribuir pelos dois capacitores at que a ddp entre os condensadores sejam iguais. Tambm, como a carga se conserva, a soma das cargas distribudas entre os capacitores deve ser igual inicial. q = q1+q2 (II) --C1. I0= C1. I]+ C2. I]I]=C1. I0C1+C2 I]=C1. I0C1+C2(III) Da equao (III): u]=(C1+ C2). I]22 (III) --u]=(C1+ C2). [ C1. I0C1+C222=C12. I022(C1+ C2)=C1(C1+C2).C1. I022 (I) --u]=C1(C1+ C2). u0 u]=C1(C1+ C2). u0 P.4.13) A) Esse caso imediato: C0= e0. I2J B) Para solucionar o problema deve-se separar o condensador em dois elementos em paralelo, j que cada metade est na mesma ddp. CB o capacitor com a barra, CS o sem a barra. Com todas essas informaes e as dadas temos: CS= e0. I.I2J=12.e0. I2J= C02 CS= C02(I) Para encontrar CB recorreremos ao Problema 4.9, caso anlogo a essa parte do prroblema. Vemos nele que a capacitncia equivalente ser: CB= e0. AI l= e0. I.I2J J2=12. e0. I2J2= C0 CB= C0 (II) Inicialmente dividimos o condensador em duas metades, calculamos a capacitncia em cada uma e agora retomemos ao capacitor como um todo, ou seja, calcularemos a capacitncia equivalente.Como os condensadores esto em paralelo: CL2= Cs+ CB(I) c(II) --CL2= C0+C02 CL2=32. C0 C) Repito, como visto no P.4.9: CL= e0. AI l= e0. I. IJ J2= 2.e0. I2J CL= 2. C0 P.4.14) Para evitar confuso entre o d da derivada e o d de distncia, chamaremos a distncia de y. No final, retomaremos y = J para a resposta ficar idntica ao gabarito no causado confuso. Primeiramente, deve-se expressar a energia (U) em funo de da posio da barra (x). Pode-se separar o capacitor em duas partes, uma com o bloco metlico (Cx), outra sem (CL-x). Esses esto em paralelo entre si, pois esto mesma ddp. Assim, tem-se: C = Cx+ CL-x Cx pode ser encontrado a partir do P.4.9. C = 2.e0. Axy+e0. AL-xy= e0y. (2. I. x +I. (I x)) C = e0. I. (I +x)y(I) u = q22. C (I)--u(x) =q22.e0. I. (I +x)y=y. q22. e0. I. (I + x) Foi dado que: F = J(u(x))Jx= J _y. q22. e0. I. (I + x)]Jx= y. q22. e0. I.J _1(I +x)]Jx F = y. q22. e0. I. _1(I + x)2] =y. q22. e0. I. (I + x)2 F =J. q22. e0. I. (I +x)2 P.4.15) Soluo 1:Poderamos aproximar a placa superior por diversas placas em srie na forma de escada. Assim teramos que a capacitncia entre a placa inferior e as placas superiores seriam: C cq Cn=1= e0. AJ(x)n=1= e0. I. xJ(x)n=1 Onde J0 foi tomado como a distncia entre as placas, para no confundir com o d da notao de derivada, x o comprimento da pequena placa e J(x) a distncia, que varia com a posio no eixo x. Tomando no limite quando n tende ao infinito a capacitncia tende ao valor exato, ento: C cq= _e0. I. JxJ(x)= _e0. Ix. tan0 +J0L0. Jx = _e0. Itan0. ln(x. tan0 +J0)]0L= e0. Itan 0. ln_1 +I. tan 0J0] O valor encontrado exato, porm faremos duas coisas importantes para a soluo do exerccio. Faremos a aproximao tan0 0 uma vez que foi dito que o ngulo 0 muito pequeno. E ainda, faremos a expanso do logaritmo, essa : ln(1 + y) = (1)n yn+1n +10 C cq= e0. I0. ln_1 +I. 0J0 ] = e0. I0. (1)n_I. 0J0 ]n+1n +10 Para os dois primeiros termos (n = 0 c n = 1): C cq= e0. I0.I. 0J0 _I. 0J0 ]22= e0. I0. _I. 0J0 I2. 