SÉRIES

NUMÉRICAS

Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma “regra” , uma lei de formação.Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia.Exemplos:

2,10,12,16,17,18,19, ?

2,4,6,8,10, ?

2,4,8,16,32, ?

Séries Numéricas

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.O número r é chamado de razão da progressão aritmética.Alguns exemplos de progressões aritméticas:Ø 1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma P.A em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3.

Ø -2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que r = -2.

Ø 6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.

Progressão Aritmética

Exemplo

Na série (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, ...)r = a2 – a1 = 9 – 5 = 4 ou

r = a3 – a2 = 13 – 9 = 4 ou r = a4 – a3 = 17 – 13 = 4

e assim por diante.

DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um termo qualquer pelo seu antecessor.

TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo

Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência.

Atenção!

a20 = a1 + 19r ou a20 = a7 + 13r ou a20 = a14 + 6r

TERMO GERAL ou MÉDIONuma progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,

Exemplos:Na P.A (2, 4, 6, 8, 10,...) veremos que:

DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é a média dos seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo central.Além disso a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.

Progressão Aritmética

SOMA DOS “n” TERMOSSendo n o número de termos que se deseja somar, temos:

DICA: Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último termos , multiplicada pelo número de casais (n/2).

PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA

Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q.

O número q é chamado de razão da progressão geométrica.

Progressão Geométrica

Alguns exemplos de progressões geométrica:s

Ø1, 2, 4, 8, 16, ..., é uma P.G em que a razão é igual a 2.

Ø-1, -3, -9, -27, -81, ..., é uma P.G. em que q = 3.

Ø6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.G. com q = 1.

Ø(3, 9, 27, 81, 243, ...) → é uma P.G Crescente de razão q = 3Ø(90, 30, 10, 10/3, ...) → é uma P.G Decrescentede razão q= 1/3

Exemplo

Na série(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...)

q = a2 / a1 = 2/1 = 2 ou q = a3 /a2 = 4/2 = 2 ou

q = a4 /a3 = 8/4= 2e assim por diante.

DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada dividindo um termo qualquer pelo seu antecessor.

TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo

Numa P.G. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência.

Atenção!

a20 = a1q19 ou a20 = a7.q13 ou a20 = a14.q6 ou a20 = a18.q2

TERMO GERAL ou MÉDIONuma progressão geométrica, a partir do segundo termo, o termo central é a média geométrica do termo antecessor e do sucessor, isto é,

ExemploNa P.G (2,4,8,16,...) veremos que :

DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.G, o termo central é a média geométrica dos seus dois vizinhos, ou seja, o produto dos extremos é o quadrado do termo central.

SOMA DOS FINITOS TERMOS

Caso deseja-se a soma de uma quantidade exata de termos, usaremos:

SOMA DOS INFINITOS TERMOS

Para calcular a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P.G usaremos:

DICA: Essa fórmula é usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade infinita de termos e também quando temos 0 < q < 1.

COMO A BANCA CESPE COBRA

ISSO?

Se, em uma progressão aritmética, o segundo termo for igual a 1 e o quinto termo for igual a 11, então o décimo termo será igual a

a) 30.b) 31.c) 35.d) 50.e) 95.

CESPE

A sequência infinita: a0, a1, a2, a3, ... é definida por: a0 = 1, a1 = 3 e, para cada número inteiro n ≥ 1, a2n = a2n-1 + a2n-2, e a2n+1 = a2n - a2n-1.

Com relação a essa sequência, julgue o item seguinte.A soma a10 + a9 é superior a 20.

Certo Errado

CESPE

Com relação a uma sequência numérica a1, a2, …, an, julgue o item subsequente.Se a sequência estiver em progressão aritmética com razão igual a 10 e a1 = 5, então a10

> 100.CertoErrado

CESPE

Com relação a uma sequência numérica a1, a2, …, an, julgue o item subsequente.Se a sequência for uma progressão geométrica (PG), em que a1 = 5 e a4 = 135, então a

razão dessa PG será maior que 4.Certo Errado

CESPE

Com relação a uma sequência numérica a1, a2, …, an, julgue o item subsequente.Se a sequência for uma sequência de Fibonacci, em que a1 = 4 e a2 = 9, então a6 = 57.Certo Errado

CESPE

Com relação a uma sequência numérica a1, a2, …, an, julgue o item subsequente.

