04/09/2015 Soluções de provas da área de Engenharia da Petrobrás | Solução de questões das provas da Petrobrás para Engenheiro de Petróleo e Engenheiro de Equipamentos na área de Ele…

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23/07/2011 Eloi Deixe um comentário

Questão 24

Uma indústria deseja fabricar um tambor fechado na forma de um cilindro circular reto. Se a área total da superfície do tambor é fixada em 36π dm2, o volume máximo queesse tambor pode ter é, em dm3, igual a:(A)12π√6(B)18π√6(C)24π√6(D)36π√6(E)48π√6

Solução:

A área da superfície do cilindo é dada pela soma das duas áreas das tampas (circunferências) mais a área lateral, que é dada pelo comprimento da circuferência da basevezes a altura do cilindro. Chamando o raio de r e a altura de h, temos:

A = (2πr).h + 2.(πr^2)

A = 36π = (2πr).h + 2.(πr^2)

h = (36π – 2.(πr^2)) / (2πr)

h = (18 – r^2)/r

O volume do cilindro é dado pela área da base vezes a altura:

V = (πr^2).h

Usando o valor de h obtido anteriormente temos:

V = (πr^2).( (18 – r^2)/r)

V= 18πr – πr^3

Derivamos o volume em relação ao raio:

V’ = 18π – 3πr^2

O ponto de máximo será o ponto em que a derivada da função se anula:

V’ = 0

18π – 3πr^2 = 0

r^2 = ­18π / (­3π)

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23/07/2011 Eloi Deixe um comentário

r = √6

Portando, para o valor do raio encontrado, o volume será máximo. Substituimos na equação do volume para determiná­lo:

V = 18πr – πr^3

V = 18π(√6) – π(√6)^3

V = 18π(√6) – 6π(√6)

V = 12π(√6)

Portando, a solução é a letra A.

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Questão 23

Seja T uma transformação linear de R^2 em R^2 tal que T(u) = (–1, 2) e T(v) = (0,3), onde u e v são vetores de R^2. Sendo a e b reais não nulos, tem­se que T(au + bv) é iguala:(A) (–a , 2a+3b)(B) (–a+2b , 3b)(C) (–b , 2b+3a)(D) (–b+2a , 3a)(E) (–a , 5b)

Solução:

Resolvemos facilmente o problema aplicando as propriedades das transformações lineares:

T(a.v) = a.T(v)

Logo:

T(au + bv) = a.T(u) + b.T(v)

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23/07/2011 Eloi Deixe um comentário

T(au + bv) = a.(­1, 2) + b.(0, 3)

T(au + bv) = (­a, 2a) + (0, 3b)

T(au + bv) = (­a, 2a + 3b)

Portando, a solução é a letra A.

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Questão 22

Com relação ao sistema de variáveis reais x e y, , no qual m e n são números reais, tem­se que(A) se m = –1 e n = –3, qualquer par ordenado (x,y), x e y reais, é solução.(B) não tem solução se m = –1 e n ≠–3.(C) tem sempre solução quaisquer que sejam m e n reais.(D) tem duas soluções se m –1.(E) (1,1) é solução se m = n.

Solução:

Analisemos cada uma das alternativas:

A) Substituímos m e n pelos valores dados. Obteremos as equações ­x+y=3 e x­y=­3. Estas duas equações são linearmente dependentes, significando que de nossosistema de 2 variáveis, teremos apenas 1 equação, tornando o sistema possível e inderterminado, possuindo infinitas soluções sobre uma reta do plano e não sobrequalquer ponto do plano, como afirma a resposta. (FALSA)

B) Como o sistema é de dimensão 2, trata­se de duas retas. Se as retas são paralelas e não sobrepostas o sistema não possuirá solução. Isso ocorrerá se o coeficienteangular das duas retas for o mesmo e o termo independente diferente. O coeficiente angular de uma reta no formato y=tx+b é dado pelo termo t. No caso das duas retas dosistema, adquando as equações notamos que os coeficientes são iguais a ­m e +1, respectivamente. Logo se m = ­1 e n ≠ ­3, o sistema não terá solução. (VERDADEIRA)

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23/07/2011 Eloi Deixe um comentário

C) Já foi mostrado no item B que o sistema não terá solução para algum valor de m e n. (FALSA)

D) Como a solução do sistema será uma reta, um ponto ou um conjunto vazio, a afirmativa jamais poderá ocorrer. (FALSA)

E) Substituindo m por n e resolvendo o sistema, chegaremos a conclusão que para m = n, a solução será o ponto de coordenadas x = (m+3)/(m+1) e y = 3/(m+1). Para que yseja igual a +1, m teria que ser igual a 2, e substituindo em x obtemos x = 5/3, que é diferente de +1, como afirmado. (FALSA)

Portando, a solução é a letra B.

