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Guia rpido do Microsoft Excel SolverMs T1 T2 T3 T4 TotalSazonalidade 0.9 1.1 0.8 1.2

Unidades vendidas 3,592 4,390 3,192 4,789 15,962 Receita de vendas ### ### ### ### ### Codificao por coresCusto de vendas 89,789 109,742 79,812 119,718 399,061 Margem bruta 53,873 65,845 47,887 71,831 239,437 Clula de destinoEquipe de vendas 8,000 8,000 9,000 9,000 34,000 Clulas variveisPropaganda 10,000 10,000 10,000 10,000 40,000 Despesas corporativas 21,549 26,338 19,155 28,732 95,775 RestriesCustos totais 39,549 44,338 38,155 47,732 169,775

Lucro do produto R$14,324 R$21,507 R$9,732 R$24,099 R$69,662 Margem de lucro 10% 12% 8% 13% 11%

Preo do produto R$40.00 Custo do produto R$25.00

Os exemplos a seguir demonstram como trabalhar com o modelo acima para calcular um ou vrios valoresde forma a maximizar ou minimizar um outro valor, inserir e alterar restries e salvar um modelo de problema.

Linha Contm Explicao3 Valores fixos Fator de sazonalidade: as vendas so maiores nos

trimestres 2 e 4, e menores nos trimestres 1 e 3.5 =35*B3*(B11+3000)^0Previso de unidades vendidas para cada trimestre: a linha 3

contm o fator de sazonalidade; a linha 11 contm o custo de marketing.

6 =B5*$B$18 Receita de vendas: previso de unidades vendidas (linha 5) vezes o preo (clula B18).

7 =B5*$B$19 Custo de vendas: previso de unidades vendidas(linha 5) vezes o custo do produto (clula B19).

8 =B6-B7 Margem bruta: receitas de vendas (linha 6) menos o custo de vendas (linha 7).

10 Valores fixos Despesas com a equipe de vendas.11 Valores fixos Oramento de propaganda (cerca de 6,3% das vendas).12 =0,15*B6 Despesas corporativas gerais: receitas de vendas

(linha 6) vezes 15%.13 =SUM(B10:B12) Custos totais: despesas com a equipe de vendas (linha 10)

mais propaganda (linha 11) mais despesas gerais (linha 12).15 =B8-B13 Lucro de produto: margem bruta (linha 8) menos

custos totais (linha 13).16 =B15/B6 Margem de lucro: lucro (linha 15) dividido pela

receita de vendas (linha 6).18 Valores fixos Preo do produto.19 Valores fixos Custo do produto.

Este um tpico modelo de marketing que mostra o aumento de vendas a partir de um valor base (talvez devido equipe de vendas) juntamente com aumentos em propaganda, porm com retornos reduzidos. Por exemplo,os primeiros R$5.000 em marketing no T1 acarretam mais 1.092 unidades vendidas, mas os prximosR$5.000 geram somente mais 775 unidades.Voc pode usar o Solver para determinar se o oramento de propaganda est baixo demais e se estadeve ser alocada de forma diferente ao longo do tempo, para tirar vantagem da alterao dofator de sazonalidade.

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Calculando um valor para maximizar um outro valorUma forma de utilizar o Solver para determinar o valor mximo de uma clula pela alterao deuma outra clula. As duas clulas devem estar relacionadas pelas frmulas da planilha. Caso no estejam, a alterao do valor em uma clula no ir alterar o valor da outra clula.Por exemplo, na planilha de exemplo voc deseja determinar quanto precisa gastar em propaganda para gerar o lucro mximo para o primeiro trimestre. Voc est interessado no aumento do lucro pela alteraodas despesas em propaganda.

Voc ver mensagens na barra de status a medida que o problema for configurado e o Solver comear a trabalhar.Aps um instante, voc ver uma mensagem informando que o Solver encontrou uma soluo. O Solver determinou que uma propaganda de R$10.093 no primeiro trimestre acarretar um lucro mximo de R$15.093.

para descartar os resultados e retornar os valores originais da clulal B11.

