Séries numéricascritérios de convergência

Prof.a Priscila Savulski FerreiraUniversidade Tecnológica Federal do Paraná

Cálculo Integral

Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 1 / 17

Critérios de convergência e divergência

Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;

Exemplo: assim como ocorre na série geométrica;

Nestes casos, buscamos apenas descobrir se a série é convergente oudivergente.

Veremos alguns critérios para determinar a covergência ou divergênciade séries.

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Critérios de convergência e divergência

Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;

Exemplo: assim como ocorre na série geométrica;

Nestes casos, buscamos apenas descobrir se a série é convergente oudivergente.

Veremos alguns critérios para determinar a covergência ou divergênciade séries.

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Critérios de convergência e divergência

Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;

Exemplo: assim como ocorre na série geométrica;

Nestes casos, buscamos apenas descobrir se a série é convergente oudivergente.

Veremos alguns critérios para determinar a covergência ou divergênciade séries.

Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 2 / 17

Critérios de convergência e divergência

Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;

Exemplo: assim como ocorre na série geométrica;

Nestes casos, buscamos apenas descobrir se a série é convergente oudivergente.

Veremos alguns critérios para determinar a covergência ou divergênciade séries.

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Teste de divergência

TeoremaSe∑

an é convergente, então limn→∞

an = 0

Dem.: Note que dado sn =

n∑i=1

ai temos que an = sn − sn−1.

Além disso, como∑

an é convergente para um valor, por exemplo s, temosque sn → s e sn−1 → s.

Assim,lim

n→∞an = lim

n→∞sn − sn−1 = s− s = 0,

concluindo a demonstração.

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Teste de divergência

TeoremaSe∑

an é convergente, então limn→∞

an = 0

Dem.: Note que dado sn =

n∑i=1

ai temos que an = sn − sn−1.

Além disso, como∑

an é convergente para um valor, por exemplo s, temosque sn → s e sn−1 → s.

Assim,lim

n→∞an = lim

n→∞sn − sn−1 = s− s = 0,

concluindo a demonstração.

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Teste de divergência

TeoremaSe∑

an é convergente, então limn→∞

an = 0

Dem.: Note que dado sn =

n∑i=1

ai temos que an = sn − sn−1.

Além disso, como∑

an é convergente para um valor, por exemplo s, temosque sn → s e sn−1 → s.

Assim,lim

n→∞an = lim

n→∞sn − sn−1 = s− s = 0,

concluindo a demonstração.

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Teste de divergência

TeoremaSe∑

an é convergente, então limn→∞

an = 0

Dem.: Note que dado sn =

n∑i=1

ai temos que an = sn − sn−1.

Além disso, como∑

an é convergente para um valor, por exemplo s, temosque sn → s e sn−1 → s.

Assim,lim

n→∞an = lim

n→∞sn − sn−1 = s− s = 0,

concluindo a demonstração.

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Volta do Teorema

Note que a volta do teorema é falsa, pois por exemplo1n→ 0, mas a série harmônica

∑ 1n

diverge. Logo

an → 0 ;∑

an converge.

Além disso, a contrapositiva nos remete a o primeiro critério:

Critério de divergênciaSe an 9 0, então

∑an diverge.

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Volta do Teorema

Note que a volta do teorema é falsa, pois por exemplo1n→ 0, mas a série harmônica

∑ 1n

diverge. Logo

an → 0 ;∑

an converge.

Além disso, a contrapositiva nos remete a o primeiro critério:

Critério de divergênciaSe an 9 0, então

∑an diverge.

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Exemplo

Verifique se a série converge ou diverge∑π

7n + 1n

.

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Exemplo

Verifique se a série converge ou diverge∑π

7n + 1n

.

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Exercício

Verifique se a série converge ou diverge∑ n2 − 1

4n2 + 7.

Momento de tentar! Pause o vídeo!

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Exercício – resposta

Verifique se a série converge ou diverge∑ n2 − 1

4n2 + 7.

limn→∞

an = limn→∞

n2 − 14n2 + 7

= limn→∞

1− 1/n2

4 + 7/n2 =146= 0, logo, pelo critério de

divergência,∑

an é divergente.

