SPDS/PSC – FILTROS FIR I - fenix.tecnico.ulisboa.pt · Filtros FIR com fase linear: têm resposta...

© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade1

SPDS/PSC – FILTROS FIR I Excitando um filtro com a sequência unitária obtém-se na saída a resposta ao impulso

Nesta figura, a resposta dura 10Ts, o atraso do filtro é 5Ts e o sistema pode ser representado pelo filtro digital com resposta ao impulso finita FIR (Finite ImpulseResponse) cuja estrutura (transversal) é (N=11)

A saída y(n) só depende da entrada actual x(n) e das N-1 entradas anteriores:

A função de sistema é (aplicando a transformada Z)

Sistema(filtro digital)nx ny

0 1 2 3 4 5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1ny

tempo, snT

tempo, snT

1

0 1 2 3

6 7 8 9 10

duração

atraso

1

0

( ) ( ) ( )N

i

y n h i x n i−

== ⋅ −∑

1 1

0 0

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

N Ni i

i i

Y zY z h i X z z H z h i z

X z

− −− −

= == ⋅ ⋅ ⇒ = = ⋅∑ ∑


SPDS/PSC – FILTROS FIR IIVantagens:1. Podem ser projectados com fase linear

2. Podem ser realizados como recursivos ou não-recursivos

3. Permite realizar qualquer função de filtragem através do dimensionamento dos coeficientes

4. Os FIR não-recursivos são sempre estáveis ⇒ ideais para processamento de sinal adaptativo

5. Erros numéricos são pequenos nos FIR não-recursivos

Desvantagens:1. Baixa selectividade ⇒ necessário N muito grande2. Atraso nem sempre é um número inteiro de períodos de amostragem

Característica de fase

111

100

1 10

( 1 )( )( ) ( )

NNji N

Nji i

N Ni

h N j zh i zH z h i z

z z

−−− + −

−=− =

− −=

− − ⋅⋅= ⋅ = =

∑∑∑

polinómio em potências positivas de

z ⇒ N-1 zeros

N-1 pólos em z=0, no interior do círculo

unitário

1( )

0

( ) ( ) ( ) sj Tsz e

Nj j nT

n

H z H j e h n eω

ϕ ω ωω=

−−

== = ⋅∑1

01

0

( ) sin( )( ) arctan

( ) cos( )

N

snN

sn

h n nT

h n nT

ωϕ ω

ω

−

=−

=

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑


Soluções: (exercício…)Soluções: (exercício…)

SPDS/PSC – FILTROS FIR IIICaracterística de fase linear:

O atraso de grupo é dado por

de forma que, combinando as equações

o que equivale a verificar-se:

( )g

ϕ ωτ τ

ω∂

= − =∂

( )ϕ ω β τω= −

1

01

0

( ) sin( )sin( )cos( )

( ) cos( )

N

snN

sn

h n nT

h n nT

ωβ τωβ τω

ω

−

=−

=

⋅−

= −−

⋅

∑

∑1

0

( ) sin[ ( ) ] 0N

sn

h n nTω τ β−

=⋅ − + =∑

=0 e ( ) ( 1 )( 1) e

2 = e ( ) ( 1 )2

sh n h N n

TN

h n h N n

βτ π

β

⎧ = − −⎪⎪⎪= − ⎨⎪ ± = − − −⎪⎪⎩

β

ω

( )ϕ ωβ τω−

0

Resposta simétrica

Resposta anti-simétrica


SPDS/PSC – FILTROS FIR IVFiltros FIR com fase linear: têm resposta impulsional simétrica ou anti-simétrica e atraso de grupo

Resposta em frequência dos filtros FIR com fase linear:

( 1)2s

gT

Nτ = −

Ímpar(7)

4

Par (8)

3

Anti-simétrica

Ímpar(7)

2

Par (8)

1

Simétrica

H(jω)NCasoh(n)

