Subgrupos geom´etricos e seus comensuradores em grupos de ... · Introdu¸c˜ao Os grupos de...

Subgrupos geométricos e seus

comensuradores em grupos

de tranças de superf́ıcie

Oscar Eduardo Ocampo Uribe

Dissertação apresentada

ao

Instituto de Matemática e Estat́ıstica

da

Universidade de São Paulo

para

obtenção do t́ıtulo

de

Mestre em Ciências

Programa: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Daciberg Lima Gonçalves

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux́ılio financeiro da

CAPES/CNPq

São Paulo, março de 2009

Subgrupos geométricos e seus

comensuradores em grupos

de tranças de superf́ıcie

Este exemplar corresponde à redação

final da dissertação devidamente corrigida

e defendida por Oscar Eduardo Ocampo Uribe

e aprovada pela Comissão Julgadora.

Banca Examinadora:

• Prof. Dr. Daciberg Lima Gonçalves (orientador) - IME-USP.

• Prof. Dr. Tomas Edson Barros - DM-UFSCar.

• Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto - ICMC-USP.

Resumo

Seja BmM o grupo de tranças com m cordas sobre uma superf́ıcie M e seja N

uma subsuperf́ıcie de M . Estudaremos inicialmente condições necessárias e suficientes

para as quais BnN é um subgrupo de BmM (m podendo ser diferente de n), isto é,

se considerarmos a inclusão i : N →֒ M , queremos estabelecer condições sobre M e N

para que a aplicação induzida i∗ : BnN → BmM seja injetora. Em seguida, sob certas

hipóteses para N e M calcularemos o comensurador, normalizador e centralizador de

BnN em BmM , sendo esse o objetivo principal desta dissertação.

Palavras chave: Grupos de tranças; subgrupos geométricos; comensurador; sequência

de Fadell-Neuwirth; grupos de tranças de superf́ıcie.

Abstract

Let Bm(M) be the braid group with m strings on a surface M and let N be a

subsurface of M . We will study the necessary and sufficient conditions out of which

Bn(N) is a subgroup of Bm(M) (m can be different of n), it means, if we consider

the inclusion i : N →֒ M , we would like to establish conditions for M and N for

the induced application i∗ : BnN → BmM should be injective. After that, under

some certain conditions for M and N we will calculate the commensurator, normalizer

and centralizer of Bn(N) in Bm(M), being this one the principal objective of this work.

Keywords: Braid groups; geometric subgroups; commensurator; Fadell-Neuwirth se-

quence; surface braid groups.

i

Sumário

Introdução v

1 Preliminares 1

1.1 Grupos de tranças de superf́ıcies e espaços de configuração . . . . . . . 1

1.2 Torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 O subgrupo comensurador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Resultados básicos 13

2.1 Centros e superf́ıcies grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Subsuperf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Centros dos grupos de tranças do cilindro e do toro . . . . . . . . . . . 19

3 Comensurador, normalizador e centralizador de π1N em π1M 25

3.1 Grafos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Comensurador, normalizador, e centralizador de BnD em BmM 38

4.1 Definições e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Comensurador, normalizador, e centralizador de BnN em BmM 50

5.1 Ação de π1N sobre Π1(M \ {P0}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Prova do Teorema 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

ii

6 Considerações finais 75

6.1 Casos remanescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.1.1 A esfera S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.1.2 O plano projetivo P 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1.3 Outros casos interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.1.4 Casos remanescentes (como subgrupos geométricos) . . . . . . . 79

6.2 Subgrupos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.1 Alguns casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7 Anexo 83

Referências Bibliográficas 88

iii

Agradecimentos

Gostaria de agradecer ao professor Daciberg pela orientação, disponibilidade e conhe-

cimentos transmitidos e ao professor John Guaschi, da Universidade de Caen, pela

motivação no estudo da teoria de tranças, pelas discussões dos assuntos da dissertação

tanto na sua estada no Brasil como à distância, assim como pela incansável revisão

desta dissertação.

Agradeço ao professor Raul Ferraz por sua valiosa ajuda em algumas questões

algébricas. Aos professores e alunos do grupo de topologia algébrica do IME, em

particular às professoras Lućılia Borsari e Fernanda Cardona, e ao Anderson por suas

pertinentes correções de português.

Quero registrar também minha gratidão à professora Débora Tejada, da Universidad

Nacional de Colombia, por me “apresentar” à topologia algébrica.

Fico eternamente agradecido à minha famı́lia, cujo apoio e ajuda foram impres-

cind́ıveis para esta conquista.

Finalmente, a todas as pessoas e amigos que de uma forma ou outra colaboraram

neste processo quero lhes dizer obrigado e “muchas gracias a todos”.

iv

Introdução

Os grupos de tranças do plano E2 foram definidos por Artin [1], e muito estudados

em [2, 3]. Posteriormente, eles foram generalizados usando a definição dada por Fox

(com a noção de espaço de configuração) a espaços topológicos arbitrários [15]. Em [5],

Birman provou que se M r é uma variedade conexa de dimensão r ≥ 3, então a teoria de

tranças é de pouco interesse, no sentido da Proposição 1.2 deste trabalho. Os grupos de

tranças de superf́ıcies compactas, conexas sem bordo tem sido amplamente estudados;

tais grupos são finitamente apresentados, e apresentações destes foram inicialmente

obtidas em [5, 30].

O grupo de m-tranças de uma superf́ıcie M surge da seguinte forma: escolha um

conjunto P(m) de m pontos distinguidos sobre M . Construa tranças sobre M × I as

quais começam em P(m) × 0 e terminam em P(m) × 1. A composição de tranças é

definida por concatenação e re-escalamento. As deformações permitidas são homoto-

pias de cordas individuais que, durante estas, cordas distintas nunca se intersectam.

Existe um homomorfismo natural do grupo de tranças BmM no grupo simétrico de m

elementos, e seu núcleo é o grupo de tranças puras PBmM .

Este trabalho estuda certos subgrupos de BmM e PBmM . Se H é um subgrupo de

um grupo G, denotaremos por NG(H), ZG(H) o normalizador e o centralizador de H

em G, respectivamente. O comensurador de H em G, denotado por CG(H), é formado

pelos elementos g ∈ G tais que gHg−1 ∩H tem ı́ndice finito em gHg−1 e em H . Nosso

principal interesse será estudar os seguintes objetos: o comensurador, normalizador e

centralizador em BmM do grupo de tranças BnN de certas subsuperf́ıcies N ⊂ M .

Para isto, dividimos este trabalho em sete caṕıtulos. No Caṕıtulo 1 revisaremos

v

algumas noções gerais da teoria de tranças, assim como resultados conhecidos sobre

apresentações destes grupos, a existência de elementos de torção e a identificação dos

casos especiais onde sabe-se que BmM é finito. No final deste caṕıtulo faremos uma

discussão sobre o subgrupo comensurador de um grupo dado.

Um rápido estudo sobre superf́ıcies e subsuperf́ıcies, com relação aos grupos de

tranças, será abordado no Caṕıtulo 2. Mostraremos que para quase todas as superficies

compactas (tem um numero finito e pequeno de exceções), o centro do grupo de tranças

é trivial. Seja BmM o grupo de tranças com m cordas sobre uma superf́ıcie M e seja

N uma subsuperf́ıcie de M . Estabeleceremos condições necessárias e suficientes para

as quais BnN é um subgrupo de BmM (m podendo ser diferente de n); tais subgrupos

são conhecidos como subgrupos geométricos de BmM . Também no segundo caṕıtulo

descreveremos os centros dos grupos de tranças do cilindro e do toro.

Nos três caṕıtulos seguintes desta dissertação concentraremos nossa atenção no

estudo dos subgrupos comensurador, normalizador e centralizador de BnN em BmM ,

sempre com a condição que nenhuma componente conexa deM \N seja um disco. Para

isso usamos três ferramentas (teorias) distintas que foram separadas em caṕıtulos.

No Caṕıtulo 3 usamos teoria de grafos de grupos para calcular tais subgrupos no

caso em que m = n = 1 e sem mais condições para M e N . Já no Caṕıtulo 4 introduzi-

remos a noção de túnel geométrico sobre uma superf́ıcie para calcular estes subgrupos

com a condição que M seja uma superf́ıcie orientada diferente da esfera e N seja um

disco mergulhado em M . No Caṕıtulo 5 consideraremos M uma superf́ıcie grande e N

tal que, além de M \N não ter componentes conexas que sejam discos, não seja um

colarinho de Möbius em M . Como antes, introduziremos um novo objeto geométrico

que chamaremos de interbraid e sob as condições mencionadas, com ajuda de um certo

grupóide, calcularemos os subgrupos comensurador, normalizador e centralizador em

BmM do grupo de tranças BnN .

Já no Caṕıtulo 6, comentaremos alguns casos remanescentes, deixando claro quais

foram os varios casos não considerados no artigo [27], base deste trabalho. Revisamos

também alguns subgrupos geométricos do grupo fundamental de uma superf́ıcie, bem

vi

como uma relação de certos subgrupos do grupo de tranças de uma superf́ıcie M com

o grupo fundamental de uma superf́ıcie perfurada obtida a partir de M .

Para finalizar, no último caṕıtulo, provaremos um par de resultados obtidos no

trabalho dos comensuradores quando o grupo é π1M , onde M é uma superf́ıcie com-

pacta. Neste caṕıtulo temos também uma aplicação, dos subgrupos comensuradores

calculados, à teoria de representações de grupos unitária. Esta aplicação foi inspirada

no trabalho de D. Rolfsen ([29]) relacionado com os grupos comensuradores de grupos

de tranças clássicos.

vii

Caṕıtulo 1

Preliminares

Neste caṕıtulo estabeleceremos alguns conceitos básicos na teoria de tranças, bem como

outros resultados algébricos necessários para o bom desenvolvimento deste trabalho.

Para uma leitura inicial desta teoria recomendamos [24, 26], livros que involvem as-

pectos geométricos e algébricos, usando pontos de vista diferentes.

1.1 Grupos de tranças de superf́ıcies e espaços de

configuração

Seja M uma variedade topológica e escolhamos {P1, P2, ..., Pm}, m pontos distintos

em M . Por todo este trabalho convencionaremos que os pontos escolhidos sempre

pertencem ao interior de M . Uma trança com m cordas sobre M , baseada em

(P1, P2, ..., Pm), é uma m-upla b = (b1, b2, ..., bm) de caminhos, bi : [0, 1] −→ M , tais

que

1) bi(0) = Pi e bi(1) ∈ {P1, ..., Pm}, para todo i ∈ {1, ..., m},

2) bi(t) 6= bj(t), para todos i, j ∈ {1, ..., m} i 6= j, e para todo t ∈ [0, 1].

Daremos, a seguir, uma outra definição de trança sobre uma superf́ıcie M em ter-

mos de uma coleção de cordas sobre o produto M × [0, 1]. Como antes, escolhamos

{P1, P2, ..., Pm}, m pontos distintos em M , e denotemos, para i = 1, 2, . . . , n, Pi × {0}

1

1.1 Grupos de tranças de superf́ıcies e espaços de configuração 2

sobre M × {0} por Ai e Pi × {1} sobre M × {1} por Bi. Agora, juntemos n cordas

entre os pontos {A1, . . . , Am} e {B1, . . . , Bm} em M × [0, 1], mas com a condição que

para qualquer superf́ıcie de ńıvel dada M ×{t}, com 0 ≤ t ≤ 1, existam exatamente m

pontos de interseção. Esta configuração de m cordas é chamada uma m-trança em M .

Proposição 1.1. As duas definições de tranças dadas são equivalentes.

Demonstração: Sejam M uma superf́ıcie e escolhamos m pontos distintos em M ,

digamos {P1, P2, ..., Pm}. Seja b = (b1, b2, ..., bm) uma trança com m cordas, então

bi : [0, 1] −→ M é um caminho em M , para todo i ∈ {1, . . . , m}. Cada caminho bi,

para i ∈ {1, . . . , m}, pode ser visto como uma corda em M × [0, 1] que começa em

Pi × {0} e termina em bi(1) × {1}, parametrizando pela altura, assim:

di(t) = (bi(t), t), para todo t ∈ [0, 1].

Temos assim uma coleção {d1, . . . , dm}, formada por m cordas em M × [0, 1], entre

os pontos {(P1, 0), (P2, 0), ..., (Pm, 0)} e os pontos {(b1(1), 1), (b2(1), 1), ..., (bm(1), 1)}.

