Subgrupos geom´etricos e seus comensuradores em grupos de tranc¸as de superf´ıcie Oscar Eduardo...

Subgrupos geometricos e seus

comensuradores em grupos

de trancas de superfıcie

Oscar Eduardo Ocampo Uribe

Dissertacao apresentada

ao

Instituto de Matematica e Estatıstica

da

Universidade de Sao Paulo

para

obtencao do tıtulo

de

Mestre em Ciencias

Programa: Matematica

Orientador: Prof. Dr. Daciberg Lima Goncalves

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxılio financeiro da

CAPES/CNPq

Sao Paulo, marco de 2009

Subgrupos geometricos e seus

comensuradores em grupos

de trancas de superfıcie

Este exemplar corresponde a redacao

final da dissertacao devidamente corrigida

e defendida por Oscar Eduardo Ocampo Uribe

e aprovada pela Comissao Julgadora.

Banca Examinadora:

• Prof. Dr. Daciberg Lima Goncalves (orientador) - IME-USP.

• Prof. Dr. Tomas Edson Barros - DM-UFSCar.

• Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto - ICMC-USP.

Resumo

Seja BmM o grupo de trancas com m cordas sobre uma superfıcie M e seja N

uma subsuperfıcie de M . Estudaremos inicialmente condicoes necessarias e suficientes

para as quais BnN e um subgrupo de BmM (m podendo ser diferente de n), isto e,

se considerarmos a inclusao i : N → M , queremos estabelecer condicoes sobre M e N

para que a aplicacao induzida i∗ : BnN → BmM seja injetora. Em seguida, sob certas

hipoteses para N e M calcularemos o comensurador, normalizador e centralizador de

BnN em BmM , sendo esse o objetivo principal desta dissertacao.

Palavras chave: Grupos de trancas; subgrupos geometricos; comensurador; sequencia

de Fadell-Neuwirth; grupos de trancas de superfıcie.

Abstract

Let Bm(M) be the braid group with m strings on a surface M and let N be a

subsurface of M . We will study the necessary and sufficient conditions out of which

Bn(N) is a subgroup of Bm(M) (m can be different of n), it means, if we consider

the inclusion i : N → M , we would like to establish conditions for M and N for

the induced application i∗ : BnN → BmM should be injective. After that, under

some certain conditions for M and N we will calculate the commensurator, normalizer

and centralizer of Bn(N) in Bm(M), being this one the principal objective of this work.

Keywords: Braid groups; geometric subgroups; commensurator; Fadell-Neuwirth se-

quence; surface braid groups.

i

Sumario

Introducao v

1 Preliminares 1

1.1 Grupos de trancas de superfıcies e espacos de configuracao . . . . . . . 1

1.2 Torcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 O subgrupo comensurador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Resultados basicos 13

2.1 Centros e superfıcies grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Subsuperfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Centros dos grupos de trancas do cilindro e do toro . . . . . . . . . . . 19

3 Comensurador, normalizador e centralizador de π1N em π1M 25

3.1 Grafos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Demonstracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Comensurador, normalizador, e centralizador de BnD em BmM 38

4.1 Definicoes e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Demonstracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Comensurador, normalizador, e centralizador de BnN em BmM 50

5.1 Acao de π1N sobre Π1(M \ {P0}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Prova do Teorema 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

ii

6 Consideracoes finais 75

6.1 Casos remanescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.1.1 A esfera S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.1.2 O plano projetivo P 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1.3 Outros casos interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.1.4 Casos remanescentes (como subgrupos geometricos) . . . . . . . 79

6.2 Subgrupos geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.1 Alguns casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7 Anexo 83

Referencias Bibliograficas 88

iii

Agradecimentos

Gostaria de agradecer ao professor Daciberg pela orientacao, disponibilidade e conhe-

cimentos transmitidos e ao professor John Guaschi, da Universidade de Caen, pela

motivacao no estudo da teoria de trancas, pelas discussoes dos assuntos da dissertacao

tanto na sua estada no Brasil como a distancia, assim como pela incansavel revisao

desta dissertacao.

Agradeco ao professor Raul Ferraz por sua valiosa ajuda em algumas questoes

algebricas. Aos professores e alunos do grupo de topologia algebrica do IME, em

particular as professoras Lucılia Borsari e Fernanda Cardona, e ao Anderson por suas

pertinentes correcoes de portugues.

Quero registrar tambem minha gratidao a professora Debora Tejada, da Universidad

Nacional de Colombia, por me “apresentar” a topologia algebrica.

Fico eternamente agradecido a minha famılia, cujo apoio e ajuda foram impres-

cindıveis para esta conquista.

Finalmente, a todas as pessoas e amigos que de uma forma ou outra colaboraram

neste processo quero lhes dizer obrigado e “muchas gracias a todos”.

iv

Introducao

Os grupos de trancas do plano E2 foram definidos por Artin [1], e muito estudados

em [2, 3]. Posteriormente, eles foram generalizados usando a definicao dada por Fox

(com a nocao de espaco de configuracao) a espacos topologicos arbitrarios [15]. Em [5],

Birman provou que se M r e uma variedade conexa de dimensao r ≥ 3, entao a teoria de

trancas e de pouco interesse, no sentido da Proposicao 1.2 deste trabalho. Os grupos de

trancas de superfıcies compactas, conexas sem bordo tem sido amplamente estudados;

tais grupos sao finitamente apresentados, e apresentacoes destes foram inicialmente

obtidas em [5, 30].

O grupo de m-trancas de uma superfıcie M surge da seguinte forma: escolha um

conjunto P(m) de m pontos distinguidos sobre M . Construa trancas sobre M × I as

quais comecam em P(m) × 0 e terminam em P(m) × 1. A composicao de trancas e

definida por concatenacao e re-escalamento. As deformacoes permitidas sao homoto-

pias de cordas individuais que, durante estas, cordas distintas nunca se intersectam.

Existe um homomorfismo natural do grupo de trancas BmM no grupo simetrico de m

elementos, e seu nucleo e o grupo de trancas puras PBmM .

Este trabalho estuda certos subgrupos de BmM e PBmM . Se H e um subgrupo de

um grupo G, denotaremos por NG(H), ZG(H) o normalizador e o centralizador de H

em G, respectivamente. O comensurador de H em G, denotado por CG(H), e formado

pelos elementos g ∈ G tais que gHg−1 ∩H tem ındice finito em gHg−1 e em H . Nosso

principal interesse sera estudar os seguintes objetos: o comensurador, normalizador e

centralizador em BmM do grupo de trancas BnN de certas subsuperfıcies N ⊂ M .

Para isto, dividimos este trabalho em sete capıtulos. No Capıtulo 1 revisaremos

v

algumas nocoes gerais da teoria de trancas, assim como resultados conhecidos sobre

apresentacoes destes grupos, a existencia de elementos de torcao e a identificacao dos

casos especiais onde sabe-se que BmM e finito. No final deste capıtulo faremos uma

discussao sobre o subgrupo comensurador de um grupo dado.

Um rapido estudo sobre superfıcies e subsuperfıcies, com relacao aos grupos de

trancas, sera abordado no Capıtulo 2. Mostraremos que para quase todas as superficies

compactas (tem um numero finito e pequeno de excecoes), o centro do grupo de trancas

e trivial. Seja BmM o grupo de trancas com m cordas sobre uma superfıcie M e seja

N uma subsuperfıcie de M . Estabeleceremos condicoes necessarias e suficientes para

as quais BnN e um subgrupo de BmM (m podendo ser diferente de n); tais subgrupos

sao conhecidos como subgrupos geometricos de BmM . Tambem no segundo capıtulo

descreveremos os centros dos grupos de trancas do cilindro e do toro.

Nos tres capıtulos seguintes desta dissertacao concentraremos nossa atencao no

estudo dos subgrupos comensurador, normalizador e centralizador de BnN em BmM ,

sempre com a condicao que nenhuma componente conexa deM \N seja um disco. Para

isso usamos tres ferramentas (teorias) distintas que foram separadas em capıtulos.

No Capıtulo 3 usamos teoria de grafos de grupos para calcular tais subgrupos no

caso em que m = n = 1 e sem mais condicoes para M e N . Ja no Capıtulo 4 introduzi-

remos a nocao de tunel geometrico sobre uma superfıcie para calcular estes subgrupos

com a condicao que M seja uma superfıcie orientada diferente da esfera e N seja um

disco mergulhado em M . No Capıtulo 5 consideraremos M uma superfıcie grande e N

tal que, alem de M \N nao ter componentes conexas que sejam discos, nao seja um

colarinho de Mobius em M . Como antes, introduziremos um novo objeto geometrico

que chamaremos de interbraid e sob as condicoes mencionadas, com ajuda de um certo

grupoide, calcularemos os subgrupos comensurador, normalizador e centralizador em

BmM do grupo de trancas BnN .

Ja no Capıtulo 6, comentaremos alguns casos remanescentes, deixando claro quais

foram os varios casos nao considerados no artigo [27], base deste trabalho. Revisamos

tambem alguns subgrupos geometricos do grupo fundamental de uma superfıcie, bem

vi

como uma relacao de certos subgrupos do grupo de trancas de uma superfıcie M com

o grupo fundamental de uma superfıcie perfurada obtida a partir de M .

Para finalizar, no ultimo capıtulo, provaremos um par de resultados obtidos no

trabalho dos comensuradores quando o grupo e π1M , onde M e uma superfıcie com-

pacta. Neste capıtulo temos tambem uma aplicacao, dos subgrupos comensuradores

calculados, a teoria de representacoes de grupos unitaria. Esta aplicacao foi inspirada

no trabalho de D. Rolfsen ([29]) relacionado com os grupos comensuradores de grupos

de trancas classicos.

vii

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo estabeleceremos alguns conceitos basicos na teoria de trancas, bem como

outros resultados algebricos necessarios para o bom desenvolvimento deste trabalho.

Para uma leitura inicial desta teoria recomendamos [24, 26], livros que involvem as-

pectos geometricos e algebricos, usando pontos de vista diferentes.

1.1 Grupos de trancas de superfıcies e espacos de

configuracao

Seja M uma variedade topologica e escolhamos {P1, P2, ..., Pm}, m pontos distintos

em M . Por todo este trabalho convencionaremos que os pontos escolhidos sempre

pertencem ao interior de M . Uma tranca com m cordas sobre M , baseada em

(P1, P2, ..., Pm), e uma m-upla b = (b1, b2, ..., bm) de caminhos, bi : [0, 1] −→ M , tais

que

1) bi(0) = Pi e bi(1) ∈ {P1, ..., Pm}, para todo i ∈ {1, ..., m},

2) bi(t) 6= bj(t), para todos i, j ∈ {1, ..., m} i 6= j, e para todo t ∈ [0, 1].

Daremos, a seguir, uma outra definicao de tranca sobre uma superfıcie M em ter-

mos de uma colecao de cordas sobre o produto M × [0, 1]. Como antes, escolhamos

{P1, P2, ..., Pm}, m pontos distintos em M , e denotemos, para i = 1, 2, . . . , n, Pi × {0}

1

1.1 Grupos de trancas de superfıcies e espacos de configuracao 2

sobre M × {0} por Ai e Pi × {1} sobre M × {1} por Bi. Agora, juntemos n cordas

entre os pontos {A1, . . . , Am} e {B1, . . . , Bm} em M × [0, 1], mas com a condicao que

para qualquer superfıcie de nıvel dada M ×{t}, com 0 ≤ t ≤ 1, existam exatamente m

pontos de intersecao. Esta configuracao de m cordas e chamada uma m-tranca em M .

Proposicao 1.1. As duas definicoes de trancas dadas sao equivalentes.

Demonstracao: Sejam M uma superfıcie e escolhamos m pontos distintos em M ,

digamos {P1, P2, ..., Pm}. Seja b = (b1, b2, ..., bm) uma tranca com m cordas, entao

bi : [0, 1] −→ M e um caminho em M , para todo i ∈ {1, . . . , m}. Cada caminho bi,

para i ∈ {1, . . . , m}, pode ser visto como uma corda em M × [0, 1] que comeca em

Pi × {0} e termina em bi(1) × {1}, parametrizando pela altura, assim:

di(t) = (bi(t), t), para todo t ∈ [0, 1].

Temos assim uma colecao {d1, . . . , dm}, formada por m cordas em M × [0, 1], entre

os pontos {(P1, 0), (P2, 0), ..., (Pm, 0)} e os pontos {(b1(1), 1), (b2(1), 1), ..., (bm(1), 1)}.

Pela Condicao 2) temos que bi(t) 6= bj(t), para todo i, j ∈ {1, . . . , m} e para todo

t ∈ [0, 1], portanto para qualquer superfıcie de nıvel dada M × {t}, com 0 ≤ t ≤ 1,

existem somente m pontos de intersecao. Logo, tal configuracao de cordas e uma

m-tranca sobre M .

Reciprocamente, dada uma m-tranca sobre M , pela definicao em termos de uma

colecao de cordas sobre o produto M × [0, 1], e claro que se projetarmos M × [0, 1]

sobre M × {0}, a colecao de cordas define uma colecao de caminhos satisfazendo as

condicoes 1) e 2) descritas na definicao inicial.

Dada umam-tranca sobreM baseada em (P1, P2, ..., Pm), digamos b = (b1, b2, ..., bm),

podemos associar uma permutacao de {P1, P2, ..., Pm}, que chamaremos de permutacao

de trancas associada a b, assim: Pi 7→ bi(1), para todo i ∈ {1, . . . , m}. Tal aplicacao e

de fato uma permutacao pois bi(1) 6= bj(1), para todo i, j ∈ {1, . . . , m} em virtude da

Condicao 2) estabelecida na definicao de trancas.


Existe uma nocao natural de homotopia de trancas. Diremos que duas trancas com

m cordas sobre M , digamos a = (a1, . . . , am), b = (b1, . . . , bm), e mesma permutacao τ

sao homotopicas se existirem m aplicacoes continuas

Fi : [0, 1] × [0, 1] −→ M, 1 ≤ i ≤ m, tais que,

• para todo 0 ≤ t ≤ 1 e para todo 1 ≤ i ≤ m tem-se que Fi(t, 0) = ai(t) e

Fi(t, 1) = bi(t),

• para todo 0 ≤ s ≤ 1 e para todo 1 ≤ i ≤ m tem-se que Fi(0, s) = Pi e Fi(1, s) =

ai(1) = bi(1),

e tais que se definimos csi : [0, 1] −→ M por csi (t) = Fi(t, s), entao cs = {cs1, . . . , csm} e

uma tranca (com permutacao τ) para cada 0 ≤ s ≤ 1.

Homotopia de trancas e uma relacao de equivalencia, o grupo de trancas com m

cordas sobre M (com ponto base (P1, . . . , Pm)) e o grupo

BmM = BmM(P1, . . . , Pm)

de classes de homotopia de trancas baseadas em (P1, . . . , Pm). A operacao de grupo

e a concatenacao de trancas, generalizando a construcao do grupo fundamental. De

fato, para m = 1 temos claramente

B1(M)(P1) = π1(M,P1).

Para m > 1 e util considerar a classe de trancas puras, que tem a propriedade

bi(1) = Pi. Estas formam um subgrupo de BmM que denotaremos por

PBmM = PBmM(P1, . . . , Pm)

e o chamaremos o grupo de trancas puras com m cordas sobre M (com ponto base

(P1, . . . , Pm)).

Seja Σm o grupo de permutacoes de {P1, . . . , Pm}. Existe um epimorfismo natural

σ : BmM −→ Σm; seu nucleo e o grupo de trancas puras, portanto temos uma sequencia

exata

1 // PBmM // BmMσ

// Σm// 1.


Observemos que, se M e uma variedade conexa de dimensao pelo menos dois,

entao BmM e PBmM nao dependem (a menos de isomorfismo) da escolha dos pontos

P1, . . . , Pm. Uma m-tranca naturalmente da lugar a m caminhos diferentes em M sob a

aplicacao b 7→ (b1, . . . , bm). No caso das trancas puras tais caminhos sao lacos, portanto

existe um homomorfismo natural

θ : PBmM −→ π1(M,P1) × · · · × π1(M,Pm) ∼= π1(Mm, (P1, . . . , Pm)),

onde Mm denota o produto cartesiano de M , m vezes.

A seguinte proposicao e provada em [5].

Proposicao 1.2. Se M e uma variedade conexa com dim(M) > 2, a aplicacao θ e um

isomorfismo. Para dim(M) = 2, θ e sobrejetora.

Tal prova usa a nocao de espacos de configuracao para descrever grupos de trancas

(ver [12, 15, 24].) Denotemos por FmM o espaco de configuracao de pontos ordenados

de M , em outras palavras, FmM = (Mm \ V ), onde V e a grande diagonal, formada

pelas m-uplas x = (x1, . . . , xm) tais que xi = xj , para algum i 6= j. Se M e uma

superfıcie temos que FmM e uma variedade de dimensao 2m. Da propria definicao de

FmM temos claramente um isomorfismo

PBmM ∼= π1(FmM).

Por causa da Proposicao 1.2, a teoria de trancas (como feita aqui) e de pouco

interesse para dimensao ≥ 3 e concentraremos nossa atencao sobre dimensao dois, isto

e, grupos de trancas de superfıcies.

No restante deste trabalho, M denotara uma superfıcie conexa, podendo ser

com bordo, assim como nao orientavel. Para evitar patologias assumiremos

que M e compacta, ou pelo menos que e uma variedade compacta “perfu-

rada”, ou seja, M e homeomorfa a uma 2-variedade compacta, eventualmente com um

conjunto finito de pontos removidos do interior de M .

Existe uma acao natural de Σm sobre FmM , que permuta as coordenadas. Esta

acao e livre e portanto FmM e um revestimento de FmM/Σm. Denotaremos o espaco


de orbitas, chamado de espaco de configuracao de pontos nao ordenados (ou espaco de

m-uplas nao ordenadas), por

FmM = FmM/Σm.

Podemos ver o grupo de trancas completo como o grupo fundamental

BmM ∼= π1(FmM).

A inclusao PBmM ⊆ BmM pode ser interpretada como a aplicacao induzida pela

aplicacao de revestimento FmM −→ FmM , que tem fibra Σm. Fox e Neuwirth perce-

beram que BmD2, o grupo de m-trancas do disco D2, coincide com o grupo de trancas

de Artin.

Uma das ferramentas mais usadas quando se estudam grupos de trancas e a fibracao

de Fadell-Neuwirth e suas generalizacoes, ver por exemplo [12, 19, 24]. Como observado

em [12], se M e uma variedade e 1 ≤ n < m, a aplicacao ρ : FmM −→ FnM definida

por

ρ(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn)

e uma fibracao (localmente trivial) com fibra

Fm−n(M \ {P1, . . . , Pn}).

Daı temos uma sequencia longa exata de grupos de homotopia destes espacos.

A superfıcie perfurada M \{P1, . . . , Pm−1} (m ≥ 2) tem o mesmo tipo de homotopia

de um complexo 1-dimensional. Mostraremos que isto e verdade:

πk(FmM) ∼= πk(Fm−1M) ∼= · · · ∼= πk(M), k ≥ 3,

e π2(FmM) ⊆ π2(Fm−1M) ⊆ · · · ⊆ π2(M).

De fato, a sequencia longa exata em homotopia associada com a fibracao de Fadell-

Neuwirth para n = m− 1 tem a forma

· · · −→ πk+1(Fm−1M) −→ πk(M \ {P1, . . . , Pm−1}) −→ πk(FmM)


−→ πk(Fm−1M) −→ πk−1(M \ {P1, . . . , Pm−1}) −→ · · ·

Se k = 2, temos um monomorfismo π2(FmM) −→ π2(Fm−1M). Se k > 2, temos um

isomorfismo πk(FmM) −→ πk(Fm−1M). Daqui segue o resultado desejado.

Como casos excepcionais na teoria geral temos a esfera S2 e o plano projetivo P 2,

ja que estas sao as unicas superfıcies que existem com grupos de homotopia nao triviais

para nıveis altos.

Proposicao 1.3. Suponha que M e uma superfıcie conexa, M 6= S2, P 2 e k ≥ 2.

Entao, πk(FmM) e πk(FmM) sao grupos triviais.

Demonstracao: Como FmM −→ FmM e uma aplicacao de revestimento e suficiente

provar a proposicao para FmM . Mas isto segue pelas observacoes feitas acima, ja que

πk(M) = {1} para k ≥ 2.