( )/2 1

0

12 cos

2g

Nj

n sn

Ne h n Tωτ ω

−−

=

−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∑

( )( 3)/2

102

12 cos

2g

Nj

N n sn

Ne h h n Tωτ ω

−−

−=

⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∑

( ) ( )/2 1

2

0

12 sin

2g

Nj

n sn

Ne h n T

πωτω

−− −

=

−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∑

( ) ( )( 3)/2

2 102

12 sin

2g

Nj

N n sn

Ne h h n T

πωτω

−− −

−=

⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∑

τg

τg

τg

τg


SPDS/PSC – FILTROS FIR VParticularidades da resposta em frequência:

Caso 1: resposta simétrica, N par

filtros passa-alto não podem ser realizadosCaso 2: resposta simétrica, N ímpar

Caso 3: resposta anti-simétrica, N par

⇒ fase constante de π/2-ωτ, útil na realização de diferenciadores e transformadores de HilbertCaso 4: resposta anti-simétrica, N ímpar

⇒ fase constante π/2-ωτ: útil para diferenciadores e transformadores de Hilbert

2sω

( )cH ω

0 ωsω

2sω

( )cH ω

0 ωsω

2sω

( )cH ω

0 ωsω

2sω

( )cH ω

0 ωsω

( )

1

01

0

(0) ( ) ( )

( ) ( 1)2

N

sn

Ns n

n

H H h n

H h n

ω

ω

−

=−

=

= =

= ⋅ −

∑

∑

( ) 02sH

ω=

( )0 0H =

( ) ( )0 0 e 02sH H

ω= =


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR IMétodos:1. Desenvolvimento em série de Fourier

2. Amostragem da resposta em frequência (recursivo e não-recursivo)

3. Métodos de optimização numérica1. Desenvolvimento em série de Fourier

H(jω) é periódica em ω, com período ωs e pode ser aproximada pela série de Fourier

H(jω) é não-causal e infinita logo origina um filtro não-causal com resposta impulsional infinita

Truncando a série: h(n)=0 para |n|>(N-1)/2 com N ímpar, obtém-se

de forma que a função de sistema

é causal.

/2

/2

1( ) ( ) com ( ) ( )

s

s s

s

j nT j nT

sn

H j h n e h n H j e dω

ω ω

ω

ω ω ωω

∞−

=−∞ −

= ⋅ = ⋅∑ ∫

( ) ( ) n

n

H z h n z∞

−

=−∞= ⋅∑

( 1)/2

1

( ) (0) [ ( ) ( ) ]N

n n

n

H z h h n z h n z−

−

== + − ⋅ + ⋅∑

12'( ) ( )

N

H z z H z−

−=


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR II

1, ( )

0, 2

c

sc

H jω ω

ω ωω ω

≤⎧⎪⎪⎪= ⎨⎪ ≤ ≤⎪⎪⎩

/2

/2

1( ) ( ) com ( ) ( )

s

s s

s

j nT j nT

sn

H j h n e h n H j e dω

ω ω

ω

ω ω ωω

∞− −

=−∞ −

= ⋅ = ⋅∑ ∫

1, ( )

0, 2

c

sc

H jω ω

ω ωω ω

≤⎧⎪⎪⎪= ⎨⎪ ≤ ≤⎪⎪⎩

Exemplo: Projecto de filtro FIR ideal passa-baixo

Os coeficientes obtêm-se de

e a função de sistema é:

A ondulação na banda de passagem tem

um valor máximo que é quase independente

de N ⇒ fenómeno de Gibbs

N elevado ⇒ aumenta a frequência mas

não reduz a amplitude da ondulação

Conclusão: método pouco eficiente

Exemplo: Projecto de filtro FIR ideal passa-baixo

Os coeficientes obtêm-se de

e a função de sistema é:

A ondulação na banda de passagem tem

um valor máximo que é quase independente

de N ⇒ fenómeno de Gibbs

N elevado ⇒ aumenta a frequência mas

não reduz a amplitude da ondulação

Conclusão: método pouco eficiente

1, ( )