Pela Condição 2) temos que bi(t) 6= bj(t), para todo i, j ∈ {1, . . . , m} e para todo

t ∈ [0, 1], portanto para qualquer superf́ıcie de ńıvel dada M × {t}, com 0 ≤ t ≤ 1,

existem somente m pontos de interseção. Logo, tal configuração de cordas é uma

m-trança sobre M .

Reciprocamente, dada uma m-trança sobre M , pela definição em termos de uma

coleção de cordas sobre o produto M × [0, 1], é claro que se projetarmos M × [0, 1]

sobre M × {0}, a coleção de cordas define uma coleção de caminhos satisfazendo as

condições 1) e 2) descritas na definição inicial.

Dada umam-trança sobreM baseada em (P1, P2, ..., Pm), digamos b = (b1, b2, ..., bm),

podemos associar uma permutação de {P1, P2, ..., Pm}, que chamaremos de permutação

de tranças associada a b, assim: Pi 7→ bi(1), para todo i ∈ {1, . . . , m}. Tal aplicação é

de fato uma permutação pois bi(1) 6= bj(1), para todo i, j ∈ {1, . . . , m} em virtude da

Condição 2) estabelecida na definição de tranças.


Existe uma noção natural de homotopia de tranças. Diremos que duas tranças com

m cordas sobre M , digamos a = (a1, . . . , am), b = (b1, . . . , bm), e mesma permutação τ

são homotópicas se existirem m aplicações continuas

Fi : [0, 1] × [0, 1] −→ M, 1 ≤ i ≤ m, tais que,

• para todo 0 ≤ t ≤ 1 e para todo 1 ≤ i ≤ m tem-se que Fi(t, 0) = ai(t) e

Fi(t, 1) = bi(t),

• para todo 0 ≤ s ≤ 1 e para todo 1 ≤ i ≤ m tem-se que Fi(0, s) = Pi e Fi(1, s) =

ai(1) = bi(1),

e tais que se definimos csi : [0, 1] −→ M por csi (t) = Fi(t, s), então c

s = {cs1, . . . , csm} é

uma trança (com permutação τ) para cada 0 ≤ s ≤ 1.

Homotopia de tranças é uma relação de equivalência, o grupo de tranças com m

cordas sobre M (com ponto base (P1, . . . , Pm)) é o grupo

BmM = BmM(P1, . . . , Pm)

de classes de homotopia de tranças baseadas em (P1, . . . , Pm). A operação de grupo

é a concatenação de tranças, generalizando a construção do grupo fundamental. De

fato, para m = 1 temos claramente

B1(M)(P1) = π1(M,P1).

Para m > 1 é útil considerar a classe de tranças puras, que tem a propriedade

bi(1) = Pi. Estas formam um subgrupo de BmM que denotaremos por

PBmM = PBmM(P1, . . . , Pm)

e o chamaremos o grupo de tranças puras com m cordas sobre M (com ponto base

(P1, . . . , Pm)).

Seja Σm o grupo de permutações de {P1, . . . , Pm}. Existe um epimorfismo natural

σ : BmM −→ Σm; seu núcleo é o grupo de tranças puras, portanto temos uma sequência

exata

1 // PBmM // BmMσ

// Σm // 1.


Observemos que, se M é uma variedade conexa de dimensão pelo menos dois,

então BmM e PBmM não dependem (a menos de isomorfismo) da escolha dos pontos

P1, . . . , Pm. Uma m-trança naturalmente dá lugar a m caminhos diferentes em M sob a

aplicação b 7→ (b1, . . . , bm). No caso das tranças puras tais caminhos são laços, portanto

existe um homomorfismo natural

θ : PBmM −→ π1(M,P1) × · · · × π1(M,Pm) ∼= π1(Mm, (P1, . . . , Pm)),

onde Mm denota o produto cartesiano de M , m vezes.

A seguinte proposição é provada em [5].

Proposição 1.2. Se M é uma variedade conexa com dim(M) > 2, a aplicação θ é um

isomorfismo. Para dim(M) = 2, θ é sobrejetora.

Tal prova usa a noção de espaços de configuração para descrever grupos de tranças

(ver [12, 15, 24].) Denotemos por FmM o espaço de configuração de pontos ordenados

de M , em outras palavras, FmM = (Mm \ V ), onde V é a grande diagonal, formada

pelas m-uplas x = (x1, . . . , xm) tais que xi = xj , para algum i 6= j. Se M é uma

superf́ıcie temos que FmM é uma variedade de dimensão 2m. Da própria definição de

FmM temos claramente um isomorfismo

PBmM ∼= π1(FmM).

Por causa da Proposição 1.2, a teoria de tranças (como feita aqui) é de pouco

interesse para dimensão ≥ 3 e concentraremos nossa atenção sobre dimensão dois, isto

é, grupos de tranças de superf́ıcies.

No restante deste trabalho, M denotará uma superf́ıcie conexa, podendo ser

com bordo, assim como não orientável. Para evitar patologias assumiremos

que M é compacta, ou pelo menos que é uma variedade compacta “perfu-

rada”, ou seja, M é homeomorfa a uma 2-variedade compacta, eventualmente com um

conjunto finito de pontos removidos do interior de M .

Existe uma ação natural de Σm sobre FmM , que permuta as coordenadas. Esta

ação é livre e portanto FmM é um revestimento de FmM/Σm. Denotaremos o espaço


de órbitas, chamado de espaço de configuração de pontos não ordenados (ou espaço de

m-uplas não ordenadas), por

F̂mM = FmM/Σm.

Podemos ver o grupo de tranças completo como o grupo fundamental

BmM ∼= π1(F̂mM).

A inclusão PBmM ⊆ BmM pode ser interpretada como a aplicação induzida pela

aplicação de revestimento FmM −→ F̂mM , que tem fibra Σm. Fox e Neuwirth perce-

beram que BmD2, o grupo de m-tranças do disco D2, coincide com o grupo de tranças

de Artin.

Uma das ferramentas mais usadas quando se estudam grupos de tranças é a fibração

de Fadell-Neuwirth e suas generalizações, ver por exemplo [12, 19, 24]. Como observado

em [12], se M é uma variedade e 1 ≤ n < m, a aplicação ρ : FmM −→ FnM definida

por

ρ(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn)

é uma fibração (localmente trivial) com fibra

Fm−n(M \ {P1, . . . , Pn}).

Dáı temos uma sequência longa exata de grupos de homotopia destes espaços.

A superf́ıcie perfurada M \{P1, . . . , Pm−1} (m ≥ 2) tem o mesmo tipo de homotopia

de um complexo 1-dimensional. Mostraremos que isto é verdade:

πk(FmM) ∼= πk(Fm−1M) ∼= · · · ∼= πk(M), k ≥ 3,

e π2(FmM) ⊆ π2(Fm−1M) ⊆ · · · ⊆ π2(M).

De fato, a sequência longa exata em homotopia associada com a fibração de Fadell-

Neuwirth para n = m− 1 tem a forma

· · · −→ πk+1(Fm−1M) −→ πk(M \ {P1, . . . , Pm−1}) −→ πk(FmM)


−→ πk(Fm−1M) −→ πk−1(M \ {P1, . . . , Pm−1}) −→ · · ·

Se k = 2, temos um monomorfismo π2(FmM) −→ π2(Fm−1M). Se k > 2, temos um

isomorfismo πk(FmM) −→ πk(Fm−1M). Daqui segue o resultado desejado.

Como casos excepcionais na teoria geral temos a esfera S2 e o plano projetivo P 2,

já que estas são as únicas superf́ıcies que existem com grupos de homotopia não triviais

para ńıveis altos.

Proposição 1.3. Suponha que M é uma superf́ıcie conexa, M 6= S2, P 2 e k ≥ 2.

Então, πk(FmM) e πk(F̂mM) são grupos triviais.

Demonstração: Como FmM −→ F̂mM é uma aplicação de revestimento é suficiente

provar a proposição para FmM . Mas isto segue pelas observações feitas acima, já que

πk(M) = {1} para k ≥ 2.

Juntando isto com a fibração de Fadell-Neuwirth obtemos a seguinte, que chama-

remos de sequência exata de tranças puras:

Proposição 1.4. Suponha que M é uma superf́ıcie conexa, M 6= S2, P 2, e 1 ≤ n < m.

Existe uma sequência exata

1 // PBm−n(M \ {P1, . . . , Pn}) // PBmMρ∗

// PBnM // 1 .

Demonstração: Segue imediatamente da sequência longa exata de grupos de homo-

topia associada com a fibração de Fadell-Neuwirth.

Observação 1.5. 1. No caso da superf́ıcie S2 a sequência exata da Proposição 1.4

é também válida se n ≥ 3, e para a superf́ıcie P 2 é válida se n ≥ 2.

2. A aplicação ρ∗ da Proposição 1.4 pode ser vista como a induzida por uma aplicação

geométrica que esquece as últimas m− n cordas da trança.

3. É provado em [18] que a sequência exata de tranças puras, para M superf́ıcie

compacta, orientável, conexa e de genus maior ou igual a dois cinde se, e somente

1.2 Torção 7

se, n = 1. No caso em que M = P 2, em [19], é provado que tal sequência não

cinde se n ≥ 3. Além disso, se n ≥ 3 é provado que Fm(P2) −→ Fn(P

2) não

admite seção.

Sejam Σn o grupo de permutações de {P1, . . . , Pn} e Σm−n o grupo de permutações

de {Pn+1, . . . , Pm}. A aplicação de Fadell-Neuwirth proporciona uma fibração (local-

mente trivial)

ρ̂ : FmM/(Σn × Σm−n) −→ FnM/Σn = F̂nM,

com fibra (Fm−nM \ {P1, . . . , Pn})/Σm−n = F̂m−nM \ {P1, . . . , Pn}. Portanto:

Proposição 1.6. Suponha que M é uma superf́ıcie conexa, M 6= S2, P 2 e 1 ≤ n < m.

Existe uma sequência exata

1 // Bm−n(M \ {P1, . . . , Pn}) // σ−1(Σn × Σm−n) // BnM // 1 .

Observamos que Σn×Σm−n se identifica a um subgrupo de Σm, e que σ−1(Σn×Σm−n)

se denota por Bn,m−n(M).

1.2 Torção

Exceto para M = S2, P 2, o espaço de configuração F̂m(M) é um espaço de Eilenberg-

MacLane, ou seja, um espaço do tipo K(π, 1) com π = Bm(M) e portanto é um espaço

classificante para Bm(M). Usando a Proposição 2.2 e o Corolário 2.5 do Caṕıtulo

VIII de [7], temos que para um grupo com elementos de ordem finita o seu espaço

classificante é um complexo de dimensão infinita. Como F̂m(M) tem dimensão finita,

então temos a seguinte,

Proposição 1.7. Se M é uma superf́ıcie conexa, M 6= S2, P 2, então seus grupos de

tranças Bm(M) não tem elementos de ordem finita.

Os grupos de tranças de S2 e P 2 tem torção (com a exceção do grupo trivial B1(S2)).

Faremos uma rápida revisão disso seguindo [13, 33]. Para S2 tomemos todos os pontos

1.2 Torção 8

base num disco D2 ⊆ S2 e sejam σ1, . . . , σm−1 os geradores de trança padrão para

Bm(D2). Eles geram as relações de tranças clássicas

(∗)

σiσj = σjσi, |i− j| ≥ 2;

σiσi+1σi = σi+1σiσi+1, 1 ≤ i ≤ m− 2.

Os mesmos σi podem ser tomados como geradores de Bm(S2), eles ainda satisfa-

zem as relações (∗). A palavra σ1σ2 · · ·σm−1σm−1 · · ·σ2σ1 pode ser vista como uma

trança (pura) na qual P1 circula ao redor dos pontos P2, . . . , Pm, enquanto esses pontos

permanecem fixos. Esta trança é homotópica à trança identidade, portanto temos a

relação adicional

σ1σ2 · · ·σm−1σm−1 · · ·σ2σ1 = 1.

É mostrado em [13] que esta relação junto com (∗) são relações que definem Bm(S2).

O elemento τ = σ1σ2 · · ·σm−1 tem ordem 2m em Bm(S2), ver [13, 26].

Para o plano projetivo tomemos os σi como acima, correspondentes ao disco com os

pontos base no interior, e seja ρj uma trança na qual o ponto base Pj percorre um laço

não trivial em P 2 enquanto os outros pontos base permanecem fixos. Em [33], tem-se

uma descrição precisa e uma prova que Bm(P2) é apresentado pelos 2m− 1 geradores

σ1, . . . , σm−1, ρ1, . . . , ρm e relações (∗) junto com

σiρj = ρjσi, j 6= i, i+ 1,

ρi = σiρi+1σi,

σ2i = ρ−1i+1ρ

−1i ρi+1ρi,

ρ21 = σ1σ2 · · ·σm−1σm−1 · · ·σ2σ1.