Juntando isto com a fibracao de Fadell-Neuwirth obtemos a seguinte, que chama-

remos de sequencia exata de trancas puras:

Proposicao 1.4. Suponha que M e uma superfıcie conexa, M 6= S2, P 2, e 1 ≤ n < m.

Existe uma sequencia exata

1 // PBm−n(M \ {P1, . . . , Pn}) // PBmMρ∗

// PBnM // 1 .

Demonstracao: Segue imediatamente da sequencia longa exata de grupos de homo-

topia associada com a fibracao de Fadell-Neuwirth.

Observacao 1.5. 1. No caso da superfıcie S2 a sequencia exata da Proposicao 1.4

e tambem valida se n ≥ 3, e para a superfıcie P 2 e valida se n ≥ 2.

2. A aplicacao ρ∗ da Proposicao 1.4 pode ser vista como a induzida por uma aplicacao

geometrica que esquece as ultimas m− n cordas da tranca.

3. E provado em [18] que a sequencia exata de trancas puras, para M superfıcie

compacta, orientavel, conexa e de genus maior ou igual a dois cinde se, e somente

1.2 Torcao 7

se, n = 1. No caso em que M = P 2, em [19], e provado que tal sequencia nao

cinde se n ≥ 3. Alem disso, se n ≥ 3 e provado que Fm(P 2) −→ Fn(P2) nao

admite secao.

Sejam Σn o grupo de permutacoes de {P1, . . . , Pn} e Σm−n o grupo de permutacoes

de {Pn+1, . . . , Pm}. A aplicacao de Fadell-Neuwirth proporciona uma fibracao (local-

mente trivial)

ρ : FmM/(Σn × Σm−n) −→ FnM/Σn = FnM,

com fibra (Fm−nM \ {P1, . . . , Pn})/Σm−n = Fm−nM \ {P1, . . . , Pn}. Portanto:

Proposicao 1.6. Suponha que M e uma superfıcie conexa, M 6= S2, P 2 e 1 ≤ n < m.

Existe uma sequencia exata

1 // Bm−n(M \ {P1, . . . , Pn}) // σ−1(Σn × Σm−n) // BnM // 1 .

Observamos que Σn×Σm−n se identifica a um subgrupo de Σm, e que σ−1(Σn×Σm−n)

se denota por Bn,m−n(M).

1.2 Torcao

Exceto para M = S2, P 2, o espaco de configuracao Fm(M) e um espaco de Eilenberg-

MacLane, ou seja, um espaco do tipo K(π, 1) com π = Bm(M) e portanto e um espaco

classificante para Bm(M). Usando a Proposicao 2.2 e o Corolario 2.5 do Capıtulo

VIII de [7], temos que para um grupo com elementos de ordem finita o seu espaco

classificante e um complexo de dimensao infinita. Como Fm(M) tem dimensao finita,

entao temos a seguinte,

Proposicao 1.7. Se M e uma superfıcie conexa, M 6= S2, P 2, entao seus grupos de

trancas Bm(M) nao tem elementos de ordem finita.

Os grupos de trancas de S2 e P 2 tem torcao (com a excecao do grupo trivial B1(S2)).

Faremos uma rapida revisao disso seguindo [13, 33]. Para S2 tomemos todos os pontos

1.2 Torcao 8

base num disco D2 ⊆ S2 e sejam σ1, . . . , σm−1 os geradores de tranca padrao para

Bm(D2). Eles geram as relacoes de trancas classicas

(∗)

σiσj = σjσi, |i− j| ≥ 2;

σiσi+1σi = σi+1σiσi+1, 1 ≤ i ≤ m− 2.

Os mesmos σi podem ser tomados como geradores de Bm(S2), eles ainda satisfa-

zem as relacoes (∗). A palavra σ1σ2 · · ·σm−1σm−1 · · ·σ2σ1 pode ser vista como uma

tranca (pura) na qual P1 circula ao redor dos pontos P2, . . . , Pm, enquanto esses pontos

permanecem fixos. Esta tranca e homotopica a tranca identidade, portanto temos a

relacao adicional

σ1σ2 · · ·σm−1σm−1 · · ·σ2σ1 = 1.

E mostrado em [13] que esta relacao junto com (∗) sao relacoes que definem Bm(S2).

O elemento τ = σ1σ2 · · ·σm−1 tem ordem 2m em Bm(S2), ver [13, 26].

Para o plano projetivo tomemos os σi como acima, correspondentes ao disco com os

pontos base no interior, e seja ρj uma tranca na qual o ponto base Pj percorre um laco

nao trivial em P 2 enquanto os outros pontos base permanecem fixos. Em [33], tem-se

uma descricao precisa e uma prova que Bm(P 2) e apresentado pelos 2m− 1 geradores

σ1, . . . , σm−1, ρ1, . . . , ρm e relacoes (∗) junto com

σiρj = ρjσi, j 6= i, i+ 1,

ρi = σiρi+1σi,

σ2i = ρ−1

i+1ρ−1i ρi+1ρi,

ρ21 = σ1σ2 · · ·σm−1σm−1 · · ·σ2σ1.

O elemento τ como definido acima, mas considerado como um elemento de Bm(P 2),

de novo tem ordem 2m, alem disso tal elemento gera o centro de Bm(P 2), ver [33].

Temos assim o teorema de Van Buskirk, que para cada m ≥ 2, o grupo de trancas de

superfıcie BmM tem elementos de ordem finita se, e somente se, M = S2 ou P 2.

Alem disso e provado que os unicos grupos de trancas finitos sao B1(P2), B2(P

2),

B2(S2), B3(S

2) e claramente B1(S2) que e trivial. De fato:

1.3 O subgrupo comensurador 9

• B2(S2) e isomorfo a Z2,

• B3(S2) tem ordem 12, e isomorfo ao produto semi-direto Z3 ⋊ Z4, onde a acao e

a nao trivial,

• B1(P2) e isomorfo a Z2,

• B2(P2) e grupo de ordem 16, isomorfo ao grupo dos quaternios generalizados

Q16 e cujo subgrupo de trancas puras e isomorfo com o grupo dos quaternios

{±1,±i,±j,±k}.

Logo, para m ≥ 3 temos que Bm(P 2) e Bm+1(S2) sao grupos infinitos.

1.3 O subgrupo comensurador

Vamos enunciar, sem prova, algumas propriedades basicas que envolvem ındices de

um subgrupo. A seguinte definicao, assim como as propriedades enunciadas a seguir

sem prova, sao encontradas em [28]. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G.

Escolhamos um elemento de cada classe lateral a esquerda de H , e denotemos por T o

conjunto resultante de representantes de classes laterais a esquerda. Entao, G e uniao

disjunta

G =⋃

t∈T

tH

e todo elemento de G pode ser unicamente escrito na forma th, com t ∈ T, h ∈ H . O

conjunto T e chamado uma transversal a esquerda de H em G. Notemos que |T | e igual

a cardinalidade do conjunto de classes laterais a esquerda de H . As vezes e conveniente

escolher 1, o elemento neutro, como representante da classe lateral a esquerda de H ,

de modo que 1 ∈ T .

Proposicao 1.8. Sejam K ≤ H ≤ G. Se T e uma transversal a esquerda de H em G

e U e uma transversal a esquerda de K em H, entao TU e uma transversal a esquerda

de K em G. Assim,

[G : K] = [G : H ] · [H : K].


Especializando ao caso K = {1}, obtemos o famoso Teorema de Lagrange.

Teorema 1.9. Se G e um grupo e H e um subgrupo de G, entao |G| = [G : H ] · |H| .

Se G e finito, entao [G : H ] = |G| / |H| . Portanto, a ordem de um subgrupo sempre

divide a ordem do grupo se o ultimo e finito.

Proposicao 1.10. Sejam H e K subgrupos de um grupo G.

(i) |HK| · |H ∩K| = |H| · |K|, portanto [H : H ∩ K] = |HK| / |K| se H e K sao

finitos.

(ii) [G : H ∩K] ≤ [G : H ] · [G : K], com igualdade se os ındices [G : H ] e [G : K] sao

finitos e coprimos.

Como consequencia da Proposicao 1.10 (ii) temos a seguinte proposicao.

Proposicao 1.11. A intersecao de um conjunto finito de subgrupos, cada um deles de

ındice finito, e por sua vez de ındice finito.

Proposicao 1.12. Se G e um grupo cıclico infinito e {1} 6= H ≤ G, entao [G : H ] e

finito.

Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. O conjunto formado pelos elementos

g ∈ G tais que gHg−1 ∩H tem ındice finito em gHg−1 e em H , e um subgrupo de G

chamado o subgrupo comensurador de H em G, que denotaremos por CG(H).

Claramente, se H e um subgrupo de ordem finita em G, ou H e normal em G, ou

se G e abeliano, entao CG(H) = G. Daı segue que se H = Z(G), o centro de G, ou se

H = [G,G], o subgrupo comutador de G, entao temos, nesses casos, que CG(H) = G.

Em particular temos que ZG(Z(G)) = NG(Z(G)) = CG(Z(G)) = G.

Denotemos por ZG(H), e NG(H) o centralizador de H em G, e o normalizador de

H em G, respectivamente. Seja g ∈ ZG(H), entao gh = hg para todo h ∈ H , daı,

ghg−1 = h para todo h ∈ H e portanto g ∈ NG(H). Tomemos agora f ∈ NG(H),

entao fHf−1 = H , e portanto fHf−1 ∩H = H que obviamente tem ındice finito em

H e em fHf−1. Logo, f ∈ CG(H). Provamos assim a seguinte


Proposicao 1.13.

ZG(H) ⊆ NG(H) ⊆ CG(H).

Proposicao 1.14. Sejam G um grupo e H,F subgrupos de G tais que F ≤ H. Se F

tem ındice finito em H, entao

CG(H) = CG(F ).

Demonstracao: Seja g ∈ CG(F ), portanto F1 = gFg−1 ∩ F tem ındice finito em

F e em gFg−1. Seja H1 = gHg−1 ∩ H , provemos que H1 tem ındice finito em H e

em gHg−1. Pela Proposicao 1.11 temos que [H : F1] e finito. Temos tambem que

[H : H1][H1 : F1] = [H : F1], donde segue que [H : H1] e finito. De forma similar

prova-se que [gHg−1 : H1] e finito. Portanto, g ∈ CG(H).

A outra inclusao prova-se em forma completamente analoga.

Vamos relacionar, a seguir, sequencia exata de grupos com certos subgrupos co-

mensuradores.

Teorema 1.15. Consideremos uma sequencia exata

1 // G1// G2

φ// G3

// 1 .

Suponhamos que G1 ≤ G2 e sejam H2 ⊆ G2 um subgrupo, H3 = φ(H2), e H1 = H2∩G1.

Entao,

φ(CG2(H2)) ⊆ CG3

(H3),

CG2(H2) ∩G1 ⊆ CG1

(H1).

Demonstracao: Seja g ∈ CG2(H2). Escrevemos

F2 = H2 ∩ gH2g−1.

Sejam h1, . . . , hk ∈ H2 tais que

H2 = F2 ∪ h1F2 ∪ · · · ∪ hkF2.


Entao,

φ(H2) = H3 = φ(F2) ∪ φ(h1)φ(F2) ∪ · · · ∪ φ(hk)φ(F2).

Portanto, φ(F2) tem ındice finito em H3. Ainda mais,

φ(F2) = φ(H2 ∩ gH2g−1) ⊆ φ(H2) ∩ φ(gH2g

−1) = H3 ∩ φ(g)H3φ(g)−1,

assim H3 ∩ φ(g)H3φ(g)−1 tem ındice finito em H3. Similarmente, H3 ∩ φ(g)H3φ(g)−1

tem ındice finito em φ(g)H3φ(g)−1. Portanto, φ(g) ∈ CG3(H3).

Seja g ∈ CG2(H2) ∩H1. Escrevemos

F2 = H2 ∩ gH2g−1.

Sejam h1, . . . , hk ∈ H2 tais que

H2 = F2 ∪ h1F2 ∪ · · · ∪ hkF2.

Assumimos que

hiF2 ∩H1 6= ∅, para i = 1, . . . , l,

hiF2 ∩H1 = ∅, para i = l + 1, . . . , k.

Podemos assumir tambem que hi ∈ H1, para i = 1, . . . , l. Entao,

H1 = (F2 ∩H1) ∪ h1(F2 ∩H1) ∪ · · · ∪ hl(F2 ∩H1).

Ainda mais,

F2 ∩H1 = H2 ∩ gH2g−1 ∩H1 = H1 ∩ gH1g

−1.

Assim, H1 ∩ gH1g−1 tem ındice finito em H1. Similarmente, H1 ∩ gH1g

−1 tem ındice

finito em gH1g−1. Portanto, g ∈ CG1

(H1).

Capıtulo 2

Resultados basicos

Neste capıtulo mostraremos primeiro que o centro do grupo de trancas de uma grande

famılia de superfıcies compactas e trivial. Em segundo lugar, seja M uma superfıcie e

N o fecho de um subconjunto aberto de M , estabeleceremos condicoes sobre as quais

o morfismo induzido ψ : BnN −→ BmM e injetor ou sobrejetor. No caso em que tal

morfismo ψ e injetor podemos pensar que BnN e subgrupo de BmM , tais subgrupos

sao conhecidos como subgrupos geometricos de BmM . Finalmente, descreveremos o

centro dos grupos de trancas do cilindro e do toro.

2.1 Centros e superfıcies grandes

O centro Z(G) de um grupo G e o subgrupo de elementos que comutam com todos

os elementos do grupo. Chow ([10]) provou que os grupos Bm = Bm(D2) tem centro

cıclico infinito, para m ≥ 2, cujo gerador e o elemento τ = σ1σ2 · · ·σm−1. Alguns

outros grupos de trancas de superfıcie tambem tem centros nao triviais: aqueles de

S2 (ver [16]), P 2 (ver [33]), assim como do toro, da garrafa de Klein e do anel. Se

τ = σ1σ2 · · ·σm−1, entao o elemento τm e central em Bm(S2), ver [16].

Seja M uma superfıcie Riemanniana conexa, nao compacta e contavel, ou seja, M

pode ser expressa como uma uniao

13

2.1 Centros e superfıcies grandes 14

M =⋃∞n=0Mn, Mn ⊆ IntMn+1,

onde cada Mn e um domınio compacto e uma subvariedade de M , com bordo nao vazio.

Chamaremos M de superfıcie aberta. Por outra lado, diremos que uma superfıcie e

abeliana se seu grupo fundamental e abeliano, e respectivamente, uma superfıcie sera

nao abeliana se seu grupo fundamental e nao abeliano. As definicoes anteriores sao

encontradas em [23].

Notemos que a fronteira de uma superfıcie aberta M e vazia. Uma classificacao das

superfıcies abelianas e dada em [23, Teorema 4.3]:

Propriedades 2.1. Seja M uma superfıcie abeliana, temos que

a) se M e compacta e ∂M = φ, entao M e uma esfera, toro, ou plano projetivo real;

b) se M e compacta e ∂M 6= φ, entao M e uma faixa de Mobius ou um anel;

c) se M e aberta, entao M e uma faixa de Mobius sem bordo ou um anel sem bordo.

Definicao 2.2. Uma superfıcie compactaM sera chamada grande se M 6= S2, P 2, D2, T 2,

S1 × I, faixa de Mobius, ou garrafa de Klein.

A seguinte proposicao oferece uma caracterizacao de tais superfıcies que permite

um tratamento algebrico.

Proposicao 2.3. Sejam M uma superfıcie compacta e q ∈ M . M e grande se, e

somente se, seu grupo fundamental π1(M, q) nao tem subgrupo abeliano de ındice finito.

Demonstracao: Suponhamos que M e uma superfıcie compacta grande, vamos su-

por tambem que existe G subgrupo abeliano de π1(M, q) de ındice finito. Daı existe

p : MG −→ M espaco de revestimento de M , com q ∈MG, p(q) = q e tal que π1(MG, q)

e isomorfo a G. Como M e compacta e [π1(M, q) : G] e finito, entao MG e compacta

com π1(MG, q) abeliano, e portanto deve ser uma das seguintes superfıcies abelianas

S2, P 2, T 2, D2, S1 × I, ou a faixa de Mobius.

Ja que M e um complexo simplicial compacto e [π1(M, q) : G] = k e finito, entao

vale a seguinte equacao, envolvendo a caracterıstica de Euler da superfıcie e o ındice

k (k ≥ 1 em Z),

2.1 Centros e superfıcies grandes 15

χ(MG) = k · χ(M).

Se MG = S2, entao χ(MG) = 2 e como consequencia ou χ(M) = 1 e k = 2, ou

χ(M) = 2 e k = 1. No primeiro caso teremos que M pode ser o disco ou o plano

projetivo, e no segundo caso teremos que M e a esfera.

Se MG = P 2, D2, entao χ(MG) = 1 e como consequencia χ(M) = 1 = k. Logo,

M e o plano projetivo P 2 ou o disco D2, pois M e compacta, com grupo fundamental

abeliano e com χ(M) = 1.

Se MG = T 2, S1 × I, ou a faixa de Mobius, entao χ(MG) = 0 e como consequencia

χ(M) = 0 ou [π1(M, q) : G] = 0, mas este ultimo caso nao pode acontecer pois o ındice

e um inteiro maior ou igual a 1. Logo, M deve ser uma das seguintes superfıcies

T 2, S1 × I, faixa de Mobius, ou garrafa de Klein.

Em qualquer caso teremos que M nao e superfıcie compacta grande o que e um

absurdo. Logo, π1(M, q) nao tem subgrupo abeliano de ındice finito.

Reciprocamente, suponhamos que π1(M, q) nao tem subgrupo abeliano de ındice

finito. Portanto, M nao pode ser superfıcie abeliana, basta entao mostrar que a garrafa

de Klein K tem subgrupo abeliano de ındice finito. Consideremos o grupo fundamental

da garrafa de Klein π1(K, q) dado pela seguinte apresentacao

π1(K, q) =< a, b : abab−1 = 1 >,

e consideremos o subgrupo de π1(K, q) gerado por {a, b2}. Sabemos que para os gera-

dores de π1(K, q) vale que

bsar = a(−1)srbs, com s, r ∈ Z.

Usando esta igualdade mostra-se que o subgrupo, gerado por {a, b2}, do grupo funda-

mental da garrafa de Klein e normal e abeliano. Alem disso, esse subgrupo e de ındice

2 em π1(K, q).

Como consequencia M 6= S2, P 2, D2, T 2, S1 × I, faixa de Mobius, ou garrafa de

Klein.

2.2 Subsuperfıcies 16

Sao poucas as superfıcies compactas cujo grupo de trancas tem centro nao trivial,

como mostra a seguinte proposicao

Proposicao 2.4. Seja M uma superfıcie compacta grande. Entao, o centro Z(Bm(M))

e um grupo trivial.

Demonstracao: (Igual a prova dada em ([6])) Primeiro, provemos por inducao sobre

m que Z(PBm(M)) = {1}. O caso m = 1: por [23, Teorema 4.4], temos que as unicas

superfıcies cujos grupos fundamentais tem centros nao triviais sao P 2, S1 × I, T 2, a

faixa de Mobius, e a garrafa de Klein.

Sejam m > 1 e M superfıcie compacta grande. Consideremos a seguinte sequencia

exata,

1 // π1(M \ {P1, . . . , Pm−1}) // PBmMρ∗

// PBm−1M // 1 .

Como ρ∗ e sobrejetora, leva o centro de PBm(M) no centro de PBm−1(M), e por

inducao, Z(PBm−1(M)) = {1}. Como a sequencia acima e exata e Z(PBm(M)) esta

contido no nucleo de ρ∗, entao Z(PBm(M)) ≤ π1(M \ {P1, ..., Pm−1}), ainda mais

Z(PBm(M)) ≤ Z(π1(M \ {P1, ..., Pm−1})). Mas este ultimo grupo tem centro trivial,

logo Z(PBm(M)) = {1}.

Agora, seja g ∈ Z(Bm(M)). Existe um inteiro k > 0 tal que gk ∈ PBm(M). Entao,

gk ∈ Z(PBm(M)), e assim gk = 1. Pela Proposicao 1.7, g = 1.

2.2 Subsuperfıcies

Uma subsuperfıcie N de uma superfıcie M e o fecho de um subconjunto aberto de

M . Por simplicidade assumiremos que toda componente da fronteira de N e uma

componente da fronteira de M ou pertence ao interior de M .

Seja P1 ∈ N . A inclusao N ⊆M induz um homomorfismo

ψ : π1(N,P1) −→ π1(M,P1).

