SPE ER15 MDEM04 MAT AL -...

APRESENTAÇÃO

Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três

séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-

lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que

melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.

A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-

tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-

dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito

crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,

histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de

dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-

jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.

As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante

situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos

privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de

questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada

região brasileira.

Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia

intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o

aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.

Gerente Editorial

Funções II

© Editora Positivo Ltda., 2010Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.

Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)

DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:

DIRETOR EDITORIAL: GERENTE EDITORIAL:

GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:

ORGANIZAÇÃO:EDIÇÃO DE CONTEÚDO:

EDIÇÃO:ANALISTAS DE ARTE:

PESQUISA ICONOGRÁFICA:EDIÇÃO DE ARTE:

CARTOGRAFIA:ILUSTRAÇÃO:

PROJETO GRÁFICO:EDITORAÇÃO:

CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:

PRODUÇÃO:

IMPRESSÃO E ACABAMENTO:

CONTATO:

Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeCintia Cristina Bagatin Lapa / Ângela Ferreira Pires da TrindadeRose Marie WünschGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiCarla Lage da Silva / Tassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaLuciano Daniel Tulio / Thiago Souza GranadoDivanzir Padilha / Jack ArtO2 ComunicaçãoRosemara Aparecida Buzeti / Sérgio Reis© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited; Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltd/Klaus Post; P.Images/PithEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440-120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312-3500 Fax: (0xx41) 3312-3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300-000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212-5452E-mail: [email protected]@positivo.com.br

F219 Farago, Jorge Luiz.Ensino médio : modular : matemática : funções II / Jorge Luiz Farago, Lucio

Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Divanzir Padilha, Jack Art. – Curitiba : Positivo, 2010.

: il.

ISBN 978-85-385-6391-4 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-6392-1 (livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos

Santos. II. Padilha, Divanzir. III. Jack Art. IV. Título. CDU 373.33

Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.

Neste livro, você encontra ícones com códigos de acesso aos conteúdos digitais. Veja o exemplo:

Acesse o portal e digite o código na Pesquisa Escolar.

@MAT809Cubos

@MAT809

SUMÁRIO

Unidade 1: Função quadrática

Definição 5

Gráfico de uma função quadrática 8

Pontos notáveis do gráfico de uma função quadrática 11

Máximo e mínimo de uma função 18

Conjunto-imagem da função quadrática 21

Estudo do sinal da função afim e quadrática 23

Inequações do 1o. e 2o. graus 27

Inequações simultâneas 29

Inequações: produto e quociente 30

Unidade 2: Função composta e inversa

Função composta 34

Função inversa 37

Unidade 3: Função modular

Distância entre dois pontos na reta real 42

Módulo de um número real 43

Função modular 46

5. Função quadrática4

Funções II4

A matemática é o alfabeto com o qual DEUS escreveu o universo.

PITÁGORAS. Disponível em: ‹http://pensador.uol.com.br/frases_matemática/›. Acesso em: 7 fev. 2011.

Função quadrática1

Ensino Médio | Modular 5

MATEMÁTICA

DefiniçãoDefinição

a) Quanto pagará cada passageiro e quanto a empresa receberá pela venda de passagens, se viajarem:

30 passageiros? 40 passageiros? 48 passageiros?

b) É vantajoso para os passageiros que o ônibus esteja com a lotação máxima? E para a empresa de ônibus?

c) Quanto a empresa receberá se viajarem x passa-geiros?

d) Na função obtida no item anterior, qual foi o maior valor do expoente da variável x?

e) Qual é o grau de um polinômio cujo maior expoente da variável é 2?

No final de cada ano, certa escola realiza uma excursão com os alunos para comemorar o encerramento do ano letivo. A diretora contrata uma empre-sa que organiza excursões com ônibus cuja capacidade máxima é de 48 passageiros. Essa empresa cobra de cada um o valor de R$ 60,00 mais R$ 3,00 por lugar não ocupado, isto é, que fique vago.

© D

ream

stim

e.co

m/R

obw

ilson

3

Nesta situação, a função obtida é denominada função quadrática.

Uma função é denominada função quadrática quando estiver escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ R e a ≠ 0, em que:

a é o coeficiente do termo de grau 2;b é o coeficiente do termo de grau 1;c é o termo independente.

São exemplos de funções quadráticas:

a) f(x) = x2 – 3x + 4 (a = 1; b = –3; c = 4)

b) f(x) = 2

3 x2 + 7x – 1 (a =

2

3; b = 7; c = –1)

c) y = 4,1t2 – 0,16 (a = 4,1; b = 0; c = –0,16)

d) f(z) = − − +z z2

2

4

712 (a = –

1

2; b = –

4

7; c = 12)

2. Identifique os coeficientes a, b e c das funções que são quadráticas:

a) f(x) = 3x2 + 6x + 9

b) f(x) = –x2 – 2x

c) f(x) = 5x + 15

d) f(x) = 7x2 – 23x

+ 49

3. Dada a função f(x) = (a – 2)x2 + (b + 1)x + c, qual a condição para que ela seja:

a) uma função quadrática?

b) uma função afim?

4. Determine os valores de m, para que as fun-ções a seguir sejam quadráticas.

a) f(x) = mx2 – 4x + 4

b) f(x) = (m – 1)x2 + 8x – 12

c) f(x) = (m2 – 4)x2 – 25x + 30

5. Em uma indústria, o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por C(x) = x2 + 2x + 400 reais. Em um dia de tra-balho, o número de unidades produzidas é x(t) = 12 . t unidades, em que t é o número de horas trabalhadas no dia. Determine o custo de fabricação quando são decorridas três horas de trabalho.

1. Um engenheiro planeja construir um barracão que consiste em uma cobertura com paredes laterais para uma piscina de 25 m x 18 m, de acordo com o desenho:

A piscina tem 25 m de comprimento e 18 m de largura. O barracão deve ter espaço nas la-terais da piscina para a circulação de pessoas; e, em uma das laterais, um espaço reservado para uma arquibancada, que será construída depois que o barracão estiver pronto. Ela deve ter comprimento igual a 25 m e largura míni-ma de 4 m. Devido a restrições no terreno, o espaço para circulação nas laterais deve ter a mesma largura; e o espaço reservado para a ar-quibancada, o dobro da largura da circulação. Com base nessa situação, responda:

a) Qual será a área do barracão quando a medida de x for 3 m? E quando x for 2 m?

b) Qual função representa a área do barracão quando a medida é x?

Funções II6

6. Um criador de gado bovino tem 250 m de cer-ca e pretende cercar uma área retangular com a finalidade de plantar pasto para alimentar o gado. O local escolhido possui um muro cons-truído que será aproveitado como dois lados da área a ser cercada. Observe o desenho:

a) Considerando-se que, na área cercada, h é a menor dimensão e b é a maior, escreva a ex-pressão dessa área plantada em função de h.

b) Determine a área para uma dimensão h igual a:

100 m;

160 m.

7. Um arquiteto, ao projetar um painel quadrado decorativo de 5 m de lado, inseriu uma janela triangular de acordo com este desenho:

a) Determine a área dessa janela em função da medida d.

b) Calcule a área dessa janela para d = 2 m e para d = 4 m.

8. (ENEM) Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada

centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros. Considerando-se x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a ven-da do álcool, então a expressão que relacio-na V e x é:

a) V = 10 000 + 50x – x2

b) V = 10 000 + 50x + x2

c) V = 15 000 – 50x – x2

d) V = 15 000 + 50x – x2

e) V = 15 000 – 50x + x2

9. Uma praça retangular será reformada e pas-sará por um novo projeto de paisagismo. A figura representa o projeto de reforma da praça, e as áreas destacadas em verde serão destinadas aos jardins. Os lados são de 50 m e 32 m. Escreva a expressão que representa a área dos jardins e determine essa área para x = 8 m, x = 12 m e x = 14 m.

10. O lucro, em reais, de duas lojas A e B, com a venda de x centenas de unidades do mesmo tipo de produto, é dado pelas expressões:

LA(x) = 100(10 – x)(x – 4)LB(x) = –120x2 + 1 800x – 4 380

Determine o lucro das lojas A e B, para:

a) x = 3

b) x = 7

c) x = 7,5

d) x = 12

FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA

7Ensino Médio | Modular

Gráfico de uma função quadrática

Funções II8

O lucro (L) diário é dado pela receita (R) gerada menos o custo (C) de produção. Suponha que, em uma fábrica de cosméticos, a receita gerada e o custo de produção de determinado produto sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x – x2 e C(x) = 10(x + 40), sendo x o número de itens produzidos no dia.

