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Sucessões:

1. Conceito de sucessão:

Definição: Sucessão de números reais é toda a aplicação de IN em IR.

Como o domínio dado é sempre IN, a sucessão fica bem definida pelas imagens,

),...(),...,4(),3(),2(),1( nuuuuu , que se representam mais simplesmente por:

,...,...,,,, 4321 nuuuuu , e a que se chama termos da sucessão: primeiro, segundo, terceiro, ... termo de ordem n ,....

Ao termo nu chama-se termo geral. Ao contradomínio da aplicação

chama-se conjunto dos termos da sucessão.

2. Formas de definir uma sucessão:

Pelo termo geral:

Uma sucessão de números reais fica definida se for dado o seu termo geral, visto que o domínio é IN e o conjunto de chegada é IR. Exemplos:

nun = → sucessão dos números naturais. nun 2= → sucessão dos números pares, (múltiplos de 2)

12 −= nun → sucessão dos números ímpares. n

nu 2= → sucessão das potências de 2.

Por um processo de recorrência:

Se os termos da sucessão se podem calcular a partir dos termos anteriores conhecidos, diz-se que a sucessão está definida por recorrência.

Fevereiro de 2005

11.º ano

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Exemplo:

∈∀+=

=

+ INnuu

u

nn ,4

3

1

1 .

3. Sucessões monótonas:

Sucessões crescentes:

( )nu é crescente ⇔ INnuu nn ∈∀>−+ ,01

ou ( )nu é crescente ⇔ INnuu nn ∈∀>+ ,1 .

( )nv é crescente em sentido lato ⇔ INnvv nn ∈∀≥−+ ,01

ou ( )nv é crescente em sentido lato ⇔ INnvv nn ∈∀≥+ ,1 .

Sucessões decrescentes:

( )nu é decrescente ⇔ INnuu nn ∈∀<−+ ,01

ou ( )nu é decrescente ⇔ INnuu nn ∈∀<+ ,1 .

( )nv é decrescente em sentido lato ⇔ INnvv nn ∈∀≤−+ ,01

ou ( )nv é decrescente em sentido lato ⇔ INnvv nn ∈∀≤+ ,1 .

Sucessões monótonas:

Toda a sucessão crescente ou decrescente em sentido estrito ou em sentido lato é uma sucessão monótona.

4. Sucessões limitadas:

Majorantes e minorantes de um conjunto. Conjuntos limitados.

Majorante de um conjunto A IR⊂ é um número real L tal que

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LxAx ≤∈∀ , , ou seja, qualquer elemento do conjunto A é mais pequeno ou igual a um número L. Exemplo: B= ] ]3,∞− Majorantes de B são, por exemplo, 3, 4, 5, etc...

Se L é um majorante de A, todos os números maiores que L são majorantes de A. Ao menor de todos os majorantes chama-se supremo do conjunto. Exemplo: B= ] ]3,∞− Supremo=3.

Minorante de um conjunto B IR⊂ é um número real m tal que mxAx ≥∈∀ , ,

ou seja, qualquer elemento do conjunto B é maior ou igual a um número m. Exemplo: D= ] [+∞− ,1

Minorantes de D são, por exemplo, -1, -2

3, -2, -3, etc...

Ao maior dos minorantes chama-se ínfimo do conjunto.

Exemplo: D= ] [+∞− ,1 Ínfimo=-1.

Um conjunto diz-se limitado se for majorado e minorado, i.e. ,se tiver majorantes e minorantes, respectivamente.

⇔minorado é C

majorado é C limitado é C .

Sucessão limitada.

Uma sucessão diz-se limitada, se o conjunto dos seus termos é um conjunto limitado. Portanto:

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uma sucessão diz-se limitada, se o conjunto dos seus termos admite um majorante e um minorante. Isto é, existem dois números, a e b tais que

INnbua n ∈∀≤≤ , .

5. Progressões aritméticas: Definição: Progressão aritmética é toda a sucessão em que é

constante a diferença entre cada termo e o anterior.

( )nu é uma progressão aritmética ⇔ ruu nn =−+1 (constante), INn∈∀ .

Á constante r dá-se o nome de razão da progressão.

Toda a progressão aritmética ( )nu de razão r é uma sucessão

monótona: • crescente, se 0>r ; • decrescente, se 0<r ; • constante, se 0=r .

Termo geral de uma progressão aritmética:

rnuun ).1(1 −+= .

Soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética:

nuu

S nn .

21 +=

6. Progressões geométricas:

Definição: Progressão geométrica é toda a sucessão em que é constante o quociente entre cada termo e o anterior.

( )nu é uma progressão geométrica ⇔ ru

u

n

n =+1 (constante), INn∈∀ .

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À constante r dá-se o nome de razão da progressão.

Da definição resulta que uma progressão geométrica ( )na em que 01 ≠a e:

• 1>r é monótona crescente ou decrescente, conforme 01 >a ou 01 <a ;

• 1=r é monótona constante (todos os termos são iguais ao primeiro); • 10 << r é monótona decrescente, ou crescente, conforme 01 >a ou

01 <a ; • 0=r é uma sucessão com todos os termos nulos a partir do primeiro; • 0<r é não monótona (os termos são alternadamente positivos e negativos).

Se 01 =a todos os termos da progressão são zero.

Termo geral de uma progressão geométrica: 1

1.−= n

n ruu

Soma dos n termos de uma progressão geométrica:

r

raS

n

n −

−=

1

1.1

João Paulo Elias