Redefinindo as opes do Solver

Calculando um valor pela alterao de vrios valoresVoc pode tambm usar o Solver para calcular vrios valores, de uma s vez, para maximizar ou minimizarum outro valor. Por exemplo, voc pode calcular o oramento de propaganda para cada trimestre queresultar no melhor lucro para o ano inteiro. Como o fator de sazonalidade na linha 3 includo no clculo dasunidades vendidas na linha 5 como um multiplicador, parece lgico que voc deva gastar um valor maior dooramento de propaganda no trimestre 4, quando as respostas de venda so maiores e menos no trimestre 3,quando as respostas so menores. Use o Solver para determinar a melhor alocao por trimestre.

para descartar os resultados e retornar os valores originais a todas as clulas.Voc solicitou que o Solver resolvesse um problema de otimizao no-linear moderadamente complexo, ouseja, determinar os valores para os quatro itens no conhecidos nas clulas B11 a E11 que iro aumentar oslucros. (Este um problema no-linear por causa da exponenciao que ocorre nas frmulas da linha 5). Osresultados desta otimizao sem restries demonstra que voc pode aumentar em R$79.706 os lucros parao ano se gastar R$89.706 em marketing no ano inteiro.Entretanto, os problemas de modelos reais possuem fatores limitativos que voc dever aplicar a determinadosvalores. Estas restries podem ser aplicadas s clulas de destino, variveis ou a qualquer outro valorque esteja relacionado s frmulas destas clulas.

Adicionando uma restrioAt agora, o oramento recupera os custos de propaganda e produz um lucro adicional, porm voc estatingindo um ponto de reduo no retorno. Como voc nunca pode estar certo de que a resposta do seumodelo de vendas ser vlida para o prximo ano (especialmente com o alto aumento nos nveis dedespesa), no parece prudente permitir despesas sem restries em propaganda.Suponhamos que voc queira manter o seu oramento original de propaganda de R$40.000. Adicione uma restrio ao problema que limite a R$40.000 a soma de propaganda durante os quatro trimestres.

No menu Ferramentas, clique em Solver. Na caixa Definir clula de destino,digite b15 ou selecione a clula b15 (lucro do primeiro trimestre) na planilha. Selecione a opo Mx. Na caixa Clulas variveis, digite b11 ou selecione a clula B11(propaganda no primeiro trimestre) na planilha. Clique em Resolver.

Aps examinar os resultados, selecione Restaurar valores originais e clique em OK

Se voc desejar retornar as opes da caixa de dilogo Parmetros do Solver s definies originaispara que possa iniciar um novo problema, clique em Redefinir tudo.

No menu Ferramentas, clique em Solver. Na caixa Definir clula de destino, digite F15 ou selecione a clula F15 (lucro total para o ano) na planilha. Certifique-sede que a opo Mx esteja selecionada. Na caixa Clulas variveis,digite b11:e11 ou selecione as clulas B11:E11 (o oramento de propaganda paracada trimestre) na planilha. Clique em Resolver.Aps examinar os resultados, clique em Restaurar valores originais e clique em OK

No menu Ferramentas, clique em Solver e, em seguida, clique em Adicionar. A caixade dilogo Adicionar restrio ser exibida. Na caixa Referncia de clula, digite f11 ou selecione a clula F11 (total em propaganda) na planilha. A clula F11 deve

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(menor ou igual) por padro, de modo que no necessrio alter-lo. Na caixa ao lado

A soluo encontrada pelo Solver aloca valores entre R$5.117 no T3 e R$15.263 no T4. O lucro total aumentou de R$69.662 no oramento original para R$71.447, sem qualquer aumento no oramento de propaganda.

Alterando uma restrioAo usar o Microsoft Excel Solver, voc pode experimentar parmetros ligeiramente diferentes para decidirqual a melhor soluo para o problema. Por exemplo, voc pode alterar uma restrio para verificar se os resultados so melhores ou piores que os anteriores. Na planilha de exemplo, tente alterar o valor da restriode marketing para R$50.000 para verificar a influncia que isto tem no total do lucro.

O Solver encontra uma soluo tima que proporciona um lucro total de R$74.817. Isto significa uma melhoriade R$3.370 sobre o ltimo valor de R$71.447. Na maioria das empresas, no muito difcil justificar umaumento de R$10.000 no investimento para proporcionar um lucro adicional de R$3.370 ou um retornode 33,7% do investimento. Esta soluo tambm resulta em um lucro de R$4.889 a menos do que oresultado sem restries, porm voc gasta R$39.706 a menos para obt-lo.