1. Sabendo-se que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, escreva a função que expressa o seu lucro em função do número de itens produzidos:

2. Complete a tabela para os valores de x, localize os pontos no plano cartesiano e esboce o gráfico:

x L(x)

0

10

20

25

40

50

3. Com base no gráfico, responda:

a) Como é denominada a curva representada? A concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?

b) Observando o gráfico, o que se pode afirmar quanto ao intervalo 10 < x < 40?

c) Para que quantidade de itens a empresa terá lucro máximo? Qual o valor desse lucro?

d) Para que quantidade de itens a empresa não terá lucro e nem prejuízo? ________________________

e) Para que quantidade de itens a empresa terá prejuízo? ___________________________________

f) Qual o valor do coeficiente a da função lucro? __________________________________________

Quando o coeficiente a da função quadrática é negativo, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Atenção: Quando o domínio e o contradomínio da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c não são indicados,

considera-se que a função tem o domínio e o contradomínio iguais ao conjunto dos números reais, ou seja, f: R → R.

Ilust

raçõ

es: D

ivan

zir P

adilh

a

Ensino Médio | Modular

FÍSICA

9

FÍSICAMATEMÁTICA

Um desafio para as grandes empresas é aliar a lucratividade com questões éticas e princípios de cida-dania. O lucro, representado por grandes cifras econômicas não pode vir a qualquer preço, sob forma de escravidão, desigualdades ou valores distorcidos. Deve ser permeado por justiça social e antes de tudo preservar a dignidade do cidadão. Isso só é possível com empresários éticas, solidários e comprometidos com seu contexto social.

Sabe-se de empresas que mantêm escolas e incentivam a prática da cidadania entre os próprios funcio-nários, para que também se apropriem desse tipo de projeto. Esse engajamento pode gerar uma profunda reflexão relacionada a valores. Além dessa postura cidadã ser reconhecida pelo mercado, transferirá para o consumidor e clientes uma imagem positiva da empresa.

O comportamento de dilatação e contração de um metal foi medido em um laboratório com um corpo de prova que foi exposto a uma variação brusca de temperatura, durante 10 minutos, de acordo com a função T(t) = t2 – 12t + 32, em que T é a temperatura medida em graus Celsius e t é o tempo medido em minutos.

Complete a tabela para os valores dados de t, localize os pontos no plano cartesiano e esboce o gráfico:

t(minutos) T(t)

0

1

2

4

6

8

10

a) Observando o gráfico, em que período t da experi-ência a temperatura foi negativa?

b) Qual é a menor temperatura registrada nessa expe-riência e em que minuto ela ocorreu?

c) Em quais tempos a temperatura não será nem posi-tiva nem negativa?

d) Para quais intervalos de tempo, na experiência, a temperatura será positiva?

e) Qual o valor do coeficiente a da função?

f) A concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?

Observe, nos gráficos que você construiu, que, em uma função quadrática, quando:

a > 0 a < 0

a parábola tem concavidde voltada para cima:

a parábola tem concavidade voltada para baixo:

1. Indique, em cada função quadrática a seguir, se a parábola que a representa tem a concavi-dade voltada para cima ou para baixo. Justifi-que:

a) f(x) = x2 – 8x + 6

b) f(x) = –4x2 + 16

c) y = 12 + 9x – 3x2

d) y = 5x2

2. Determine o valor de m, para que a função f(x) = (m – 9)x2 + 12x tenha a parábola com a concavidade voltada para baixo.

3. Determine o valor de m, para que a função f(x) = –5 + (m – 16)x2 tenha a parábola com a concavidade voltada para cima.

4. Um jogador, em uma cobrança de falta, chuta a bola em direção ao gol, e a trajetória da bola

é dada pela função h(d) = − +d d2

7525

. Consi-

derando-se que a trave do gol tem 2,44 m de

altura por 7,32 m de largura, e que o jogador está a 24 m da linha do gol, marque V para verdadeiro e F para falso nos itens a seguir:

( ) A bola passará por cima do gol.( ) A bola baterá na trave de cima do gol.

( ) Se o goleiro não interceptar a bola, o joga-dor marcará um gol.

( ) A bola passará pela lateral do gol.( ) A bola baterá no chão antes da linha do gol.

5. (UECE) Seja f a função real de variável real, de-finida por f(x) = x2 + px + q, em que p e q são números reais constantes. Se o gráfico de f passa pelos pontos (5, 0) e (0, 5), o valor de f(1) é:

a) −1

b) 0

c) 1

d) 2

6. Uma loja que produz e vende roupas, determi-na o preço de certa peça em função da quanti-dade vendida x, da seguinte forma:

Por um preço p, essa loja vende x unidades des-

sa peça, de acordo com a função p = 50 + x2

.

Determine a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida quando forem ven-didas:

a) 50 peças; b) 120 peças;

c) 200 peças.

7. Uma parábola é descrita pela função

f(x) = x2 − 4x + m e passa pelo ponto (2, 5), então o valor de m é:

a) 0 b) 5

c) −5 d) 9

e) −9

Quando o coeficiente a da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c é positivo, a parábola tem a con-cavidade voltada para cima.

Funções II10

Pontos notáveis do gráfico de uma

função quadrática


O lucro trimestral de uma empresa depende da quantidade de dinheiro gasta em publi-cidade por trimestre, de acordo com a regra a seguir:

L x x x x( ) ( )= − + +1

87 30 0 502 ≤ ≤

onde L(x) e x são valores em milhares de dólares.

c) Determine o lucro quando não houver investimento em publicidade, ou seja, quando x = 0

d) Qual é o lucro quando o investimento em publicidade é 50 000 dólares?

e) No plano cartesiano, marque os pontos obtidos nos itens anteriores e construa o gráfico da função.

L x x x x( ) ( )= − + + ≤ ≤1

87 30 0 502

a) No plano cartesiano, a função “Lucro” tem a conca-vidade voltada para cima ou para baixo? Por quê?

b) Para quais valores x, de gasto com publicidade, o lu-cro L(x) é nulo, ou seja, L(x) = 0? Como são chamados esses pontos da função? Esses valores pertencem ao domínio da função?


O vértice da parábola tem coordenadas (xv, yv) em que:

xv (abscissa do vértice), por conter o eixo de simetria da parábola, é o ponto médio de x1 e x2 (zeros da função). Então:

xx x

v =+1 2

2, em que:

xb

a1 2=

– – Δ e xb

a2

2= +– Δ

Substituindo x1 e x2, obtém-se:

x

b

a

b

a

b b

av =

++

=

( )+ +( )– – Δ – Δ – – Δ – Δ

2 22

22

xb

a

b

av = =–·

–2

2

1

2 2

xb

av = –2

yv (ordenada do vértice)

Como f(x) = y = ax² + bx + c, então:

yv = axv² + bxv + c

Como xb

av = –2

, substitui-se, na função

f(x) = ax2 + bx + c, obtém-se yv .

Observe:yV = a(xv)

2 + b(xv) + c

yv = ab

ab

b

ac⋅ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+2 2

2

yv = ab

a

b

ac

2

2

2

4 2− +

yv = b

a

b

ac

2 2

4 2 – +

yv = b b ac

a

2 22 4

4

− +

yv = − +b ac

a

2 4

4

yv = −−b ac

a

2 4

4

yv = −Δ4a

O ponto V, chamado vértice da parábola da função

f(x) = ax2 + bx + c de coordenadas V(xv, yv), é dado

por xb

av =−2

e yav =− Δ

4, ou seja, o vértice da

parábola é o ponto V − − Δ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b

a a2 4, .

Funções II12

f) Trace, no gráfico da função, o eixo de simetria da parábola e, em seguida, destaque o ponto em que esse eixo intersecta a parábola e responda: como é denominado esse ponto?

g) Como podemos obter a abscissa do vértice da pa-rábola?

h) Como podemos obter a ordenada do vértice da pa-rábola?

i) Escreva, representando no gráfico anterior, as coorde-nadas do vértice da parábola no desenho do gráfico no item d.

Agora, determine as coordenadas do vértice da função, utilizando as relações obtidas anteriormente:

Alguns pontos pertencentes à parábola são importantes para a construção do gráfico e para a sua análise.

Esses pontos estão indicados no gráfico:

Zeros da função quadráticaSão os pontos de intersecção da parábola com o eixo x de coordenadas (x1, 0) e (x2, 0). São os

valores de x quando f(x) = 0.

Vértice da parábolaÉ o ponto de coordenadas (xv, yv). Ao traçar uma reta perpendicular ao eixo x, passando pelo vértice

da parábola, determina-se o eixo de simetria da parábola.

O coeficiente c da função e a parábolaNa função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, o coeficiente c indica a ordenada do ponto em que a

parábola intersecta o eixo y, ou seja, (0, c). Observe:f(0) = a · 02 + b · 0 + cf(0) = c



b) O valor de Δ é maior, igual ou menor que zero?

c) Calculando os zeros da função, o que você observa em relação aos valores de x1 e x2?

d) Por que x1 e x2 apresentaram o mesmo valor?

e) Qual(is) o(s) ponto(s) em que a parábola intersecta o eixo x?

f) Quais as coordenadas do vértice dessa função?

1. Dada a função f(x) = –x2 – 4x – 4, res-ponda:

a) A concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo? Justifique:

g) O que você observa, comparando as coordenadas do ponto em que a parábola intersecta o eixo x em relação às coordenadas do vértice da parábola?

h) Escreva as coordenadas do ponto em que o gráfico intersecta o eixo y:

i) Esboce o gráfico da função:

j) Quais os pontos notáveis que foram destacados no gráfico?

