Solucionario Matemática Discreta

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  • PRCTICA CALIFICADA N 3

    1. Verificar si los siguientes conjuntos: D(30), D(12) son lgebras de Boole con las operaciones de

    MCM y MCD. Donde { }

    Sean x e y elementos de D(n), n es mltiplo de x e y, el MCM(x,y) es el Mnimo Comn Mltiplo de x e y

    por lo tanto pertenece a D(n). De igual forma ocurre con el MCD(x,y) que es Mximo Comn Divisor.

    Para D(12):

    + 1 2 3 4 6 12

    1 2 3 4 6 12

    1 1 2 3 4 6 12

    1 1 1 1 1 1 1

    2 2 2 6 4 6 12

    2 1 2 1 2 2 2

    3 3 6 3 12 6 12

    3 1 1 3 1 3 3

    4 4 4 12 4 12 12

    4 1 2 1 4 2 4

    6 6 6 6 12 6 12

    6 1 2 3 2 6 6

    12 12 12 12 12 12 12

    12 1 2 3 4 6 12

    Las operaciones lgicas son conmutativas porque se reflejan en la diagonal:

    + 1 2 3 4 6 12

    1 2 3 4 6 12

    1 1 2 3 4 6 12

    1 1 1 1 1 1 1

    2 2 2 6 4 6 12

    2 1 2 1 2 2 2

    3 3 6 3 12 6 12

    3 1 1 3 1 3 3

    4 4 4 12 4 12 12

    4 1 2 1 4 2 4

    6 6 6 6 12 6 12

    6 1 2 3 2 6 6

    12 12 12 12 12 12 12

    12 1 2 3 4 6 12

    Las operaciones lgicas son distributivas:

    CURSO MATEMTICA DISCRETA CICLO 2012 - II

    CODIGO CB 112 W

    DOCENTE PAUL TOCTO INGA FECHA 24.11.12

  • Existencia de los elementos neutros:

    + 1 2 3 4 6 12

    1 2 3 4 6 12

    1 1 2 3 4 6 12

    1 1 1 1 1 1 1

    2 2 2 6 4 6 12

    2 1 2 1 2 2 2

    3 3 6 3 12 6 12

    3 1 1 3 1 3 3

    4 4 4 12 4 12 12

    4 1 2 1 4 2 4

    6 6 6 6 12 6 12

    6 1 2 3 2 6 6

    12 12 12 12 12 12 12

    12 1 2 3 4 6 12

    Existencia del complemento:

    + 1 2 3 4 6 12

    1 2 3 4 6 12

    1 1 2 3 4 6 12

    1 1 1 1 1 1 1

    2 2 2 6 4 6 12

    2 1 2 1 2 2 2

    3 3 6 3 12 6 12

    3 1 1 3 1 3 3

    4 4 4 12 4 12 12

    4 1 2 1 4 2 4

    6 6 6 6 12 6 12

    6 1 2 3 2 6 6

    12 12 12 12 12 12 12

    12 1 2 3 4 6 12

    Para D (30):

    + 1 2 3 5 6 10 15 30

    1 2 3 5 6 10 15 30

    1 1 2 3 5 6 10 15 30

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    2 2 2 6 10 6 10 30 30

    2 1 2 1 1 2 2 1 2

    3 3 6 3 15 6 30 15 30

    3 1 1 3 1 3 1 3 3

    5 5 10 15 5 30 10 15 30

    5 1 1 1 5 1 5 5 5

    6 6 6 6 30 6 30 30 30

    6 1 2 3 1 6 2 3 6

    10 10 10 30 10 30 10 30 30

    10 1 2 1 5 2 10 5 10

    15 15 30 15 15 30 30 15 30

    15 1 1 3 5 3 5 15 15

    30 30 30 30 30 30 30 30 30

    30 1 2 3 5 6 10 5 30

    Las operaciones lgicas son conmutativas porque se reflejan en la diagonal:

    + 1 2 3 5 6 10 15 30

    1 2 3 5 6 10 15 30

    1 1 2 3 5 6 10 15 30

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    2 2 2 6 10 6 10 30 30

    2 1 2 1 1 2 2 1 2

    3 3 6 3 15 6 30 15 30

    3 1 1 3 1 3 1 3 3

    5 5 10 15 5 30 10 15 30

    5 1 1 1 5 1 5 5 5

    6 6 6 6 30 6 30 30 30

    6 1 2 3 1 6 2 3 6

    10 10 10 30 10 30 10 30 30

    10 1 2 1 5 2 10 5 10

    15 15 30 15 15 30 30 15 30

    15 1 1 3 5 3 5 15 15

    30 30 30 30 30 30 30 30 30

    30 1 2 3 5 6 10 5 30

  • Las operaciones lgicas son distributivas:

    Existencia de los elementos neutros:

    + 1 2 3 5 6 10 15 30

    1 2 3 5 6 10 15 30

    1 1 2 3 5 6 10 15 30

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    2 2 2 6 10 6 10 30 30

    2 1 2 1 1 2 2 1 2

    3 3 6 3 15 6 30 15 30

    3 1 1 3 1 3 1 3 3

    5 5 10 15 5 30 10 15 30

    5 1 1 1 5 1 5 5 5

    6 6 6 6 30 6 30 30 30

    6 1 2 3 1 6 2 3 6

    10 10 10 30 10 30 10 30 30

    10 1 2 1 5 2 10 5 10

    15 15 30 15 15 30 30 15 30

    15 1 1 3 5 3 5 15 15

    30 30 30 30 30 30 30 30 30

    30 1 2 3 5 6 10 5 30

    Existencia del complemento:

    + 1 2 3 5 6 10 15 30

    1 2 3 5 6 10 15 30

    1 1 2 3 5 6 10 15 30

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    2 2 2 6 10 6 10 30 30

    2 1 2 1 1 2 2 1 2

    3 3 6 3 15 6 30 15 30

    3 1 1 3 1 3 1 3 3

    5 5 10 15 5 30 10 15 30

    5 1 1 1 5 1 5 5 5

    6 6 6 6 30 6 30 30 30

    6 1 2 3 1 6 2 3 6

    10 10 10 30 10 30 10 30 30

    10 1 2 1 5 2 10 5 10

    15 15 30 15 15 30 30 15 30

    15 1 1 3 5 3 5 15 15

    30 30 30 30 30 30 30 30 30

    30 1 2 3 5 6 10 5 30

    2. Una empresa proveedora de Internet desea crear una red de fibras pticas para brindar servicios de

    Internet en una provincia, con la siguiente informacin de poblacin promedio entre cada distrito:

    Promedio de pobladores

    en miles A B C D E F G H I J

    A 111 240 594 217 859 270 579 908 697 66

    B

    376 171 857 101 105 559 863 944

    C

    765 100 899 413 2 878 510

    D

    486 274 858 776 669 874

    E

    761 824 804 454 261

    F

    258 764 46 876

  • G

    340 451 831

    H

    646 730

    I

    969

    J

    Usar dos mtodos para solucionar el problema indicado cada iteracin de los mtodos aplicados.

    Primer mtodo: Algoritmo de Kruskal

    a. Ordenaremos las aristas en forma ascendente, en funcin de sus pesos.

    C H 2

    F I 46

    A J 66

    C E 100

    B F 101

    B G 105

    B D 171

    A D 217

    A B 240

    F G 258

    E J 261

    A F 270

    D F 274

    G H 340

    B C 376

    C G 413

    G I 451

    E I 454

    D E 486

    C J 510

    B H 559

    A G 594

    H I 646

    D I 669

    A I 697

    H J 730

    E F 761

    F H 764

    C D 765

    D H 776

    E H 804

    E G 824

    G J 831

    D G 858

    B I 863

    B E 857

    A E 859

    D J 874

    F J 876

    C I 878

    C F 899

    A H 908

    B J 944

    I J 969

  • b. Seleccionamos las aristas de menor peso e incluimos los vrtices que formen el rbol. Obtenemos:

    Segundo mtodo: Algoritmo de Prim

    a. Seleccionamos cualquier vrtice y anotamos los vrtices adyacentes. Escoger el vrtice G.

    b. En funcin de los pesos seleccionamos la arista de menor peso.

    c. El vrtice adyacente seleccionado forma parte del rbol.

    d. Si hay ms vrtices ir al primer paso. Obtenemos:

