SOLUCIONARIO GUIA IPN 2011

Solucionario IPN 2011 Matemáticas Carlos Alberto Julián Sánchez

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SOLUCIONARIO GUIA IPN

2011

Solucionario IPN 2011 Área : Matemáticas

Elaborado por:

Carlos Alberto Julián Sánchez

P.D: La soluciones inician de la página 53 de la Guia oficial del Instituto politécnico nacional.



ÁLGEBRA 1.- Multiplica 2 4x x con 3 4x

Solución:

Aplicamos la propiedad distributiva que consiste en multiplicar un término por cada uno de

los otros términos.

2 3 5 4 2( 4 )( 4) 4 4 16x x x x x x x

Hay que recordar que al multiplicar los exponentes iguales se suman, por lo tanto la respuesta

es el inciso ( c)

2.- Identifica la expresión equivalente a: 2 21 1 1

2 3 4x xy y

Solución:

Hallemos el m.c.m con lo siguiente:

En este caso nuestros divisores son : 2,2,3 entonces multipliquemos los 3 y nos dará

12 ahora entonces multiplicamos y dividimos por 12 a nuestra expresión para no alterar

nada.

2 2 2 212 1 1 1 12 12 12( )( )12 2 3 4 24 36 48

x xy y x xy y

Si nos fijamos en las respuestas dejaremos al 12 como denominador general.

2 3 4

1 3 2 | 2

1 3 2

1 3 1 | 2

1 3 1

111 | 3



2 2 2 212 12 12 6 4 3

24 36 48 12 12 12x xy y x xy y

Por lo tanto la respuesta es el inciso (C).

3.- Dados los polinomios 2( ) 2 3f x x y

2( ) 2g x x x indica el resultado de la

operación ( ) ( )f x g x

Solución:

Lo que nos pide es restar de la función ( ) ( )f x a g x entonces operamos de la siguiente

manera:

2 2 2 2(2 3) ( 2) 2 3 2x x x x x x

Simplemente hemos alterado el signo de cada término a la función a restar esto haces que nos

quede como el resultado de arriba, ahora restemos los que tienen términos semejantes.

2 2 22 3 2 5x x x x x

Eso nos queda de la siguiente manera por lo tanto la respuesta es el inciso (a).

4.- Efectúa la división

3 2

1

x x

x

[La solución se encuentra al final de este solucionario]

5.- Efectúa la resta indicada en la siguiente operación 2 2(3 5 7) ( 5 3 2)x x x x

Solución : Aplicando la ley de los signos esto nos queda:

2 2

2

3 5 7 5 3 2

8 8 9

x x x x

x x

Ordenando cada término y sumando ó restando a los

semejantes

Por lo tanto la respuesta es el inciso (b)



6.- Identifica la expresión equivalente 2 3( )( )x x y

Solución:

Sabemos que los exponentes se suman mediante un producto de términos semejantes

entonces en este caso haremos lo mismo con lo que está dentro de nuestra raíz.

2 3 5( )( )x x y x y

Entonces coloquemos la raíz, 5x y por lo tanto la respuesta es el inciso (c)

7.- Obtén el producto de la siguiente expresión algebraica 2 2(5 )(6 5)x x

Solución:

Multiplicamos cada término con el otro para poder sumarlos.

2 2 4 2(5 )(6 5) 30 25x x x x


8.- Realiza el producto notable 1/2 1/2( 2) ( 2)a a

Solución:

Es una diferencia pero eso podemos expresarlo de la siguiente forma:

1/21/2 1/2 2 1/2 2 1/2( 2) ( 2) ( 2)( 2) ( 2 2 4) ( 4)a a a a a a a a

Por lo tanto la respuesta es el inciso (a)

9.- Resuelve la siguiente expresión (3 2)(3 2)x x

Solución:

Recordemos los productos notables en especial este:

2 2( )( )a b a b a b

Nuestro problema incluye un producto notable el cual lo resolveremos con base a la regla.