2. Dada a função f(x) = 2x2 + x + 1, responda:

a) A concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo? Justifique:

b) O valor de Δ é maior, igual ou menor que zero?

Funções II14

Ao determinar os zeros da função quadrática, utilizando a fórmula resolutiva da equação do 2º. grau, têm-se três possibilidades quanto ao valor de Δ ou

discriminante, o que interfere no cálculo dos zeros:Δ > 0, a função tem dois zeros reais (x1 ≠ x2);Δ = 0, a função tem dois zeros reais e iguais (x1 = x2);Δ < 0, a função não tem zeros reais.


FÍSICAFÍSICAFMATEMÁTICA

c) Calculando os zeros da função, o que você ob-serva em relação aos valores de x1 e x2?

d) Por que x1 e x2 apresentaram esses valores?

e) Com relação ao resultado de x1 e x2, como se apresenta a parábola em relação ao eixo x?

f) Quais as coordenadas do vértice dessa função?

g) Escreva as coordenadas do ponto em que o grá-fico intersecta o eixo y:

h) Esboce o gráfico da função:

i) Quais os pontos notáveis que foram destacados no gráfico?

1. Determine os zeros, as coordenadas do vértice das parábolas e esboce os gráficos das seguin-tes funções quadráticas:

a) f(x) = x2 + 6x + 8

b) f(x) = –x2 + 4x – 3

c) f(x) = x2 + 2x + 1

d) f(x) = –x2 – 2x – 5

2. Indique as coordenadas do vértice e os zeros da função das parábolas a seguir:

a)

b)

3. Determine as coordenadas dos pontos em que a parábola que representa a função

f(x) = 2x2+ 2x – 24 intersecta o eixo das abscis-sas e das ordenadas.

4. (UFRGS – RS) A parábola na figura tem vértice no ponto (–1, 3) e representa a função quadrá-tica f(x) = ax2 + bx + c:

Portanto, a + b é:

a) – 3 b) – 2

c) – 1 d) 0

e) 1

5. (UNIOESTE − PR) Um engenheiro projetou um arco de sustentação de uma ponte no qual a parte inferior tem a forma do gráfico da parábo-la y = −2x2 + 8x − 6, conforme ilustra a figura:

Com base nessas informações, pode-se afirmar que:

a) a largura da base do arco, distância de A até D, é de 2,5 m.

b) o segmento que vai de B até E mede 1 m.

c) a altura do arco, distância de C até F, é maior que a largura da base, distância de A até D.

d) o ponto mais alto do arco dista 2 m da base.

e) nenhum ponto do arco dista mais que 1,8 m da base.

Funções II16

6. Escreva a função que representa cada parábola a seguir:

a)

b)

7. A função quadrática cuja parábola é descrita por y = x2 – mx + n tem o vértice no ponto (−1, 2). Dessa forma, marque V para verdadei-ro e F para falso:

( ) m + n = 1 ( ) m2 = 36 ( ) n · m = −6 ( ) m − n = −5

8. Num frigorífico, para armazenar as carnes bo-vinas em perfeitas condições até o momento do seu transporte para os supermercados, a temperatura dos refrigeradores é regulada em função do tempo t (dia) de armazenamento, pela lei de formação T(t) = t2 – 6t + 8 em que t ≥ 0.

a) Em qual(is) momento(s) t a temperatura é 0ºC?

b) Qual o intervalo de dias em que a carne fica congelada?

c) Determine o vértice da parábola dessa fun-ção e interprete o resultado.

9. Qual é o valor de m para que a função

f(x) = 3x2 − mx + 3, tenha dois zeros reais e iguais?

10. O vértice da parábola y = 2x2 − 4x + 5 é um ponto que pertence:

a) ao 1o. quadrante.

b) ao 2o. quadrante.

c) ao 3o. quadrante.

d) ao 4o. quadrante.

e) a um eixo do plano cartesiano.

11. Em um processo químico, a substância sofre uma variação de temperatura, em função do tempo em horas, de acordo com a função V(t) = 1,5t – t2, com 0 ≤ t ≤ 6.

© S

hutt

erst

ock/

ggw

1962

Em que instante t a substância atinge a maior temperatura?



Máximo e mínimo de uma função

Funções II18

O lucro de uma empresa é dado pela diferença entre a receita (R) da venda do produto pelos custos (C) de sua produção, ou seja:

L = R – CVender nem sempre tem relação com a obtenção de grandes

lucros, pois, para fabricar mais produtos, a empresa gera mais custos com equipamentos, consumo de energia elétrica e contratação de mão de obra. Por essas razões, as empresas têm necessidade de monitorar os seus lucros. Analise a seguinte situação:

1. Em uma fábrica, o departamento financeiro re-presentou o lucro, aproximadamente, pela função F(x) = –x² + 100x, em reais, na venda de x peças automotivas.

O gráfico representa a função. Analise-o e res-ponda:

a) Se a empresa não vender peça alguma, qual será o seu lucro? Justifique:

b) Vendendo 100 peças, a empresa terá lucro? Jus-tifique:

c) O que ocorre se a empresa vender 101 peças?

© D

ream

stim

e.co

m/R

aine

r Ple

ndi

d) Para que valores de x a empresa terá prejuízo?

e) Qual o lucro da empresa, ao vender:

49 peças?

50 peças?

51 peças?

f) Qual a quantidade de peças que devem ser vendi-das para que a empresa obtenha o maior lucro, ou seja, o lucro máximo?

g) Determine as coordenadas do vértice da parábola e verifique o que elas representam:

h) Para que quantidades de peças vendidas a fábrica terá lucro?

Na função quadrática, se a parábola tem concavidade voltada para cima (a > 0), yv é o valor mínimo da função; e xv é o ponto de mínimo da função:

Se a parábola tem a concavidade voltada para baixo, (a < 0), yv é o valor máximo da função; e xv, o ponto de máximo da função:

1. Determine as coordenadas do vértice de cada função, identificando o valor e o ponto de máximo ou de mínimo:

a) f(x) = x2 – 4x – 5

b) f(x) = –x2 + 6x – 8

c) f(x) = –5x2 + 5

d) f(x) = 3x2

2. Com base no gráfico, responda:

a) Para que valores de x a função é nula?

b) O vértice dessa parábola apresenta ponto e valor de máximo ou ponto e valor de mínimo? Justifique.

c) Qual o ponto de máximo ou de mínimo?

d) Qual o valor de máximo ou de mínimo?

e) Para que valores de x a função é negativa? E positiva?

3. Sabe-se que a função lucro é dada por L = R – C; a receita da empresa de transporte de grãos de soja é dada pela função R(x) = –x2 + 10x; e a função custo é dada por C(x) = x + 20. Determine o valor de x que maximiza o lucro, considerando que ele representa o volume, em mil to-neladas, dos grãos de soja transporta-dos pela empresa.

© S

hutt

erst

ock/

Jim

Par

kin


FÍSICA

19

FÍSICAMATEMÁTICA

4. Determine o valor de k na função:f(x) = x2 – kx – 35, sabendo-se que ela tem o valor mínimo igual a –36.

5. Em um jogo de futebol, o jogador cobrará uma falta com barreira. A trajetória da bola, que deve passar sobre a barreira, descreve aproximadamente o gráfico de uma parábola. Supondo que h é a altura da bola em relação ao chão, em metros; t o tempo em segundos após o chute do jogador; e a parábola descrita pela bola é dada por h = –t2 + 4t, determine:

a) em quantos segundos a bola atinge a altura máxima;

b) a altura máxima atingida pela a bola.

6. Em uma praça em forma de triângulo retân-gulo, será construído um parquinho para crianças, que ocupará uma região retangular, de dimensões b e h, de acordo com este de-senho:

Um dos vértices da região retangular desse parquinho estará sobre o maior lado desse triângulo. Assim, marque V para verdadeiro e F para falso:

( ) O parquinho pode ser construído com b = 5 m e h = 10 m.

( ) O parquinho pode ser construído com di-mensões b = 8 m e h = 6 m.

( ) Para b = 6 m, tem-se uma medida de área menor que para b = 9 m.

( ) Para b = 7,5 m, tem-se a área máxima que pode ser construída.

( ) A área máxima em que o parquinho pode ser construído é 45 m2.

7. (PUC Minas – MG) Uma empresa de turismo fretou um avião com 200 lugares para uma semana de férias, devendo cada participante pagar R$ 500,00 pelo transporte aéreo, acres-cidos de R$ 10,00 para cada lugar do avião que ficasse vago. Nessas condições, o número de passagens vendidas que torna máxima a quan-tia arrecadada por essa empresa é igual a:

a) 100 b) 125

c) 150 d) 180

8. (EMESCAM − ES) O número de membros da população de certa bactéria depende da variá-vel temperatura (medida em oC) sob uma fun-ção de 2o. grau. As medidas de um pesquisador indicam que a função é dada por:

N(T) = aT2 + 20T + C , sendo a e C constantes e T a temperatura. A temperatura que maximi-za a população é 30oC. Qual o valor da cons-tante a?

a) − 13

oC−2

b) −16

oC−2

c) 13

oC−2

d) 16

oC−2

e) 6oC−2

© D

ream

stim

e.co

m/F

abriz

io M

aria

ni

20 Funções II

Conjunto-imagem da função quadrática

Na década de 1980, a seleção brasileira de vôlei popu-larizou, especialmente pelo ex-jogador Bernard, o saque “jornada nas estrelas”. Nesse saque, a bola atingia grandes alturas e, com o aumento do yv da parábola descrita pela trajetória, fazia com que a bola descesse com velocidade pró-xima de 70 km/h, dificultando a recepção do time adversário.