0, 2

c

ideal sc

H jω ω

ω ωω ω

≤⎧⎪⎪⎪= ⎨⎪ ≤ ≤⎪⎪⎩

1 sin( )( )

c

s

c

c sj nT

s

n Th n e d

n

ωω

ω

ωω

ω π−

= =∫

( )( 1)/21

2

1

sin( )'( )

NNc s c s n n

n

T n TH z z z z

nω ω

π π

−−− −

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

0 0.125 0.25 0.375 0.50

0.4

0.8

1.2

7N =

15N =

31N =

/ sω ω

/4c sω ω=

1.0

'( )H jw


Exemplo: (janela rectangular do exemplo anterior)

Janela com lobo principal largo e lobos

secundários grandes. A selectividade e a

ondulação do filtro resultante dependemdestes factores

Exemplo: (janela rectangular do exemplo anterior)

Janela com lobo principal largo e lobos

secundários grandes. A selectividade e a

ondulação do filtro resultante dependemdestes factores

SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR IIICorrecção da série de Fourier com janelas (windowing)

A truncatura abrupta da série de Fourier provoca oscilações de grande amplitude na atenuação do filtro. É preferível reduzir os coeficientes de forma progressiva, através da multiplicação por janelas

A resposta em frequência do filtro inicial é modificada pois resulta da convolução na frequência de H(jω) com W(jω)

0, 0,.... 1(̂ ) ( ) ( ) com ( )

0, outros

n Nh n h n w n w n

≠ = −⎧⎪⎪= ⋅ = ⎨⎪⎪⎩

/2

/2

ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s

s

w

H j H j W j H j W j j dω

ω ω ω λ ω λ λ−

= ⊗ = −∫

1, 0, , 1( )

0, outros

n Nw n

= −⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪⎩

… 1 12

0

sin( /2)( )

/2s

s

N Nj T sjn T

sn

N TW j e e

N Tωω ω

ωω

− −−−

== =∑

0 sω/2sω/s Nω

ω

lobo principal

lobos secundários

( )W jω20N =


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR IVJanelas com inclinação (diferentes da janela rectangular)

Permitem lobos secundários de menor amplitude mas lobo principal mais largo ⇒ ondulação devido ao fenómeno de Gibbs é reduzida mas a banda de transição é mais larga (filtro menos selectivo)

O aumento de N torna os lobos mais estreitos mas com a mesma amplitude relativa

A banda de transição (normalizada) é

Constante dependente da janela

s

ff N

=


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR V

janela ( )w n 1020 log ( )W jωConclusões sobre o método: desenvolvimento em série de Fouriercom correcção por janela

Aplicação muito simples. O método écomputacionalmente eficiente

Falta de flexibilidade. Apenas a janela de Kaiser permite alguma flexibilidade na troca de banda de transição por ondulação na banda de passagem

Devido à convolução entre H(jω) e W(jω), as frequências que definem a banda de passagem e de atenuação não podem ser especificadas com precisão

O aumento de N torna os lobos mais estreitos mas com a mesma amplitude relativa

Pode ser difícil obter h(n) analiticamente, a partir da série de Fourier, o que torna inviável a aplicação do método


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR VI2. Amostragem da resposta em frequência: filtro FIR não-recursivo

Especifica-se a amplitude e a fase da resposta em frequência pretendida, emN pontos igualmente espaçados no intervalo ω ∈ [0, ωs [, nas frequências:

As amostras da resposta ao impulso podem obter-se

a partir da Transformada discreta de Fourier (IDFT)

A função de sistema sintetizada pelo filtro resultante

vem dada por

|

: 0,1, , 1

( ) ( ) j Tsk

k s

z e

kk N

NH k H z ω

ω ω

=

= = −

=

…

1 2

0

1( ) ( )

Nj nkN

k

h n H k eN

π−

== ∑

1 1 1 1 12 21

0 0 0 0 0

série geométrica

1

20 1

1 1ˆ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) =

1

nN N N N Nj nk j kn nN N

n n k k n

NN

j kk N

H z h n z H k e z H k e zN N

z H kN

e z

π π

π

− − − − −− − −

= = = = =

−−

= −

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥= = = ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

−

−

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR VIIA resposta em frequência é

Nota: quando ω →ωk = ωsk/N pode mostrar-se que (exercício...)