O seguinte resultado envolvendo este homomorfismo e encontrado em [27].


Proposicao 2.5. Seja N uma subsuperfıcie conexa de M tal que π1(N,P1) 6= {1}. O

homomorfismo ψ : π1(N,P1) −→ π1(M,P1) e injetor se, e somente se, nenhuma das

componentes conexas do fecho M \N de M \N e um disco.

Sejam P1, . . . , Pn ∈ N , e sejam Pn+1, . . . , Pm ∈ M \ N . A inclusao N ⊆ M induz

um morfismo

ψ : BnN −→ BmM,

que geometricamente coloca m− n cordas verticais a mais nos pontos Pn+1, . . . Pm.

Proposicao 2.6. Seja M 6= S2, P 2, e seja N tal que nenhuma das componentes

conexas de M \N e um disco. Entao, o morfismo ψ : BnN −→ BmM e injetor.

Observacao 2.7. A Proposicao anterior e provada em [17], no caso particular em que

N e um disco.

Demonstracao: Seja ψn : PBnN −→ PBnM o morfismo induzido pela inclusao

N ⊆ M . Provaremos que ψn e injetora por inducao sobre n. O caso n = 1 e

uma consequencia da Proposicao 2.5, pois ψ1 : PB1N −→ PB1M e exatamente

ψ1 : π1(N, p) −→ π1(M, p), para p ∈ N , que e um monomorfismo.

Seja n > 1. Pela Proposicao 2.5, a inclusao N \{P1, . . . , Pn−1} ⊆M \{P1, . . . , Pn−1}

induz um monomorfismo

α : π1(N \ {P1, . . . , Pn−1}) −→ π1(M \ {P1, . . . , Pn−1}).

O seguinte diagrama e comutativo:

1 // π1(N \ {P1, . . . , Pn−1}) //

α

��

PBnNρ

//

ψn

��

PBn−1N //

ψn−1

��

1

1 // π1(M \ {P1, . . . , Pn−1}) // PBnMρ

// PBn−1M // 1.

Por inducao, ψn−1 e injetora. Pelo lema dos cinco, ψn e injetora tambem. Seja

ψ : PBnN −→ PBmM o morfismo induzido pela inclusao N ⊆ M . O seguinte


diagrama e comutativo:

PBnNψ

//

id

PBmM

ρ

��

PBnNψn

// PBnM.

O morfismo ψn e injetor, assim ψ e injetora tambem. Seja ι : Σn −→ Σm a inclusao,

ι identifica Σn ao primeiro fator do subgrupo Σn ×Σm−n de Σm. O seguinte diagrama

comuta,

1 // PBnN //

ψ��

BnNσ

//

ψ��

Σn//

ι

��

1

1 // PBmM // BmM // Σm// 1.

Tanto ψ como ι sao injetoras, portanto, pelo lema dos cinco, ψ e injetora.

As seguintes duas proposicoes sao encontradas em [4].

Proposicao 2.8. Seja M uma superfıcie compacta, conexa, orientavel de genus maior

ou igual a 1, possivelmente com fronteira, e seja N uma subsuperfıcie conexa de M .

O homomorfismo ψ : π1(N,P1) −→ π1(M,P1) e sobrejetor se, e somente se, todas as

componentes conexas do fecho M \N de M \N sao discos.

Proposicao 2.9. Seja M uma superfıcie compacta, conexa, orientavel de genus maior

ou igual a 1 possivelmente com fronteira, e seja N uma subsuperfıcie conexa de M

tal que todas as componentes conexas de M \N sao discos. Entao, o morfismo ψ :

BnN −→ BnM e sobrejetor.

Sejam N1, . . . , Nr as componentes conexas de M \N . Para i = 1, . . . , r escrevemos

Pi = {Pn+1, . . . , Pm} ∩Ni.

Teorema 2.10. Seja M 6= S2, P 2. O morfismo ψ : BnN −→ BmM e injetor se, e

somente se, para todo i = 1, . . . , r, Ni nao e um disco ou Pi 6= ∅.

2.3 Centros dos grupos de trancas do cilindro e do toro 19

Demonstracao: Suponhamos que existe i ∈ {1, . . . , r} tal que Ni e um disco e tal

que Pi = ∅. Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

π1(N \ {P2, . . . , Pn}) //

ψ��

BnN

ψ

��

π1(M \ {P2, . . . , Pm}) // BmM.

Por [12], o morfismo π1(N \ {P2, . . . , Pn}) −→ BnN e injetor. Por outra parte,

M \ (N ∪ {Pn+1, . . . , Pm}) = (M \ {P2, . . . , Pm}) \ (N \ {P2, . . . , Pn}) e como Pi = ∅,

entao o fecho da diferenca de conjuntos tem pelo menos uma componente conexa que

e um disco, a saber Ni, e portanto o morfismo

ψ : π1(N \ {P2, . . . , Pn}) −→ π1(M \ {P2, . . . , Pm})

e nao injetor. Logo, ψ : BnN −→ BmM nao e injetora.

Suponhamos agora que Ni nao e um disco ou Pi 6= ∅, para todo i = 1, . . . , r.

Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

BnNψ

// Bn(M \ {Pn+1, . . . , Pm})

��

BnN // BmM.

Pela Proposicao 2.6, o morfismo ψ : BnN −→ Bn(M \ {Pn+1, . . . , Pm}) e injetor.

Por [12], o morfismo Bn(M \{Pn+1, . . . , Pm}) −→ BmM e injetor. Assim, ψ : BnN −→

BmM e injetor.

2.3 Centros dos grupos de trancas do cilindro e do

toro

Inicialmente, seja C um cilindro, descreveremos o centro de BmC. Assumiremos que

C = {z ∈ C | 1 ≤ |z| ≤ 2}, e que Pi = 1 +i

m+ 1


para i = 1, . . . , m. Seja di : [0, 1] −→ C o caminho definido por

di(t) =

(1 +

i

m+ 1

)e2πit, para t ∈ [0, 1].

Seja α o elemento de PBmC representado por d = (d1, . . . , dm) (ver Figura 2.1).

Figura 2.1:

Proposicao 2.11. Com as condicoes acima, o centro de BmC e o subgrupo cıclico

infinito gerado por α.

Demonstracao: Sejam D = {z ∈ C | |z| ≤ 2} e P0 = 0. A inclusao C ⊆

D \ {P0} induz um isomorfismo BmC −→ Bm(D \ {P0}). Identificaremos esses dois

grupos de trancas atraves deste isomorfismo. Seja Σm+1 o grupo de permutacoes de

{P0, P1, . . . , Pm}, e seja Σm o grupo de permutacoes de {P1, . . . , Pm}.

Consideremos o morfismo σ : Bm+1D −→ Σm+1. Pela Proposicao 1.6 temos a

seguinte sequencia exata:

1 // Bm(D \ {P0}) // σ−1(Σm) // π1(D,P0) // 1.

Ainda mais, π1(D,P0) = {1}. Assim, a inclusao D \ {P0} ⊆ D induz um isomorfismo

Bm(D \ {P0}) −→ σ−1(Σm). A imagem de α por este isomorfismo e o elemento de


Bm+1D, denotado por α, representado pela tranca b = (P0, d1, . . . , dm). Por [10], temos

que

Z(Bm+1D) = Z(PBm+1D),

e este grupo e o subgrupo cıclico infinito gerado por α.

Para m ≥ 1 temos que o centro de σ−1(Σm) esta contido no centro de PBm+1D.

De fato, a aplicacao σ−1(Σm) −→ Bm+1D, como na Proposicao 1.6, e um epimorfismo.

Logo, Z(σ−1(Σm)) ≤ Z(Bm+1(D)) ≤ PBm+1(D). Da inclusao, PBm+1D ⊆ σ−1(Σm)

segue que o centro de σ−1(Σm) esta contido no centro de PBm+1D. Por outra parte,

α ∈ σ−1(Σm) e e central. Portanto, o centro de Bm+1D esta contido no centro de

σ−1(Σm). Como consequencia temos que o centro de σ−1(Σm) e igual ao centro de

Bm+1D, que e o subgrupo cıclico infinito gerado por α.

Assim, pelo isomorfismo Bm(D\{P0}) −→ σ−1(Σm), temos que o centro de BmC =

Bm(D \ {P0}) e o subgrupo cıclico infinito gerado por α.

Vamos descrever agora o centro de BmT , onde T e um toro. Assumiremos que

T = R2/Z2.

Denotemos por (x, y) a classe de equivalencia de (x, y). Assumiremos que

Pi =

(i+ 1

m+ 3,i+ 1

m+ 3

), para i = 1, . . . , m.

Sejam ai : [0, 1] −→ T o caminho definido por

ai(t) =

(i+ 1

m+ 3− t,

i+ 1

m+ 3

), para t ∈ [0, 1].

e bi : [0, 1] −→ T o caminho definido por

bi(t) =

(i+ 1

m+ 3,i+ 1

m+ 3− t

), para t ∈ [0, 1].

Sejam α o elemento de PBmT representado por a = (a1, . . . , am) (ver Figura 2.2),

e β o elemento de PBmT representado por b = (b1, . . . , bm).


Figura 2.2:

Proposicao 2.12. Com as condicoes acima, o centro de BmT e o subgrupo gerado por

α e β, e e um grupo abeliano livre de posto 2.

Demonstracao: Provaremos a Proposicao 2.12 em quatro passos. Seja Zm o subgrupo

de PBmT gerado por α e β.

Passo 1. Zm e um grupo abeliano livre de posto 2. Por [5, Teorema 5], α e β

comutam, assim Zm e um grupo abeliano. Consideremos a seguinte sequencia exata

1 // PBm−1(T \ {P1}) // PBmTρ∗

// π1(T, P1) // 1 .

O grupo π1(T, P1) e um grupo abeliano livre de posto 2 e (ρ∗(α), ρ∗(β)) e uma base de

π1(T, P1), assim Zm tambem e um grupo abeliano livre de posto 2.

Passo 2. Zm ⊆ Z(BmT ).

Seja D = [ 1m+3

, m+2m+3

] × [ 1m+3

, m+2m+3

] ⊆ T . Pela Proposicao 2.6, a inclusao D ⊆ T

induz um monomorfismo BmD −→ BmT . Logo, o seguinte diagrama e comutativo:

1 // PBmD //

��

BmDσ

//

��

Σm// 1

1 // PBmT // BmTσ

// Σm// 1.

Assim, BmT e gerado por PBmT ∪BmD. Por [5, Teorema 5], α comuta com todos

os elementos de PBmT . Seja C =(R ×

[1

m+3, m+2m+3

])/Z ⊆ T . Pela Proposicao 2.6, a


inclusao C ⊆ T induz um monomorfismo BmC −→ BmT . Mais ainda, α ∈ BmC e

BmD ⊆ BmC. Pela Proposicao 2.11, Z(BmC) e o subgrupo cıclico infinito gerado por

α. Portanto, α comuta com todos os elementos de BmD. Isto mostra que α ∈ Z(BmT ).

Similarmente, β ∈ Z(BmT ).

Passo 3. Z(PBmT ) ⊆ Zm. Provaremos o Passo 3 por inducao sobre m. Seja

m = 1. Entao, PB1T = π1(T, P1) = Z1. Assim, Z(PB1T ) = Z1.

Sejam m > 1 e g ∈ Z(PBmT ). Consideremos a seguinte sequencia exata:

1 // π1(T \ {P1, . . . , Pm−1}) // PBmTρ∗

// PBm−1T // 1 .

Temos ρ∗(g) ∈ Z(PBm−1T ). Por inducao Z(PBm−1T ) ⊆ Zm−1. Ainda mais, ρ∗(Zm) =

Zm−1. Assim, podemos escolher h ∈ Zm tal que ρ∗(h) = ρ∗(g). Escreveremos g′ = gh−1.

Entao g′ ∈ Z(PBmT ) e g′ ∈ π1(T \ {P1, . . . , Pm−1}) (ja que ρ∗(g′) = 1). Assim,

g′ ∈ Z(π1(T \ {P1, . . . , Pm−1})) = {1}, e assim g′ = gh−1 = 1, e portanto g = h ∈ Zm.

Passo 4. Z(BmT ) ⊆ PBmT . Seja g ∈ BmT . Suponhamos que existem i, j ∈

{1, . . . , m}, i 6= j, tais que σ(g)(Pi) = Pj , e provemos que g 6∈ Z(BmT ). Seja

αi ∈ PBmT representada por (P1, . . . , Pi−1, ai, Pi+1, . . . , Pm), onde Pk denota o caminho

constante sobre Pk para k = 1, . . . , m e ai e como acima. Consideremos a seguinte

sequencia exata:

1 // PBm−1T \ {Pi} // PBmTρi∗

// π1(T, Pi) // 1 .

Entao, ρi∗(αi) 6= 1 e ρi∗(gαig−1) = 1 (ver Figura 2.3). Assim gαig

−1 6= αi, e portanto

g 6∈ Z(BmT ).


Figura 2.3:

Capıtulo 3

Comensurador, normalizador e

centralizador de π1N em π1M

Seja N uma subsuperfıcie de uma superfıcie conexa M . Dizemos que N e um colarinho

de Mobius em M , se N e um cilindro S1×I e M \N tem duas componentes N1, N2 com

uma delas, digamos N1, uma faixa de Mobius (ver Figura 3.1). Entao, M0 = N ∪ N1

sera chamada a faixa de Mobius tendo como colarinho N em M .

Figura 3.1: Colarinho de Mobius.

Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Denotamos por

• CG(H) o comensurador de H em G,

• NG(H) o normalizador de H em G, e

25

26

• ZG(H) o centralizador de H em G.

Neste capıtulo consideramos uma subsuperfıcie N de M tal que nenhuma compo-

nente conexa de M \N e um disco e portanto π1(N,P0) e isomorfo com um subgrupo

de π1(M,P0), com P0 ∈ N . Para evitar sobrecarregar a notacao diremos simplesmente

que π1(N,P0) e subgrupo de π1(M,P0) e escrevemos

π1M = π1(M,P0) e π1N = π1(N,P0).

Teorema 3.1. Sejam M uma superfıcie conexa e N uma subsuperfıcie de M tal que

nenhuma componente conexa de M \N e um disco.

(i) Se M nao e grande ou se π1N = {1}, entao Cπ1M(π1N) = π1M .

(ii) Se M e grande, π1N 6= {1} e N nao e um colarinho de Mobius em M , entao

Cπ1M(π1N) = π1N.

(iii) Se M e grande e N e um colarinho de Mobius em M , entao

Cπ1M(π1N) = π1M0,

onde M0 e a faixa de Mobius tendo como colarinho N em M .

Corolario 3.2. (i) Se M e um cilindro, um toro, ou uma faixa de Mobius, entao

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = Zπ1M(π1N) = π1M.

(ii) Se M e grande, N nao e um colarinho de Mobius em M , π1N 6= {1}, e N nao e

grande, entao

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = Zπ1M(π1N) = π1N.

(iii) Se M e N sao superfıcies grandes, entao

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = π1N,

Zπ1M(π1N) = Z(π1N) = {1}.

3.1 Grafos de grupos 27

(iv) Se M e grande e N e um colarinho de Mobius em M , entao

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = Zπ1M(π1N) = π1M0,

onde M0 e a faixa de Mobius tendo como colarinho N em M .

3.1 Grafos de grupos

Antes de provar o Teorema 3.1, vejamos alguns resultados de grafos de grupos. Um

grafo (orientado) Γ e formado pelos seguintes dados:

1. Um conjunto V (Γ) de vertices.

2. Um conjunto A(Γ) de setas.

3. Uma aplicacao s : A(Γ) −→ V (Γ) chamada origem, e uma aplicacao t : A(Γ) −→

V (Γ) chamada fim.

Um grafo de grupos G(Γ) sobre Γ e formado pelos seguintes dados:

1. Um grupo Gv, para todo v ∈ V (Γ).

2. Um grupo Ga, para todo a ∈ A(Γ).

3. Dois monomorfismos φa,s : Ga −→ Gs(a) e φa,t : Ga −→ Gt(a), para todo a ∈ A(Γ).

Uma exposicao geral sobre grafos de grupos pode ser encontrada em [32]. Seja T

uma arvore maximal de Γ. O grupo fundamental π1(G(Γ), T ) de G(Γ) baseado em T e

o grupo (abstrato) dado pela seguinte apresentacao: o conjunto gerador de π1(G(Γ), T )

e

{ea; a ∈ A(Γ)} ∪ (⋃

v∈V (Γ)

Gv),

onde {ea; a ∈ A(Γ)} e um conjunto abstrato em correspondencia um a um com A(Γ).

As relacoes de π1(G(Γ), T ) sao:

1. as relacoes de Gv, para todo v ∈ V (Γ),


2. ea = 1, para todo a ∈ A(T ),

3. e−1a · φa,s(g) · ea = φa,t(g), para todo a ∈ A(Γ) e para todo g ∈ Ga.

Existe um morfismo φv : Gv −→ π1(G(Γ), T ), para todo v ∈ V (Γ). Por [32], este

morfismo e injetor, portanto podemos pensar que Gv ≤ π1(G(Γ), T ).

O grupo fundamental π1(Γ, T ) de Γ baseado em T tem a seguinte apresentacao: o

conjunto gerador de π1(Γ, T ) e {ea; a ∈ A(Γ)}, o conjunto de relacoes de π1(Γ, T ) e

{ea = 1; a ∈ A(T )}.

Seja p : Γ −→ Γ o revestimento universal de Γ. Seja G(Γ) o grafo de grupos sobre

Γ definido como segue.

1. Gv = Gp(v), para todo v ∈ V (Γ).

2. Ga = Gp(a), para todo a ∈ A(Γ).

3. φa,s = φp(a),s e φa,t = φp(a),t, para todo a ∈ A(Γ).

Fixemos uma secao S : T −→ Γ de p sobre T . Estendemos S a uma secao S :

A(Γ) −→ A(Γ) como segue. Seja a ∈ A(Γ). Entao, S(a) e o unico levantamento de a

tal que t(S(a)) = S(t(a)).

Definimos uma acao de π1(Γ, T ) sobre π1(G(Γ), Γ) como segue. Notemos que

π1(G(Γ), Γ) e gerado pela⋃v∈V (Γ)Gv, pois Γ e uma arvore. Sejam v ∈ V (Γ), g ∈

Gv, e u ∈ π1(Γ, T ). Entao,

u(g) = g ∈ Gu(v).

Consideremos o correspondente produto semidireto

π1(G(Γ), Γ) ⋊ π1(Γ, T ).

Por [32], existe um isomorfismo

π1(G(Γ), T ) −→ π1(G(Γ), Γ) ⋊ π1(Γ, T ),


que envia Gv isomorficamente sobre GS(v), para todo v ∈ V (Γ), e que manda ea sobre

ea, para todo a ∈ A(Γ). Portanto, podemos assumir que

π1(G(Γ), T ) = π1(G(Γ), Γ) ⋊ π1(Γ, T ),

que Gv = GS(v), para todo v ∈ V (Γ) e que Ga = GS(a), para todo a ∈ A(Γ).

Sejam G = π1(G(Γ), T ) e G = π1(G(Γ), Γ). O revestimento universal de G(Γ) e o

grafo Γ definido como segue:

V (Γ) = (V (Γ) × G)/ ∼ ,

onde ∼ e a relacao de equivalencia definida por

(v1, g1) ∼ (v2, g2) se v1 = v2 = v e g−12 g1 ∈ Gv.

Denotamos por [v, g] a classe de equivalencia de (v, g).

A(Γ) = (A(Γ) × G)/ ∼ ,

onde ∼ e a relacao de equivalencia definida por

(a1, g1) ∼ (a2, g2) se a1 = a2 = a e g−12 g1 ∈ Ga.

Denotamos por [a, g] a classe de equivalencia de (a, g).

A aplicacao origem s : A(Γ) −→ V (Γ) e definida por

s([a, g]) = [s(a), g],

para a ∈ A(Γ) e para g ∈ G. A aplicacao fim t : A(Γ) −→ V (Γ) e definida por

t([a, g]) = [t(a), g],

para a ∈ A(Γ) e para g ∈ G. Por [32], Γ e uma arvore.

O grupo G atua sobre Γ como segue, lembramos que G = π1(G(Γ), Γ) ⋊ π1(Γ, T ).

Sejam u ∈ π1(Γ, T ), h, g ∈ G e sejam v ∈ V (Γ), a ∈ A(Γ). Entao,

h([v, g]) = [v, hg], h([a, g]) = [a, hg],

3.2 Demonstracoes 30

u([v, g]) = [u(v), ugu−1], u([a, g]) = [u(a), ugu−1].