Em alguns jogos, não ha-via a possibilidade de dar o saque “jornada nas estrelas” por causa da altura do teto do ginásio. Considerando-se que a expressão j(x) = –x2 + 10x descreve a altura da bola, em metros, desde o saque, em função da posição x, em metros, determine a altura máxima que a bola é capaz de atingir:

a) Nessa situação, os valores de y podem ser menores que zero? Justifique:

b) Qual o intervalo de valores de y para essa função?

© F

olha

pres

s/Fo

lha

Imag

em/R

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lzon

i

c) Esboce o gráfico da função j(x) = –x² + 10x:

d) Qual o conjunto-imagem dessa função?

Conclui-se que, no saque “jornada nas estrelas”, a bola pode alcançar até 25 m de altura.

Para determinar o conjunto-imagem de uma função qua-drática, basta determinar o valor de yv e analisar a conca-vidade da parábola.

Se o saque for dado no fundo da quadra e sabendo-se que a medida oficial do comprimento da quadra é de 18 m, pode-se considerar que a bola caiu na quadra do adversário?

Assim, determine o conjunto-imagem da função f(x) = x2 + 2x + 2:


FÍSICA

21

FÍSICAMATEMÁTICA

Em uma função quadrática, tem-se que: se a > 0, então yv é o valor mínimo da função,

logo o conjunto-imagem da função é dado porIm(f) = {y ∈ R I y ≥ yv}:

Se a < 0, então yv é o valor máximo da função, logo o conjunto-imagem da função é dado por

Im(f) = {y ∈ R I y ≤ yv}:

1. Determine o conjunto-imagem das funções qua-dráticas representadas pelos seguintes gráficos:a)

b)

c)

d)

Funções II22

2. Determine o conjunto-imagem das funções quadráticas a seguir:

a) f(x) = –x2 + x + 2 b) f(x) = 4x2 – 4x + 1

c) f(x) = –10x2 d) f(x) = 3x2 – 9x

3. O comprimento de uma mangueira usada para irrigar certo gramado não é suficiente para que a sua saída de água chegue à determinada área. A solução é lançar a água a certa distância, aproveitando a sua pressão.

Sabendo-se que a função A(x) = –x2 + 6x descreve a trajetória da água, determine o conjunto-ima-gem e explique o que ele representa.

4. Uma empresa prestadora de serviços tem seus custos mensais em milhares de reais descritos pela fun-ção C(x) = x2 – 2x + 4, em que x representa as horas trabalhadas. Quais os valores, em milhares de reais, dos custos possíveis que essa empresa pode ter?

O estudo do sinal de uma função afim ou quadrática consiste em determinar, no domínio, os valores em que a função é positiva, negativa ou nula.

Estudo do sinal da função afim

Estudo do sinal da função afim e quadrática


FÍSICA

23

FÍSICAMATEMÁTICA

Em uma feira agrícola, o lucro de uma empresa sobre a venda de suas máquinas é descrito pela função L(x) = 3x – 27, em que x representa a quantidade de máquinas vendidas.

1. Essa empresa apresenta um lucro crescente ou decrescente?

2. Qual a quantidade de máquinas vendidas para que essa empresa não tenha lucro nem prejuízo?

© D

ream

stim

e.co

m/L

aurie

Ro

ssin

Esboçando o gráfico dessa função, tem-se:

Observando o gráfico, tem-se que:

L(x) < 0 para {x ∈ R I x < 9}

L(x) = 0 para x = 9

L(x) > 0 para {x ∈ R I x > 9}

3. Nessas condições, quando a empresa tem lucro? E prejuízo?

De modo geral, dada uma função afim f(x) = ax + b, com a ≠ 0, tem-se que:

f(x) = 00 = ax + bax = –b

x = – ba

Assim: Quando a > 0 (função crescente), tem-se:

f(x) < 0 para x < – ba

f(x) = 0 para x = – ba

f(x) > 0 para x > – ba

Quando a < 0 (função decrescente), tem-se:

f(x) < 0 para x > – ba

f(x) = 0 para x = – ba

f(x) > 0 para x < – ba

b) em que ano o valor do bem será igual a zero;

c) para que valores de x tem-se f(x) ≥ 0.

3. Por meio de um estudo, baseado no histórico das vendas de um produto, o lucro da empresa é descrito hoje pela função L(x) = –5x + 120, em que x representa a quantidade de meses. Sendo assim, responda:

a) Em que tempo a empresa não terá lucro nem prejuízo?

b) Até quando a empresa terá lucro com esse produto?

c) A partir de quando a empresa terá prejuízo com esse produto?

1. Estude os sinais das funções a seguir, definidas em R:

a) f(x) = 3x + 5

b) f(x) = 4 – x

c) f(x) = x

d) f(x) = 12

32

– x

2. Com o desgaste ocasionado pelo uso de um equipamento, o valor desse bem dimi-nui linear mente com o tempo. Sabendo-se que o seu valor, se for comprado hoje, é de R$ 30.000,00 e que, daqui a seis anos, o bem terá o valor de R$ 6.000,00, determine:

a) a função que define o valor do bem daqui a x anos;

Funções II24

Estudo do sinal da função quadrática

P. Im

agen

s/Pt

ith

1. Durante um dia, em certa região, as temperaturas regis-tradas foram descritas pela função:

T(t) = t2 –4t + 3, entre o período de zero hora até seis horas.

a) Sendo t o tempo medido em horas, determine a que horas a temperatura da região registrou 0ºC:

b) Esboçando o gráfico, tem-se:

De acordo com o gráfico, tem-se:

T(t) < 0 para {t ∈ R I 1 < t < 3}

T(t) = 0 para t = 1 e t = 3

T(t) > 0 para {t ∈ R I 0 ≤ t < 1 ou 3 < t ≤ 6}

2. Nessas condições, quais os períodos em que a temperatura ficou positiva? E negativa?

a > 0 a < 0

f(x) < 0 para x1 < x < x2

f(x) = 0 para x = x1 ou x = x2

f(x) > 0 para x < x1 ou x > x2

f(x) < 0 para x < x1 ou x > x2

f(x) = 0 para x = x1 ou x = x2

f(x) > 0 para x1 < x < x2

De modo geral, dada uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ R e a ≠ 0, tem-se que considerar três situações, quanto ao estudo de sinal:1ª. situação: Δ > 0A função tem dois zeros reais e diferentes: x1 e x2.No esboço do gráfico, tem-se:

P. Im

agen

s/Pi

th


FÍSICA

25

FÍSICAMATEMÁTICA

2ª. situação: Δ = 0A função tem dois zeros reais e iguais: x1 = x2.No esboço do gráfico, tem-se:

a > 0 a < 0

f(x) < 0, não existe x realf(x) = 0 para x = x1 = x2

f(x) > 0 para x ≠ x1 ou x ≠ x2

f(x) < 0 para x ≠ x1 ou x ≠ x2

f(x) = 0 para x = x1 = x2

f(x) > 0, não existe x real

3ª. situação: Δ < 0A função não tem zeros reais: x1 e x2 são números imaginários.No esboço do gráfico, tem-se:

a > 0 a < 0

f(x) < 0, não existe x realf(x) = 0, não existe x realf(x) > 0, para qualquer valor de x

f(x) < 0, para qualquer valor de xf(x) = 0, não existe x realf(x) > 0, não existe x real

26 Funções II

1. Faça o estudo do sinal nas seguintes funções:

a) f(x) = x2 – 7x + 12

b) f(x) = –x2 + x + 6

c) f(x) = 7x – 28

d) f(x) = –x + 10

e) f(x) = x2 – 6x + 9

f) f(x) = 4x2 + 12

2. O lucro de uma empresa é dado pela função L(x) = –x2 + 40x – 300, em que x representa a quan-tidade de peças produzidas. Pelo estudo do sinal da função, analise o comportamento do lucro dessa empresa.

Inequações do 1o. e 2o. graus

Resolução

de uma

inequação

do 2o. grau

@MAT982

Definição

de

inequação

do 1o. grau

@MAT1267


FÍSICA

27

FÍSICAMATEMÁTICA

a) O custo de produção pode ser igual a R$ 10.000,00, ou seja, é possível nessa situação C(x) = 10.000?

b) Pode passar de R$ 10.000,00 o custo de produção, ou seja, é possível nessa situação C(x) > 10.000?

c) É possível nessa situação C(x) < 10.000?

d) Com o símbolo <, >, ≤ ou ≥, represente a relação custo com o valor de R$ 10.000,00 da situação:

e) Substitua C(x) da resposta anterior pela expressão 2x + 100:

f) Na resposta anterior, você obteve uma sentença matemática com uma incógnita, que é representada por uma desigualdade. Como ela é denominada?