Para ω=ωk, tem o valor correcto, especificado. Quando ω≠ωk, interpola continuamente as amostras H(k) da resposta em frequência através da função S(ω,k) que é muito selectiva

( )( )

( 1)12

0

ˆ ( ) ( ) ( , )

com

sin2 ( , )

sin2

sT Nj N

k

sk

jN

s

eH j H k S k

N

T N

S k e T kN

ω

π

ω ω

ω

ω ω π

−− −

=

−

= ⋅

=−

∑

( )11

lim ( , )

ˆlim ( ) ( )

sk

sk

j kN

w kw w

N

w kw w

N

S k Ne

H H k

πω

ω

− ±

→ =

→ =

=

=

ˆ ( )H jωˆ ( ) ( )kH j H kω =


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR VIIIDevido à transição abrupta na especificação dos valores H(k), a atenuação do filtro resultante não é muito elevada e a ondulação é grande. Este problema ésemelhante ao que ocorre com o método do desenvolvimento em série de Fourier, com a truncatura dos coeficientes

Pode melhorar-se a atenuação especificando uma transição menos abrupta, com mais amostras

No caso de um filtro passa-baixo, por cada amostra na banda de transição a atenuação aumenta de aproximadamente 20 dB e a largura da banda de transição de aproximadamente fs/N (Hertz). Filtro de ordem N com M amostras de transição:

Exemplo: fs=2kHz, filtro com 15 amostras

1 amostra

3 amostras2 amostras

1, 0,1,2,3 e 14,13,12,11( )

0, 4 a 10

kH k

k

=⎧⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩

Atenuação (25 20 ) dB

( 1)Banda de transição s

M

Mf

N

≈ +

+≈


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR IX2. Amostragem da resposta em frequência: filtro FIR recursivo

Quando as banda de interesse do filtro (i.e., passagem de sinal) ocupam uma fracção pequena do intervalo ω ∈ [0, ωs/2[, muitos dos N-1 valores de H(k) (função especificada) são nulos. No entanto, em geral, os h(n) não são nulos e têm de ser tidos em conta no cálculo não-recursivo do filtro de acordo com:

A representação alternativa:

permite concluir que o filtro pode ser realizado como a cascata de um filtro pente(comb filter) com um filtro que é a soma de N filtros recursivos de 1ª ordem, com coeficientes complexos ej2πk/N

Os N zeros do filtro pente cancelam os pólos do filtro recursivo de forma que de facto se tem um FIR

Na prática, devido à utilização de palavras de comprimento finito, este cancelamento não é perfeito pelo que o filtro resultante é de facto um IIR (resposta impulsional infinita), potencialmente instável

1

0

ˆ( ) ( )N

n

n

H z h n z−

−

== ∑

1

20 1

filtro recursivo

1 ( )ˆ( )

1

NN

j kk Ncomb filter

z H kH z

Ne z

π

−−

= −

−=

−∑


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR XPara evitar os problemas de instabilidade faz-se a amostragem da resposta em frequência com um raio r ligeiramente inferior a 1 e obtém-se

1

20 1

filtro recursivo

1 ( )ˆ( )

1

NN N

j kk Ncomb filter

r z H kH z

Nre z

π

−−

= −

−=

−∑

Para um filtro com resposta impulsionalsimétrica pode mostrar-se que, com

se tem a função de sistema com coeficientes reais:

( )( )