O elemento τ como definido acima, mas considerado como um elemento de Bm(P2),

de novo tem ordem 2m, além disso tal elemento gera o centro de Bm(P2), ver [33].

Temos assim o teorema de Van Buskirk, que para cada m ≥ 2, o grupo de tranças de

superf́ıcie BmM tem elementos de ordem finita se, e somente se, M = S2 ou P 2.

Além disso é provado que os unicos grupos de tranças finitos são B1(P2), B2(P

2),

B2(S2), B3(S

2) e claramente B1(S2) que é trivial. De fato:

1.3 O subgrupo comensurador 9

• B2(S2) é isomorfo a Z2,

• B3(S2) tem ordem 12, é isomorfo ao produto semi-direto Z3 ⋊ Z4, onde a ação é

a não trivial,

• B1(P2) é isomorfo a Z2,

• B2(P2) é grupo de ordem 16, isomorfo ao grupo dos quaternios generalizados

Q16 e cujo subgrupo de tranças puras é isomorfo com o grupo dos quatêrnios

{±1,±i,±j,±k}.

Logo, para m ≥ 3 temos que Bm(P2) e Bm+1(S

2) são grupos infinitos.

1.3 O subgrupo comensurador

Vamos enunciar, sem prova, algumas propriedades básicas que envolvem ı́ndices de

um subgrupo. A seguinte definição, assim como as propriedades enunciadas a seguir

sem prova, são encontradas em [28]. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G.

Escolhamos um elemento de cada classe lateral à esquerda de H , e denotemos por T o

conjunto resultante de representantes de classes laterais à esquerda. Então, G é união

disjunta

G =⋃

t∈T

tH

e todo elemento de G pode ser unicamente escrito na forma th, com t ∈ T, h ∈ H . O

conjunto T é chamado uma transversal à esquerda de H em G. Notemos que |T | é igual

à cardinalidade do conjunto de classes laterais à esquerda de H . As vezes é conveniente

escolher 1, o elemento neutro, como representante da classe lateral à esquerda de H ,

de modo que 1 ∈ T .

Proposição 1.8. Sejam K ≤ H ≤ G. Se T é uma transversal à esquerda de H em G

e U é uma transversal à esquerda de K em H, então TU é uma transversal à esquerda

de K em G. Assim,

[G : K] = [G : H ] · [H : K].


Especializando ao caso K = {1}, obtemos o famoso Teorema de Lagrange.

Teorema 1.9. Se G é um grupo e H é um subgrupo de G, então |G| = [G : H ] · |H| .

Se G é finito, então [G : H ] = |G| / |H| . Portanto, a ordem de um subgrupo sempre

divide a ordem do grupo se o último é finito.

Proposição 1.10. Sejam H e K subgrupos de um grupo G.

(i) |HK| · |H ∩K| = |H| · |K|, portanto [H : H ∩ K] = |HK| / |K| se H e K são

finitos.

(ii) [G : H ∩K] ≤ [G : H ] · [G : K], com igualdade se os ı́ndices [G : H ] e [G : K] são

finitos e coprimos.

Como consequência da Proposição 1.10 (ii) temos a seguinte proposição.

Proposição 1.11. A interseção de um conjunto finito de subgrupos, cada um deles de

ı́ndice finito, é por sua vez de ı́ndice finito.

Proposição 1.12. Se G é um grupo ćıclico infinito e {1} 6= H ≤ G, então [G : H ] é

finito.

Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. O conjunto formado pelos elementos

g ∈ G tais que gHg−1 ∩H tem ı́ndice finito em gHg−1 e em H , é um subgrupo de G

chamado o subgrupo comensurador de H em G, que denotaremos por CG(H).

Claramente, se H é um subgrupo de ordem finita em G, ou H é normal em G, ou

se G é abeliano, então CG(H) = G. Dáı segue que se H = Z(G), o centro de G, ou se

H = [G,G], o subgrupo comutador de G, então temos, nesses casos, que CG(H) = G.

Em particular temos que ZG(Z(G)) = NG(Z(G)) = CG(Z(G)) = G.

Denotemos por ZG(H), e NG(H) o centralizador de H em G, e o normalizador de

H em G, respectivamente. Seja g ∈ ZG(H), então gh = hg para todo h ∈ H , dáı,

ghg−1 = h para todo h ∈ H e portanto g ∈ NG(H). Tomemos agora f ∈ NG(H),

então fHf−1 = H , e portanto fHf−1 ∩H = H que obviamente tem ı́ndice finito em

H e em fHf−1. Logo, f ∈ CG(H). Provamos assim a seguinte


Proposição 1.13.

ZG(H) ⊆ NG(H) ⊆ CG(H).

Proposição 1.14. Sejam G um grupo e H,F subgrupos de G tais que F ≤ H. Se F

tem ı́ndice finito em H, então

CG(H) = CG(F ).

Demonstração: Seja g ∈ CG(F ), portanto F1 = gFg−1 ∩ F tem ı́ndice finito em

F e em gFg−1. Seja H1 = gHg−1 ∩ H , provemos que H1 tem ı́ndice finito em H e

em gHg−1. Pela Proposição 1.11 temos que [H : F1] é finito. Temos também que

[H : H1][H1 : F1] = [H : F1], donde segue que [H : H1] é finito. De forma similar

prova-se que [gHg−1 : H1] é finito. Portanto, g ∈ CG(H).

A outra inclusão prova-se em forma completamente análoga.

Vamos relacionar, a seguir, sequência exata de grupos com certos subgrupos co-

mensuradores.

Teorema 1.15. Consideremos uma sequência exata

1 // G1 // G2φ

// G3 // 1 .

Suponhamos que G1 ≤ G2 e sejam H2 ⊆ G2 um subgrupo, H3 = φ(H2), e H1 = H2∩G1.

Então,

φ(CG2(H2)) ⊆ CG3(H3),

CG2(H2) ∩G1 ⊆ CG1(H1).

Demonstração: Seja g ∈ CG2(H2). Escrevemos

F2 = H2 ∩ gH2g−1.

Sejam h1, . . . , hk ∈ H2 tais que

H2 = F2 ∪ h1F2 ∪ · · · ∪ hkF2.


Então,

φ(H2) = H3 = φ(F2) ∪ φ(h1)φ(F2) ∪ · · · ∪ φ(hk)φ(F2).

Portanto, φ(F2) tem ı́ndice finito em H3. Ainda mais,

φ(F2) = φ(H2 ∩ gH2g−1) ⊆ φ(H2) ∩ φ(gH2g

−1) = H3 ∩ φ(g)H3φ(g)−1,

assim H3 ∩ φ(g)H3φ(g)−1 tem ı́ndice finito em H3. Similarmente, H3 ∩ φ(g)H3φ(g)

−1

tem ı́ndice finito em φ(g)H3φ(g)−1. Portanto, φ(g) ∈ CG3(H3).

Seja g ∈ CG2(H2) ∩H1. Escrevemos

F2 = H2 ∩ gH2g−1.

Sejam h1, . . . , hk ∈ H2 tais que

H2 = F2 ∪ h1F2 ∪ · · · ∪ hkF2.

Assumimos que

hiF2 ∩H1 6= ∅, para i = 1, . . . , l,

hiF2 ∩H1 = ∅, para i = l + 1, . . . , k.

Podemos assumir também que hi ∈ H1, para i = 1, . . . , l. Então,

H1 = (F2 ∩H1) ∪ h1(F2 ∩H1) ∪ · · · ∪ hl(F2 ∩H1).

Ainda mais,

F2 ∩H1 = H2 ∩ gH2g−1 ∩H1 = H1 ∩ gH1g

−1.

Assim, H1 ∩ gH1g−1 tem ı́ndice finito em H1. Similarmente, H1 ∩ gH1g

−1 tem ı́ndice

finito em gH1g−1. Portanto, g ∈ CG1(H1).

Caṕıtulo 2

Resultados básicos

Neste caṕıtulo mostraremos primeiro que o centro do grupo de tranças de uma grande

famı́lia de superf́ıcies compactas é trivial. Em segundo lugar, seja M uma superf́ıcie e

N o fecho de um subconjunto aberto de M , estabeleceremos condições sobre as quais

o morfismo induzido ψ : BnN −→ BmM é injetor ou sobrejetor. No caso em que tal

morfismo ψ é injetor podemos pensar que BnN é subgrupo de BmM , tais subgrupos

são conhecidos como subgrupos geométricos de BmM . Finalmente, descreveremos o

centro dos grupos de tranças do cilindro e do toro.

2.1 Centros e superf́ıcies grandes

O centro Z(G) de um grupo G é o subgrupo de elementos que comutam com todos

os elementos do grupo. Chow ([10]) provou que os grupos Bm = Bm(D2) tem centro

ćıclico infinito, para m ≥ 2, cujo gerador é o elemento τ = σ1σ2 · · ·σm−1. Alguns

outros grupos de tranças de superf́ıcie também têm centros não triviais: aqueles de

S2 (ver [16]), P 2 (ver [33]), assim como do toro, da garrafa de Klein e do anel. Se

τ = σ1σ2 · · ·σm−1, então o elemento τm é central em Bm(S

2), ver [16].

Seja M uma superf́ıcie Riemanniana conexa, não compacta e contável, ou seja, M

pode ser expressa como uma união

13

2.1 Centros e superf́ıcies grandes 14

M =⋃∞n=0Mn, Mn ⊆ IntMn+1,

onde cada Mn é um domı́nio compacto e uma subvariedade de M , com bordo não vazio.

Chamaremos M de superf́ıcie aberta. Por outra lado, diremos que uma superf́ıcie é

abeliana se seu grupo fundamental é abeliano, e respectivamente, uma superf́ıcie será

não abeliana se seu grupo fundamental é não abeliano. As definições anteriores são

encontradas em [23].

Notemos que a fronteira de uma superf́ıcie aberta M é vazia. Uma classificação das

superf́ıcies abelianas é dada em [23, Teorema 4.3]:

Propriedades 2.1. Seja M uma superf́ıcie abeliana, temos que

a) se M é compacta e ∂M = φ, então M é uma esfera, toro, ou plano projetivo real;

b) se M é compacta e ∂M 6= φ, então M é uma faixa de Möbius ou um anel;

c) se M é aberta, então M é uma faixa de Möbius sem bordo ou um anel sem bordo.

Definição 2.2. Uma superf́ıcie compactaM será chamada grande se M 6= S2, P 2, D2, T 2,

S1 × I, faixa de Möbius, ou garrafa de Klein.

A seguinte proposição oferece uma caracterização de tais superf́ıcies que permite

um tratamento algébrico.

Proposição 2.3. Sejam M uma superf́ıcie compacta e q ∈ M . M é grande se, e

somente se, seu grupo fundamental π1(M, q) não tem subgrupo abeliano de ı́ndice finito.

Demonstração: Suponhamos que M é uma superf́ıcie compacta grande, vamos su-

por também que existe G subgrupo abeliano de π1(M, q) de ı́ndice finito. Dáı existe

p : MG −→ M espaço de revestimento de M , com q̃ ∈MG, p(q̃) = q e tal que π1(MG, q̃)

é isomorfo a G. Como M é compacta e [π1(M, q) : G] é finito, então MG é compacta

com π1(MG, q̃) abeliano, e portanto deve ser uma das seguintes superf́ıcies abelianas

S2, P 2, T 2, D2, S1 × I, ou a faixa de Möbius.

Já que M é um complexo simplicial compacto e [π1(M, q) : G] = k é finito, então

vale a seguinte equação, envolvendo a caracteŕıstica de Euler da superf́ıcie e o ı́ndice

k (k ≥ 1 em Z),

2.1 Centros e superf́ıcies grandes 15

χ(MG) = k · χ(M).

Se MG = S2, então χ(MG) = 2 e como consequência ou χ(M) = 1 e k = 2, ou

χ(M) = 2 e k = 1. No primeiro caso teremos que M pode ser o disco ou o plano

projetivo, e no segundo caso teremos que M é a esfera.

Se MG = P2, D2, então χ(MG) = 1 e como consequência χ(M) = 1 = k. Logo,

M é o plano projetivo P 2 ou o disco D2, pois M é compacta, com grupo fundamental

abeliano e com χ(M) = 1.

Se MG = T2, S1 × I, ou a faixa de Möbius, então χ(MG) = 0 e como consequência

χ(M) = 0 ou [π1(M, q) : G] = 0, mas este último caso não pode acontecer pois o ı́ndice

é um inteiro maior ou igual a 1. Logo, M deve ser uma das seguintes superf́ıcies

T 2, S1 × I, faixa de Möbius, ou garrafa de Klein.