2 2

2

(3 2)(3 2)

(3 ) (2)

9 2

9 4

x x

x

x

x




10.- Al racionalizar el denominador de la expresión a b

a b

el resultado es:

Solución:

Para racionalizar se multiplica por su conjugado en este caso del denominador solamente

cambiando el signo ya que si lo hacemos tanto arriba como abajo entonces es como

multiplicar por la unidad, y aplicando las operaciones se llega a lo siguiente:

2 2

( )( ) ( )( )

[( ) ( ) ]

a b a b

a b a b

a b a b a b a b

a ba b

a b


11.- Expresa como producto de dos factores 4 49 4x y

Solución:

Esto se expresa como un producto notable, sacando las raíces es decir: 2 2 ( )( )a b a b a b

2 4

2 4

2

9

9

3

a x sacandoraiz ambos miembros

a x

a x

Ahora hacemos lo mismo con el siguiente

2 4

2 4

2

4

4

2

b y

b y

b y

Entonces según el producto notable:



2 2 2 2

( )( )

(3 2 )(3 2 )

a b a b

x y x y

Por lo que la respuesta es el inciso (d)

12.- Indica el resultado del siguiente producto (2 3 )( )x y x y

Solución:

Simplemente aplicamos la propiedad distributiva en cada término, lo haremos por pasos y

primero con x .

2(2 3 )( ) 2 3x y x x xy

Ahora con y

2(2 3 )( ) 2 3x y y xy y

Sumamos los términos

2 2

2 2

2 3 2 3

2 5 3

x xy xy y

x xy y

Por lo tanto la respuesta es el inciso (d)

13.- Efectúa la operación indicada 12 27

Solución:

Debemos de descomponer en algún número cuadrado que multiplicado por el otro factor de lo

que está dentro de la raíz.

12 (4)(3) 4 3 2 3

27 (9)(3) 9 3 3 3

Ahora sumamos

2 3 3 3 5 3

Por lo tanto la respuesta es el inciso (d)



14.- Realiza la suma de 2 25 3 1 3 2 5x x y x x

Solución:

Sumar es una cosa relativamente fácil, así que simplemente corremos al sumando sus signos.

2 2

2

5 3 1 3 2 5

2 5 4

x x x x

x x

Por lo que la respuesta correcta es el inciso (a)

15.- Factoriza la siguiente expresión: 2 3 2x x .

Solución:

Buscamos dos números que multiplicados nos dé el término 2 y sumados nos de 3 para ello

haremos lo siguiente, abriremos paréntesis escribiendo:

( )( )x x Aquí colocaremos los números, si pensamos un poco

( 2)( 1) 2, 2 1 3y también

Entonces los números son 2, 1 así que lo colocamos en los paréntesis.

( 2)( 1) ( 2)( 1)x x x x

Recordar que el orden del factor no altera al producto, por lo tanto la respuesta es el inciso (b)

16.- Factoriza la expresión 2 22 4x xy y

Solución:

Agruparemos de la siguiente forma nuestro polinomio

2 2( 2 ) 4x xy y

Tenemos un binomio desarrollado de la forma 2 2 2( ) 2a b a ab b entonces lo pasemos

a un binomio al cuadrado.

2( ) 4x y , Pero también podemos expresarlo como una diferencia de

cuadrados 2 2 ( )( )a b a b a b .

Esto nos dará ( 2)( 2)x y x y , por lo que la solución es el inciso (c)



17.- Simplifica la expresión

2

2

6 9

9

x x

x

.

Solución:

Factorizar es el mejor método para poder simplificar ya que tenemos una diferencia de

cuadrados en el denominador y un polinomio perfecto arriba para factorizar entonces

haciendo por partes el problema y escogiendo el numerador primero para factorizar.

2 6 9x x , escogemos 2 números que multiplicados nos dé 9 y restados 6

Esos números son los siguientes:

( )( )

( 3)( 3) 9

3 3 6

x x

Entonces

2 26 9 ( 3)( 3) ( 3)x x x x x

Ahora el denominador 2( 9) ( 3)( 3)x x x

Reemplazando estos valores en la división:

2

2

6 9 ( 3)( 3) 3

9 ( 3)( 3) 3

x x x x x

x x x x

Por lo que nuestro resultado es el inciso (c)



18.- Calcula las raíces de la ecuación 22 4 2x ax bx ab

Solución:

Aplicaremos álgebra y un poco de razonamiento, primero haremos lo siguiente:

2

2

2

2 4 2

2 4 2 0

2 (4 ) 2 0

x ax bx ab

x ax bx ab

x a b x ab

Lo único que hemos hecho fue igualara a cero, y factorizar el signo menos con “x”.