1

11 2 21

2 2 (1 )2cos 2 cos

1 (0)ˆ( ) ( ) 21 1 2 cos

MN N

k

k kr z

r z H N NH z H k kN rz r z r z

N

πα π α

π

−−

−− −=

⎡ ⎛ + ⎞ ⎤⎟⎜−⎢ ⎥⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥= +⎢ ⎥−⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

1 1 e

2 2N N

M α− −⎢ ⎥= =⎢ ⎥

⎣ ⎦


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS FIR XI3. Outros métodos

Métodos de optimização numérica. Calculam o erro no domínio da frequência

e determinam os coeficientes que minimizam funcional F(·) de custo deste erro

Exemplos:

Esta funcional leva a um filtro-solução com igual ondulação na banda de passagem e de atenuação (equiripple)A resposta na banda de transição é arbitrária e pode ser insatisfatória...

Será que a funcional

que corresponde à minimização do erro quadrático médio, produz filtros com boas características ?

1

0ˆ( )

( ) ( ) ( ) ( ) s

Nj T

n

H j

E j W j H j h n e ω

ω

ω ω ω−

−

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

[ ]opt( ): 0, , 1

( ) min ( )h n n N

n F E jω= −

=h…

função de peso

[ ][Pass Stop]

( ) max ( )F E j E jω

ω ω∈ ∪

=Maximização na banda de passagem e

de atenuação

[ ] 2( ) ( )D

F E j E j dω

ω ω ω= ∫


Equação às diferenças:

A saída actual depende da entrada actual, das N entradas anteriores e das Msaídas anteriores (filtro recursivo de ordem M)

O filtro recursivo não tem resposta impulsional de duração finita e por isso se designa por IIR (Infinite Impulse Response)

O filtro IIR tem realimentação da saída ⇒ pode ser instávelUm filtro IIR pode ser muito mais selectivo do que um filtro FIR (com a mesma complexidade computacional)

Um filtro IIR pode calcular-se a partir de dois filtros FIRFunção de sistema:

SPDS/PSC – FILTROS IIR I

1 0

( ) ( ) ( )M N

i ii i

y n a y n i b x n i= =

= ⋅ − + ⋅ −∑ ∑

FIR1

FIR2

0

0

( )1 1

( )

( ) 1( )

( )1 1

Ni

i Nii

iM Mii i

i iH zi i

H z

b zY z

H z b zX z

a z a z

−

−=

=− −

= =

⋅= = = ⋅ ⋅

− ⋅ − ⋅

∑∑

∑ ∑

1FIR ( )H z

2FIR ( )H z


SPDS/PSC – FILTROS IIR IIDiagrama de fluxo de sinal:Por inspecção de H(z) obtém-se a forma directa ITrocando a ordem da ligação em cadeia e associando as variáveis na linha de atraso obtém-se a forma directa II(número mínimo de atrasos)

Forma directa II(com M < N)

Forma directa I(com M < N)

1z−

0b

1z−

1z−

1z−

1z−

1b

2b

Nb

1

1a

1Ma −

Ma1Nb −

( )x n ( )y n

( )x n N−

( )y n M−

1z−

0b

1z−

1z−

1z−

1z−

1b

2b

Nb

1

1a

1Ma −

Ma 1Nb −

( )x n ( )y n

0b

1z−

1z−

1b

Mb

Nb

1

1a

1Ma −

Ma

1Nb −

( )x n ( )y n

1Mb −

1z−


SPDS/PSC – FILTROS IIR III

Expansão em fracções parciais:

Paralelo

Factorização:

Cascata

Directa

Função de sistema H(z)Realização

4

04

1

( )

1

ii

i

ii

i

b zH z

a z

−

=

−

=

⋅=

− ⋅

∑

∑

Realização do filtro IIR: 3 formas1. Com as formas directas I e II. Pouco usadas devido à grande sensibilidade

destas formas aos erros numéricos. 2. Com secções de 2ª ordem (biquadráticas) na forma directa II, em cascata3. Com secções de 2ª ordem (biquadráticas) na forma directa II, em paralelo