O subgrupo de isotropia de um vertice v ∈ V (Γ) e

Isot(v) = {g ∈ G; g(v) = v}.

O subgrupo de isotropia de uma seta a ∈ A(Γ) e

Isot(a) = {g ∈ G; g(a) = a}.

Sejam v ∈ V (Γ) e a ∈ A(Γ). Por [32],

Isot([S(v), 1]) = Gv, Isot([S(a), 1]) = Ga.

3.2 Demonstracoes

Nessa secao provaremos o Teorema 3.1, para isso precisaremos da teoria de grafos de

grupos desenvolvida na secao anterior. Agora, voltamos as nossas suposicoes iniciais.

Se M e o plano projetivo P 2 o resultado do Teorema 3.1 e claramente valido. Su-

ponhamos que M e uma superfıcie (possivelmente com bordo) distinta da esfera e do

plano projetivo, e que N e uma subsuperfıcie de M tal que nenhuma das componentes

conexas de M \N e um disco. Sem perda de generalidade, podemos assumir tambem

que N nao e um disco. Sejam N1, . . . , Nr as componentes conexas de M \N .

Definamos um grafo Γ como segue. Seja

V (Γ) = {v0, v1, . . . , vr}.

Para i ∈ {1, . . . , r}, fixamos um conjunto abstrato Ai(Γ) em correspondencia um a um

com as componentes conexas de N ∩Ni. Fazemos

A(Γ) =r⋃

i=1

Ai(Γ).

Se a ∈ Ai(Γ), entao s(a) = v0 e t(a) = vi.


Definimos um grafo de grupos G(Γ) sobre Γ como segue. Seja i ∈ {1, . . . , r}.

Fixamos um ponto Pi ∈ Ni e fazemos

Gvi= Gi = π1(Ni, Pi).

Fixamos um ponto P0 ∈ N e fazemos

Gv0 = G0 = π1(N,P0).

Seja a ∈ Ai(Γ). Denotamos por Ca a componente conexa de N∩Ni que corresponde

a a. O conjunto Ca e uma componente fronteira de N e Ni. Fixamos um ponto Pa ∈ Ca

e fazemos

Ga = π1(Ca, Pa) ≃ Z.

Fixemos um caminho γa,s : [0, 1] −→ N de P0 ate Pa. Este caminho induz um

monomorfismo φa,s : Ga −→ G0. Fixemos um caminho γa,t : [0, 1] −→ Ni de Pi ate Pa.

Este caminho induz um monomorfismo φa,t : Ga −→ Gi.

Fixemos uma seta ai ∈ Ai(Γ), para todo i ∈ {1, . . . , r}. Consideremos o grafo T

definido como segue:

1. V (T ) = {v0, v1, . . . , vr},

2. A(T ) = {a1, . . . , ar},

3. s(ai) = v0 e t(ai) = vi, para todo i ∈ {1, . . . , r}.

O grafo T e uma arvore maximal de Γ. Escrevemos

γa = γa,sγ−1a,t , βa = γaγ

−1ai,

para todo a ∈ Ai(Γ). Para i = 1, . . . , r, o caminho γaiinduz um morfismo

ψi : Gi = π1(Ni, Pi) −→ π1(M,P0).

Denotamos por ψ0 : G0 = π1(N,P0) −→ π1(M,P0) o morfismo induzido pela inclusao

N ⊆M .

O seguinte teorema e uma versao do teorema de Van Kampen.


Teorema 3.3. A aplicacao

{ea; a ∈ A(Γ)} −→ π1(M,P0)

ea 7−→ βa

e os morfismos ψi : Gi −→ π1(M,P0) (i = 0, 1, . . . , r) induzem um isomorfismo

ψ : π1(G(Γ), T ) −→ π1(M,P0).

Seja Γ o revestimento universal de G(Γ). Seja q : Γ −→ Γ a aplicacao definida como

segue: sejam v ∈ V (Γ), a ∈ A(Γ) e g ∈ G. Entao,

q([v, g]) = p(v), q([a, g]) = p(a).

O seguinte lema e um resultado preliminar da prova do Teorema 3.1.

Lema 3.4. Sejam i ∈ {1, . . . , r} e v ∈ V (Γ) tais que q(v) = vi, e sejam a, b ∈ A(Γ)

tais que t(a) = t(b) = v (ver Figura 3.2):

(i) Se q(a) = q(b) e Isot(a) ∩ Isot(b) 6= {1}, entao Ni e uma faixa de Mobius.

(ii) Se q(a) 6= q(b) e Isot(a) ∩ Isot(b) 6= {1}, entao Ni e um cilindro e ambas compo-

nentes fronteira de Ni estao contidas em N ∩Ni.

Figura 3.2:

Demonstracao: (i) Suponhamos que i = 1 e que a = [S(a1), 1]. Entao,

v = t(a) = [t(S(a1)), 1] = [S(v1), 1].

Seja b = [b, g]. Entao,

t(b) = [t(b), g] = [S(v1), 1],


assim b = S(a1) (ja que q(a) = q(b) = a1), e g ∈ Gv1 = G1. Notemos que g 6∈ Ga1 , pois

caso contrario

b = [S(a1), g] = [S(a1), 1] = a.

Portanto, Isot(a) = Ga1 e Isot(b) = gGa1 g−1. Seja h1 um gerador de Ga1 . Existem

k1, k2 ∈ Z \ {0} tais que hk11 = ghk21 g−1.

Suponhamos que N1 nao e uma faixa de Mobius. Seja F o subgrupo de G1 gerado

por h1 e g. A subsuperfıcie N1 tem bordo nao vazio, assim G1 e um grupo livre e

portanto F e um grupo livre de posto 1 ou 2.

Como todo grupo livre finitamente gerado e Hopfiano, temos que F e um grupo

Hopfiano, e ja que hk11 = ghk21 g−1, o grupo F tem posto 1. Por [11, Teorema 4.2], h1

gera F . Em particular, existe l ∈ Z tal que

g = hl1 ∈ Ga1 .

Isto e uma contradicao. Portanto, N1 e uma faixa de Mobius.

(ii) Suponhamos que i = 1 e que a = [S(a1), 1]. Entao,

v = t(a) = [t(S(a1)), 1] = [S(v1), 1].

Sejam b = [b, g] e b = q(b) 6= a1. Entao,

t(b) = [t(b), g] = [S(v1), 1],

e assim b = S(b) e g ∈ Gv1 = G1. Logo,

Isot(a) = Ga1 e Isot(b) = gGbg−1.

Sejam h1 um gerador de Ga1 , e h um gerador Gb. Existem k1, k2 ∈ Z \ {0} tais que

hk11 = ghk2 g−1. Seja F o subgrupo de G1 gerado por h1 e ghg−1. Como G1 e um grupo

livre, entao F e um grupo livre de posto 1 ou 2. Ja que F e um grupo Hopfiano, e

ja que hk11 = (ghg−1)k2 , o grupo F tem posto 1. A subsuperfıcie N1 tem pelo menos

duas componentes fronteira, Ca1 e Cb, assim N1 nao e uma faixa de Mobius. Por [11,

Teorema 4.2], h1 e ghg−1 geram F . Portanto, podemos assumir que

h1 = ghg−1.


Por [11, Lema 2.4] segue que N1 e um cilindro e que Ca1 e Cb sao as componentes

fronteira de N1.

Denotaremos o cilindro, a faixa de Mobius e a garrafa de Klein por S1×I, S1×I, S1×S1,

respectivamente.

Demonstracao do Teorema 3.1: (i) SeM nao e grande entaoM e uma das seguintes

superfıcies

S2, P 2, D2, T 2, S1 × I, S1×I, S1×S1.

Nos primeiros seis casos π1M e abeliano, logo

Cπ1M(π1N) = π1M.

Falta entao examinar o caso M = S1×S1. Notemos que as subsuperfıcies da garrafa

de Klein sao o disco, o cilindro e a faixa de Mobius. No caso do disco e claro que

Cπ1M(π1N) = π1M. Consideremos agora o grupo fundamental da garrafa de Klein

dado pela seguinte apresentacao π1(S1×S1, q) =< a, b : abab−1 = 1 >. No caso do

cilindro tomamos o subgrupo gerado por a, < a >, que e normal em π1(S1×S1, q). ja

no caso da faixa de Mobius tomamos o subgrupo gerado por b, < b >. Nos dois casos

verifica-se que

Cπ1M(π1N) = π1M.

(ii) Claramente π1N e subgrupo de Cπ1M(π1N), basta mostrar entao que Cπ1M(π1N)

e subgrupo de π1N . Suponhamos que existe g ∈ Cπ1M(π1N) tal que g 6∈ π1N , e prove-

mos que M nao e grande ou que N e um colarinho de Mobius em M .

Seja v0 = [S(v0), 1] ∈ V (Γ). Temos que g(v0) 6= v0, pois g 6∈ π1N = Isot(v0). Seja

aε11 aε22 · · · aεℓ

ℓ (ai ∈ A(Γ) e εi ∈ {±1})

o (unico) caminho reduzido de Γ de v0 ate g(v0) (ver Figura 3.3). Para j = 1, . . . , ℓ

denotemos por vj o final do caminho aε11 · · · aεj

j . Observemos que ℓ ≥ 2, ja que

q(g(v0)) = q(v0) = v0.


Se h ∈ G0 ∩ gG0g−1, entao h ∈ Isot(v0) e h ∈ Isot(g(v0)), assim h ∈ Isot(vj) e

h ∈ Isot(aj), para todo j ∈ {1, . . . , ℓ}. Suponhamos que q(v1) = v1. Pelo anterior

temos que

{1} 6= G0 ∩ gG0g−1 ⊆ Isot(a1) ∩ Isot(a2).

Assim pelo Lema 3.4, N1 e uma faixa de Mobius, ou N1 e um cilindro e ambas compo-

nentes de fronteira de N1 estao contidas em N ∩N1.

Figura 3.3:

O grupo G0 ∩ gG0g−1 tem ındice finito em G0 = π1N , ele esta contido em Isot(a1),

e Isot(a1) e um grupo cıclico infinito. Portanto, π1N tem um subgrupo cıclico infinito

de ındice finito. Assim N e um cilindro, ou uma faixa de Mobius.

Se N e uma faixa de Mobius, entao N1 tambem e uma faixa de Mobius, e M =

N ∪N1 e uma garrafa de Klein (ver Figura 3.4).

Figura 3.4:

Se N e N1 sao ambos cilindros, entao M = N ∪N1 e um toro (ver Figura 3.5).

Se N e um cilindro e se N1 e uma faixa de Mobius, entao N e um colarinho de

Mobius em M (ver Figura 3.6).

(iii) Suponhamos que N e um cilindro, que N1 e uma faixa de Mobius, e que M e

superfıcie grande (ver Figura 3.6). Seja M0 = N ∪ N1 a faixa de Mobius tendo como


Figura 3.5:

Figura 3.6:

colarinho N em M . A subsuperfıcie M0 nao e um colarinho de Mobius em M , assim,

por (ii),

Cπ1M(π1M0) = π1M0.

O grupo π1N tem ındice finito em π1M0. Logo,

Cπ1M(π1N) = Cπ1M(π1M0) = π1M0.

Demonstracao do Corolario 3.2: (i) Se M = S1×I, ou T 2, ou S1×I, pelo Teorema

3.1, temos que Cπ1M(π1N) = π1M e como M e superfıcie abeliana, entao Z(π1M) =

π1M . Logo,

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = Zπ1M(π1N) = π1M.


(ii) Pelo Teorema 3.1 temos que Cπ1M(π1N) = π1N . Como N nao e superfıcie

grande e N 6= S1×S1, entao π1N e abeliano. Logo,

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = Zπ1M(π1N) = Z(π1N) = π1N.

(iii) Se M e N sao superfıcies grandes, entao pelo Teorema 3.1 temos

Cπ1M(π1N) = π1N,

e como π1N e subgrupo do normalizador Nπ1M(π1N), entao temos

Cπ1M(π1N) = Nπ1M(π1N) = π1N,

que e um grupo nao abeliano.

Por [23, Teorema 4.4] temos que Z(π1N) = Z(π1M) = {1}. Como Zπ1M(π1N) e

subgrupo de Nπ1M(π1N), entao Zπ1M(π1N) ⊆ π1N . Logo,

Zπ1M(π1N) = Z(π1N) = Z(π1M) = {1}.

(Notemos que Zπ1M(π1N) = {1} implica em Z(π1N) = {1}.)

(iv) Se M e uma superfıcie grande e se N e um colarinho de Mobius, entao

Cπ1M(π1N) = π1M0, onde M0 e a faixa de Mobius tendo como colarinho N em M .

Agora, Zπ1M(π1N) ⊆ π1M0. Como π1N ⊆ π1M0, e este ultimo e abeliano, entao

π1N ⊆ Zπ1M(π1N). Mas, π1N = π1M0 ja que M0 = N ∪ N1 tem o mesmo tipo de

homotopia de N . Logo,

π1M0 ⊆ Zπ1M(π1N).

Capıtulo 4

Comensurador, normalizador, e

centralizador de BnD em BmM

Seja M uma superfıcie orientada distinta da esfera, e seja D ⊆M um disco mergulhado

em M . Sejam m ≥ n ≥ 2, P1, . . . , Pn ∈ D, e Pn+1, . . . , Pm ∈ M \D. O objetivo deste

capıtulo e descrever o comensurador, o normalizador, e o centralizador de BnD em

BmM . Para descrever estes grupos usaremos a nocao de tunel sobre uma superfıcie,

estes objetos geometricos formam um grupo, com uma construcao analoga a feita em

grupos de trancas. Notemos que, se n = 1, entao B1D = {1}, assim

CBmM(B1D) = NBmM(B1D) = ZBmM(B1D) = BmM.

4.1 Definicoes e resultados

Um tunel sobre M baseado em (D;Pn+1, . . . , Pm) e uma aplicacao

H : D ∪ {Pn+1, . . . , Pm} × [0, 1] −→M

tal que

1. H(x, 0) = H(x, 1) = x, para todo x ∈ D,

2. H(Pi, 0) = Pi e H(Pi, 1) ∈ {Pn+1, . . . , Pm}, para todo Pi ∈ {Pn+1, . . . , Pm},

38

4.1 Definicoes e resultados 39

3. H(x, t) 6= H(y, t), para todo x, y ∈ D ∪ {Pn+1, . . . , Pm}, x 6= y, e para todo

t ∈ [0, 1].

Dado um tunel H podemos associar claramente uma permutacao, similar ao que

foi feito em trancas. Existe uma nocao natural de homotopia de tuneis como descrita

na sequencia. Sejam H1, H2 : D ∪ {Pn+1, . . . , Pm} × [0, 1] −→ M tuneis com mesma

permutacao γ. Dizemos que H1, H2 sao homotopicos se existem m− n + 1 aplicacoes

contınuas,

F0 : D × [0, 1] × [0, 1] −→M , tal que

• F0(x, s, 0) = H1(x, s), F0(x, s, 1) = H2(x, s), para todo x ∈ D e para todo

s ∈ [0, 1],

• F0(x, 0, t) = F0(x, 1, t) = x, para todo x ∈ D e para todo t ∈ [0, 1],

Fi : {Pn+i} × [0, 1] × [0, 1] −→ M , para todo i = 1, . . . , m− n, tais que

• Fi(Pn+i, s, 0) = H1(Pn+i, s), Fi(Pn+i, s, 1) = H2(Pn+i, s), para todo s ∈ [0, 1],

• Fi(Pn+i, 0, t) = Pn+i, Fi(Pn+i, 1, t) = H1(Pn+i, 1) = H2(Pn+i, 1), para todo t ∈

[0, 1],

e tais que se definimos

H t0 : D ∪ {Pn+1, . . . , Pm} × [0, 1] −→M, por

• H t0(x, s) = F0(x, s, t), para todo x ∈ D e para todo s ∈ [0, 1], e

• H t0(Pn+i, s) = Fi(Pn+i, s, t), para todo s ∈ [0, 1], e para todo i = 1, . . . , m− n,

entao H t0 e um tunel geometrico (com permutacao γ) para cada 0 ≤ t ≤ 1.

Homotopia de tuneis e uma relacao de equivalencia. Formamos assim o conjunto

de classes de equivalencia de tuneis homotopicos, vamos munir este conjunto com uma


operacao dada por concatenacao, como em trancas. E assim como em trancas, os axio-

mas de grupo sao satisteitos. O grupo de tunel sobre M baseado em (D;Pn+1, . . . , Pm)

e o grupo

Tm−nM = Tm−nM(D;Pn+1, . . . , Pm)

de classes de homotopia de tuneis sobre M baseados em (D;Pn+1, . . . , Pm).

Definimos um homomorfismo

τ : Tm−nM × BnD −→ BmM

como segue: sejam h ∈ Tm−nM e f ∈ BnD. Seja H um tunel sobre M baseado em

(D;Pn+1, . . . , Pm) que representa h, e seja b = (b1, . . . , bn) uma tranca sobre D que

representa f . Seja b = (b1, . . . , bn, bn+1, . . . , bm) uma tranca sobre M definida por

• bi(t) = H(bi(t), t), para todo i ∈ {1, . . . , n} e para todo t ∈ [0, 1],

• bi(t) = H(Pi, t), para todo i ∈ {n+ 1, . . . , m} e para todo t ∈ [0, 1].

Entao, τ(h, f) e o elemento de BmM representado por b.

Propriedades 4.1. Destacaremos algumas propriedades da aplicacao τ definida acima.

1. Sejam 1 o elemento neutro em Tm−nM e f ∈ BnD, entao τ(1, f) = f , onde f

e a tranca de BmM que pode ser representada geometricamente por uma tranca

com as primeiras n cordas correspondentes a um representante de f e as ultimas

m − n cordas verticais. Por simplicidade na notacao, nao vamos distinguir f e

f .

2. Sejam 1 o elemento neutro em BnD e h ∈ Tm−nM , entao τ(h, 1) e a classe de

tranca em BmM correspondente ao representante de tunel restrito aos pontos Pi,

para todo i = 1, . . . , n, n+ 1, . . . , m.

3. Sejam h ∈ Tm−nM e f ∈ BnD. Entao, τ(h, f)−1 = τ(h−1, f−1). Esta e uma

propriedade direta do homomorfismo entre grupos.


Denotamos por Cn,mM a imagem de τ . Seja h ∈ Tm−nM e sejam f, f′

∈ BnD.

Entao,

τ(h, f) · f′

· τ(h, f)−1 = τ(1, ff′

f−1) = ff′

f−1 ∈ BnD.

Em particular,

Cn,mM ⊆ NBmM(BnD).

De fato, dado g ∈ Cn,mM existem h ∈ Tm−nM e f ∈ BnD tais que τ(h, f) = g ∈ BmM .

Seja f ′ ∈ BnD, entao pelo comentado acima gf ′g−1 ∈ BnD. Logo, gBnDg−1 ⊆ BnD.

Seja agora f ′ ∈ BnD, sabemos que f ′ = g(g−1f ′g)g−1 = gfg−1 com f = (g−1f ′g) ∈

BnD. Logo, BnD ⊆ gBnDg−1. Como consequencia temos que gBnDg

−1 = BnD, ou

seja, g pertence ao normalizador NBmM(BnD).

Teorema 4.2. Sejam n ≥ 2 e M uma superfıcie orientavel, M 6= S2. Entao,

CBmM(BnD) = Cn,mM.

Denotemos por Zn,mM a imagem por τ de Tm−nM × Z(BnD). Temos que,

Zn,mM ⊆ ZBmM(BnD).

De fato, dado g ∈ Zn,mM existem h ∈ Tm−nM e f ∈ Z(BnD) tais que τ(h, f) = g ∈

BmM . Seja f ′ ∈ BnD, entao

τ(h, f) · f ′ = τ(h, f)τ(1, f ′)

= τ(h, ff ′)

= f ′τ(h, f).

Logo, Zn,mM ⊆ ZBmM(BnD).

Corolario 4.3. Seja n ≥ 2. Entao,

CBmM(BnD) = NBmM(BnD) = Cn,mM,

ZBmM(BnD) = Zn,mM.


Observacao 4.4. 1. Os autores deixam aberta a questao de nao saberem se um

resultado similar vale para superfıcies nao orientaveis.