O custo de produção de peças para com-putadores, de uma empresa de hardware, é dado pela função: C(x) = 2x + 100, em que x representa a quantidade de peças produzidas.

Segundo o estudo do departamento financeiro, os custos mensais de produção não podem passar de R$ 10.000,00. Nessas condições, responda:

© S

hutt

erst

ock/

ctpa

ul

A sentença matemática que contém incógnita(s) e é representada por uma desigualdade é denominada inequação.

1. A inequação 2x + 100 ≤ 10.000, da situação anterior, é do 1o. grau. Determine o valor máximo de peças que podem ser produzidas:

Observe que resolver uma inequação é determinar os valores reais de x que satisfazem a desigualdade.

2. Nas inequações a seguir, faça o estudo do sinal e escreva o conjunto-solução de cada uma:

a) x² – 2x – 8 > 0 b) –4x2 + 2x – 3 ≥ 0

Resolução de

uma inequação

do 1o. grau

@MAT886

Funções II28

1. Resolva as seguintes inequações do 1o. grau:

a) 5x – 35 > 0 b) –4x + 144 ≤ 0

c) –2x – 5 < –5x – 32 d) 12x + 15 ≥ 18x – 45

2. Determine o conjunto de todos os números reais x que satisfazem a inequação x2 − 2 < 1.

3. Escreva o conjunto-solução das inequações do 2o. grau a seguir:

a) x2 – 4x – 5 ≤ 0 b) x2 – 6x + 9 > 0

c) x2 – 7x + 14 ≤ 0

4. (UFMT)

A partir das informações da figura, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as fal-sas:

( ) A medida da área sombreada em função de x, denotada por A(x), pode ser expressa pela função quadrática A(x) = x2 – 5x + 6.

( ) Não se pode atribuir valores para x no in-tervalo aberto ]2, 3[.

( ) O gráfico da função quadrática que repre-senta a medida da área sombreada inter-cepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 5).

Marque a sequência correta:

a) V, F, V.

b) V, F, F.

c) F, V, V.

d) F, V, F.

e) V, V, F.

Inequações simultâneas

Há situações em que duas ou mais inequações podem estar relacionadas, formando assim um sistema de inequações.

Para determinar o conjunto-solução de um sistema de inequações, é necessário encontrar a solução de cada uma das inequações separadamente e, em seguida, determinar a intersecção entre elas.

Dado o sistema a seguir, formado por duas inequações do 2o. grau, responda às questões para encontrar o conjunto-solução que satisfaz o sistema:

x2 + 2x – 3 ≤ 0 (1)

x2 + 2x – 3 ≥ –3 (2)

a) Faça o estudo do sinal e represente o conjunto-solução no eixo x da inequação (1), x2 + 2x – 3 ≤ 0 do sistema:

Resolução de

um sistema de

inequações

@MAT1020


FÍSICA

29

FÍSICAMATEMÁTICA

b) Faça o estudo do sinal e represente o conjunto-solução no eixo x da inequação (2), x² + 2x – 3 ≥ –3.

c) Como se trata de um sistema, as duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente, ou seja, S = S1 ∩ S2. Faça o estudo do sinal das duas inequações concomitantes e determine o conjunto-solução S:

Inequações: produto e quociente

As inequações-produto e as inequações-quociente são usadas para resolver inequações que apre-sentam polinômios com grau superior a 2.

As desigualdades f(x) ∙ g(x) > 0 ou f(x) ∙ g(x) < 0 ou f(x) ∙ g(x) ≥ 0 ou f(x) ∙ g(x) ≤ 0 são denominadas inequações-produto.

As desigualdades f(x)g(x)

> 0 ou f(x)g(x)

< 0 ou f(x)g(x)

≥ 0 ou f(x)g(x)

≤ 0, com g(x) ≠ 0,

são denominadas inequações-quociente.

Funções II30

1. Para exemplificar, resolva as questões a seguir, determinando o valor do conjunto-solução de f(x) ∙ g(x) ≥ 0, sendo f(x) = x2 – 9 e g(x) = x2 – 1.

a) Faça o estudo do sinal de f(x) e g(x) separadamente:

b) No quadro, escreva os sinais correspondentes de cada uma das funções em relação a cada intervalo numérico. Utilizando a regra de sinais, apresente o sinal de f(x) ∙ g(x):

c) Analisando o quadro, qual o conjunto-solução S de f(x) · g(x) ≥ 0?

2. Sendo f(x) = x – 2 e g(x) = –x2 + 5x – 4, resolva f x

g x

( )

( )≤ 0 .

a) Faça o estudo de sinal de f(x):

b) Faça o estudo de sinal de g(x):

c) A função g(x) pode ser igual a zero? Justifique:

d) De acordo com a sua resposta, quais as restrições para os valores reais de x da função g(x)?

e) No quadro a seguir, coloque os sinais correspondentes

de cada função em relação a cada intervalo numérico

e, em f x

g x

( )

( ), coloque o sinal resultante do quociente

entre os sinais:

f) Com base no quadro, escreva o conjunto-solução S de f x

g x

( )

( )≤ 0 :


FÍSICA

31

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Resolva as seguintes inequações em R:a) (x – 2)(x2 – 5x + 6) < 0

b) (–x2+ 3x – 2)(–x2 – 4x – 3) ≤ 0

c) x

x x

2

2

4

4 50

−+ −

≤

d) x x

x

2

2

8

10

+−

>

2. Resolva os sistemas de inequações a seguir:

a) x xx

2 3 2 01 0− + ≤

+ <

b) x x

x x

2

2

3 0

6 8 0

− ≥

− + − ≥

1. Para construir um cercado em forma de um re-tângulo, Frederico tinha recursos financeiros para fazer apenas 80 metros de cerca e resolveu aproveitar uma parte reta de um muro para eco-nomizar e construiu, com três lances de cerca, um cercado retangular de área máxima. Qual a área desse cercado?

2. Um retângulo tem 40 m de perímetro. Determi-ne as dimensões desse retângulo para que este possua a maior área possível. Determine a medi-da dessa área.

3. (MACKENZIE – SP) A figura mostra os gráficos de y = x2 e y = –x2 + p. A medida AB é:

a) 2 5 b) 4 5

c) 6 d) 3 6

e) 5 2

4. (UFSM – RS) Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. Constatou--se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação v(t) = at2 + b, onde v(t) é o núme-ro de elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo- -se que o último frango morreu quando t = 12 me-ses após o início da experiência, a quantidade de frangos que ainda estava viva no 10o. mês era:

a) 80 b) 100

c) 120 d) 220

e) 300

5. (UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = –x2 + 10x e da reta y = 4x + 5, com 2 ≤ x ≤ 8. Qual a soma das coordenadas do ponto representado pela in-terseção das estradas?

a) 20 b) 25

c) 30 d) 35

e) 40

6. (FGV – SP) O custo diário de produção de um artigo é C = 50 + 2x + 0,1x2, onde x é a quanti-dade diária produzida. Cada unidade do produto é vendida por R$ 6,50. Entre que valores deve variar x para não haver prejuízo?

a) 19 ≤ x ≤ 24 b) 20 ≤ x ≤ 25

c) 21 ≤ x ≤ 26 d) 22 ≤ x ≤ 27

e) 23 ≤ x ≤ 28Funções II32

7. (UNICAMP − SP) − Durante um torneio pa-raolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gra-vação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são forneci-dos na tabela abaixo. Seja y(x) = ax2 + bx + c a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso:

Distância (m) Altura (m)

1 2,0

2 2,7

3 3,2

a) determine os valores de a, b e c;

b) calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso.

8. (ENEM) Um boato tem um público-alvo e alastra- -se com determinada rapidez. Em geral, essa ra-pidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e di-retamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público--alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se:

R(x) = k . x . (P – x), onde k é uma constante po-sitiva característica do boato.O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real, é:

a) b)

c) d)

e)

9. Em certa fábrica, durante o horário de traba-lho, o custo de fabricação de x unidades é de C(x) = x2 + x + 500 reais. Num dia normal de tra-balho, durante as t primeiras horas de produção, são fabricadas x(t) = 15t unidades. Determine o gasto na produção, ao final da segunda hora.

10. (UFF – RJ) Se um cabo suporta um peso homogê-neo muito maior que o seu próprio peso, ele toma a forma de uma parábola. As torres AD e BC de uma ponte pênsil medem 200 m e são perpendicu-lares à pista de rolamento CD que mede 1 000 m. O cabo de sustentação preso às torres nos pontos A e B tem a forma de uma parábola com vértice no ponto médio O de CD, conforme a figura:

a) Determine, em relação ao sistema Oxy, a equa-ção da parábola de vértice O que passa pelos pontos A e B.

b) Se o fio de aço EF de 72 m de comprimento é preso ao cabo de sustentação no ponto E e é per-pendicular à pista de rolamento no ponto F (con-forme mostra a figura), calcule a medida de FC.