Considere que a sequência seja formada pelos seguintes termos, nessa ordem: 10, 12, 15, 19, 24, 30, 37. Nesse caso, a sequência numérica bj = aj + 1 - aj , em que j = 1, 2, …, 6 forma uma progressão aritmética.

Certo

Errado

CESPE

MATRIZES

Uma matriz m x n é um quadro de elementos dispostos em m linhas e n colunas.Os valores de m e n são sempre positivos e inteiros.

M = à M é uma matriz 2 x 3.

Cada elemento da matriz é indicado por aij, onde “i” refere-se à linha e “j” refere-se à coluna na qual o elemento se encaixa. Na matriz, temos :

a11 = 4 a12 = 9 a13 = 10a21 = 8 a22 = 6 a23 = 5

DEFINIÇÃO

ELEMENTOS

TIPOS DE MATRIZES

Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais.

Igualdade de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B, o mesmo ocorre para a subtração.A única necessidade é que as matrizes sejam do mesmo tamanho nxm.

Adição e subtração de matrizes

üMultiplicação de número real por matriz

Dada uma matriz A e um número real k, denomina-se multiplicação de matriz por escalar (numero real K), a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k. Observe como exemplo a determinação da matriz.

üMultiplicação de matrizes

Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos.

Exemplo Resolvido

ATENÇÃO: O produto entre duas matrizes A e B é definido se e somente se, o número de colunas da matriz A for igualao numero de linhas da matriz B. Assim:

ATENÇÃO

O produto entre duas matrizes A e B é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

Uma matriz quadrada A, é dita invertível quando existe outra matriz denotada A-1, tal que A. A-1 = I onde I, é a matriz identidade.

DEFINIÇÃO

MATRIZ INVERSA

MÉTODO PRÁTICOÉ necessário calcular o determinante da matriz (caso o determinante de igual a zero, não existe matriz inversa para ela). Em seguida basta inverter a ordem dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária.

MÉTODO PP-SS :Inverte a POSIÇÃO da PRINCIPAL e muda o SINAL da SECUNDÁRIA

Determine a inversa da matriz A =

DETERMINANTES

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:üresolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;ücálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Definição DETERMINANTE

O determinante da matriz A de ordem 1 é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real a11.

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Determinante de 1ª ordem

Exemplo Resolvido

ØM= [5] à det M = 5 ou I 5 I = 5

ØM = [-3] à det M = -3 ou I -3 I = -3

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

Determinante de 2ª ordem

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Determinante de 2ª ordem

O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

Determinante de 3ª ordem

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

ØQuando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

ØSe duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

ØSe os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

ØO determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

ØMultiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

ØCaso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.

ØQuando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

ØQuando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

ØPara A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos que det (A.B)=det A.detB.

Exemplo: Se A = e B =

Assim det (AB) = detA.det B= 5.2 = 10Repare que se tivessemos feito a multiplicação matricial A.B = , teríamos det( AB) = 32 – 22 = 10 .

ØPara calcular o determinante da inversa , temos :

Se A = , logo

CUIDADO

MATRIZES E DETERMINANTES

Considere que k seja um número real e que o determinante da matriz seja igual a 27. Nesse caso, se , então o determinante da matriz B - A, será igual a

a) 30.b) 0.c) 3.d) 6.e) 10.

Julgue o item que se segue, relativo a matriz e sistema linear.Se P for uma matriz simétrica, então P será inversível.CertoErrado

Julgue o item que se segue, relativo a matriz e sistema linear.Se a é um número real e se o determinante da matriz for igual a zero, então a = -2 ou a = 1.Certo Errado

Julgue o item que se segue, relativo a matriz e sistema linear.Se 0 é a matriz nula n × n, se I é a matriz identidade n × n, e se P é uma matriz n × n tal que P2 + 2P + I = 0, então P é inversível.

CertoErrado