2. O Corolario 4.3 generaliza [14, Teorema 4.2].

Denotemos por

B1m−n+1M = B1

m−n+1M(P1;Pn+1, . . . , Pm)

o subgrupo de Bm−n+1M = Bm−n+1M(P1, Pn+1, . . . , Pm) formado pelas trancas g ∈

Bm−n+1M tais que σ(g)(P1) = P1. Definimos um morfismo

κ : Tm−nM −→ B1m−n+1M

como segue: sejam h ∈ Tm−nM e H um tunel sobre M baseado em (D;Pn+1, . . . , Pm)

que representa h. Seja b = (b1, bn+1, . . . , bm) a tranca definida por

bi(t) = H(Pi, t), para i ∈ {1, n+ 1, . . . , m} e para t ∈ [0, 1].

Entao, κ(h) e o elemento de B1m−n+1M representado por b.

Observemos que para h ∈ Tm−1M temos que τ(h, P1) = κ(h) ∈ B1mM , onde P1

denota o caminho constante em P1.

Teorema 4.5. Seja n ≥ 2. Existe um morfismo δ : Cn,mM −→ B1m−n+1M tal que

δ(τ(h, f)) = κ(h),

para todo h ∈ Tm−nM e para todo f ∈ BnD. Ainda mais, temos as seguintes sequencias

exatas:

1 // BnD // Cn,mMδ

// B1m−n+1M // 1 e

1 // Z(BnD) // Zn,mMδ

// B1m−n+1M // 1 .

Teorema 4.6. Seja n ≥ 2. Seja M uma superfıcie com bordo nao vazio ou um toro.

Existe um morfismo ι : B1m−n+1M −→ Zn,mM , tal que δ ◦ ι = id. Em particular,

Cn,mM ≃ B1m−n+1M ×BnD e

Zn,mM ≃ B1m−n+1M × Z(BnD).

Observacao 4.7. O Teorema 4.6 generaliza [14, Teorema 4.3] e [29, Teorema 3].


4.2 Demonstracoes

Nessa secao temos como objetivo provar os teoremas enunciados na secao anterior,

descrevendo assim o comensurador, normalizador e centralizador de BnD em BmM no

caso em que M e superfıcie orientavel, distinta da esfera, e D e um disco mergulhado

em M .

Lema 4.8. Seja M uma superfıcie com bordo nao vazio ou um toro. Existe um mor-

fismo

ι0 : B1m−n+1M −→ Tm−nM

tal que κ ◦ ι0 = id.

A demonstracao deste lema involve uma passagem que precisa de teoria de varieda-

des, nao vamos colocala aqui pois isto nos distanciaria do objetivo inicial. Uma prova

e encontrada em [27, Lema 5.6].

Lema 4.9. Seja M uma superfıcie orientada distinta da esfera. O morfismo κ :

Tm−nM −→ B1m−n+1M e sobrejetor.

Observacao 4.10. Os autores deixam aberta a questao de nao saberem se um resultado

similar vale para superfıcies nao orientaveis.

Demonstracao: Escolhamos um disco aberto K0 mergulhado em M \ D e que nao

contem nenhum ponto Pi para i = n + 1, . . . , m. Pela Proposicao 2.9, a inclusao

M \K0 ⊆M induz um epimorfismo

φ : B1m−n+1M \K0 −→ B1

m−n+1M.

Assim, temos o seguinte diagrama comutativo:

Tm−nM \K0κ

//

��

B1m−n+1M \K0

φ��

Tm−nMκ

// B1m−n+1M.


Como M \ K0 e superfıcie com bordo, entao pelo Lema 4.8, κ : Tm−nM \ K0 −→

B1m−n+1M \K0 e sobrejetora. Daı segue que κ : Tm−nM −→ B1

m−n+1M e sobrejetora

tambem.

A partir de agora fixemos uma secao ι0 : B1m−n+1M −→ Tm−nM de κ. Ainda mais,

pelo Lema 4.8, podemos assumir que ι0 e um morfismo se M e uma superfıcie com

bordo nao vazio ou um toro. O Teorema 4.2 e uma consequencia direta do seguinte

lema, que sera provado posteriormente.

Lema 4.11. Seja n ≥ 2. Seja g ∈ CBmM(BnD). Existem u ∈ B1m−n+1M e f ∈ BnD

tais que

g = τ(ι0(u), f).

Demonstracao do Teorema 4.2: Ja provamos que Cn,mM ⊆ NBmM(BnD) ⊆

CBmM(BnD). Sejam n ≥ 2 e g ∈ CBmM(BnD), pelo Lema 4.11 existem u ∈ B1

m−n+1M

e f ∈ BnD tais que g = τ(ι0(u), f). Ou seja, g ∈ Cn,mM .

Logo, Cn,mM = CBmM(BnD).

Estamos agora em condicoes de provar o Corolario 4.3:

Demonstracao do Corolario 4.3: Na secao anterior mostramos que Cn,mM ⊆

NBmM(BnD) ⊆ CBmM(BnD) e pelo Teorema 4.2 CBmM(BnD) = Cn,mM , portanto

temos que CBmM(BnD) = NBmM(BnD) = Cn,mM.

Tambem mostramos que Zn,mM ⊆ ZBmM(BnD). Seja g ∈ ZBmM(BnD), entao

gf = fg, para todo f ∈ BnD. Pelo Teorema 4.2, g ∈ Cn,mM , e portanto existem

h ∈ Tm−nM e f ′ ∈ BnD tais que τ(h, f ′) = g ∈ BmM . Provemos que f ′ ∈ Z(BnD).

Como τ(h, f ′)τ(1, f) = τ(1, f)τ(h, f ′), entao τ(h, f ′f)τ(h−1, (ff ′)−1) = 1, donde se-

gue que f ′f = ff ′, para todo f ∈ BnD. Logo, f ′ ∈ Z(BnD) e como consequencia

g = τ(h, f ′) ∈ Zn,mM .

Os proximos dois lemas sao resultados preliminares a prova do Lema 4.11. Lem-


bremos que Σm denota o grupo de permutacoes de {P1, . . . , Pm}, que Σn denota o

grupo de permutacoes de {P1, . . . , Pn} e que Σm−n denota o grupo de permutacoes de

{Pn+1, . . . , Pm}. Escrevemos

BnmM = σ−1(Σm−n).

Lema 4.12. Sejam n ≥ 1 e g ∈ CBnmM(PBnD). Existem u ∈ B1

m−n+1M e f ∈ PBnD

tais que

g = τ(ι0(u), f).

Demonstracao: Provemos o Lema 4.12 por inducao sobre n. Seja n = 1. Entao,

PB1D = {1}, assim

CB1mM(PB1D) = B1

mM.

Por outro lado, se u ∈ B1mM , entao u = τ(ι0(u), P1), onde P1 denota o caminho

constante sobre P1, pois τ(ι0(u), P1) = κ(ι0(u)).

Sejam n > 1 e g ∈ CBnmM(PBnD). Escrevemos M ′ = M\{P1, . . . , Pn−1, Pn+1, . . . , Pm},

e D′ = D \ {P1, . . . , Pn−1}. Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

1 // π1D′ //

��

PBnDρ∗

//

��

PBn−1D //

��

1

1 // π1M′ // Bn

mMρ∗

// Bn−1m−1M

// 1.

Pelo Teorema 1.15, ρ∗(g) ∈ CBn−1

m−1M(PBn−1D). Por inducao, existem u ∈ B1

m−n+1M

e f1 ∈ PBn−1D tais que

ρ∗(g) = τ(ι0(u), f1).

Escolhamos f2 ∈ PBnD tal que ρ∗(f2) = f1 e escrevamos

g′ = g · τ(ι0(u), f2)−1.

Notemos que ρ∗(τ(ι0(u), f2)) = τ(ι0(u), ρ∗(f2)), pois o seguinte diagrama e comu-

tativo:

Tm−nM × PBnDτ

//

1×ρ∗

��

BnmM

ρ∗

��

Tm−nM × PBn−1Dτ

// Bn−1m−1M.


Portanto, ρ∗(g′) = ρ∗(g)ρ∗(τ(ι0(u), f2))

−1 = 1.

Agora, τ(ι0(u), f2) ∈ Cn,mM e Cn,mM ⊆ CBmM(BnD). Como [BnD : PBnD] e

finito, entao pela Proposicao 1.14 temos que CBmM(BnD) = CBmM(PBnD) e ja que

τ(ι0(u), f2) ∈ BnmM temos que τ(ι0(u), f2) ∈ CBn

mM(PBnD).

Como consequencia temos que g′ ∈ π1M′, e que g′ ∈ CBn

mM(PBnD), e assim, pelo

Teorema 1.15,

g′ ∈ Cπ1M ′(π1D′).

Consideremos os seguintes casos:

• se m 6= n ou M nao e um disco, entao M ′ e uma superfıcie grande e D′ nao e um

colarinho de Mobius em M ′, assim, pelo Teorema 3.1, Cπ1M ′(π1D′) = π1D

′.

• Se m = n e M e um disco, entao π1M′ = π1D

′, assim Cπ1M ′(π1D′) = π1D

′.

Daı segue que g′ = f3 ∈ π1D′ ⊆ PBnD. Logo,

g = f3 · τ(ι0(u), f2) = τ(ι0(u), f3f2).

Lema 4.13. Sejam n ≥ 2 e g ∈ CBmM(BnD). Entao, σ(g) e um elemento de Σn ×

Σm−n.

Demonstracao: Seja g ∈ CBmM(BnD). Suponhamos que σ(g) 6∈ Σn × Σm−n, sem

perda de generalidade podemos supor que σ(g)(Pn+1) = P1. Seja f ∈ π1(D\{P2, . . . , Pn};P1),

f 6= 1. O grupo PBnD tem ındice finito em BnD. Logo, CBmM(BnD) = CBmM(PBnD).

Como π1(D \ {P2, . . . , Pn}) ⊆ PBnD e como g ∈ CBmM(PBnD), temos que existe um

inteiro k > 0 tal que

gfkg−1 ∈ PBnD.

Consideremos a seguinte sequencia exata:

1 // π1(M \ {P1, . . . , Pn, Pn+2, . . . , Pm) // PBmMρ∗

// PBm−1M // 1 .


O homomorfismo ρ∗ envia PBnD isomorficamente sobre PBnD. Por outro lado,

gfkg−1 6= 1, pois f 6= 1 e BmM e livre de torcao (M 6= S2, orientavel) e ρ∗(gfkg−1) = 1

(ver Figura 4.1). Isto e uma contradicao.

Figura 4.1:

Isto prova que σ(g) ∈ Σn × Σm−n.

Demonstracao do Lema 4.11: Seja g ∈ CBmM(BnD). Pelo Lema 4.13, σ(g) ∈

Σn × Σm−n. Escolhemos f1 ∈ BnD tal que σ(gf−11 ) ∈ Σm−n e escrevemos g′ = gf−1.

Entao, g′ ∈ BnmM , g′ ∈ CBmM(BnD), e CBmM(BnD) = CBmM(PBnD), assim

g′ ∈ CBnmM(PBnD).

Pelo Lema 4.12, existem u ∈ B1m−n+1M e f2 ∈ PBnD tais que

g′ = τ(ι0(u), f2).

Portanto, g = τ(ι0(u), f2) · f1 = τ(ι0(u), f2f1).

Demonstracao do Teorema 4.5: A prova e dividida em cinco passos.

Passo 1. Definicao de δ:

Consideremos o homomorfismo natural

δ0 : BnmM −→ B1

m−n+1M.


Seja g ∈ Cn,mM. Pelo Lema 4.13, σ(g) ∈ Σn × Σm−n. Escolhemos f ∈ BnD tal que

σ(gf−1) ∈ Σm−n e entao definimos

δ(g) = δ0(gf−1).

Provemos que a definicao de δ(g) nao depende da escolha de f . Sejam f1, f2 ∈ BnD

tais que σ(gf−11 ) ∈ Σm−n e σ(gf−1

2 ) ∈ Σm−n. Entao,

δ0(gf−12 )−1δ0(gf

−11 ) = δ0(f2g

−1gf−11 ) = δ0(f2f

−11 ) = 1,

e assim δ0(gf−11 ) = δ0(gf

−12 ).

Passo 2. A aplicacao δ : Cn,mM −→ B1m−n+1M e um homomorfismo.

Sejam g1, g2 ∈ Cn,mM . Sejam f1, f2 ∈ BnD tais que σ(g1f−11 ) ∈ Σm−n e σ(g2f

−12 ) ∈

Σm−n. Pelo Corolario 4.3,

Cn,mM = NBmM(BnD),

assim existe f3 ∈ BnD tal que g−12 f1g2 = f3. Ainda mais,

σ((g1g2)(f2f3)−1) = σ(g1f

−11 g2f2)

−1 ∈ Σm−n.

Portanto,

δ(g1)δ(g2) = δ0(g1f−11 )δ0(g2f

−12 ) = δ0(g1f

−11 g2f

−12 ) = δ0((g1g2)(f2f3)

−1) = δ(g1g2).

Passo 3. Seja h ∈ Tm−nM e seja f ∈ BnD. Entao,

δ(τ(h, f)) = δ(τ(h, 1)τ(1, f)) = δ(τ(h, 1)) · δ(f) = κ(h).

Passo 4. Temos a seguinte sequencia exata:

1 // BnD // Cn,mMδ

// B1m−n+1M // 1 .

Seja u ∈ B1m−n+1M. Entao,

δ(τ(ι0(u), 1)) = κ(ι0(u)) = u.


Isto mostra que δ e sobrejetora. Seja g ∈ Cn,mM . Pelo Lema 4.11, existem u ∈

B1m−n+1M e f ∈ BnD tais que g = τ(ι0(u), f). Se g ∈ kerδ, entao

1 = δ(g) = κ(ι0(u)) = u,

assim

g = τ(ι0(u), f) = τ(1, f) = f ∈ BnD.

Passo 5. Temos a seguinte sequencia exata:


// B1m−n+1M // 1 .

Pelo Passo 4, e suficiente mostrar que δ : Zn,mM −→ B1m−n+1M e sobrejetora. Seja

u ∈ B1m−n+1M. Entao, τ(ι0(u), 1) ∈ Zn,mM e δ(τ(ι0(u), 1)) = u.

Demonstracao do Teorema 4.6: O homomorfismo ι : B1m−n+1M −→ Zn,mM e

definido por

ι(u) = τ(ι0(u), 1), para u ∈ B1m−n+1M.

Pelo Passo 4 na prova anterior, claramente, δ ◦ ι = id.

Agora, como a sequencia exata


// B1m−n+1M // 1

cinde, e pelo Corolario 4.3 Zn,mM = ZBmM(BnD), temos que

Zn,mM ≃ B1m−n+1M × Z(BnD),

e ja que ZBmM(BnD) ⊆ CBmM(BnD), temos tambem que

Cn,mM ≃ B1m−n+1M ×BnD.

Capıtulo 5

Comensurador, normalizador, e

centralizador de BnN em BmM

Sejam M uma superfıcie grande e N uma subsuperfıcie de M tal que N nao e nem

um disco, nem um colarinho de Mobius em M , e tal que nenhuma das componentes

conexas de M \N e um disco. Sejam N1, . . . , Nr as componentes conexas de M \N .

Sejam P1, . . . , Pn ∈ N e Pn+1, . . . , Pm ∈M \N . Para i = 1, . . . , r escrevemos

Pi = {Pn+1, . . . , Pm} ∩Ni e BniNi = Bni

Ni(Pi),

onde ni denota a cardinalidade de Pi. Se ni = 0, faremos a convencao que B0Ni = {1}.

O objetivo deste capıtulo e provar o seguinte teorema, com as hipoteses mencionadas

acima:

Teorema 5.1.

CBmM(BnN) = BnN × Bn1N1 × · · · × Bnr

Nr.

Corolario 5.2.

CBmM(BnN) = NBmM(BnN) = BnN × Bn1N1 × · · · × Bnr

Nr e

ZBmM(BnN) = Z(BnN) ×Bn1N1 × · · · ×Bnr

Nr.

50

5.1 Acao de π1N sobre Π1(M \ {P0}) 51

Este capıtulo sera dividido em duas secoes. Na primeira secao estudaremos uma

acao de π1N sobre algum grupoide Π1(M \ {P0}). Na segunda secao aplicaremos os

resultados da primeira para provar o Teorema 5.1.

5.1 Acao de π1N sobre Π1(M \ {P0})

Durante esta secao, fixemos um ponto P0 ∈ N e um ponto Pi ∈ Ni, para todo i =

1, . . . , r. Alem disso, nao assumiremos que nenhuma das componentes conexas de

M \N e um disco.

Daremos uma definicao de um grupoide na linguagem da Teoria de Categorias:

Definicao 5.3. Um grupoide e uma pequena categoria na qual todo morfismo e um

isomorfismo. Mais precisamente, um grupoide e formado pelos seguintes dados:

• um conjunto G0 de objetos,

• para cada par de objetos x e y em G0, existe um conjunto G(x, y) de morfismos

(ou setas) de x ate y. Escrevemos f : x → y para indicar que f e um elemento

de G(x, y).

• uma funcao, chamada composicao, a qual associa a cada g ∈ G(y, z) e a cada

f ∈ G(x, y) um elemento gf ∈ G(x, z); ou seja, composicao e uma funcao

G(x, y) ×G(y, z) −→ G(x, z).

Esses objetos e morfismos devem satisfazer os seguintes axiomas:

• (Associatividade) Se h ∈ G(z, w), g ∈ G(y, z), f ∈ G(x, y) entao

(hg)f = h(gf)

.


• (Existencia de elemento identidade) Para todo objeto x ∈ G0 existe o elemento

idx de G(x, x), tal que se g ∈ G(w, x), f ∈ G(x, y) entao

fidx = f, idxg = g.

• (Existencia de elemento inverso) Sejam x, y ∈ G0. Para todo morfismo f : x −→

y existe um morfismo inverso, que denotaremos por f−1. Ou seja, para todo

f : x −→ y existe um morfismo f−1 : y −→ x tal que

ff−1 = idy, f−1f = idx.

Existe a funcao invx,y : G(x, y) −→ G(y, x).

O grupoide fundamental de M \ {P0} baseado em P1, . . . , Pr e o grupoide Π1(M \

{P0}) definido pelos seguintes dados.

1. O conjunto de objetos de Π1(M \ {P0}) e {P1, . . . , Pr}.

2. Sejam Pi, Pj ∈ {P1, . . . , Pr}. O conjunto de morfismos de Pi ate Pj e o conjunto

Π1(M \ {P0})[Pi, Pj ] de classes de caminhos homotopicos em M \ {P0} de Pi ate

Pj.

3. A funcao composicao e induzida por concatenacao a nivel geometrico.

Sejam Pi, Pj, Pk ∈ {P1, . . . , Pr}. Temos que a aplicacao composicao vai de Π1(M \

{P0})[Pi, Pj] × Π1(M \ {P0})[Pj , Pk] ate Π1(M \ {P0})[Pi, Pk]. Notemos que

Π1(M \ {P0})[Pi, Pi] = π1(M \ {P0}, Pi).

Alem disso, se x ∈ Π1(M \ {P0})[Pi, Pj], entao a aplicacao

θx : π1(M \ {P0}, Pi) −→ Π1(M \ {P0})[Pi, Pj]

g 7−→ gx

e uma bijecao. De fato, sejam g1, g2 ∈ π1(M \ {P0}, Pi) e suponhamos que g1x = g2x,

entao g1xx−1g−1

2 = 1 e portanto g1 = g2, mostrando assim que θx e injetora. Agora,


seja h ∈ Π1(M \ {P0})[Pi, Pj], tomemos g = hx−1 ∈ π1(M \ {P0}, Pi), entao θx(g) = h

provando assim que θx e sobrejetora.

Sejam Pi, Pj ∈ {P1, . . . , Pr}. Uma interbraid (“tranca intermediaria”) sobre M

baseada em (P0, [Pi, Pj]) e um par b = (b0, b1) de caminhos, bk : [0, 1] −→ M , para

k = 0, 1, tais que

1. b0(0) = b0(1) = P0, b1(0) = Pi e b1(1) = Pj ,

2. b0(t) 6= b1(t), para todo t ∈ [0, 1].

Existe uma nocao natural de homotopia de interbraids. O grupoide de interbraids

sobre M baseado em (P0, {P1, . . . , Pr}) e o grupoide

IB2M = IB2M(P0, {P1, . . . , Pr})

definido pelos seguintes dados:

1. O conjunto de objetos de IB2M e {P1, . . . , Pr}.

2. Sejam Pi, Pj ∈ {P1, . . . , Pr}. O conjunto de morfismos de Pi ate Pj e o con-

junto IB2M [Pi, Pj] de classes homotopicas de interbraids sobre M baseadas em

(P0, [Pi, Pj]).