Salvando um modelo de problema

so anexadas planilha e mantidas quando a pasta de trabalho salva. Entretanto, voc pode definir

com base na clula ativa como a rea para gravao do modelo. O intervalo sugerido inclui uma clula paracada restrio mais trs clulas adicionais. Certifique-se de que este intervalo de clulas seja um intervalovazio na planilha.

do problema sero copiadas.

redefinir as configuraes atuais das opes do Solver com as configuraes do modelo que est sendo

ser menor que ou igual a R$40.000. O relacionamento na caixa Restrio

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Clula de destino

Clulas variveis

Restries

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Exemplo 1: Problema de combinao de produtos com reduzidas margens de lucro.Sua empresa fabrica TVs, estreos e alto-falantes usando um estoque de peas comuns de Codificao por coresfontes de energia, cones de alto-falantes, etc. As peas possuem um estoque limitado e vocdeve determinar a combinao mais lucrativa na montagem dos produtos. Porm, seu lucropor unidade produzida diminui com o volume porque so necessrios incentivos adicionaisao preo para suprir os canais de distribuio.

Aparelho de TV Estreo Alto-falanteNmero a ser produzido 100 100 100

Nome da pea Estoque N UsadoChassi 450 200 1 1 0Tubo de imagem 250 100 1 0 0 ExpoenteCone de alto-falante 800 500 2 2 1 de retornoFonte de energia 450 200 1 1 0 reduzidoComponentes eletrnicos 600 400 2 1 1 0.9

Lucros:Por produto R$4,732 R$3,155 R$2,208

Total R$10,095

Este modelo fornece dados para diversos produtos que usam peas comuns, cada um com uma diferentemargem de lucro por unidade. As peas so limitadas, de modo que seu problema determinar o nmero a ser produzido de cada produto a partir do estoque disponvel, de forma a maximizar os lucros.

Especificaes do problemaClula de destino D19 O objetivo maximizar o lucro.Clulas variveis D10:F10 Unidades de cada produto a serem produzidas.Restries C12:C16=0 O valor do nmero a ser produzido deve

ser maior do que ou igual a 0.

As frmulas para lucro por produto nas clulas D18:F18 incluem o fator ^H15 para mostrar que o lucro porunidade diminui com o volume. H16 contm 0,9, o que torna o programa no-linear. Se voc alterar H16 para 1,0 de modo a indicar que o lucro por unidade permanece constante com o volume e, em seguida, clicar em Resolver, a soluo tima ser alterada. Essa alterao tambm torna linear o problema.

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Exemplo 1: Problema de combinao de produtos com reduzidas margens de lucro.Codificao por cores

Clula de destino

Clulas variveis

Restries

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Exemplo 2: Problema de transporteMinimiza os custos de transporte de mercadorias de fbricas para armazns prximos aos centrosde demanda metropolitanos, sem exceder o estoque disponvel em cada fbrica e atendendo demanda de cada rea metropolitana.

Nmero a transportar da fbrica x para o armazm y (na interseo): Codificao por coresFbricas: Total Rio So Paulo Natal Manaus CuritibaPorto Alegre 5 1 1 1 1 1 Clula de destinoRecife 5 1 1 1 1 1Minas 5 1 1 1 1 1 Clulas variveis

--- --- --- --- ---Totais: 3 3 3 3 3 Restries

manda por armazm --> 180 80 200 160 220Fbricas: Estoque Custo de transporte da fbrica x para o armazm y (na interseo):Porto Alegre 310 10 8 6 5 4Recife 260 6 5 4 3 6Minas 280 3 4 5 5 9

Transporte: R$83 R$19 R$17 R$15 R$13 R$19

O problema apresentado nesse modelo envolve o transporte de mercadorias de trs fbricas paracinco armazns regionais. As mercadorias podem ser transportadas de qualquer fbrica para qualquerarmazm, porm o custo para transportar mercadorias em longas distncias maior que em curtas. Oproblema determinar a quantidade a ser transportada de cada fbrica para cada armazm, a umcusto mnimo, de forma a atender demanda regional, sem exceder o estoque da fbrica.