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Exercício

Verifique se a série converge ou diverge∑ en

n2 .

Momento de tentar! Pause o vídeo!

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Exercício – resposta

Verifique se a série converge ou diverge∑ en

n2 .

Considere f (x) =ex

x2 . Assim,

limx→∞

ex

x2

L′H︷︸︸︷= lim

x→∞

ex

2x

L′H︷︸︸︷= lim

x→∞

ex

2=∞ 6= 0.

Logo an →∞ 6= 0 e, pelo critério de divergência,∑

an é divergente.

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Propriedades

PropriedadesConsidere

∑an e

∑bn convergentes e r ∈ IR. Então

a)∑

(an + bn) converge e∑

(an + bn) =∑

an +∑

bn.

b)∑

ran converge e∑

ran = r∑

an.

Dem.: a) Sejam∑

an → sa e∑

bn → sb.

Considere sn =n∑

i=1

(ai + bi) assim,

sn =n∑

i=1

(ai + bi) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + . . .+ (an + bn) =

n∑i=1

ai +

n∑i=1

bi → sa + sb =∑

an +∑

bn.

b) Exercício.

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Propriedades

PropriedadesConsidere

∑an e

∑bn convergentes e r ∈ IR. Então

a)∑

(an + bn) converge e∑

(an + bn) =∑

an +∑

bn.

b)∑

ran converge e∑

ran = r∑

an.

Dem.: a) Sejam∑

an → sa e∑

bn → sb.

Considere sn =n∑

i=1

(ai + bi) assim,

sn =n∑

i=1

(ai + bi) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + . . .+ (an + bn) =

n∑i=1

ai +

n∑i=1

bi → sa + sb =∑

an +∑

bn.

b) Exercício.

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Propriedades

PropriedadesConsidere

∑an e

∑bn convergentes e r ∈ IR. Então

a)∑

(an + bn) converge e∑

(an + bn) =∑

an +∑

bn.

b)∑

ran converge e∑

ran = r∑

an.

Dem.: a) Sejam∑

an → sa e∑

bn → sb.

Considere sn =

n∑i=1

(ai + bi) assim,

sn =n∑

i=1

(ai + bi) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + . . .+ (an + bn) =

n∑i=1

ai +

n∑i=1

bi → sa + sb =∑

an +∑

bn.

b) Exercício.

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Propriedades

PropriedadesConsidere

∑an e

∑bn convergentes e r ∈ IR. Então

a)∑

(an + bn) converge e∑

(an + bn) =∑

an +∑

bn.

b)∑

ran converge e∑

ran = r∑

an.

Dem.: a) Sejam∑

an → sa e∑

bn → sb.

Considere sn =

n∑i=1

(ai + bi) assim,

sn =

n∑i=1

(ai + bi) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + . . .+ (an + bn) =

n∑i=1

ai +

n∑i=1

bi → sa + sb =∑

an +∑

bn.

b) Exercício.

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Exemplo

Verifique se a série∑(

π

n(n + 1)+

13n

)converge ou diverge.

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Testes de convergência – Séries alternadas

TeoremaSe (an) é monótona não-crescente e an → 0 com an > 0, então∑

(−1)nan é convergente.

Podemos reescrever o enunciado do teorema e obter outro teste deconvergência.

Teste da série alternada ou de LeibnizSe an > 0, an+1 ≤ an e lim an = 0, então

a série alternada∑

(−1)nan converge.

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Séries padrões – série harmônica alternada

∑(−1)n+1 1

n

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Séries padrões – série harmônica alternada

Série harmônica alternada∞∑

n=1

(−1)n+1 1n

converge

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Exemplo

Verifique se a sequência∑

(−1)n+1 n2

n3 + 1converge ou diverge.

Considere f (x) =x2

x3 + 1, temos que f ′(x) =

x(2− x3)

(x3 + 1)2 .

Logo, para x > 0, temos que f ′(x) < 0 quando x > 3√

2 e, consequentemente,f é decrescente em ( 3

√2,+∞).

Assim, an é decrescente.