022. J02_ C cq= e0. I2J0. _1 I. 02. J0] Soluo 2: Aproximando a placa superior por uma placa paralela inferior a uma distncia da inferior igual distncia mdia dos extremos da placa superior teremos o seguinte capacitor: Onde: = J0+L. tan 02 J0+I. 02 Logo: C e0. I2J0+I. 02 Da expanso seguinte: 11 +y= ynn!0 C e0. I2J0.11 + I. 02. J0= e0. I2J0. _I. 02. J0]nn!0tomundo upcnus os dos pmcos tcmos--C e0. I2J0. _1 I. 02. J0] C = e0. I2J0. _1 I. 02. J0] Captulo 5 Captulo 6 P.6.1) A) Tem-se que: (I)I = R. I R = II [R] =[I][I]=. II= II (II)C = k. e0. AJ [C] =[A][J]= I2I= I Onde I dimenso de comprimento e I, tempo. Assim: [R. C] = II. I = I [R. C] = I B) A capacitncia de um condensador pode ser dada pela seguinte equao: C = q/I e a da ddp por I = R. I Como a corrente passa pelo capacitor ele ser considerado uma resistncia eltrica, assim podemos relacionar as duas equaes da seguinte forma: C = qI=qR. I I =qR. C I =qR. C C) Das equaes (II) e R = p. l/Ateremos: R. C = k. e0. AJ.p. lA= k. e0. p R. C = k. e0. p Onde l = J e A so caractersticas do capacitor, que tambm resistor. P.6.2) Dividamos a resistncia cilndrica em cascas cilndricas, concntricas em um mesmo eixo. Da vemos que cada uma dessas cascas ser um elemento de resistncia tal que: JR = p.JrA=p2. n. .Jrr Assim sendo, essas cascas estaro em srie entre si, logo: R = _JR = _p2. n. .Jrrbu=p2. n. . ln_bo] R =p2. n. . ln_bo] B) Sabe-se que a capacitncia de um condensador cilndrico dada por: C =2. n. k. e0. ln[bo Logo: R. C =p2. n. . ln_bo] .2. n. k. e0. ln[bo R. C = p. k. e0 P.6.3) Para o capacitor esfrico faremos de forma anloga ao Problema 6.2. Consideremos que haja uma ddp entre o interior e a parte externa, que o raio interno seja a e o externo, b. Ento: JR = p.JrA=p4. n.Jrr2 R = _JR = _p4. n.Jrr2bu=p4. n. _1o 1b] R =p4. n. _b oo. b ] Sendo sua capacitncia dada por: C = 4. n. k. e0. _ o. bb o] Assim a constante de tempo para o dieltrico esfrico ser: R. C =p4. n. _b oo. b ] . 4. n. k. e0. _ o. bb o] R. C = p. k. e0 P.6.4) Dividindo o cone em pequenos cilindros como no desenho a seguir: A resistncia no resistor cilndrico em forma de fio ser: R = p.A= p.xn. r2 Faamos x tender a zero, ou seja, pegaremos o elemento de resistncia: JR = p. Jxn. r2 Como o sistema ser um conjunto de resistncias em sria, teremos: R = Rn Porm n tender ao infinito quando x tende a zero, logo devemos integrar de zero a h. Com um detalhe: r = o + _b o]. x Ento: R = _pn.1r2 Jx = pn. _1[o + [b o . x2Jx R =pn. o2. _1[1 +[b oo. . x2Jxh0 R =pn. o2.o. (b o)_11 + [b oo. . x_0h=pn. o.(b o)_11 +[b oo. . 11 +[b oo. . 0_ R =pn. o.(b o)_11 +[b oo 1_ =p. n. o. b R =p. n. o. b P.6.5) A) A corrente no circuito : P0= I0. I I = P0I0 A potencia dissipada (Pd) : Pd= R. I2= p.IA. _P0I0]2=1,68.10-8. 306.10-6. _4000127 ]2= 83,328 w Pd= 83 w B) Analogamente Pd= R. I2= p.IA. _P0I0]2=1,68.10-8. 306.10-6. _4000220 ]2= 27,769 w Pd= 28 w P.6.6) Das seguintes relaes teremos: R = p.IA(I) :d=[n. c=In. A. c(II) Onde n a densidade de eltrons de conduo e e a carga elementar (1,6.10-19 C) A) De (II): :d=[n. c=5.1068,47.1028. 1,6.10-19= 3,6894.10-4 m/s :d= 0,37 mm/s B) Substituindo (I) e (II) em P = R. I2 P = p.IA. ([. A)2= p. I. A. [2 P = 1,68.10-8. 1,0. 4,0.10-6. (5.106)2= 1,68 w P = 1,7 w P.6.7) Temos que; [ = iA i = [. A R = p.IA Substituindo essa duas equaes na equao da potncia (w): w= R. i2= p.IA. ([. A)2=p. [2. I. A = p. [2. I wI= p. [2 P.6.8) P.6.9) Os dois resistores superiores esto em srie entre si. Assim um sistema equivalente seria: Rcq1= R +R = 2R Nesse novo sistema as duas resistncias esto em paralelo, logo: 1Rcq2=12R+12R Rcq2= R A resistncia equivalente do circuito R. P.6.10) Fomos informados que Iub= 0. Para que isso ocorra, as quedas de potencial nas resistncias R1 e R2 devem ser idnticas. Logo, as diferenas de potenciais em Rx e Rso idnticas. Disso, pode-se inferir que: I1= I2v=R.===== R1. i1= R2. i2 (I) I= Ixv=R.