Especificaes do problema

Clula de destino B20 O objetivo minimizar o custo total de transporteClulas variveis C8:G10 Quantidade a ser transportada de cada

fbrica para cada armazm.Restries B8:B10=C14:G14 O total transportado deve ser maior do que ou

igual demanda do armazm.C8:G10>=0 O nmero a ser transportado deve ser maior do

que ou igual a 0.

deste tipo tem uma soluo tima, onde as quantidades a serem transportadas so inteiros, se todosos estoques e restries forem inteiros.

Para resolver esse problema rapidamente, selecione a caixa de verificao Presumir modelolinear, na caixa de dilogo Opes do Solver, antes de clicar em Resolver. Um problema

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Planejamento de pessoal

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Exemplo 3: Planejamento de pessoal para um parque de diverses.Para empregados trabalhando 5 dias consecutivos, com dois dias de folga, determine o planejamentoque atenda s necessidades dos nveis de freqncia, minimizando, ao mesmo tempo, os custos dafolha de pagamento.

Quadro Dias de folga Empregados Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab Codificao por cores A Domingo, Segunda 4 0 0 1 1 1 1 1 B Segunda, Tera 4 1 0 0 1 1 1 1 C Tera, Quarta 4 1 1 0 0 1 1 1 D Quarta, Quinta 6 1 1 1 0 0 1 1 E Quinta, Sexta 6 1 1 1 1 0 0 1 F Sexta, Sbado 4 1 1 1 1 1 0 1 G Sbado, Domingo 4 0 1 1 1 1 1 0

Totais do planejamento: 32 24 24 24 22 20 22 28

Demanda total: 22 17 13 14 15 18 24

Pagto/Empreg/Dia R$40 Pagto/Semana R$1,280

O objetivo deste modelo organizar os empregados de modo que voc tenha pessoal suficiente a umbaixo custo. Neste exemplo, todos os empregados recebem o mesmo salrio. Sendo assim, a reduo no nmero de funcionrios que trabalham por dia, minimizar tambm os custos. Cada funcionrio trabalha cinco dias consecutivos, seguidos por dois dias de folga.

Especificaes do problemaClula de destino D21 O objetivo minimizar o custo da folha de pagamento.Clulas variveis D8:D14 Funcionrios em cada planejamento.Restries D8:D14>=0 O nmero de funcionrios deve ser maior do

que ou igual a 0.D8:D14=Inteiro O nmero de funcionrios deve ser um inteiro.F16:L16>=F18:L18 O nmero de funcionrios que trabalham por dia

deve ser maior do que ou igual demanda.Planejamentos Linhas 8-14 1 significa que o empregado daquele quadro trabalha possveis naquele dia.

Neste exemplo, voc utiliza um valor de restrio inteiro para que a soluo no resulte em nmerosfracionrios de funcionrios em cada planejamento. Selecionando a caixa de verificao

ir acelerar sensivelmente o processo de soluo.Presumir modelo linear, na caixa de dilogo Opes do Solver, antes de clicar em Resolver,

Planejamento de pessoal

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Restries

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Exemplo 4: Trabalhando com gerenciamento de capital.Determina como investir o excesso de caixa em CDBs de 1 ms, 3 meses e 6 meses assim comomaximizar a renda de juros, atendendo aos requisitos de caixa da empresa (mais a margem de segurana).

Rendimento Prazo Adquirir CDBs nos meses:CDB 1 ms: 1.0% 1 1, 2, 3, 4, 5 e 6 JurosCDB 3 meses: 4.0% 3 1 e 4 recebidosCDB 6 meses: 9.0% 6 1 Total R$7,700

Ms: Ms 1 Ms 2 Ms 3 Ms 4 Ms 5 Ms 6 Final Codificao por coresCaixa inicial: R$400,000 R$205,000 R$216,000 R$237,000 R$158,400 R$109,400 R$125,400 Venc do CDB: 100,000 100,000 110,000 100,000 100,000 120,000 Juros: 1,000 1,000 1,400 1,000 1,000 2,300 CDB 1 ms: 100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 CDB 3 meses: 10,000 10,000 CDB 6 meses 10,000 Uso do caixa: 75,000 (10,000) (20,000) 80,000 50,000 (15,000) 60,000 Caixa final: R$205,000 R$216,000 R$237,000 R$158,400 R$109,400 R$125,400 R$187,700