Em qualquer caso teremos que M não é superf́ıcie compacta grande o que é um

absurdo. Logo, π1(M, q) não tem subgrupo abeliano de ı́ndice finito.

Reciprocamente, suponhamos que π1(M, q) não tem subgrupo abeliano de ı́ndice

finito. Portanto, M não pode ser superf́ıcie abeliana, basta então mostrar que a garrafa

de Klein K tem subgrupo abeliano de ı́ndice finito. Consideremos o grupo fundamental

da garrafa de Klein π1(K, q) dado pela seguinte apresentação

π1(K, q) =< a, b : abab−1 = 1 >,

e consideremos o subgrupo de π1(K, q) gerado por {a, b2}. Sabemos que para os gera-

dores de π1(K, q) vale que

bsar = a(−1)srbs, com s, r ∈ Z.

Usando esta igualdade mostra-se que o subgrupo, gerado por {a, b2}, do grupo funda-

mental da garrafa de Klein é normal e abeliano. Além disso, esse subgrupo é de ı́ndice

2 em π1(K, q).

Como consequência M 6= S2, P 2, D2, T 2, S1 × I, faixa de Möbius, ou garrafa de

Klein.

2.2 Subsuperf́ıcies 16

São poucas as superf́ıcies compactas cujo grupo de tranças tem centro não trivial,

como mostra a seguinte proposição

Proposição 2.4. Seja M uma superf́ıcie compacta grande. Então, o centro Z(Bm(M))

é um grupo trivial.

Demonstração: (Igual à prova dada em ([6])) Primeiro, provemos por indução sobre

m que Z(PBm(M)) = {1}. O caso m = 1: por [23, Teorema 4.4], temos que as únicas

superf́ıcies cujos grupos fundamentais têm centros não triviais são P 2, S1 × I, T 2, a

faixa de Möbius, e a garrafa de Klein.

Sejam m > 1 e M superf́ıcie compacta grande. Consideremos a seguinte sequência

exata,

1 // π1(M \ {P1, . . . , Pm−1}) // PBmMρ∗

// PBm−1M // 1 .

Como ρ∗ é sobrejetora, leva o centro de PBm(M) no centro de PBm−1(M), e por

indução, Z(PBm−1(M)) = {1}. Como a sequência acima é exata e Z(PBm(M)) está

contido no núcleo de ρ∗, então Z(PBm(M)) ≤ π1(M \ {P1, ..., Pm−1}), ainda mais

Z(PBm(M)) ≤ Z(π1(M \ {P1, ..., Pm−1})). Mas este último grupo tem centro trivial,

logo Z(PBm(M)) = {1}.

Agora, seja g ∈ Z(Bm(M)). Existe um inteiro k > 0 tal que gk ∈ PBm(M). Então,

gk ∈ Z(PBm(M)), e assim gk = 1. Pela Proposição 1.7, g = 1.

2.2 Subsuperf́ıcies

Uma subsuperf́ıcie N de uma superf́ıcie M é o fecho de um subconjunto aberto de

M . Por simplicidade assumiremos que toda componente da fronteira de N é uma

componente da fronteira de M ou pertence ao interior de M .

Seja P1 ∈ N . A inclusão N ⊆M induz um homomorfismo

ψ : π1(N,P1) −→ π1(M,P1).

O seguinte resultado envolvendo este homomorfismo é encontrado em [27].


Proposição 2.5. Seja N uma subsuperf́ıcie conexa de M tal que π1(N,P1) 6= {1}. O

homomorfismo ψ : π1(N,P1) −→ π1(M,P1) é injetor se, e somente se, nenhuma das

componentes conexas do fecho M \N de M \N é um disco.

Sejam P1, . . . , Pn ∈ N , e sejam Pn+1, . . . , Pm ∈ M \ N . A inclusão N ⊆ M induz

um morfismo

ψ : BnN −→ BmM,

que geometricamente coloca m− n cordas verticais a mais nos pontos Pn+1, . . . Pm.

Proposição 2.6. Seja M 6= S2, P 2, e seja N tal que nenhuma das componentes

conexas de M \N é um disco. Então, o morfismo ψ : BnN −→ BmM é injetor.

Observação 2.7. A Proposição anterior é provada em [17], no caso particular em que

N é um disco.

Demonstração: Seja ψ̃n : PBnN −→ PBnM o morfismo induzido pela inclusão

N ⊆ M . Provaremos que ψ̃n é injetora por indução sobre n. O caso n = 1 é

uma consequência da Proposição 2.5, pois ψ̃1 : PB1N −→ PB1M é exatamente

ψ̃1 : π1(N, p) −→ π1(M, p), para p ∈ N , que é um monomorfismo.

Seja n > 1. Pela Proposição 2.5, a inclusão N \{P1, . . . , Pn−1} ⊆M \{P1, . . . , Pn−1}

induz um monomorfismo

α : π1(N \ {P1, . . . , Pn−1}) −→ π1(M \ {P1, . . . , Pn−1}).

O seguinte diagrama é comutativo:

1 // π1(N \ {P1, . . . , Pn−1}) //

α

��

PBnNρ

//

ψ̃n��

PBn−1N //

ψ̃n−1��

1

1 // π1(M \ {P1, . . . , Pn−1}) // PBnMρ

// PBn−1M // 1.

Por indução, ψ̃n−1 é injetora. Pelo lema dos cinco, ψ̃n é injetora também. Seja

ψ̃ : PBnN −→ PBmM o morfismo induzido pela inclusão N ⊆ M . O seguinte


diagrama é comutativo:

PBnNψ̃

//

id

PBmM

ρ

��

PBnNψ̃n

// PBnM.

O morfismo ψ̃n é injetor, assim ψ̃ é injetora também. Seja ι : Σn −→ Σm a inclusão,

ι identifica Σn ao primeiro fator do subgrupo Σn ×Σm−n de Σm. O seguinte diagrama

comuta,

1 // PBnN //

ψ̃��

BnNσ

//

ψ��

Σn //

ι

��

1

1 // PBmM // BmM // Σm // 1.

Tanto ψ̃ como ι são injetoras, portanto, pelo lema dos cinco, ψ é injetora.

As seguintes duas proposições são encontradas em [4].

Proposição 2.8. Seja M uma superf́ıcie compacta, conexa, orientável de genus maior

ou igual a 1, possivelmente com fronteira, e seja N uma subsuperf́ıcie conexa de M .

O homomorfismo ψ : π1(N,P1) −→ π1(M,P1) é sobrejetor se, e somente se, todas as

componentes conexas do fecho M \N de M \N são discos.

Proposição 2.9. Seja M uma superf́ıcie compacta, conexa, orientável de genus maior

ou igual a 1 possivelmente com fronteira, e seja N uma subsuperf́ıcie conexa de M

tal que todas as componentes conexas de M \N são discos. Então, o morfismo ψ :

BnN −→ BnM é sobrejetor.

Sejam N1, . . . , Nr as componentes conexas de M \N . Para i = 1, . . . , r escrevemos

Pi = {Pn+1, . . . , Pm} ∩Ni.

Teorema 2.10. Seja M 6= S2, P 2. O morfismo ψ : BnN −→ BmM é injetor se, e

somente se, para todo i = 1, . . . , r, Ni não é um disco ou Pi 6= ∅.

2.3 Centros dos grupos de tranças do cilindro e do toro 19

Demonstração: Suponhamos que existe i ∈ {1, . . . , r} tal que Ni é um disco e tal

que Pi = ∅. Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

π1(N \ {P2, . . . , Pn}) //

ψ��

BnN

ψ

��

π1(M \ {P2, . . . , Pm}) // BmM.

Por [12], o morfismo π1(N \ {P2, . . . , Pn}) −→ BnN é injetor. Por outra parte,

M \ (N ∪ {Pn+1, . . . , Pm}) = (M \ {P2, . . . , Pm}) \ (N \ {P2, . . . , Pn}) e como Pi = ∅,

então o fecho da diferença de conjuntos tem pelo menos uma componente conexa que

é um disco, a saber Ni, e portanto o morfismo

ψ : π1(N \ {P2, . . . , Pn}) −→ π1(M \ {P2, . . . , Pm})

é não injetor. Logo, ψ : BnN −→ BmM não é injetora.

Suponhamos agora que Ni não é um disco ou Pi 6= ∅, para todo i = 1, . . . , r.

Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

BnNψ

// Bn(M \ {Pn+1, . . . , Pm})

��

BnN // BmM.

Pela Proposição 2.6, o morfismo ψ : BnN −→ Bn(M \ {Pn+1, . . . , Pm}) é injetor.

Por [12], o morfismo Bn(M \{Pn+1, . . . , Pm}) −→ BmM é injetor. Assim, ψ : BnN −→

BmM é injetor.

2.3 Centros dos grupos de tranças do cilindro e do

toro

Inicialmente, seja C um cilindro, descreveremos o centro de BmC. Assumiremos que

C = {z ∈ C | 1 ≤ |z| ≤ 2}, e que Pi = 1 +i

m+ 1


para i = 1, . . . , m. Seja di : [0, 1] −→ C o caminho definido por

di(t) =

(1 +

i

m+ 1

)e2πit, para t ∈ [0, 1].

Seja α o elemento de PBmC representado por d = (d1, . . . , dm) (ver Figura 2.1).

Figura 2.1:

Proposição 2.11. Com as condições acima, o centro de BmC é o subgrupo ćıclico

infinito gerado por α.

Demonstração: Sejam D = {z ∈ C | |z| ≤ 2} e P0 = 0. A inclusão C ⊆

D \ {P0} induz um isomorfismo BmC −→ Bm(D \ {P0}). Identificaremos esses dois

grupos de tranças através deste isomorfismo. Seja Σm+1 o grupo de permutaçoẽs de

{P0, P1, . . . , Pm}, e seja Σm o grupo de permutações de {P1, . . . , Pm}.

Consideremos o morfismo σ : Bm+1D −→ Σm+1. Pela Proposição 1.6 temos a

seguinte sequência exata:

1 // Bm(D \ {P0}) // σ−1(Σm) // π1(D,P0) // 1.

Ainda mais, π1(D,P0) = {1}. Assim, a inclusão D \ {P0} ⊆ D induz um isomorfismo

Bm(D \ {P0}) −→ σ−1(Σm). A imagem de α por este isomorfismo é o elemento de


Bm+1D, denotado por α̃, representado pela trança b̃ = (P0, d1, . . . , dm). Por [10], temos

que

Z(Bm+1D) = Z(PBm+1D),

e este grupo é o subgrupo ćıclico infinito gerado por α̃.

Para m ≥ 1 temos que o centro de σ−1(Σm) está contido no centro de PBm+1D.

De fato, a aplicação σ−1(Σm) −→ Bm+1D, como na Proposição 1.6, é um epimorfismo.

Logo, Z(σ−1(Σm)) ≤ Z(Bm+1(D)) ≤ PBm+1(D). Da inclusão, PBm+1D ⊆ σ−1(Σm)

segue que o centro de σ−1(Σm) está contido no centro de PBm+1D. Por outra parte,

α̃ ∈ σ−1(Σm) e é central. Portanto, o centro de Bm+1D está contido no centro de

σ−1(Σm). Como consequência temos que o centro de σ−1(Σm) é igual ao centro de

Bm+1D, que é o subgrupo ćıclico infinito gerado por α̃.

Assim, pelo isomorfismo Bm(D\{P0}) −→ σ−1(Σm), temos que o centro de BmC =

Bm(D \ {P0}) é o subgrupo ćıclico infinito gerado por α.

Vamos descrever agora o centro de BmT , onde T é um toro. Assumiremos que

T = R2/Z2.

Denotemos por (x, y) a classe de equivalência de (x, y). Assumiremos que

Pi =

(i+ 1

m+ 3,i+ 1

m+ 3

), para i = 1, . . . , m.

Sejam ai : [0, 1] −→ T o caminho definido por

ai(t) =

(i+ 1

m+ 3− t,

i+ 1

m+ 3

), para t ∈ [0, 1].

e bi : [0, 1] −→ T o caminho definido por

bi(t) =

(i+ 1

m+ 3,i+ 1

m+ 3− t

), para t ∈ [0, 1].

Sejam α o elemento de PBmT representado por a = (a1, . . . , am) (ver Figura 2.2),

e β o elemento de PBmT representado por b = (b1, . . . , bm).


Figura 2.2:

Proposição 2.12. Com as condições acima, o centro de BmT é o subgrupo gerado por

α e β, e é um grupo abeliano livre de posto 2.