  • 3. Hallar un circuito que permita calcular el bit de paridad de un digito binario de cinco bits. Bit de

    p g 0 m p g 1 nmero de unos es impar de un

    dgito binario. (Utilizar Karnaugh para simplificar).

    a b c d e F

    0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 1 1

    0 0 0 1 0 1

    0 0 0 1 1 0

    0 0 1 0 0 1

    0 0 1 0 1 0

    0 0 1 1 0 0

    0 0 1 1 1 1

    0 1 0 0 0 1

    0 1 0 0 1 0

    0 1 0 1 0 0

    0 1 0 1 1 1

    0 1 1 0 0 0

    0 1 1 0 1 1

    0 1 1 1 0 1

    0 1 1 1 1 0

    1 0 0 0 0 1

    1 0 0 0 1 0

    1 0 0 1 0 0

    1 0 0 1 1 1

    1 0 1 0 0 0

    1 0 1 0 1 1

    1 0 1 1 0 1

    1 0 1 1 1 0

    1 1 0 0 0 0

    1 1 0 0 1 1

    1 1 0 1 0 1

    1 1 0 1 1 0

    1 1 1 0 0 1

    1 1 1 0 1 0

    1 1 1 1 0 0

    1 1 1 1 1 1

    Karnaugh:

    de/abc 000 001 011 010 110 111 101 100

    00 0 1 0 1 0 1 0 1

    01 1 0 1 0 1 0 1 0

    11 0 1 0 1 0 1 0 1

    10 1 0 1 0 1 0 1 0

  • 4. Hallar un circuito que permita determinar si un digito binario de cinco bits es un nmero par.

    (Utilizar Karnaugh para simplificar).

    Considerando que:

    a b c d e F

    0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 1 1

    0 0 0 1 0 0

    0 0 0 1 1 1

    0 0 1 0 0 0

    0 0 1 0 1 1

    0 0 1 1 0 0

    0 0 1 1 1 1

    0 1 0 0 0 0

    0 1 0 0 1 1

    0 1 0 1 0 0

    0 1 0 1 1 1

    0 1 1 0 0 0

    0 1 1 0 1 1

    0 1 1 1 0 0

    0 1 1 1 1 1

    1 0 0 0 0 0

    1 0 0 0 1 1

    1 0 0 1 0 0

    1 0 0 1 1 1

    1 0 1 0 0 0

    1 0 1 0 1 1

    1 0 1 1 0 0

    1 0 1 1 1 1

    1 1 0 0 0 0

    1 1 0 0 1 1

    1 1 0 1 0 0

    1 1 0 1 1 1

    1 1 1 0 0 0

    1 1 1 0 1 1

    1 1 1 1 0 0

    1 1 1 1 1 1

  • Karnaugh:

    de/abc 000 001 011 010 110 111 101 100

    00 0 0 0 0 0 0 0 0

    01 1 1 1 1 1 1 1 1

    11 1 1 1 1 1 1 1 1

    10 0 0 0 0 0 0 0 0

    F = e

  • PRCTICA CALIFICADA N 3

    1. Realizar las siguientes demostraciones:

    a. m 1 11 1 1

    b.

    c.

    d. ( ) ( 11 1 1 )

    1.a.

    Karnaugh:

    cd/ab 00 01 11 10

    00 0 1 1 0

    01 1 0 0 1

    11 1 0 0 1

    10 0 1 1 0

    1.b.

    1.d. ( ) ( )

    cd/ab 00 01 11 10

    00 0 0 1 1

    01 1 1 0 0

    11 1 1 0 0

    10 1 1 1 1

    CURSO MATEMTICA DISCRETA CICLO 2012 - II

    CODIGO CB 112 U, V

    DOCENTE JOS BENITES, JOSU ANGULO FECHA 20.11.12

  • 2.a. Muestre que el nmero mximo de vrtices de un rbol binario de altura h es -1-1 .

    Un rbol binario es un rbol con raz en el que cada nodo tiene como mximo dos hijos. Entonces para

    saber el nmero mximo de vrtices en un rbol binario todos los vrtices tendrn dos hijos.