-290000

Se voc um agente ou gerente financeiro, uma de suas tarefas gerenciar o caixa e investimentos de curtoprazo de modo a maximizar a renda de juros, mantendo fundo disponvel para atender as despesas. Vocdeve trocar as taxas de juros mais altas dos investimentos a longo prazo pela flexibilidade proporcionadapela posse de fundos em investimentos de curto prazo.Este modelo calcula o caixa final com base no caixa inicial (do ms anterior), vencimentos dos certificados dedepsito bancrio, fluxos para novos CDBs e o caixa necessrio para operaes da empresa para cada ms.Voc tem um total de nove decises a tomar: a quantia a investir em CDBs de 1 ms nos meses 1 a 6;a quantia a investir em CDBs de 3 meses nos meses de 1 a 4 e a quantia a investir em CDBs de 6 mesesno ms 1.

Especificaes do problemaClula de destino H8 O objetivo maximizar os juros recebidos.Clulas variveis B14:G14 O valor investido em cada tipo de CDB.

B15, E15, B16Restries B14:G14>=0 O investimento em cada tipo de CDB deve ser

B15:B16>=0 maior do que ou igual a zero.E15>=0B18:H18>=100000 O caixa final deve ser maior do que ou igual a

R$100.000.

A soluo tima determinada pelo Solver alcana uma renda de juros total de R$16.531 investindo o mximo possvel em CDBs de 3 e 6 meses e, em seguida, transforma-os em CDBs de 1 ms. A soluo satisfaz atodas as restries.Suponhamos, entretanto, que voc queira garantir suficincia de caixa no ms 5 para o pagamento deum equipamento. Adicione uma restrio para que a mdia de vencimento de um investimento detido noms 1 no seja maior do que quatro meses.A frmula na clula B20 calcula o total das quantias investidas no ms 1 (B14, B15, e B16), ponderadaspelos vencimentos (1, 3 e 6 meses) e, em seguida, subtrai deste valor o investimento total, ponderado por 4. Se esta quantia for igual ou menor do que zero, o vencimento mdio no exceder a 4 meses. Para adicionar

Para satisfazer restrio de vencimento de 4 meses, o Solver transfere fundos dos CDBs de 6 meses paraCDBs de 3 meses. Os fundos transferidos tm vencimento em 4 meses agora e, de acordo com o plano

esta restrio, restaure os valores originais e clique em Solver no menu Ferramentas. Clique em Adicionar.Digite b20 na caixa Referncia de clula, digite 0 na caixa Restrio e clique em OK. Para resolver oproblema, clique em Resolver.

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atual, so reinvestidos por novos CDBs de 3 meses. Se voc precisa dos fundos, entretanto, pode mantero caixa em vez de reinvesti-lo. Os R$56.896 adquiridos no ms 4 so mais do que suficientes para o pagamentodo equipamento no ms 5. Voc trocou cerca de R$460 em renda de juros para obter esta flexibilidade.

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Exemplo 5: Carteira rentvel de aes.Determinar os pesos das aes em uma carteira de aes rentvel que aumente a taxa de retorno para um dado nvel de risco. Esta planilha usa o modelo de ndice nico de Sharpe;voc pode tambm usar o mtodo Markowitz caso tenha disponvel os termos de covarincia.

Taxa livre de risco 6.0% Varincia do mercado 3.0%Taxa do mercado 15.0% Peso mximo 100.0%

Beta VarRes Peso *Beta *Var. Codificao por coresAo A 0.80 0.04 20.0% 0.160 0.002Ao B 1.00 0.20 20.0% 0.200 0.008Ao C 1.80 0.12 20.0% 0.360 0.005Ao D 2.20 0.40 20.0% 0.440 0.016LetraTes 0.00 0.00 20.0% 0.000 0.000