3. A funcao composicao e induzida por concatenacao a nivel geometrico.

Sejam Pi, Pj , Pk ∈ {P1, . . . , Pr}. Temos que a aplicacao composicao vai de IB2M [Pi, Pj]×

IB2M [Pj , Pk] ate IB2M [Pi, Pk]. Notemos que

IB2M [Pi, Pi] = PB2M(P0, Pi).

Alem disso, se X ∈ IB2M [Pi, Pj], entao a aplicacao

Θx : PB2M(P0, Pi) −→ IB2M [Pi, Pj ]

g 7−→ gX

e uma bijecao.


Sejam Pi, Pj ∈ {P1, . . . , Pr}. Consideremos as aplicacoes naturais, que sao induzidas

por aplicacoes geometricas, uma esquece o caminho que vai de Pi ate Pj , e a outra poe

um caminho constante baseado no ponto P0, respectivamente:

α : IB2M [Pi, Pj] −→ π1(M,P0),

β : Π1(M \ {P0})[Pi, Pj] −→ IB2M [Pi, Pj].

Seja x ∈ Π1(M \ {P0})[Pi, Pj], e seja X = β(x). Entao, o seguinte diagrama comuta:

1 // π1(M \ {P0}, Pi) //

θx

��

PB2M(P0, Pi)ρ∗

//

Θx

��

π1(M,P0) //

id

1

Π1(M \ {P0})[Pi, Pj]β

// IB2M [Pi, Pj ]α

// π1(M,P0).

Daı, α e sobrejetora, β e injetora e α−1(1) = β(Π1(M \ {P0})[Pi, Pj]).

Portanto, podemos assumir que

Π1(M \ {P0})[Pi, Pj] = β(Π1(M \ {P0})[Pi, Pj]) ⊆ IB2M [Pi, Pj].

A inclusao N ⊆ M induz um morfismo ψk : π1(N,P0) −→ PB2M(P0, Pk), para todo

k = 1, . . . , r. Definimos uma acao de π1(N,P0) sobre IB2M [Pi, Pj] como segue. Sejam

u ∈ π1(N,P0) e X ∈ IB2M [Pi, Pj]. Entao,

u(X) = ψi(u) ·X · ψj(u)−1.

Sejam x ∈ Π1(M \ {P0})[Pi, Pj] e u ∈ π1(N,P0). Entao, α(u(x)) = 1, assim u(x) ∈

Π1(M \ {P0})[Pi, Pj]. Portanto, a acao de π1(N,P0) sobre IB2M [Pi, Pj] induz uma

acao de π1(N,P0) sobre Π1(M \ {P0})[Pi, Pj].

Observacao 5.4. Se a imagem dos caminhos u ∈ π1(N,P0), x ∈ Π1(M \ {P0}) e

disjunta, entao u(x) = x.

Denotemos por SN [Pi, Pj] o conjunto dos elementos x ∈ Π1(M \ {P0})[Pi, Pj] tais

que, para todo u ∈ π1(N,P0) existe um inteiro k > 0 tal que uk(x) = x. O resultado

principal da Secao 5.1 e a seguinte proposicao.


Proposicao 5.5. Sejam i, j ∈ {1, . . . , r}. Entao,

SN [Pi, Pj] =

π1(Ni, Pi) = π1(Nj, Pj) se i = j,

∅ se i 6= j.

Os Lemas 5.6 ate 5.9 sao resultados preliminares a prova da Proposicao 5.5. De

agora em diante, ate o final da prova do Lema 5.9, faremos as seguintes suposicoes (ver

Figura 5.1):

Figura 5.1:

1. N e uma esfera com q + 1 buracos (q ≥ 1). Denotemos por C0, C1, . . . , Cq as

componentes fronteira de N .

2. M \N tem duas componentes conexas, N1 e N2.

3. N ∩N1 = C1 ∪ . . . ∪ Cq e N ∩N2 = C0.

Escolhemos um ponto P ′0 ∈ N diferente de P0. Escolhemos um ponto Qi ∈ Ci, para

todo i = 0, 1, . . . , q. De acordo com a Figura 5.2:

1. escolhemos um caminho γsi : [0, 1] −→ N \ {P0} de P ′0 ate Qi, para todo i =

0, 1, . . . , q,

2. escolhemos um caminho γti : [0, 1] −→ N1 de P1 ate Qi, para todo i = 1, . . . , q,

3. escolhemos um caminho γt0 : [0, 1] −→ N1 de P2 ate Q0.


Figura 5.2:

Escrevemos

γi = γsi (γti)

−1, para i = 0, 1, . . . , q,

βi = γ−11 γi ∈ π1(M \ {P0}, P1), para i = 1, . . . , q,

T = γ−11 γ0 ∈ Π1(M \ {P0}, P1)[P1, P2].

Notemos que o caminho T induz um morfismo

π1(N2, P2) −→ π1(M \ {P0}, P1)

g 7−→ TgT−1.

O seguinte lema e uma consequencia do teorema de Van Kampen.

Lema 5.6. Seja F o subgrupo de π1(M \ {P0}, P1) gerado por β2, . . . , βq,

π1(M \ {P0}, P1) = π1(N1, P1) ∗ (T · π1(N2, P2) · T−1) ∗ F.

Todos esses grupos sao livres e {β2, . . . , βq} e uma base para F .

De acordo com a Figura 5.3,

1. escolhemos um laco simples αi : [0, 1] −→ Ci baseado em Qi, para todo i =

0, 1, . . . , q,

2. escolhemos um caminho δi : [0, 1] −→ N de P0 ate Qi, para todo i = 0, 1, . . . , q.


Figura 5.3:

Escrevemos

hi = γtiαi(γti)

−1 ∈ π1(N1, P1), para i = 1, . . . , q,

h0 = γt0α0(γt0)

−1 ∈ π1(N2, P2),

ui = δiαiδ−1i ∈ π1(N,P0), para i = 0, 1, . . . , q.

De acordo com a Figura 5.4, escolhemos um laco µ : [0, 1] → N \ {P0} baseado em

P ′0 percorrendo em torno de P0, no sentido horario.

Figura 5.4:

Escrevemos

hc = γ−11 µγ1 ∈ π1(M \ {P0}, P1).

Como Th−10 T−1·h−1

1 ·β2h−12 β−1

2 ·. . .·βqh−1q β−1

q = γ−11 (γs0α

−10 (γs0)

−1γs1α−11 (γs1)

−1γs2α−12 (γs2)

−1

γs3 · · · (γsq−1)

−1γqsα−1q (γsq)

−1)γ1 e ja que µ e homotopico a γs0α−10 (γs0)

−1γs1α−11 (γs1)

−1γs2α−12

(γs2)−1γs3 · · · (γ

sq−1)

−1γqsα−1q (γsq)

−1 temos que

hc = Th−10 T−1 · h−1

1 · β2h−12 β−1

2 · . . . · βqh−1q β−1

q .


Lema 5.7. Temos que

(i) u0(g) = g, para todo g ∈ π1(N1, P1),

(ii) u0(g) = g, para todo g ∈ π1(N2, P2),

(iii) u0(βi) = βi, para todo βi ∈ {β2, . . . , βq},

(iv) u0(T ) = h−1c T.

Demonstracao: (i) Escolhemos um laco ζ : [0, 1] → N1 baseado em P1 que representa

g. Entao, a imagem de ζ e a imagem de u0 sao disjuntas (ver Figura 5.5). Assim

u0(g) = g.

Figura 5.5:

(ii) Escolhemos um laco ζ : [0, 1] → N2 baseado em P2 que representa g. A imagem

de ζ e a imagem de u0 sao disjuntas. Logo, u0(g) = g.

(iii) A imagem de βi e a imagem de u0 sao disjuntas. Assim u0(βi) = βi.

(iv) Na Figura 5.6, a interbraid desenhada em (a) e homotopica a interbraid dese-

nhada em (b), e a interbraid desenhada em (b) e homotopica a interbraid desenhada

em (c). A interbraid desenhada em (a) representa u0(T ), e a interbraid desenhada em

(c) representa

γ−11 µγ0.

Daı segue que u0(T ) = γ−11 µ−1γ0 = γ−1

1 µ−1γ1 · γ−11 γ0 = h−1

c T.

Lema 5.8. Seja k ∈ {2, . . . , q}. Entao,

(i) uk(g) = g, para todo g ∈ π1(N1, P1),


Figura 5.6:

(ii) uk(g) = g, para todo g ∈ π1(N2, P2),

(iii) uk(T ) = T ,

(iv) uk(βi) = βi, para todo i ∈ {2, . . . , k − 1},

(v) uk(βk) = βkh−1k β−1

k h−1c βkhk,

(vi) uk(hc) = βkh−1k β−1

k hcβkhkβ−1k .

Demonstracao: As afirmacoes (i) ate (iv) podem ser provadas usando os mesmos

argumentos como aqueles dados nas provas das afirmacoes (i) a (iii) do Lema 5.7.

(v) Na Figura 5.7, a tranca desenhada em (a) e homotopica a tranca desenhada

em (b), e a tranca desenhada em (b) e homotopica a tranca desenhada em (c). A

tranca desenhada em (a) representa uk(βk), e a tranca desenhada em (c) representa

γ−11 γskα

−1k (γsk)

−1µ−1γskαk(γtk)

−1. Daı segue que


Figura 5.7:


µk(βk) = γ−11 γskα

−1k (γsk)

−1µ−1γskαk(γtk)

−1

= γ−11 γsk(γ

tk)

−1 · γtkα−1k (γtk)

−1 · γtk(γsk)

−1γ1

·γ−11 µ−1γ1 · γ

−11 γsk(γ

tk)

−1 · γtkαk(γtk)

−1

= βkh−1k β−1

k h−1c βkhk.

(vi) Na Figura 5.8, a tranca desenhada em (a) e homotopica a tranca desenhada em

(b), a tranca desenhada em (b) e homotopica a tranca desenhada em (c), e a tranca de-

senhada em (c) e homotopica a tranca desenhada em (d). A tranca desenhada em (a) re-

presenta uk(hc), e a tranca desenhada em (d) representa γ−11 γskα

−1k (γsk)

−1µγskαk(γsk)

−1γ1.

Daı segue que

µk(hc) = γ−11 γskα

−1k (γsk)

−1µγskαk(γsk)

−1γ1

= γ−11 γsk(γ

tk)

−1 · γtkα−1k (γtk)

−1 · γtk(γsk)

−1γ1 · γ−11 µγ1

·γ−11 γsk(γ

tk)

−1 · γtkαk(γtk)

−1 · γtk(γsk)

−1γ1

= βkh−1k β−1

k hcβkhkβ−1k .

Lema 5.9. SN [P1, P1] = π1(N1, P1) e SN [P1, P2] = ∅.

Demonstracao: A prova do Lema 5.9 e dividida em cinco passos.

Passo 1. π1(N1, P1) ⊆ SN [P1, P1].

Sejam g ∈ π1(N1, P1) e u ∈ π1(N,P0). Seja ζ : [0, 1] → N1 um laco baseado em P1

que representa g, e seja ξ : [0, 1] → N um laco baseado em P0 que representa u. A

imagem de ζ e a imagem de ξ sao disjuntas, assim u(g) = g.

Passo 2. SN [P1, P1] ⊆ π1(N1, P1) ∗ F .

Seja

h′c = βqhqβ−1q · . . . · β2h2β

−12 · h1.

Entao,

hc = Th−10 T−1 · (h′c)

−1, h′c ∈ π1(N1, P1) ∗ F.


Figura 5.8:


Seja g ∈ π1(M \ {P0}, P1). Pelo Lema 5.6, g pode ser (unicamente) escrito como

g = x0Ty1T−1x1 · · ·TyℓT

−1xℓ,

onde

xi ∈ π1(N1, P1) ∗ F, para i = 0, 1, . . . , ℓ,

xi 6= 1, para i = 0, 1, . . . , ℓ− 1,

yi ∈ π1(N2, P2) \ {1}, para i = 0, 1, . . . , ℓ.

Suponhamos que ℓ ≥ 1. Pelo Lema 5.7,

u0(g) = x0h−1c Ty1T

−1hcx1 · · ·h−1c TyℓT

−1hcxℓ

= x0h′c · T · h0y1h

−10 · T−1 · (h′c)

−1x1h′c · . . . · T · h0yℓh

−10 · T−1 · (h′c)

−1xℓ.

Daı segue que, para qualquer inteiro k > 0,

uk0(g) = x0(h′c)k · T · hk0y1h

−k0 · T−1 · (h′c)

−kx1(h′c)k · . . . · T · hk0yℓh

−k0 · T−1 · (h′c)

−kxℓ,

assim uk0(g) 6= g.

Portanto, se g ∈ SN [P1, P1], entao (pela definicao de SN [P1, P1]) existe um inteiro

k > 0 tal que uk0(g) = g, assim ℓ = 0, logo g ∈ π1(N1, P1) ∗ F .

Para j = 2, . . . , q, denotamos por F (β2, . . . , βj) o subgrupo de F gerado por

{β2, . . . , βj}.

Passo 3. SN [P1, P1] ⊆ π1(N1, P1) ∗ F (β2, . . . , βq−1).

Seja

h′ = βq−1hq−1β−1q−1 · . . . · β2h2β

−12 · h1 · Th0T

−1.

Entao,

hc = (h′)−1βqh−1q β−1

q , h′ ∈ π1(N1, P1) ∗ (T · π1(N2, P2) · T−1) ∗ F (β2, . . . , βq−1).

Seja g ∈ π1(M \ {P0}, P1). Pelo Lema 5.6, g pode ser (unicamente) escrito como

g = x0βε1q x1 · · ·β

εlq xℓ,


onde

xi ∈ π1(N1, P1) ∗ (T · π1(N2, P2) · T−1) ∗ F (β2, . . . , βq−1), para i = 0, 1, . . . , ℓ,

εi ∈ {±1}, para i = 1, . . . , ℓ,

xi 6= 1 se εi+1 = −εi, para i = 1, . . . , ℓ− 1.

Chamamos esta expressao de expressao relativa reduzida de g com relacao a βq de

comprimento ℓ = ℓq(g)

Vamos supor que ℓ ≥ 1. Seja k > 0 um inteiro. Pelo Lema 5.8,

uq(βq) = βqh−1q β−1

q h−1c βqhq = h′βqhq,

uq(xi) = xi, para i = 0, 1, . . . , ℓ.

Notemos tambem que uq(h′) = h′ e uq(hq) = hq.

Se εi = εi+1 = 1, entao

ukq(βqxiβq) = (h′)k · βq · hkqxi(h

′)k · βq · hkq .

Se εi = 1 e εi+1 = −1, entao

ukq(βqxiβ−1q ) = (h′)k · βq · h

kqxih

−kq · β−1

q · (h′)−k

e hkqxih−kq 6= 1 (ja que xi 6= 1).

Se εi = −1 e εi+1 = 1, entao

ukq(β−1q xiβq) = h−kq · β−1

q · (h′)−kxi(h′)k · βq · h

kq

e (h′)−kxi(h′)k 6= 1 (ja que xi 6= 1).

Se εi = εi+1 = −1, entao

ukq(β−1q xiβ

−1q ) = h−kq · β−1

q · (h′)−kxih−kq · β−1

q · (h′)−k.

Portanto, ukq(g) tem uma expressao relativa reduzida com relacao a βq de comprimento

ℓ, e esta expressao comeca com x0(h′)k (se ε1 = 1) ou com x0h

−kq (se ε1 = −1). Como

(h′)k 6= 1 e h−kq 6= 1 temos que em particular, ukq(g) 6= g.


Logo, se g ∈ SN [P1, P1], entao (pela definicao de SN [P1, P1]) existe um inteiro k > 0

tal que ukq(g) = g, assim ℓq(g) = 0, e portanto

g ∈ π1(N1, P1) ∗ (T · π1(N2, P2) · T−1) ∗ F (β2, . . . , βq−1).

Pelo Passo 2, segue que

g ∈ π1(N1, P1) ∗ F (β2, . . . , βq−1).

Passo 4. SN [P1, P1] ⊆ π1(N1, P1).

Pelo Passo 3,

SN [P1, P1] ⊆ π1(N1, P1) ∗ F (β2, . . . , βq−1).

Seja j ∈ {2, . . . , q − 1}. Suponhamos que SN [P1, P1] ⊆ π1(N1, P1) ∗ F (β2, . . . , βj) e

provemos que SN [P1, P1] ⊆ π1(N1, P1) ∗ F (β2, . . . , βj−1).

Seja R o conjunto dos g ∈ π1(M\{P0}, P1) os quais podem ser (unicamente) escritos

como

g = x0βε1j x1 · · ·β

εℓ

j xℓ,

onde xi ∈ π1(N1, P1) ∗ F (β2, . . . , βj−1) ou xi ∈ {hc, h−1c }, para i = 0, 1, . . . , ℓ, xi 6= 1 se

εi+1 = −εi, para i = 1, . . . , ℓ−1, x0, xℓ 6∈ {hc, h−1c }, εi = −1 e εi+1 = 1 se xi ∈ {hc, h

−1c },

para i = 1, . . . , ℓ− 1. Escrevemos ℓ = ℓR(g).

Para poder escolher j ∈ {2, . . . , q − 1}, devemos assumir primeiro que q ≥ 3. Em

particular, nem N1, nem N ∪ N2 sao discos, assim hi 6= 1, para todo i = 1, . . . , q. A

unicidade da expressao de g vem do fato que hc pode ser escrito

hc = Th−10 T−1 · h−1

1 · β2h−12 β−1

2 · · ·βjh−1j β−1

j · βj+1h−1j+1β

−1j+1 · · ·βqh

−1q β−1

q .

Este tipo de expressao poderia nao ser necessariamente unica se j = q.

Suponhamos que ℓ ≥ 1. Se εi = εi+1 = 1, entao, pelo Lema 5.8,

uj(βjxiβj) = βj · h−1j · β−1

j · h−1c · βj · hjxi · βj · h

−1j · β−1

j · h−1c · βj · hj.

Se εi = 1 e εi+1 = −1, entao, pelo Lema 5.8,

uj(βjxiβ−1j ) = βj · h

−1j · β−1

j · h−1c · βj · hjxih

−1j · β−1

j · hc · βj · hj · β−1j ,


e hjxih−1j 6= 1 (pois xi 6= 1).

Se εi = −1, εi+1 = 1 e xi 6∈ {hc, h−1c }, entao, pelo Lema 5.8,

uj(β−1j xiβj) = h−1

j · β−1j · hc · βj · hj · β

−1j · xi · βj · h

−1j · β−1

j · h−1c · βj · hj .

Se εi = εi+1 = −1, entao, pelo Lema 5.8,

uj(β−1j xiβ

−1j ) = h−1

j · β−1j · hc · βj · hj · β

−1j · xih

−1j · β−1

j · hc · βj · hj · β−1j .

Se εi = −1, εi+1 = 1 e xi = hεc, onde ε ∈ {±1}, entao, pelo Lema 5.8,

uj(β−1j hεcβj) = h−1

j β−1j hcβjhjβ

−1j · βjh

−1j β−1

j hεcβjhjβ−1j · βjh

−1j β−1

j h−1c βjhj .

= h−1j · β−1

j · hεc · βj · hj .

Daı segue que uj(g) ∈ R, que ℓR(uj(g)) ≥ ℓ, e que ℓR(uj(g)) > ℓ se nenhum dos xi

esta contido em {hc, h−1c }, para i = 1, . . . , ℓ− 1. Isto mostra que ukj (g) 6= g se k > 0 e

um inteiro, se g ∈ π1(N1, P1) ∗ F (β2, . . . , βj), e se ℓR(g) ≥ 1.

Seja g ∈ SN [P1, P1]. Por hipotese, g ∈ π1(N1, P1) ∗ F (β2, . . . , βj). Logo, existe

um inteiro k > 0 tal que ukj (g) = g, assim ℓR(g) = 0, e portanto g ∈ π1(N1, P1) ∗

F (β2, . . . , βj−1).

Passo 5. SN [P1, P2] = ∅.

Seja g ∈ Π1(M \ {P0})[P1, P2]. Pelo Lema 5.6, g pode ser (unicamente) escrito

como

g = x0Ty1T−1x1 · · ·TyℓT

−1xℓT,

onde

xi ∈ π1(N1, P1) ∗ F, para i = 0, 1, . . . , ℓ,

xi 6= 1, para i = 1, . . . , ℓ− 1,

yi ∈ π1(N2, P2) \ {1}, para i = 1, . . . , ℓ.