Ahora veamos que tenemos una ecuación cuadrática de 2do grado así que la resolveremos

metiéndola a la fórmula.

2

1,2

4

2

b b acx

a

, dónde 2, 4 , 2a b a b c ab , iniciemos:

2 2 2

1

22 2

(4 ) (4 ) 4(2)( 2 ) (4 ) 16 8 16

2(2) 4

(4 ) (4 )(4 ) 16 8

4 4

(4 ) (4 ) 4 4 82

4 4 4

a b a b ab a b a ab b abx

a b a ba b a ab b

a b a b a b a ba a

Ahora para el otro valor:

2 2 2

1

22 2

(4 ) (4 ) 4(2)( 2 ) (4 ) 16 8 16

2(2) 4

(4 ) (4 )(4 ) 16 8

4 4

(4 ) (4 ) 4 4 2 1

4 4 4 2 2

a b a b ab a b a ab b abx

a b a ba b a ab b

a b a b a b a b bb b

Por lo que la respuesta es el inciso (c)



19: Calcula el valor de la variable 1 2

2 1 7 1x x

Solución:

Lo primero que hay que hacer es que el denominador pase a multiplicar cada extremo del

numerador del otro miembro es decir.

(7 1)(1) (2)(2 1)x x

Resolvamos eso con propiedad distributiva,

7 1 4 2

7 4 1 2 0 min

3 3 0 3

3( 1) 0

x x igualandoacero

x x reduciendotér os

x factorizandoa

x

Por lo que nuestra respuesta es que 1x

Entonces nuestro inciso correcto es el (a)

20: Encuentra el valor de “y” en la función

2

2

312

2

xx

y para xx

Solución:

Reemplazamos el valor de “x” en la ecuación para encontrar la respuesta:

2 2

22

11 1 1 3 1 423 3( ) 3( )

162 2 2 4 4 4 4 4 41 1 1 1 4

( )2 4 4 4

xx

yx

Por lo que la respuesta es el inciso (b )



21 .- El valor de la expresión (3 ) (2 ) 4, 2, 5 :xyz xyz con x y z es

Solución:

Reemplacemos los valores que nos dan de forma directa:

(3 (4)( 2)(5)) (2 (4)( 2)(5))

(3 40) (2 40) 43 42 85


22.- Si 2p q r , q es el triple de p y 7p ,¿Cuál es el valor de r ?

Solución:

Sí q es el triple de p, entonces 3q p , la reemplazamos en la ecuación:

En este caso 2r p pero 7p entonces 2(7) 14r

Por lo que la respuesta es el inciso (b)

23.- Determinar la simplificación de términos semejantes 2 2 2 23 ( 2 ) 3x y x y xy x y

Solución:

Sí el signo multiplica a lo que está en paréntesis podemos reducir ó simplificar.

2 2 2 2

2 2

3 2 3

5 2

x y x y xy x y

x y xy

Por lo que la respuesta correcta es el inciso (d)

3 2

4 2

2 4

42

2

p p r

p r

r p

pr p



24.- De la multiplicación 2 3 3 2 2 3n n na a a resulta:

Solución:

Recordar que en una multiplicación los exponentes se suman cuando hay una base en común,

por lo que haremos lo siguiente:

2 3 3 2 2 3 2 3 (3 2) (2 3 )n n n n n na a a a

Nos enfoquemos a los exponentes ya que la base no será alterada.

2 3 (3 2) (2 3 )

2 3 3 2 2 3

2 3

n n n

n n n

n

Ahora colocando nuestra base

2 3na


25.- La factorización de ac ad bc bd es:

Solución:

Agrupemos los términos de la siguiente forma:

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

ac ad bc bd

a c d b c d

a b c d

Aquí hemos sacado el factor común

Por lo que la respuesta es el inciso (c)



26.- De la simplificación de

2

2

a a

b b resulta:

Solución:

Hacemos la división

2 2

22 2 2

1

( )( )

aa a ab abb

ab b a b ab ab ab

b

Por lo que la respuesta es el inciso (a)

27.- La simplificación de

2 2

3 2

6

27

m p q

mp qes:

Solución:

Esto es sencillo debido sólo hay que eliminar términos semejantes.

2 2

3 2

2( )( )( )( )( )6 2

27 9( )( )( )( )( )( ) 9

m m p p qm p q m

mp q m p p p q q pq

Por lo que la respuesta seria el inciso (b)

28.- Al efectuar la operación 1

11

1x

resulta:

Solución:

Para darle solución este problema es cuestión de multiplicar en cruz y resolver.