Total 100.0% 1.160 0.030Retorno Varincia

Totais da carteira: 16.4% 7.1%

Maximizar retorno: A21:A29 Minimizar risco: D21:D290.1644 0.070768

5 51 11 11 11 11 11 11 1

Um dos princpios bsicos da gerncia de investimento a diversificao. Com posse de uma carteira comvrias aes, por exemplo, voc pode ganhar uma taxa de retorno que representa a mdia dos retornosdas aes individuais, reduzindo o risco de que qualquer ao tenha um baixo desempenho.Usando este modelo voc pode utilizar o Solver para determinar a alocao de fundos de aoque reduza o risco da carteira de aes para uma dada taxa de retorno, ou que aumente a taxa de retornopara um dado nvel de risco.Esta planilha contm valores de beta (risco relacionado ao mercado) e varincia residual para quatroaes. Alm disso, sua carteira de aes possui investimentos em letras do Tesouro (LTN), consideradascomo possuindo uma taxa de retorno sem riscos e uma varincia de zero. Quantidades inicialmente iguais (20 porcento da carteira de aes) so investidas em cada ttulo.Use o Solver para tentar diferentes alocaes de fundos de aes e letras do Tesouro tanto paramaximizar as taxas de retorno da carteira de aes para um nvel de risco especfico quanto para reduzir orisco de uma determinada taxa de retorno. Com a alocao inicial de 20 porcento por tipo de papel,o retorno da carteira de aes de 16,4 porcento e a varincia 7,1 porcento.

Especificaes do problemaClula de destino E18 O objetivo maximizar o retorno da carteira de aes.Clulas variveis E10:E14 Peso de cada ao.Restries E10:E14>=0 Os pesos devem ser maiores do que ou iguais a 0.

E16=1 Pesos devem ser 1.G18

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As clulas D21:D29 contm as especificaes do problema para minimizar o risco para uma taxa de retornonecessria de 16,4 porcento. Para carregar estas especificaes de problema no Solver, clique em

superam a regra de 20 porcento por tipo de papel.Voc pode receber uma taxa de retorno maior (17,1 porcento) para o mesmo risco ou reduzir o risco sem abandonar qualquer retorno. Estas alocaes representam carteira de aes rentveis.As clulas A21:A29 contm o modelo original do problema. Para carregar novamente este problema,

O Solver exibir uma mensagem perguntando se voc deseja redefinir as configuraes das opes atuais

Solver no menu Ferramentas, clique em Opes, clique em Carregar modelo, selecione as clulasD21:D29 na planilha e, em seguida, clique em OK at que a caixa de dilogo Parmetros do Solver sejaexibida. Clique em Resolver. O Solver determina, em ambos os casos, alocaes de carteira de aes que

clique em Solver no menu Ferramentas, clique em Opes, clique em Carregar modelo, selecione asclulas A21:A29 na planilha e, em seguida, clique em OK.

do Solver para o modelo que est sendo carregado. Clique em OK para prosseguir.

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Clula de destino

Clulas variveis

Restries

O objetivo maximizar o retorno da carteira de aes.

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Exemplo 6: Valor de um resistor em um circuito eltrico.Determina o valor de um resistor em um circuito eltrico que ir dissipar a carga para 1 porcentode seu valor original em um vigsimo de segundo aps a chave ser fechada.

Chave->q0 = 9 volts Codificao por coresq[t] = 0.09 voltst = 0.05 segundos Clula de destino

Bateria Capacitor (C) Indutor (L) L = 8 henrysC = 0 farads Clulas de variveis

Resistor R = 300 ohms Restries (R)

1/(L*C) 1250 q[t] = 0.25(R/(2*L))^2 351.5625SQRT(B15-B16) 29.973947COS(T*B17) 0.0720365-R*T/(2*L) -0.9375Q0*EXP(B19) 3.5244506

Este modelo descreve um circuito eltrico contendo bateria, chave, capacitor, resistore indutor. Com a chave na posio esquerda, a bateria carrega o capacitor. Quando a chave virada para a direita, o capacitor descarrega pelo indutor e o resistor, ambos osquais dissipam energia eltrica.Usando a segunda lei de Kirchhoff, voc pode formular e resolver uma equao diferencial paradeterminar como a carga do capacitor varia atravs do tempo. A frmula diz respeito carga q[t]no tempo t para a indutncia L, resistncia R e capacitncia C dos elementos do circuito.Use o Solver para escolher um valor apropriado para o resistor R (dados os valores para oindutor L e o capacitor C) que ir dissipar a carga para um porcento do seu valor inicial emum vigsimo de segundo aps o instante em que a chave virada.

Especificaes do problemaClula de destino G15 O objetivo definir o valor como 0,09.Clula varivel G12 Resistor.Restries D15:D20 Soluo algbrica da lei de Kirchhoff.

Este problema e soluo so apropriados para um intervalo pequeno de valores. A funo repre-sentada pela carga do capacitor atravs do tempo na realidade uma onda senoidal amortecida.

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