11. Quantos números inteiros satisfazem simultanea-mente as desigualdades x + 3 ≤ 2x + 5 e 4x + 1 ≤ 2x + 3?

a) Infinitos b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

12. O conjunto-solução da inequação f xg x( )( )

≤ 0, em que f(x) = x² + 7x + 12 e

g(x) = x² + 6x + 8, é:

a) S = {x ∈ R I –3 < x < –2}

b) S = {x ∈ R I –3 ≤ x ≤ –2}

c) S = {x ∈ R I –3 ≤ x < –2}

d) S = {x ∈ R I x < –3 ou x ≤ –2}

e) S = {x ∈ R I x < –4 ou x ≤ –2}


FÍSICA

33

FÍSICAMATEMÁTICA

Funções II34

Função composta

Função composta e inversa2

As escalas termométricas mais utilizadas são Cel-sius, Fahrenheit e Kelvin, e seu uso está relaciona-do à opção de cada país. Entre essas, as mais usuais são a Celsius e a Fahrenheit.

Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a tem-peratura correspondente em graus Fahrenheit, essas duas escalas termométricas estão relacionadas por meio da expressão:

TT

CF= −5 160

9

1. Determine a temperatura em graus Celsius para a temperatura de 59 graus Fahrenheit (59 oF):

Agora considere TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius estão relacionadas pela expressão:

TK = TC + 273

2. Determine a temperatura em Kelvin para aquela obtida anteriormente em Celsius:

Jack

Art

. 201

1. V

etor

.


MATEMÁTICA

Para obter a temperatura em Kelvin, por meio da tem-peratura em graus Fahrenheit, pela função f: A B, determina-se a temperatura em graus Celsius. Depois disso, pela função f: B C, determina-se a temperatura em Kelvin.

59oF

15oC

288 k

A

B

CTCTK

Pode-se determinar a temperatura em Kelvin, utilizando--se a temperatura em graus Fahrenheit pela função f: A C. Para isso, deve-se obter a função composta.

Observe a substituição da função TT

CF= −5 160

9 na fun-

ção TK = TC + 273: TK = TC + 273

5 160

9

TF −

TT

TT

KF

KF

= − +

= − +

5 160

9273

5 160

9

2 457

9

TT

KF=

+5 2 297

9

função composta

Dessa forma, obtém-se a função composta.

1. Substitua TF por 59 na função composta obtida. O que você observou?

2. Agora, considere as funções f(x) = 3x – 1 e g(x) = x²:

a) Substitua a função f(x) em g(x) e obtenha a função composta representada por g(f(x)) ou g f(x):

b) Substitua a função g(x) em f(x) e obtenha a função composta representada por f(g(x)) ou f g(x):

Dadas duas funções f: A B e g: B C, denomina-se função composta de g e f, a

função definida por g f: A C, que é obtida por g f (x) = g(f(x)), sendo x A e g(f(x)) C.

x

f(x)

g(f(x))

fg

A

B

C

g f

1. As funções f e g são definidas por f(x) = x + 5 e g(x) = 1 − 3x. Determine:

a) f(g(2))

b) f(g(5))

c) g(f(−1))

d) g(f(0))

2. Dadas as funções f(x) = x + 3 e g(x) = x2 − 2, determine:

a) f(g(x))

b) g(f(x))

c) f(f(x))

d) g(g(x))

3. Dada a função f(x) = x² + 6x + 9 e g(x) = 2x – 3, calcule:

a) f(g(1))

b) g(f(–2))

c) g(g(3))

4. Neste gráfico, está representada a função f:

Determine:

a) f(f(2))

b) f(f(3))

c) f(f(−1))

d) f(f(−2))

e) f(f(f(1)))

5. Neste diagrama, estão representadas as fun-ções f: A B e g: B C. Determine g(f( )).

–4

5

A

B

C

f g

6. O ponto A(1, 3) pertence ao gráfico da função f(x) = 2x + b. Sabendo-se que g(x) = x2 − 1, determine o valor de f(g(0)).

7. Sejam as funções f: R R e g: R R, tais que f(x) = x2 − 9 e f(g(x)) = x − 6, determine a função g(x).

8. Se f(x) = 2x + 3 , g(x) = ax + b e f(g(x)) = 10x − 1, determine o valor de a + b.

9. (UNIFEI − MG) Se f e g são funções tais que f(x) = 7x − 4 e f[g(x)] = x2 − f(x + 1), então g(7) é igual a:

a) 17

b) 1

c) 4

d) 7

10. (UFC – CE) O coeficiente b da função quadráti-ca f: R R, f(x) = x2 + bx + 1, que satisfaz a condição f(f(−1)) = 3 , é igual a:

a) –3 b) –1

c) 0 d) 1

e) 3

DesafioDesafio

11. As funções f: R R e g: R R são definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x + m.Se f(g(x)) = g(f(x)), então, determine f(m).

Função

composta

@MAT971

36 Funções II

Função inversa

Uma maneira de saber a distância que um carro pode percorrer com um tanque de combustível é por meio do rendimento desse carro com um litro desse combustível. Alguns carros percorrem 8 km, em média, com um litro de combustível.

1. Considerando que o tanque tenha capacidade de 45 litros e que uma pessoa realize uma viagem cuja distância seja de 240 km, responda:

a) Qual é a distância máxima que esse carro pode percorrer com um tanque de combustível?

b) Observando o odômetro do carro, constata-se a distância percorrida. Considere que o odômetro foi “zerado” ao encher o tanque de combustível e que esse carro percorreu 240 km. Quanto gastou de combustível?

c) Considerando que r (r 0) é a quantidade que resta de combustível no tanque após a viagem e g é a quantidade gasta, escreva a função que relaciona r em função de g:

d) Agora, considere que g é a quantidade gasta de combustível e d é a distância percorrida pelo carro. Escreva a função que relaciona o gasto g em função da distância percorrida d (d 0):

e) De acordo com os itens c e d, escreva a função relacionada à quantidade r que resta de combus-tível após a viagem, em função da distância percorrida d:

Observe que a função obtida no item e fornece a quantidade r de combustível que resta no tanque, após a viagem, em função da distância percorrida d.

Porém, é possível determinar a distância percorrida d em função da quantidade r de combustível que resta no tanque.

2. Escreva a função que relaciona a distância percorrida em função da quantidade de combustível que resta no tanque:


FÍSICA

37

FÍSICAMATEMÁTICA

Jack

Art

. 201

1. V

etor

.

Na atividade anterior, foram determinadas a função que fornece a quantidade de combustível existente no tanque após a viagem, em função da distância percorrida; e a função que fornece a distância percorrida, em função da quantidade de combustível que resta no tanque após a viagem.

Essas duas funções são denominadas funções inversas, pois uma é a função inversa da outra.

Para determinar a função inversa representada por f−1(x) de uma função f(x), basta trocar x por y e y por x e, em seguida, escrever y em função de x. Observe:

Dada a função f(x) = y = 2 3

5

x − , obtenha a inversa f−1(x).

y = 2 3

5

x −

Troca-se x por y e vice-versa:

x = 2 3

5

y −

Escreve-se y em função de x:

5x = 2y − 35x + 3 = 2y5 3

2

x + = y

f−1(x) = 5 3

2

x +

Mas, para que uma função f(x) admita a função inversa f−1(x), a função f(x) deve ser bijetora, isto é, deve ser simul-taneamente sobrejetora e injetora.

Função sobrejetoraUma função é sobrejetora quando o conjunto-imagem é

igual ao contradomínio, por exemplo:Dada uma função f: IR IR+, definida por f(x) = x2 − 4x + 4,

observe o gráfico dessa função:

3. Escreva o conjunto-imagem e o contradomínio dessa fun-ção:

4. Os conjuntos escritos no item anterior são iguais? Essa função é sobrejetora?

Na função representada no gráfico, o conjunto-imagem Im(f) é igual ao contradomínio IR+. Logo, essa função é so-brejetora.

Observe a função g: A B, representada por meio de diagramas:

A B

a

b

c

d

1

2

3

5

6

4

Im(f)

5. Escreva o conjunto-imagem e o contradomínio dessa fun-ção:

6. Os conjuntos escritos no item anterior são iguais? Essa função é sobrejetora?

Na função representada por meio de diagramas, o con-junto-imagem não é igual ao contradomínio, logo essa função não é sobrejetora.

Uma função f: A B é denominada sobrejetora quando todo elemento do conjunto B é imagem

de pelo menos um elemento do conjunto A.Im(f) = B

Funções II38

Função injetoraUma função é injetora quando elementos distintos do

domínio correspondem a imagens distintas no contrado-mínio.