Demonstração: Provaremos a Proposição 2.12 em quatro passos. Seja Zm o subgrupo

de PBmT gerado por α e β.

Passo 1. Zm é um grupo abeliano livre de posto 2. Por [5, Teorema 5], α e β

comutam, assim Zm é um grupo abeliano. Consideremos a seguinte sequência exata

1 // PBm−1(T \ {P1}) // PBmTρ∗

// π1(T, P1) // 1 .

O grupo π1(T, P1) é um grupo abeliano livre de posto 2 e (ρ∗(α), ρ∗(β)) é uma base de

π1(T, P1), assim Zm também é um grupo abeliano livre de posto 2.

Passo 2. Zm ⊆ Z(BmT ).

Seja D = [ 1m+3

, m+2m+3

] × [ 1m+3

, m+2m+3

] ⊆ T . Pela Proposição 2.6, a inclusão D ⊆ T

induz um monomorfismo BmD −→ BmT . Logo, o seguinte diagrama é comutativo:

1 // PBmD //

��

BmDσ

//

��

Σm // 1

1 // PBmT // BmTσ

// Σm // 1.

Assim, BmT é gerado por PBmT ∪BmD. Por [5, Teorema 5], α comuta com todos

os elementos de PBmT . Seja C =(R ×

[1

m+3, m+2m+3

])/Z ⊆ T . Pela Proposição 2.6, a


inclusão C ⊆ T induz um monomorfismo BmC −→ BmT . Mais ainda, α ∈ BmC e

BmD ⊆ BmC. Pela Proposição 2.11, Z(BmC) é o subgrupo ćıclico infinito gerado por

α. Portanto, α comuta com todos os elementos de BmD. Isto mostra que α ∈ Z(BmT ).

Similarmente, β ∈ Z(BmT ).

Passo 3. Z(PBmT ) ⊆ Zm. Provaremos o Passo 3 por indução sobre m. Seja

m = 1. Então, PB1T = π1(T, P1) = Z1. Assim, Z(PB1T ) = Z1.

Sejam m > 1 e g ∈ Z(PBmT ). Consideremos a seguinte sequência exata:

1 // π1(T \ {P1, . . . , Pm−1}) // PBmTρ∗

// PBm−1T // 1 .

Temos ρ∗(g) ∈ Z(PBm−1T ). Por indução Z(PBm−1T ) ⊆ Zm−1. Ainda mais, ρ∗(Zm) =

Zm−1. Assim, podemos escolher h ∈ Zm tal que ρ∗(h) = ρ∗(g). Escreveremos g′ = gh−1.

Então g′ ∈ Z(PBmT ) e g′ ∈ π1(T \ {P1, . . . , Pm−1}) (já que ρ∗(g

′) = 1). Assim,

g′ ∈ Z(π1(T \ {P1, . . . , Pm−1})) = {1}, e assim g′ = gh−1 = 1, e portanto g = h ∈ Zm.

Passo 4. Z(BmT ) ⊆ PBmT . Seja g ∈ BmT . Suponhamos que existem i, j ∈

{1, . . . , m}, i 6= j, tais que σ(g)(Pi) = Pj , e provemos que g 6∈ Z(BmT ). Seja

αi ∈ PBmT representada por (P1, . . . , Pi−1, ai, Pi+1, . . . , Pm), onde Pk denota o caminho

constante sobre Pk para k = 1, . . . , m e ai é como acima. Consideremos a seguinte

sequência exata:

1 // PBm−1T \ {Pi} // PBmTρi∗

// π1(T, Pi) // 1 .

Então, ρi∗(αi) 6= 1 e ρi∗(gαig−1) = 1 (ver Figura 2.3). Assim gαig

−1 6= αi, e portanto

g 6∈ Z(BmT ).


Figura 2.3:

Caṕıtulo 3

Comensurador, normalizador e

centralizador de π1N em π1M

Seja N uma subsuperf́ıcie de uma superf́ıcie conexa M . Dizemos que N é um colarinho

de Möbius em M , se N é um cilindro S1×I e M \N tem duas componentes N1, N2 com

uma delas, digamos N1, uma faixa de Möbius (ver Figura 3.1). Então, M0 = N ∪ N1

será chamada a faixa de Möbius tendo como colarinho N em M .

Figura 3.1: Colarinho de Möbius.

Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Denotamos por

• CG(H) o comensurador de H em G,

• NG(H) o normalizador de H em G, e

25

26

• ZG(H) o centralizador de H em G.

Neste caṕıtulo consideramos uma subsuperf́ıcie N de M tal que nenhuma compo-

nente conexa de M \N é um disco e portanto π1(N,P0) é isomorfo com um subgrupo

de π1(M,P0), com P0 ∈ N . Para evitar sobrecarregar a notação diremos simplesmente

que π1(N,P0) é subgrupo de π1(M,P0) e escrevemos

π1M = π1(M,P0) e π1N = π1(N,P0).

Teorema 3.1. Sejam M uma superf́ıcie conexa e N uma subsuperf́ıcie de M tal que

nenhuma componente conexa de M \N é um disco.

(i) Se M não é grande ou se π1N = {1}, então Cπ1M(π1N) = π1M .

(ii) Se M é grande, π1N 6= {1} e N não é um colarinho de Möbius em M , então

Cπ1M(π1N) = π1N.

(iii) Se M é grande e N é um colarinho de Möbius em M , então

Cπ1M(π1N) = π1M0,

onde M0 é a faixa de Möbius tendo como colarinho N em M .

Corolário 3.2. (i) Se M é um cilindro, um toro, ou uma faixa de Möbius, então

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = Zπ1M(π1N) = π1M.

(ii) Se M é grande, N não é um colarinho de Möbius em M , π1N 6= {1}, e N não é

grande, então

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = Zπ1M(π1N) = π1N.

(iii) Se M e N são superf́ıcies grandes, então

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = π1N,

Zπ1M(π1N) = Z(π1N) = {1}.

3.1 Grafos de grupos 27

(iv) Se M é grande e N é um colarinho de Möbius em M , então

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = Zπ1M(π1N) = π1M0,

onde M0 é a faixa de Möbius tendo como colarinho N em M .

3.1 Grafos de grupos

Antes de provar o Teorema 3.1, vejamos alguns resultados de grafos de grupos. Um

grafo (orientado) Γ é formado pelos seguintes dados:

1. Um conjunto V (Γ) de vértices.

2. Um conjunto A(Γ) de setas.

3. Uma aplicação s : A(Γ) −→ V (Γ) chamada origem, e uma aplicação t : A(Γ) −→

V (Γ) chamada fim.

Um grafo de grupos G(Γ) sobre Γ é formado pelos seguintes dados:

1. Um grupo Gv, para todo v ∈ V (Γ).

2. Um grupo Ga, para todo a ∈ A(Γ).

3. Dois monomorfismos φa,s : Ga −→ Gs(a) e φa,t : Ga −→ Gt(a), para todo a ∈ A(Γ).

Uma exposição geral sobre grafos de grupos pode ser encontrada em [32]. Seja T

uma árvore maximal de Γ. O grupo fundamental π1(G(Γ), T ) de G(Γ) baseado em T é

o grupo (abstrato) dado pela seguinte apresentação: o conjunto gerador de π1(G(Γ), T )

é

{ea; a ∈ A(Γ)} ∪ (⋃

v∈V (Γ)

Gv),

onde {ea; a ∈ A(Γ)} é um conjunto abstrato em correspondência um a um com A(Γ).

As relações de π1(G(Γ), T ) são:

1. as relações de Gv, para todo v ∈ V (Γ),


2. ea = 1, para todo a ∈ A(T ),

3. e−1a · φa,s(g) · ea = φa,t(g), para todo a ∈ A(Γ) e para todo g ∈ Ga.

Existe um morfismo φv : Gv −→ π1(G(Γ), T ), para todo v ∈ V (Γ). Por [32], este

morfismo é injetor, portanto podemos pensar que Gv ≤ π1(G(Γ), T ).

O grupo fundamental π1(Γ, T ) de Γ baseado em T tem a seguinte apresentação: o

conjunto gerador de π1(Γ, T ) é {ea; a ∈ A(Γ)}, o conjunto de relações de π1(Γ, T ) é

{ea = 1; a ∈ A(T )}.

Seja p : Γ̃ −→ Γ o revestimento universal de Γ. Seja G(Γ̃) o grafo de grupos sobre

Γ̃ definido como segue.

1. Gṽ = Gp(ṽ), para todo ṽ ∈ V (Γ̃).

2. Gã = Gp(ã), para todo ã ∈ A(Γ̃).

3. φã,s = φp(ã),s e φã,t = φp(ã),t, para todo ã ∈ A(Γ̃).

Fixemos uma seção S : T −→ Γ̃ de p sobre T . Estendemos S a uma seção S :

A(Γ) −→ A(Γ̃) como segue. Seja a ∈ A(Γ). Então, S(a) é o único levantamento de a

tal que t(S(a)) = S(t(a)).

Definimos uma ação de π1(Γ, T ) sobre π1(G(Γ̃), Γ̃) como segue. Notemos que

π1(G(Γ̃), Γ̃) é gerado pela⋃ṽ∈V (Γ̃)Gṽ, pois Γ̃ é uma árvore. Sejam ṽ ∈ V (Γ̃), g̃ ∈

Gṽ, e u ∈ π1(Γ, T ). Então,

u(g̃) = g̃ ∈ Gu(ṽ).

Consideremos o correspondente produto semidireto

π1(G(Γ̃), Γ̃) ⋊ π1(Γ, T ).

Por [32], existe um isomorfismo

π1(G(Γ), T ) −→ π1(G(Γ̃), Γ̃) ⋊ π1(Γ, T ),


que envia Gv isomorficamente sobre GS(v), para todo v ∈ V (Γ), e que manda ea sobre

ea, para todo a ∈ A(Γ). Portanto, podemos assumir que

π1(G(Γ), T ) = π1(G(Γ̃), Γ̃) ⋊ π1(Γ, T ),

que Gv = GS(v), para todo v ∈ V (Γ) e que Ga = GS(a), para todo a ∈ A(Γ).

Sejam G = π1(G(Γ), T ) e G̃ = π1(G(Γ̃), Γ̃). O revestimento universal de G(Γ) é o

grafo Γ̄ definido como segue:

V (Γ̄) = (V (Γ̃) × G̃)/ ∼ ,

onde ∼ é a relação de equivalência definida por

(ṽ1, g̃1) ∼ (ṽ2, g̃2) se ṽ1 = ṽ2 = ṽ e g̃−12 g̃1 ∈ Gṽ.

Denotamos por [ṽ, g̃] a classe de equivalência de (ṽ, g̃).

A(Γ̄) = (A(Γ̃) × G̃)/ ∼ ,

onde ∼ é a relação de equivalência definida por

(ã1, g̃1) ∼ (ã2, g̃2) se ã1 = ã2 = ã e g̃−12 g̃1 ∈ Gã.

Denotamos por [ã, g̃] a classe de equivalência de (ã, g̃).

A aplicação origem s : A(Γ̄) −→ V (Γ̄) é definida por

s([ã, g̃]) = [s(ã), g̃],

para ã ∈ A(Γ̃) e para g̃ ∈ G̃. A aplicação fim t : A(Γ̄) −→ V (Γ̄) é definida por

t([ã, g̃]) = [t(ã), g̃],

para ã ∈ A(Γ̃) e para g̃ ∈ G̃. Por [32], Γ̄ é uma árvore.

O grupo G atua sobre Γ̄ como segue, lembramos que G = π1(G(Γ̃), Γ̃) ⋊ π1(Γ, T ).

Sejam u ∈ π1(Γ, T ), h̃, g̃ ∈ G̃ e sejam ṽ ∈ V (Γ̃), ã ∈ A(Γ̃). Então,

h̃([ṽ, g̃]) = [ṽ, h̃g̃], h̃([ã, g̃]) = [ã, h̃g̃],

3.2 Demonstrações 30

u([ṽ, g̃]) = [u(ṽ), ug̃u−1], u([ã, g̃]) = [u(ã), ug̃u−1].

O subgrupo de isotropia de um vértice v̄ ∈ V (Γ̄) é

Isot(v̄) = {g ∈ G; g(v̄) = v̄}.

O subgrupo de isotropia de uma seta ā ∈ A(Γ̄) é

Isot(ā) = {g ∈ G; g(ā) = ā}.

Sejam v ∈ V (Γ) e a ∈ A(Γ). Por [32],

Isot([S(v), 1]) = Gv, Isot([S(a), 1]) = Ga.