1 1 1 2 11 1 1

1 1 1 1 11

x x x x

x x x x

x x

Por lo que la respuesta es la (c)



29.- Al efectuar la siguiente resta 2

2

m m

n n el resultado es:

Solución:

Volvemos a multiplicar cruzado, para resolver esto.

2 2

4 3 3

2 22

mn mn mn m

n nn

Por lo que la solución al problema es el inciso (a)

30.- De las afirmaciones siguientes, ¿Cuántas son verdaderas?

2 2 2 2 2 2) , ) , )i a b a b ii a b a b iii a b b a

Solución:

Le demos valores de 4 3a yb , probemos si se cumple.

2 2 2 2

2 2

2 2

) 4 3 4 3

16 9 4 3

7 1 7 1

)

4 3 4 3

25 7

5 7 5 7

)

4 3 3 4

4 3 3(2)

4 3 6 , 4 3 6

i

esoes falso

ii a b a b

es falso

iii a b b a

eso es falso

Por lo que la respuesta es el inciso (d) ya que ninguna cumple con la igualdad.



31.- Calcula el valor de la expresión 0 1 2 32 2 2 2

Solución:

Recordando que todo número elevado a la 0 da uno, entonces resolvamos:

0

1

2

3

2 1

2 2

2 4

2 8

Sumando todo, 1 2 4 8 15

Por lo que la respuesta es el inciso (c )

32.- Calcula 23

( )2

Solución:

Aplicamos 1n

na

a

2

1 1 4

9 9342


33.- Efectúa el producto 3 2 4 4m na b a b

Solución:

Recordemos que solo podemos sumar exponentes si comparten la misma base así que sólo

será:

3 2 4 4 4 3 2 4 1 6m n m n m na b a b a b a b

Por lo que la solución corresponde al inciso (d)



34.- El resultado de la ecuación exponencial 2 16x es:

Solución:

Sí sabemos que sólo podemos igualar los exponentes si se comparten la misma base, entonces

expresemos a 16 con base de 2, eso quiere decir que 42 16 , entonces reemplazamos esto en

la igualdad de nuestra ecuación:

42 2

4

x

x

Por lo que la solución es (d)

35.- ¿Cuántas soluciones se obtiene al resolver la siguiente ecuación exponencial?

2 3 332 2x x

Solución:

Para poder comparar los exponentes hace falta igualar nuestras bases, por lo tanto 32 se

puede expresar como 52 32 , entonces hacemos lo siguiente:

5(2 3) 32 2x x ahora si encontremos las soluciones.

5(2 3) 3

10 15 3

10 15 3 0

9 18 0

9 18

182

9

x x

x x

x x

x

x

x

Por lo tanto sólo existe una solución para “x”, esto hace que la respuesta correcta sea el inciso

(a)



36.- Al realizar la división

45

5

18

3

m

mresulta:

Solución:

En este caso es aplicar que n

nn

a a

bb

4 45355

5

186 6

3

m mm

mm


37.- El resultado de efectuar la división de 3 32 12 2x xa a es:

Solución:

Aplicamos el mismo concepto que lo anterior

3 23 3 32 ( 1) 2 1 1

3 1

22 2 2

2

x ax x xa a a a a

x a

Por lo que la respuesta es el inciso (a)

38.-Resolviendo la ecuación 7 5x se obtiene:

Solución:

Estos problemitas no requieren tanto análisis, elevamos al cuadrado ambos miembros para

eliminar la fastidiosa raíz.

2 2

7 5

( 7) 5

7 25

25 7

18

x

x

x

x

x

Por lo que la solución es correspondiente al Inciso (c)



39.- Si resolvemos la ecuación 3 2 5 9x x resulta:

Solución:

Solo es tener en cuenta la variable a despejar y hacer el algoritmo indicado.

3 2 5 9

3 2 5 9 0

7 12 0

12 7

12

7

x x

x x

x

x

x


40.- Al traducir a lenguaje algebraico “La suma de dos números multiplicada por su diferencia”,

Qué expresión obtenemos?

Solución:

Si nos dice que la suma de dos números en este caso debemos fijarnos que esos números

pueden ser , , , , , ...a b c d e f pero si vemos las respuestas de la guía toman a ,x y para

realizar el problema entonces veamos lo que nos indica primero.