===== R. i= Rx. ix (II) Ainda, pode-se afirmar que, que R e R1 esto em srie, bem como Rx e R2. Disso: i= i1 c ix= i2 Substituindo essas ultimas igualdades em (I) e (II): R. i1= Rx. i2 (III) Dividindo a equao (III) pela (I): R. i1R1. i1= Rx. i2R2. i2 RR1= RxR2 Rx= R.R2R1 Essa ponte de resistncia chamada de Ponte de Wheatstone. A ttulo de ficar mais prtico, ai invs de decorar os ndices das resistncias, s pensar como uma multiplicao cruzada das resistncias, quando no houver ddp entre a e b. P.6.11) P.6.12) P.6.13) P.6.14) P.6.15) Soluo 1: Tem-se que: [(r) = E(r)p I = IR(I) I = _[(r) JA = _[(r) . . Jr = _E(r)p. . Jr = p_E(r) Jr (II) Por (I) e (II): IR= p_E(r) Jr Sendo: E(r) =In. r Termos: IR= p. _In. rbuJr = . Ip. n. _1rbuJr = . Ip. n. ln_bo] IR= . Ip. n. ln_bo] R =p. n. ln[bo Soluo 2: Dividiremos a resistncia em infinitas resistncias paralelas em que cada uma ter uma certa distncia do centro. Essa resistncia ter um comprimento I = n. r e uma rea de seco A = . Jr. O desenho ilustra uma distncia a idia. 1Rcq= 1R Como: R = p. IA= p. n. r. Jr Termos: 1Rcq= _1p. n. r. Jr= _p. n. rJr =p. n_1rJr 1R=p. n_1rbuJr =p. n. ln_bo] R =p. n. ln[bo P.6.16) Do circuito dado (I) podemos criar os seguintes equivalentes (II), (III) e (IV): Em que Iub= 20I. Tomando o circuito (IV): I1=IR(Iv)=205= 4 A Analisando (II), v-se que a corrente se divide igualmente entre os resistores de 5 ohms. Logo: P5H= R. I2= 5. 22= 20 w Analogamente, para o circuito (I): P10H= R. I2= 10. 12= 10 w P5H= 20 w P10H= 10 w Captulo 7 P.7.1) A) Sabe-se que: Fm= q(:xB) J B

--Fm= c. :. B (I) K = m. :22 : = _2. Km(II) Substituindo (II) em (I): Fm= c. B._2. Km B) Como o campo magntico perpendicular velocidade do eltron haver uma fora sobre a partcula perpendicular ao movimento, ou seja, uma fora de acelerao centrpeta. Assim o eltron descrever trajetria circular, veja a figura de tal trajeto: Sabe-se que em um campo magntico constante uma carga com velocidade perpendicular a esse campo se desloca em trajetria circular de raio igual a: r = m. :B. q= 2. m. KB. c (III) A reta y = I indica a posio da tela e a equao da posio do eltron : (x r)2+y2= r2 , assim as intersees entre essas duas equaes dar a posio da abscissa (x = J) no impacto do eltron. Ento a equao ser: (J r)2+ I2= r2 J = r2 I2+ r = r _1 _1 I2r2_ J = r _1 _1 I2r2_12_ Duas coisas importantes devem ser vistas aqui: Primeiro que essa expresso o deslocamento exato do eltron (porm expandiremos a raiz por um polinmio de Taylor), segundo que apesar de haver duas solues para o sistema desejado apenas uma soluo (no caso o ponto P-). Logo, tomemos apenas a soluo em que o valor o menor, ou seja: J = r _1 _1 I2r2_12_ Lembrando que uma expanso por sries em um ponto a dada por: (x) = (n)(o). (x o)nn!n=0 Logo a expanso que desejamos (no ponto o = 0): (1 y)12= 1 y2 y28 Tomando y = L22 e apenas os dois primeiros termos da expanso: J = r _1 [1 y2_ = r [y2 = r.I22. r2= I22. r Do valor do raio encontrado em (III): J =I22.2. m. KB. c=I2. B. c2. 2. m. K J = I2. B. c8. m. K P.7.2) O eltron ser acelerado at a regio onde h o campo magntico, nessa regio o mdulo da velocidade dele no mais alterar, porm a direo e o sentido sero mudados pela ao da forma magntica. A variao da energia cintica igual a variao da potencial, logo: K = u m. :]22m. :22= q. I m. :]220 = q. I :]= _2. q. Im(I) A fora magntica nesse atua como centrpeta, logo: FM= FC B. q. : = m. oC= m.:2r m = B. q. r: (I)--m = B. q. r_2. q. Im= B. r2. Iq. m m = B. r2. Iq m = q. B22. I. r2 P.7. P.7. P.7. P.7. P.7. P.7. Captulo 8 Captulo 9 Captulo 10 Captulo 11