3.2 Demonstrações

Nessa seção provaremos o Teorema 3.1, para isso precisaremos da teoria de grafos de

grupos desenvolvida na seção anterior. Agora, voltamos as nossas suposições iniciais.

Se M é o plano projetivo P 2 o resultado do Teorema 3.1 é claramente válido. Su-

ponhamos que M é uma superf́ıcie (possivelmente com bordo) distinta da esfera e do

plano projetivo, e que N é uma subsuperf́ıcie de M tal que nenhuma das componentes

conexas de M \N é um disco. Sem perda de generalidade, podemos assumir também

que N não é um disco. Sejam N1, . . . , Nr as componentes conexas de M \N .

Definamos um grafo Γ como segue. Seja

V (Γ) = {v0, v1, . . . , vr}.

Para i ∈ {1, . . . , r}, fixamos um conjunto abstrato Ai(Γ) em correspondência um a um

com as componentes conexas de N ∩Ni. Fazemos

A(Γ) =r⋃

i=1

Ai(Γ).

Se a ∈ Ai(Γ), então s(a) = v0 e t(a) = vi.


Definimos um grafo de grupos G(Γ) sobre Γ como segue. Seja i ∈ {1, . . . , r}.

Fixamos um ponto Pi ∈ Ni e fazemos

Gvi = Gi = π1(Ni, Pi).

Fixamos um ponto P0 ∈ N e fazemos

Gv0 = G0 = π1(N,P0).

Seja a ∈ Ai(Γ). Denotamos por Ca a componente conexa de N∩Ni que corresponde

a a. O conjunto Ca é uma componente fronteira de N e Ni. Fixamos um ponto Pa ∈ Ca

e fazemos

Ga = π1(Ca, Pa) ≃ Z.

Fixemos um caminho γa,s : [0, 1] −→ N de P0 até Pa. Este caminho induz um

monomorfismo φa,s : Ga −→ G0. Fixemos um caminho γa,t : [0, 1] −→ Ni de Pi até Pa.

Este caminho induz um monomorfismo φa,t : Ga −→ Gi.

Fixemos uma seta ai ∈ Ai(Γ), para todo i ∈ {1, . . . , r}. Consideremos o grafo T

definido como segue:

1. V (T ) = {v0, v1, . . . , vr},

2. A(T ) = {a1, . . . , ar},

3. s(ai) = v0 e t(ai) = vi, para todo i ∈ {1, . . . , r}.

O grafo T é uma árvore maximal de Γ. Escrevemos

γa = γa,sγ−1a,t , βa = γaγ

−1ai,

para todo a ∈ Ai(Γ). Para i = 1, . . . , r, o caminho γai induz um morfismo

ψi : Gi = π1(Ni, Pi) −→ π1(M,P0).

Denotamos por ψ0 : G0 = π1(N,P0) −→ π1(M,P0) o morfismo induzido pela inclusão

N ⊆M .

O seguinte teorema é uma versão do teorema de Van Kampen.


Teorema 3.3. A aplicação

{ea; a ∈ A(Γ)} −→ π1(M,P0)

ea 7−→ βa

e os morfismos ψi : Gi −→ π1(M,P0) (i = 0, 1, . . . , r) induzem um isomorfismo

ψ : π1(G(Γ), T ) −→ π1(M,P0).

Seja Γ̄ o revestimento universal de G(Γ). Seja q : Γ̄ −→ Γ a aplicação definida como

segue: sejam ṽ ∈ V (Γ̃), ã ∈ A(Γ̃) e g̃ ∈ G̃. Então,

q([ṽ, g̃]) = p(ṽ), q([ã, g̃]) = p(ã).

O seguinte lema é um resultado preliminar da prova do Teorema 3.1.

Lema 3.4. Sejam i ∈ {1, . . . , r} e v̄ ∈ V (Γ̄) tais que q(v̄) = vi, e sejam ā, b̄ ∈ A(Γ̄)

tais que t(ā) = t(b̄) = v̄ (ver Figura 3.2):

(i) Se q(ā) = q(b̄) e Isot(ā) ∩ Isot(b̄) 6= {1}, então Ni é uma faixa de Möbius.

(ii) Se q(ā) 6= q(b̄) e Isot(ā) ∩ Isot(b̄) 6= {1}, então Ni é um cilindro e ambas compo-

nentes fronteira de Ni estão contidas em N ∩Ni.

Figura 3.2:

Demonstração: (i) Suponhamos que i = 1 e que ā = [S(a1), 1]. Então,

v̄ = t(ā) = [t(S(a1)), 1] = [S(v1), 1].

Seja b̄ = [̃b, g̃]. Então,

t(b̄) = [t(b̃), g̃] = [S(v1), 1],


assim b̃ = S(a1) (já que q(ā) = q(b̄) = a1), e g̃ ∈ Gv1 = G1. Notemos que g̃ 6∈ Ga1 , pois

caso contrário

b̄ = [S(a1), g̃] = [S(a1), 1] = ā.

Portanto, Isot(ā) = Ga1 e Isot(b̄) = g̃Ga1 g̃−1. Seja h1 um gerador de Ga1 . Existem

k1, k2 ∈ Z \ {0} tais que hk11 = g̃h

k21 g̃

−1.

Suponhamos que N1 não é uma faixa de Möbius. Seja F o subgrupo de G1 gerado

por h1 e g̃. A subsuperf́ıcie N1 tem bordo não vazio, assim G1 é um grupo livre e

portanto F é um grupo livre de posto 1 ou 2.

Como todo grupo livre finitamente gerado é Hopfiano, temos que F é um grupo

Hopfiano, e já que hk11 = g̃hk21 g̃

−1, o grupo F tem posto 1. Por [11, Teorema 4.2], h1

gera F . Em particular, existe l ∈ Z tal que

g̃ = hl1 ∈ Ga1 .

Isto é uma contradição. Portanto, N1 é uma faixa de Möbius.

(ii) Suponhamos que i = 1 e que ā = [S(a1), 1]. Então,

v̄ = t(ā) = [t(S(a1)), 1] = [S(v1), 1].

Sejam b̄ = [̃b, g̃] e b = q(b̄) 6= a1. Então,

t(b̄) = [t(b̃), g̃] = [S(v1), 1],

e assim b̃ = S(b) e g̃ ∈ Gv1 = G1. Logo,

Isot(ā) = Ga1 e Isot(b̄) = g̃Gbg̃−1.

Sejam h1 um gerador de Ga1 , e h um gerador Gb. Existem k1, k2 ∈ Z \ {0} tais que

hk11 = g̃hk2 g̃−1. Seja F o subgrupo de G1 gerado por h1 e g̃hg̃

−1. Como G1 é um grupo

livre, então F é um grupo livre de posto 1 ou 2. Já que F é um grupo Hopfiano, e

já que hk11 = (g̃hg̃−1)k2 , o grupo F tem posto 1. A subsuperf́ıcie N1 tem pelo menos

duas componentes fronteira, Ca1 e Cb, assim N1 não é uma faixa de Möbius. Por [11,

Teorema 4.2], h1 e g̃hg̃−1 geram F . Portanto, podemos assumir que

h1 = g̃hg̃−1.


Por [11, Lema 2.4] segue que N1 é um cilindro e que Ca1 e Cb são as componentes

fronteira de N1.

Denotaremos o cilindro, a faixa de Möbius e a garrafa de Klein por S1×I, S1×̂I, S1×̂S1,

respectivamente.

Demonstração do Teorema 3.1: (i) SeM não é grande entãoM é uma das seguintes

superf́ıcies

S2, P 2, D2, T 2, S1 × I, S1×̂I, S1×̂S1.

Nos primeiros seis casos π1M é abeliano, logo

Cπ1M(π1N) = π1M.

Falta então examinar o caso M = S1×̂S1. Notemos que as subsuperf́ıcies da garrafa

de Klein são o disco, o cilindro e a faixa de Möbius. No caso do disco é claro que

Cπ1M(π1N) = π1M. Consideremos agora o grupo fundamental da garrafa de Klein

dado pela seguinte apresentação π1(S1×̂S1, q) =< a, b : abab−1 = 1 >. No caso do

cilindro tomamos o subgrupo gerado por a, < a >, que é normal em π1(S1×̂S1, q). já

no caso da faixa de Möbius tomamos o subgrupo gerado por b, < b >. Nos dois casos

verifica-se que

Cπ1M(π1N) = π1M.

(ii) Claramente π1N é subgrupo de Cπ1M(π1N), basta mostrar então que Cπ1M(π1N)

é subgrupo de π1N . Suponhamos que existe g ∈ Cπ1M(π1N) tal que g 6∈ π1N , e prove-

mos que M não é grande ou que N é um colarinho de Möbius em M .

Seja v̄0 = [S(v0), 1] ∈ V (Γ̄). Temos que g(v̄0) 6= v̄0, pois g 6∈ π1N = Isot(v̄0). Seja

āε11 āε22 · · · ā

εℓℓ (ai ∈ A(Γ̄) e εi ∈ {±1})

o (único) caminho reduzido de Γ̄ de v̄0 até g(v̄0) (ver Figura 3.3). Para j = 1, . . . , ℓ

denotemos por v̄j o final do caminho āε11 · · · ā

εjj . Observemos que ℓ ≥ 2, já que

q(g(v̄0)) = q(v̄0) = v0.


Se h ∈ G0 ∩ gG0g−1, então h ∈ Isot(v̄0) e h ∈ Isot(g(v̄0)), assim h ∈ Isot(v̄j) e

h ∈ Isot(āj), para todo j ∈ {1, . . . , ℓ}. Suponhamos que q(v̄1) = v1. Pelo anterior

temos que

{1} 6= G0 ∩ gG0g−1 ⊆ Isot(ā1) ∩ Isot(ā2).

Assim pelo Lema 3.4, N1 é uma faixa de Möbius, ou N1 é um cilindro e ambas compo-

nentes de fronteira de N1 estão contidas em N ∩N1.

Figura 3.3:

O grupo G0 ∩ gG0g−1 tem ı́ndice finito em G0 = π1N , ele está contido em Isot(ā1),

e Isot(ā1) é um grupo ćıclico infinito. Portanto, π1N tem um subgrupo ćıclico infinito

de ı́ndice finito. Assim N é um cilindro, ou uma faixa de Möbius.

Se N é uma faixa de Möbius, então N1 também é uma faixa de Möbius, e M =

N ∪N1 é uma garrafa de Klein (ver Figura 3.4).

Figura 3.4:

Se N e N1 são ambos cilindros, então M = N ∪N1 é um toro (ver Figura 3.5).

Se N é um cilindro e se N1 é uma faixa de Möbius, então N é um colarinho de

Möbius em M (ver Figura 3.6).

(iii) Suponhamos que N é um cilindro, que N1 é uma faixa de Möbius, e que M é

superf́ıcie grande (ver Figura 3.6). Seja M0 = N ∪ N1 a faixa de Möbius tendo como


Figura 3.5:

Figura 3.6:

colarinho N em M . A subsuperf́ıcie M0 não é um colarinho de Möbius em M , assim,

por (ii),

Cπ1M(π1M0) = π1M0.

O grupo π1N tem ı́ndice finito em π1M0. Logo,

Cπ1M(π1N) = Cπ1M(π1M0) = π1M0.

Demonstração do Corolário 3.2: (i) Se M = S1×I, ou T 2, ou S1×̂I, pelo Teorema

3.1, temos que Cπ1M(π1N) = π1M e como M é superf́ıcie abeliana, então Z(π1M) =

π1M . Logo,

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = Zπ1M(π1N) = π1M.


(ii) Pelo Teorema 3.1 temos que Cπ1M(π1N) = π1N . Como N não é superf́ıcie

grande e N 6= S1×̂S1, então π1N é abeliano. Logo,

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = Zπ1M(π1N) = Z(π1N) = π1N.

(iii) Se M e N são superf́ıcies grandes, então pelo Teorema 3.1 temos

Cπ1M(π1N) = π1N,

e como π1N é subgrupo do normalizador Nπ1M(π1N), então temos

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = π1N,

que é um grupo não abeliano.

Por [23, Teorema 4.4] temos que Z(π1N) = Z(π1M) = {1}. Como Zπ1M(π1N) é

subgrupo de Nπ1M(π1N), então Zπ1M(π1N) ⊆ π1N . Logo,

Zπ1M(π1N) = Z(π1N) = Z(π1M) = {1}.

(Notemos que Zπ1M(π1N) = {1} implica em Z(π1N) = {1}.)

(iv) Se M é uma superf́ıcie grande e se N é um colarinho de Möbius, então

Cπ1M(π1N) = π1M0, onde M0 é a faixa de Möbius tendo como colarinho N em M .