La suma de dos números x y

Multiplicados por su diferencia ( )( )x y x y

Entonces eso se nos asemeja a la respuesta del inciso (c).



GEOMETRÍA Y

TRIGONOMETRÍA 1.- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es:

Solución:

Por teorema de geometría todo triángulo debe sumar 180° , por lo tanto corresponde al inciso

(d)

Pero matemáticamente se usa la siguiente fórmula ( 2)180iA n , dónde n = al número de

lados de la figura, entonces comprobemos que un triángulo tiene 3 lados por lo tanto:

(3 2)180 (1)(180 ) 180iA

2. ¿Cuánto suman los ángulos internos de un hexágono regular?

Solución:

Aplicamos lo mismo que en la primera pregunta, recordando que todo hexágono tiene 6 lados

usaremos el mismo método:

(6 2)180 (4)(180 ) 720iA

Por lo tanto la respuesta corresponde al inciso (c)

3.- En un aro de 2 m. de radio, se requiere cortar un arco de 240°, ¿Cuánto debe medir su

longitud?

Solución:

La longitud de arco se calcula mediante la siguiente fórmula S r , siendo ángulo ,

,S longitud y r radio , recordar que la respuesta se expresa en radianes.

2(240 )

480

S r

S

S

Lo que conlleva a convertir los grados a radianes:



480 8480

180 180 3m

De tal manera que la respuesta es el inciso (d)

4.- El volumen del cubo está dado porque expresión; si L es la longitud de su arista:

Solución:

El volumen es multiplicar el área por la altura, en este caso el área de un cuadrado siempre

será su longitud por su longitud es decir el lado por lado, de tal forma que al aplicar eso:

2A L L L

Pero tiene una altura L, entonces

3L L L L , de tal forma que la respuesta correcta es el inciso (c)

5.- El volumen de un cilindro de radio “a “ y altura “h” es:

Solución: Como se dijo en el problema 4, el área por la altura dará el volumen de la figura, en

este caso , el área de un cilindro si se observa por arriba miraremos un circulo y que su área

es: 2r , sin embargo nuestro radio es “ a “, entonces

2a , ahora nada más multiplicamos por

su altura que es h , dando como resultado el volumen

2V a h , de tal forma que la solución es el inciso (c)

6.- Halla el área de un cuadrado cuyo lado mide 8cm.

Solución

Aplicando el área de un cuadrado:

28 8 64A L L cm

Por lo que la respuesta es el Inciso (a)



7.- Determina el área de un triángulo rectángulo cuyos vértices son: a(-3,2), b(3,3) y c(4,-3)

Solución:

Para encontrar el área la resolveremos mediante una

determinante para facilitarnos el trabajo*

2

3 2 1 3 21 1

3 3 1 3 3 | ( 3)(3)(1) (2)(1)(4) (1)(3)( 3) [(1)(4)(3) ( 3)( 3)(1) (2)(3)(1)] |2 2

4 3 1 4 3

1 1 1[| 9 8 9 12 9 6 |] [| 37 |] (37) 18.5

2 2 2

A

u

Por lo tanto la respuesta corresponde al inciso (b).

8.- El Cos también se puede expresar como

Solución:

La única forma según las respuestas, es el recíproco de dicha función, es decir:

1Cos

Sec

, de tal manera que la respuesta sería el inciso (c)

9.-Desarrolla la siguiente Operación

2

3

( )log

( )a

x y

x y

Solución:

Aplicando las propiedades de logaritmo log log loga a a

aa b

b por lo tanto en nuestro

problema:

2 3log ( ) log ( )a ax y x y , ahora recordemos también que log logn

a ak n k

2log ( ) 3log ( )a ax y x y , por lo tanto nuestro resultado es el inciso (d)



10.- Calcula el valor aproximado del área del circulo (en 2cm ), que corresponde a una

circunferencia de 25.132 cm.

Solución:

Si la longitud de una circunferencia está dada por 2 r , entonces encontremos su radio.

25.132 2

25.132 25.1323.99 4.00

2 6.2832

r

r

Ahora si busquemos el área.