Pelo Lema 5.7,

u0(g) = x0h−1c Ty1T

−1hcx1 . . . h−1c TyℓT

−1hcxℓh−1c T

= x0h′c · T · h0y1h

−10 · T−1 · (h′c)

−1x1h′c · · ·T · h0Tyℓh

−10 · T−1 · (h′c)

−1xℓh′c · T · h0.


Daı segue que, para um inteiro k > 0,

uk0(g) = x0(h′c)k ·T ·hk0y1h

−k0 ·T−1 ·(h′c)

−kx1(h′c)k · · ·T ·hk0yℓh

−k0 ·T−1 ·(h′c)

−kxℓ(h′c)k ·T ·hk0,

e assim uk0(g) 6= g.

As hipoteses especiais sobre N que tinhamos feito logo depois de enunciar a Pro-

posicao 5.5 nao serao mais consideradas. Na sequencia, provaremos a Proposicao 5.5,

que como tinhamos observado e o resultado principal desta secao.

Demonstracao da Proposicao 5.5: Provemos que SN [P1, P1] = π1(N1, P1) e que

SN [P1, P2] = ∅. O mesmo argumento serve para quaisquer Pi e Pj.

Sejam g ∈ π1(N1, P1) e u ∈ π1(N,P0). Sejam ζ : [0, 1] −→ N1 um laco baseado

em P1 que representa g, e ξ : [0, 1] −→ N um laco baseado em P0 que representa

u. A imagem de ζ e a imagem de ξ sao disjuntas, assim u(g) = g. Isto mostra que

π1(N1, P1) ⊆ SN [P1, P1].

Agora, sejam C1, . . . , Cq as componentes conexas de N ∩ N1. Escolhamos uma

subsuperfıcie N ′ ⊆ N (ver Figura 5.9) tal que

Figura 5.9:

1. N ′ e uma esfera com q + 1 buracos,

2. M \N ′ tem duas componentes conexas, N1 e N ′2 = N \N ′ ∪N2 . . . ∪Nr,

5.2 Prova do Teorema 5.1 68

3. N ′ ∩N1 = C1 ∪ . . . ∪ Cq,

4. N ′ ∩N ′2 tem uma unica componente conexa que denotaremos por C0,

5. P0 ∈ N ′.

Ainda mais, no caso onde r = 1, escolheremos algum ponto P2 ∈ N ′2. Seja

SN ′ [P1, P1] o conjunto formado pelos elementos g ∈ π1(M \ {P0}, P1) tais que, para

todo u ∈ π1(N′, P0), existe um inteiro k > 0 tal que uk(g) = g. Temos que SN [P1, P1] ⊆

SN ′ [P1, P1] (poisN ⊇ N ′), e pelo Lema 5.9, SN ′ [P1, P1] = π1(N1, P1), assim SN [P1, P1] ⊆

π1(N1, P1). E claro, por serem disjuntos, que π1(N1, P1) ⊆ SN [P1, P1], portanto

π1(N1, P1) = SN [P1, P1].

Agora, assumimos que r ≥ 2. Seja SN ′ [P1, P2] o conjunto dos elementos g ∈ Π1(M \

{P0})[P1, P2] tais que, para todo u ∈ π1(N′, P0), existe um inteiro k > 0 tal que uk(g) =

g. Temos SN [P1, P2] ⊆ SN ′ [P1, P2] (pois N ⊇ N ′), e pelo Lema 5.9, SN ′ [P1, P2] = ∅,

assim SN [P1, P2] = ∅.

5.2 Prova do Teorema 5.1

Os Lemas 5.10 ate 5.14 sao resultados preliminares a prova do Teorema 5.1.

Lema 5.10. Sejam m = 2, n = 1 e i ∈ {1 . . . , r} tais que P2 ∈ Ni. Entao,

CPB2M(PB1N) = CPB2M(π1N) = π1(N,P1) × π1(Ni, P2).

Demonstracao: Assumiremos que i = 1 (ou seja, que P2 ∈ N1). A inclusao

π1(N,P1) × π1(N1, P2) ⊆ CPB2M(π1N)

e clara pois dado g ∈ π1(N,P1) × π1(N1, P2) temos que gπ1(N,P1)g−1 ∩ π1(N,P1) =

π1(N,P1).

Seja g ∈ CPB2M(π1N). Consideremos a seguinte sequencia exata:

1 // π1(M \ {P1}) // PB2Mρ∗

// π1M // 1.


O morfismo ρ∗ envia π1(N,P1) isomorficamente sobre π1(N,P1). Pelo Teorema 1.15

temos que ρ∗(g) ∈ Cπ1M(π1N). Pelo Teorema 3.1, ρ∗(g) = f ∈ π1(N,P1). Escrevemos

g′ = f−1g. Temos que g′ ∈ π1(M \ {P1}, P2) (pois, ρ∗(g′) = 1) e g′ ∈ CPB2M(π1N).

Seja u ∈ π1(N,P1). Ja que g′ ∈ CPB2M(π1N), existe um inteiro k > 0 tal que

g′uk(g′)−1 ∈ π1(N,P1).

O morfismo ρ∗ envia π1(N,P1) isomorficamente sobre π1(N,P1), assim

g′uk(g′)−1 = ρ∗(g′uk(g′)−1) = ρ∗(g

′)ρ∗(uk)ρ∗(g

′)−1 = uk,

e portanto

ukg′u−k = g′.

Escrevemos Q1 = P2 e escolhamos um ponto Qi ∈ Ni, para todo i = 2, . . . , r. Seja

Π1(M \ {P1}) o grupoide fundamental sobre M \ {P1} baseado em {Q1, Q2, . . . , Qr}.

Pelas consideracoes acima temos que, para u ∈ π1(N,P1) e um inteiro k > 0, se satisfaz

uk(g′) = g′, e portanto g′ ∈ SN [Q1, Q1], assim, pela Proposicao 5.5, g′ ∈ π1(N1, P2).

Logo,

g = fg′ ∈ π1(N,P1) × π1(N1, P2).

Lema 5.11.

CPBmM(PBnN) = PBnN × PBn1N1 × · · · × PBnr

Nr.

Demonstracao: A prova do Lema 5.11 e dividida em dois passos.

Passo 1. Seja n = 1. Provaremos por inducao sobre m que

CPBmM(PB1N) = CPBmM(π1N) = π1N × PBn1N1 × · · · × PBnr

Nr.

O caso m = 1 e provado no Teorema 3.1, e o caso m = 2 e provado no Lema 5.10.

Seja m ≥ 3. A inclusao

π1N × PBn1N1 × · · · × PBnr

Nr ⊆ CPBmM(π1N)


e clara.

Seja g ∈ CPBmM(π1N). Consideremos a seguinte sequencia exata:

1 // π1(M \ {P1, P2, . . . , Pm−1}) // PBmMρ∗

// PBm−1M // 1 .

O morfismo ρ∗ envia π1(N,P1) isomorficamente sobre π1(N,P1). Pelo Teorema 1.15,

ρ∗(g) e um elemento de CPBm−1M(π1N). Assumiremos que Pm ∈ N1. Por inducao,

CPBm−1(π1N) = π1N × PBn1−1N1 × PBn2

N2 × · · · × PBnrNr.

Assim, podemos escolher f ∈ π1(N,P1), h′1 ∈ PBn1−1N1 e hi ∈ PBni

Ni para todo

i = 2, . . . , r tais que

ρ∗(g) = fh′1h2 · · ·hr.

O morfismo ρ∗ envia PBniNi isomorficamente sobre PBni

Ni, para todo i = 2, . . . , r,

e envia PBn1N1 sobrejetivamente sobre PBn1−1N1. Escolhemos h1 ∈ PBn1

N1 tal que

ρ∗(h1) = h′1 e escrevemos

g′ = gh−1r · · ·h−1

2 h−11 f−1.

Temos que g′ ∈ π1(M \ {P1, P2, . . . , Pm−1}, Pm) (pois ρ∗(g′) = 1) e g′ ∈ CPBmM(π1N).

Temos as seguintes inclusoes

π1(M \ {P1, P2, . . . , Pm−1}) ⊆ PB2M \ {P2, . . . , Pm−1} e

π1N ⊆ PB2M \ {P2, . . . , Pm−1},

onde PB2M\{P2, . . . , Pm−1} denota o grupo de trancas puras sobre M\{P2, . . . , Pm−1}

baseado em (P1, Pm). Portanto,

g′ ∈ CPB2M\{P2,...,Pm−1}(π1N),

assim pelo Lema 5.8,

g′ ∈ π1(N,P1) × π1(N1 \ P′1, Pm),

onde P ′1 = P1 \ {Pm}. Seja f ∈ π1(N,P1) e seja h1 ∈ π1(N1 \ P

′1, Pm) tal que g′ = f h1.

Entao,

1 = ρ∗(g′) = ρ∗(f)ρ∗(h1) = f ,


assim g′ = h1 ∈ π1(N1 \ P′1, Pm). Portanto,

g = g′ · fh1h2 · · ·hr = f(g′h1)h2 · · ·hr ∈ π1N × PBn1N1 × PBn2

N2 × · · · × PBnrNr.

Passo 2. Provaremos por inducao sobre n que

CPBmM(PBnN) = PBnN × PBn1N1 × · · · × PBnr

Nr.

O caso n = 1 e provado no Passo 1. Seja n > 1. A inclusao

PBnN × PBn1N1 × · · · × PBnr

Nr ⊆ CPBmM(PBnN)

e clara.

Sejam g ∈ CPBmM(PBnN), M ′ = M \ {P1, . . . , Pn−1, Pn+1, . . . , Pm} e N ′ = N \

{P1, . . . , Pn−1}. Consideremos o seguinte diagrama comutativo:

1 // π1N′ //

��

PBnNρ∗

//

��

PBn−1N //

��

1

1 // π1M′ // PBmM

ρ∗// PBm−1M // 1.

Pelo Teorema 1.15, ρ∗(g) ∈ CPBm−1M(PBn−1N). Por inducao,

CPBm−1M(PBn−1N) = PBn−1N × PBn1N1 × · · · × PBnr

Nr.

Assim podemos escolher f ′ ∈ PBn−1N e hi ∈ PBniNi, para todo i = 1, . . . , r tais que

ρ∗(g) = f ′h1 . . . hr.

O morfismo ρ∗ envia PBniNi isomorficamente sobre PBni

Ni, para todo i = 1, . . . , r, e

envia PBnN sobrejetivamente sobre PBn−1N . Escolhemos f ∈ PBnN tal que ρ∗(f) =

f ′ e escrevemos

g′ = gh−1r · · ·h−1

1 f−1.

Temos que g′ ∈ π1(M′, Pn) (pois ρ∗(g

′) = 1) e g′ ∈ CPBmM(PBnN), assim, pelo

Teorema 1.15, g′ ∈ Cπ1M ′(π1N′). Pelo Teorema 3.1, g′ e um elemento de π1(N

′, Pn) ⊆

PBnN . Portanto, g = (g′f)h1 · · ·hr ∈ PBnN × PBn1N1 × · · · × PBnr

Nr.


Lema 5.12. Seja m = n. Entao,

CBnM(BnN) = BnN.

Demonstracao: A inclusao

BnN ⊆ CBnM(BnN)

e clara.

Seja g ∈ CBnM(BnN). Escolhemos f ∈ BnN tal que σ(f) = σ(g) e escrevemos

g′ = gf−1. Temos que g′ ∈ PBnM e g′ ∈ CBnM(BnN) = CBnM(PBnN), assim

g′ ∈ CPBnM(PBnN). Pelo Lema 5.11, g′ ∈ PBnN . Portanto,

g = g′f ∈ BnN.

Lembremos que Σm denota o grupo de permutacoes de {P1, . . . , Pm}, que Σn denota

o grupo de permutacoes de {P1, . . . , Pn}, e que Σm−n denota o grupo de permutacoes

de {Pn+1, . . . , Pm}. O seguinte lema pode ser provado com os mesmos argumentos

como aqueles feitos na prova do Lema 4.13. Notemos que, como π1(N1, P1) 6= {1}, nao

precisamos assumir que n ≥ 2 no Lema 5.13.

Lema 5.13. Seja g ∈ CBmM(BnN). Entao, σ(g) ∈ Σn × Σm−n.

Denotemos por Σnio grupo de permutacoes de Pi, para i = 1, . . . , r.

Lema 5.14. Seja g ∈ CBmM(BnN). Entao,

σ(g) ∈ Σn × Σn1× · · · × Σnr

.

Demonstracao: Seja g ∈ CBmM(BnN). Pelo Lema 5.13, g ∈ σ−1(Σn × Σm−n).

Consideremos a seguinte sequencia exata:

1 // Bm−nM \ {P1, . . . , Pn} // σ−1(Σn × Σm−n)ρ∗

// BnM // 1.


O morfismo ρ∗ envia BnN isomorficamente sobre BnN . Pelo Teorema 1.15, ρ∗(g) ∈

CBnM(BnN). Pelo Lema 5.12, ρ∗(g) = f ∈ BnN . Escrevemos g′ = gf−1. Temos que

g′ ∈ Bm−nM \ {P1, . . . , Pn} (pois, ρ∗(g′) = 1) e g′ ∈ CBmM(BnN).

Seja h ∈ BnN . Como g′ ∈ CBmM(BnN), existe um inteiro k > 0 tal que

g′hk(g′)−1 ∈ BnN.

Como ρ∗ e um isomorfismo sobre BnN , temos que

g′hk(g′)−1 = ρ∗(g′hk(g′)−1) = ρ∗(g

′)ρ∗(hk)ρ∗((g

′))−1 = hk,

e portanto

hkg′h−k = g′.

Suponhamos que Pn+1 ∈ N1, que Pn+2 ∈ N2, e que σ(g)(Pn+1) = Pn+2. Temos

tambem que σ(g′)(Pn+1) = Pn+2. Escrevemos Q1 = Pn+1 e Q2 = Pn+2. Escolhemos

um ponto Qi ∈ Ni, para todo i = 3, . . . , r. Seja Π1(M \ {P1}) o grupoide fundamental

sobre M \ {P1} baseado em {Q1, . . . , Qr}. Seja b′ = (b′n+1, . . . , b′m) uma tranca sobre

M \ {P1, . . . , Pn} baseada em (Pn+1, . . . , Pm) que representa g′. Seja x ∈ Π1(M \

{P1})[Q1, Q2] representada por b′n+1. Pelas consideracoes acima, x ∈ SN [Q1, Q2]. Mas

isto e uma contradicao com a Proposicao 5.5.

Logo,

σ(g) ∈ Σn × Σn1× · · · × Σnr

.

Demonstracao do Teorema 5.1: A inclusao

BnN ×Bn1N1 × · · · ×Bnr

Nr ⊆ CBmM(BnN)

e clara.

Seja g ∈ CBmM(BnN). Pelo Lema 5.14,

σ(g) ∈ Σn × Σn1× · · · × Σnr

.


Assim, podemos escolher f ∈ BnN e hi ∈ BniNi, para todo i = 1, . . . , r, tais que

σ(g) = σ(f)σ(h1) · · ·σ(hr).

Escrevemos g′ = gh−1r · · ·h−1

1 f−1. Temos que g′ ∈ PBmM e g′ ∈ CBmM(BnN) =

CBmM(PBnN), assim g′ ∈ CPBmM(PBnN). Pelo Lema 5.11, existem f ′ ∈ PBnN e

h′i ∈ PBniNi, para todo i = 1, . . . , r, tais que g′ = f ′h′1 · · ·h

′r.

Logo,

g = f ′h′1 · · ·h′r · fh1 · · ·hr = (f ′f)(h′1h1) · · · (h

′rhr) ∈ BnN × Bn1

N1 × · · · × BnrNr.

Provemos agora o Corolario 5.2.

Demonstracao do Corolario 5.2: Claramente BnN × Bn1N1 × · · · × Bnr

Nr ⊆

NBmM(BnN), comoNBmM(BnN) ⊆ CBmM(BnN) e pelo Teorema 5.1 temos CBmM(BnN) =

BnN ×Bn1N1 × · · · ×Bnr

Nr, entao segue que

CBmM(BnN) = NBmM(BnN) = BnN × Bn1N1 × · · · × Bnr

Nr.

Agora, e claro que Z(BnN) × Bn1N1 × · · · × Bnr

Nr ⊆ ZBmM(BnN). Seja g ∈

ZBmM(BnN), pelo Teorema 5.1, temos que g ∈ CBmM(BnN) = BnN × Bn1N1 × · · · ×

BnrNr, daı segue imediatamente que

ZBmM(BnN) = Z(BnN) ×Bn1N1 × · · · ×Bnr

Nr.

Capıtulo 6

Consideracoes finais

Para finalizar este trabalho, gostarıamos de ressaltar os casos nao considerados no artigo

estudado [27], base desta dissertacao, os quais nos deixam uma porta aberta a novos

resultados. Ate o momento, nos desconhecemos se alguns dos casos remanescentes ou

todos eles ja foram resolvidos.

Para estudar os subgrupos comensuradores nao considerados em [27], talvez seja

necessario entender algebricamente os subgrupos geometricos do grupo de trancas de

uma superfıcie M .

Seja M uma superfıcie e consideremos BmM o grupo de trancas com m cordas em

M . Seja G ≤ BmM , nos perguntamos se existem um inteiro n ≤ m e uma subsuperfıcie

N ⊆M tais que, a aplicacao induzida pela inclusao ψ : BnN −→ BmM e injetora sobre

G. Em particular, gostarıamos de estudar o problema param = 1, ou seja, para o grupo

fundamental de M .

6.1 Casos remanescentes

Queremos destacar que, no artigo [27], foram estudados os subgrupos comensuradores

de grupos de trancas no caso em que o subgrupo de BmM e geometrico. Esse nao e o

caso em geral. Por exemplo, nao calculamos nenhum subgrupo comensurador no caso

da esfera S2, pois qualquer subsuperfıcie N de S2 e tal que S2 \N tem pelo menos

75

6.1 Casos remanescentes 76

uma componente conexa que e um disco.

Vamos destacar aqui alguns casos que eventualmente nao foram considerados em

capıtulos anteriores, em particular, quando M e a esfera ou o plano projetivo. Elemen-

tos de torcao e subgrupos finitos em grupos de trancas tem sido amplamente estudados,

destacamos em particular [20, 21].

Lembremos que dado um grupo G e H um subgrupo finito de G, o subgrupo

comensurador CG(H) e todo G. Daremos a seguir uma lista de subgrupos finitos

em grupos de trancas destes espacos. Nestes casos podemos obter uma descricao para

os subgrupos comensuradores.

6.1.1 A esfera S2

Os resultados aqui mencionados sao encontrados em [20]. Consideremos o grupo

de trancas da esfera no caso em que ele e infinito, ou seja, Bm(S2) para m ≥ 4.

Murasugi caracterizou os elementos de torcao em Bm(S2), onde tais elementos sao

precisamente potencias de conjugados dos seguintes tres:

1. α0 = σ1 . . . σm−2σm−1, que tem ordem 2m.

2. α1 = σ1 . . . σm−2σ2m−1, que tem ordem 2(m− 1).

3. α2 = σ1 . . . σm−3σ2m−2, que tem ordem 2(m− 2).

Estes tres elementos α0, α1 e α2 sao, respectivamente, raızes m-esima, (m − 1)-esima

e (m− 2)-esima de ∆m, onde ∆m e a chamada tranca “full twist”, definida por ∆m =

(σ1σ2 . . . σm−1)m. Portanto, podemos encontrar em Bm(S2) subgrupos cıclicos finitos

isomorfos a Z2m, Z2(m−1) e Z2(m−2). ∆m e o unico elemento de Bm(S2) de ordem 2,

ainda mais, ele gera o centro de Bm(S2).

Tambem e provado em [20] que Bm(S2) contem um subgrupo isomorfo ao grupo

dos quaternios Q8 se, e somente se, m e par.

Para finalizar, temos o seguinte teorema, [20, Teorema 3].

Teorema 6.1. Seja m ≥ 3. Os subgrupos maximais finitos de Bm(S2) sao:


(a) Z2(m−1), se m ≥ 5,

(b) o subgrupo dicıclico Dic4m de ordem 4m,

(c) o subgrupo dicıclico Dic4(m−2), se m = 5 ou m ≥ 7,

(d) o grupo binario tetraedrico, denotado por T1, se m ≡ 4 mod 6,

(e) o grupo binario octaedrico, denotado por O1, se m ≡ 0 mod 6,

(f) o grupo binario icosaedrico, denotado por I, se m ≡ 0, 2, 12, 20 mod 30.