    En:

    h=2 2 vrtices

    h= 3 4 vrtices

    h= 4 8 vrtices

    Altura h:

    2.b. En un mapa de Karnaugh de 5 variables: (A, B, C, D, E), el trmino m27, con qu trminos podra

    combinarse, escribir dichos trminos en funcin de las variables.

    a b c d e F

    0 0 0 0 0 m0

    0 0 0 0 1 m1

    0 0 0 1 0 m2

    0 0 0 1 1 m3

    0 0 1 0 0 m4

    0 0 1 0 1 m5

    0 0 1 1 0 m6

    0 0 1 1 1 m7

    0 1 0 0 0 m8

    0 1 0 0 1 m9

    0 1 0 1 0 m10

    0 1 0 1 1 m11

    0 1 1 0 0 m12

    0 1 1 0 1 m13

  • 0 1 1 1 0 m14

    0 1 1 1 1 m15

    1 0 0 0 0 m16

    1 0 0 0 1 m17

    1 0 0 1 0 m18

    1 0 0 1 1 m19

    1 0 1 0 0 m20

    1 0 1 0 1 m21

    1 0 1 1 0 m22

    1 0 1 1 1 m23

    1 1 0 0 0 m24

    1 1 0 0 1 m25

    1 1 0 1 0 m26

    1 1 0 1 1 m27

    1 1 1 0 0 m28

    1 1 1 0 1 m29

    1 1 1 1 0 m30

    1 1 1 1 1 m31

    000 001 011 010 110 111 101 100

    00 m0 m4 m12 m8 m24 m28 m20 m16

    01 m1 m5 m13 m9 m25 m29 m21 m17

    11 m3 m7 m15 m11 m27 m31 m23 m19

    10 m2 m6 m14 m10 m26 m30 m22 m18

    Por lo tanto m27 puede combinarse con m25, m11, m31 y m26.

  • 3. El grfico de la figura representa las carreteras y las longitudes de las carreteras entre cada pareja

    de ciudades estn representadas por los pesos de las aristas. Utilizando los algoritmos de Prim y

    Kruskal encuentre un camino que llegue a todas las ciudades de modo que el nmero de kilmetros

    terminados sea mnimo.

    Primer mtodo: Algoritmo de Kruskal

    a. Ordenamos las aristas en forma ascendente en una tabla, en funcin de sus pesos.

    H F 15

    G I 15

    C D 20

    D G 20

    E G 20

    A E 20

    F G 25

    F D 25

    F C 28

    D E 30

    I J 30

    H I 35

    E B 50

    A B 65

    E J 80

    B J 80

    C A 85

  • Seleccionamos las aristas de menor peso e incluimos los vrtices que formen el rbol. Obtenemos:

    Segundo mtodo: Algoritmo de Prim

    a. Seleccionamos cualquier vrtice y anotamos los vrtices adyacentes. Seleccionar el vrtice H.

    b. En funcin de los pesos seleccionamos la arista de menor peso.

    c. El vrtice adyacente seleccionado forma parte del rbol.

    d. Si hay ms vrtices ir al primer paso. Obtenemos:

  • 3.b. El consejo de administracin de una empresa esta compuesta por cuatro personas: A, B, C, D

    cuyos votos valen respectivamente 1, 4, 6 y 9 puntos votan sobre distintos proyectos. Ninguna de las

    cuatro personas se abstiene, ni votan en blanco o nulo. Los votantes eligen 1 cuando votan a favor de

    proyecto y eligen o cuando votan en contra del mismo. Construya una funcin booleana f(a, b, c, d)

    que tome el valor 1 cuando el proyecto es aceptado por una mayora absoluta de puntos (al menos III

    puntos o cero en caso contrario). Simplifique la expresin en forma de suma de productos, Construya

    el circuito lgico mnimo.

    Considerando que:

    a b c d F

    0 0 0 0 0

    0 0 0 1 0

    0 0 1 0 0

    0 0 1 1 1

    0 1 0 0 0

    0 1 0 1 1

    0 1 1 0 0

    0 1 1 1 1

    1 0 0 0 0

    1 0 0 1 0

    1 0 1 0 0

    1 0 1 1 1

    1 1 0 0 0

    1 1 0 1 1

    1 1 1 0 1

    1 1 1 1 1

    Karnaugh:

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