2 2 2(3.1416)(4) 3.1416(16) 50.265A r cm

Por lo tanto, nuestra respuesta es el in Inciso (a)

11.- Las soluciones a la ecuación 2

4log ( 1) 1x

Solución:

No olvidemos que log , k

a b k b a

Entonces :

2 1

2

2

2

( 1) 4

2 1 4

2 1 4 0

2 3 0

( 3)( 1) 0

x

x x

x x

x x

x x

Por lo que las soluciones corresponde al inciso (b)



12.- Halla el valor de A:

Solución:

Si sabemos que en todo triángulo la suma de los ángulos interiores son 180°, entonces

180 100 30

180 100 30

50

A

A

A

Entonces la respuesta es el inciso (b)

13.- Si A y B son ángulos suplementarios y 65B el valor de A es:

Solución:

Los ángulos suplementarios son aquellos que suman juntos los 180°, por lo que:

180 65

180 65

115

A

A

A


14.- La csc en la figura es:

Solución: Si nos damos cuenta aparece un triángulo en la guía, definamos la función recíproca

es decir:

1 1 1, cos , tan

csc secsen

ctg

, de aquí podemos saber que usaremos al Seno,

entonces si la cosecante será 1

CatetoOpuesto

hipotenusa

ahora busquemos la hipotenusa ya que el

cateto opuesto no los proporciona el triángulo. Mediante el teorema de Pitágoras.

2 2h a b , como el cateto opuesto es= a , analicemos:

2 2

2 2

1csc

a b

a a

a b



Por lo que la respuesta corresponde al inciso (a)

15.- Si 3

tan , cos4

halla sen y .

Solución: Pensemos en que la tangente relaciona tanto al cateto opuesto, como el adyacente es

decir (ignoren los centímetros, sólo es ejemplo), véase la imagen.

Para encontrar el lado restante que es la hipotenusa,

aplicamos el teorema de Pitágoras

2 23 4 9 16 25 5h , por lo que el

seno y el coseno estarán dados por:

3 4, cos

5 5sen , por lo que la solución es el

inciso (b )

16.- El valor de la incógnita en la ecuación logarítmica 2 2

log 2x es:

Solución: Tiene un parecido a la solución del problema 11, usando la propiedad

log , k

a b k b a , proseguimos a resolver.

2 2

2

log 2

(2 2)

4(2)

8

x

x

x

x

Por lo que la solución es el inciso (c)



17.- Para que la igualdad log ______b ab se cumpla, ¿qué expresión debe anotarse de la

lado derecho de la igualdad?

Solución: Hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos, sabemos que “ab”, lo

podemos expresar como una suma ya que:

log ( ) log loga a aPQ P Q [Propiedad logarítmica]

por lo que lo nuestro quedaría como: log log logb b ba b

Pero existe otra propiedad que dice que: log 1a a , entonces el log 1b b , por lo que para

que se cumpla la igualdad deberá quedarnos

log log 1b b a , por lo que la respuesta es el inciso (c)

18.- Si 3t te ke , ¿cuál es el valor de k?

Solución Esto no requiere tanto ingenio puesto que simplemente aplicamos propiedades

algebraicas.

3

3

3

3

t t

t

t

t t

e ke

ek

e

e k

e k




19.- Si 25 25 , ¿Cuál es la notación logarítmica?

Solución: Recordemos que log , k

a b k b a , por lo que :

25 25 , entonces 25, 5, 2b a k , por lo que la igualdad nos dice:

5log 25 2 , por lo que la respuesta corresponde al inciso (a)

20.- ¿Cuál es el valor de y en la expresión 32 2log 3?y

Solución: Para dar solución al problema, hagamos el paso del problema anterior

33(2 2)y , no hemos hecho nada más que aplicar la propiedad log , k

a b k b a

Por lo que

33 32 2

8(2)

16

y

y

y

La solución es el inciso (c)

21.- Un elemento radiactivo decae de modo que después de t días el número de miligramos

presentes está dado por 0.062( ) 100 tN t e ¿Cuántos miligramos están presentes inicialmente?