6.1.2 O plano projetivo P 2

Vejamos alguns elementos de ordem finita em Bm(P 2), bem como alguns subgrupos

finitos em Bm(P 2) e PBm(P 2). Os resultados nesta subsecao sao encontrados em [21],

inicialmente temos o seguinte teorema.

Teorema 6.2. Seja m ≥ 2. Entao:

(a) Bm(P 2) tem um elemento de ordem ℓ se, e somente se, ℓ divide 4m ou 4(m− 1),

(b) a torcao (nao trivial) de PBm(P 2) e justamente 2 e 4,

(b) o “full twist” ∆m e o unico elemento de Bm(P 2) de ordem 2.

Foi mostrado por Murasugi que ∆m gera o centro de Bm(P 2). Do Teorema 6.2 segue

que os subgrupos cıclicos (finitos) maximais de Bm(P 2) sao isomorfos a Z4m ou Z4(m−1).

Usando o teorema anterior temos a seguinte proposicao para o grupo de trancas puras

PBm(P 2).

Proposicao 6.3. A menos de isomorfismo, os subgrupos maximais finitos de PBm(P 2)

sao:

(a) Z2, se m = 1.

(b) Q8, se m = 2, 3.


(c) Z4, se m ≥ 4.

Seria interessante conhecer uma “cara” para elementos que gerem subgrupos finitos.

Neste trabalho encontramos que os seguintes elementos de Bm(P 2):

a = σ−1m−1 · · ·σ

−11 ρ1,

b = σ−1m−2 · · ·σ

−11 ρ1,

sao elementos de ordem 4m e 4(m− 1), respectivamente.

6.1.3 Outros casos interessantes

Pela Proposicao 2.4 temos que o centro de uma superfıcie compacta grande e trivial.

Suponhamos que M nao e superfıcie compacta grande. No Capıtulo 2 mencionamos

que Z(BmM) e nao trivial para a esfera e o plano projetivo, entre outras. Pelo que ja

foi exposto nas subsecoes anteriores, temos que Z(BmM) = 〈∆m〉 no caso em que M

e a esfera ou o plano projetivo. Daı segue que, para estas duas superfıcies,

ZBm(M)(〈∆m〉) = NBm(M)(〈∆m〉) = CBm(M)(〈∆m〉) = BmM.

Consideremos o subgrupo de trancas puras em m+1 cordas PBm+1M , assim como

em m cordas PBmM . Para cada i = 1, . . .m + 1 existe um homomorfismo natural

ρi∗ : PBm+1M −→ PBmM , induzido pela aplicacao geometrica que “esquece” a i-

esima corda. Definimos o grupo de trancas Brunnianas sobre M ou grupo Brunniano

sobre M como sendo

BRm+1M =

i=m+1⋂

i=1

kernel(ρi∗),

ou seja, uma tranca pertence a BRm+1 se, e somente se, tirando qualquer uma das

cordas a tranca resultante e a tranca identidade em m cordas.

Claramente BRm+1M e normal em PBm+1M , ainda mais, e normal no grupo de

trancas completo BmM . Daı segue que NPBm+1M(BRm+1M) = PBm+1M, e como

consequencia temos que

NPBm+1M(BRm+1M) = CPBm+1M(BRm+1M) = PBm+1M.


Um resultado similar e valido para BmM .

6.1.4 Casos remanescentes (como subgrupos geometricos)

Por toda esta secao, M denotara uma superfıcie e N uma subsuperfıcie de

M , tal que nenhuma componente conexa de M \N seja um disco. Um dos

objetivos deste trabalho foi o de estudar o subgrupo comensurador CBmM(BnN) de

BmM . Vamos fazer um resumo do que foi feito nos capıtulos 3, 4 e 5, respectivamente.

(i) No caso em que m = n = 1, o subgrupo comensurador CBmM(BnN) foi estudado

completamente, para toda superfıcie M e toda subsuperfıcie N de M .

(ii) No caso em que n ≥ 2 e N = D, um disco mergulhado em M , CBmM(BnN) foi

calculado para M superfıcie orientavel distinta da esfera. Notemos que se M e a

esfera S2, entao M \N e um disco. Ficando assim em aberto o caso em que M e

uma superfıcie nao orientavel para n ≥ 2 e N = D, um disco mergulhado em M .

(iii) Finalmente, para n ≥ 2, M sendo uma superfıcie compacta grande, N distinta

de um disco mergulhado em M e N nao sendo um colarinho de Mobius em

M , calculamos CBmM(BnN). Lembramos que o caso em que N e um disco

mergulhado em M , foi considerado em (ii). Isto quer dizer que, no Capıtulo 5,

faltou estudar os casos em que M e o toro ou o cilindro (para M orientavel),

os casos em que M e a faixa de Mobius ou a garrafa de Klein (para M nao

orientavel), bem como o caso em que M e uma superfıcie nao orientavel e N e

um colarinho de Mobius em M .

Observemos que, pelo mencionado acima (no contexto deste trabalho), estudamos

completamente as superfıcies compactas grandes orientaveis. No caso das nao ori-

entaveis faltou quando D e um disco mergulhado. Quando N nao e um disco mergu-

lhado numa superfıcie nao orientavel faltaram os casos da faixa de Mobius e da garrafa

de Klein, assim como o caso em que N e um colarinho de Mobius em M .

6.2 Subgrupos geometricos 80

6.2 Subgrupos geometricos

Sejam M uma superfıcie e α um elemento de π1M . Dizemos que α e geometrico se

pode ser representado por um caminho fechado simples em M . Em geral, nem todo

elemento de π1M e geometrico. Por exemplo, no caso em que M e o toro, uma potencia

nao trivial de um gerador do grupo fundamental do toro nao tem um representante

que seja um elemento geometrico.

Recordemos a definicao de subgrupo geometrico. Se M e uma superfıcie (compacta)

e N e uma subsuperfıcie de M tal que nenhuma componente conexa de M \N e um

disco, entao a aplicacao induzida pela inclusao ψ : π1N −→ π1M e injetora. Portanto,

podemos pensar que π1N e subgrupo de π1M . Subgrupos obtidos dessa forma sao

chamados de geometricos.

Proposicao 6.4. Um subgrupo cıclico infinito de π1M e geometrico se, e somente se,

um dos seus geradores e geometrico.

Demonstracao: Suponhamos queH ≤ π1M e um subgrupo cıclico, infinito e geometrico.

Entao, existe uma subsuperfıcie N ⊆M tal que nenhuma componente conexa deM \N

e um disco e ψ : π1N −→ π1M e injetora sobre H . Podemos escolher um gerador α de

π1N geometrico. Como ψ(α) e um gerador de H e ψ e induzida pela inclusao, entao

temos que um dos geradores de H e geometrico.

A recıproca e clara tomando uma vizinhana regular de um caminho fechado simples

que e representante do gerador geometrico.

Em [31] e provado o seguinte teorema.

Teorema 6.5. Sejam M uma superfıcie, H um subgrupo finitamente gerado de π1M

e g ∈ π1M \H. Entao, existe M um espaco de revestimento finito de M tal que π1M

contem H mas nao g, e H e geometrico em M .

Usando este teorema de Scott obtemos rapidamente o seguinte corolario, usamos

aqui a sequencia exata de trancas puras.


Corolario 6.6. Um subgrupo finitamente gerado do nucleo da aplicacao ρi∗ : PBm+1M −→

PBmM, que e induzida pela aplicacao geometrica que “esquece” uma corda, e geometrico

no grupo fundamental de um espaco de revestimento finito de M , onde M e uma su-

perfıcie perfurada obtida de M removendo m pontos do interior.

Demonstracao: Basta aplicar o Teorema 6.5 e a sequencia exata de trancas puras

1 // π1(M \ {P1, . . . , Pm}) // PBm+1Mρ∗

// PBmM // 1.

Lembremos que o subgrupo BrunnianoBRm+1M e formado pelas trancas emBm+1M

tais que, se tirarmos qualquer uma das cordas, a tranca resultante e a tranca identidade

em m cordas. Como BRm+1M ≤ PBm+1M , podemos aplicar o corolario anterior aos

subgrupos Brunnianos BRm+1M que sejam finitamente gerados.

6.2.1 Alguns casos particulares

Suponhamos que M e o toro, o cilindro, a faixa de Mobius ou a garrafa de Klein. As

unicas subsuperfıcies de M tais que M \N nao tem componentes conexas que sejam

discos sao um disco, um cilindro ou uma faixa de Mobius em M . Exceto o disco, tais

superfıcies tem grupo fundamental cıclico infinito. Portanto, pensando em alguns dos

casos remanescentes citados em (iii), da secao anterior, queremos saber se dado H

subgrupo cıclico infinito de π1M , entao H e um subgrupo geometrico.

Pela Proposicao 6.4, basta saber se um elemento α de π1M e geometrico, pois

daı segue que o subgrupo gerado por α e subgrupo geometrico de π1M . Daremos

a seguir apresentacoes para o grupo fundamental de M em cada caso, e analisamos

algebricamente os elementos geometricos. Tais apresentacoes sao obtidas usando a

representacao de uma superfıcie por meio de um polıgono com algumas das suas arestas

identificadas. Por este motivo podemos considerar que tais grupos sao gerados por lacos

simples.


Cilindro. Suponhamos que o grupo fundamental do cilindro S1 × I e o grupo cıclico

infinito π1(S1 × I) =< γ >. Entao, os unicos elementos geometricos nao triviais

sao γ e γ−1.

Toro. Suponhamos que o grupo fundamental do toro S1 ×S1 e o grupo π1(S1 ×S1) =

< α, β|αβα−1β−1 = 1 >. Esse grupo e isomorfo ao grupo abeliano de posto 2

Z⊕Z, gerado por (α, β). Entao, os unicos elementos geometricos nao triviais sao

(α, 0), (0, β), e (mα, nβ) para m,n ∈ Z, tais que mcd(m,n) = 1, bem como os

inversos destes elementos.

Faixa de Mobius. Suponhamos que o grupo fundamental da faixa de Mobius S1×I e

o grupo cıclico infinito π1(S1×I) =< γ >. Entao, os unicos elementos geometricos

nao triviais sao γ, γ2 e seus inversos.

Garrafa de Klein. Suponhamos que o grupo fundamental da garrafa de Klein S1×S1

e o grupo dado pela seguinte apresentacao π1(S1×S1) =< α, β|αβαβ−1 = 1 >.

Entao, os seguintes elementos sao geometricos: α, β, β2 e seus inversos. No

proximo capıtulo estudaremos as curvas fechadas neste espaco e daremos uma

classificacao dos elementos geometricos na garrafa de Klein.

Capıtulo 7

Anexo

Escrevemos este capıtulo adicional, cujo material foi apresentado na defesa, que mostra

um par de resultados obtidos no trabalho dos comensuradores quando o grupo e π1M ,

onde M e uma superfıcie compacta. Destacamos tambem uma aplicacao, dos subgru-

pos comensuradores calculados, a teoria de representacoes de grupos unitaria, isto foi

inspirado no trabalho de D. Rolfsen ([29]) relacionado com os grupos comensuradores

de grupos de trancas classicos.

Podemos achar facilmente modelos de curvas simples para representantes das classes

de elementos ambn ∈ π1(K, p) = 〈a, b : abab−1 = 1〉, quando n = 0 e m = ±1, m = 0 e

n = ±2, ou quando n = ±1 e m arbitrario. Mostra-se em [9] que estas sao as unicas

possibilidades para m,n que fornecem classes de caminhos fechados homotopicos em

π1(K, p) com algum representante sendo um caminho fechado simples. Portanto, temos

uma caracterizacao de curvas fechadas simples na garrafa de Klein.

Proposicao 7.1. Sejam K a garrafa de Klein e γ uma curva fechada em K tal que

[γ] = ambn ∈ π1(K, p). Entao, γ e uma curva simples em K se, e somente se, acontece

uma das seguintes condicoes para m e n:

1. n = 0 e m = ±1,

2. m = 0 e n = ±2,

83

84

3. n = ±1 e m arbitrario.

O seguinte teorema, junto com a caracterizacao de curvas fechadas dada na pro-

posicao anterior, oferece uma prova para o item (i) do Teorema 3.1. Generalizando

assim tal item a subgrupos arbitrarios do grupo fundamental de superfıcies compactas

que nao sao grandes.

Teorema 7.2. Seja M uma superfıcie compacta nao grande.

1. SeM e distinta da garrafa de Klein. Entao, dadoH ≤ π1M temos que Cπ1M(H) =

π1M .

2. Se M = K, a garrafa de Klein, e H ≤ π1(K, p). Entao,

Cπ1(K,p)(H) = π1(K, p),

exceto quando H = 〈ambn〉 com m,n 6= 0 e n par, e nesse caso temos que

Cπ1(K,p)(〈ambn〉) e o subgrupo de π1(K, p) abeliano livre de posto 2, gerado por

{a, b2}.

Demonstracao:

1. Por hipotese temos que M e superfıcie abeliana. Logo, o resultado e imediato

pois, π1M e abeliano.

2. Seja K a garrafa de Klein. Os subgrupos do grupo fundamental da garrafa de

Klein podem ser classificados assim: triviais, livres de posto 1, abelianos livres de posto

2, ou nao abelianos de posto 2. Nos ultimos dois casos temos que tais subgrupos sao de

ındice finito em π1(K, p). Portanto, pela Proposicao 1.14 segue que, se H e subgrupo

de π1(K, p) de posto 2, entao Cπ1(K,p)(H) = π1(K, p).

Analisemos entao os subgrupos livres de posto 1 no grupo fundamental da garrafa

de Klein. Seja ambn ∈ π1(K, p). Lembramos que todo elemento de π1(K, p) e da forma

arbs, com r, s ∈ Z. Denotemos por F = arbsambnb−sa−r e notamos que arbs · 〈ambn〉 ·

b−sa−r = 〈F 〉.

85

Se n e ımpar temos que F = a2r+(−1)smbn cujo quadrado e exatamente b2n e alem

disso (ambn)2 = b2n, pois n e ımpar. Portanto, 〈F 〉 ∩ 〈ambn〉 6= {1} para todos r, s ∈ Z.

Como 〈ambn〉 e subgrupo cıclico infinito, entao temos que [〈ambn〉 : 〈F 〉 ∩ 〈ambn〉] e

finito, para todos r, s ∈ Z.

Similarmente, prova-se que [〈F 〉 : 〈F 〉 ∩ 〈ambn〉] e finito, para todos r, s ∈ Z. Logo,

Cπ1(K,p)(〈ambn〉) = π1(K, p).

Se m = 0 ou n = 0 temos claramente que Cπ1(K,p)(〈ambn〉) = π1(K, p).

Consideremos agora m,n 6= 0 e n par. Temos assim que F = a(−1)smbn. Na

sequencia analisamos casos para s. Se s e par, entao F = ambn, donde arbs ∈

Cπ1(K,p)(〈ambn〉). Se s e ımpar, entao F = a−mbn. Neste caso (como n 6= 0), temos que

〈a−mbn〉 ∩ 〈ambn〉 = {1}, donde arbs 6∈ Cπ1(K,p)(〈ambn〉). Logo, quando m,n 6= 0 e n e

par segue que o comensurador Cπ1(K,p)(〈ambn〉) = {arbs ∈ π1(K, p) | s e par}, mas este

ultimo subgrupo e exatamente 〈a, b2 | ab2 = b2a〉.

Notemos que se m,n sao como descritos nas condicoes da Proposicao 7.1, entao

ambn ∈ π1(K, p) e um elemento geometrico e Cπ1(K,p)(〈ambn〉) = π1(K, p). Porem, exis-

tem elementos nao geometricos ambn ∈ π1(K, p) tais que o comensurador

Cπ1(K,p)(〈ambn〉) = π1(K, p), como por exemplo quando n e ımpar com |n| 6= 1.

Usamos, mais uma vez, o Teorema 6.5 para obter informacao do Cπ1M(H), quando

H e finitamente gerado. Provaremos que o subgrupo comensurador de um subgrupo

finitamente gerado do grupo fundamental de uma superfıcie M tem um subgrupo de

ındice finito que pode ser calculado usando o Teorema 3.1.

Teorema 7.3. Seja M uma superfıcie compacta (ou pelo menos compacta k-perfurada)

e seja H um subgrupo finitamente gerado de π1M . Entao, [Cπ1M(H) : Cπ1M(H)] e

finito, onde M e um revestimento finito de M e H e geometrico em π1M .

Demonstracao: Pelo Teorema 6.5 existe um espaco de revestimento finito de M ,

M , tal que H ≤ π1M e H e geometrico em M . Podemos supor que π1M ≤ π1M .

Claramente Cπ1M(H) ≤ Cπ1M(H) ∩ π1M .

86

Por outro lado, pelo Teorema 1.15 temos que Cπ1M(H) ∩ π1M ≤ Cπ1M(H). Por-

tanto, Cπ1M(H) ∩ π1M = Cπ1M(H).

Como por hipotese temos que [π1M : π1M ] e finito, entao temos que [Cπ1M(H) :

Cπ1M(H)] e finito.

Observacao 7.4. 1. Cπ1M(H) esta completamente determinado pelo Teorema 3.1.

2. Em outras palavras, o teorema diz que Cπ1M(H) = Cπ1M(H)∪ t1Cπ1M

(H)∪ . . .∪

tlCπ1M(H) (uniao disjunta) com T = {1, t1, . . . , tl} uma transversal a esquerda

de Cπ1M(H) em Cπ1M(H).

Em [8, 29] destaca-se uma importante conexao, feita por G.W. Mackey, entre os

subgrupos comensuradores e a teoria de representacoes unitaria. Lendo o trabalho de

Rolfsen ([29]) podemos ver como resultados relacionados com subgrupos comensura-

dores em grupos de trancas classicos podem ser aplicados na teoria de representacoes,

usando o resultado do Mackey. Vamos aplicar alguns resultados obtidos ao longo deste

trabalho na teoria de representacoes de grupos unitaria. Para uma leitura deste topico

recomendamos as referencias [8, 25].

Consideremos um grupo discreto G com subgrupo G0. Dada uma representacao

(unitaria) ρ de G0, existe uma representacao induzida bem definida IndGG0(ρ) de G. Em

particular, com ρ a representacao trivial, temos que λG/G0e a representacao regular a

esquerda de G em l2(G/G0). Como em [8, Teorema 2.1] temos o seguinte resultado do

Mackey:

A representacao λG/G0e irredutıvel se, e somente se, CG(G0) = G0. Caso CG(G0) =

G0 temos que IndGG0(ρ) e irredutıvel para qualquer representacao unitaria irredutıvel

finito dimensional ρ de G0.

O seguinte teorema e uma aplicacao direta do Teorema 3.1.

Teorema 7.5. Sejam M uma superfıcie conexa e N uma subsuperfıcie de M tal que

nenhuma componente conexa de M \N e um disco.

87

1. Se M e grande, π1N 6= {1} e N nao e um colarinho de Mobius em M , entao

λπ1M/π1N e irredutıvel, alem disso Indπ1Mπ1N

(ρ) e irredutıvel para qualquer repre-

sentacao unitaria irredutıvel finito dimensional ρ de π1N .

2. Se M e N nao sao como no item anterior, entao temos que λπ1M/π1N e redutıvel.

O seguinte teorema e uma aplicacao direta do Teorema 7.2.

Teorema 7.6. Seja M uma superfıcie compacta que nao e grande. Entao, λπ1M/H e

redutıvel, para todo subgrupo H de π1M .

O seguinte teorema e uma aplicacao direta do Teorema 7.3 junto com o Teorema

3.1.

Teorema 7.7. Se M e a subsuperfıcie associada a H no Teorema 7.3 nao sao como

em (ii) do Teorema 3.1 ou se o revestimento finito M tem numero de folhas maior do

que 1, entao λπ1M/H e redutıvel.

A continuacao destacamos um lema provado no Capıtulo 5. SejamM uma superfıcie

grande e N uma subsuperfıcie de M tal que N nao e nem um disco, nem um colarinho

de Mobius em M , e tal que nenhuma das componentes conexas de M \N e um disco.

Entao, CBnM(BnN) = BnN. Temos assim o seguinte teorema.

Teorema 7.8. Sob as hipoteses do lema anterior temos que, λBmM/BnN e irredutıvel se,

e somente se, m = n. Alem disso, IndBnMBnN

(ρ) e irredutıvel para qualquer representacao

unitaria irredutıvel finito dimensional ρ de BnN .

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