Exemplo: filtro IIR com M = N = 4 (4ª ordem)

2 1 21 2

1 21 21

1( )

1i i

i ii

b z b zH z C

a z a z

− −

− −=

+ +=

− −∏

2 10 1

1 21 11

( )1

i i

i ii

b b zH z C

a z a z

−

− −=

+= +

− −∑


Realização de secção biquadrática:

Equações:

SPDS/PSC – FILTROS IIR IV

0b

1z−

1b

2b

1

1a

2a

( )x n ( )y n

1z−

( )d n

( 2)d n −

Paralelocascata

1 2

0 1 2

( ) ( ) ( 1) ( 2) sequência auxiliar

( ) ( ) ( 1) ( 2) saída

d n x n a d n a d n

y n b d n b d n b d n

= + ⋅ − + ⋅ − →

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ − →


Necessáriopara mantera energia!

SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS IIR IMétodos:1. Conservação da resposta ao impulso

2. Transformada Z adaptada

3. Transformação bilinear

1. Conservação da resposta ao impulsoa) Determinar a resposta ao impulso do filtro analógico pretendido (protótipo)

b) Amostrar esta resposta com período Ts e obter a resposta h(n) para n>0

c) Obter a função de transferência como a transformada Z de h(n)

Se o filtro analógico tiver apenas pólos simples (P pólos)

Se houver pólo complexo então:

1

1 1 1

10 1 1

( ) ( ) ( )

( ) 1

si i s

i s

i s

P P Pt nTi s t s nT

A i s iii i i

P Pis nT n

s i s sTn i i

AH s h t Ae h n T Ae

s s

AH z T Ae z T

e z

− =

= = =

∞−

−= = =

= → = → =−

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟→ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

L

Z

( ) i s i i ss T j T

i i i is j z e e σ ωσ ω += + → = =

analógico estável: 0 1 digital estáveli izσ < → < →


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS IIR IIProblema: aliasing pode modificar significativamente a resposta em frequência do filtro

A resposta do filtro analógico é repetida em todos os múltiplos da frequência de amostragem

Para não existir aliasing é necessário que

Conclusão: o método da conservação da resposta ao impulso

Não pode ser usado para sintetizar filtros passa-alto ou rejeita-banda

É adequado para filtros muito selectivos ou quando se pode ter a frequência de amostragem muito elevada

(filtro analógico)

( )AH jω

sω

* ( )A

H jω

* 1( ) ( )A A s

s k

H j H j jkT

ω ω ω∞

=−∞= −∑

( ) 0, 2s

AH jω

ω ω= ≥

Resposta em frequência do filtro

equivalente0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequência [kHz]

( )

1 kHz

10 kHz

pA

p

p

s

H ss

f

f

ωω

=+

=

=

( )

1 kHz

50 kHz

pA

p

p

s

H ss

f

f

ωω

=+

=

=

( )AH ω

*( )AH ω*( )AH ω

sfsffrequência [kHz]


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS IIR III2. Transformada Z adaptada (MZT-Matched Z Transform)

O método da transformada Z adaptada transforma directamente os pólos e os zeros do filtro analógico HA(s) em pólos e zeros do filtro digital H(z)

a) Determinar os pólos e zeros do filtro analógico pretendido

b) Transformar os pólos e zeros de acordo com:

Pólo/zero real:

Pólos/zeros complexos conjugados:

1 1 sTs e zαα − −+ ⎯⎯→ −

( ) 2 1 2 22 + 1 2 cos( )s sT Tss e T z e zα αα β β− − − −+ ⎯⎯→ − +

Exemplo: Calcular o filtro digital equivalente em termos da MZT ao filtro de Butterworth de 2ªordem com frequência de corte ωp a -3dB

Filtro de Butterworth de 2ª ordem normalizado:

O filtro analógico desnormalizado é:

Então:

Pela MZT, o filtro digital vem:

Exemplo: Calcular o filtro digital equivalente em termos da MZT ao filtro de Butterworth de 2ªordem com frequência de corte ωp a -3dB

Filtro de Butterworth de 2ª ordem normalizado:

O filtro analógico desnormalizado é:

Então:

Pela MZT, o filtro digital vem:

21,2

1ˆ ˆ ˆ( ) 2 1 ( 1 )

2BH s s s s j= + + → = − ±2

2 2ˆ

1( )

ˆ( ) 2p

pA sB p ps

H sH s s s

ω

ωω ω=

= =+ +

( )2 2 2222p

p ps s sω

ω ω α β α β+ + = + + → = =

2

21 22

( )

1 2 cos2

p s

p s

pT

p s T

H zT

e z e zω

ω

ω

ω− −− −

=⎛ ⎞⎟⎜− +⎟⎟⎜⎝ ⎠


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS IIR IV

Conclusões:O método MZT e o método da conservação da resposta ao impulso conduzem a filtros digitais H(z) com o mesmo denominador (mesmos pólos)

Tal como o método da conservação da resposta ao impulso, o eixo de frequências 0 ≤ f <∞ (no domínio analógico) é comprimido ao intervalo de frequências de interesse 0 ≤ f < fs/2 o que leva a distorção da resposta em frequência do filtro digital (devido a aliasing)

O filtro digital tende a ser menos selectivo do que o analógico

O método é também sensível aos problemas de aliasing e não pode ser utilizado para filtros passa-alto e rejeita-banda

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2

2 2( )2

1 kHz

10 kHz

pA

p p

p

s

H ss s

f

f

ωω ω

=+ +

=

=

sffrequência [kHz]

2

2 2( )2

1 kHz

50 kHz

pA

p p

p

s

H ss s

f

f

ωω ω

=+ +

=

=

( )AH ω( )H ω

sffrequência [kHz]


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS IIR V

[ ]0

00( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( )

2

s

s s

t nTt t nT T s

t

Ty t y t x d y n y n x n x nτ τ

== −

= + ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − = − +∫

3. Transformação bilinearConsidere-se um integrador analógico HI(s)=1/s cuja resposta ao sinal x(t) é

Obtém-se o integrador digital com função

pelo que

a) Seleccionar filtro analógico HA(s) com características pretendidas

b) Obter o filtro digital como

Integradortrapezoidal

( ) 1 1( ) ( )

( ) 2 1s

I IY z T z

H z H sX z z s

+= = ⇔ =

−2 1

1s

zs

T z−

=+

Transformação bilinear

2 11

( ) ( )s

zA sT z

H z H s −=

+=

( ) ( )( ) ( )

2 2

22 2

12 2

12 2

s s

s s

T T

s j zT T

σ ω

σ ωσ ω

+ += + → =

− +

Plano z Plano s

jω

σ

0

1

1

12

12

s

s

Ts

z Ts

+=

−

0 1

0 1

0 1

z

z

z

σ

σ

σ

< → <

= → =

> → >


SPDS/PSC – PROJECTO DE FILTROS IIR VIPropriedades da transformação bilinear:Como o SPCE é mapeado no interior do círculo unitário, um filtro analógico estável origina sempre um filtro digital estável

Deforma a escala de frequências (frequency warping) e consequentemente não preserva as larguras de banda

Aparte a deformação de frequência, a característica de atenuação (amplitude) épreservada

A característica de fase (e de atraso de grupo) não é preservadaPré-distorção da escala de frequências: compensa a distorção introduzida pela transformação bilinear. Para obter filtro digital com bandas de atenuação ou de passagem com frequências ωd1, ωd2,… deve projectar-se o filtro analógico com as frequências ωa1, ωa2,…

2 1 2 11 1

d s

d s

j T

a j Ts s

z es j

T z T e

ω

ωω− −

= → =+ +

( )2tan

2d s

as

TT

ωω =

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