Solución: Para este tipo de problemas nos proporciona un modelo matemáticot

oN N e ,

donde oN es la cantidad inicial, sí el problema nos pidas los miligramos iniciales, por ende

sabremos que es 100, entonces la respuesta es el inciso (b)



22.- Si log2 0.3010 log3 0.4771y el valor del log18es aproximadamente:

Solución:

Sabemos que el logaritmo de 18 es cómo tener 6*3 , por lo que nos urge hallar el logaritmo de

6 que es 3*2, entonces hacemos lo siguiente:

log6 log(3 2) log3 log2 0.3010 0.4771 0.7781

Ahora sabemos el valor del log 6, pero necesitamos 6*3=18.

log18 log(6 3) log6 log3 0.7781 0.4771 1.2552

Por lo que la solución corresponde al inciso (a)

23.- Son dos ángulos que tienen el vértice y un lado común y cuyos lados opuestos son dos

semirectas.

Solución: Los ángulos adyacentes tienen lo que la definición pide, ya que sólo tienen un lado

común a pesar de eso forman entre ellos un ángulo llano de 180°, por lo que la respuesta es el

inciso (a)

24.- Es un segmento de recta que une un vértice de triángulo con el punto medio de lado

opuesto a dicho vértice.

Solución: La solución está fácil si hacemos la traza de tal forma que nos quedará algo como la

figura:

el punto de intersección de las rectas se llama

baricentro y las rectas ó segmentos son “MEDIANAS”,

por lo que la respuesta es el inciso (c)



25.- Es una recta que interseca al círculo en dos puntos:

Solución: Si es una recta en un punto es una tangente, pero si son dos puntos que toca se le

denomina secante, por lo que la respuesta es el inciso (c).

26.- Dada la expresión trigonométrica 2 2

2 cos

1 cos

senx x

x sen x , mantiene ser una identidad con la

expresión:

Solución: Es fácil si conocemos la mayoría de las identidades trigonométricas en este

problema se usan algunas pero de ángulos dobles.

2 cos 2senx x sen x y también 2 2cos cos2x sen x x ,

21 cos2 2cosx x pero

debemos ser inteligentes y saber qué cambios hacer.

2 2 2

2 cos 2 cos 2 cos 2tan

1 (cos ) 1 cos2 2cos 2cos

senx x senx x senx x senxx

x sen x x x x

Por lo que la respuesta es el Inciso (a)

27.- La medida de un ángulo es 4x +20 y su ángulo opuesto por el vértice mide 6x-34, ¿Cuál es

la medida del ángulo?.

Solución: Si el ángulo es opuesto por el vértice indica que son iguales esto por definición del

matemático Tales de Mileto, entonces:

4 20 6 34

4 6 34 20

2 54

5427

2

x x

x x

x

x

Ahora encontremos el ángulo sustituyéndolo en cualquier ecuación ya que son iguales.

4 20 4(27) 20 128x

probemos con la otra ecuación 6 34 6(27) 34 162 34 128x

Por lo que la respuesta corresponde al inciso (c)



28.- ¿Cuál es el valor del ángulo B?

Solución: Si sabemos que en todo triángulo tenemos 180° entonces nosotros podemos

analizar que :

7 4 7 14 6 2 180

20 20 180

22 180 20

1608

20

y y y

y

y

y

Pero nos piden el ángulo en B que tiene por ecuación 7y+14, entonces.

7 14 7(8) 14 70y

Por lo que la respuesta corresponde al inciso (d)

**Otra forma de resolverlo y más fácil es pensar que el ángulo externo de 130° más el interno

formaran los 180° es decir.

6 2 130 180

6 180 132

6 48

488

6

y

y

y

y

Luego podemos reemplazarla en la ecuación para el ángulo interno B y así obtener lo mismo

que hemos obtenido antes.



29.- Al simplificar la expresión

21 cos,

(1 )(1 )seobtiene

sen sen

:

Solución: Si conocemos de álgebra tendremos la respuesta a nuestros pies, ya que en el

denominador hay una diferencia de cuadrados que la podremos expresar como:

2 2 2(1 )(1 ) 1 1 cossen sen sen sen sen sen

Pero también en el numerador

2 21 cos sen entonces hacemos lo siguiente:

22

2

costan

sen

, por lo que la respuesta es el inciso (b)

30.- Dada la expresión 1 cos6t ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente?

Solución:

Aplicamos la siguiente propiedad: cos( ) cos cosa b a b sena senb

1 cos6 1 cos(3 3 )t t t

Aquí aplicamos la propiedad.

2 21 cos(3 3 ) 1 cos3 cos3 3 3 1 cos 3 3t t t t sen t sen t t sen t

Pero la unidad es decir el 1que tenemos dentro de la raíz la podemos reemplazar por su

identidad pitagórica 2 2 1sen x sen x , entonces sabiendo que esto es posible.