Agora, Zπ1M(π1N) ⊆ π1M0. Como π1N ⊆ π1M0, e este último é abeliano, então

π1N ⊆ Zπ1M(π1N). Mas, π1N = π1M0 já que M0 = N ∪ N1 tem o mesmo tipo de

homotopia de N . Logo,

π1M0 ⊆ Zπ1M(π1N).

Caṕıtulo 4

Comensurador, normalizador, e

centralizador de BnD em BmM

Seja M uma superf́ıcie orientada distinta da esfera, e seja D ⊆M um disco mergulhado

em M . Sejam m ≥ n ≥ 2, P1, . . . , Pn ∈ D, e Pn+1, . . . , Pm ∈ M \D. O objetivo deste

caṕıtulo é descrever o comensurador, o normalizador, e o centralizador de BnD em

BmM . Para descrever estes grupos usaremos a noção de túnel sobre uma superf́ıcie,

estes objetos geométricos formam um grupo, com uma construção análoga à feita em

grupos de tranças. Notemos que, se n = 1, então B1D = {1}, assim

CBmM(B1D) = NBmM(B1D) = ZBmM(B1D) = BmM.

4.1 Definições e resultados

Um túnel sobre M baseado em (D;Pn+1, . . . , Pm) é uma aplicação

H : D ∪ {Pn+1, . . . , Pm} × [0, 1] −→M

tal que

1. H(x, 0) = H(x, 1) = x, para todo x ∈ D,

2. H(Pi, 0) = Pi e H(Pi, 1) ∈ {Pn+1, . . . , Pm}, para todo Pi ∈ {Pn+1, . . . , Pm},

38

4.1 Definições e resultados 39

3. H(x, t) 6= H(y, t), para todo x, y ∈ D ∪ {Pn+1, . . . , Pm}, x 6= y, e para todo

t ∈ [0, 1].

Dado um túnel H podemos associar claramente uma permutação, similar ao que

foi feito em tranças. Existe uma noção natural de homotopia de túneis como descrita

na sequência. Sejam H1, H2 : D ∪ {Pn+1, . . . , Pm} × [0, 1] −→ M túneis com mesma

permutação γ. Dizemos que H1, H2 são homotópicos se existem m− n + 1 aplicações

cont́ınuas,

F0 : D × [0, 1] × [0, 1] −→M , tal que

• F0(x, s, 0) = H1(x, s), F0(x, s, 1) = H2(x, s), para todo x ∈ D e para todo

s ∈ [0, 1],

• F0(x, 0, t) = F0(x, 1, t) = x, para todo x ∈ D e para todo t ∈ [0, 1],

Fi : {Pn+i} × [0, 1] × [0, 1] −→ M , para todo i = 1, . . . , m− n, tais que

• Fi(Pn+i, s, 0) = H1(Pn+i, s), Fi(Pn+i, s, 1) = H2(Pn+i, s), para todo s ∈ [0, 1],

• Fi(Pn+i, 0, t) = Pn+i, Fi(Pn+i, 1, t) = H1(Pn+i, 1) = H2(Pn+i, 1), para todo t ∈

[0, 1],

e tais que se definimos

H t0 : D ∪ {Pn+1, . . . , Pm} × [0, 1] −→M, por

• H t0(x, s) = F0(x, s, t), para todo x ∈ D e para todo s ∈ [0, 1], e

• H t0(Pn+i, s) = Fi(Pn+i, s, t), para todo s ∈ [0, 1], e para todo i = 1, . . . , m− n,

então H t0 é um túnel geométrico (com permutação γ) para cada 0 ≤ t ≤ 1.

Homotopia de túneis é uma relação de equivalência. Formamos assim o conjunto

de classes de equivalência de túneis homotópicos, vamos munir este conjunto com uma


operação dada por concatenação, como em tranças. E assim como em tranças, os axio-

mas de grupo são satisteitos. O grupo de túnel sobre M baseado em (D;Pn+1, . . . , Pm)

é o grupo

Tm−nM = Tm−nM(D;Pn+1, . . . , Pm)

de classes de homotopia de túneis sobre M baseados em (D;Pn+1, . . . , Pm).

Definimos um homomorfismo

τ : Tm−nM × BnD −→ BmM

como segue: sejam h ∈ Tm−nM e f ∈ BnD. Seja H um túnel sobre M baseado em

(D;Pn+1, . . . , Pm) que representa h, e seja b = (b1, . . . , bn) uma trança sobre D que

representa f . Seja b̃ = (b̃1, . . . , b̃n, b̃n+1, . . . , b̃m) uma trança sobre M definida por

• b̃i(t) = H(bi(t), t), para todo i ∈ {1, . . . , n} e para todo t ∈ [0, 1],

• b̃i(t) = H(Pi, t), para todo i ∈ {n+ 1, . . . , m} e para todo t ∈ [0, 1].

Então, τ(h, f) é o elemento de BmM representado por b̃.

Propriedades 4.1. Destacaremos algumas propriedades da aplicação τ definida acima.

1. Sejam 1 o elemento neutro em Tm−nM e f ∈ BnD, então τ(1, f) = f̄ , onde f̄

é a trança de BmM que pode ser representada geometricamente por uma trança

com as primeiras n cordas correspondentes a um representante de f e as últimas

m − n cordas verticais. Por simplicidade na notação, não vamos distinguir f e

f̄ .

2. Sejam 1 o elemento neutro em BnD e h ∈ Tm−nM , então τ(h, 1) é a classe de

trança em BmM correspondente ao representante de túnel restrito aos pontos Pi,

para todo i = 1, . . . , n, n+ 1, . . . , m.

3. Sejam h ∈ Tm−nM e f ∈ BnD. Então, τ(h, f)−1 = τ(h−1, f−1). Esta é uma

propriedade direta do homomorfismo entre grupos.


Denotamos por Cn,mM a imagem de τ . Seja h ∈ Tm−nM e sejam f, f′

∈ BnD.

Então,

τ(h, f) · f′

· τ(h, f)−1 = τ(1, ff′

f−1) = ff′

f−1 ∈ BnD.

Em particular,

Cn,mM ⊆ NBmM(BnD).

De fato, dado g ∈ Cn,mM existem h ∈ Tm−nM e f ∈ BnD tais que τ(h, f) = g ∈ BmM .

Seja f ′ ∈ BnD, então pelo comentado acima gf′g−1 ∈ BnD. Logo, gBnDg

−1 ⊆ BnD.

Seja agora f ′ ∈ BnD, sabemos que f′ = g(g−1f ′g)g−1 = gf̄g−1 com f̄ = (g−1f ′g) ∈

BnD. Logo, BnD ⊆ gBnDg−1. Como consequência temos que gBnDg

−1 = BnD, ou

seja, g pertence ao normalizador NBmM(BnD).

Teorema 4.2. Sejam n ≥ 2 e M uma superf́ıcie orientável, M 6= S2. Então,

CBmM(BnD) = Cn,mM.

Denotemos por Zn,mM a imagem por τ de Tm−nM × Z(BnD). Temos que,

Zn,mM ⊆ ZBmM(BnD).

De fato, dado g ∈ Zn,mM existem h ∈ Tm−nM e f ∈ Z(BnD) tais que τ(h, f) = g ∈

BmM . Seja f′ ∈ BnD, então

τ(h, f) · f ′ = τ(h, f)τ(1, f ′)

= τ(h, ff ′)

= f ′τ(h, f).

Logo, Zn,mM ⊆ ZBmM(BnD).

Corolário 4.3. Seja n ≥ 2. Então,

CBmM(BnD) = NBmM(BnD) = Cn,mM,

ZBmM(BnD) = Zn,mM.


Observação 4.4. 1. Os autores deixam aberta a questão de não saberem se um

resultado similar vale para superf́ıcies não orientáveis.

2. O Corolário 4.3 generaliza [14, Teorema 4.2].

Denotemos por

B1m−n+1M = B1m−n+1M(P1;Pn+1, . . . , Pm)

o subgrupo de Bm−n+1M = Bm−n+1M(P1, Pn+1, . . . , Pm) formado pelas tranças g ∈

Bm−n+1M tais que σ(g)(P1) = P1. Definimos um morfismo

κ : Tm−nM −→ B1m−n+1M

como segue: sejam h ∈ Tm−nM e H um túnel sobre M baseado em (D;Pn+1, . . . , Pm)

que representa h. Seja b = (b1, bn+1, . . . , bm) a trança definida por

bi(t) = H(Pi, t), para i ∈ {1, n+ 1, . . . , m} e para t ∈ [0, 1].

Então, κ(h) é o elemento de B1m−n+1M representado por b.

Observemos que para h ∈ Tm−1M temos que τ(h, P1) = κ(h) ∈ B1mM , onde P1

denota o caminho constante em P1.

Teorema 4.5. Seja n ≥ 2. Existe um morfismo δ : Cn,mM −→ B1m−n+1M tal que

δ(τ(h, f)) = κ(h),

para todo h ∈ Tm−nM e para todo f ∈ BnD. Ainda mais, temos as seguintes sequências

exatas:

1 // BnD // Cn,mMδ

// B1m−n+1M // 1 e

1 // Z(BnD) // Zn,mMδ

// B1m−n+1M // 1 .

Teorema 4.6. Seja n ≥ 2. Seja M uma superf́ıcie com bordo não vazio ou um toro.

Existe um morfismo ι : B1m−n+1M −→ Zn,mM , tal que δ ◦ ι = id. Em particular,

Cn,mM ≃ B1m−n+1M ×BnD e

Zn,mM ≃ B1m−n+1M × Z(BnD).

Observação 4.7. O Teorema 4.6 generaliza [14, Teorema 4.3] e [29, Teorema 3].


4.2 Demonstrações

Nessa seção temos como objetivo provar os teoremas enunciados na seção anterior,

descrevendo assim o comensurador, normalizador e centralizador de BnD em BmM no

caso em que M é superf́ıcie orientável, distinta da esfera, e D é um disco mergulhado

em M .

Lema 4.8. Seja M uma superf́ıcie com bordo não vazio ou um toro. Existe um mor-

fismo

ι0 : B1m−n+1M −→ Tm−nM

tal que κ ◦ ι0 = id.

A demonstração deste lema involve uma passagem que precisa de teoria de varieda-

des, não vamos colocála aqui pois isto nos distanciaria do objetivo inicial. Uma prova

é encontrada em [27, Lema 5.6].

Lema 4.9. Seja M uma superf́ıcie orientada distinta da esfera. O morfismo κ :

Tm−nM −→ B1m−n+1M é sobrejetor.

Observação 4.10. Os autores deixam aberta a questão de não saberem se um resultado

similar vale para superf́ıcies não orientáveis.

Demonstração: Escolhamos um disco aberto K0 mergulhado em M \ D e que não

contém nenhum ponto Pi para i = n + 1, . . . , m. Pela Proposição 2.9, a inclusão

M \K0 ⊆M induz um epimorfismo

φ : B1m−n+1M \K0 −→ B1m−n+1M.

Assim, temos o seguinte diagrama comutativo:

Tm−nM \K0κ

//

��

B1m−n+1M \K0

φ��

Tm−nMκ

// B1m−n+1M.


Como M \ K0 é superf́ıcie com bordo, então pelo Lema 4.8, κ : Tm−nM \ K0 −→

B1m−n+1M \K0 é sobrejetora. Dáı segue que κ : Tm−nM −→ B1m−n+1M é sobrejetora

também.

A partir de agora fixemos uma seção ι0 : B1m−n+1M −→ Tm−nM de κ. Ainda mais,

pelo Lema 4.8, podemos assumir que ι0 é um morfismo se M é uma superf́ıcie com

bordo não vazio ou um toro. O Teorema 4.2 é uma consequência direta do seguinte

lema, que será provado posteriormente.

Lema 4.11. Seja n ≥ 2. Seja g ∈ CBmM(BnD). Existem u ∈ B1m−n+1M e f ∈ BnD

tais que

g = τ(ι0(u), f).

Demonstração do Teorema 4.2: Já provamos que Cn,mM ⊆ NBmM(BnD) ⊆

CBmM(BnD). Sejam n ≥ 2 e g ∈ CBmM(BnD), pelo Lema 4.11 existem u ∈ B1m−n+1M

e f ∈ BnD tais que g = τ(ι0(u), f). Ou seja, g ∈ Cn,mM .

Logo, Cn,mM = CBmM(BnD).