Além disso, an → 0, logoPelo Teste da série alternada ou de Leibniz,

∑(−1)n+1an converge.

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Exemplo

Verifique se a sequência∑

(−1)n+1 n2

n3 + 1converge ou diverge.

Considere f (x) =x2

x3 + 1, temos que f ′(x) =

x(2− x3)

(x3 + 1)2 .

Logo, para x > 0, temos que f ′(x) < 0 quando x > 3√

2 e, consequentemente,f é decrescente em ( 3

√2,+∞).

Assim, an é decrescente.

Além disso, an → 0, logoPelo Teste da série alternada ou de Leibniz,

∑(−1)n+1an converge.

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Exemplo

Verifique se a sequência∑

(−1)n+1 n2

n3 + 1converge ou diverge.

Considere f (x) =x2

x3 + 1, temos que f ′(x) =

x(2− x3)

(x3 + 1)2 .

Logo, para x > 0, temos que f ′(x) < 0 quando x > 3√

2 e, consequentemente,f é decrescente em ( 3

√2,+∞).

Assim, an é decrescente.

Além disso, an → 0, logoPelo Teste da série alternada ou de Leibniz,

∑(−1)n+1an converge.

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Exemplo

Verifique se a sequência∑

(−1)n+1 n2

n3 + 1converge ou diverge.

Considere f (x) =x2

x3 + 1, temos que f ′(x) =

x(2− x3)

(x3 + 1)2 .

Logo, para x > 0, temos que f ′(x) < 0 quando x > 3√

2 e, consequentemente,f é decrescente em ( 3

√2,+∞).

Assim, an é decrescente.

Além disso, an → 0, logoPelo Teste da série alternada ou de Leibniz,

∑(−1)n+1an converge.

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Exemplo

Verifique se a sequência∑

(−1)n+1 n2

n3 + 1converge ou diverge.

Considere f (x) =x2

x3 + 1, temos que f ′(x) =

x(2− x3)

(x3 + 1)2 .

Logo, para x > 0, temos que f ′(x) < 0 quando x > 3√

2 e, consequentemente,f é decrescente em ( 3

√2,+∞).

Assim, an é decrescente.

Além disso, an → 0, logoPelo Teste da série alternada ou de Leibniz,

∑(−1)n+1an converge.

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Testes de convergência – Critério da comparação

Critério de comparaçãoSejam

∑an e

∑bn séries de termos não-negativos. Se existe

c > 0 e n0 ∈ IN tais que an ≤ cbn, para todo n > n0, então

a) a convergência de∑

bn implica na convergência de∑

an;

b) a divergência de∑

an implica na divergência de∑

bn.

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Exemplo

Verifique se a sequência∑ ln n

nconverge ou diverge.

Note queln nn

>1n> 0,

como∑ 1

né a série harmônica divergente,

temos pelo critério de comparação que a série∑ ln n

ntambém diverge.

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Exemplo

Verifique se a sequência∑ ln n

nconverge ou diverge.

Note queln nn

>1n> 0,

como∑ 1

né a série harmônica divergente,

temos pelo critério de comparação que a série∑ ln n

ntambém diverge.

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Exemplo

Verifique se a sequência∑ ln n

nconverge ou diverge.

Note queln nn

>1n> 0,

como∑ 1

né a série harmônica divergente,

temos pelo critério de comparação que a série∑ ln n

ntambém diverge.

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Exemplo

Verifique se a sequência∑ ln n

nconverge ou diverge.

Note queln nn

>1n> 0,

como∑ 1

né a série harmônica divergente,

temos pelo critério de comparação que a série∑ ln n

ntambém diverge.

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Referências

Guidorizzi, H. L., Um curso de Cálculo, V. 4,Livros Técnicos e Científicos Ed. Ltda, 5a edição (2002).

Stewart, J., Cálculo, V. 2,São Paulo: Cengage Learning, 7a edição (2013).

Lima, Elon L., , Análise Real, V. 1,IMPA: RJ, 12a edição (2017).

Lima, Elon L., , Curso de Análise, V. 1,IMPA: RJ, 14a edição (2017).

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