2 2 2 2 23 cos 3 cos 3 3 2cos 3sen t t t sen t t , observemos que se han eliminado los

senos cuadrados ahora, sólo queda aplicar la propiedad de raíz.

22cos 3 2 cos3t t , por lo que la respuesta es el inciso (a)



31.- Al simplificar la expresión cos

csc sec

sen

, se obtiene:

Solución: Si nos damos cuenta cada denominador es recíproco de la función del numerador y

viceversa, entonces lo planteemos de la siguiente manera; la csc y la sec la pasemos a senos y

cosenos.

2 2coscos 1

1 1

cos

sensen

sen

Ya que el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado nos da 1, una identidad pitagórica por lo

que la respuesta corresponde al inciso (b)

32.- ¿Qué sombra proyectará una poste de 9 m. de altura cuando el ángulo de elevación del sol

es de 60°?

Solución: Un poco de trigonometría para este sencillo problema, veamos la imagen.

Si nos damos cuenta nos proporcionan el cateto

opuesto con respecto al ángulo (Altura del poste),

esto hace que pensemos en una función

trigonométrica que nos ofrezca el cateto adyacente

o sea dónde estará la sombra la llamaremos “x”.

Esa es la función Tangente, por lo tanto la tangente

nos dará la respuesta de la siguiente forma:

9tan 60

x

De aquí despejamos a “x”, por ángulos notables la Tangente de 60° = 3

9 9

tan 60 3

min 3

9 3 9 3 9 3 9 33 3

33 3 3 3 9

x

racionalizandoel deno ador multiplicando y dividiendo por




33.- Dado el ángulo de 120° en posición normal y el punto ( 1, 3)P , así como la longitud del

2OP , relaciona las funciones trigonométricas de dicho ángulo.

Solución: Aclaremos un punto muy importante, las funciones trigonométricas seno, coseno y

tangente son positivas en el primer cuadrante, es decir, resumido en esta tablita.

Función

trigonométrica

1er Cuadrante 2do Cuadrante 3er cuadrante 4to cuadrante

Seno + + - -

Coseno + - - +

Tangente + - + -

Cosecante + + - -

Cotangente + - + -

Secante + - - +

De aquí podemos observar que 120° estarán ubicados en el 2do cuadrante por lo que

asumimos que sólo el seno y cosecante serán positivos, entonces, por ángulos notables

razonemos que la coordenada de x = -1, y la de y= 3 , entonces el cateto adyacente es -1 y el

cateto opuesto 3 , la hipotenusa la calculemos con el teorema de Pitágoras,

2 2( 1) ( 3) 1 3 4 2h

Por lo que las funciones trigonométricas serán:

3120

2

1cos120

2

tan120 3

sen




34.- Dados los triángulos para obtener los valores exactos de las funciones trigonométricas de

los ángulos de 30°, 45°, y 60°.

¿Calcular el valor exacto de Seno 15°?

Solución: Para ello usaremos la siguiente propiedad del seno

( ) cos cossen a b sena b senb a

Esto quiere decir que:

(45 30) 45 cos30 30 cos45sen sen sen

Entonces según los triángulos, el seno de 30°y 45°, así como el coseno de 30° y 45° son los

siguientes:

1 2 3 230 , 45 ,cos30 ,cos45

2 2 2 2sen sen

De aquí podemos sacar lo que necesitamos.

(45 30) 45 cos30 30 cos 45

2 3 1 2

2 2 2 2

2 3 2

4 4

6 2 6 2

4 4 4

sen sen sen


*Otra forma de resolver esto es aplicando lo mismo pero ahora como

(60 45) 60 cos45 45 cos60

3 2 2 1

2 2 2 2

6 2 6 2

4 4 4

sen sen sen

Y nos da el mismo resultado.



Solución:

Solución al problema 4 , de la sección de Álgebra.



Sólo con sus comentarios y agradecimientos que sirven de apoyo para poder realizar

las demás secciones podré continuar con la tenacidad de que les ha servido en algo y

para cumplir el propósito y objetivo de dicho esfuerzo.

Gracias y mucha suerte para sus exámenes de admisión.

Éxitos

Atte. Carlos Alberto Julián Sánchez

SOLUCIONARIO GUIA IPN 2011

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