Estamos agora em condições de provar o Corolário 4.3:

Demonstração do Corolário 4.3: Na seção anterior mostramos que Cn,mM ⊆

NBmM(BnD) ⊆ CBmM(BnD) e pelo Teorema 4.2 CBmM(BnD) = Cn,mM , portanto

temos que CBmM(BnD) = NBmM(BnD) = Cn,mM.

Também mostramos que Zn,mM ⊆ ZBmM(BnD). Seja g ∈ ZBmM(BnD), então

gf = fg, para todo f ∈ BnD. Pelo Teorema 4.2, g ∈ Cn,mM , e portanto existem

h ∈ Tm−nM e f′ ∈ BnD tais que τ(h, f

′) = g ∈ BmM . Provemos que f′ ∈ Z(BnD).

Como τ(h, f ′)τ(1, f) = τ(1, f)τ(h, f ′), então τ(h, f ′f)τ(h−1, (ff ′)−1) = 1, donde se-

gue que f ′f = ff ′, para todo f ∈ BnD. Logo, f′ ∈ Z(BnD) e como consequência

g = τ(h, f ′) ∈ Zn,mM .

Os próximos dois lemas são resultados preliminares à prova do Lema 4.11. Lem-


bremos que Σm denota o grupo de permutações de {P1, . . . , Pm}, que Σn denota o

grupo de permutações de {P1, . . . , Pn} e que Σm−n denota o grupo de permutações de

{Pn+1, . . . , Pm}. Escrevemos

BnmM = σ−1(Σm−n).

Lema 4.12. Sejam n ≥ 1 e g ∈ CBnmM(PBnD). Existem u ∈ B1m−n+1M e f ∈ PBnD

tais que

g = τ(ι0(u), f).

Demonstração: Provemos o Lema 4.12 por indução sobre n. Seja n = 1. Então,

PB1D = {1}, assim

CB1mM(PB1D) = B1mM.

Por outro lado, se u ∈ B1mM , então u = τ(ι0(u), P1), onde P1 denota o caminho

constante sobre P1, pois τ(ι0(u), P1) = κ(ι0(u)).

Sejam n > 1 e g ∈ CBnmM(PBnD). Escrevemos M′ = M\{P1, . . . , Pn−1, Pn+1, . . . , Pm},

e D′ = D \ {P1, . . . , Pn−1}. Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

1 // π1D′ //

��

PBnDρ∗

//

��

PBn−1D //

��

1

1 // π1M′ // BnmM

ρ∗// Bn−1m−1M

// 1.

Pelo Teorema 1.15, ρ∗(g) ∈ CBn−1m−1M(PBn−1D). Por indução, existem u ∈ B1m−n+1M

e f1 ∈ PBn−1D tais que

ρ∗(g) = τ(ι0(u), f1).

Escolhamos f2 ∈ PBnD tal que ρ∗(f2) = f1 e escrevamos

g′ = g · τ(ι0(u), f2)−1.

Notemos que ρ∗(τ(ι0(u), f2)) = τ(ι0(u), ρ∗(f2)), pois o seguinte diagrama é comu-

tativo:

Tm−nM × PBnDτ

//

1×ρ∗

��

BnmM

ρ∗

��

Tm−nM × PBn−1Dτ

// Bn−1m−1M.


Portanto, ρ∗(g′) = ρ∗(g)ρ∗(τ(ι0(u), f2))

−1 = 1.

Agora, τ(ι0(u), f2) ∈ Cn,mM e Cn,mM ⊆ CBmM(BnD). Como [BnD : PBnD] é

finito, então pela Proposição 1.14 temos que CBmM(BnD) = CBmM(PBnD) e já que

τ(ι0(u), f2) ∈ BnmM temos que τ(ι0(u), f2) ∈ CBnmM(PBnD).

Como consequência temos que g′ ∈ π1M′, e que g′ ∈ CBnmM(PBnD), e assim, pelo

Teorema 1.15,

g′ ∈ Cπ1M ′(π1D′).

Consideremos os seguintes casos:

• se m 6= n ou M não é um disco, então M ′ é uma superf́ıcie grande e D′ não é um

colarinho de Möbius em M ′, assim, pelo Teorema 3.1, Cπ1M ′(π1D′) = π1D

′.

• Se m = n e M é um disco, então π1M′ = π1D

′, assim Cπ1M ′(π1D′) = π1D

′.

Dáı segue que g′ = f3 ∈ π1D′ ⊆ PBnD. Logo,

g = f3 · τ(ι0(u), f2) = τ(ι0(u), f3f2).

Lema 4.13. Sejam n ≥ 2 e g ∈ CBmM(BnD). Então, σ(g) é um elemento de Σn ×

Σm−n.

Demonstração: Seja g ∈ CBmM(BnD). Suponhamos que σ(g) 6∈ Σn × Σm−n, sem

perda de generalidade podemos supor que σ(g)(Pn+1) = P1. Seja f ∈ π1(D\{P2, . . . , Pn};P1),

f 6= 1. O grupo PBnD tem ı́ndice finito em BnD. Logo, CBmM(BnD) = CBmM(PBnD).

Como π1(D \ {P2, . . . , Pn}) ⊆ PBnD e como g ∈ CBmM(PBnD), temos que existe um

inteiro k > 0 tal que

gfkg−1 ∈ PBnD.

Consideremos a seguinte sequência exata:

1 // π1(M \ {P1, . . . , Pn, Pn+2, . . . , Pm) // PBmMρ∗

// PBm−1M // 1 .


O homomorfismo ρ∗ envia PBnD isomorficamente sobre PBnD. Por outro lado,

gfkg−1 6= 1, pois f 6= 1 e BmM é livre de torção (M 6= S2, orientável) e ρ∗(gf

kg−1) = 1

(ver Figura 4.1). Isto é uma contradição.

Figura 4.1:

Isto prova que σ(g) ∈ Σn × Σm−n.

Demonstração do Lema 4.11: Seja g ∈ CBmM(BnD). Pelo Lema 4.13, σ(g) ∈

Σn × Σm−n. Escolhemos f1 ∈ BnD tal que σ(gf−11 ) ∈ Σm−n e escrevemos g

′ = gf−1.

Então, g′ ∈ BnmM , g′ ∈ CBmM(BnD), e CBmM(BnD) = CBmM(PBnD), assim

g′ ∈ CBnmM(PBnD).

Pelo Lema 4.12, existem u ∈ B1m−n+1M e f2 ∈ PBnD tais que

g′ = τ(ι0(u), f2).

Portanto, g = τ(ι0(u), f2) · f1 = τ(ι0(u), f2f1).

Demonstração do Teorema 4.5: A prova é dividida em cinco passos.

Passo 1. Definição de δ:

Consideremos o homomorfismo natural

δ0 : BnmM −→ B

1m−n+1M.


Seja g ∈ Cn,mM. Pelo Lema 4.13, σ(g) ∈ Σn × Σm−n. Escolhemos f ∈ BnD tal que

σ(gf−1) ∈ Σm−n e então definimos

δ(g) = δ0(gf−1).

Provemos que a definição de δ(g) não depende da escolha de f . Sejam f1, f2 ∈ BnD

tais que σ(gf−11 ) ∈ Σm−n e σ(gf−12 ) ∈ Σm−n. Então,

δ0(gf−12 )

−1δ0(gf−11 ) = δ0(f2g

−1gf−11 ) = δ0(f2f−11 ) = 1,

e assim δ0(gf−11 ) = δ0(gf

−12 ).

Passo 2. A aplicação δ : Cn,mM −→ B1m−n+1M é um homomorfismo.

Sejam g1, g2 ∈ Cn,mM . Sejam f1, f2 ∈ BnD tais que σ(g1f−11 ) ∈ Σm−n e σ(g2f

−12 ) ∈

Σm−n. Pelo Corolário 4.3,

Cn,mM = NBmM(BnD),

assim existe f3 ∈ BnD tal que g−12 f1g2 = f3. Ainda mais,

σ((g1g2)(f2f3)−1) = σ(g1f

−11 g2f2)

−1 ∈ Σm−n.

Portanto,

δ(g1)δ(g2) = δ0(g1f−11 )δ0(g2f

−12 ) = δ0(g1f

−11 g2f

−12 ) = δ0((g1g2)(f2f3)

−1) = δ(g1g2).

Passo 3. Seja h ∈ Tm−nM e seja f ∈ BnD. Então,

δ(τ(h, f)) = δ(τ(h, 1)τ(1, f)) = δ(τ(h, 1)) · δ(f) = κ(h).

Passo 4. Temos a seguinte sequência exata:

1 // BnD // Cn,mMδ

// B1m−n+1M // 1 .

Seja u ∈ B1m−n+1M. Então,

δ(τ(ι0(u), 1)) = κ(ι0(u)) = u.


Isto mostra que δ é sobrejetora. Seja g ∈ Cn,mM . Pelo Lema 4.11, existem u ∈

B1m−n+1M e f ∈ BnD tais que g = τ(ι0(u), f). Se g ∈ kerδ, então

1 = δ(g) = κ(ι0(u)) = u,

assim

g = τ(ι0(u), f) = τ(1, f) = f ∈ BnD.

Passo 5. Temos a seguinte sequência exata:


// B1m−n+1M // 1 .

Pelo Passo 4, é suficiente mostrar que δ : Zn,mM −→ B1m−n+1M é sobrejetora. Seja

u ∈ B1m−n+1M. Então, τ(ι0(u), 1) ∈ Zn,mM e δ(τ(ι0(u), 1)) = u.

Demonstração do Teorema 4.6: O homomorfismo ι : B1m−n+1M −→ Zn,mM é

definido por

ι(u) = τ(ι0(u), 1), para u ∈ B1m−n+1M.

Pelo Passo 4 na prova anterior, claramente, δ ◦ ι = id.

Agora, como a sequência exata


// B1m−n+1M // 1

cinde, e pelo Corolário 4.3 Zn,mM = ZBmM(BnD), temos que

Zn,mM ≃ B1m−n+1M × Z(BnD),

e já que ZBmM(BnD) ⊆ CBmM(BnD), temos também que

Cn,mM ≃ B1m−n+1M ×BnD.

Caṕıtulo 5

Comensurador, normalizador, e

centralizador de BnN em BmM

Sejam M uma superf́ıcie grande e N uma subsuperf́ıcie de M tal que N não é nem

um disco, nem um colarinho de Möbius em M , e tal que nenhuma das componentes

conexas de M \N é um disco. Sejam N1, . . . , Nr as componentes conexas de M \N .

Sejam P1, . . . , Pn ∈ N e Pn+1, . . . , Pm ∈M \N . Para i = 1, . . . , r escrevemos

Pi = {Pn+1, . . . , Pm} ∩Ni e BniNi = BniNi(Pi),

onde ni denota a cardinalidade de Pi. Se ni = 0, faremos a convenção que B0Ni = {1}.

O objetivo deste caṕıtulo é provar o seguinte teorema, com as hipóteses mencionadas

acima:

Teorema 5.1.

CBmM(BnN) = BnN × Bn1N1 × · · · × BnrNr.

Corolário 5.2.

CBmM(BnN) = NBmM(BnN) = BnN × Bn1N1 × · · · × BnrNr e

ZBmM(BnN) = Z(BnN) ×Bn1N1 × · · · ×BnrNr.

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5.1 Ação de π1N sobre Π1(M \ {P0}) 51

Este caṕıtulo será dividido em duas seções. Na primeira seção estudaremos uma

ação de π1N sobre algum grupóide Π1(M \ {P0}). Na segunda seção aplicaremos os

resultados da primeira para provar o Teorema 5.1.

5.1 Ação de π1N sobre Π1(M \ {P0})

Durante esta seção, fixemos um ponto P0 ∈ N e um ponto Pi ∈ Ni, para todo i =

1, . . . , r. Além disso, não assumiremos que nenhuma das componentes conexas de

M \N é um disco.

Daremos uma definição de um grupóide na linguagem da Teoria de Categorias:

Definição 5.3. Um grupóide é uma pequena categoria na qual todo morfismo é um

isomorfismo. Mais precisamente, um grupóide é formado pelos seguintes dados:

• um conjunto G0 de objetos,

• para cada par de objetos x e y em G0, existe um conjunto G(x, y) de morfismos

(ou setas) de x até y. Escrevemos f : x → y para indicar que f é um elemento

de G(x, y).

• uma função, chamada composição, a qual associa a cada g ∈ G(y, z) e a cada

f ∈ G(x, y) um elemento gf ∈ G(x, z); ou seja, composição é uma função

G(x, y) ×G(y, z) −→ G(x, z).

Esses objetos e morfismos devem satisfazer os seguintes axiomas:

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Subgrupos geom´etricos e seus comensuradores em grupos de ... · Introdu¸c˜ao Os grupos de...

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