Dada a função f: R R, definida por f(x) = 2x − 1, observe o gráfico dessa função:

x

y

2

Im(f)

–1

1 30

7. Na função representada, determine f(1), f(3) e f(5) e indique as imagens dessas funções no gráfico anterior:

8. O que se pode afirmar sobre as imagens de cada um dos elementos do domínio? Essa função é injetora?

9. Dada a função g: R R, definida por f(x) = −x2 + 5x − 4, observe o gráfico dessa função:

x21 3 4 5

y

Na função representada, determine f(1), f(2), f(3) e f(4) e indique as imagens dessas funções no gráfico anterior:

10. O que se pode afirmar sobre as imagens de cada um dos elementos do domínio? Essa função é injetora?

Na função representada, existem elementos distintos do domínio com imagens iguais no contradomínio. Logo, essa função não é injetora.

Uma função f: A B é denominada injetora quando dois elementos distintos do conjunto A correspondem a dois elementos distintos (imagem) em B.

x1 x2 f(x1) f(x2)A B

a

b

c

d

1

2

3

5

6

4

Nos casos em que a função f:A B é simultaneamen-te sobrejetora e injetora, diz-se que a função é bijetora. Observe, no diagrama abaixo, que a função f:A B dada por f(x) é sobrejetora e injetora, e g(x) é a função inversa de f(x):

A B

a

b

c

d

1

2

3

4

f(x)

A B

a

b

c

d

1

2

3

4

g(x)


FÍSICA

39

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Quanto a estas funções, classifique-as em inje-tora (I), sobrejetora (S), bijetora (B) ou nenhu-ma (N):

a) ( ) f:R R, definida por f(x) = 4x

b) ( ) f:R R, definida por f(x) = −x + 4

c) ( ) f:R R, definida por f(x) = x2 + 6x + 9

d) ( ) f:R R+, definida por f(x) = x2 + 6x + 9

2. Determine a função inversa de f(x) = 2 53

x + .

3. Seja f(x) uma função dada pela expressão f(x) = 2x − 1:

a) determine a função inversa f−1(x);

b) determine f(2) e f−1(3);

c) compare os resultados do item b. O que se pode afirmar sobre eles?

4. Dada a função f(x) = 34

x m− . Se f−1(5) = 2, de-termine o valor de m.

5. Sendo g(x) = 2 3

1xx

−+

, com x –1 e x 2, deter-

mine a função inversa g−1(x).

6. (UFJF − MG) Abaixo, encontram-se representa-dos os gráficos das funções f:R R e g: R R:

y = f(x) y = g(x)

Sabendo-se que f possui inversa f−1: R R, determine o valor de f g f−1(2):

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

7. (UFRGS – RS) As funções f e f–1 são inversas. Se f

é definida por f(x) = 1

3x +, então f–1(x) é igual a:

a) 1

3x +

b) 13

x+

c) 13

x−

d) x – 3

e) 3 – x

8. (UFV – MG) Seja = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, ..., X, Y, Z}, conjunto das letras do alfabeto brasileiro (incluindo K, W, Y). Considere 1 um subconjunto de IR e f: 1 a função definida por f(A) = 3, f(B) = 27, f(C) = 243, f(D) = 2 187 e assim por diante. Suponha, ainda, que f é bijetora e que f–1 é sua inversa. Calculando f–1(3), f–1(323), f–1(39), f–1(325) e mantendo essa ordem, obtém-se a palavra:

a) A N E L.

b) A L G O.

c) A L E M.

d) A M E I.

e) A N I L.

DesafioDesafio

9. (UESC − BA) Dadas as funções reais f(x) = x3 − 6

e h(x), uma função inversível, tal que h 12

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = 2

e h(2) = 5, então f(h−1(2)) + h(f(2)) é igual a:

a) 124

b) 120

c) 18

d) − 12

e) − 78

Função

inversa

@MAT818

Funções II40

1. Sejam as funções f(x) = 4x − 3 e g(x) = 2x + t e sabendo que f(g(x)) = g(f(x)), então deter-mine o valor de t.

2. Dadas as funções f(x) = 3x3 − 3 e g(x) = 2x2 + 2, determine h(1), em que h(x) = g(f(x)).

3. Determine a função inversa de f(f(x)) em que f(x) = 2x + 2.

4. Dadas as funções afins f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b, a função composta é

f(g(x)) = 8x + 7. Dessa forma, determine a + b.

5. (UFAM) Dada a função f xxx

( ) = −+

11

, com x R e x –1.

Então f f x( )( ) é igual a:

a) x + 1

b) −x

c) −1x

d) x − 1

e) x

6. (UFMG) O valor de a, para que a função in-versa de f(x) = 3x + a seja g(x) =

x3

– 1, é:

a) –3

b) – 13

c) 13

d) 1

e) 3

7. (UFPR) Considere as afirmativas abaixo a res-peito das funções

f(x) = x2 − 2x − 3 e g(x) = 12

x − 1 com x R:

1. A função f(x) + g(x) tem exatamente três zeros.

2. A função f(x) + g(x) é crescente no interva-lo fechado [2, 5].

3. A função g(x) − f(x) é positiva no intervalo aberto (0, 3).

4. Quando x = 0, tem-se (f o g)(x) = (g o f)(x).

Assinale a alternativa correta:

a) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

c) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.

d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.

e) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.

8. (PUCPR) Sejam f(x) = x2 – 2x e g(x) = x – 1 duas funções definidas em IR. Qual dos gráficos me-lhor representa f(g(x))?

a) b)

c) d)

e)

9. (UFSM – RS) Sendo as funções f: R R definida por f(x – 5) = 3x – 8 e g: R R definida por g(x) = 2x + 1, assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir:

(a) ( ) f(x – 6) = 3x + 11

(b) ( ) g–1 (x) = 12

12

x +

(c) ( ) f(2) – g–1(7) = 10

A sequência correta é:

a) F – V – F.

b) F – V – V.

c) F – F – V.

d) V – V – F.

e) V – F – V.


FÍSICA

41

FÍSICAMATEMÁTICA

42

Funções II42

Distância entre dois pontos na reta real

Função modular3

Leia a seguinte reportagem e responda às questões:

Cidade de Minas Gerais registra –2°C nesta madrugadaO tempo frio é reflexo da massa de ar polar que estava no sul do Brasil.

A previsão é que ela deve permanecer até a sexta-feira (20).

a) Com base na reportagem, indique, na reta real abaixo, as temperaturas registradas em Monte Negro, como ponto A; e, em Maria da Fé, como ponto B, e suas respectivas abscissas:

b) Como se determina a variação de temperatura?

c) Qual a variação entre as temperaturas informadas na reportagem das cidades de Monte Negro e Maria da Fé?

d) Qual a distância entre os pontos A e B, na reta real acima?

e) Como se pode calcular a distância entre dois pontos na reta real?

f) Qual a distância do ponto A e do ponto B em relação à origem O?


MATEMÁTICA

A e B são dois pontos pertencentes à reta real com abscissas xa e xb, respectivamente, sendo xb ≥ xa:

xa

A

xb

xB

Chama-se a distância entre dois pontos A e B, indicada por dAB, a diferença xb – xa.

Módulo de um número real

Força elétrica (atração ou repulsão)

Existem situações em que se trabalha apenas o valor absoluto (valor não negativo) de um número, ou seja, o módulo do número.

Na Física, para calcular a força entre duas cargas elétricas (Lei de Coulomb), utiliza-se a relação:

Fe = k0 · |Q1| · |Q2|

d2

Em que:Fe intensidade da força de atração ou repulsão das cargas elétricas;k0 constante eletrostática

(k0 8,988 · 109 N · m2/C2);d distância entre as cargas;Q o valor da carga elétrica.

Observe que, na expressão, Q1 e Q2 estão em módulo, pois os seus sinais indicam apenas se a força é de atração ou de repulsão, assim usam-se apenas os seus valores absolutos (valores não negativos) para determinar Fe.

Assim, se:

Q1 = +5 |Q1| = |+5| = 5

Q2 = –3 |Q2| = |–3| = 3

Interpretação geométrica do módulo

O módulo de um número real x, que se representa por |x|, na reta real, indica a distância desse número ao zero (origem), ou seja:

Na reta real x de origem O e um ponto A de abscissa x:

O módulo de x é representado geometricamente pela distância entre os pontos A e O, ou seja:|x| = dAO

Nessas condições, com base na reta real abaixo, determine:

a) |3|

b) |–2|

c) |–1|

d) |+1|

e) |0|

Definição algébrica do módulo

O módulo ou valor absoluto de um número real x é igual a x se x ≥ 0 e igual a –x se x < 0, ou seja:

|x| = x, se x 0e com x IR|x| = –x, se x < 0

Interpretação

geométrica do

módulo

@MAT1235

Funções II44

|3| = 32

3 = 9

3 = 3

|–7| = (–7)2

7 = 49

7 = 7

1. Calcule os valores de:

a) |–12| – |–8|

b) |–1| + |8|

c) |–5 – | – 2 – 5||

d) –|| – 1

2 – |

| – 3

4 + 1 |

| + |

| + 1

4 ||||

2. Aplicando a definição de módulo, escreva a expressão equivalente sem a indicação de módulo, com x IR:

a) |x + 3|

b) |3x –12|

c) |x2 – 81|

d) |– x2 – x + 2|

Assim, pela definição, determine:

a) |7|

b) |–9|

c) |–1,7|

d) ||34

||

e) |– 11|

f) |–5 – |–2| |

Pela definição de módulo de um número real, pode-se concluir que |x| = x2. Observe:


FÍSICA

45

FÍSICAMATEMÁTICA

3. Resolva as seguintes equações:

a) |x + 3| = 7

b) |x – 6| = 2x

c) |x – 1| = 2x + 3

d) |2x – 9| = |3x – 8|

4. Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas, justificando-as:

a) ( ) |–5| = |5|

b) ( ) (–11)2 = |–11|

c) ( ) |42| = |4|2 = 42

d) ( ) |3 · 5| = |3| · |5|

e) ( ) |(–3) + (–5)| |–3| + |–5|

f) ( ) |4 + (–1)| |4| + |–1|

g) ( ) x2 = – x, para x IR

5. Determine as abscissas x dos pontos da reta real, tais que:

a) |x| 5

b) |x| 2

c) |x – 1| 3

d) |3x + 5| 23

6. (OBMEP) Da figura, concluímos que |z − x| + |w − x| é igual a:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

7. Determine o conjunto-solução da equação |x|2 – 6 |x| + 8 = 0.

8. (UFAC) Os números reais x que satisfazem a desigualdade |3x − 3| 6 formam um con-junto que:

a) contém finitos elementos.

b) não contém o número 3.

c) é um intervalo aberto.

d) é um intervalo fechado.

e) é diferente de ] − , 2[.

9. (UEAM) A expressão x · |x| resultará em valo-res positivos:

a) para qualquer x real.

b) para qualquer x positivo.

c) para nenhum x real.

d) para qualquer x negativo.

e) para valores de x maiores que –1.

10. Determine as raízes da equação |x − 3|2 + |x − 3| − 6 = 0.

Desafio

11. (FURG – RS) O conjunto de todos os nú-meros reais x que satisfazem a inequação |x2 – 2| < 1 é:

a) (−1, 3).

b) (− 3 , 3).

c) (−1, 1).

d) (− 3, 0) (0, 3).

e) (− 3,−1) (1, 3).

Função modular

A função modular é definida por f(x) = |x| e, pela definição de módulo, tem-se:

f(x) = x, se x 0–x, se x < 0

, para todo x IR.

Funções II46

2. Com base nos gráficos, responda:

a) Qual o domínio de cada função?

b) Qual o conjunto-imagem da função identidade, ou seja, a função f(x) = y = x?

x y

–2

–1

0

1

2

f(x) = x

Representação gráfica da função modular1. Preencha os quadros e, a seguir, trace os gráficos nos planos cartesianos das funções dadas:

x y

–2

–1

0

1

2

f(x) = |x|

Representação

gráfica de uma

função modular

@MAT1911


FÍSICA

47

FÍSICAMATEMÁTICA

c) Qual o conjunto-imagem da função modular? Justifique:

d) No conjunto-domínio, considerando apenas os números reais negativos, o que se pode afirmar comparando o gráfico da função identidade com o gráfico da função modular?

De modo geral, tem-se:

y = f(x) y = |f(x)|

y = g(x) y = |g(x)|

Funções II48

Nessas condições, será representado o gráfico de f(x) = |x2 – 4|:

a) Determine os zeros da função e as coordenadas do vértice da função y = x2 – 4:

b) Faça o estudo do sinal e verifique em que intervalo no eixo das abscissas a imagem é negativa.

c) Construa o gráfico de y = x2 – 4: d) Esboce o gráfico, com base no anterior, traçando, de forma simétrica, em relação ao eixo x no intervalo em que y < 0, obtendo assim a representação gráfica de f(x) = |x2 – 4|:



1. O gráfico abaixo é da função f(x) = |x|. Nesse mesmo plano, construa o gráfico g(x) = |x| + 1 e h(x) = |x| – 1. Em seguida, faça uma análise dos gráficos:

2. O gráfico abaixo é da função f(x) = |x|. Neste mesmo plano, construa o gráfico g(x) = |x + 1| e h(x) = |x – 1|. Em seguida, compare e analise os gráficos:

Funções II50

3. O gráfico a seguir é da função f(x) = |x|. Neste mesmo plano, construa o gráfico g(x) = |x + 2| – 1, de acordo com as coordenadas encontradas no quadro a seguir:

x g(x)

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

4. O gráfico abaixo é da função f(x) = |x|. Neste mesmo plano, construa o gráfico g(x) = |x – 2| + 1, de acordo com as coordenadas encontradas no quadro a seguir:

x g(x)

–2

–1

0

1

2

3

4


FÍSICA

51

FÍSICAMATEMÁTICA

5. No plano cartesiano, esboce o gráfico das funções:

a) f(x) = |x2|

b) f(x) = |x2 – 1|

c) f(x) = |–x2 + 4x – 3|

d) f(x) = |–x2 – 4x|

6. (UFAP) Dada a função f: R R cuja lei de as-sociação é descrita abaixo por:

–2 – x; se x < – 2

4 – x2; se –2 x 3

|–2 – x|; se 3 < x

f(x) =

a) Determine os pontos de intersecção do grá-fico de f com os eixos coordenados.

b) Faça o gráfico da função f.

c) Determine os conjuntos domínio e imagem da função f.

7. (UDESC) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) = |x + 1| + 2 é:

a)

b)

c)

Funções II52

d)

e)

8. (UFRR) Para que valores de r a função quadrá-tica f (x) = x2 + 2x+ |cos r| intercepta o eixo x em pontos distintos?

a) 0 < r < π ou π < r < 2πb) 0 < r < 1

c) 0 < r < 2πd) 0 r ≤ π ou π < r 2πe) 0 r 2π

9. (UNICAMP) Considere a função f (x) = 2x + |x + p|, definida para x real.

a) A figura abaixo mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p. Determine esse valor.

b) Supondo, agora, que p – 3, determine os valo-res de x que satisfazem a equação f(x) = 12.

10. (EMESCAM – ES) Suponha que a temperatura de um sistema físico dependa do tempo de acordo

com a função T(t) = Tt

=+

4002 1

, sendo o tempo

t medido em segundos e a temperatura dada em graus Celsius. Analise as afirmações abaixo:

I. O domínio matemático da função é

t IR t∈ ≠ −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

|12

.

II. Sendo o tempo t 0 , a temperatura máxi-ma possível fisicamente é de 20oC .

III. A temperatura assume somente valores po-sitivos.

IV. Para valores positivos do tempo, ele pode ser escrito em função da temperatura na forma t = 200 1

22T.

Em relação às afirmações acima, concluímos que:

a) todas as afirmações estão erradas.b) somente as afirmações I e II estão erradas.c) somente a afirmação III está errada.d) somente a afirmação IV está errada. e) nenhuma afirmação está errada.


FÍSICA

53

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Determine o domínio da função:

f(x) = 3 – |x – 2|.

2. (UEAM) O conjunto-solução da inequação |x2 + 2x – 2| – x2 é:

a) ]– , [.

b) .

c) – , – 32

12

, .

d) 12

, .

e) – 32

, 12

.

3. (UEAM) Considere as funções reais f(x) = |–x + 1| e g(x) = log3(x

2). O valor de f(2) + g(3) é:

a) 1. b) 3.

c) 4. d) 6.

e) 9.

4. (IFAL) Com base na equação |x|2 − 6|x| = −log2 256, analise as afirmações a seguir:

I. S = {2, 4}

II. S = {–4, –2, 2, 4}

III. S =

a) Somente a afirmação I é falsa.

b) A afirmação II é verdadeira.

c) As afirmações I e II são falsas.

d) Todas as afirmações são falsas.

e) Não existem afirmações falsas.

5. Quais os valores reais possíveis de x para |x| = |–11|?

6. Seja f : IR* IR dada por f(x) =|x|x

, determine o conjunto-imagem da função.

7. (UFPE) Quantas soluções, no conjunto dos nú-meros reais, a equação |x| + |x – 1| = 3 admi-te?

a) Nenhuma. b) Uma.

c) Duas. d) Três.

e) Quatro.

8. (UFPA) Um professor de Matemática Aplicada enviou a seguinte mensagem ao seu melhor alu-no, um estudante chamado Nicéphoro, que gos-tava muito de desenhar e traçar gráficos:

Prezado Nicéphoro,Estive analisando cuidadosamente aquele

problema de Matemática e percebi que ele é re-gido por uma função pulso-unitário definida por

f(x) = 1; se |x| 10; se |x| 1

Trace, por favor, usando os seus conhecimen-tos, o gráfico desta função e o envie para mim.

Um abraço e saudações matemáticas.Euclides Arquimedes.

Nicéphoro traçou corretamente o gráfico da fun-ção acima e o enviou ao prof. Euclides Arquime-des. O gráfico enviado foi:

a) b)

c) d)

e)

9. Seja f: IR IR dada por f(2x) = |1 − x |, deter-mine os valores de x para os quais Im(x) = {2}.

Funções II54


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MATEMÁTICA

56

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