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Questão 21

Considere a equação matricial AX = B. Se A = e B = , então a matriz X é:

Solução:

Considemos a matrix X com quatro coeficientes a serem determinados. Fazendo a multiplicação de A por X, obteremos 4 equações em funções dos 4 coeficientes.Resolvendo o sistema linear, teremos os valores da matrix X:

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23/07/2011 Eloi 2 comentários

Porém, como esta questão apresenta as respostas por múltipla escolha, podemos utilizar uma maneira bem rápida de responder a questão. Se somarmos as equeções [1]e [2], acharmos facilmente o valor do coeficiente c:

Ora, observando as respostas, só temos uma matriz que possui o coeficiente c igual a 4, já resolvendo o problema sem grandes esforço. Portando, a solução é a letra B.

Agora, se a questão não fosse de múltipla escolha, bastava calcular o valor dos demais coeficientes, dando um pouco mais de trabalho, mas nada de mais.

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Questão 24

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Um sistema de 2a ordem é dado pela sua função de transferência . Sabe­se que o tempo de subida, medido sobre a curva de resposta ao degrau

aplicado nesse sistema, é dado por , onde:

• é a razão de amortecimento; e• ωn é a frequência natural não amortecida.Para discretizar esse sistema e aplicar um controle digital, o período de amostragem deve ser tal que ocorram 10 amostras durante o tempo de subida. O valor aproximadodesse período é:(A) π/(10√3)(B) π√3/180(C) π/100(D) 2π√3/225(E) π/250

Solução:

Para resolvermos a questão devemos nos lembrar que um sistema de segunda ordem tem sua função de transferência escrita da seguinte forma:

Comparando com a função dada, notamos que nem precisaremos manipular G(s) para que fique no mesmo formato de H(s). Facilmente obteremos o valor da freqûencianatural ωn:

E usando o valor obtido, calculamos o fator de amortecimento ζ:

Calculemos o valor do ângulo φ:

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Agora, de posse dos valores, calculamos o valor do tempo de subida, através da fórmula dada:

Finalmente, o problema diz que durante o tempo de subida, a saída do sistema deverá ser amostrada 10 vezes. Isso significa que o período de amostragem deve ser dezvezes mais rápido que o tempo de subida. Portanto, dividimos o valor do tempo de resposta por 10 e simplificamos o resultado:

Resposta B

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23/07/2011 Eloi Deixe um comentário

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Questão 23

O modelo discreto de um sistema, em malha aberta, é representado pela função de transferência . A figura acima mostra o esboço do lugar das

raízes, no plano Z, para esse sistema, em malha fechada, com realimentação de saída e com o ganho variando no intervalo . O circulo unitário está traçado comlinha pontilhada. O valor do ganho K, para que o sistema em malha fechada esteja no limiar da instabilidade, é(A) 5,0

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(B) 2,5(C) 1,0(D) 0,5(E) 0,25

Solução:

Esta questão é bem trabalhosa. Como queremos que o sistema de malha fechada esteja no limiar da instabilidade, significa que os pólos do sistema deverão estar sobre ocírculo unitário. Desta forma, o módulo dos pólos deverá ser igual a 1. Levando isto em consideração, chegaremos à seguinte condição:

Vamos agora calcular os valores dos coeficientes do número completo z em função de k. Lembrando que para calcularmos os pólos de malha fechada, basta­noscalcularmos os zeros da função 1+GH, sendo H a realimentação unitária:

Resolvendo a equação em z, chegaremos:

Devemos atentar que para z ser complexo, necessariamente a expressão dentro da raíz deverá ser menor que zero. Levando isso em consideração chegaremos aos valoresde a e b:

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Substituimos os valores encontrados na condição inicial encontrada chegamos à solução:

Portanto, a resposta é a letra D